最新带电粒子在磁场中运动放缩圆和旋转圆

2023年高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练专题20 磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型【特训典例】一、旋转圆模型1．如图所示，空间存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），一放射源P 位于足够大的绝缘板AB 上方，放射性物质为23892U ，发生α衰变后，放出α射线，23490Th 留在放射源中，P 到AB 的距离为d ，在纸面内向各个方向发射速率均为v 的α粒子，不考虑粒子间的相互作用和α粒子的重力。

已知α粒子做圆周运动的半径也为d ，则（ ）A ．核反应方程为23892U→23490Th ＋42HeB ．板上能被α粒子打到的区域长度是2dC ．α粒子到达板上的最长时间为32dv π D ．α粒子到达板上的最短时间为2dvπ【答案】AC【详解】A ．根据质量数守恒和电荷数守恒可知，核反应方程为238234492902U Th He →+，A 正确；B ．打在极板上粒子轨迹的临界状态如上图所示根据几何关系知，带电粒子能到达板上的长度1)l d d ==，B 错误； CD ．由题意如画出所示由几何关系知最长时间为1轨迹经过的时间，即竖直向上射出的α粒子到达板上的时间最长，其轨迹对应的圆心角为270°，故最长时间为3323442d dt T v v ==⨯=长ππ而最短时间为轨迹2，其轨迹对应的弦长为d ，故对应的圆心角为60°，最短时间为112663d dt T v v==⨯=短ππ，D 错误C 正确。

故选AC 。

2．如图所示，在边长为L 的等边三角形区域ABC 内存在着垂直纸面的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B =，大量质量为m 、带电荷量为q 的粒子从BC 边中点O 沿不同的方向垂直于磁场以速率v 0射入该磁场区域，不计粒子重力，则下列说法正确的是（ ）ABC ．对于从AB 和ACD ．对于从AB 和AC【答案】BC【详解】A．所有粒子的初速度大小相等，它们在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为0mv r qB ==故A 错误；B．粒子做圆周运动的周期为002r T v π==B 正确； C ．当粒子运动轨迹对应的弦最长时，圆心角最大，粒子运动时间最长，当粒子运动轨迹对应的弦长最短时，对应的圆心角最小，粒子运动时间最短。

磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型1.高考命题中，带电粒子在有界磁场中的运动问题，常常涉及到临界问题或多解问题，粒子运动轨迹和磁场边界相切经常是临界条件。

带电粒子的入射速度大小不变，方向变化，轨迹圆相交与一点形成旋转圆。

带电粒子的入射速度方向不变，大小变化，轨迹圆相切与一点形成放缩圆。

2.圆形边界的磁场，如果带电粒子做圆周运动的半径如果等于磁场圆的半径，经常创设磁聚焦和磁发散模型。

一、分析临界极值问题常用的四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.(2)当速率v 一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长,(3)当速率v 变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，再根据几何关系求出半径及圆心角等(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨远圆半径大于区域圆半径时，入射点和出射点为磁场直径的两个端点时轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。

二、“放缩圆”模型的应用适用条件速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。

可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP ′上界定方法以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法三、“旋转圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径为R =mv 0qB。

如图所示轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R =mv 0qB的圆上界定方法将一半径为R =mv 0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法四、“平移圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v 0，则半径R =mv 0qB，如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为R =mv 0qB的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法五、“磁聚焦”模型1．带电粒子的会聚如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R =r )，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会聚)证明：四边形OAO ′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO ′(即竖直方向)，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点．2．带电粒子的发散如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B ，圆心为O ，从P 点有大量质量为m 、电荷量为q 的正粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O 、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O 1A (O 2B 、O 3C )均平行于PO ，即出射速度方向相同(即水平方向)．(建议用时：60分钟)一、单选题1地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该部面，如图所示，O为地球球心、R为地球半径，假设地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内(边界上有磁场)，磷的应强度大小均为B，方向垂直纸面向外。

磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型特训目标特训内容目标1旋转圆模型(1T-4T)目标2放缩圆模型(5T-8T)目标3平移圆模型(9T-12T)目标4磁聚焦模型(13T-16T)【特训典例】一、旋转圆模型1如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中有一粒子源，粒子源从O点在纸面内同时向各个方向均匀地发射带正电的粒子，其速率为v、质量为m、电荷量为q。

PQ是在纸面内垂直磁场放置的厚度不计的挡板，挡板的P端与O点的连线与挡板垂直，距离为8mv5qB。

设打在挡板上的粒子全部被吸收，磁场区域足够大，不计带电粒子间的相互作用及重力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。

则()A.若挡板长度为4mv5qB，则打在板上的粒子数最多B.若挡板足够长，则打在板上的粒子在磁场中运动的最短时间为127πm180qBC.若挡板足够长，则打在板上的粒子在磁场中运动的最长时间为πmqBD.若挡板足够长，则打在挡板上的粒子占所有粒子的14【答案】D【详解】A．设带电粒子的质量为m，带电量为q，粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供做圆周运动的向心力。

设粒子做圆周运动的半径为r。

则有qvB=m v2r解得r=mvqB能打到挡板上的最远的粒子如图；由几何关系可知，挡板长度L=(2r)2-d2=6mv5qB选项A错误；BC．由以上分析知，当粒子恰好从左侧打在P点时，时间最短，如图轨迹1所示，由几何关系得粒子转过的圆心角为θ1=106°；对应的时间为t min=θ12πT=106°360°2πmqB=53πm90qB当粒子从右侧恰好打在P点时，时间最长，如图轨迹2所示，由几何关系得粒子转过的圆心角为θ2=254°对应的时间为t max=θ22πT=254°360°⋅2πmqB=127πm90qB选项BC 错误；D ．如图所示，能打到屏上的粒子，在发射角在与x 轴成37°到127°范围内90°角的范围内的粒子，则打在挡板上的粒子占所有粒子的14，选项D 正确。

2023届高三物理一轮复习重点热点难点专题特训专题59 带电粒子在磁场中平移圆、放缩圆、旋转圆、磁聚焦模型特训目标特训内容目标1 带电粒子在磁场中平移圆模型（1T—4T）目标2 带电粒子在磁场中放缩圆模型（5T—8T）目标3 带电粒子在磁场中旋转圆模型（9T—12T）目标4 带电粒子在磁场中磁聚焦模型（13T—16T）【特训典例】一、带电粒子在磁场中平移圆模型1．如图所示，在顶角为23π的等腰三角形BAC内充满着磁感应强度大小为B且垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。

一群质量为m、电荷量为＋q、速度为v的带电粒子垂直AB 边射入磁场，已知从AC边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC边。

不计粒子重力和粒子间相互作用力。

下列判断中正确的是（）A．等腰三角形BAC中AB边的长为2mv qBB．粒子在磁场中运动的最长时间为43m qB πC．从A点射入的粒子离开磁场时的位置与A点的距离为mv qBD．若仅将磁场反向，则从A点射入的粒子在磁场中运动的时间将比改变前缩短【答案】AC【详解】A．由题意可确定运动时间最长的粒子若垂直AC离开，其轨迹圆心必为A点，其轨道必与BC边相切，则由几何关系可知AB边长为半径的两倍，由2mvBqvr=可得mvrqB=则22BA r qB mv==故A 正确； B ．粒子运动时间最长时，圆心角为23πθ=则运动时间为122233m m t T Bq Bq θπππ==⨯=故B 错误； CD ．由几何关系可知，从A 点射入的粒子不论磁场向外还是改为向里，粒子速度的偏转角都是60°，轨迹均为六分之一圆周，则运动时间相同，离开磁场时的位置与A 点的距离为等于半径mvqB，故C 正确，D 错误。

故选AC 。

2．如图所示，在直角三角形ABC 内充满垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB 边长度为d ，∠B=6π．现垂直AB 边射入一群质量均为m 、电荷量均为q 、速度大小均为v 的带正电粒子，已知垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为t ，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为43t （不计重力）。

带电粒子在磁场中的运动旋转圆问题带电粒子在磁场中的运动旋转圆问题在自然界中，存在这一类有趣的物理现象：当带电粒子在磁场中运动时，其轨迹会形成一个旋转圆，这是磁场对带电粒子施加力的结果。

这一现象既有理论意义，也有实际应用价值，因此一直受到科学家们的广泛关注。

本文将深入探讨带电粒子在磁场中的运动旋转圆问题，从基础知识到研究进展，希望能够对读者深入了解这一问题提供帮助。

1. 磁场基础知识我们需要了解一些基础的磁场知识。

磁场是由带电粒子或磁体所产生的一种物理现象，其对带电粒子的运动具有显著的影响。

磁场的存在可以通过磁力线来描述，磁力线以箭头指向磁场的方向，用于表示磁场的强度和方向。

在磁场中，带电粒子会受到洛伦兹力的作用，该力的方向垂直于带电粒子的运动方向和磁场的方向。

2. 带电粒子在磁场中的运动规律当带电粒子在磁场中运动时，它会受到洛伦兹力的作用，从而产生一个向心力。

这个向心力使得带电粒子在磁场中做圆周运动，形成一个旋转圆。

带电粒子的圆周运动半径由其质量、速度和所受磁场的强度决定。

具体而言，向心力的大小可以由下式表示：F = qvB其中，F表示向心力，q表示带电粒子的电荷量，v表示带电粒子的速度，B表示磁场强度。

根据这个式子可以看出，当带电粒子的电荷量或速度增大，或磁场强度增大时，向心力也会增大，从而使得带电粒子的圆周运动半径增大。

3. 带电粒子在磁场中的应用带电粒子在磁场中的运动旋转圆问题不仅在理论物理中具有重要意义，也在实际应用领域有着广泛的应用。

一种常见的应用是在粒子加速器中，利用磁场的作用使得带电粒子在环形加速器中做圆周运动，从而达到高能量的粒子碰撞。

在核磁共振技术中，利用磁场的作用对带电粒子进行操控，从而实现对物质结构的研究和应用。

4. 对带电粒子在磁场中的运动旋转圆问题的个人观点和理解带电粒子在磁场中的运动旋转圆问题是一个非常有趣的物理现象，我个人对此有着浓厚的兴趣。

通过研究和分析这一问题，我们可以深入了解磁场对带电粒子运动的影响，并且可以应用于实际技术中。

缩放圆和旋转圆缩放圆和旋转圆缩放圆和旋转圆是物理学中的基本概念。

缩放圆是指带电粒子在匀强磁场中做半径不断变化的匀速圆周运动，轨迹连续起来形成一个与入射点相切并在放大或缩小的“动态圆”。

解题时可以使用圆规画出几个半径不同的圆，方便发现粒子轨迹特点，达到快速解题的目的。

旋转圆是指带电粒子在匀强磁场中做半径不变的圆周运动，但速度方向不限定，可以在-180°范围内变化。

解题时可以使用圆规或硬币画出其轨迹，达到快速解答试题的目的。

同时，粒子在做圆周运动时的绕行方向不随旋转而改变，即同旋性。

缩放圆和旋转圆都有一些特征。

缩放圆的特征是带电粒子做半径不断变化的匀速圆周运动，轨迹连续起来形成一个动态圆。

旋转圆的特征是带电粒子在匀强磁场中做半径不变的圆周运动，但速度方向不限定，可以在-180°范围内变化。

旋转圆的五大特征包括半径相等、都过发射点、圆心分布在一圆周上、旋转方向相同（同旋性）、同时发射、同时刻在同一圆周上，最大范围是π(2R)2.在圆形有界磁场中的旋转圆问题中，左边界是相切点A，右边界是OB为直径，边界点是相切点B、C。

在磁场中运动的最远距离为OA=2r。

最近点是A（OA=2Rsinθ），最远点是B（OB为直径）。

圆中最大的弦长是直径。

在选择题中，磁场中运动的最长时间取决于离开磁场速度方向是否垂直于入射点与磁场圆心的连线，答案为m。

7.一块长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l。

极板不带电。

现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是使粒子的速度v＞Bq/m或者v＜Bq/m。

8.一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面是一正方形的匀强磁场。

正确的判断是：B.电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大。

9.边长为l的正六边形abcdef中，存在垂直该平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。

2022届高三物理二轮常见模型与方法综合特训专练专题18 磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型专练目标专练内容目标1旋转圆模型（1T—5T）目标2放缩圆模型（6T—10T）目标3平移圆模型（11T—15T）目标4磁聚焦模型（16T—20T）一、旋转圆模型1．如图甲所示的平面直角坐标系中，x轴上方有磁感应强度大小为B、垂直纸面向外的匀强磁场，在O点处有一粒子源，沿纸面不断地放出同种粒子，粒子的速率均为v，粒子射入磁场的速度方向与x轴正方向的夹角范围为60°—120°。

粒子的重力及粒子间的相互作用均不计。

图乙中的阴影部分表示粒子能经过的区域，其内边界与x轴的交点为E，外边界与x轴的交点为F，与y轴的交点为D（a，0）。

下列判断正确的是（）A．粒子所带电荷为正电B．OF3C．粒子源放出的粒子的荷质比为v aBD．从点E离开磁场的粒子在磁场中运动的时间可能为23a v π【答案】CD【详解】A．由左手定则可知，粒子所带电荷为负电，选项A错误；B．则OD a R==则OF=2R=2a选项B错误；C．根据2vqvB mR=解得q v vm BR Ba==选项C正确；D．从点E离开磁场的粒子在磁场中转过的角度可能为120°，也可能是240°，则在磁场中运动的时间可能为233vT atπ==也可能是2433T atvπ=='选项D正确。

故选CD。

2．如图，一粒子发射源P位于足够长绝缘板AB的上方d处，能够在纸面内向各个方向发射速率为v、比荷为k的带正电的粒子，空间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力。

已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d，则（）A．磁感应强度的大小为d kvB．磁感应强度的大小为v kdC ．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为76dvπ D ．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为6kdvπ【答案】BC【详解】AB ．根据牛顿第二定律2v qvB m d =根据题意q k m =解得v B kd =，A 错误，B 正确；CD ．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最长时间和最短时间如图所示min 16t T =；max 34t T =粒子运动的周期为2dT v π=最大时间差为max min t t t ∆=-解得76d t vπ∆=，C 正确，D 错误。

带电粒子在磁场中的运动是一个充满深度和广度的问题，涉及到物理学中的许多重要概念和原理。

从宏观到微观，从经典到量子，这一主题的探讨可以帮助我们更深入地理解粒子在磁场中的行为，以及相关的物理规律。

一、带电粒子在磁场中的受力和运动1.受力分析当带电粒子进入磁场时，它会受到洛伦兹力的作用，这个力会使粒子发生偏转，并导致其在磁场中运动。

洛伦兹力的大小和方向取决于粒子的电荷大小、速度方向以及磁场的强度和方向。

2.运动轨迹在磁场中，带电粒子的运动轨迹通常是圆形或螺旋形的，具体取决于粒子的速度和磁场的强度。

这种运动旋转圆问题是研究带电粒子在磁场中行为的重要内容之一。

二、经典物理学对带电粒子运动的描述1.运动方程根据洛伦兹力和牛顿定律，可以建立带电粒子在磁场中的运动方程。

通过对这个方程的分析，可以得到粒子在磁场中的运动轨迹和运动规律。

2.圆周运动对于静止的带电粒子，它会在磁场中做匀速圆周运动；而对于具有初始速度的带电粒子，它会做螺旋运动。

这种经典的描述为我们理解带电粒子在磁场中的运动提供了重要参考。

三、量子物理学对带电粒子运动的描述1.量子力学效应在微观尺度下，带电粒子在磁场中的运动会受到量子力学效应的影响，比如磁量子效应和磁旋效应等。

这些效应对带电粒子的运动规律产生重要影响，需要通过量子力学来描述。

2.自旋和磁矩带电粒子除了具有电荷和质量外，还具有自旋和磁矩。

这些特性在磁场中会影响粒子的运动，使得其运动规律更加复杂和微妙。

四、个人观点和理解对于带电粒子在磁场中的运动旋转圆问题，我认为它不仅具有重要的理论意义，还在许多实际应用中发挥着关键作用。

比如在核磁共振成像技术中，正是利用了带电粒子在外加磁场中的运动规律，实现了对人体组织和器官进行高分辨率成像。

深入理解这一问题，不仅可以帮助我们认识自然界的规律，还有助于科学技术的发展和进步。

总结回顾一下，带电粒子在磁场中的运动旋转圆问题是一个充满深度和广度的物理学问题，涉及到经典物理学和量子物理学的交叉领域。

2025届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练专题58放缩圆、旋转圆、平移圆和磁聚焦模型在磁场中的应用导练目标导练内容目标1放缩圆模型目标2旋转圆模型目标3平移圆模型目标4磁聚焦模型【知识导学与典例导练】一、放缩圆模型适用条件速度方向一定，速度大小不同粒子源发射速度方向一定，速度大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。

可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP ′上界定方法以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法【例1】如图所示，在边长为L 的正三角形abc 区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，有一群质量为m 、电荷量为q 的粒子，以大小不同的速度从a 点沿ac 方向进入磁场，从ab 边或bc 边射出磁场。

下列说法正确的是（）（不计粒子重力和粒子间的相互作用）A ．粒子带正电B ．粒子在磁场中运动时间最长为3m qBπC ．从b 点飞出的粒子的轨迹半径为3D ．从bc 边飞出的粒子，飞出点越靠近c ，运动时间越长【答案】C【详解】A ．由左手定则可知粒子带负电，A 错误；B ．粒子从ab 边射出时在磁场中转过的圆心角最大，运动时间最长，如图所示最长时间为120120223603603m mt T qB qBππ︒︒===︒︒，B 错误；C ．如图所示由几何关系得从b点飞出的粒子的轨迹半径为2cos303LR ==︒，C 正确；D．如图所示从bc 边飞出的粒子，飞出点越靠近c 对应的圆心角越小，运动时间越短，D 错误。

故选C 。

二、旋转圆模型适用条件速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径R ＝mv 0qB，如图所示轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R ＝mv 0qB的圆上界定方法将一半径R ＝mv 0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法【例2】如图所示，矩形ABCD 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B ，AB 边长为d ，BC 边长为2d ，O 是BC 边的中点，E 是AD 边的中点，在O 点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向均匀射出质量均为m 、电荷量均为q 、同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB 边的夹角为60︒的粒子恰好从E 点射出磁场，不计粒子的重力，则（）A ．从AD 边射出与从CD 边射出的粒子数之比为3:2B ．粒子运动的速度大小为qBd mC ．粒子在磁场中运动的最长时间为m BqπD ．磁场区域中有粒子通过的面积为244d π+【答案】ABD 【详解】如图所示B ．粒子带正电不可能从与60度夹角的O 点射入经过B 点，因此带负电，由此粒子的运动轨迹结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径r d =由牛顿第二定律2v qvB m r=解得粒子运动的速度大小为qBd v m=故B 正确；C ．由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在磁场中运动的最长弧长为四分之一圆周，因此最长时间为四分之一周期，即最长时间为2mqBπ，故C 错误；D ．由图知，磁场区域有粒子通过的面积为图中AOCDA 区域的面积，即为2221444d d d ππ+⎛⎫+= ⎪⎝⎭故D 正确；A ．由图可知，当速度垂直OB 时，粒子刚好从D点射出，如下图所示由几何关系可知，当速度方向与OC 的夹角为30°时，恰好从C 点射出，则从AD 边射出与从CD 边射出的粒子数之比为90:603:2︒︒=故A 正确。

第十一章 磁 场专题十五 磁场中的动态圆模型核心考点五年考情命题分析预测“平移圆”模型本专题内容为解决带电粒子在有界磁场中运动的模型归纳，单独考查的可能性不大，但在解决大量带电粒子在磁场中的运动问题时，会使解题更加方便快捷.预计2025年高考可能会通过与带电粒子在磁场中做圆周运动有关的现代科技，考查带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界与极值问题.“旋转圆”模型“放缩圆”模型2020：全国ⅠT18 “磁聚焦”与 “磁发散”模型 2021：湖南T13题型1 “平移圆”模型适用条件同种带电粒子速度大小相等、方向相同，入射点不同但在同一直线上.粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v 0，则圆周运动半径r＝mv0qB ，如图所示（图中只画出了粒子带负电的情境）轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法 将半径为r ＝mv 0qB的圆进行平移，从而探索粒子运动的临界条件垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种带电粒子，不考虑粒子间的相互作用，则粒子经过磁场的区域（阴影部分）可能是（ C ）解析带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图所示，粒子源最左端发射的粒子落在A 点，最右端发射的粒子落在B点，故选C.题型2“旋转圆”模型适用条件同种带电粒子速度大小相等，方向不同.粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，圆周转向相同，圆心位置不同，轨迹不同.若粒子射入磁场时的速度为v0，则粒子做圆周运动的轨迹半径为R＝mv0qB，如图所示（图中只画出粒子带正电的情境）轨迹圆圆心共圆如图.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆的圆心在以入射点为圆心、半径R＝mv0qB的圆上界定方法将半径为R＝mv0qB的圆以带电粒子入射点为定点进行旋转，从而探索粒子运动的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法2.[2023四川德阳期末]如图所示，竖直平行线MN、PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界PQ），磁感应强度大小为B，MN上O处的粒子源能沿不同方向释放速度大小相等、方向均垂直磁场的带负电粒子，已知粒子的电荷量为q，质量为m.粒子间的相互作用及重力不计，其中沿θ＝60°射入的粒子，恰好垂直PQ射出，则（D）A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为√3aB.粒子的速率为aqBmC.沿θ＝60°射入的粒子，在磁场中的运动时间为πm3qBD.PQ边界上有粒子射出的长度为2√3a解析粒子沿θ＝60°射入时，恰好垂直PQ射出，则粒子在磁场中转过30°，如图甲所示，由几何关系有Rsin30°＝a，解得R＝2a，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m v2R，则v＝2aqBm，故AB错误.沿θ＝60°射入的粒子，在磁场中的运动时间为t＝30°360°T＝112×2πRv＝πR 6v ＝πm6qB，故C错误.如图乙所示，θ＝0°时，粒子从PQ上离开磁场的位置与B点的距离为√3a，当θ增大时，粒子从PQ上离开磁场的位置下移，直到粒子运动轨迹与PQ相切；θ继续增大，则粒子不能从PQ边界射出；粒子运动轨迹与PQ相切时，由半径R＝2a 可知，粒子转过的角度为60°，所以出射点在PQ上O点的水平线下方√3a处；所以PQ 边界上有粒子射出的长度为2√3a，故D正确.题型3“放缩圆”模型适用条件同种带电粒子速度方向相同，大小不同.粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度大小的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示（图中只画出粒子带正电的情境），速度v越大，运动半径越大.带电粒子沿同一方向射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直入射速度方向的直线PP'上界定方法以入射点P为定点，圆心位于直线PP'上，将半径放缩确定运动轨迹，从而探索出粒子运动的临界条件，这种方法称为“放缩圆”法3.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示.一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场.已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力.为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（C）A.3mv2ae B.mvaeC.3mv4aeD.3mv5ae解析为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆周运动的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r，轨迹圆圆心为M，磁场的磁感应强度最小为B ，由几何关系有√r 2＋a 2＋r ＝3a ，解得r ＝43a ，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动有evB ＝m v 2r，解得B ＝3mv 4ae，选项C 正确.题型4 “磁聚焦”与“磁发散”模型原理图像证明磁聚焦如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等（R ＝r ），则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出图甲四边形OAO'B 为菱形，是特殊的平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO'（即竖直方向），可知从A 点入射的带电粒子必然经过B 点磁发散如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B ，圆心为O ，P 点有大量质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，如果带正电粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行图乙所有粒子运动轨迹的圆心与磁场圆圆心O 、入射点、出射点的连线为菱形，也是特殊的平行四边形，O 1A 、O 2B 、O 3C 均平行且等于PO ，即出射速度方向相同（均沿水平方向）4.如图所示，半径为R 的14圆形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，磁场的左边垂直x 轴放置一线形粒子发射装置，能在0≤y ≤R 的区间内各处沿x 轴正方向同时发射出速度相同、带正电的同种粒子，粒子质量为m 、电荷量为q ，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，若某时刻粒子被装置发射出后，经过磁场偏转击中y 轴上的同一位置，则下列说法中正确的是（ D ）A.粒子都击中O 点处B.粒子的初速度为BqR2mC.粒子在磁场中运动的最长时间为πm qBD.粒子到达y 轴上的最大时间差为πm2qB－m qB解析 由题意，某时刻发出的粒子都击中y 轴上一点，由最高点射出的粒子只能击中（0，R ），可知击中的同一点就是（0，R ），A 错误；从最低点射入的粒子也击中（0，R ），由几何关系可知粒子做匀速圆周运动的半径为R ，由洛伦兹力提供向心力得qvB ＝m v 2R ，则速度v ＝BqR m，B 错误；偏转角最大的粒子在磁场中的运动时间最长，显然从最低点射入的粒子偏转角最大，为90°，故其在磁场中的运动时间最长，时间t ＝14T ＝14×2πm qB＝πm2qB ，C错误；从最高点直接射向（0，R ）的粒子到达y 轴的时间最短，则最长与最短的时间差为Δt ＝t －R v＝πm2qB－mqB，D 正确.1.如图所示为边长为L 的正方形有界匀强磁场ABCD ，带电粒子从A 点沿AB 方向射入磁场，恰好从C 点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD 的中点P 垂直AD 射入磁场，则从DC 边的M 点飞出磁场（M 点未画出）.设粒子从A 点运动到C 点所用的时间为t 1，从P 点运动到M 点所用的时间为t2.带电粒子重力不计，则t 1∶t 2为（ C ）A.2∶1B.2∶3C.3∶2D.1∶2解析 画出粒子从A 点射入磁场到从C 点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的半径为R ＝L ，从C 点射出的粒子运动时间为t1＝T4；由P 点运动到M 点所用时间为t2，圆心角为θ，cos θ＝R 2R＝12，则θ＝60°，故t2＝T6，所以t 1t 2＝T 4T 6＝32，C 正确.2.[2021全国乙]如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m 、电荷量为q （q ＞0）的带电粒子从圆周上的M 点沿直径MON 方向射入磁场.若粒子射入磁场时的速度大小为v 1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v 2，离开磁场时速度方向偏转60°.不计重力，则v1v 2为（ B ）A.12B.√33C.√32D.√3解析 设圆形磁场区域的半径为R ，粒子的运动轨迹如图所示，沿直径MON 方向以速度v1射入圆形匀强磁场区域的粒子离开磁场时速度方向偏转90°，则其轨迹半径为r1＝R ，由洛伦兹力提供向心力得qv1B ＝m v 12r 1，解得v1＝qBR m；沿直径MON 方向以速度v2射入圆形匀强磁场区域的粒子离开磁场时速度方向偏转60°，由几何关系得tan30°＝Rr 2，可得其轨迹半径为r2＝√3R ，由洛伦兹力提供向心力得qv2B ＝m v 22r 2，解得v2＝√3qBR m ，则v 1v 2＝1√3＝√33，B 正确. 3.[多选]如图所示，空间中存在一半径为R 、磁感应强度为B 的圆形匀强磁场，MN 是一竖直放置的足够长的感光板.大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P 以速率v 沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子.粒子质量为m ，电荷量为q ，不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力.关于这些粒子的运动，以下说法正确的是（ ACD ）A.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中运动的时间越短B.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中运动的时间越长C.若粒子速度大小均为v ＝qBR m，出射后均可垂直打在MN 上D.若粒子速度大小均为v ＝qBR m，则粒子在磁场中的运动时间一定小于πm qB解析 对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，轨迹对应的圆心角越小，由t ＝θ2πT ＝θm qB可知，运动时间越短，故A 正确，B 错误.粒子速度大小均为v＝qBR m时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径r ＝mvqB ＝R ，根据几何关系可知，入射点P 、O 、出射点与轨迹圆的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与PO 平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN 垂直，出射后均可垂直打在MN 上；根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间t ＜12T ＝πm qB，故C 、D 正确.4.[2023豫北名校联考/多选]如图所示，直角三角形ABC 区域内有一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，∠A ＝30°，AB ＝L .在A 点有一个粒子源，可以沿AB 方向发射速度大小不同的带正电的粒子.已知粒子的比荷均为k ，不计粒子间相互作用及重力，则下列说法正确的是（ CD ）A.随着速度的增大，粒子在磁场中运动的时间变短B.随着速度的增大，粒子射出磁场区域时速度的偏转角变大C.从AC 边射出的粒子的最大速度为2√33kLBD.从AC 边射出的粒子在磁场中的运动时间为π3kB解析5.[多选]如图所示，正方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O 点是cd 边的中点.一个带正电的粒子（重力忽略不计）从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形区域内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场.现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°角的方向（如图中虚线所示）且以各种不同的速率射入正方形区域内，那么下列说法正确的是（ AD ）A.该带电粒子不可能从正方形的某个顶点射出磁场B.若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能为32t 0C.若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能为32t 0D.若该带电粒子从cd 边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定为53t 0解析 带电粒子以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c 点射出磁场，则知带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T ＝2t0.如图所示，随粒子速度逐渐增大，轨迹由①→②→③→④依次渐变，由图可以知道粒子在四个边射出时，不可能从四个顶点射出，故A 正确；由几何关系可知粒子从ab 边射出时经历的时间小于半个周期t0，从bc 边射出时经历的时间小于23T ，从cd 边射出时轨迹所对的圆心角都是300°，经历的时间为5T6＝5t 03，故B 、C 错误，D 正确.6.如图所示，在屏MN 的上方有磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里.P 为屏上的一个小孔，PC 与MN 垂直.一群质量为m 、带电荷量为－q 的粒子（不计重力），以相同的速率v 从P 处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域.粒子入射方向在与磁场B 垂直的平面内，且散开在与PC 夹角为θ的范围内.则在屏MN 上被粒子打中的区域的长度为（ D ）A.2mvqBB.2mvcosθqBC.2mv （1－sinθ）qBD.2mv （1－cosθ）qB解析 当粒子初速度方向与MN 垂直时，粒子打中屏MN 上被粒子打中的区域的最右端，到P 点的距离x1＝2r ＝2mvqB ；当粒子初速度方向与PC 夹角为θ时，粒子打中屏MN 上被粒子打中的区域的最左端，到P 点的距离x2＝2rcos θ＝2mvcosθqB，故在屏MN 上被粒子打中的区域的长度为x1－x2＝2mv （1－cosθ）qB，D 正确.7.[选项图形化/多选]如图所示，纸面内有宽为L 、水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m ，电荷量为－q ，速率为v 0，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，要使粒子都会聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是下列选项中的（其中B 0＝mv 0qL，A 、C 、D 选项中曲线均为半径为L 的14圆弧，B 选项中曲线为半径为L2的圆）（ AB ）A B C D8.如图所示，正方形区域abcd 内（含边界）有垂直纸面向里的匀强磁场，ab ＝l ，Oa ＝0.4l ，大量带正电的粒子从O 点沿与ab 边成37°角的方向以不同的初速度v 0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用.已知带电粒子的质量为m ，电荷量为q ，磁场的磁感应强度大小为B ，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.（1）求带电粒子在磁场中运动的最长时间；（2）若带电粒子从ad 边离开磁场，求v 0的取值范围.答案 （1）143πm 90qB（2）qBl 4m＜v 0≤5qBl 9m解析 （1）粒子从ab 边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示有qBv 0＝mv 02R，又T ＝2πR v 0，解得T ＝2πm Bq又由几何关系得θ＝74°，则粒子在磁场中运动的最长时间t ＝360°－74°360°T ＝143πm 90qB（2）粒子轨迹与ad 边相切时，如图乙所示，设此时初速度为v 01，轨迹半径为R 1，由几何关系可得R 1＋R 1sin37°＝0.4l又qBv 01＝mv 012R 1，解得v 01＝qBl4m粒子运动轨迹与cd 边相切时，如图丙所示，设此时初速度为v 02，轨迹半径为R 2，由几何关系可得R 2＋R 2cos37°＝l又qBv 02＝mv 022R 2，解得v 02＝5qBl 9m综上可得qBl 4m＜v 0≤5qBl 9m.9.[与数学知识联系紧密/2024湖北武汉部分学校调研/多选]如图所示，在xOy 平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小B ＝0.5T 的有界匀强磁场（未画出），磁场右边界满足曲线方程x 22＋y 24＝1（其中x ≥0，y ≥0，单位：m ），M 点的坐标为（12m ，√32m ）.从O 点沿x 轴正方向以不同速率射出大量质量m ＝1×10－6kg 、电荷量q ＝＋2×10－4C 的同种粒子，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，已知所有粒子均不从磁场右边界射出.下列说法正确的是（ BD ）A.所有粒子在磁场中运动的时间不同B.粒子的最大速率为100m/sC.磁场中有粒子出现的区域面积为π3m 2D.某粒子从O 点运动到M 点的过程，动量改变量大小为1×10－4kg·m/s解析 由题意可知所有的粒子应从y 轴上沿x 轴负方向离开磁场，则所有粒子在磁场中的运动时间均为T2＝πmqB ，又所有粒子的质量和电荷量均相同，所以所有粒子在磁场中的运动时间相同，A 错误；当粒子在磁场中的运动轨迹与磁场右边界相切时，粒子的运动轨迹半径最大，速率最大，又粒子的最大轨迹圆方程为x 2＋（y －r m ）2＝r m 2，磁场右边界的曲线方程为x 22＋y 24＝1，则联立所得方程的判别式Δ＝0，解得r m ＝1m ，根据粒子在磁场中运动时有qv m B ＝m v m 2r m，可得v m ＝qBr m m＝100m/s ，B 正确；根据题意可知磁场中有粒子出现的区域面积为粒子在磁场中运动的最大轨迹圆面积的12，即S ＝12πr m 2＝π2m 2，C 错误；作出粒子运动过程中经过M 点的轨迹如图所示，则由几何关系有r 2＝（12m ）2＋（√32m －r ）2，解得r ＝√33m ，则粒子的速率为v ＝qBrm ＝100√33m/s ，根据图中的几何关系可知粒子在M点时速度方向与y轴正方向的夹角满足cosθ＝12√33＝√32，即θ＝30°，则粒子从O点运动到M点的过程，速度改变量的大小为Δv＝2v sin30°+90°2＝√3v＝100m/s，所以此过程动量改变量的大小为Δp＝mΔv＝1×10－4kg·m/s，D正确.。