上海市徐汇区位育中学2021-2022学年高二上学期期末数学试卷(含答案解析)

2021-2022学年上海市位育高级中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min，广告的总播放时长不少于30min，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（）A．6，3 B．5，2 C. 4，5 D．2，7参考答案：A2. 设命题p：函数y=f（x）不是偶函数，命题q：函数y=f（x）是单调函数，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由q?p，反之不成立．例如取f（x）=（x﹣1）2不是偶函数，但是此函数在R上不单调．【解答】解：命题p：函数y=f（x）不是偶函数，命题q：函数y=f（x）是单调函数，则q?p，反之不成立．例如f（x）=（x﹣1）2不是偶函数，但是此函数在R上不单调．则p是q的必要不充分条件．故选：B．3. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A. B. C.3D.2参考答案：【解题提示】椭圆、双曲线的定义与性质，余弦定理及用基本不等式求最值选A. 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为（），半焦距为，由椭圆、双曲线的定义得，，所以，，因为，由余弦定理得，所以，即，所以，利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为.4. 复数满足，则（A）（B）（C）（D）参考答案：5. 已知，则函数的零点个数为A．1 B．2 C．3D．4参考答案：6. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（）．A．B．C．D．参考答案：A设齐王的上等马、中等马和下等马分别是，田忌的上等马、中等马和下等马分别是，则总的基本事件有，共9种，田忌马获胜的基本事件有，共3种，故概率为，故选A.7. 设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】可先画出图形，根据条件及向量加法、减法和数乘的几何意义即可得出【解答】解：∵D为△ABC中BC边上的中点，∴=（+），∵O为AD边上靠近点A的三等分点，∴=，∴=（+），∴=﹣=﹣（+）=（﹣）﹣（+）=﹣+．故选：A．8. 已知实数x，y满足，若z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围为（）A．（﹣，5）B．（﹣，0）C．[0，5] D．[﹣，5]参考答案：A【考点】7C：简单线性规划．【分析】根据画出不等式组表示的平面区域，利用数形结合结合目标函数的意义，利用平移即可得到结论【解答】解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x﹣2y﹣1得y=x﹣，平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点A（2，﹣1）时，直线y=x﹣的截距最小，此时z取得最大值，此时z=2x﹣2y﹣1=4+2﹣1=5，可知当直线y=x﹣，经过点C时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，由，得，即A（，）代入z=2x﹣2y﹣1得z=2×﹣2×﹣1=﹣，故z∈（﹣，5）．故选：A．9. 在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，θ=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量在几何中的应用．【专题】压轴题．【分析】在边长为1的正方形中，减去要求的三角形以外的三角形的面积，把要求的结果表示为有三角函数的代数式，后面题目变为求三角函数的最值问题，逆用二倍角公式得到结果．【解答】解：在直角坐标系里△OAB的面积=1﹣==∵θ∈（0，]，∴2θ∈（0，π]∴当2θ=π时取得最大，即θ=故选D．【点评】本题考查简单的图形面积和三角函数的最值问题，用三角函数表示的式子，因此代入后，还要进行简单的三角函数变换，二倍角公式逆用．10. 若集合，，那么（）．．．．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，已知幂函数的图象过点，则图中阴影部分的面积等于.参考答案：12. 已知,且满足，则__________。

上海徐汇中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，，，则△ABC一定是（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、等腰三角形D、等边三角形参考答案：D2. 点A，F分别是椭圆C： +=1的左顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且PF⊥AF，则△AFP的面积为（）A．6 B．9 C．12 D．18参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，由椭圆方程求出a，c的值，再求出|PF|，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：如图，由椭圆C： +=1，得a2=16，b2=12，∴，|PF|=，|AF|=a+c=6，∴△AFP的面积为．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3. 已知F为抛物线y2=ax（a＞0）的焦点，M点的坐标为（4，0），过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A，B两点，延长AM，BM交抛物线于C，D两点，设直线CD的斜率为k2，且k1=k2，则a=（）A．8 B．8C．16 D．16参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），利用k1=k2，可得y1+y2=（y3+y4）设AC所在直线方程为x=ty+4，代入抛物线方程，求出y1y3=﹣4a，同理y2y4=﹣4a，进而可得y1y2=﹣2a，设AB所在直线方程为x=ty+，代入抛物线方程，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则k1==，k2=，∵k1=k2，∴y1+y2=（y3+y4）．设AC所在直线方程为x=ty+4，代入抛物线方程，可得y2﹣aty﹣4a=0，∴y1y3=﹣4a，同理y2y4=﹣4a，∴y1+y2=（+），∴y1y2=﹣2a，设AB所在直线方程为x=ty+，代入抛物线方程，可得y2﹣aty﹣=0，∴y1y2=﹣，∴﹣2a=﹣，∴a=8．故选：B4. 抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，则P点的坐标是（）A．（9，6）B．（6，9）C．（±6，9）D．（9，±6）参考答案：D【考点】抛物线的定义．【分析】先求出抛物线的准线，再由P到焦点的距离等于其到准线的距离，从而可确定P的横坐标，代入抛物线方程可确定纵坐标，从而可确定答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的准线为：x=﹣1抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，∴P到x=﹣1的距离等于10设P（x，y）∴x=9代入到抛物线中得到y=±6故选D．5. 某学校为了制定节能减排的目标，调查了日用电量x（单位：千瓦时）与当天平均气温y（单位：℃），从中随机选取了4天的日用电量回归方程为，则a的值为（）A．42 B．40 C．38 D．36参考答案：A6. 已知数列的通项公式为，则当取最小值时，项数n为( )A．1 B．17 C．18 D．19参考答案：C略7. 已知命题：，，则（）(A) (B)(C) (D)参考答案：C8. 现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是( )A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样参考答案：A9. 若直线3x+y+a=0过圆x2+y 2+2x ﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B． 1 C． 3 D．﹣3参考答案：B考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：待定系数法．分析：把圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值．解答：解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故选 B．点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围．10. 等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝( )．A．26 B．29 C．212D．215参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式恒成立，则的最小值为；参考答案：略12. 某市2016年中的每个月平均气温（摄氏度）数据用如图的茎叶图表示，则这组数据的中位是．参考答案：2013. 已知直线平面，，直线，，直线，，则直线、的关系是_________________．参考答案：14. 把数列的各项按顺序排列成如下的三角形状，记表示第行的第个数，若=，则（）A.122B.123C.124D.125参考答案：B15. 如图，长方体中，，，，于相交于点．分别写出，，的坐标．参考答案：，，各点的坐标分别是，，16. 若椭圆的离心率为，则m的值等于▲ 。

上海市位育中学第二学期高二期终考试数学卷一、填空题（每题4分，共56分）1、设a <0，则a 的平方根是____________．2、若(x +1)10=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+…+a 10(x -1)10，则系数a 0=____________．3、在复平面内，复数11i +、11i-对应的点分别为A 、B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是____________．4、正四面体ABCD 的棱AD 与面ABC 所成角的大小为____________．5、从2、4中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为____________．6、棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点， 则点D 1到直线AE 的距离是____________．7、五个数1,2,5,a ,b 的均值为3，方差为2，则这五个数的中位数是____________．8、湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12cm ，深2 cm 的空穴，则该球的体积是____________cm 3． 9、2100被9除的余数为____________．10、在某次技能大赛中，有6位参赛者的成绩分别是70,76,72,70,72,90，从这6位参赛者中随机地选x 位，其中恰有1位的成绩是72的概率是815，则x 等于____________． 11、P 是半径为1的球面上任意一点，PA 、PB 、PC 是两两互相垂直的三条弦，则PA 2+PB 2+PC 2=____________．12、对任意一个非零复数z ，定义集合{|,*}n z M w w z n ==∈N ．设α是方程10x x+=的一个根，若在M a 中任取两个数，则其和为零的概率P =____________．13、已知球O l 、O 2的半径分别为l 、r ，体积分别为V 1、V 2，表面积分别为S 1、S 2，当r ∈(1,+∞)时，2121V V S S --的取值范围是____________．14、已知关于x 的方程-2x 2+bx +c =0，若b 、c ∈{0,1,2,3,4}，记“该方程有实数根x 1、x 2且满足-1≤x 1≤x 2≤2”为事件A ，则事件A 发生的概率为____________．二、选择题（每题5分，共20分）15、若z ∈C ，下列命题中，正确的命题是( )A ．||111z z <⇔-<<B ．0z z +=⇔z 是纯虚数C ．z 2=|z |2D ．20z ≥⇔z 是实数16．若l 、m 、n 为直线，α、β、γ为平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βB ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βD ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β17、“n =5”是“n (n ∈N*)的展开式中含有常数项”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件18、01122110C C C C C C C C C C n n n n n n n n n n nn n n n ---++++等于( )A ．1122C +C n n n n -+B ．22(C )n n C ．2C n nD ．212C n n -三、解答题（本大题共五题，满分74分）19、（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）(1) 复数z 的实部为8，|z |=10，求z 的值；(2) i 为虚数单位，1sin 2icos z θθ=+，2cos z θθ=+，若z 1=z 2，求θ 的值．20、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）(1) 两个相交平面M 与N ，它们的交线为l ．在l 上有3点，除这3点外在平面M 、N 上各有5点、4点，则这12点最多能确定多少个平面？(2) 某校以单循环制方法进行篮球比赛，其中有两个班级各比赛了3场后，不再参加比赛，这样一共进行了84场比赛，问：开始有多少班级参加比赛？21、（本题满分14分，第1小题5分，第2小题5分，第3小题4分）某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50,60),[60,70),…,[90,100]后画出如下部分．．频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：(1) 求出物理成绩低于50分的学生人数；(2) 估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）(3) 从物理成绩不及格的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．22、（本题满分16分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是棱AB、BC和DD1所在直线上．．．．．的动点．(1) 求 EB1F的取值范围；(2) 若N为面EB1F内的一点，且∠EBN=45︒，∠FBN=60︒，求∠B1BN的余弦值；(3) 若E、F分别是所在正方体棱的中点，试问在棱DD1上能否找到一点M，使BM⊥平面EFB1？若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由．23、（本题满分18分，第1小题8分，第2小题5分，第3小题5分）(1) 已知二项式(x+2)n展开式中最大的二项式系数为252，求展开式中系数最大的项；(2) 记(x+2)n展开式中最大的二项式系数为a n，求证：数列{a n}单调递增；(k=0,1,2,···,n)的单调性，并加以证明．(3) 给定不小于3的正整数n，试写出数列{C}kn位育中学第二学期高二期终考试数学答案一、填空题1、； 2、1024； 3、12； 4、 5、24； 6； 7、3； 8、40003π； 9、7； 10、2或4；11、4； 12、13；13、1(,)2+∞；14、1625． 二、选择题15、D16、B17、A18、C三、解答题19、（本题12分）解：(1) 设z =8+b i,(b ∈ R )，则由64+b 2=100，得b =±6，∴ z =8±6i ． 6分(2) 由z 1=z 2，得sin 2cos cos θθθθ=⎧⎪⎨⎪⎩，∴1sin 2tan θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2,()6k k πθπ=+∈Z12分20、（本题14分）解：(1) 这12个点中，除l 上的三点共线外，其余无三点共线，最多能确定1112112345454526030402132C C C C C C C +++=+++=个平面．6分(2) 设开始有n 个班参加比赛，1︒ 若这两个班级之间比赛过1场，则22584n C -+=，无解，8分2︒ 若这两个班级之间没有过比赛，则22684n C -+=，解得n =15．答：开始有15个班级参加比赛． 14分21、（本题满分14分）解：(1) 因为各组的频率和等于1，故低于50分的频率为： 11(0.01520.030.0250.005)100.1f =-⨯+++⨯=3分 所以低于50分的人数为600.16⨯=（人）5分(2) 依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组）， 频率和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯= 8分所以，抽样学生成绩的合格率是75%于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为75%10分 (3) “成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9，所以从成绩不及格的学生中选两人， 他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：26215617C P C =-=14分22、（本题满分16分） 解：(1) 设,BE x BF y ==，则11B E B F EF ===所以21cos 1EB F ∠=< ，1EB F ∠的取值范围为(0,)2π5分(2) 解：设N 在1BE BF BB 、、三边上的投影分别是111E F G 、、，则由于45,60EBN FBN ∠=︒∠=︒111cos 45,cos 60.22BE BN BN BF BN BN ∴=︒==︒= 2222111,BE BF BG BN ++=112BG BN ∴=，即160B BN ∠=，它的余弦值为1211分(3) 解：设EF 与BD 的交点为G ．连接B 1G ，则由EF ⊥BD 以及EF ⊥B 1B ，知EF ⊥平面BB 1D 1D ，于是面B 1EF ⊥面BB 1D 1D ，在面BB 1D 1D 内过B 作BK ⊥B 1G 于K ，延长后交D 1D 所在的直线于点M ，则BM ⊥平面B 1EF ．在平面BB 1D 1D 内，由△B 1BG ∽△BDM ，知B 1B BG ＝BD DM ，又B 1B ＝a ，BG ＝24a ，BD ＝2a ，∴DM ＝a2． 这说明点M 在正方体的棱D 1D 上，且恰好为D 1D 的中点． 16分23、（本题满分18分）解：(1) ∵ 4599126C C ==，510252C =，561111462C C ==，由第(2)、(3)题的结论可知：n =10，3分设(x +2)10展开式中系数最大的项是101102r rr r T C x -+=⋅(r =0,1,2,…,10)，则由1110101110102222r r r r r r r r C C C C --++⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，（其中r =1,2,…,9），即1110!210!2!(10)!(1)!(11)!10!210!2!(10)!(1)!(9)!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅⋅≥⎪⋅--⋅-⎪⎨⋅⋅⎪≥⎪⋅-+⋅-⎩， 5分得223193r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，（r =1,2,…,9），∴ r =7， 7分展开式中系数最大的项是7373810215360T C x x =⋅=．8分(2) 若n 为奇数，则n +1为偶数，1122n n n nna C C-+==，1211n n n a C+++=，∴ 11122211n n n n n nnn a CCCa +-+++==+>10分若n 为偶数，则n +1为奇数，2n n na C =，122111n n n n n a C C++++==，∴ 122211n n n n n nnn a CCC a -++==+>12分 综上可知：数列{a n }单调递增．13分 (3) 数列{C }k n (k =0,1,2,···,n )离首末两端等距离的项相等，且距离越远值越大． 15分证明如下：1!!!C C (12)(1)!(1)!!()!(1)!()!k k n n n n n n k k n k k n k k n k +-=-=--+⋅--⋅-+-当12n k -<时，1C C k k n n +<，当12n k ->时，1C C k k n n +>，其中k =0,1,2,…,n -1． 若n 为奇数，3101222C C C CCn n nnnn n --<<<<<，13122C>C>C C n n n nnnn n ++->>， 若n 为偶数，201222C C C C C n n nnnnn-<<<<<，2122C >C>C C n n n nnnn n+->>， 18分。

2021-2022学年上海市徐汇中学高二（上）第一次月考数学试卷（9月份）一、填空题（共12小题）.1．两条直线没有公共点是这两条直线为异面直线的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”）2．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有条．3．从同一点出发的四条直线最多能确定个平面．4．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是．5．已知∠AOB＝120°，直线a∥OA，直线b∥OB，且a与b为异面直线，则a与b所成角的大小是．6．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为．7．如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是cm．8．异面直线a、b成80°角，点P是a、b外的一个定点，若过P点有且仅有2条直线与a、b所成的角相等且等于θ，则θ的范围为．9．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC＝．10．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在截面A1DB上，则线段AP的最小值等于．11．如图，正三角形P1P2P3，点A、B、C分别为边P3P1、P2P3、P1P2的中点，将三角形沿AB、BC、CA折起，使P1，P2，P3三点重合为点P，则折起后P1A与平面ABC所成的角为．12．如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是．二.选择题13．若a、b表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）A．若a⊥α，a⊥b，则b∥αB．若a∥α，a⊥b，则b⊥αC．若a⊥α，b⊆α，则a⊥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b14．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交15．过平面α外一点A引线段AB，AC以及垂段AO，若AB与α所成角是30°，AO＝6，AC⊥BC，则线段BC长的范围是（）A．（0，6）B．（6，+∞）C．（0，6）D．（6，+∞）16．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．三、解答题17．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设AB＝2，AD＝4，求B到平面PAC的距离．18．如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2A1＝，BB1＝2，点E分别是BC的中点．（1）求证：AE⊥平面BCB1；（2）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．19．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（1）作出平面A1BE与平面ABCD的交线，保留作图痕迹；（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使得B1F∥平面A1BE，若存在，说明点F的位置，若不存在，请说明理由．参考答案一.填空题1．两条直线没有公共点是这两条直线为异面直线的必要不充分条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”）【分析】利用两条直线的公共点的个数与位置关系即可得出．解：两条直线没有公共点⇒这两条直线为异面直线或平行直线，∴两条直线没有公共点是这两条直线为异面直线的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．2．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有5条．【分析】由两条平行直线、两条相交直线确定一个平面逐一分析长方体的棱得答案．解：如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有：BC、DC、BB1、AA1、D1C1共5条．故答案为：5．3．从同一点出发的四条直线最多能确定6个平面．【分析】利用平面的基本性质及推论直接求解．解：同一点出发的四条直线最多能确定平面个数：n＝＝6．故答案为：6．4．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．【分析】O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．如图所示，由AC∥BD，可得AC 与BD确定一个平面β，于是又已知可得α∩β＝CD，再证明O∈直线CD即可．解：O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．证明如下：如图所示，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面β，∵A∈β，B∈β，A∈l，B∈l，∴l⊂β，∵l∩α＝O，∴O∈α，O∈β，∴O＝α∩β．∵C，D∈α，∴α∩β＝CD，∴O∈直线CD．∴O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．故答案为在同一条直线上．5．已知∠AOB＝120°，直线a∥OA，直线b∥OB，且a与b为异面直线，则a与b所成角的大小是60°．【分析】利用异面直线所成角是定义，写出结果即可．解：∠AOB＝120°，直线a∥OA，直线b∥OB，且a与b为异面直线，则a与b所成角的大小是：60°．故答案为：60°．6．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为平行四边形．【分析】根据平面ABFE∥平面DCGH和面面平行的限制定理得EF∥GH，再由FG∥EH得四边形EFGH为平行四边形．解：∵平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，∴EF∥GH．同理，FG∥EH，∴四边形EFGH为平行四边形．故答案为：平行四边形．7．如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是8cm．【分析】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来一半．由于y'轴上的线段长度为，故在平面图中，其长度为2，且其在平面图中的y轴上，由此可以求得原图形的周长．解：由斜二测画法的规则知与x'轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：8cm．故答案为：8．8．异面直线a、b成80°角，点P是a、b外的一个定点，若过P点有且仅有2条直线与a、b所成的角相等且等于θ，则θ的范围为（40°，50°）．【分析】先将异面直线a，b平移到点P，求出∠BPE的角平分线和∠EPD的角平分线与a和b的所成角，再由运动思想分析得答案．解：先将异面直线a，b平移到点P，则∠BPE＝80°，∠EPD＝100°，而∠BPE的角平分线与a和b的所成角为40°，∠EPD的角平分线与a和b的所成角为50°，当θ满足40°＜θ＜50°时，直线与a，b所成的角相等且等于θ有且只有2条，当θ＝40°时只有1条，当θ＜40°时不存在，当θ＝50°时有3条，当50°＜θ＜90°时有4条，当θ＝90°时有1条．故答案为：（40°，50°）．9．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC＝．【分析】根据题意，将几何体复原，可以看出△ABC，判断形状，求得结果．解：几何体复原如图：则△ABC是正三角形，所以∠ABC＝故答案为：10．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在截面A1DB上，则线段AP的最小值等于．【分析】由已知可得AC1⊥平面A1DB，可得P为AC1与截面A1DB的垂足时线段AP最小，然后利用等积法求解．解：如图，连接AC1交截面A1DB于P，由CC1⊥底面，可得CC1⊥BD，又AC⊥BD，可得BD⊥平面ACC1，则AC1⊥BD．同理可得AC1⊥A1B，得到AC1⊥平面A1DB，此时线段AP最小．由棱长为1，可得等边三角形A1DB的边长为．，∵，∴，解得AP＝．故答案为：11．如图，正三角形P1P2P3，点A、B、C分别为边P3P1、P2P3、P1P2的中点，将三角形沿AB、BC、CA折起，使P1，P2，P3三点重合为点P，则折起后P1A与平面ABC所成的角为arccos．【分析】由题意得到，折起的三棱锥P﹣ABC为正四面体，设正四面体的棱长为2，设点到P在底面的射影为O，连接AO，PO，由线面角的定义可知，∠PAO即为所求的角，在三角形中，由边角关系求解即可．解：如图，折起的三棱锥P﹣ABC为正四面体，设正四面体的棱长为2，设点到P在底面的射影为O，连接AO，PO，则OP⊥平面ABC，所以∠PAO即为折起后P1A与平面ABC所成的角，在正三角形ABC中，AO＝，在Rt△PAO中，cos∠PAO＝＝，则∠PAO＝arccos所以折起后P1A与平面ABC所成的角为arccos．故答案为：arccos．12．如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是36．【分析】先考虑6个表面，每一个表面有四条棱与之垂直；再考虑6个对角面，每个对角面又有两条面对角线与之垂直．解：正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；故答案为36．二.选择题13．若a、b表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）A．若a⊥α，a⊥b，则b∥αB．若a∥α，a⊥b，则b⊥αC．若a⊥α，b⊆α，则a⊥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．解：选项A中，由a⊥α，a⊥b，则b可能在平面α内，故该命题为假命题；选项B中，由a∥α，a⊥b，则b⊥α或b∥α，故该命题为假命题；选项C中，由线面垂直的判定定理可知，该命题为真命题；选项D中，由a∥α，b∥α可得到a，b相交或平行，故该命题是假命题，故选：C．14．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【分析】可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可推出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确．解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选：D．15．过平面α外一点A引线段AB，AC以及垂段AO，若AB与α所成角是30°，AO＝6，AC⊥BC，则线段BC长的范围是（）A．（0，6）B．（6，+∞）C．（0，6）D．（6，+∞）【分析】由已知画出图形，可得△OCB是以OB为斜边的直角三角形，求出OB的距离，则线段BC长的范围可求．解：如图，AO⊥α，则AO⊥BC，又AC⊥BC，∴BC⊥平面AOC，则BC⊥OC，在Rt△AOB中，由已知可得OB＝，则在平面α中，要使△OCB是以OB为斜边的直角三角形，则BC∈（0，6）．故选：C．16．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABA1B1＝n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1＝60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．三、解答题17．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设AB＝2，AD＝4，求B到平面PAC的距离．【分析】（1）连接BD交AC于点F，连接EF，证明PB∥EF，然后证明PB∥平面AEC；（2）利用已知条件证明平面PAC⊥平面ABCD，然后利用等面积法求B到平面PAC的距离．【解答】（1）证明：连接BD交AC于点F，连接EF，在三角形BDP中，点E是PD的中点，点F是BD的中点，即线段EF是△BDP的中位线，∴PB∥EF，又∵PB⊄平面AEC，EF⊂平面AEC，∴PB∥平面AEC；（2）解：∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD，又平面PAC∩平面ABCD＝AC，在平面ABCD内，过B作BH⊥AC，则BH⊥平面PAC，即BH为B到平面PAC的距离，在Rt△ABC中，由AB＝2，AD＝4，得AC＝，由等面积法可得，B到平面PAC的距离为．18．如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2A1＝，BB1＝2，点E分别是BC的中点．（1）求证：AE⊥平面BCB1；（2）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．【分析】（1）推导出AE⊥BB1，AE⊥BC，由此能证明AE⊥平面BCB1；（2）以E为原点，EC为x轴，EA为y轴，过E作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．解：（1）证明：∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，∵AE⊂平面ABC，∴AE⊥BB1，∵AB＝AC＝3，点E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，∵BC∩BB1＝B，∴AE⊥平面BCB1；（2）以E为原点，EC为x轴，EA为y轴，过E作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，2，），B1（﹣，0，2），＝（﹣，﹣2，），平面BCB1的法向量＝（0，1，0），设直线A1B1与平面BCB1所成角为θ，则sinθ＝＝＝，∴直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°．19．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（1）作出平面A1BE与平面ABCD的交线，保留作图痕迹；（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使得B1F∥平面A1BE，若存在，说明点F的位置，若不存在，请说明理由．【分析】（1）延长A1E与D交于点P，连接BP即为所求；（2）存在，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，通过证明EG//A1B 可得四点共面，根据正方体的性质得到B1F∥BG，根据线面平行的判定定理即可得到结论．解：（1）延长AE与D交于点P，连接BP，由于A1E∩AP＝P，∴P∈A1E，P∈A1BE，又∵P∈ABCD，∴P为面A1BE和面ABCD的公共点，同时B也为面A1BE和面ABCD的公共点，根据公理3可得BP为平面A1BE和平面ABCD的交线．解：（2）存在，当F为C1D1的中点时，满足题意，理由如下，如图所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因为A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E共面，所以BG⊂平面A1BE，由正方体的性质易知B1F∥G，而BF⊄平面ABE，故B1F∥平面A1BE．。

高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．椭圆x2+4y2=100的长轴长为______．2．已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为______．3．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是______．4．行列式中﹣3的代数余子式的值为______．5．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM 所在直线的方程为______．6．已知直线l1的方程为3x﹣y+1=0，直线l2的方程为2x+y﹣3=0，则两直线l1与l2的夹角是______．7．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是______．8．执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是______．9．若圆C的方程为x2+y2﹣2ax﹣1=0，且A（﹣1，2），B（2，1）两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是______．10．若，且存在，则实数a的取值范围是______．11．已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，﹣1）且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且，则点M的轨迹方程为______．12．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是______．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.13．点（a ，b ）关于直线x +y=1的对称点的坐标是（ ）A ．（1﹣b ，1﹣a ）B ．（1﹣a ，1﹣b ）C ．（﹣a ，﹣b ）D ．（﹣b ，﹣a ） 14．若位于x 轴上方、且到点A （﹣2，0）和B （2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C ，点P 的坐标为（a ，b ），则“”是“点P 在曲线C 上”的（ ） A ．.充分不必要条件 B ．.必要不充分条件C ．.充要条件D ．既非充分又非必要条件15．在圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y=15内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则|AC |•|BD |的值为（ ）A ．B ．C ．D ．16．对数列{a n }，{b n }，若对任意的正整数n ，都有[a n +1，b n +1]⊊[a n ，b n ]且，则称[a 1，b 1]，[a 2，b 2]，…为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ） A ． B ．C ．D ．三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17．已知两直线l 1：x +（m +1）y +m ﹣2=0，l 2：mx +2y +8=0．（1）当m 为何值时，直线l 1与l 2垂直；（2）当m为何值时，直线l1与l2平行．18．在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），圆E 是△ABC的外接圆．（1）求圆E的方程；（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程．19．已知是不平行的两个向量，k是实数，且．（1）用表示；（2）若，记，求f（k）及其最小值．20．在数列{a n}中，，且对任意n∈N*，都有．（1）计算a2，a3，a4，由此推测{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，求无穷数列{b n}的各项之和与最大项．21．已知点P是曲线上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程；（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围；（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．椭圆x2+4y2=100的长轴长为20．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的简单性质求解．【解答】解：椭圆x2+4y2=100化为标准形式，得：=1，∴a=10，b=5，∴椭圆x2+4y2=100的长轴长为2a=20．故答案为：20．2．已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ=﹣，即可得出．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ=﹣，∴θ=．故答案为：．3．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组．【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得．【解答】解：由题意，方程组解之得故答案为4．行列式中﹣3的代数余子式的值为﹣5．【考点】三阶矩阵．【分析】写出行列式的﹣3的代数余子式，再计算，即可得到结论．【解答】解：由题意，行列式中﹣3的代数余子式为﹣=﹣（3+2）=﹣5故答案为：﹣55．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM 所在直线的方程为3x﹣2y+2=0．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】由AC的中点M（2，4），利用两点式方程能求出AC边上的中线所在的直线方程．【解答】解：∵AC的中点M（2，4），∴AC边上的中线BM所在的直线方程为：=，整理，得3x﹣2y+2=0，故答案为：3x﹣2y+2=0．6．已知直线l1的方程为3x﹣y+1=0，直线l2的方程为2x+y﹣3=0，则两直线l1与l2的夹角是．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】设直线l1与l2的夹角的大小为θ，求出直线的斜率，则由题意可得tanθ=||=1，由此求得θ的值．【解答】解：设直线l1与l2的夹角的大小为θ，则θ∈[0，π），由题意可得直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为﹣2，tanθ=||=1，解得θ=，故答案为：．7．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是2k．【考点】数学归纳法．【分析】观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k．故答案为2k．8．执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知中p输入6，可得：进入循环的条件为n＜6，即n=1，2，…，5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当n=1时，S=0+2﹣1=；当n=2时，S=+2﹣2=；当n=3时，S=+2﹣3=；当n=4时，S=+2﹣4=；当n=5时，S=+2﹣5=；当n=6时，退出循环，则输出的S为：．故答案为：．9．若圆C的方程为x2+y2﹣2ax﹣1=0，且A（﹣1，2），B（2，1）两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据A，B与圆的位置关系讨论列出不等式解出a．【解答】解：（1）若A在圆内部，B在圆外部，则，解得a＜﹣2．（2）若B在圆内部，A在圆外部，则，解得a＞1．综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．故答案为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．10．若，且存在，则实数a的取值范围是﹣1≤a ＜2．【考点】极限及其运算．【分析】根据得出﹣1＜＜1，再根据存在得出﹣1＜≤1，由此求出实数a的取值范围．【解答】解：∵，∴=，∴﹣1＜＜1，解得﹣4＜a＜2；又存在，∴﹣1＜≤1，解得﹣1≤a＜3；综上，实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．故答案为：﹣1≤a＜2．11．已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，﹣1）且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且，则点M的轨迹方程为9x+6y+1=0．【考点】轨迹方程；向量数乘的运算及其几何意义．【分析】先设M（x，y），可讨论l1是否存在斜率：（1）不存在斜率时，可求出A（1，0），B（0，﹣1），从而由可以求出x=，即点M（），（2）存在斜率时，可设斜率为k，从而可以分别写出直线l1，l2的方程，从而可以求出，这样根据便可用k分别表示出x，y，这样消去k便可得出关于x，y的方程，并验证点是否满足该方程，从而便得出点M的轨迹方程．【解答】解：设M（x，y），（1）若l1不存在斜率，则：l1垂直x轴，l2垂直y轴；∴A（1，0），B（0，﹣1）；∴由得，（x﹣1，y）=2（﹣x，﹣1﹣y）；∴；∴；即；（2）若l1斜率为k，l2斜率为，则：l1：y﹣4=k（x﹣1），令y=0，x=；∴；l2：，令x=0，y=；∴；∴由得，；∴；∴消去k并整理得：9x+6y+1=0；点满足方程9x+6y+1=0；综（1）（2）知，点M的轨迹方程为9x+6y+1=0．故答案为：9x+6y+1=0．12．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是[﹣20，4]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先建立平面直角坐标系：以C为原点，平行于AB的直线为x轴，这样便可建立坐标系，然后便可根据条件确定出A，B点的坐标，并根据题意设P（3cosθ，3sinθ），从而可求出的坐标，进行数量积的坐标运算便得出，这样根据﹣1≤cosθ≤1便可求出的取值范围．【解答】解：如图，以C为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴，垂直于AB的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则：；点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点；∴设P（3cosθ，3sinθ）；∴；∴；∵﹣1≤cosθ≤1；∴﹣20≤﹣12cosθ﹣8≤4；∴的取值范围为[﹣20，4]．故答案为：[﹣20，4]．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.13．点（a，b）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（）A．（1﹣b，1﹣a）B．（1﹣a，1﹣b）C．（﹣a，﹣b）D．（﹣b，﹣a）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设出对称点的坐标列出方程组求解即可．【解答】解：点（a，b）关于直线x+y=1对称的点为（x，y），则，解得：，故选：A．14．若位于x轴上方、且到点A（﹣2，0）和B（2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C，点P的坐标为（a，b），则“”是“点P在曲线C上”的（）A．.充分不必要条件B．.必要不充分条件C．.充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意可得：（a+2）2+b2+（a﹣2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b＞0）．即可判断出结论．【解答】解：由题意可得：（a+2）2+b2+（a﹣2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b＞0）．∴“点P在曲线C上”⇒“”，反之也成立．∴“”是“点P在曲线C上”的充要条件．故选：C．15．在圆x2+y2﹣2x﹣6y=15内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则|AC|•|BD|的值为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，即可求出AC与BD的乘积．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=25，则圆心坐标为（1，3），半径为5，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=10，MB=5，ME=，所以BD=2BE=2=4，所以|AC|•|BD|=10•4=40．故选：C．16．对数列{a n }，{b n }，若对任意的正整数n ，都有[a n +1，b n +1]⊊[a n ，b n ]且，则称[a 1，b 1]，[a 2，b 2]，…为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ） A ． B ．C ．D ．【考点】数列的极限．【分析】对于A ，运用数列的极限，即可判断；对于B ，运用n=1时，两区间的关系，即可判断；对于C ，运用n=1时，判断两区间的关系，即可得到结论；对于D ，运用指数函数的单调性和数列的极限的公式，计算即可得到结论．【解答】解：对于A ，（b n ﹣a n ）=﹣=2﹣1=1≠0，故不构成区间套；对于B ，当n=1时，[a 1，b 1]=[，]，[a 2，b 2]=[，]，显然不满足[a 2，b 2]⊊[a 1，b 1]，故不构成区间套；对于C ，当n=1时，[a 1，b 1]=[，]，[a 2，b 2]=[，]，显然不满足[a 2，b 2]⊊[a 1，b 1]，故不构成区间套对于D ，由1﹣（）n ＜1﹣（）n +1＜1+（）n +1＜1+（）n ，满足[a n +1，b n +1]⊊[a n ，b n ]；又（b n ﹣a n ） =[1﹣（）n ]﹣[1+（）n ]=1﹣1=0，故构成区间套． 故选：D ．三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17．已知两直线l 1：x +（m +1）y +m ﹣2=0，l 2：mx +2y +8=0．（1）当m 为何值时，直线l 1与l 2垂直；（2）当m 为何值时，直线l 1与l 2平行．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）利用两直线垂直的充要条是 A 1A 2+B 1B 2=0，可得 1×m +（1+m ）•2=0，由此求得解得m 的值．（2）由两直线平行的充要条件是=≠，由此求得解得m 的值．【解答】解：（1）∵两条直线l 1：x +（1+m ）y +m ﹣2=0，l 2：mx +2y +8=0，由两直线垂直的充要条件可得 A 1A 2+B 1B 2=0，即1×m+（1+m）•2=0，解得m=﹣．（2）由两直线平行的充要条件可得=≠，即=≠，解得：m=1．18．在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），圆E 是△ABC的外接圆．（1）求圆E的方程；（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出圆心坐标和半径即可得到结论．（2）根据直线和圆相切的性质，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）∵在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），∴AB是直径，则AB的中点（﹣1，0），即圆心E（﹣1，0），半径R=|BE|====5，则圆E的方程为（x+1）2+y2=25．（2）∵（4+1）2+102=125＞25，∴点M在圆外，当切线斜率不存在时，此时切线方程为x=4，到圆心的距离d=4﹣（﹣1）=5．此时满足直线和圆相切，当直线斜率存在时，设为k，则切线方程为y﹣10=k（x﹣4），即kx﹣y+10﹣4k=0，则圆心到直线的距离d===5，即|2﹣k|=，平方得4﹣4k+k2=1+k2，即4k=3，则k=，此时切线方程为3x﹣4y+28=0，综上求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程为3x﹣4y+28=0或x=4．19．已知是不平行的两个向量，k是实数，且．（1）用表示；（2）若，记，求f（k）及其最小值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）==k+=k（）+，（2）利用（1）的结论，对取平方，转化为二次函数求最值．【解答】解：（1）==k+=k（）+=（1﹣k）+k．（2）=2×=﹣1．∴||2=[（1﹣k）+k]2=4（1﹣k）2+k2﹣2k（1﹣k）=7k2﹣10k+4=7（k﹣）2+．∴f（k）=．f（k）的最小值为=．20．在数列{a n}中，，且对任意n∈N*，都有．（1）计算a2，a3，a4，由此推测{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，求无穷数列{b n}的各项之和与最大项．【考点】数学归纳法；数列的函数特性．【分析】（1）由，且对任意n∈N*，都有．可得a2==，a3=，a4=．由此推测{a n}的通项公式，a n=．再利用数学归纳法证明即可得出．（2），可得b n=+9，利用等比数列的前n项和公式可得：无穷数列{b n}的各项之和T n．【解答】解：（1）∵，且对任意n∈N*，都有．∴a2==，a3==，a4==．由此推测{a n}的通项公式，a n=．下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1==成立；②假设当n=k∈N*时，a k=．===，则n=k+1时，a k+1因此当n=k+1时也成立，综上：∀n∈N*，a n=成立．（2），∴b n=（﹣2）n=+9，∴无穷数列{b n}的各项之和T n=+=﹣=+﹣．当n=2k（k∈N*）时，T n=+﹣，T n单调递减，因此当n=2时，取得最大值T2=．当n=2k﹣1（k∈N*）时，T n=×﹣﹣，T n单调递增，且T n＜0．综上可得：T n的最大项为T2=．21．已知点P是曲线上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程；（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围；（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）设Q（x，y），P（x′，y′），由=2，可得（x，y）=﹣2（x′，y′），可得，代入曲线C1的方程可得曲线C2的方程．（2）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．利用数量积运算性质可得：=﹣6﹣，利用二次函数与三角函数的值域即可得出．（3）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．设经过点P的直线方程为：y﹣sinθ=k （x﹣2cosθ），M（x1，y1），N（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2﹣8k（sinθ﹣2kcosθ）x+4（sinθ﹣2kcosθ）2﹣16=0，可得|MN|=，点Q到直=d|MN|，通过三角函数代换，利用二次函数的单调性即可得线l的距离d．可得S△QMN出．【解答】解：（1）设Q（x，y），P（x′，y′），∵=2，∴（x，y）=﹣2（x′，y′），可得，代入+（y′）2=1，可得+=1，∴曲线C2的方程为+=1．（2）F1（﹣，0），F2（，0）．设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．则=（2cosθ+，sinθ）•（﹣4cosθ﹣，﹣2sinθ）=（2cosθ+）（﹣4cosθ﹣）+sinθ（﹣2sinθ）=﹣6﹣，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴∈．（3）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．设经过点P的直线方程为：y﹣sinθ=k（x﹣2cosθ），M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为：（1+4k2）x2﹣8k（sinθ﹣2kcosθ）x+4（sinθ﹣2kcosθ）2﹣16=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴|MN|==，点Q到直线l的距离d==．=d|MN|=6|sinθ﹣2kcosθ|．∴S△QMN令|sinθ﹣2kcosθ|=|sinα|，=6|sinα|，令|sinα|=t∈[﹣1，1]，则S△QMN=6t=f（t），令|sinα|=t∈[﹣1，1]，∴S△QMN则f2（t）=﹣36t4+144t2=﹣36（t2﹣2）2+144，当且仅当t2=1时，f（t）取得最大值6．。

2022-2023学年上海市徐汇区高二上册期末数学质量检测试题一、填空题1．三条互相平行的直线最多可确定____个平面．【正确答案】3【分析】讨论三条直线的位置关系即可得到答案.【详解】解：若三条直线在同一个平面内，则此时三条直线只能确定一个平面，若三条直线不在同一个平面内，则此时三条直线能确定三个平面，所以三条互相平行的直线最多可确定3个平面.故3.2．过点()1,2A 且与直线2310x y -+=平行的直线方程为______．（用一般式表示）【正确答案】2340x y -+=【分析】根据平行关系可设直线方程为230x y D -+=，将点()1,2A 代入求得D ，即得.【详解】设与直线2310x y -+=平行的直线为230x y D -+=,又()1,2A 在直线230x y D -+=上,所以2320D -⨯+=，即4D =，所以所求直线方程为2340x y -+=.故答案为.2340x y -+=3．古希腊数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆221273x y +=，则该椭圆的面积为______．【正确答案】9π【分析】根据椭圆方程求出a 、b ，依题意椭圆的面积πS ab =，从而计算可得.【详解】对于椭圆221273x y +=，则a =、b =所以椭圆的面积π9πS ab ==；故9π4．若直线2y x m =+是圆2220x y x y ++-=的一条对称轴，则m =______．【正确答案】2【分析】根据圆的方程求得圆心坐标，代入直线方程，即可求解.【详解】由题意，圆2220x y x y ++-=，可得圆心坐标为1(,1)2-，把圆心1(,1)2-代入直线2y x m =+，可得112()2m =⨯-+，解得2m =.故答案为.25．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的体积为16π，则球的表面积为______．【正确答案】16π【分析】设球的半径为r ,根据圆柱的体积可求得r ，利用球的表面积公式即可求得答案.【详解】设球的半径为r ,则圆柱的底面直径和高皆为2r ，故圆柱的体积为2π216π,2r r r ⨯=∴=，故球的表面积为24π16πr =，故16π6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，设11AA =，2AB =，3AD =，则11CC BD -=______．【分析】根据长方体的结构特征，结合空间向量减法的几何意义及已知条件，求目标向量的模即可.【详解】由111111CC BD BB BD D B DB -=-====7．一条沿直线传播的光线经过点()2,6P -和()1,4Q -，然后被直线10x y +-=反射，则反射光线所在直线方程为______（用一般式表示）【正确答案】210x y +-=【分析】根据题意，先得到PQ 所在直线方程，然后联立两直线方程得到入射点M 坐标，再求得点()1,4Q -关于直线10x y +-=的对称点N 的坐标，即可得到反射光线MN 的直线方程.【详解】由题意可得PQ 所在直线方程为:()644121y x --=+-+，即220x y +-=，联立直线方程22010x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得入射点()1,0M ，设点()1,4Q -关于直线10x y +-=的对称点为(),N x y 则()4111141022y x x y -⎧⨯-=-⎪⎪+⎨-++⎪+-=⎪⎩，解得32x y =-⎧⎨=⎩，所以()3,2N -，即反射光线MN 方程为:()2131y x =---，即210x y +-=故答案为:210x y +-=8．直线10x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是______．【正确答案】15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】首先由直线方程求得,A B 坐标，得到AB ；利用点到直线距离公式求得圆心到直线AB 的距离1d ，从而得到点P 到直线距离2d 的范围，利用三角形面积公式可求得结果.【详解】由题意得：()1,0A -，()0,1B-AB ∴=由圆()2222x y -+=知：圆心()2,0，半径r =∴圆心到直线10x y ++=距离12d ==P ∴到直线10x y ++=距离[]211,d d r d r ∈-+，即222d ∈⎣⎦2115,222ABP S AB d ⎡⎤∴=⋅∈⎢⎥⎣⎦故15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是__________．【正确答案】11b -<≤或b =【分析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.【详解】由曲线x =221(0)x y x +=≥，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，y x b =+是倾斜角为4π的直线与曲线x =（1）直线与半圆相切，根据d r =，所以1d =，结合图像可得b =；（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知11b -<≤.故11b -<≤或b =.方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果x 或y 有限制，需要数形结合进行分析.10．一动圆与圆2240x y x ++=外切，同时与圆224600x y x +--=内切，则动圆圆心的轨迹方程为______．【正确答案】2212521x y +=【分析】根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再根据椭圆的定义即得.【详解】圆2240x y x ++=，即()2224x y ++=，圆心为(2,0)A -，1=2r ，圆224600x y x +--=，即()22264x y -+=，圆心为(2,0)B ，28r =，设动圆的圆心为P ，半径为r ，由题意得||2PA r =+，||8PB r =-，则104PA PB AB +=>=，所以动圆的圆心为P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，可设方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则210a =，2c =，所以5a =，221b =，所以动圆圆心的轨迹方程为2212521x y +=.故答案为.2212521x y +=11．已知圆柱底面半径为2，一个与底面成45°角的平面截这个圆柱，则截面上的椭圆离心率为______．【正确答案】2【分析】由题意作出图像，结合图像和椭圆的性质，求得,,a b c 的值，利用离心率的定义，即可求解.【详解】如图所示，圆柱的底面直径为4，所以椭圆的短轴长24b CD ==，即2b =，又因为椭圆所在的平面与圆柱底面所成的角为45 ，所以4c s4542oAB a == ，解得a ==2c ，所以椭圆的离心率为2c e a ==.故212．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 作平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．【正确答案】2【详解】连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D 是等边三角形，则当N 为11B D 中点时，NA 62二、单选题13．下列说法正确的是（）A ．直线的倾斜角越大，它的斜率越大；B ．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；C ．任何一条直线都有唯一的斜率；D ．任何一条直线都有唯一的倾斜角．【正确答案】D【分析】根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可.【详解】对于A :直线的倾斜角2ππ,,33αβαβ==>,1212tan 0,tan 0,k k k k αβ=<=><,所以A 错误；对于B :两直线的倾斜角相等为π2,斜率不存在,所以B 错误；对于C :当直线的倾斜角为π2时直线斜率不存在，所以C 错误；对于D :任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以D 正确.故选.D14．已知平面αβγ、、两两垂直，直线a b c 、、满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【正确答案】B【分析】通过假设//a b ，可得,a b 平行于,αβ的交线，由此可得c 与交线相交或异面，由此不可能存在////a b c ，可得正确结果.【详解】设l αβ= ，且l 与,a b 均不重合假设：////a b c ，由//a b 可得：//a β，//b α又l αβ= ，可知//a l ，//b l又////a b c ，可得：//c l因为,,αβγ两两互相垂直，可知l 与γ相交，即l 与c 相交或异面若l 与a 或b 重合，同理可得l 与c 相交或异面可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行本题正确选项：B本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.1512=，化简的结果是（）A ．221364x y +=B ．2213632x y +=C ．2213616x y +=D ．2213616y x +=【正确答案】B 【分析】由条件利用椭圆的定义、标准方程，即得.12=，可得点(),M x y 到定点()12,0F ，()22,0F -的距离之和等于12，即1212124MF MF F F +=>=，所以动点(),M x y 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则212a =，2c =，所以6a =，b =故方程为2213632x y +=.故选：B.16．对于圆()()()2220x a y b r r -+-=>上任意一点(),P x y ，当m n ≠时，22x y m x y n -++-+的值与x ，y 无关，有下列结论：①点(),a b 的轨迹是一个圆；②点(),a b 的轨迹是一条直线；③当4m n -=时，r ；④当r =，1m =时，[)11,n ∈+∞．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】A【分析】由d =，将已知条件看作(,)P x y 到直线20x y m -+=、20x y n -+=且已知圆在平行线20x y m -+=、20x y n -+=2r ≥，再结合各项描述分析正误.【详解】令d =，可看作(,)P x y 到直线20x y m -+=、20x y n -+=由()22x y m x y n m n -++-+≠的值与,x y 无关，所以距离之和与P 在圆上的位置无关，故已知圆在平行线20x y m -+=、20x y n -+=之间，2r ≥，2r =时，(),a b 的轨迹是平行于20x y m -+=、20x y n -+=直线，①错误；2r >时,(),a b 的轨迹不是直线,②错误③4m n -=时，5r ≤=，正确；④1r m ==时r =≤，则|1|10n -≥，故][(),911,n ∈-∞-⋃+∞，④错误.所以正确的有③.故选：A三、解答题17．已知()1,3A ，()5,7B (1)求线段AB 垂直平分线所在直线方程(2)若直线l 过()1,0-，且A 、B 到直线l 距离相等，求l 方程【正确答案】(1)80x y +-=；(2)10x y -+=或5450x y -+=.【分析】（1）由题可得AB 的中点坐标，再根据互相垂直的直线斜率之间的关系及点斜式方程即得；（2）根据点到直线距离公式结合条件即得.【详解】（1）因为点()1,3A ，()5,7B ．所以线段AB 的中点坐标为()3,5，直线AB 的斜率为73151-=-，因此直线AB 的中垂线的斜率为1-，因此线段AB 的垂直平分线所在直线方程为()53y x -=--，即80x y +-=；（2）因为直线l 过点()1,0-，()1,3A ，()5,7B ，当直线l 的斜率不存在时，显然不合题意，设直线l 的方程为()1y k x =+，即0kx y k -+=，=1k =或54k =，所以直线l 的方程为10x y -+=或5450x y -+=.18．已知()1,0A -，()10B ,，C BC =．(1)求点C 的轨迹方程；(2)设直线l 经过点()2,2-，且l 与点C 的轨迹相交所得弦长为，求直线l 的方程；【正确答案】(1)()223+8x y +=(2)34140x y -+=或20x +=【分析】(1)根据两点间距离公式应用已知条件化简即可得轨迹方程;(2)设直线方程,把半径,弦长和圆心到直线距离转化为关于k 的方程求解即可.【详解】（1）设(),C x y 因为()1,0A -，()10B ,BC =化简得()()22222121x y x y ++=-+,即得22+610x y x ++=点C 的轨迹方程为()223+8x y +=（2）因为点C 的轨迹方程为()223+8x y +=,圆心为()3,0C -,半径r =设l 的方程为()22y k x -=+或2x =-又因为l 与点C 的轨迹相交所得弦长为所以圆心()3,0C -到直线l 的距离1d =1d =,即得22441k k k -+=+解得34k =,且2x =-符合题意.l 的方程为()3224y x -=+或2x =-所以l 的方程为34140x y -+=或20x +=19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．(1)求：异面直线1BC 与AE 所成角的大小；(2)求：直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．【正确答案】(1)arccos10；(2)23.【分析】（1）利用坐标法，求出1BC 和AE 的坐标，由空间向量夹角公式即可求解；（2）求出平面1AD E 的法向量和1AA 的坐标，由空间向量夹角公式即得.【详解】（1）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体棱长为2，则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()12,2,2C ，()12,0,2D ，()0,2,1E ，所以()12,0,2BC = ，()0,2,1AE = ，所以111,10o c s BC AEBC AEBC AE⋅=，所以直线1BC与1D E所成的角为arccos10；（2）由题可知()0,0,0A、()10,0,2A、()12,0,2D、()0,2,1E，所以()12,0,2AD=，()0,2,1AE=，()10,0,2AA=，设平面1AD E的法向量为(),,n x y z=，由122020n AD x zn AE y z⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y=，则()2,1,2n=-，设直线1AA与平面1AD E所成角为α，则sinα11142cos,323n AAn AAn AA⋅===-=⨯⋅，因此直线1AA与平面1AD E所成角的正弦值为23.20．已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的长轴长为8，O是坐标原点，1F，2F分别为椭圆C的左、右焦点，点(),2M x在椭圆C上，且12MF F△的面积为4．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线():0,0l y kx m k m=+>>与椭圆C交于E，F两点，且直线OE，OF的斜率之和为2k-．①求直线l经过的定点的坐标；②求OEF的面积的最大值．【正确答案】(1)2211612x y+=(2)①(0,;②【分析】（1）根据长轴长为8可求出a，再根据12MF F△的面积公式可求出c，进而确定椭圆的方程；（2）①设出直线方程与椭圆进行联立，标准设而不求的步骤后，将韦达定理代入斜率和为2-的表达式中可得定点；②将①中求出的参数代入韦达定理，表示出OEF的面积，求此表达式的最大值即可.【详解】（1）由题意可知121228,2MF MF a F F c +===，所以有121211222422MF F M S F F y c c =⨯=⨯⨯== ，所以2c =，因为22212b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）①设()()1122,,,E x y F x y ，联立22,1,1612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理，得()2223484480k x kmx m +++-=，所以()()2222Δ644344480k m k m =-+->，可得221216m k <+，21212228448,3434km m x x x x k k -+=-=++，设直线,OE OF 的斜率分别为12,k k ，因为直线,OE OF 的斜率之和为2k -，所以122k k k +=-，即()()2121212221212122242224401212k m m x x y y kx m kx m km k k k k m x x x x x x m m -+++-++=++=+=+⋅==--，所以224m =，又0m >，所以m =，所以直线l经过的定点的坐标为(0,.②设直线l经过的定点为(0,N ，则1212OEF OEN OFN S S S x =-=⨯-==，设0>t，则2166OEF t S t t t==≤=++ 当且仅当6tt =时，即t =294k =时取等号，此时0∆>，所以OEF S ≤OEF 的面积的最大值为。

2022-2023学年上海市位育中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ）A ．三点确定一平面B ．不共线三点确定一平面C ．两条相交直线确定一平面D ．两条平行直线确定一平面【答案】B【分析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上.【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定.故选B 项.【点睛】本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题.2．下列命题正确的个数是（ ）①若a ，b 共面，b ，c 共面，则a ，b ，c 共面；②若a ，b 共面，b ，c 共面，则a ，c 共面；③若a ，b 共面，b ，c 共面，c ，a 共面，则a ，b ，c 共面；④若a ，b 不共面，b ，c 不共面，则a ，c 不共面；A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】A【分析】以正方体棱上的a ，b ，c 为例，逐个判断即可求解【详解】以正方体棱上的a ，b ，c 为例说明：对于①②：如图：11111,,,A B a B C b C C c ===a ，b 共面，b ，c 共面，而显然a ，c 异面，故a ，b ，c 不共面；所以①②都错误；对于③：如图：111,,,A A a B B b C C c ===a ，b 共面，b ，c 共面，c ，a 共面，而a ，b ，c 不共面，故③错误；对于④：如图：111,,,A B a C C b AB c ===a ，b 不共面，b ，c 不共面，而a ，c 共面，故④错误；综上，正确的个数为0故选：A3．在正方体的一个面所在的平面内任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数不可能是（）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D【分析】根据异面直线的定义及直线的位置关系，逐一分析，即可得答案.【详解】当直线在AB 位置时，与其异面直线有111111,,,CC DD B C A D ，共4条，当直线在EF 位置时，除1111,,,AB BB A B AA 外，其他8条直线均与其异面，当直线在GH 位置时，GH AB ∕∕，与其异面直线有111111,,,,,CC DD B C A D BC AD ,共6条，当直线在AH 位置时，与其异面直线有11111111,,,,,,CC DD B C A D BC C D DC ，共7条，所以不可能是5条，故选：D4．a 、b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则下列结论中正确的是（ ）①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角；②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒；④直线AB 与a 所成角的最小值为60︒．A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③【答案】A【分析】根据异面直线夹角的求解方法，结合题意，求解即可.【详解】对①②：以底面圆圆心为C ，高为AC 作圆锥，过C 作圆的直径，交圆于,M N ， 连接,,,AM AN BN MB ，如下所示：记直线,BN BM 分别为,a b ，不失一般性，直线,AB a 所成夹角为60︒，故60ABN ∠=︒，则直线AB 与b 所成夹角为ABM ∠，设底面圆半径为r ，根据题意可得2AN AB r ==，△ABN 为等边三角形，故2BN r =； 在△MNB 中，因为BN BM ⊥，2MN r =，故222BM MN BN r -，又△AMB 中，2AM AB r ==，故△ABM 为等边三角形，故60ABM ∠=︒，即直线,AB b 所成夹角为60︒，故①错误，②正确；对③④：当直线a 与AB 在底面圆中的投影BC 重合或平行时，直线a 与AB 所成夹角为45︒； 当直线a 与AB 在底面圆中的投影BC 垂直时，显然直线AB 与a 所成夹角为90︒；当直线a 不与底面圆中的投影BC 重合，也不平行时，记下图所示直线BN 为a ，过C 作CH BN ⊥，垂足为H ，连接AH .根据题意可得45ABC ∠=︒，则在△ABC 中cos 45BC AB︒=， 又在直角三角形BCH 中，cos BH CBH BC ∠=； 又AC ⊥面,BCN BH ⊂面BCN ，故BH AC ⊥，又BH CH ⊥，,,CH AC C CH AC ⋂=⊂面ACH ， 故BH ⊥面ACH ，又AH ⊂面ACH ，故BH AH ⊥，则在△ABH 中，直线a 与AB 所成角ABH ∠满足cos BH ABH AB∠=， 故cos cos45cos ABH CBH ∠=︒⨯∠，又()cos 0,1CBH ∠∈故cos cos45ABH ∠<︒，即45ABH ∠>︒；综上所述，直线AB 与a 所成角的最小值为45︒，故③正确，④错误.故选：A.二、填空题5．平面的一条斜线和这个平面所成角θ的取值范围是___________. 【答案】(0,)2π 【分析】根据平面的一条斜线的定义和线面角的定义即可求解. 【详解】由线面角的定义可知，线与面的夹角范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 又因为斜线与平面不垂直，不平行，也不在平面内，所以斜线与平面所成角θ的取值范围是(0,)2π. 故答案为：(0,)2π. 6．设A ∠和B ∠的两边分别平行，若45A ∠=︒，则B ∠的大小为___________.【答案】45°或135°##135°或45°【分析】根据等角定理即可得到答案.【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补. 故答案为：45°或135°.7．从同一点出发的四条直线最多能确定______个平面．【答案】6【分析】根据任意两条相交直线都可以确定一个平面，把所有可能列出来即可.【详解】设这四条直线分别为a ，b ，c ，d ，则有a 与b ，a 与c ，a 与d ，b 与c ，b 与d ，c 与d ，共6种情况，故答案为：68．下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形；⑦两两相交的三条直线确定一个平面.其中正确的是___________.【答案】④【分析】根据平面的公理及推论进行判断得解【详解】解①根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故①不对；②根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故②不对；③由异面直线的定义知，两条直线不一定确定一个平面，故③不对；④因梯形的一组对边平行，所以由“两条平行确定一个平面”知，梯形是一个平面图形，又因三角形的三个顶点不共线，故④对；⑤比如空间四边形则不是平面图形，故⑤不对；⑥比如空间六边形则不是平面图形，故⑥不对；⑦两两相交于同一点的三条直线，如三棱锥的三个侧面，它们确定了三个平面，故⑦不对． 故答案为：④．9．设a b 、为平面M 外的两条直线，且//a M ，那么//a b 是//b M 的___________条件（填：充分非必要､必要非充分､充要､既非充分也非必要）【答案】充分非必要【分析】判断由//a b 能否得到//b M ，再判断由//b M 能否得到//a b 即可．【详解】充分性：若//a b ，结合 // a M ，且b 在平面M 外，可得//b M ，是充分条件；必要性：若//b M ，结合 // a M ，且a ，b 是平面M 外，则a ，b 可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件．故//a b 是//b M 的充分非必要条件．故填：充分非必要.10．若用“斜二测法”作出边长为2的正三角形△ABC 的直观图是111A B C △，则111A B C △的重心1G 到底边11A B 的距离是___________ 【答案】612 【分析】画出正三角形△ABC 的直观图111A B C △，根据重心分中线的比为2:1来计算重心1G 到底边11A B 的距离【详解】如图为正三角形△ABC 的直观图111A B C △，1G F 为重心1G 到底边11A B 的距离则113132222O C =⨯⨯=， 因为1G 为111A B C △的重心，11111336O G O C ∴==， 111326sin 456212G F O G ∴==⨯=. 故答案为：612.11．已知直线a 、b 是正方体上两条面对角线所在的直线，且a 、b 是异面直线，则直线a 、b 所成的角的大小为_____．【答案】60︒或90︒【分析】如图所示：不防设1AD 为直线a ，与1AD 异面的面对角线有11111,,,,A B C D BD AC B C ，根据平行性与正方体性质即可求解．【详解】正方体1111ABCD A B C D -共有12条面对角线，如图所示：不防设1AD 为直线a ，与1AD 异面的面对角线有11111,,,,A B C D BD AC B C因为1111111111//,//,//,//,//A B D C C D AB BD B D AC AC B C A D而且1AD 与1111,,,D C AB B D AC 的夹角均为60︒，与1A D 的夹角均为90︒．所以当b 为11111,,,,A B C D BD AC B C 其中一条直线时，直线a 、b 所成的角的大小为60︒或90︒．故答案为：60︒或90︒．12．在四面体PABC 中，二面角PAB C 、P BC A --、P CA B --的大小相等，则点P 在平面ABC 上的投影是ABC 的______心．【答案】内心【分析】根据三个二面角相等得到点P 在底面ABC 的投影到三角形ABC 三边的距离相等，即可得到点P 在平面ABC 上的投影是ABC 的内心.【详解】因为二面角P AB C 、P BC A --、P CA B --的大小相等，所以顶点P 在底面ABC 的投影到三角形ABC 三边的距离相等，所以点P 在平面ABC 上的投影是ABC 的内心.故答案为：内心.13．在长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1AC 与棱AB ，AD ，1AA 所成的角分别为1α，2α，3α，与平面ABCD ,平面11ABB A ，平面11ADD A 所成的角分别为1β，2β，3β，则下列说法中正确的是_______．①222123sin sin sin 1ααα++=；②222123sin sin sin 2ααα++=；③222123cos cos cos 1ααα++=；④222123sin sin sin 1βββ++=【答案】②③④【分析】分别求出角1α，2α，3α的正弦值和余弦值，求出1β，2β，3β的正弦值，结合所给结论可得答案.【详解】设1,,AB a AD b AA c ===，则2221AC a b c连接1BC ，221BC b c =+，由长方体性质可知，1AB BC ⊥，所以11C AB =∠α，所以22112221sin BC b c AC a b cα+==++，2221222sin b c a b c α+=++， 同理可得2222222sin a c a b c α+=++，2223222sin a b a b c α+=++； 所以222222222123222sin sin sin 2b c a c a b a b c ααα+++++++==++， 222222123123cos cos cos 1sin 1sin 1sin 321αααααα++=-+-+-=-=；所以②③正确，①错误.连接AC ，由长方体的性质可得1C AC ∠为1AC 与平面ABCD 所成角，即11C AC =∠β；112221sin CC c AC a b c β==++，221222sin c a b c β=++， 同理可得222222sin b a b c β=++，223222sin a a b c β=++； 所以222222123222sin sin sin 1c b a a b c βββ++++==++， 所以④正确.故答案为：②③④14．已知正方形ABCD 的边长为4,E 、F 分别为AB 、AD 的中点，PC ⊥平面ABCD ，且2PC =，则直线BD 到平面PEF 的距离为______．21121111【分析】根据BD //面PEF ，转化为求解点D 到面PEF 的距离，再用等体积法求解即可.【详解】根据题意，作四棱锥P ABCD -，连接,,,,,,PE PF EF BD CF CE DE 如下所示：在△ABD 中，因为,E F 分别为,AB AD 的中点，故BD //EF ，又BD ⊄面,PEF EF ⊂面PEF ， 故BD //面PEF ，则直线EF 到面PEF 的距离即为点D 到面PEF 的距离，设其为h ， 由题可得2225CF CD DF +PC ⊥面,ABCD CF ⊂面ABCD ，故PC CF ⊥，则 2242026PF PC CF ++6PE =1222EF BD == 故221122242211222PEF EF S EF PF ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭； 又1122222DEF S DF AE =⨯=⨯⨯=，点P 到面DEF 的距离为2PA =， 由D PEF P DEF V V --=，即1133PEF DEF S h S PA ⨯⨯=⨯⨯，也即21122h =⨯可得211h =， 则直线BD 到面PEF 的距离为1111. 21115．在120°的二面角α﹣l ﹣β内有一点P ，P 在平面α、β内的射影A 、B 分别落在半平面αβ内，且P A ＝3，PB ＝4，则P 到l 的距离为________．239【分析】P 在平面αβ、内的射影AB 、分别落在半平面,αβ内，且3,4,PA PB ==我们易求出 AB 的长，利用四点共圆及圆周角定理的推理，我们易得到P 到l 的距离即为PAB 的外接圆直径，利用正弦定理，求出圆的直径即可得到答案 .【详解】解：如图，平面PAB 交l 于D ,则,,PA l PB l PA PB P l ⊥⊥⋂=⇒⊥平面 P AB ，则,l AD l BD ADB ⊥⊥⇒∠是二面角α﹣l ﹣β的平面角，∵在120°的二面角α﹣l ﹣β内有一点P ，∴120,60ADB APB ︒∠=∠=︒,,,,A P B D 四点共圆.又∵P A ＝3，PB ＝4，∴AB 222cos PA PB PA PB APE +-⋅⋅∠13因为PA ⊥平面α，则,PA l ⊥同理PB l ⊥，PB PA P =，所以l ⊥平面P AB ，又PD ⊂平面PAB ，所以PD l ⊥P 到l 的距离为PD ，即为PAB 的外接圆直径，由正弦定理得2R ＝sin AB APB ∠＝1332＝2393， 故答案为：2393．16．空间给定不共面的A ，B ，C ，D 四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A ，B ，C ，D 中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【分析】按照四个点的位置不同分类讨论，即可求解【详解】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832⨯=个，故答案为：32三、双空题17．空间中的距离有多种，包括两点间距离、点到直线距离、点到平面距离、直线到平面距离、两平行平面中的距离等，其中两条异面直线的距离指的是公垂线(与两条异面直线都垂直相交的直线)的两个垂足之间的线段长度．如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体ABCD 的所有棱长都为2,,A D 分别是直线l 和平面α上的动点，且BC l ⊥．（1）点O 到棱BC 中点E 的距离的最大值为__；（2）正四面体ABCD 在平面α上的射影面积的最大值为__．【答案】 21##122【分析】如图所示，F 是AD 中点，连接,OF EF ，计算2EF 21OE OF FE ≤+=，得到距离的最值，确定A 与O 重合时面积最大，计算得到答案.【详解】如图所示：F 是AD 中点，连接,OF EF ，l ⊥平面α，OD ⊂平面α，故OA OD ⊥，112OF AD ==， 111222FE AD AB AC =-++，故2214FE AD AB AC =-- ()222122224AD AB AC AD AB AD AC AB AC =++-⋅-⋅+⋅=，故2EF =21OE OF FE ≤+=，当,,O E F 三点共线时等号成立.点O 到棱BC 中点E 21.BC l ⊥，故正四面体ABCD 在平面α上的射影为ABC 和DBC △在平面α的投影之和.即当AD 的投影最长时面积最大，即A 与O 重合时面积最大，此时12222S =⨯⨯=. 21；2四、解答题18．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D 、E 、F 、G 分别为1AA 、AC 、11A C 、1BB 的中点，5AB BC ==，12AC AA ==．(1)求证：AC ⊥平面BEF ；(2)判断直线FG 与平面BCD 是否相交．若相交，在图中画出交点P （保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见详解；(2)相交，交点见详解．【分析】（1）由等腰三角形性质得AC BE ⊥，由线面垂直性质得1AC CC ⊥,由三棱柱性质可得1//EF CC ，因此EF AC ⊥，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）因为//,BG FH BG FH ≠，则可判断直线FG 与平面BCD 相交，交点如图所示．【详解】（1）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∵CC 1⊥平面ABC ，∴四边形A 1ACC 1为矩形．又E ，F 分别为AC ，A 1C 1的中点，∴AC ⊥EF ．∵AB =BC ，E 为AC 的中点，．∴AC ⊥BE ，而BE EF B =，BE ⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF∴AC ⊥平面BEF ．（2）直线FG 与平面BCD 相交．19．（1）用中文表述两个平面平行的判定定理，并用数学符号写成“已知．．．，求证．．．”的形式后加以证明；（2）在长方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面11//AB D 平面1C DB ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据面面平行的判定定理写出中文表述，及数学符号表述，同时用反证法证明即可； （2）根据长方体的性质推出11AB DC ∥，11AD BC ∥，然后利用面面平行的判定定理证明即可.【详解】（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，已知a β⊂，b β⊂，a b P =，a α，b α，求证αβ∥，假设l αβ=，∵a α，a β⊂，∴a l ∥，同理可得b l ∥，∴a b ，这与a b P =矛盾，所以，假设不成立，因此αβ∥.(2)∵1111ABCD A B C D -为长方体，∴11AB D C ∥，11AB D C =，11AD B C ∥，11AD B C =，∴四边形11ABC D ，11AB C D 为平行四边形，11AB DC ∥，11AD BC ∥，∵1AB ⊄平面1C DB ，1AD ⊄平面1C DB ，1DC ⊂平面1C DB ，1BC ⊂平面1C DB ，∴1AB ∥平面1C DB ，1AD ∥平面1C DB ，∵1AB ⊂平面11AB D ，1AD ⊂平面11AB D ，11AB AD A ⋂=，∴平面11AB D ∥平面1C DB .20．某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）.凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm ，2三根细钢管相交处的节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为20cm 的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°，确定节点O 分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm ，节点O 分细钢管上下两段之比为2∶3，确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm ）【答案】（1）0.63；（2）对应于A 、B 、C 三点的三根细钢管长度分别为60.8cm ，36.1cm 和60.8cm .【分析】（1）设ABC 的重心为H ，连接OH ，根据OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成的角，建立BH 与OH 的等量关系，解之即可；（2）设120B ∠=︒，ABC ∆的重心为H ，求出OH ，分别在Rt AHO ，Rt CHO △，Rt BHO 中求出OA 、OB 、OC ，再根据比例关系求出所求即可【详解】解：（1）设ABC 的重心为H ，连接OH ， 由题意可得，2033BH =， 设细钢管上下两段之比为λ， 已知凳子高度为30、则301OH λλ=+， 节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行 OBH ∴∠就是OB 与平面ABC 所成的角，亦即45OBH ∠=︒，BH OH =，∴3020313λλ=+， 解得230.63923λ=≈-， 即节点O 分细钢管上下两段的比值约为0.63；（2）设120B ∠=︒，24AB BC ∴==，243AC =设ABC 的重心为H ，则8,87BH AH ==，由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3，可知12OH =，设过点A 、B 、C 的细钢管分别为AA '、BB '、CC '，则2255103760.822AA CC OA OH AH ''===+=≈， 2255101336.122BB OB OH BH '==+=≈， ∴对应于A 、B 、C 三点的三根细钢管长度分别为60.8cm ，36.1cm 和60.8cm .21．已知四面体-P ABC （如图1)的平面展开图（如图2)中，四边形ABCD 2ABE ∆和BCF ∆均为正三角形，在四面体-P ABC 中：(1)证明：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)求二面角A PC B --的余弦值；(3)在图1中作出直线CA 与平面ABP 的所成角，并求出直线CA 与平面ABP 的所成角的大小．【答案】(1)答案见解析 3(3)答案见解析【分析】对于（1），取AC 中点为O ，证明PO 垂直于平面ABC 即可.对于（2），建立以O 为坐标原点的坐标系，利用向量方法计算即可.对于（3），取PB 中点为D ，则CAD ∠为CA 与平面ABP 的所成角，后利用余弦定理求CDA ∠即可.【详解】（1）取AC 中点为O ，连接BO ，PO .如下图所示.由题意P A =PB =PC 2OP =OA =OB =OC =1.∵在PAC △中，P A =PC ，O 为AC 中点∴PO ⊥AC∵在POB 中，PO =1，OB =1，PB 2∴PO ⊥OB∵AC ∩OB =O ，AC ，OB ⊂平面ABC∴PO ⊥平面ABC又∵PO ⊂平面ABC∴平面P AC ⊥平面ABC（2）由（1），可得PO ⊥平面ABC ，OB ⊥AC ，故建立以O 为坐标原点，如下图所示空间直角坐标系.则由题可得()()()()000100010100,,，,,，,,，,,，O C B A -()0,0,1P . 注意到OB ⊥平面APC ，则平面APC 的法向量可取OB =()0,1,0.由()1,1,0BC =-，()1,0,1PC =-，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =.则0000BC n x y x z PC n ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩，取111，，x y z ===，则()1,1,1n = 故1333cos ,n OBn OB n OB ⋅===⋅. 又由图可知，二面角A PC B --的平面角为锐角，则二面角A PC B --的余弦值为33.（3）如图取PB 中点为D ，连接CD ，AD .由图2可得PBC ，PBA △为等边三角形，则CD ⊥PB ，AD ⊥PB ，又CD ，AD ⊂平面ACD ，CD ∩AD =D ，则PB ⊥平面ACD.又由题可得62CD AD AC ===， 由余弦定理有664440662cos CDA +-∠=<⨯⨯，则CDA 为钝角三角形， 故在AD 延长线上可找到点E ，使CE ⊥AD.因，E AD C ∈∈平面ACD ，则CE ⊂平面ACD ，又PB ⊥平面ACD ， 得CE ⊥PB .又AD ，PB ⊂平面APB ，AD ∩PB =D ，故CE ⊥平面ABP .即直线CA与平面ABP的所成角为CAD∠.由余弦定理有66464436222cos CAD+-∠==⨯⨯，故直线CA与平面ABP的所成角的大小为6 arccos3【点睛】关键点点睛：本题涉及证明面面垂直，面面角的向量求法，和用几何法做出线面角.（1）（2）问较为基础，（3）问关键为找到一过C点直线，并使其与平面APB垂直.。

上海市徐汇中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．计算：12i +=_______【分析】根据复数模的计算公式计算可得； 【详解】解：12i =+2．已知复数(23)z i i =-，则复数z 的虚部为______ 【答案】3 【分析】根据复数的除法运算法则，计算出复数z 的值，然后求出复数z 的共轭复数z ，最后写出z 的虚部. 【详解】(23)23z i i i =-=--，23z i ∴=-+， 所以复数z 的虚部为3. 故答案为：3.3．已知z C ∈，若()i 2z z z z +=-=，则z =______ 【答案】1i -## 【分析】设i z a b =+，根据已知可求出,a b . 【详解】设i z a b =+，则i z a b =-， 则22z z a +==，解得1a =，由()i 2i i 22z z b b -=⋅=-=，解得1b =-.4．设a ∈R ，若(3a 2-2a -1)＋(9a 2-1)i 是纯虚数，则a ＝______. 【答案】1 【分析】纯虚数实部为零，虚部不为零，据此可求a 的值. 【详解】由题知2232101910a a a a ⎧--=⇒=⎨-≠⎩， 故答案为：1.5．设a R ∈，复数134i z =-，22i z a =+，若12z z 是纯虚数，则a =______ 【答案】83【分析】利用复数的除法运算化简求出12z z ，再根据纯虚数的定义即可求出. 【详解】因为134i z =-，22i z a =+，则()()()()21222234i 2i 34i 36i 4i 8i 3846i 2i 2i 2i 444a z a a a a z a a a a a a -----+-+====-++-+++， 因为12z z 是纯虚数，所以2238044604a a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪-+-≠+⎩=+，解得83a =.故答案为：83.6．设m R ∈，如果复数2(i)(1i)m m ++是实数，则m =______ 【答案】1- 【分析】根据复数代数形式的乘法及复数为实数的充要条件得到方程，计算可得； 【详解】解：复数223(i)(1i)()(1)i m m m m m ++=-++是实数，310m ∴+=，解得1m =-，故答案为：1-． 7．设a ∈C ，a ≠0，化简：i1ia a -+=______ .根据复数的运算法则计算即可. 【详解】()()()()()22221ii 1i i i i i 1i 1i 1i 11a a a a a a a a a a a a -+------====-++-++， 故答案为：－i.8．在复数范围内因式分解：41x -=______ 【答案】()())1i ((1i )x x x x +-+- 【分析】利用二倍角公式及2i 1=-计算可得； 【详解】解：()()()()()()()()422222111i 111i i x x x x x x x x x -=+-=--=+-+-故答案为：()()()()11i i x x x x +-+- 9．复数2i 的平方根__________． 【答案】1i +或1i -- 【分析】设复数2i 的平方根为z a bi =+，则22()2z a bi i =+=，根据复数相等的条件列方程组可解得. 【详解】设复数2i 的平方根为z a bi =+(),a b ∈R ， 则22()2z a bi i =+=， 所以2222a b abi i -+=，根据复数相等的条件可得22022a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得1a b ==或1a b ==-，所以1z i =+或1i z =--. 故答案为：1i +或1i -- 【点睛】本题考查了复数的开方运算和复数相等的条件，属于基础题.10．已知复数3i +是关于x 的实系数方程20x ax b --=的一个根，则a b +=______由已知结合实系数一元二次方程虚根成对原理可得方程20x ax b --=的另一个根，再由根与系数的关系求解,a b 的值，由此即可求出结果． 【详解】因为复数3i +是关于x 的实系数方程20x ax b --=的一个根， 所以复数3i -是关于x 的实系数方程20x ax b --=的一个根， 所以()()3i 3i 63i 3i 10a b =++-=⎧⎪⎨-=+⋅-=⎪⎩，即610a b =⎧⎨=-⎩，所以4a b +=-.故答案为：4-.11．若|2|2z +=，则|14i |z --取值范围是______ 【答案】[3，7] 【分析】根据复数的几何意义z 对应的点在以()2,0-为圆心，2为半径的圆上，求出z 对应的点到()1,4的距离的最值即可. 【详解】根据复数的几何意义可得|2|2z +=表示z 对应的点在以()2,0-为圆心，2为半径的圆上， 则|14i |z --表示z 对应的点到()1,4的距离，设为d ，则()2,0-到()1,4-5=，所以min 523d =-=，max 527d =+=， 所以|14i |z --取值范围是[]3,7. 故答案为：[]3,7.12．已知复数32z ，i 为虚数单位，且2||3z =，则实数a 的值为________.【答案】【分析】利用模的性质化简圆方程得到关于a 的方程，求a 即可． 【详解】32=则2||3z ， 即221193a a +=+，所以a =故答案为：【点睛】本题考查复数的基本概念，复数的模的性质和计算.13．设集合A ={z ||z ，a>0，z ∈C }，B ={z ||z -1a ，a >0，z ∈C }，若A ∩B ≠∅，则正实数a 的取值范围是______【答案】-2，+2] 【分析】设(),,z x yi x y R =+∈，根据题意将问题转化为两圆位置关系求解即可. 【详解】设(),,z x yi x y R =+∈，根据z 得2222x y a +=，根据1||z a -=得222(1)(x y a -+=，根据A ∩B ≠∅，得圆2222x y a +=与圆222(1)(x y a -+=有公共点，a a -≤+，即22a a -≤+≥，解得22a ≤≤，故答案为：[22,2-2]+.14．设x ∈R ，记[]x 为不大于x 的最大整数，{}x 为不小于x 的最小整数．设集合{}|23,A z z z C =≤⎡⎤≤∈⎣⎦,{}{}|23,B z z z C =≤≤∈，则A B 在复平面内对应的点的图形面积是______ 【答案】5π 【分析】依题意表示出集合{}|24,A z z z C =≤<∈，{}|13,B z z z C =<≤∈，从求出A B ，再解：依题意由23z ≤⎡⎤≤⎣⎦，所以24z ≤<，由{}23z ≤≤，所以13z <≤，所以{}{}|23,|24,A z z z C z z z C =≤⎡⎤≤∈=≤<∈⎣⎦，{}{}{}|23,|13,B z z z C z z z C =≤≤∈=<≤∈，所以{}|23,A B z z z C =≤≤∈设()i ,z x y x y R =+∈，由23z ≤≤，所以23≤≤，所以2249x y ≤+≤，所以复数z 再复平面内对应的点为在复平面内到坐标原点的距离大于等于2且小于等于3的圆环部分，所以圆环的面积()22325S ππ=-=故答案为：5π二、单选题15．设复数z =a +b i(a ，b ∈R )，若i a -与2i b +互为共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】根据共轭复数的概念求出,a b 即可判断. 【详解】因为i a -与2i b +互为共轭复数，所以2,1a b ==，16．下列命题中，正确的是（ ） A ．任意两个复数都能比较大小B ．任意两个复数都不能比较大小C ．设,a b C ∈，如果a b >，那么0a b ->D ．设,a b C ∈，如果0a b ->，那么a b >【答案】C 【分析】利用复数的概念与性质判断选项的正误，即可得到结果． 【详解】当两个复数有虚数时，不可以比较大小，所以A 错误； 当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以B 错误；因为,a b C ∈，且a b >，所以,a b 是实数，故0a b ->，所以C 正确；因为,a b C ∈，若1i,i a b =-=-，则0a b ->，但是此时a 与b 不能比较大小，所以D 错误. 故选:C.17．如果复数z 满足6|13i 2i |z z +++--=，则复数z 对应的点的轨迹是（ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．线段 D ．圆【答案】B 【分析】根据复数的几何意义及椭圆的定义判断可得； 【详解】解：复数z 满足条件6|13i 2i |z z +++--=，设i z x y =+(),x y R ∈，因为13i i 13i z y x +==++++z 在复平面内对应的点(),x y 到点()1,3A --的距离，同理2i i 2||i z x y ==---+-z 在复平面内对应的点(),x y 到点()2,1B 的距离，所以6|13i 2i |z z +++--=表示复数z 对应的点z 到点()1,3A --和到点()2,1B 的之和等于6，因为56AB =<，故点z 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，故选：B ．18．以下命题中，正确的是（ ）C ．复平面上，虚轴上的点与纯虚数一一对应D ．复平面上，实轴上的点与实数一一对应 【答案】D 【分析】根据复数的定义和几何意义即可解答. 【详解】A ：()()i i 2i a b a b b +--=，当0b =时,2i b 不是纯虚数，故A 错误；B ：如果a ＋b i ＝c ＋d i ，当且仅当a 、b 、c 、d ∈R 时，a ＝c ，b ＝d ，故B 错误；C ：复平面上，虚轴上的点除原点外与纯虚数一一对应，故C 错误；D ：复平面上，实轴上的点与实数一一对应，故D 正确. 故选：D.19．设复数,αβ对应的向量分别是a 、b ，则下列判断中，不正确的个数是（ ） ① 复数αβ+对应的向量是a b + ② 若αλβ=，则λa b ③ 若向量a 、b 的夹角为θ，则cos αβθαβ⋅=⋅ ④a b αβ⋅=⋅ A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】依题意设()1111i ,x y x y R α=+∈，()2212i ,x y x y R β=+∈，再根据复数的运算性质及平面向量的运算一一判断即可； 【详解】解：设()1111i ,x y x y R α=+∈，()2212i ,x y x y R β=+∈，所以11,ax y ，22,bx y ，所以()()11221212i i i x y x y x x y y αβ+=+++=+++，1212,a bx x y y ，所以复数αβ+对应的向量是a b +，故①正确；若αλβ=，即()1122i i x y x y λ+=+，所以1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，即λa b ，故②正确；()()()()112212121221i i +i x y x y x x y y x y x y αβ⋅=++=-+，所以αβ⋅=1212a b x x y y ⋅=+，所以a b αβ⋅≠⋅，故④错误；依题意cos θ=③错误；三、多选题20．定义：设非零复数z 对应的点为M ，角θ(0≤θ≤2π)的顶点在原点，始边为x 轴的正半轴，终边为射线OM ，则称角θ为复数的幅角，记作θ=arg z 如图所示的阴影区域(含边界)所对应的集合是（ ）A ．{z ||z |=1，6π≤arg z ≤56π }B ．{z ||z |=1，Im z ≥12 } C ．{z ||z |≤1，6π≤arg z ≤56π } D ．{z ||z |≤1，Im z ≥12 }【答案】CD 【分析】根据题中所给的图，可以判断出其模的范围，根据阴影区域内点的纵坐标的范围，得到其虚部的范围，结合复数幅角主值的取值范围，最后得到正确选项. 【详解】因为阴影区都在单位圆内部， 所以1z ≤，所以A 、B 不正确，因为复数的幅角主值取值范围为(,]ππ-，所以5[,]66argz ππ∈，所以C 正确，从图中可以发现，阴影区点的纵坐标的取值范围为1[,1]2，即其虚部的取值范围为1[,1]2，所以D 正确，故选：CD.四、解答题21．已知复数z 满足()23ii 2iz z z -++=+，求复数z【答案】12z =-设()i ,z a b a b =+∈R ，可知222,2z a a b z z +==+，根据复数的除法运算可知3i1i 2i-=-+，再根据复数相等，可得22211a ab ⎧⎨=-⎩+=，由此即可求出结果.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-所以222,2z a a b z z +==+，即()()222i 2i a z z z a b ++++=又()()()()3i 2i 3i 55i1i 2i 2i 2i 5----===-++- 又()23ii 2i z z z -++=+，所以22211a a b ⎧⎨=-⎩+=所以12a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12z =-±.22．已知复数ω满足()432i ωω-=-，52+ωω-是关于x 的方程212i 220()()x x m m C +-+-=∈的一个根，求方程的另一个根和|52i |m --的值【答案】根为4i -+， 552||i m --= 【分析】根据复数代数形式的除法求出ω，从而求出52+ωω-，再代入方程求出m ，即可得到方程为20()12i 13i x x +---=，利用韦达定理求出方程的另一个根，最后根据复数模的计算公式求出|52i |m --； 【详解】解：因为()432i 3i 2i ωωω-=-=-，所以()12i 43i ω+=+，所以()()()()243i 12i 43i 48i 3i 6i 2i 12i 12i 12i 5ω+-+-+-====-++-，所以()()()i 552i 22i 2132i 2i 2i 5+++ωω=+---=+-=-+，即3i +是关于x 的方程212i 220()()x x m m C +-+-=∈的一个根，所以()()203i ()i 12i 232m +++-+-=，即22096i i i 63222i i m +++-++-=-，解得9i m =-，所以方程20()12i 13i x x +---=，52i 9i 52i 5|43|||||i m ---===---=23．设α、β是关于x 的方程x 2-2kx +(2k +1)=0(k ∈R +)的两个根（1）若|α-β，求实数k 的值（2）若|α|+|βk 的值【答案】（1）k =3；（2）12【分析】（1）根据α、β是关于x 的方程2(221)0()x kx k k R +++=∈-的两个根，根与系数的关系，得到2,21k k αβαβ+=⋅=+，之后利用两数和差积的关系，结合题中条件求得结果； （2）判别式可正可负可零，分方程的根为实根和虚根两种情况讨论求解.（1） α、β是关于x 的方程2(221)0()x kx k k R +++=∈-的两个根，所以2,21k k αβαβ+=⋅=+，根据题意有222()444(21)8k k αβαβαβ-=+-=-+=，即2230k k --=，解得1k =-（舍去）或3k =.所以3k =.（2）方程2(221)0kx k x +-+=的判别式为2244(21)4(21)k k k k ∆=-+=--，因为0k >，所以判别式可正可负可零，当0∆≥时，因为k R +∈，所以210k αβ⋅=+>，所以α、β同号，所以22k k αβαβ+=+===k =此时24(21)4(21)0k k ∆=--=-<，不合题意，当∆<0时，方程2(221)0kx k x +-+=有两个虚根，k α=，k β=，所以αβ+==即212k +=，解得12k =，满足∆<0，所以12k .。

上海市徐汇区2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．直线3450x y --=的倾斜角的大小为__（结果用反三角函数值表示） 2．若()5,4OA =-，()7,9OB =，则与AB 同向的单位向量的坐标是__．3．若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫⎪⎝⎭,解为21x y =⎧⎨=⎩,则a b +=_______. 4．行列式中63125142k --中元素-3的代数余子式的值为7，则k =__．5．以点()3,4P 和点()5,6Q -为一条直径的两个端点的圆的方程是___．6．若顶点在原点的抛物线的焦点与圆2240x y x +-=的圆心重合，则该抛物线的准线方程为__．7．在ABC ∆中，||3,||7,||5AB BC CA ===，则BA 在AC 方向上的投影是_______. 8．已知双曲线221kx y -=的一条渐近线的方向向量()2,1d =-，则k =__． 9．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= ．10．已知1F 、2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F ∆的面积为16，则b =__． 11．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则22||||OP PF +的最小值为_________12．在直角坐标系中，两个动圆均过(1,0)A 且与直线:1l x =-相切，圆心分别为12C C 、，若动点M 满足22122C M C C C A ---→---→--→=+，则M 的轨迹方程为_____________二、单选题 13．“11220a b D a b =≠”是“方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的（ ）条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．不充分不必要14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．715．已知集合(){},25P x y x y =+=，(){}22,5Q x y xy =+=，则集合P Q 中元素的个数是（ ） A ．0B ．2C ．4D ．816．已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为(),0by x a b a=±>，若双曲线上有一点()00,M x y ，使00b x a y <，则双曲线的焦点（ ） A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．当a b >时在x 轴上D ．当a b >时在y 轴上三、解答题17．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a = （1）若||25c =，且//c a ，求c 的坐标； （2）若5||b =，且2 a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ.18．已知直线l 经过点(P -，并且与直线0:20l x +=的夹角为3π，求直线l 的方程．19．如图所示，()A 、B 、C 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上的三点，BC过椭圆E 的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形．（1）求椭圆E 的方程； （2）求ABC ∆的面积．20．如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是22440x y y +--=，双曲线的左、右顶点A 、B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点．（1）试求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左、右焦点为1F 、1F ，试在“8”字形曲线上求点P ，使得12F PF ∠是直角．21．对于曲线():,0C f x y =，若存在非负实常数M 和m ，使得曲线C 上任意一点(),P x y 有m OP M ≤≤成立（其中O 为坐标原点），则称曲线C 为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界0M 成为曲线C 的外确界，最大的内界0m 成为曲线C 的内确界．（1）曲线24y x =与曲线()2214x y -+=是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C 上任意一点(),P x y 到定点()11,0F -，()21,0F 的距离之积为常数a a ，求曲线C的外确界与内确界．(0)参考答案1．3arctan 4【解析】 【分析】 根据3tan 4k α==即可得解. 【详解】∵直线3450x y --=，∴直线的斜率是34，∴3tan 4α=，[]0,απ∈，∴3arctan4α=， 故答案为：3arctan 4． 【点睛】本题考查了直线的倾斜角和斜率的关系，考查了反三角函数的概念，属于基础题. 2．125,1313⎛⎫⎪⎝⎭【分析】先求出()12,5AB =，再利用与AB 同向的单位向量为AB AB即可得解.【详解】∵()5,4OA =-，()7,9OB =，∴()12,5AB OB OA =-=，1213AB ==；∴与AB 同向的单位向量的坐标为125,1313ABAB ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 故答案为：125,1313⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了向量的线性运算和单位向量的概念，属于基础题. 3．2【分析】根据线性方程组的增广矩阵写出方程组的形式,根据它的解可以求出相关系数,最后计算即可. 【详解】因为线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫⎪⎝⎭,所以有02201ax y ax x y b y b +⋅==⎧⎧⇒⎨⎨⋅+⋅==⎩⎩, 解为21x y =⎧⎨=⎩,所以有221211a a ab b b ⋅==⎧⎧⇒⇒+=⎨⎨==⎩⎩. 故答案为：2 【点睛】本题考查了增广矩阵的概念,考查了数学运算能力. 4．3 【分析】由题意可知求得122412kA k =-=+-，代入即可求得k 的值．【详解】由题意可知：设63125142A k -=-，元素3-的代数余子式122412kA k =-=+-，∴47k +=， ∴3k =， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了代数余子式的概念和二阶行列式的计算，属于基础题. 5．()()221517x y ++-= 【分析】由中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出圆半径后即可得解． 【详解】∵点()3,4P 和点()5,6Q -，设圆心为C ，半径为r ，∴以点()3,4P 和点()5,6Q -为一条直径的两个端点的圆的圆心为C ()1,5-， 圆的半径12r PQ ===∴圆的方程为：()()221517x y ++-=． 故答案为：()()221517x y ++-=． 【点睛】本题考查了中点坐标公式、两点间距离公式和圆的标准方程，属于基础题. 6．2x =- 【分析】由已知得抛物线的焦点()2,0F ，由此能求出该抛物线的准线方程． 【详解】∵顶点在原点的抛物线的焦点与圆2240x y x +-=的圆心重合， ∴抛物线的焦点()2,0F ， ∴该抛物线的准线方程为2x =-． 故答案为：2x =-． 【点睛】本题考查了由圆的一般方程确定圆的圆心和抛物线的性质，属于基础题. 7．32【分析】利用余弦定理得到23A π∠=，再利用投影公式BA AC AC ⋅计算得到答案.【详解】||3,||7,||5AB BC CA ===，利用余弦定理得到：2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅解得12cos 23A A π=-∴∠=BA 在AC 方向上的投影为：()cos 1322BA AC A BA AC BA ACACπ⋅-⋅===故答案为：32【点睛】本题考查了余弦定理，投影公式，混淆向量的夹角是容易发生的错误. 8．14【分析】根据题设条件求出渐近线的斜率k ． 【详解】∵双曲线221kx y -=的渐近线的一条渐近线的方向向量()2,1d =-，∴渐近线的斜率12=-， ∴14k =． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程和方向向量的概念，属于基础题. 9．152【解析】试题分析：根据正三角形的性质以及向量的数量积的定义式，结合向量的特点，可以确定22121()3333AB BD AB AB AC AB AB AC ⋅=⋅+=+⋅211159333322=⋅+⋅⋅⋅=，故答案为152． 考点：平面向量基本定理，向量的数量积，正三角形的性质． 10．4 【分析】12Rt PF F ∆中，由勾股定理及双曲线的定义，结合12PF F ∆面积为16，利用等量关系可得出224464a c =-，即可求出b ．【详解】设1PF m =，2PF n =，12PF PF ⊥，得1290F PF ∠=︒，∴2224m n c +=，12PF F ∆的面积为16，∴32mn =∴()2224464a m n c =-=-， ∴22216b c a =-=， ∴4b =． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了双曲线的性质，考查了方程思想和整体意识，属于中档题. 11．2 【解析】本题考查椭圆标准方程,几何性质,函数思想的应用.椭圆2212x y +=中心(0,0),O 左焦点(1,0);F -设(,),P x y 则21(2x y x =-≤≤于是22222222||||(1)2(1)(1)2x OP PF x y x y x x +=++++=+-++2(1)2(x x =++≤≤，当1x =-时，22||||OP PF +取最小值，最小值是2.12．221y x =- 【分析】先利用抛物线定义得圆心12C C 、的轨迹，再利用相关点法代入求解M 的轨迹方程 【详解】由题意，两个动圆均过(1,0)A 且与直线:1l x =-相切，则圆心12C C 、的轨迹为抛物线24y x =，设(),M x y ，由22122C M C C C A ---→---→--→=+，则M 为1AC 的中点，即()121,C x y -故()24421y x =-，即M 的轨迹方程为221y x =-故答案为：221y x =- 【点睛】本题考查抛物线定义求轨迹，考查向量的几何意义，考查相关点法求轨迹，是中档题13．C 【分析】 二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解与系数行列式不为零互为充要条件可得正确结果. 【详解】解：由于二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解，则系数行列式111221220a b a b a b a b =-≠， 故“11220a b D a b =≠”是“方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的充要条件， 故选：C. 【点睛】本题考查二元一次方程组有唯一解的充要条件，一般转化为系数行列式不等于零来处理，是基础题. 14．A 【分析】根据框图，模拟计算即可得出结果. 【详解】程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1=1+23,2S k ==，第三次，33211,3S k =+==，第四次，11112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，故选A. 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题. 15．C 【分析】做出P 与Q 中表示的图象，根据图像交点确定出两集合的交集，即可做出判断． 【详解】对于P 中25x y +=，当0x >，0y >时，化简得：25x y +=； 当0x >，0y <时，化简得：25x y -=； 当0x <，0y >时，化简得：25x y -+=； 当0x <，0y <时，化简得：25x y --=，对于Q 中，225x y +=做出图形，如图所示，P Q 中元素的个数是4个，故选：C ．【点睛】本题考查了含绝对值函数的化简和圆的标准方程，考查了转化化归思想、分类讨论思想和数形结合思想，属于中档题. 16．B 【分析】设出双曲线的一般方程，利用题设不等式，令二者平方，整理求得的2200220y x b b->，进而可判断出焦点的位置． 【详解】渐近线方程为(),0b y x a b a =±>，2222(0)x y a bλλ∴-=≠00||||0a y b x >≥，平方222200a y b x >，两边除22a b ，2200220y x b b->，∴2222(0)x y a b λλ-=>， ∴双曲线的焦点在y 轴上.故选：B. 【点睛】本题考查已知双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，考查对双曲线标准方程的理解与运用，求解时要注意焦点落在x 轴或y 轴的特点，考查学生分析问题和解决问题的能力． 17．（1）(2,4)或(2,4)--；（2）π. 【分析】（1）根据共线向量的坐标关系运算即可求解； （2）由向量垂直及数量积的运算性质可得52a b ⋅=-，再利用夹角公式计算即可. 【详解】（1）设(,)c x y =，||25c =且//c a ，222020x y x y ⎧+=∴⎨-=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩，(2,4)c ∴=或(2,4)c =--；（2）由 已知得(2)(2),(2)(2)0a b a b a b a b +⊥-∴+⋅-= ，即2252320,253204a ab b a b +⋅-=∴⨯+⋅-⨯=， 整理得52a b ⋅=-，cos 1||||a ba b θ⋅∴==-， 又[0,π]θ∈，πθ∴=. 【点睛】本题主要考查了共线向量的坐标运算，数量积的运算，夹角公式，属于中档题.18．2x =-或10x -=． 【分析】根据条件求出直线0l 的倾斜角，可得直线l 的倾斜角，即可求得直线l 的方程． 【详解】由于直线0l ：20x +=6π，由于直线l 和直线0l ：20x -+=的夹角为3π，故直线l 的倾斜角为2π或56π，故直线l 的斜率不存在或斜率为再根据直线l 经过点(P -，可得直线l 的方程为2x =-，或)2=+y x ，即2x =-或10x -=． 【点睛】本题考查了直线的倾斜角和斜率的关系、点斜式确定直线方程，属于基础题.19．（1）221124x y +=（2）6【分析】（1）由题意可得a =再由正三角形的条件可得3ab ，解得b ，即可得到椭圆方程； （2）由题意写出A 点坐标，直线CB 方程，联立直线方程与椭圆方程可求得交点C 、B 的纵坐标，12ABC B C S OA y y ∆=⋅-，代入数值即可求得面积． 【详解】（1）A 的坐标为0)，即有a =椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形， 可得3ab ，解得2b =，则椭圆E 的方程为221124x y +=，（2）直线BC 的方程为y x =，代入椭圆方程22312x y +=，得y x ==∴126ABC B C S OA y y ∆=-=⋅=， ABC ∆的面积为6．【点睛】本题考查了椭圆方程的确定和椭圆与直线的位置关系，属于基础题. 20．（1）=1,（2）（），（﹣），（﹣，﹣），（，﹣）．【解析】试题分析： 由于上半个圆所在圆方程是22440x y y +--=，令，求出，得双曲线的顶点，可知，又双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点，令，双曲线过点，满足双曲线方程，待定系数法求出双曲线方程；第二步由于点满足12F PF ∠是直角，则点在以为圆心半径为的圆上，满足,把圆的方程与双曲线方程联立解出交点坐标，由于与上下两圆弧无交点，所以交点只有求出的四个 .试题解析：（1）设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，在已知圆的方程中，令，得240x -=，即，则双曲线的左、右顶点为()2,0A -、()2,0B ，于是,令2y =，可得280x -=，解得22x =±，即双曲线过点()22,2±，则228412b -=所以2b =， 所以所求双曲线方程为22144x y -=.（2）由（1）得双曲线的两个焦点()1F -，()2F ,当1290F PF ︒∠=时，设点(),P x y ，①若点在双曲线上，得224x y -=，由120F P F P ⋅=，有则，由22224{80x y x y -=-+=，解得{x y ==((1234,,,P P P P②若点在上半圆上，则()224402x y y y +--=≥，由120F P F P ⋅=，得(20x x y+-+=，由2222440{80x y y x y +--=+-=无解. 综上，满足条件的点有4个，分别为((1234,,,P P P P .考点：1.求双曲线方程；2.求曲线的交点；21．（1）曲线24y x =不是“有界曲线”，理由见解析；曲线()2214x y -+=是“有界曲线”，其外确界为3，内确界为1；（2）当01a <<时，曲线C ，13a ≤≤时，曲线C 0；当3a >时，曲线C ． 【分析】（1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，数形结合得答案； （2）由题意求出曲线C 的方程，进一步得到x 的范围211a x a -≤≤+，把22x y +转化为含有x 的代数式，分类讨论得答案． 【详解】（1）24y x =的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为0，无最大值，∴曲线24y x =不是“有界曲线”；∵曲线()2214x y -+=的轨迹为以()1,0为圆心，以2为半径的圆，如图：由图可知曲线()2214x y -+=上的点到原点距离的最小值为1，最大值为3，则曲线()2214x y -+=是“有界曲线”，其外确界为3，内确界为1；（2a =， 整理得：()2222214x y x a ++-=，∴()221y x =+，∵20y ≥21x ≥+，∴()222214x x a +≤+，∴()2221x a -≤，∴211a x a -≤≤+，则()222211x y x x +=+=，∵211a x a -≤≤+，∴()()2222242a x a a -≤+≤+， 即22|2|4|2|a x a a -++，当01a <<时，22242a x a a -++，则221411a x a a -+-+，221x y a ++，则曲线C当12a ≤≤时，22242a x a a -++，则221411a x a a -+-+，∴0≤≤C ，0；当23a <≤时，22242a x a a -++，则311a a -≤≤+，∴0≤≤C ，0；当3a >时，22242a x a a -++，则311a a -≤+，221x y a ++，则曲线C ．综上，当01a <<时，曲线C当13a ≤≤时，曲线C ，0；a>时，曲线C．当3【点睛】本题考查了对新概念的理解和求最值的方法，考查了转化化归和分类讨论的思想，属于难题.。

2021-2022学年上海市徐汇区高二上学期12月月考数学试题一、填空题1．在空间内，如果两条直线和没有公共点，那么与的位置关系是______．a b a b 【答案】异面或平行【分析】由直线与直线的位置关系求解即可.【详解】如果两条直线和没有公共点，那么与的位置关系是异面或平行.a b a b 故答案为：异面或平行.2．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽2:3:5出一个容量为的样本，那么其中A 种型号产品有______件.80【答案】16【分析】根据分层抽样总体和样本中，A 型号的产品所占的比例相等列式求出种型号产品的件数.A 【详解】因为A ，B ，C 三种不同型号的产品的数量之比依次为，2:3:5所以样本中A 种型号产品有件.28016235⨯=++故答案为：16.3．有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为，则1212,,,n V V V _________.()12lim n n V V V →∞+++= 【答案】87【详解】易知V 1,V 2,…,Vn ,…是以1为首项，3为公比的等比数列，所以1128lim()1718n n V V V V →∞+++==- 4．如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为_______.60︒【答案】12【分析】作出示意图，北纬纬线长和赤道长是两个圆的周长，其比等于半径比.60︒【详解】如图所示，赤道圆半径为，北纬圆半径为.R OA =60︒11r O A =由，可得.160AOA ∠=︒1111sin 302O A r OA R ︒===所以北纬纬线长和赤道长的比值为.60︒2π12π2rr R R ==【点睛】本题考查球体的结构特征，解答本题需要理解地理中纬线的概念.5．等比数列的前项和，，则实数______.{}n a n n S 1*7,N n n S k n -=+∈k =【答案】17-【分析】根据与的关系求，再利用等比数列的定义运算求解.n a n S n a 【详解】当时，则；1n =111a S k ==+当时，则，2n ≥()()11227767n n n n n n S a S k k ----==+=⋅+--故，21,167,2n n k n a n -+=⎧=⎨⋅≥⎩若为等比数列，且当时，，{}n a 2n ≥11267767n n n n a a --+⋅==⋅故，解得.21671a a k ==+17k =-故答案为：.17-6．等差数列中，，，且，使前项和的最小正整数______.{}n a 100a <110a >1110a a <n 0n S >n =【答案】21【分析】先利用条件得到，再利用等差数列的性质与前项和公式得到的正负情10110a a +<n 2021,S S 况，从而求得.21n =【详解】设等差数列的公差为，由，，得，{}n a d 100a <110a >0d >又，所以，111010a a a =-<10110a a +<故，，1202010112010()02a a S a a +=⨯=+<2111112212102a a S a +=⨯>=故使前项和的最小正整数.n 0n S >21n =故答案为：21.7．为了解某校高二学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为，视力在4.6到5.0之间的学生数为，则的值为______.a b b【答案】78【分析】分别求第1，2两组的频数，再根据频率分布直方图结合等差、等比数列运算求解.【详解】由频率分布直方图得组距为0.1，间的频数为.4.3~4.41000.10.11⨯⨯=间的频数为.4.4~4.51000.10.33⨯⨯=又前4组的频数成等比数列，则公比为3，∴前3组的频数之和为，13913++=根据后6组频数成等差数列，且共有人.1001387-=从而间的频数最大，且为，所以，4.6~4.731327⨯=270.27100a ==设公差为，则，所以，从而.d 65627872d ⨯⨯+=5d =-43427(5)782b ⨯=⨯+-=故答案为：78.8．若圆台的高是4，母线长为5，侧面积是，则圆台的上、下底面的面积之和是______.45π【答案】45π【分析】设上下底的半径分别为，，由侧面积公式及勾股定理列关系式求，由此可求圆台r R ,r R 的上、下底面的面积之和.【详解】设上下底的半径分别为，，则母线，高，构成一个直角三角形，r R R r -母线为斜边5，高为直角边4，由勾股定理得，即，3R r -=3R r =+圆台的侧面积，π()S r R l =+5π(3)r r =++5π(23)r =+45π=所以，则，3r =6R =所以圆台的上、下底面的面积之和是.22π()45πR r +=故答案为：.45π9．已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，{}n a q n n T 11a >9910010a a ->99100101a a -<-则下列命题正确的有__________．（填序号）（1）；01q <<（2）；9910110a a -<（3）的值是中最大的；100T n T （4）使成立的最大正整数数的值为．1n T >n 198【答案】（1）（2）（4）【分析】根据可知；由和，可确定，可知（1）正确；991001a a >0q >99100101a a -<-10a >991001a a >>利用等比数列性质和可知（2）正确；根据知（3）错误；根据10001a <<1009910099T T a T =<，可知（4）正确.()99198991001T a a =>1991991001T a =<【详解】对于（1），，，，9910010a a -> 991001a a ∴>0q ∴>，，又，，99100101a a -<- ()()99100110a a ∴--<10a >991001a a ∴>>，（1）正确；01q ∴<<对于（2），，又，，即，299101100a a a = 10001a <<21001a ∴<210010a -<，（2）正确；9910110a a ∴-<对于（3），，不是中最大的，（3）错误；1009910099T T a T =< 100T ∴n T 对于（4），，()()()()991981198219799100991001T a a a a a a a a =⋅⋅⋅=> ，()()()19919911992198991011001001T a a a a a a a a =⋅⋅⋅=<使成立的最大正整数数的值为，（4）正确.∴1n T >n 198故答案为：（1）（2）（4）10．定义为数列的均值,已知数列的均值,记数列11222n n n a a a H n -+++= {}n a {}n b 12n n H +=的前项和是,若对于任意的正整数恒成立,则实数k 的取值范围是________．{}n b kn -n n S 5n S S ≤n 【答案】712[,35【分析】因为,,从而求出,可得1112222n n n b b b n -+++⋯+=⋅2121()2212n n n b b b n --++⋯+=-⋅2(1)n b n =+数列为等差数列,记数列为,从而将对任意的恒成立化为,{}n b kn -{}n b kn -{}n c 5n S S ≤*(N )n n ∈50c ≥,即可求得答案.60c ≤【详解】 , 1112222n n n n b b b H n -++++== ,∴1112222n n n b b b n -++++=⋅ 故,2121()(22212)n n n b b n b n --⋅++=-≥+ ,∴112212()n n n n b n n -+=⋅--⋅1()2n n =+⋅则,对也成立,2(1)n b n =+1b ,∴2(1)nb n =+则,()22n b kn k n -=-+数列为等差数列,∴{}n b kn -记数列为.{}n b kn -{}n c 故对任意的恒成立,可化为:,；5n S S ≤*N ()n n ∈50c ≥60c ≤即,解得,,5(2)206(2)20k k -+≥⎧⎨-+≤⎩71235k ≤≤故答案为:．712[,]35【点睛】本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前项和最大值的n 方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.11．如图所示为一个半圆柱，已知为半圆弧上一点，若，直线与E CD CD 2DE CE =AD 所成角的正切值为，则点到平面的距离是______.BE 23D EAB【答案】67【分析】由异面直线夹角的定义确定直线与所成角的平面角，由条件可求，再由等体积AD BE BC 法求点到平面的距离.D EAB 【详解】因为，又，所以，.2DE CE =2225CE DE CD +==1DE =2CE =因为，平面，平面，//AD BC BC ⊥CDE CE ⊂CDE 所以为直线与所成角，且，CBE ∠AD BE BC CE ⊥即，2tan 3CE CBE BC ∠==所以，故，3BC =3AD BC ==所以AE BE ====所以，cos AEB ∠=sin AEB ∠，，1722AEB S == 131322ADE S =⨯⨯= 因为，，所以，BC CE ⊥//AD BC AD CE ⊥又，平面，DE CE ⊥,,AD DE D AD DE =⊂ ADE 所以平面，CE ⊥ADE 设点到平面的距离是，由等体积法得，D EAB h D EAB B ADE V V --=即，所以.1133AEB ADE S h S CE ⋅=⋅ 67h =故答案为：.6712．已知等差数列满足：{}n a 12121|||||||1||1||1||1|n n a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++=-，则正整数的最大值为________2|1||1|2021n a a +-+⋅⋅⋅+-=n 【答案】62【分析】设，等差数列的公差为，不妨设，则，且，即2,n k k N +=∈d 100k k a a +>⎧⎨<⎩10,0a d <>10k a +≤，根据，得到即有，再根据等差数列的前n 项和公式，求得，从1k a ≤-110k a +-≥2d ≥22021k d =而得出，即可求解.220212k ≥【详解】解： 由题意知：等差数列满足{}n a 1212111n n a a a a a a +++=++++++ ，1211a a =-+-+ 12021n a +-=故等差数列不是常数列，且中的项一定满足或，且项数为偶数，{}n a 100n n a a ->⎧⎨<⎩100n n a a -<⎧⎨>⎩设，等差数列的公差为，不妨设，2,n k k N +=∈d 100k k a a +>⎧⎨<⎩则，且，即，10,0a d <>10k a +≤1k a ≤-由，则，即，110k a +-≥111kd a kd -+≥+≥2kd ≥即有，2d ≥则121212k k kn a a a a a a a a +----++++⋯=++ ，211(1)(1)[()202122k k d k k ka k a kd d k d --=-++++==可得，解得，220212k ≥31.7k ≤≈即有的最大值为，的最大值为.k 31n 62故答案为：.62二、单选题13．“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要D ．既非充分又非必要条件【答案】C【分析】利用棱柱的结构特征和充分，必要条件的定义进行求解【详解】若棱柱有相邻两个侧面是矩形，则两侧面的交线必定垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，满足充分性；若棱柱为直棱柱，则棱柱有相邻两个侧面是矩形，满足必要性；故“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的充要条件，故选:.C 14．用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成n n n x y +x y +（ ）A ．假设当时成立，再推出当时成立()*21n k k N =+∈23n k =+B ．假设当时成立，再推出当时成立()*21n k k N =-∈21n k =+C ．假设当时成立，再推出当时成立()*n k k N =∈1n k =+D ．假设当时成立，再推出当时成立()1n k k =≥2n k =+【答案】B【分析】根据数学归纳法的步骤，即可判断选项.【详解】第二步假设当时成立，再推出当时成立.()*21n k k =-∈N ()21121n k k =+-=+故选：B.15．在正方体中，分别为棱的中点，P 是线段上的动点1111ABCD A B C D -E F M ，，1BC CD CC ，，11A C (含端点)，则下列结论正确的个数（ ）①PM BD⊥②平面1//AC EFM③与平面所成角正切值的最大值为PE ABCD ④当P 位于时，三棱锥的外接球体积最小1C P CEF -A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】先判断与面是否垂直，进而判定①；BD 11ACC D 设AC 交BD 于Q ，先证明，进而判定②；1//AC QM 根据线面角的定义先找到线面角，进而求出其正切的最大值，从而判定③；取中点，易知为的外心，作面，交于，则三棱锥的外EF 1O 1O CEF △1O T ⊥ABCD 11A C T P CEF -接球球心在上，进而根据球的性质建立等式，最后判断答案④.O 1O T 【详解】设正方体棱长为2.对①，如图1，在正方体中，连接AC ,BD ，则，面，所以，而1111ABCD A B C D -AC BD ⊥1CC ⊥ABCD 1CC BD ⊥，所以面，而面，所以.①正确；1AC CC C = BD ⊥11ACC A PM ⊂11ACC A PM BD ⊥对②，如图2，设AC 交BD 于Q ，则Q 为AC 的中点，而M 为的中点，所以，而交平面1CC 1//AC QM QM 于M ，所以与平面不平行；EFM 1AC EFM 对③，如图3，易知点P 在面ABCD 上的投影点N 在线段AC 上，则与平面所成角为，PE ABCD PEN ∠，则当NE 最小时正切值最大，因为分别为的中点，所以2tan PN PEN NE NE ∠==,E F ,BC DC ，由于，则，此时点N 为点E 在线段AC 上的投影，且1//,2EF BD EF BD =AC BD ⊥AC EF ⊥1O为EF 的中点.所以，此时.故③正确；1O 1124NE EF BD ===tan PN PEN NE ∠==对④，如图4，易知为的外心，作面，交于，则三棱锥的外接球球心在1O CEF △1O T ⊥ABCD 11A C T P CEF -O上，记外接球半径为R ，，1O T OP OE R ==2+=，于是当时，R 最小，即外接球体积最小，2722PT =⇒+0PT =此时重合.故④错误.,P T 故选：B.16．已知数列的各项均不为零，，它的前n 项和为．且（）成{}n a 1a a =n S n a 1n a +*N n ∈等比数列，记，则（ ）1231111n n T S S S S =+++⋅⋅⋅+A ．当时，B ．当时，1a =202240442023T <1a =202240442023T >C ．当时，D ．当时，3a =202210111012T >3a =202210111012T <【答案】C【分析】结合等比性质处理得，再分和分类讨论，时较为简单，结合裂22n n a a +-=1a =3a =1a =项法直接求解，当时，放缩后再采用裂项即可求解.3a =【详解】由成等比数列可得，①，也即②，②-①得n a 1n a +12n n n S a a +=⋅1122n n n S a a +++=⋅，因为，所以，，即数列的奇数项成等差数列，偶数项成等()1122n n n n a a a a +++=-0n a ≠22n n a a +-=差数列，当时，，即，1a a=1122a a a =⋅22a =对A 、B ，当时，，此时数列为等差数列，前项和为1a =12341,2,3,4,n a a a a a n ===== n ，，()12n n nS +=()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭故，12311111111112121223+11n n T S S S S n n n ⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=-+-+-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭当时，，故A 、B 错误；2022n =2022140442120232023T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭对C 、D ，当时，，3a =1352021202113,5,7,3+220232a a a a -====⨯= ,当n 为偶数时，，2420222,4,,2022a a a === 232n n nS +=当n 为奇数时，，()()()2213132122n n n n n S n +++++=-+=所以,,()()12,2n n n S n N*++≤∈()()121121212n S n n n n ⎛⎫≥=- ⎪++++⎝⎭此时202212320221111T S S S S =+++⋅⋅⋅+，故C 正确，D 错误.111111110112123342023202410121012⎛⎫>-+-++-=-= ⎪⎝⎭ 故选：C三、解答题17．某商场为推销当地的某种特产进行了一次促销活动，将派出的促销员分成甲、乙两个小组分别在两个不同的场地进行促销，每个小组各6人.以下茎叶图记录了这两个小组成员促销特产的件数，且图中甲组的一个数据已损坏，用表示，已知甲组促销特产件数的平均数比乙组促销特产件数的x 平均数少1件.(1)求的值，并求甲组数据的第80百分位数；x (2)在甲组中任选2位促销员，求他们促销的特产件数都多于乙组促销件数的平均数的概率.【答案】(1)，第80百分位数为40；8x =(2).15【分析】（1）根据茎叶图求出乙组促销特产件数的平均数，进而可得甲组平均数，由平均数可求出的值，再由百分位数的定义求第80百分位数；x （2）求出基本事件的总数以及组促销员促销的特产件数都多于包含的基本事件的个数，由古236典概率公式即可求解.【详解】（1）乙组同学促销特产件数的平均数为（件）.283236384141366+++++=则甲组同学促销特产件数的平均数为35件，由，解得.283934(30)4041635210x ++++++=⨯=8x =将甲组同学促销特产件数按从小到大排列可得，28,29,34,38,40,41因为， 所以甲组数据的第80百分位数为其第5个数，680% 4.8⨯=所以甲组数据的第80百分位数为40.（2）乙组促销特产件数的平均数为36件.甲组同学促销的件数分别为28，29，34，38，40，41.若从中任取两个数字，所有的基本事件为，，，，(28,29)(28,34)(28,38)(28,40)，，，，，，，，(28,41)(29,34)(29,38)(29,40)(29,41)(34,38)(34,40)(34,41)，，，共15个基本事件.(38,40)(38,41)(40,41)其中符合条件的基本事件有，，，共3个基本事件.(38,40)(38,41)(40,41)所求概率为.31155P ==18．已知，为两条异面直线，为平面，且，，.a b αa b ⊥a α⊥b α⊄(1)若直线，通过直线与平面垂直的判定定理，证明；//c a c α⊥(2)用反证法证明：.//b α【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）设平面，且，根据线面垂直的性质可得，，从而得到⊂m,n αm n A = a m ⊥a n ⊥，，即可得证；c m ⊥c n ⊥（2）假设与不平行，即与相交，不妨设与相交于点，过点在平面内作直线，b αb αb αB B αBC 设直线与确定平面，可以证明，即可得到与重合，从而得到，与题设矛盾，b BC β//αβαβb α⊂即可得证；【详解】（1）证明：因为，设平面，且，所以，，因为，a α⊥⊂m ,n αm n A = a m ⊥a n ⊥//a c 所以，，又平面，且，c m ⊥c n ⊥⊂m ,n αm n A = 所以平面c ⊥α（2）证明：假设与不平行，即与相交，b αb α不妨设与相交于点，过点在平面内作直线，b αB B αBC 设直线与确定平面，b BC β因为，面，所以，又，，所以平面，又因为，a α⊥BC ⊂αa BC ⊥ab ⊥BC b B = a ⊥βa α⊥所以，又，所以与重合，即，与矛盾，故假设不成立，所以；//αβBC αβ= αβb α⊂b α⊄//b α19．已知数列中，.{}n a 111,31n n a a a +==+(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；12n a ⎧⎫+⎨⎩⎭{}n a (2)数列满足，数列的前项和为，若不等式成{}n b ()1312n n n n n b a +=-⋅⋅{}n b n n T ()(8)42252n T n n λλ+-≤-+立的自然数恰有4个，求正整数的值.n λ【答案】(1)证明见解析，；312n n a -=(2)4.【分析】（1）构造，根据等比数列的定义及通项公式即可求解；111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭（2），利用错位相减法求出，故成立的自然数恰有4个，当时，不2n n nb =n T 12582n n λλ--≤+n 1,2n =等式显然成立，故当时，不等式成立的自然数恰有2个. 令，根据其单调性即可3n ≥n 1252n n n c --=求解.【详解】（1）因为，所以，111,31n n a a a +==+111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭又，所以是等比数列，，11322a +=12n a ⎧⎫+⎨⎩⎭113322n n a -+=⋅所以；312n n a -=（2），()13122n n n nn n nb a +=-⋅=⋅所以，，1212222n n n T =+++ 2311122222n n n T +=+++两式相减，得，121111111121122222222n n n n n n n n n T ++++=+++-=--=- 所以，222n n n T +=-因为成立的自然数恰有4个，()(8)42252n T n n λλ+-≤-+n 即成立的自然数恰有4个，18252n n λλ-+≤-n 由于为正整数，当时，不等式显然成立，λ1,2n =故当时，不等式成立的自然数恰有2个，3n ≥n 即成立的自然数恰有2个，令，12582n n λλ--≤+n 1252n n n c --=则，所以严格减，112325270222n n n n n n n n c c -+---+==--<{}n c 所以，且，4388c λλ≤=+55816c λλ>=+解得，故正整数的值为4.4024115λ<≤λ20．在四棱锥中，底面ABCD 为正方形，平面平面ABCD ，点M 在线段PB 上，P ABCD -PAD ⊥平面MAC ，.PD ∥PA PD =(1)判断M 点在PB 的位置并说明理由；(2)记直线DM 与平面PAC 的交点为K ，求的值；DKKM(3)若异面直线CM 与AP ，求二面角的平面角的正切值.M CD A --【答案】(1)M 为PB 中点，理由见解析(2)2DKKM =(3)13【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，连OM ，由平面平行的性质可得答案；（2）连接OP ，则，可得点K 为重心，由三角形重心的性质，可得答案；K OP DM =⋂PBD △（3）取AD 中点H ，连接PH ，HB ，取HB 中点G ，连接MG ，GC ，可得，取AB 中点MG PH ∥N ，可知，或其补角就是异面直线CM 与AP 所成角，由面面垂直的性质可得MN PA ∥CMN ∠平面ABCD ，平面ABCD ，令，，由余弦定理可得，在直角PH ⊥MG ⊥PH t =2AD =CG 中，求出，，由余弦定理得，从而得到，解方MCG △CM 12MN PA =cos ∠CMN 42328250t t -+=程求出，过G 作交CD 于Q ，连接MQ ，可得平面MGQ ， ，在直角t GQ CD ⊥CD ⊥CD MQ ⊥中可得.MQG tan ∠MQG 【详解】（1）连接BD 交AC 于O ，连接OM ，因为平面MAC ，平面PBD ，PD ∥OM ⊂平面平面，则，MAC ⋂PBD OM =PD OM ∥又因为O 为BD 中点，所以M 为PB 中点.（2）如图所示，连接OP ，则平面平面，，PAC =PDB PO K OP DM =⋂因为O 为BD 的中点，M 为PB 的中点，所以点K 为重心，PBD △由三角形重心的性质，可得.2DK KM =（3）取AD 中点H ，连接PH ，HB ，取HB 中点G ，连接MG ，GC ，可得.MG PH ∥取AB 中点N ，连接MN ，NC ，可知，MN PA ∥所以或其补角就是异面直线CM 与AP 所成角，如图所示，CMN ∠因为平面平面ABCD ，平面平面ABCD ，PAD ⊥PAD ⋂AD =又，所以，PA PD =PH AD ⊥所以平面ABCD ，因此平面ABCD ，令，，PH ⊥MG ⊥PH t =2AD =由，且M 为PB 的中点，可得，PH MG ∥1122MG PH t ==在中，可得，BCG 2BC =BG =cos CBG ∠=CG =在直角中，MCG △CM ==又由M ，N 分别是PB ，AB 的中点，可得12MN PA ==所以，222cos 2CM MN CN CMN CM MN +-∠==⋅解得，解得或，即，42328250t t -+=21t =2531t=过G 作交CD 于Q ，连接MQ ，由，且，GQ CD ⊥MG CD ⊥ GQ MQ 可得平面MGQ ，所以，CD ⊥CD MQ ⊥所以就是所求二面角的平面角，如图所示，MQG ∠在直角中，可得MQG 1tan 33MG t MQG GQ ∠===21．对于数列：、、、、，若不改变，仅改变、、、中部分项的符{}n A 1A 2A 3A n A 1A 2A 3A n A 号（可以都不改变），得到的新数列称为数列的一个生成数列，如仅改变数列、、、{}n a {}n A 123、的第二、三项的符号，可以得到一个生成数列：、、、、.已知数列为数列4512-3-45{}n a 的生成数列，为数列的前项和.()12n n N *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭n S {}n a n （1）写出的所有可能的值；3S （2）若生成数列的通项公式为，求；{}n a ()1,3121,312nn nn k a k N n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩n S （3）用数学归纳法证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为n N *∈n S .121,,22n n m x x m N m *-⎧⎫-=∈≤⎨⎬⎩⎭【答案】（1）、、、；（2）；（3）证明见解析.18385878()111,3372151,3172131,3272n n n n n k S n k k N n k ⎧⎛⎫-=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=+=+∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎩【分析】（1）根据生成数列定义，可知当时，，、分别为、中取值，由此3n =112a =2a 3a 14±18±给出的所有可能的情况，即可计算出的所有可能值；{}n a 3S（2）利用，分、、三()1,3121,312nn n n k a k N n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩()3n k k N *=∈()31n k k N =+∈()32n k k N =+∈种情况讨论，利用分组求和与等比数列的求和公式即可求得；n S （3）利用数学归纳法证明：①当时命题成立；②假设当时，1n =()n k k N *=∈，证明出，结合归纳原理即可证明出结论()121,22k k k m S m N m *--=∈≤()1121,22k k k m S m N m *++-=∈≤成立.【详解】（1）由题意得，，112a =()1,22n n a n N n *=∈≥根据生成数列的定义，可得，，214a =±318a =±又，，，，11172488++=11152488+-=11132488-+=11112488--=因此，所有可能的取值为、、、；3S 18385878（2），()1,3121,312nn nn k a k N n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩ 当时，()3n k k N *=∈312345632313111111111222222222n k k k S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 14322531363111111111222222222k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ；3333331111111112242828111111111117824878111222k k kk k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦⎣⎦=--=---=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭---11172n ⎛⎫=-⎪⎝⎭当时，；()31n k k N =+∈111111271511172272272n n n n n n n n S S a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时，.()32n k k N =+∈1111111111171311172272272n n n n n n n nS S a ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭综上所述：；()111,3372151,3172131,3272n n n n n k S n k k N n k ⎧⎛⎫-=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=+=+∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎩（3）利用数学归纳法证明：①当时，，命题成立；1n =112S =②假设当时，命题成立，即所有可能值的集合为.()n k k N *=∈k S 121,,22k k m x x m N m *-⎧⎫-=∈≤⎨⎬⎩⎭由假设得.()121,22k k km S m N m *--=∈≤则当时，1n k =+1123111211111112222222k k k k k k k k S S S +++++±=±±±±±=±=.()()112211,22k k m m Nm *-+-±=∈≤即或，()1122112k k m S ++--=()111221,22k k k m S m N m *-++⨯-=∈≤即，()1121,22k k k m S m N m *++-=∈≤当时，命题成立.∴1n k =+由①②知，对于给定的，的所有可能值组成的集合为.n N *∈n S 121,,22n n m x x m N m *-⎧⎫-=∈≤⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查等比数列生成数列定义的理解，同时也考查了利用数学归纳法证明数列问题，着重考查对数列新定义的理解，考查推理、转化、抽象思维与创新思维的综合应用能力，属于难题.。

2022-2023学年上海市徐汇区高二上学期期末数学试题一、填空题1．已知直线的一个方向向量，平面α的一个法向量，若，则l ()2,3,5d =()4,,n m n =l α⊥______．m n +=【答案】16【分析】根据，可得，从而可求得，即可得解.l α⊥d n∕∕,m n 【详解】因为，l α⊥所以，d n ∕∕所以，解得，4235m n ==6,10m n ==所以.16m n +=故答案为：.162．已知一组样本数据5､2､3､6，则该组数据的第70百分位数为__________．【答案】5【分析】首先计算指数，再由百分位数的定义可得答案.【详解】解：这组样本数据5､2､3､6，从小到大排列为2、3、5、6，又，470% 2.8⨯=则该组数据的第70百分位数为第3个数5，故答案为：5.3．抛掷一枚均匀的骰子两次，得到的数字依次记作a 、b ，则实数a 是方程的解的概率为20x b -=_______.【答案】112【分析】利用列举法计数，然后根据古典概型求得结果.【详解】得到数字组成有序数对,其中，，列举可得对应共有36,,a b (),a b {},1,2,3,4,5,6a b ∈(),a b 种不同的情况，每种情况都是等可能的，实数a 是方程的解只有(2,1),(4,2),(6,3)三种情况，20x b -=共其概率为.313612=故答案为：1124．已知一组数据5、6、a 、6、8的平均数是7，则其方差为______．【答案】165【分析】先根据平均数求出，再根据方差公式计算即可.a 【详解】因为一组数据5、6、a 、6、8的平均数是7，所以，解得，566875a ++++=10a =则方差为.()()()()()222221165767107678755⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦故答案为：.1655．已知圆锥的母线长为，母线与轴的夹角为，则该圆锥的侧面积为_．1030【答案】50π【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算即可得出结论.【详解】解：设底面的半径为，则r sin 3010=5r =⨯∴该圆锥的侧面积510=50S ππ=⨯⨯故答案为50π【点睛】本题考查了圆锥的性质和侧面积公式，解决本题的关键是根据勾股定理求得圆锥底面半径.6．如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积Rt O A B '''△OAB O B B A ''''⊥2O A ''=OAB 是______．【答案】【分析】先由的斜二测直观图还原得的直观图，再求得的边长并判定形状，从OAB OAB AOB 而即可求得的面积.AOB 【详解】由的斜二测直观图还原得的直观图如下，OAB OAB因为在中，，，，所以，Rt O A B '''△45A O B '''∠=︒O B B A ''''⊥2O A ''=O B ''=则在中，，，AOB OA OB ⊥2OB O B ''==2OA O A ''==所以的面积为AOB 11222OB OA ⋅=⨯=故答案为：7．如图所示，在三棱锥中，，、分别为与的中点，D ABC -2==AC BD E F AD BC EF =则异面直线与所成角的大小是______．AC BD【答案】##2π90【分析】取的中点，分别连接，把异面直线与所成的角即为直线与AB M ,ME MF AC BD ME 所成的角，在中，根据，即可求解.MF MEF 222ME MF EF +=【详解】如图所示，取的中点，分别连接，AB M ,ME MF 因为、分别为与的中点，E F AD BC 可得，且，//,//ME BD MF AC 111,122ME BD MF AC ====所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，AC BD ME MF在中，因为，MEF 1,1,ME MF EF ===222ME MF EF +=所以，即直线与所成的角为，ME MF ⊥ME MF 2π所以异面直线与所成的角.AC BD 2π故答案为：.2π8．为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品．从这批雪车中随机抽取一辆雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.83，则抽到一等品的概率为______．【答案】##0.783950【分析】由互斥事件的概率加法公式进行求解即可．【详解】设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为，，，A B C 则，解得，()()()()()()()0.930.851P A P B P A P C P A P B P C ⎧+=⎪+=⎨⎪++=⎩()()()0.780.150.07P A P B P C ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以抽到一等品的概率为0.78.故答案为：.0.789．在正四棱柱中，对角线与底面ABCD1111ABCD A B C D -1AC =1AC 则异面直线与所成角的大小为______．1A B 1AD 【答案】4arccos5【分析】根据平面，可得即为与底面ABCD 所成角的平面角，由此可求得1CC ⊥ABCD 1CAC ∠1AC ，从而可求得正棱柱的棱长，再根据，可得即为异面直线与所成角AC 11A B D C ∕∕1AD C ∠1A B 1AD 的平面角，再解即可.1AD C 【详解】如图，在正四棱柱中，1111ABCD A B C D -因为平面，1CC ⊥ABCD 所以即为与底面ABCD 所成角的平面角，1CAC ∠1AC则，解得11cos AC CAC AC ∠==AC =所以，所以，1AD CD ==12CC =因为且，11BC A D ∕∕11BC A D =所以四边形为平行四边形，11A BCD 所以，所以即为异面直线与所成角的平面角，11A B D C ∕∕1AD C ∠1A B 1AD在中，1AD C 11ACAD CD ===所以，14cos 5AD C ∠==所以，14arccos5AD C ∠=即异面直线与所成角的大小为.1A B 1AD 4arccos5故答案为：.4arccos510．已知球面上有A ，B ，C 三点，球心到A ，B ，C 所在平面的距离等于球的半径的一半，且，则球的表面积为______．2AB BC CA ===【答案】##64π964π9【分析】设外接圆的半径为，球的半径为，先求出，再根据求出，再ABC r R r 22212R R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭R 根据球的表面积公式即可得解.【详解】设外接圆的半径为，球的半径为，ABC r R 由，得为等边三角形，2AB BC CA ===ABC 所以2sin AB r ACB ==∠r =则，解得，22212R R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭43R =所以球的表面积为.2644ππ9R =故答案为：.64π911．如图中，O 在边ABC 90,30,ACB ABC BC ∠=︒∠=︒=BC 上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C 、M ，交BC 于点N ），则图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积为______．【答案】【分析】连接，求出，图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体为一个圆锥中间挖掉OM OM 一个球，再根据圆锥和球的体积公式即可得解.【详解】连接，则，OM ,OM AB OM OC OB ⊥==在中，，Rt BOM △30MBO ∠=︒则，解得()()111222OM OB BC OC OM==-=OM 在中，，则，Rt ABC △30MBO ∠=︒3AC =图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体为一个圆锥中间挖掉一个球，其中圆锥的高为，3所以所求体积为.3214π3π33⨯⨯⨯⨯=故答案为：.12．已知MN 是长方体外接球的一条直径，点P 在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1的取值范围为________.PM PN ⋅【答案】[]2,0-【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求解即可.【详解】因为MN 是长方体外接球的一条直径，长方体的棱长分别为1、1所以，如图，3MN ==设，则(,,)(01,01)P x y z x y z ≤≤≤≤≤(0,0,0),M N(,,)(1,1)PM PN x y z x y z ⋅=---⋅--222x x y z z=-++-222119()((),224x y z =-++--因为22211919()((002,22444x y z -++--≥++-=-当时取等号，此时点P 在ABCD 平面内，1,02x y z ===又2221191719(((02244444x y z -++--≤++-=当时取等号，此时点P 在ABCD 平面内.0,0,0x y z ===即所求的范围是.[]2,0-故答案为：[]2,0-二、单选题13．已知是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是（ ）．,A B A B ⊆A ．B ．()()()P A B P A P B =+ ()()()P A B P A P B ⋂=⋅C ．D ．()()1P A B P B ⋃=-()()1P A B P B ⋃=-【答案】C【分析】根据，可得，再根据并事件和交事件及对立事件的性质即可得A B ⊆,A B B A B A ⋃=⋂=解.【详解】因为，所以，A B ⊆,A B B A B A ⋃=⋂=所以，故A 错误；()()P A B P B ⋃=，故B 错误；()()P A B P A = ，故C 正确；()()()1P A B P B P B ⋃==-，故D 错误.()()()11P A B P A B P A ⋃=-⋂=-故选：C.14．抛三枚均匀的硬币，其中恰好有两枚正面朝上的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．14381258【答案】B【分析】抛三枚均匀的硬币正面朝上的次数服从二项分布，代入计算可得.【详解】每枚硬币正面朝上的概率是，正面朝上的次数，121(3,2X B 故抛三枚均匀的硬币，其中恰好有两枚正面朝上的概率为，223113C ()228P ==故选：B15．军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图（成绩的十位数为“茎”，个位数为“叶”），并给出下列三个结论：①甲的成绩的极差是29；②乙的成绩的中位数是18；③乙的成绩的众数是22．则三个结论中，正确结论个数为（ ）．A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【分析】根据茎叶图求出极差，中位数，众数即可.【详解】由茎叶图可知甲的成绩的极差是，故①正确；36729-=乙的成绩按从小到大的顺序为，9,11,13,14,18,19,20,22,22,23所以乙的成绩的中位数是，众数是，故②错误，③正确.181918.52+=22所以正确的个数为2个.故选：B.16．如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ 和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A 、B ，AB 与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ 与直线AB 垂直的次数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A【分析】作出与垂直的平面后判断几何关系PQ 【详解】作出平面，使得平面，CDEF PQ ⊥CDEF 当时，平面或平面，PQ AB ⊥//AB CDEF AB ⊂CDEF 结合旋转分析可知有两次使得．PQ AB ⊥故选：A三、解答题17．某校高二年级一个班有60名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100），得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a 的值；(2)用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则在分数段抽取的人数是多少？20[)70,90【答案】(1)0.030(2)11【分析】（1）根据频率之和为计算即可；1（2）根据分层抽样的定义计算即可.【详解】（1）由题意，()100.0100.0150.0150.0250.0051a ⨯+++++=解得；0.030a =（2）在分数段抽取的人数为人.[)70,90()100.0300.02520111⨯+⨯=18．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，底面，O ABCD -ABCD π3ABC ∠=OA ⊥ABCD ，为的中点，为的中点．2OA =M OA N BC(1)求四棱锥的体积；O ABCD -(2)证明：直线平面．MN ∕∕OCD【答案】(2)证明见解析【分析】（1）根据椎体体积的计算公式计算即可；（2）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，可得，再根据OD P ,PM PC MNCP MN PC ∕∕线面平行的判定定理即可得证.【详解】（1）连接，则，,AC BD AC BD ⊥又，所以为等边三角形，π3ABC ∠=ABC则1,AC BD ==所以，12ABCD S AC BD =⋅=菱形所以123O ABCD V -==（2）取的中点，连接，OD P ,PM PC 因为为的中点，M OA 所以且，MP AB ∕∕12MP AB =又因且，NC AB ∕∕12NC AB =所以且，MP NC ∕∕MP NC =所以四边形为平行四边形，MNCP 所以，MN PC ∕∕又平面，平面，MN ⊄OCD PC ⊂OCD 所以平面.MN ∕∕OCD19．如图，直三棱柱，ABC A B C '''-90ACB ∠=︒， O 为AB 的中点．1AA BC AC '===(1)求圆柱的侧面积；(2)求与平面所成角的大小．AB 'BB C C ''【答案】(1)2π(2)π6【分析】（1）根据圆柱的侧面积公式计算即可；（2）证明平面，则即为与平面所成角的平面角，再解AC ⊥BB C C ''AB C ∠'AB 'BB C C ''即可.Rt AB C '△【详解】（1）因为，90ACB ∠=︒所以即为底面圆的直径，ABAB ==所以圆柱的侧面积为；π2π=（2）连接，,AB B C ''在直三棱柱中，ABC A B C '''-因为平面，平面，CC '⊥ABC AC ⊂ABC 所以，AC CC '⊥又平面，,,,AC BC BC CC C BC CC ''⊥⋂=⊂BB C C ''所以平面，AC ⊥BB C C ''则即为与平面所成角的平面角，AB C ∠'AB 'BB C C ''在中，Rt AB C '△1,AC B C '==所以，tan AB C '∠=π6AB C '∠=即与平面所成角的大小为.AB 'BB C C ''π620．佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫等功效．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目，如图1所示的平行四边形ABCD 由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得到图2所示的六面体形状的香囊．若．2AB =(1)求图2中六面体的表面积；(2)求二面角的大小．P EF P '--【答案】(1)(2)7πarccos 9-【分析】（1）求边长为的六个等边三角形的面积之和即可求解；2（2）和都是等边三角形，取的中点，连接，，，设面PEF P EF ' EF M PM P M 'PP 'PP '⋂，可得即为二面角的平面角，在中，由余弦定理即可求解并求EFG O =PMP '∠P EF P '--PMP ' 得角的大小.【详解】（1）由题意可得：六面体的六个面都是边长为的等边三角形，2所以六面体的表面积为262=（2）由题意可得：和都是等边三角形，且边长为，PEF P EF ' 2取的中点，连接，，，设面，EF M PM P M 'PP 'PP '⋂EFG O =可得，，且PM EF ⊥P M EF '⊥PM PM '==所以即为二面角的平面角，PMP '∠P EF P '--在正四棱锥中，P EFG -2cos303EO EF =⋅⋅︒=所以PO ===所以PP '=在中，由余弦定理可得：PMP '，2227cos 29PM MP PP PMP PM MP ''+-'∠===-'⋅⋅所以7πarccos 9PMP =-'∠21．如图，在三棱柱中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，侧面111ABC A B C -为菱形，点在平面ABC 上的投影为AC 的中点D，且．11ACC A 1A 2AB =(1)求点C 到侧面的距离；11ABB A (2)在线段上是否存在点E ，使得直线DE 与侧面11A B 11ABBA 出的长；若不存在，请说明理由．1A E 【答案】(2)存在，11A E =【分析】（1）先由题意证得，，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，再求出与平DB DC 1A D AC 面的一个法向量，利用点到平面的距离公式即可得解；11AA B B （2）假设存在满足条件的点E ，且，从而得到，再利用空间向量111A E A B λ=⋅DE = 线面夹角公式得到关于的方程，进而求得，由此即可求出的长.λ12λ=1A E 【详解】（1）因为点在底面ABC 上的投影为AC 的中点，所以平面ABC ，1A D 1A D ⊥又平面ABC ，故，，,AC BD ⊂1A D AC ⊥1A D BD ⊥因为是以AC 为斜边的等腰直角三角形，点为AC 的中点，故，ABC D AC BD ⊥所以，，两两垂直，故以点为坐标原点，直线，，分别为x ，y ，z 轴，DB DC 1A D D DB DC 1A D 建立空间直角坐标系，如图，.因为是以AC 为斜边的等腰直角三角形，，所以ABC 2AB =AC=DB DA DC ===因为侧面为菱形，所以11AA C C1A AAC ==又，所以，1A D AC ⊥1DA 则，，，，，(0,0,0)D (0,ABC 1A 则，，，)AB =(1AA = (0,AC = 设平面的一个法向量为，则，11AA BB (,,)nx y z =100n AB n AA ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩取，则，故，1z=x y ==n = 所以点到平面的距离为.C 11AA BB d =（2）假设存在满足条件的点E ，则存在，使得，[0,1]λ∈)111A E A B AB λλλ=⋅=⋅=⋅ 则，11DE DA A E λ=+=+⋅= 因为直线DE 与侧面11AA BB 所以cos ,DE n DE n DE n ⋅====⋅，=214λ=又，故，[0,1]λ∈12λ=因此存在满足条件的点，且，即．E 1112A E AB == 11A E =【点睛】关键点睛：本题第2小问解决的关键是利用空间向量的线性运算求得关于的表达式，DE λ从而利用空间向量线面夹角公式求得的值，由此得解.λ。

2021-2022学年上海市位育中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）n A ．B ．C ．D ．1n n -21n n +212n n +11n n +-【答案】D【分析】根据等差数列前项和公式解决即可.n 【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项，12n +12n -奇数项之和为，1111111222()2222n n n n n a d a d +-⋅++-+⋅=+偶数项之和为，111311122()2()2222n n n n n a d d a d --⋅---++⋅=+所以奇数项之和与偶数项之和的比为，11n n +-故选：D2．若，则的值为（ ）1,(1)log a b a >>lim n nn n n a b a b ∞→+-+A ．1B ．-1C ．0D ．1±【答案】B【分析】根据求出之间的关系，后在上下同时除以中较大数的幂1,(1)log a b a >>,a b lim n nnn na b a b ∞→+-+,a b 即可.【详解】可知，所以，1log log a a b a >=1b a >>()0,1ab ∈.101lim lim 1011nn n n n n n n a a b ba b a b ∞∞→+→+⎛⎫- ⎪--⎝⎭===-++⎛⎫+ ⎪⎝⎭故选：B.3．数列满足，若，则的取值范围是（ ）{}n a *123,N n n a a n +=+∈20171a a ≥1a A ．B ．C ．D ．{}3-(,3]-∞[)3,∞-+[3,)+∞【答案】C【分析】首先按照、讨论，根据递推公式得到是以首项为，公比为的1=3a -13a ≠-{}3n a +13a +2等比数列，从而得到，再将不等式转化为，解不等()11323n n a a -=+⋅-20171a a ≥()201611323a a +⋅-≥式即可.【详解】因为，所以，*123,N n n a a n +=+∈()1323n n a a ++=+当时，，满足题意；1=3a -3n a =-当时，即，13a ≠-1323n n a a ++=+所以是以首项为，公比为的等比数列.{}3n a +13a +2所以，即.()11332n n a a -+=+⋅()11323n n a a -=+⋅-所以得：，即，20171a a ≥()201611323a a +⋅-≥()()201613210a +⋅-≥解得，所以；130a +≥13a >-综上，.13a ≥-故选：C4．数列满足：首项，，则下列说法正确的是（ ）{}n a 11a =12,2,nn n a n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数A ．该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列135,,a a a 246,,a a a B ．该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列135,,a a a 246,,a a a C ．该数列的奇数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列135,,a a a D ．该数列的偶数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列246,,a a a 【答案】D【分析】根据题意写出数列的前6项，根据数列等差中项和等比中项的性质，即可判断ABC ，令，然后通过题意可证明为一个定值，即可判断D24n n b a =+1n n b b +【详解】已知数列满足，{}n a 12,2,nn n a n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数则，，，，，2122a a ==2324a a =+=4328a a ==54210a a =+=65220a a ==对于A ，，即，所以该数列的奇数项成等比数列不成立，24110≠⨯ 2315a a a ≠⋅135,,a a a，即，所以该数列的偶数项成等差数列不成立，A 选项错误；28220⨯≠+ 4262a a a ≠+246,,a a a 对于B ，，即，所以该数列的奇数项成等差数列不成立，24110⨯≠+ 3152a a a ≠+135,,a a a ，即，所以该数列的偶数项成等比数列不成立，B 选项错误；28220≠⨯ 2426a a a ≠⋅246,,a a a 对于C ，，，1345,48a a +=+=5414a +=，所以该数列的奇数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列不成立，C 28514≠⨯ 135,,a a a 选项错误；对于D ，令，24n n b a =+由可得，12,2,nn n a n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数()22212222422n n n n a a a a ++=+=+=所以，所以即是公比为2的等比数列，122222422448n n n n n n b a a b a a +++=+==++{}n b {}24na +则该数列的偶数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列，D 选项正确；246,,a a a 故选：D.二、填空题5．数列1，3，7，15，…的一个可能的通项公式为=_____n a 【答案】， 21n-N*n ∈【分析】观察项与项数的关系，项的变化比较快故可以考虑与指数函数的关系.【详解】各项都加1后为2，4，8，16，…，因此一个可能的通项公式为=.n a 21n-故答案为: 21,N *nn -∈6．等差数列中，，的前项和为，则____{}n a 36a ={}n a n n S 5S =【答案】30【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得.【详解】解：在等差数列中，所以，{}n a 36a =1532a a a +=所以.()155355302a a S a +===故答案为：307．数列中，则中满足的的值为___{}n a 1115,2n n a a a +==-{}n a 10m m a a +<m 【答案】8【分析】由已知条件得该数列为等差数列，求出通项公式，代入中，解出不等式根据条10m m a a +<⋅件求得的值m 【详解】在数列中，因为，{}n a 1122n n n n a a a a ++=-⇒-=-所以数列以首项为，公差的等差数列，{}n a 115a =2d =-所以，15(1)(2)217(N )n n n n a *=+-⨯-=-+∈所以，10m m a a +<即，()()()()21721172172150m m m m -+⨯-++=-⨯-<⎡⎤⎣⎦解得：，又151722m <<N m *∈所以8m =故答案为：8.8．已知，则常数构成的点的坐标为____25lim()4n nan b n →∞-=+,a b (,)a b 【答案】(5,20)-【分析】根据数列极限求解点即可.(,)a b 【详解】由题知，，22m 5l l i 5m()4()4i 4n n a n a b an n n nn →→∞∞-=+--=+所以，解得，504a a b -=⎧⎨-=⎩520a b =⎧⎨=-⎩所以常数构成的点为.,a b (5,20)-故答案为：(5,20)-9．用数学归纳法证明等式时，第（ii ）步从22222222(21)(1)(1)12213n n n n n +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=--n =k 到n =k +1时等式左边应添加的项是____【答案】2221k k ++【分析】根据数学归纳法的证明步骤解答.【详解】时，左边；n k =2222222(1)(1)1221k k k ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+--=当时，左边；1n k =+222222222(1)(1)(1)1221k k k k k ++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+-+-=观察两式易知增加的项为：.222221(1)k k k k +=+++故答案为：.2221k k ++10．设等差数列，的前项和分别为，，且，则____{}n a {}n b n n S n T 5321n n n S n T +=-44a b =【答案】3813【分析】根据等差数列前项和公式解决即可.n 【详解】由题知，等差数列的前n 项和分别为，，且，{}n a {}n b n S n T 5321n n n S n T +=-因为，71744744177()7(2)353387(2)7()14113a a a a S b b b b T ++=====+-故答案为：.381311．等比数列中，，则通项公式____{}n a 1234126,52a a a a a ++=-=n a =【答案】1*23,Nn n -⨯∈【分析】基本量法联立方程组解出即可.1,a q 【详解】已知可得，1234126,52a a a a a ++=-=21113112652a a q a q a q a ⎧++=⎨-=⎩两式相除得，解得311211112+a q a q a a q a q -=-=+3,q =代入解出所以31152a q a -=16,a =123,N n n a n -*=⨯∈故答案为：1*23,Nn n -⨯∈12．“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增.共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”（选自《九章算法比类大全》诗中所述的尖头有________盏灯【答案】3【分析】将问题看成是等比数列的问题，利用等比数列的知识求解即可.【详解】设尖头至第一层分别有盏灯127,,,a a a ⋯由题意可知，成等比数列，且公比为127,,,a a a ⋯2，解得()7171238112a S -==-13a =故答案为：3【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.13．已知数列对于任意，，有，若，则_____________．{}n a p *N q ∈p q p qa a a ++=119a =36a =【答案】4【分析】按递推公式先求出，再导出，然后求出，再导出，进而求出，由此可求出2a 4a 8a 16a 32a ．36a 【详解】由题意得，214284168248162,2,2,29999a a a a a a a a ========,32163632432362,499a a a a a ===+==故答案为:4．14．若数列满足，，则该数列的前项的乘积{}n a 12a =()111nn na a n a *++=∈-N 2011 _____________.12320102011a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅= 【答案】3【分析】推导出，计算出、、的值，即可得出()4n n a a n *+=∈N 1a 2a 3a 的值.12320102011123a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅ 【详解】因为，，则，，12a =()111n n n a a n a *++=∈-N 1211123112a a a ++===---23211311132a a a +-===--+，，，3431111211312a a a -+===-+454111321113a a a ++===-- 以此类推可知，()4n n a a n *+=∈N ，且，()12341123123a a a a ⎛⎫⋅⋅⋅=⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭ 201145023=⨯+因此，.()1232010201112312332a a a a a a a a ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⨯-⨯-= ⎪⎝⎭ 故答案为：.315．在由正整数构成的无穷数列中，对任意的都有成立，且对于任意 ，{}n a N n *∈1n n a a +<N k *∈数列中恰好有k 个k ，则=____{}n a 2017a 【答案】64【分析】直接利用数列的递推关系式和求和公式的应用求出结果．【详解】该数列为：1；2，2；3，3，3；4，4，4，4；…，当时，，63n =()631631236320162⨯++++⋯+==所以，201764a =故答案为：64.16．在数列中，如果对任意 都有（为常数），则称为等差比数列，{}n a *n ∈N 211n n n na a ka a +++-=-k {}n a 称为公差比．现给出下列命题：k ①等差比数列的公差比一定不为；0②等差数列一定是等差比数列；③若，则数列是等差比数列；32nn a =-+{}n a ④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比．其中正确的命题的序号为__________．【答案】(1)(3)(4)【详解】分析：（1）举例说明：公差比为0，a n+2﹣a n+1=0，数列{a n }为常数列，所以 211n n n n a a ka a +++-=-的分母为0，无意义；（2）等差数列为常数列时，不是等差比数列；（3）由a n =﹣3n +2=211n n n n a a a a +++--是公差比为3的等差比数列；（4）a n =a 1•q n ﹣1，代入可知命题正确，综合可得答2n+1n+13+2+3-23-3+232n n +-=+-案．详解：（1）若公差比为0，则a n+2﹣a n+1=0，故{a n }为常数列，从而 的分母为0，无211n n n n a a ka a +++-=-意义，所以公差比一定不为零；（2）当等差数列为常数列时，不能满足题意；（3）a n =﹣3n +2=是公差比为3的等差比数列；211n n n n a a a a +++--2n+1n+13+2+3-23-3+232n n +-=+-（4）a n =a 1•q n ﹣1，代入=q 命题正确，所以，正确命题为①③④．211n n n n a a a a +++--故答案为：①③④点睛：本题主要考查新定义，解题时应正确理解新定义，同时注意利用列举法判断命题真假.三、解答题17．数列满足，求的通项公式{}n a *1129,21,,2n n a a a n n n -=-=-∈≥N {}n a 【答案】2*28,n a n n =+∈N 【分析】根据累加法求通项解决即可.【详解】由题知，数列满足，{}n a *1129,21,,2n n a a a n n n -=-=-∈≥N 所以当时，2n ≥()()()11221n n n n a a a a a a ----+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-()()21233n n =-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()()1222n n -+=21n =-所以，2211,=28,2n n a a n a n n =-+≥-又因为符合上式，129a =所以.2*28,n a n n =+∈N 18．如图，是边长为的等边三角形纸板，在的左下端剪去一个边长为的等边三角形得到，1P 11P 122P 然后再剪去一个更小的等边三角形（其边长是前一个被剪去的等边三角形边长的一半），得到、3P 、、、.4P nP (1)设第次被剪去等边三角形面积为，求；n n a n a (2)设的面积为，求.n P n S lim nnS →∞【答案】(1)114n n a +⎫=⎪⎭【分析】（1）由题意可得数列为等比数列，根据首项和公比进而可得结果；{}n a （2）根据等边三角形的性质求出的面积，根据等比数列前项和公式从而推导出即可求出答1P n n S 案【详解】（1）解：由题意可得1111sin 60222a =⨯⨯⨯=设第次被剪去等边三角形的边长为，则，则，n n b 112n n b b +=21114n n n n a b a b ++⎛⎫===⎪⎝⎭所以数列是以为公比的等比数列，{}na 1a =14所以.11114n n n a a q+-⎫==⎪⎭（2）解：由已知得的面积1P 11112S =⨯⨯所以的面积为，nP ()112114n n n S a a a --⎫=-+++==⎪⎭ 所以lim n n S →∞=19．已知数列满足.{}n a *111,22,n n a a S n n +==++∈N (1)当时，数列是否是等比数列？给出你的结论并加以证明；*,2n n ∈≥N {}2n a +(2)求数列的通项公式.{}n a 【答案】(1)是，证明见解析；(2).21,1722,2n n n a n -=⎧=⎨⋅-≥⎩【分析】（1）由与的关系得递推关系，即可进一步变形得.n a n S 12n n n a a a +-=+()1222n n a a ++=+（2）由定义法求等比数列的通项公式，即可求出时的通项公式，判断2n ≥{}2n a +2n ≥{}n a 是否符合即可.1n =【详解】（1）当时，，∴，2n ≥()11222122n n n n n a a S n S n a +--=++-+-+=+⎡⎤⎣⎦()1222n n a a ++=+故数列为公比为2的等比数列∴当时，数列是等比数列.*,2n n ∈≥N {}2na +（2）当时，，1n =211445a S a =+=+=由（1）得，当时，，令，与不符.2n ≥()222222272722n n n nn a a a ---+=+⋅=⋅⇒=⋅-1n =11a =故数列的通项公式为.{}n a 21,1722,2n n n a n -=⎧=⎨⋅-≥⎩20．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，15由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.14(1)设年内(本年度为第一年)总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出的表达式；n n a n b ,n n a b (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？【答案】(1) ，； (2) 至少经过5年，旅游业的总收入才4400015n n a ⎡⎤⎛⎫=⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦5160014n n b ⎡⎤⎛⎫=⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦能超过总投入.【分析】(1)利用等比数列求和公式可求出n 年内的旅游业总收入与n 年内的总投入；（2）设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，可得－＞0，结合（1）可得n n b n a ，解得，进而可得结果.541600410001045n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-4255n⎛⎫< ⎪⎝⎭【详解】(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－)万元，…第n 年投入为800×(1－)n －1万元，所以，n 年内的总投入为=800+800×(1－)+…+800×(1－)n －1==4000×［1－()n ］n a 4115800415n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⨯-第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+)，…，第n 年旅游业收入400×(1+)n －1万元.所以，n 年内的旅游业总收入为=400+400×(1+)+…+400×(1+)n －1==1600×［()n －1］n b 5114800514n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⨯-(2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此－＞0，即：n b n a1600×［()n －1］－4000×［1－()n ］＞0，令x =()n ，代入上式得：5x 2－7x +2＞0.解此不等式，得x ＜，或x ＞1(舍去).即()n ＜，由此得n ≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、等比数列的求和公式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.21．设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；{}n a 12a =q q 33a 18a 5a 数列满足（）.{}n b 232()02n n n t b n b -++=*R,N t n ∈∈（1）求数列的通项公式；{}n a （2）试确定的值，使得数列为等差数列；t {}n b （3）当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.{}n b k k a 1k a +k b {}n c 设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.n T {}n c n 12m m T c +=m 【答案】（1）；（2）；（3）.2n n a =3t =2m =【分析】（1）由等差中项的性质可得，结合等比数列通项公式求基本量，即可得31568a a a =+的通项公式；{}n a （2）由已知有，写出前3项并利用等差中项的性质列方程求t 即可.2232n n tn b n -=-（3）根据（2）和题设列举数列，易判断不合题意，适合题意，要使时{}n c 1m =2m =3m ≥成立，必为中一项得整理化简有12m m T c +=1m c +{}n a 1k a +2112(222)2()22,k k k b b b ++++++++=⨯ ，结合数学归纳法判断上述等式恒不成立，即可得结果.221k k k =+-*N k ∈【详解】（1）由题设，即，解得或（舍），31568a a a =+2468q q =+24q =22q =又为正整数，故，又，则.q2q =12a =2n n a =（2）由，得：，232()02n n n t b n b -++=2232n n tn b n -=-所以,12324,164,122b t b t b t =-=-=-由，可得，此时，1322b b b +=3t =2n b n =由知：此时数列为等差数列.12n n b b +-={}n b （3）由（2）及题设知：为，{}n c 2,2,2,4,2,2,2,2,8,2,2,2,2,2,2,16,......所以，易知：不合题意，适合题意.1232c c c ===1m =2m =当时，若后添入，则，不合题意，3m ≥12+=m c 12m m T c +>从而必是数列中的某一项，则1m c +{}n a 1k a +231123(2222)2()22,k k k b b b b ++++++++++=⨯ 则 即，整理，1(22)2(21)222,2k k k k ++⨯-+⨯=⨯1222220k k k +--+=221k k k =+-易证：k =1，2，3，4不是该方程的解，而当n ≥5时成立，证明如下：221n n n >+-当n = 5时，，左边＞右边成立；52232,129k k =+-=假设n = k 时，成立，221k k k >+-当n = k + 1时，122222(1)(21)(321)1k k k k k k k k +>+-=+++-+-⋅-=2(1)(1)153k k k k ≥+++-+--2(1)(1)13(1)k k k k =+++-++-2(1)(1)1k k ≥+++-所以，当n =k +1时结论成立．由上知：恒成立，故无正整数解．221(5)n n n n >+-≥221k k k =+-综上，满足题意的正整数仅有m =2.。

徐汇区2022学年第一学期高二年级期末测试数学联考卷测试时间：90分钟 总分值：100分一、填空题〔每题3分,共36分〕1、直线10x +=的倾斜角是____________.2、如果0AB >且0AC <,那么直线0Ax By C ++=不通过第____________象限.3、与向量{}3,4a =平行的单位向量是______________.4、假设向量a 、b 的夹角为150°,||a =3, ||b =4, 那么|2|a b +=___________.5、如图:在平行六面体1111D C B A ABCD -中,M 为AC 与BD 的交点,假设b D A a B A ==1111,,c A A =1, 那么向量M B 1= ___________.6、两点(4,9)P -,(2,3)Q -,那么y 轴与直线PQ 的交点分有向线段PQ 所成的比为____________.7、ABCD 为空间四边形,AB CD ⊥且AC BD ⊥,那么BC 与AD 的位置关系是____________.8、棱锥的底面面积为642cm ,假设用平行于底面且与底面之距离等于棱锥高的14的平面截棱锥,那么截面的面积为___________.9、正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,那么其体积为___________.10、正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1,O 是底面1111D C B A 的中央,那么O 到平面ABC 1D 1的距离为___________.11、在正三棱台中,上、下底面边长分别为2和4,那么侧面与底面所成二面角的大小为___________.〔结果用反三角函数值表示〕12、有两个相同的直三棱柱,高为a2,底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a .用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,那么a 的取值范围是__________.二、选择题〔每题3分,共12分〕13、不同直线,m n 和不同平面,αβ,给出以下命题 ① ////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② //////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭③,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有〔 〕(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 14、a 、b 为非零向量,那么||||a b a b +=-成立的充要条件是〔 〕(A) //a b (B)a 与b 有共同的起点 (C)||||a b = (D)a b ⊥15、平行六面体1111D C B A ABCD -的六个面都是菱形,那么顶点B 在平面ACB 1上的射影一定是⊿ACB 1的〔 〕(A)重心 (B) 外心 (C)内心 (D)垂心16、如图:在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中,P 、Q 是对角线A 1C 上的点,且PQ =21a ,那么三棱锥P BDQ -的体积是〔 〕333D CA 1B 1A BMD 1C 1A C 111B D 1PQA 1AB 1BCC 1〔第11题〕三、解做题〔共52分〕17、直线l 的倾斜角是由两点()()3,50,9M N --、所确定的直线的倾斜角的两倍,求直线l 的斜率.〔此题6分〕18、平面向量{}{}{}3,4,2,,2,,a b x c y =-==a ∥b ,c a ⊥,求c b 、及c b 与夹角.〔此题8分〕19、斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为a 的正三角形,侧棱长为b ,一条侧棱AA 1与底面相邻两边AB 、AC 都成45︒角,求此斜三棱柱的侧面积.〔此题8分〕20、如图:BC=2,原点O 是BC 的中点,点A的坐标为1,,0)22,点D 在面yoz 上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°. (1)求向量CD 的坐标；(2)求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值.〔此题10分〕侧棱长为5,P 是侧棱1CC 上的任意一动点.(1)求证：不管P 在侧棱1CC 上何位置,总有AP BD ⊥；(2)假设21=P C ,求二面角B P B A --1的大小〔用反三角函数值表示〕. 〔此题10分〕A P D 1C 1A 1B 1DCBABB 1C 1CA 14,OC =PO ⊥平面OABC ,(0)PO a a =>,D 为OB 中点,E 为线段OA 上的点,F 为线段PO 上的动点,G 为PA 的中点,建立如图空间直角坐标系.(1)假设OG ⊥平面DEF ,求a 的取值范围；(2)空间中有定理：平面的一条斜线与平面所成的角和此斜线与平面的垂线成的角互余.根据上述定理,在OG ⊥平面DEF 且4a =时,求斜线BP 与平面DEF 所成的角的大小.〔用反三角函数值表示〕〔此题10分〕2022学年度第一学期高二联考期末测试卷数学试卷〔做题卷〕测试时间：90分钟 总分值：100分一、填空题〔每题3分,共36分〕1、_____________2、_____________3、_____________4、_____________5、____________6、_____________7、____________8、_____________9、____________ 10、_____________ 11、____________ 12、_____________ 二、选择题〔每题3分,共12分〕13、__________ 14、__________ 15、__________ 16、__________ 三、解做题17、〔此题6分〕18、〔此题8分〕 y学校 班级 学号 姓名 座位号19、〔此题8分〕20、〔此题10分〕21、〔此题10分〕 AP D 1C 1A 1B 1DCBABB 1C 1CA 122、〔此题10分〕y2022学年度第一学期高二联考期末测试卷参考答案二、填空题1、65π； 2、三； 3、⎭⎬⎫⎩⎨⎧--⎭⎬⎫⎩⎨⎧54,53,54,53 ； 4、2； 5、c b a ++-2121； 6、2； 7、异面垂直； 8、362cm ；9、316； 10、42； 11、31arcCos ； 12、0＜a ＜315.三、选择题13、D 14、D 15、B 16、A 四、解做题 17、〔此题6分〕解：∵αtg k MN ==-+-=340395 ···························2分 ∴直线 的斜率72434134212222-=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-==αααtg tg tg k ·····6分 18、〔此题8分〕解：∵a ∥b ∴432-=x ∴38-=x 即： b =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-38,2 ········2分 又∵a ⊥c ∴046=-y ∴23=y 即：c =⎭⎬⎫⎩⎨⎧23,2 ··········4分 ∵⋅b c =04423,238,2=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧- ∴⋅b c 夹角为2π ······8分19、〔此题8分〕解法一：作CM M AA BM 连于1⊥⎪⎭⎪⎬⎫=︒=∠=∠=MA MA MAC MAB ACAB 45⇒△≅ABM △AMC ACM ∠⇒︒=∠=90AMB即：）BMC BMC AA 为直截面平面(1⊥·····················4分 又 a AB CM BM 2245sin =︒⋅== ∴S 侧()ab b a a a 212222+=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= ······················8分 解法二：作G BC AO ABC O A 于交连平面⊥1∵∠AC A AB A 11∠= ∴又的角平分线是，CAB AG ∠△是正三角形ABC ∴BC AA BC AO BC AG ⊥⊥⊥1,,即可得由又 1AA ∥1BB ∴是矩形11BCC B ·························4分 ∴S 侧=2()ab ab b a S S BCC B B B AA 212221111+=+⋅⋅⋅=+·············8分 20、〔此题10分〕解〔1〕)0,1,0(C )23,21,0(-D ······························2分⎫⎧33〔2〕⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=23,1,23AD210=又 )0,1,0(-B )0,1,0(C ∴{}0,2,0=BC ···················6分 设BC AD ⋅所夹角为θ··································7分51021022-=⋅-==BC AD Cos θ······················9分 ∴异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为··················10分 21、〔此题10分〕解：〔1〕∵⊥1CC 平面ABCD 连AC ,AC 是AP 在平面ABCD 上的射影又AC BD ⊥,⇒AP BD ⊥.·····························4分〔2〕∵4,3==BC CP∴15BB BP ==.取P B 1的中点H ,连BH ,得P B BH 1⊥ 又⊥AB 平面11BCC B ∴ AH ⊥B 1P即：AHB ∠是二面角B P B A --1的平面角·············7分在Rt △ABP 中,52,4==BH AB ∴552==∠BH AB AHB tg ∴二面角5521arctg B P B A 的平面角为--·············10分22、〔此题10分〕解：〔1〕)0,0,2(A B(2,2,0) P(0,0,a ) G(1,0,2a) D(1,1,0) 设E(x ,0,0) F(0,0,z )·····································2分∴{}{}0,1,1,,0,,2,0,1x ED z x EF a OG -=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧= ∵DEF OG 平面⊥∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅010200x az x ED OG EF OG ···························4分 ∴a z z a x ≤==又,2,1∴222≥⇒≥a a a ∴2≥a 此时E 必为OA 中点··········6分〔2〕当4=a 时 {}{}4,2,2,2,0,1--==BP OG 设向量OG 、BP 夹角为θ 那么：1030103062582arcCosCos =⇒=⋅+-=θθ·············9分 ∴斜线BP 与平面DEF 所成的角为10302arcCos-π··········10分。

2022-2023学年上海市位育中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知向量a ，b 是平面α内的两个不共线的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则“0c a ⋅=，且0c b ⋅=”是l α⊥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】由线面垂直的定义和判定定理即可得到答案. 【详解】解：由题意，0c a c a →→→→⋅=⇔⊥，0c b c b →→→→⋅=⇔⊥. 因为向量a ，b 是平面α内的两个不共线的非零向量，所以，根据平面向量基本定理，对于平面α内的任意直线n ，其方向向量为m ，存在唯一实数对,x y 使得m xa yb =+成立，所以，0m c xa c yb c ⋅=⋅+⋅=，即c m ⊥，所以直线l 与平面α内的任意直线都垂直，故l α⊥；若l α⊥，根据线面垂直的定义，可以得到0c a →→⋅=，且0c b →→⋅=. 所以“0c a →→⋅=，且0c b →→⋅=”是l α⊥的充分必要条件. 故选：C.2．如果两个球的表面积之比为4：9，那么这两个球的体积之比为（ ） A ．8：27 B ．2：13 C ．4：943 D ．2：9【答案】A【分析】球的表面积之比是两球的半径的平方之比，体积之比是半径的立方之比，据此即可计算. 【详解】设两球的半径分别为12,r r ，则21224449r r ππ=，∴1223r r =， 所以两球的体积比为3113224834273r V V r ππ==；故选：A.3．从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（）A．甲乙两班同学身高的极差不相等B．甲班同学身高的平均值较大C．甲班同学身高的中位数较大D．甲班同学身高在175 cm以上的人数较多【答案】A【分析】利用茎叶图的概念结合数据分析即可确定答案.【详解】对于A，甲班同学身高的极差为182﹣157＝25，乙班同学身高的极差为182﹣159＝23，∴甲乙两班同学身高的极差不相等，故A正确；对于B，甲班数据靠上的相对少，乙班数据靠上的相对多，∴估计甲班同学身高的平均值较小，故B错误；对于C，甲班同学身高的中位数为1661702+=168，乙班同学身高的中位数为1711722+=171.5，∴甲班同学身高的中位数较小，故C错误；对于D，甲班同学身高在175cm以上的有3人，乙班同学身高在175cm以上的有4人，∴甲班同学身高在175cm以上的人数较少，故D错误．故选:A．4．下列说法正确的是（）A．四边形一定是平面图形B．不在同一条直线上的三点确定一个平面C．梯形不一定是平面图形D．平面α和平面β一定有交线【答案】B【分析】根据空间元素的位置关系和三大公理及推论分别判断选项正误.【详解】解：对于选项A,四边形不一定是平面图形,也可能是空间四边形,故A错误;对于选项B,不共线的三点确定一个平面,故B正确;对于选项C,梯形中，有一组对边平行,可以确定一个平面,故梯形一定是平面图形，C错误;对于选项D,若平面α和平面β平行,则其没有交线,故D错误;故选:B.5．在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（）A．12B．35C．33D．63【答案】C【分析】作出辅助线，找到异面直线AE，FG所成角，设出正四面体的边长，表达出其他边长，利用余弦定理求出答案.【详解】连接DE，因为点F，G分别为棱CD，AC的中点，所以FG//AD，所以EAD∠或其补角为异面直线AE，FG所成角，设正四面体的边长为a，则3AE DE==，AD a=，由余弦定理得：222222233344cos232a a aAE AD DEEADAE ADa+-+-∠===⋅⨯所以异面直线AE，FG3故选：C6．1002被9除所得的余数为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7【答案】D【分析】由题意可得：()310032921=-，结合二项展开式分析求解. 【详解】由题意可得：()33009319322282912=⨯=⨯=-，可知()33291-的展开式为()991992C 91,0,1, (99)rr r T r -+=⨯⨯-=， 当0,1,...,98r =时，()991992C 91rrr r T -+=⨯⨯-均可被9整除； 当99r =时，()9999100992C 12T =-=-被9除所得的余数为7； 综上所述：1002被9除所得的余数为7. 故选：D.7．某校安排5名同学去A ，B ，C ，D 四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A 基地的排法总数为（ ） A ．24 B ．36 C ．60 D ．240【答案】C【分析】分两种情况分类计算，一种是A 基地只有甲同学在，另外一种是A 基地有甲同学还有另外一个同学也在，两种情况相加即可.【详解】当A 基地只有甲同学在时，那么总的排法是2343C A 36=种；当A 基地有甲同学还有另外一个同学也在时，那么总的排法是1343C A 24=种；则甲同学被安排到A 基地的排法总数为362460+=种. 故选：C8．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）A ．222234510C C C C 165+++⋅⋅⋅+= B ．在第2022行中第1011个数最大C ．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数D ．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3 【答案】C【分析】A 选项由11C C C m m m n n n -++=及22222322234510334510C C C C C C C C C 1++++=+++++-即可判断；B 选项由二项式系数的增减性即可判断；C 选项由11C C C m m m n n n -++=及6767C C =即可判断；D 选项直接计算比值即可判断.【详解】由11C C C m m m n n n -++=可得22222322234510334510C C C C C C C C C 1++++=+++++-32223445101111109C C C C 1C 11164321⨯⨯=++++-=-=-=⨯⨯，故A 错误；第2022行中第1011个数为1010101120222022C C <，故B 错误；666766767678778889C C C C C C C C C ++=++=+=，故C 正确；第34行中第15个数与第16个数之比为14153434343321343320C :C :15:203:4141311514131⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故D 错误. 故选：C.9．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“第一次向下的数字为2或3”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A ．1()4P A =B ．事件A 与事件B 互斥C ．事件A 与事件B 相互独立D ．1()2P A B ⋃=【答案】C【分析】利用互斥事件、相互独立事件的意义及古典概率公式逐项计算判断作答.【详解】依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则21()42P A ==，A 不正确；事件B 含有的基本事件有8个：(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3)，其中事件(2,1),(2,3),(3,2),(3,4)发生时，事件A 也发生，即事件A ，B 可以同时发生，B 不正确； 抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，8141(),()()()162164P B P AB P A P B =====，即事件A 与事件B 相互独立，C 正确；1113()()()()2244P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=，D 不正确. 故选：C10．如图，三棱柱111ABC A B C 满足棱长都相等且1AA ⊥平面ABC ，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点．设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）A ．先增大再减小B ．减小C ．增大D ．先减小再增大【答案】D【分析】以AC 中点O 为坐标原点，,OB OC 分别为,x y 轴，并垂直向上作z 轴建立空间直角坐标系.设所有棱长均为2，则(0,2)x ∈，通过空间向量来求二面角的cos θ=23115()24-+x ，故cos θ在1(0,)2x ∈上单增， 1(,2)2x ∈上单减，即随着x 增大先变大后变小，所以θ随着x 增大先变小后变大.即可得出结果.【详解】以AC 中点O 为坐标原点，,OB OC 分别为,x y 轴，并垂直向上作z 轴建立空间直角坐标系.设所有棱长均为2，则(0,2)x ∈，(3,0,0)(0,1,1)(0,1,)，，-B D E x ,(3,1,1)DB =--，(0,2,1)DE x =--，设平面BDE 法向量(,,)n a b c =,则002(1)0n DB b c n DE b c x ⎧⋅==+⇒⎨⋅=-+-=⎪⎩⎩，令c =11)a x b x c =+⎧⎪-⎨⎪=⎩，故(1,1),n x x =+-.又平面ABC 的法向量(0,0,1)m =，故平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角θ的余弦值cos (m n m nxθ⋅====(0,2)x ∈，故cos θ在1(0,)2x ∈上单增， 1(,2)2x ∈上单减，即随着x 增大先变大后变小，所以θ随着x 增大先变小后变大. 故选：D.【点睛】本题考查了用空间向量求二面角的余弦值，考查了解决问题能力和计算能力，属于中档题目.二、填空题11．已知O 为空间任意一点，A 、B 、C 、P 满足任意三点不共线，但四点共面，且2OP mOA OB OC =--，则m 的值为___________. 【答案】4【分析】根据空间中四点共面的推论结合2OP mOA OB OC =--，求解即可.【详解】解：因为O 为空间任意一点，A 、B 、C 、P 满足任意三点不共线，但四点共面，且2OP mOA OB OC =--， 所以()()211m +-+-=，故4m =. 故答案为：4.12．()41+x 的展开式中2x 的系数为________________． 【答案】6【解析】在二项展开式的通项中令x 的指数为2，求出参数值，然后代入通项可得出结果. 【详解】()41+x 的展开式的通项为414rrr T C x-+=⋅，令422r r -=⇒=，因此，()41+x 的展开式中2x 的系数为246C =. 故答案为：6.【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，涉及二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.13．正方体的6个面无限延展后把空间分成______个部分 【答案】27【分析】正方体的6个面无限延展后把空间分成27个部分，得到答案. 【详解】正方体的6个面无限延展后把空间分成3927⨯=个部分. 故答案为：2714．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，,E F 分别为BC 、1CC 的中点，则平面AEF 截正方体所得的截面面积为____________. 【答案】18【分析】把截面AEF 补形为四边形1AEFD ，由等腰梯形计算其面积即可． 【详解】解：如图，把截面AEF 补形为四边形1AEFD ，连接1AD ，由正方体可得1//EF AD ，可得等腰梯形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得的截面图形， 由正方体1111ABCD A B G D -的棱长为4，得142AD =22EF = 2214225D F AE ==+E 到1AD 的距离即等腰梯形1AEFD 的高为()22422225322⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭∴所求截面的面积为1242)32182S =⨯=， 故答案为：18．15．已知正三棱柱111ABC A B C 的底面边长为2，高为5，从点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点的最短路线长度为___________. 【答案】13【分析】将正三棱柱沿1AA 剪开，即可求解.【详解】如图所示，将正三棱柱沿1AA 剪开，可得到一个矩形，其长为6，宽为5，其最短路线为量相等线段之和，其长度等于225+62（）， 故答案为：13.16．某电池厂有A 、B 两条生产线，现从A 生产线中取出产品8件，测得它们的可充电次数的平均值为210，方差为4；从B 生产线中取出产品12件，测得它们的可充电次数的平均值为200，方差为4.则20件产品组成的总样本的方差为____________. 【答案】28【分析】根据题意结合平均数、方差的公式运算求解.【详解】设A 生产线中取出产品8件的可充电次数为128,,...,x x x ，可得：()888222111111210,84888i i i i i i x x x xx x ===⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭∑∑∑，则882111680,352832i i i i x x ====∑∑， B 生产线中取出产品12件的可充电次数为1212,,...,y y y ，可得：()121212222111111200,124121212i i i i i i y y y yy y ===⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭∑∑∑，则12122112400,480048i i i i y y ====∑∑， 故20件产品组成的总样本的平均数81211120420i i i i m x y ==⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑∑，其方差()()81281222222211111120282020i i i ii i i i s x m y m x y m ====⎡⎤⎛⎫=-+-=+-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑∑∑∑. 故答案为：28.17．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，1AB AD ==，11AA =，则1AC =___________. 6【分析】先用向量线性表示出1AC ，然后求出1AC 即可.【详解】设AB a =,AD b =，1AA c =，则111AC AC CC AB AD CC a b c =+=++=++， ()222221222AC a b ca b c a b a c b c ++=+++=⋅+⋅+⋅，又因为1160A AD A AB DAB ∠=∠=∠=︒，1···2a b a c b c === 所以211111116AC =+++++=，则16AC =.6.18．已知一个圆柱和一个圆锥同底等高，且圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为___________. 3【分析】利用勾股定理及圆的面积公式，结合圆柱圆锥的侧面积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为r ()2223r r r -=，所以圆柱的侧面积为22π33πr r =.由题意可知，圆锥的底面周长为2πr ，母线长为2r ， 所以圆锥的侧面积为212π22π2r r r ⨯⨯=.3. 3.19．甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________. 【答案】512【分析】两轮活动猜对3个成语,相当于事件“甲猜对1个,乙猜对2个”、事件“甲猜对2个,乙猜对1个”的和事件发生,根据独立事件概率求法,即可得解.【详解】解：设12,A A 分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,12,B B 分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立事件的性质,可得()()212313392,448416P A P A ⎛⎫=⨯⨯=== ⎪⎝⎭ ()()212214242,33939P B P B ⎛⎫=⨯⨯=== ⎪⎝⎭ 设A =“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,则1221A A B A B =,且12A B 与21A B 互斥,1A 与2B ,2A 与1B 分别相互独立, 所以()()()1221P A P A B P A B =+()()()()1221P A P B P A P B =+349458916912=⨯+⨯= 因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是512. 故答案为：51220．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为____________. 【答案】55【分析】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用向量法能求出点G 到平面1D EF 的距离．【详解】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()1,,1G λ，1(0D ，0，1)，11,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以11(1,0,)2D E =-，11(1,1,)2D F =-，1(0,,)2GE λ=--，设平面1D EF 的法向量为(,,)n x y z =， 则1110,210,2n D E x z n D F x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+-=⎪⎩令1x =，则0y =，2z =，所以平面1D EF 的一个法向量(1,0,2)n =．点G 到平面1D EF 的距离为1252||||||55GE n n -⨯⋅==．故答案为: 55. 21．如图，在Rt ABC 中，已知43BC AC ==，，D 是斜边AB 上任意一点（不含端点）沿直线CD 将ABC 折成直二面角B CD A --，当AD =___________时，折叠后A ､B 两点间的距离最小.【答案】157##127【分析】根据题意作出图形，作A 作AE CD ⊥于E ，作点B 作BF CD ⊥于F ，然后02ACD πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，进而求出,,,AE BF CE EF ，进而用勾股定理得到AB '，最后通过三角变换与三角函数的图象和性质求得答案.【详解】如图，设翻折后点B 位于点B '处，即求AB '最小时AD 的长度.设02ACD πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，作A 作AE CD ⊥于E ，作点B 作BF CD ⊥于F ，根据题意，平面B CD '⊥平面ACD ，且交于CD ，所以⊥AE 平面B CD '.3sin ,4sin 4cos ,3cos ,2AE BF CE πθθθθ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，4cos 4sin 2CF πθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以4sin 3cos EF CF CE θθ=-=-. 易得AE B E '⊥，所以2222222AB AE B E AE BE AE BF EF ''=+=+=++()2229sin 16cos 4sin 3cos 2512sin 2θθθθθ=++-=-.于是，当4πθ=时，即当CD 为ACB ∠的角平分线时，AB '最小.此时34AD AC DB CB ==，又5AD DB +=，解得：157AD =. 故答案为：157. 22．在一个棱长为6cm 的密封正方体盒子中，放一个半径为1cm 的小球．无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间体积是_________cm 3.【答案】4056π3- 【分析】小球不能到达的位置为正方体的8个顶点附近和12条棱附近的部分组成.【详解】顶点部分不能到达部分为棱长为1的正方体减去半径为1的球体的18，如下图，所以8个顶点部分体积为334141π188π383⎛⎫-⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭， 棱部分不能到达部分为底面是边长为1，高为4的长方体减去底面半径为1，高为4的圆柱体的14，如下图，12条棱部分不能到达的体积是2111π14124812π4⎛⎫-⨯⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭， 所以不能到达的体积为4408π4812π56π33-+-=-. 故答案为：4056π3- 23．已知正方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，点P 在平面11AB D 内，132A P =P 到1BC 距离的最小值为__________.【答案】23【分析】分别取1AD 、1BC 的中点E 、F ，连接1A E 、1B E 、1B F 、EF ，证明出1BC ⊥平面1B EF ，对于平面11AB D 内任意一点P ，过点P 作1//MN AD 分别交11B D 、1B E 、1AB 于点M 、Q 、N ，分析可知点P 到直线1BC 的距离等于线段QF 的长，当1QF B E ⊥时，QF 最短，此时点P 到直线1BC 的距离取到最小值，利用等面积法求解即可.【详解】分别取1AD 、1BC 的中点E 、F ，连接1A E 、1B E 、1B F 、EF ，11//AB C D 且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，所以，11//AD BC 且11AD BC =，因为E 、F 分别为1AD 、1BC 的中点，则//AE BF 且AE BF =，所以，四边形ABFE 为平行四边形，故//EF AB 且6EF AB ==，AB ⊥平面11BB C C ，EF ∴⊥平面11BB C C ，1B F 、1BC ⊂平面11BB C C ，则1B F EF ⊥，1EF BC ⊥，111BB B C =，则11B F BC ⊥，因为1B F EF F ⋂=，1BC ∴⊥平面1B EF ，221111663222B F BC ∴==+= 对于平面11ABD 内任意一点P ，过点P 作1//MN AD 分别交11B D 、1B E 、1AB 于点M 、Q 、N ，11//AD BC ，1//MN BC ∴，所以点P 到直线1BC 的距离等于点Q 到直线1BC 的距离，QF ∴⊂平面1B EF ，故1QF BC ⊥，所以点Q 到直线1BC 的距离为线段QF 的长，1B F EF ⊥，则1B EF 是以1B FE ∠为直角的直角三角形，当1QF B E ⊥时，QF 最短，此时点P 到直线1BC 的距离取到最小值.在正方体中，11B A ⊥平面11ADD A ，又1A E ⊂平面11ADD A ，所以111B A A E ⊥，又11A E B F ==所以1B E所以在1Rt B EF 中由等面积法可得：111122B E QF B F EF ⋅=⋅，即11B F EF QF B E ⋅=== 所以P 到直线1BC 的距离取到最小值为故答案为：24．有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次，若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束，则该棋手获胜的概率为__________.【答案】85256【分析】根据题意找出(38)n P n ≤≤与21,n n P P --的关系即可求解.【详解】由题2111(38)22n n n P P P n --=+≤≤，故11212n n n n P P P P ----=--， 由2112P P -=-，所以111,22n n n P P n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭，12112P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 23212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，78712P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，累加可得： 2878108111118518521,1222128225612P P P ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+-+-+⋅⋅⋅+-==== ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭． 故答案为：85256.三、解答题25．如图所示的几何体是圆柱的一部分，它由矩形ABCD 的边AB 所在的直线为旋转轴旋转120得到的，3,2AB AD ==.(1) 求这个几何体的体积；(2) 这个几何体的表面积.【答案】(1)4π；(2)20π123+.【分析】（1）求出矩形旋转一周所得圆柱的体积，根据几何体与圆柱体积比求其体积即可；（2）分别求出几何体外侧曲面、上下底面、两个矩形的面积，进而加总即可得结果.【详解】（1）由题设，若将矩形旋转一周所得圆柱的体积为1V AB S =⨯，其中1S 为底面积，且21πS AD =⨯，故34π12πV =⨯=，因为几何体是矩形旋转120得到，故几何体体积为1204π3603V V ==. （2）由题设14π2π33FD EC AD ==⨯⨯=，则几何体外侧曲面的面积为4π34π3⨯=， 上下底面的面积和为18π233S ⨯=，矩形,ABCD ABEF 的面积和为12，综上，几何体的表面积为20π123+. 26．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PD DC =，E ，F 分别是AD ，PB 的中点．(1)证明：EF ∥平面PCD ．(2)求直线P A 与平面CEF 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)32【分析】（1）由平行四边形可得线线平行，进而由线面平行的判定定理即可求证，（2）建立空间直角坐标系，由向量法即可求解线面角.【详解】（1）如图，设M 为PC 的中点，连接FM ，MD ．因为F ，M 分别为PB ，PC 的中点，所以1,2FM BC FM BC =∥． 在正方形ABCD 中，1,2DE BC DE BC =∥，所以,DE FM DE FM =∥． 所以四边形DEFM 为平行四边形，DM EF ∥．因为DM ⊂平面PCD ，EF ⊄平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ．（2）以D 为原点，以DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设2PD DC ==，则(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)A C P E F ，(0,1,1),(1,2,0),(2,0,2)EF EC AP ==-=-．设平面CEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,EF n EC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,20,y z x y +=⎧⎨-+=⎩令2x =，则(2,1,1)n =-． 设直线P A 与平面CEF 所成角为θ， 则3sin |cos ,|||2|||AP n AP n AP n θ⋅=〈〉==， 故直线P A 与平面CEF 所成角的正弦值为32． 27．某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[)45,55，第二组[)55,65，第三组[)65,75，第四组[)75,85，第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)求a 、b 的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数（精确到0.1）；(3)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率.【答案】(1)0.005a =，0.025b =；(2)平均数69.5，第60百分位数71.7；(3)35【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，可得a ，b ；（2）根据直方图中各个数字特征的求法运算即可；（3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可．【详解】（1）解：因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以(0.0450.020)100.7a ++⨯=，解得0.005a =，所以前两组的频率之和为10.70.3-=，即()100.3a b +⨯=，所以0.025b =；（2）解：又频率分布直方图可得众数为70，平均数为500.05600.25700.45800.2900.0569.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以第60百分位数在第三组，且为0.60.3651071.70.45-+⨯≈； （3）解：第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a ，b ，c ，d ，第五组志愿者人数为1，设为e ，这5人中选出2人，所有情况有(a ,)b ，(a ,)c ，(a ,)d ，(,)a e ，(,)b c ，(b ,)d ．(b ,)e ，(,)c d ，(,)c e ，(,)d e ，共有10种情况，其中选出的两人来自同一组的有(a ,)b ，(a ,)c ，(a ,)d ，(,)b c ，(b ,)d ，(,)c d 共6种情况， 故选出的两人来自同一组的概率为63105=．。