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高中向量的数目积数学（答题时间： 40 分钟）1. 以下式子：① a 2b ＝ b； ② （ a ·b ） 2＝ a 2·b 2； ③ a ·a ·a ＝a 3 ；④ （ a ·b ） ·c ＝ a ·（b ·c ）aa此中错误的序号为 ________。
*2. （安徽高考）若非零向量 a ，b 知足 |a|＝ 3|b|＝ |a ＋ 2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为 _______。
**3. （山东高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知 OA ＝（－ 1， t ）， OB ＝（ 2，2），若∠ ABO ＝ 90°，则实数 t 的值为 ________。
*4.在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 BC ＝ 2 BD ，CA ＝ 3 CE ，则 AD ·BE ＝ ________。
**5. 已知向量 a ＝（ 1， 2）， b ＝（－ 2，－ 4），|c|＝ 5 ，若（ a ＋ b ） ·c ＝5，则 a 与 c 的2夹角是 ________。
**6.→ →已知向量 OA ＝（ 2，2）， OB ＝（ 4，1），O 为坐标原点， 在 x 轴上取一点 P 使AP ·BP 有最小值，则点 P 的坐标是 ________。
**7. 已知 |a|＝ 5， |b|＝ 4，且 a 与 b 的夹角为60°，则当 k 为什么值时，向量 ka － b 与 a ＋ 2b 垂直？**8. 已知 |a|＝ 2 ， |b|＝ 3， a 和 b 的夹角为 45°，求当向量 a ＋λb 与 a ＋ b 的夹角为锐角时 λ的取值范围。
***9.已知 a ＝（ 3 ，－ 1）， b ＝（ 1 ，3），且存在实数 k 和 t ，使得 x ＝ a ＋（ t 2－ 3）k t 222的最小值。
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共30分）1. 已知a=（1，2），b=（-3，2），若k a+b与a-3b垂直，则k的值为.2. 已知向量a=（2cos ϕ，2sin ϕ），ϕ∈(π2，π)，b=（0，-1），则a与b的夹角为.3. 设a、b是非零向量，若函数f(x)=(x a+b)·(a-x b)的图象是一条直线，则必有.（填正确的序号）○1a⊥b；○2a∥b；○3|a|=|b|；○4|a|≠|b|.4. 如果向量a与b的夹角为θ，那么我们称a×b为向量a与b的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度为|a×b|=|a||b|sin θ.如果|a|=5,|b|=1,a·b=-3,则|a×b|= .5.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴，b=(2,-1)，则a= .6. 设a=（4，-3），b=（2，1），若a+t b与b的夹角为45°，则t的值为.二、解答题(共70分)7.（15分）已知a=（-2，2），b=（5，m），若|a+b|不超过5，求m的取值范围. 8.（20分）已知a=（2，3），b=（-3，5），求a在b方向上的投影.9. （15分）已知a=（-4，-3），b=（-3，-2），c=2a+λb，d=-a+2λb，当实数λ为何值时，向量c-d与a垂直？10. （20分）四边形ABCD中，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，且a·b=b·c=c·d=d·a，试问四边形ABCD 是什么图形？2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．二、解答题7.8.9.10.2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. 19 解析：k a +b =k （1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2）， a -3b =（1，2）-3×（-3，2）=（10，-4）. 又k a +b 与a -3b 垂直，故（k a +b ）·（a -3b ）=0， 即（k-3）·10+（2k+2）·（-4）=0，得k =19.2. 3π2-ϕ 解析：设a 与b 的夹角为θ，则 cos θ=∙a b a b=-2sinφ2=-sin ϕ=cos(π2+ϕ).∵ϕ∈（π2，π），θ∈［0，π］， ∴ cos θ=cos(π2+ϕ)=cos(3π2-ϕ).∴ θ=3π2-ϕ. 3. ○1 解析： f (x )=(x a+b )·(a-x b )=- a ·b x 2+(a 2-b 2)x+a ·b ,若函数f (x )的图象是一条直线，则其二次项系数为0，∴ a ·b =0,∴ a ⊥b .4. 4 解析：由于|a |=5，|b |=1，a ·b =|a ||b |cos θ=-3,所以cos θ=-35. 又因为θ为向量a 与b 的夹角，所以sin θ=45, 所以|a ×b |=|a ||b |sin θ=4.5. (-1,1)或（-3，1） 解析：设a =(x ,y ), 则a +b =(x+2,y-1),由题意得221,(2)(1)1,1310y x y x y =⎧++-=⎧⇒⎨⎨=---=⎩⎩或，∴ a =(-1,1)或（-3，1）.6.1 解析：∵ a =（4，-3），b =（2，1）， ∴ a +t b =（4+2t ，-3+t ）. ∵ a +t b 与b 的夹角为45°, ∴ （a +t b ）·b =|a +t b |·|b |·cos 45°，∴ （4+2t ）×2+（-3+t ）=222212t t ⨯+⨯22（4+2）+(-3+)， ∴ 5t+5=252252t t ++. ∴225t t ++=（t+1）.①将①式两边平方得t 2+2t-3=0，解得t =1或t =-3. 而t =-3时①式无意义，∴ t =-3舍去，取t =1.二、解答题7.解：由a +b =（3，2+m ），|a +b |≤5， 得9+（2+m ）2≤25.解得-6≤m ≤2. 8.解：∵ a ·b =2×（-3）+3×5=9， |b |=22(3)5-+=， ∴ |a |cos θ=∙a b b=93434. 9.解：因为c =2a +λb ，d =-a +2λb ，所以c -d =（2a +λb ）-（-a +2λb ）=3a -λb . 又a =（-4，-3），b =（-3，-2），所以c -d =3（-4，-3）-λ（-3，-2）=（-12+3λ，-9+2λ）.又（c -d ）⊥a ，所以（-12+3λ）×（-4）+（-9+2λ）×（-3）=0.解得λ=256. 10.解：因为a +b +c +d =0，所以a +b =-（c +d ）.所以（a +b ）2=（c +d ）2. 即|a |2+2a ·b +|b |2=|c |2+2c ·d +|d |2. 由于a ·b =c ·d ，所以|a |2+|b |2=|c |2+|d |2.① 同理，有|a |2+|d |2=|c |2+|b |2.② 由①②可得|a |=|c |，且|b |=|d |， 即四边形ABCD 两组对边分别相等. 所以四边形ABCD 是平行四边形. 又由a ·b =b ·c 得b ·（a -c ）=0.而由平行四边形ABCD 的性质得a =-c ， 代入上式得b ·（2a ）=0，即a ·b =0. 所以a ⊥b .亦即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.。
在学生用书中，此内客单独成册®［学业水平训练］1•若 |m |= 4, |n |= 6, m 与 n 的夹角 B 为 45 ° 则 m n = ______ .解析：m n = |m ||n |cos 0= 4X6Xcos 45° 12羽.答案：12 22. (2014 南通调研)在 △ABC 中，已知 AB AC = 4, AB BC = — 12,则 |AB|= ________ . 解析：将AB AC = 4, AB BC = — 12 两式相减得 AB (AC — BC) = AB = 16,则|AB = 4. 答案：43. __________________________________________________ 设a 与b 的模分别为4和3，夹角为60 °则|a + b |= _____________________________________ .解析：|a + b |=” (a + b ) 2= 'a 2 + 2a b + b 2 = 42+ 2 >4 X 3 >Cos 60 +°2= ,37.答案：374若|a |= 1, |b |= 2, c = a + b ,且c ± a ,则向量a 与b 的夹角为 _______________ .解析：设向量a 与b 的夹角为0由题意知(a + b ) a = 0,二 a 2 + a b = 0,「.|a |2 + |a ||b |cos 0= 0,二1 + 2cos 0= 0,「. cos 0= — ?,又 0€ ［0 ° 180°, ••• 0= 120°答案：120°25.设向量 a , b , c 满足 a + b + c = 0，且 a 丄b , |a |= 1, |b |= 2,则 |c | = ___________ . 解析：■/ a + b + c = 0, • c =— (a + b ).又 T a 丄b ,• a b = 0.• |c |2= c 2 = (a + b )2= a 2 + 2a b + b 2= 5.答案：5P 1P 2 P 1P 3；② P 1P 2 P 1 P 4；③ P 1P 2 P 1 P 5；④ P 1P 2 P 1P 6.解析：根据正六边形的几何性质 ，得P ?P 2 P "1P 5= 0,卩鼻2 P ?P 6< 0, P 1P 2 P 1*3= |P 7P 2| • 3 |P 1P 2| cos^= 2尸1卩2| , P 1P 2 P 1P 4= |P 1P 2| 2|P 1P 2| COS? = IP 1P 2I ,经比较可知 P 1P 2 P 1P 3的数量积 最大.答案：①7.已知a |= 3, |b |= 4, a 与b 的夹角为节求：(1)(3a — 2b ) (a — 2b );(2)|a + b |.解：(1)(3a — 2b ) (a — 2b )= 3a 2— 8a b + 4b 2=3 >32— 8 X X lcos 3-+ 4 X 2= 91 + 4^2. 46.如图所示的是正六边形_________ .（只填序号）P 1P 2P 3P 4P 5P 6 ,则下列向量的数量积中最大的是-.a 2+ 2 a b + b 2+ 2 X 3 X cos 3j n+ 42= 寸25— 1208•已知a , b 是非零向量，且满足 (a — 2b )丄a , (b — 2a )丄b ,求a 与b 的夹角.解：•/ (a — 2b )丄 a ,•- (a — 2b ) a = 0,即 a 2 — 2a b = 0.•/ (b — 2a )丄 b,. (b — 2a ) b = 0,即 b 2— 2a b = 0.2 21 2 1 2• a = b ,即|a |= |b |.a b = a ,即 a b =』a | .1 2 口 ab 莎1 1 n•-cos 0=丽=肓=2.又氏［0 , n ，•归 3.［高考水平训练］1•如图，在 A ABC 中，/ BAC = 120 ° AB = 2, AC = 1 , D 是 BC 上一点，DC = 2BD ，则解析：AD = A B + B D = AB + 3BC = A B +3(A C — AB) = 1AC +^A B ,又••• BC = AC —AB , AC 2= 1, AB 2=4,且 ABAC = 2 xi >cos 120 =— 1, 曲 T 1 T 2 T T T 1 T 22 T 2 1 8• AD BC = (3AC + 3AB) (AC — AB)= 3AC — §AB + 3AC AB = —-. 答案：—8AB , AC 和BC 满足(詈+-A C-)Be = 0,且AC BC =彳，则MBC 的形状 |AB| |AC||AC||BC| 2AC 分别表示与AB 、AC 同向的单位向量，|AC|...以AB 、AC 为邻边的平行四边形为菱形.|AB| AC|AB AC•••表示向量 二 +二C 的有向线段在 / A 平分线上.|AB| |AC|AB AC•••由(=+ AC) BC = 0知/ A 的平分线垂直于 BC , AB| |AC|ABC 为等腰三角形.又^^C BC = cos C = W^,|AC||BC|•••/ C = n 从而可知，/ A =才• △ ABC 为等腰直角三角形.答案：等腰直角三角形3•已知a 、b 是两个非零向量，同时满足 |a |=|b |=|a — b |,求a 与a + b 的夹角.解：根据|a |=|b |,有|a |2=|b |2,又|b |= |a — b |,得 |b |2= |a |2 — 2a b + |b |2,•••a b = 2|ai⑵ |a + b |= ' (a + b ) 2 AD BC =2•已知非零向量 解析：•/ AB-|AB|而|a + b f = |a |2+ 2a b+ |b|2= 3|a |2, •- |a + b|= 3|a|.设 a 与a+ b 的夹角为0,2 1 2a - ( a+ b) |a 1+ 2|a|J3则cos 0= = =^7，|a||a+ b| |a| • 3|a| 2又••• 0€ ［0 ；180 °. • 0= 30 :4•已知向量a, b满足：a2= 9, a b=—12,求|b|的取值范围. 解：法: T a = 9,「. |a|= 3.又a b=—12.• |a b|= 12.又••• |a b|呻||b|.「. 12<3|b|,解得|bR.故|b|的取值范围是［4 , +s).法二：•/ a b= |a||b|cos 0其中0为a与b的夹角).2又由 a = 9,得|a|= 3,由a b=—12,得0工90 °刖 a b —12―4即cos 0工•- |b|= = =|a |cos 0 3cos 0 cos 0■/ —1 <cos 0<0 , • |bR.故|b|的取值范围是［4 , +s).。
一、填空题1．已知a ＝(2,3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1,2)，则a ·(b ＋c )＝________.解析：∵b ＝(－2,4)，c ＝(－1,2)，∴b ＋c ＝(－2,4)＋(－1,2)＝(－3,6)．又∵a ＝(2,3)，∴a ·(b ＋c )＝(2,3)·(－3,6)＝2×(－3)＋3×6＝－6＋18＝12.答案：122．已知a ＝(2,4)，b ＝(1,3)，则|3a －2b |＝________.解析：a ＝(2,4)，b ＝(1,3)，则3a －2b ＝(6,12)－(2,6)＝(4,6)．∴|3a －2b |＝42＋62＝52＝213.答案：2133．已知a ＝ (1，－1)，b ＝(－2,1)，如果(λa ＋b )⊥(a －λb )，则实数λ＝________. 解析：λa ＋b ＝(λ－2,1－λ)，a －λb ＝(1＋2λ，－1－λ)，由(λa ＋b )⊥(a －λb )，得(λ－2)(1＋2λ)＋(1－λ)(－1－λ)＝0，∴λ＝1±52. 答案：1±52 4．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于________． 解析：由a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)得2a ＋b ＝(3,3)，a －b ＝(0,3)，设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝(2a ＋b )·(a －b )|2a ＋b |·|a －b |＝932·3＝22. ∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.答案：π45．已知a ＝⎝⎛⎭⎫1，12，b ＝⎝⎛⎭⎫0，－12，c ＝a ＋kb ，d ＝a －b ，c 与d 的夹角为π4，则k 等于________．解析：由条件得c ＝(1，12－12k )，d ＝(1,1)，从而c ·d ＝1＋12－12k ＝2·1＋(12－12k )2·cos π4， 解得k ＝1.答案：1二、解答题6．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，m ＝a －λb ，n ＝2a ＋b ，按下列条件求实数λ的值：(1)m ⊥n ；(2)m ∥n ；(3)|m |＝5.解：m ＝a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，n ＝2a ＋b ＝(7,8)，∴(1)m ⊥n ⇒(4＋λ)×7＋(3－2λ)×8＝0⇒λ＝529； (2)m ∥n ⇒(4＋λ)×8－(3－2λ)×7＝0⇒λ＝－12； (3)|m |＝5⇒(4＋λ)2＋(3－2λ)2＝5⇒5λ2－4λ＝0⇒λ＝0或45. 7．已知m ＝(1,1)，向量n 与m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1，求向量n . 解：设n ＝(x ，y )．由m ·n ＝－1得x ＋y ＝－1.(1) 因为向量n 与m 的夹角为3π4， 有m ·n ＝|m ||n |cos 3π4＝－1， 所以|n |＝1，即x 2＋y 2＝1. (2) 由(1)(2)得x ＝－1，y ＝0，或x ＝0，y ＝－1，所以n ＝(－1,0)，或n ＝(0，－1)．8．已知点A (2,2)、B (4,1)，O 为坐标原点，P 为x 轴上一动点，当AP ·BP 取最小值时，求向量PA 与PB 的夹角的余弦值．解：设点P (x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)．∴AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1) ＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.∴当x＝3时，AP·BP取最小值1.此时，PA＝(2,2)－(3,0)＝(－1,2)．PB＝(4,1)－(3,0)＝(1,1)，∴|PA|＝5，|PB|＝2，∴cos∠APB＝PA→·PB|PA||PB|＝1010。
§2。
4 向量的数量积(二)课时目标1．掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．1．平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1），b＝(x2，y2），则a·b＝____________.即两个向量的数量积等于它们________________________．2．平面向量的模(1)向量模公式：设a＝(x1,y1)，则｜a|＝________。
（2)两点间距离公式：若A（x1,y1），B（x2，y2），则|错误!|＝________________.3．向量的夹角公式设两非零向量a＝（x1，y1)，b＝(x2，y2),a与b的夹角为θ，则cos θ＝________________＝________________________.4．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2)，则a⊥b⇔________________。
一、填空题1．已知向量a＝（1，n），b＝(－1，n），若2a－b与b垂直，则|a｜＝________。
2．已知a＝（3，错误!)，b＝（1,0)，则（a－2b）·b＝______.3．若平面向量a＝（1，－2)与b的夹角是180°，且｜b｜＝4错误!，则b＝________.4．平面向量a与b的夹角为60°，a＝（2，0），|b|＝1，则|a＋2b|＝________.5．若a＝（2，3)，b＝（－4，7),则a在b方向上的投影为______．6．a,b为平面向量，已知a＝（4,3），2a＋b＝（3,18），则a，b夹角的余弦值为________．7．已知向量a＝(1，2)，b＝(2,－3）．若向量c满足（c＋a)∥b,c⊥(a＋b），则c＝________.8．已知向量a＝(2，1），a·b＝10，|a＋b|＝5错误!，则|b｜＝________.9．已知a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为________．10．已知a＝(－2，－1），b＝(λ，1），若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．二、解答题11．已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.（1)求a的坐标；(2）若c＝(2，－1），求a(b·c)及(a·b）c.12．已知三个点A(2,1),B（3，2），D(－1,4)，(1)求证：AB⊥AD；（2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．能力提升13．已知向量a＝（1,1)，b＝(1，a)，其中a为实数，O为原点，当此两向量夹角在错误!变动时，a的范围是________．14．若等边三角形ABC的边长为2错误!,平面内一点M满足错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，则错误!·错误!＝________.1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题,在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．§2。
第2章 平面向量2.4 向量的数量积A 级 基础巩固1．已知|a |＝3，向量a 与b 的夹角为π3，则a 在b 方向上的投影为( )A.332B.322C.12D.32解析：向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝3×cos π3＝32. 答案：D2． (2014·课标全国Ⅱ卷)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5解析：因为|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝10，|a －b |2＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝6，两式相减得：4a·b ＝4，所以a·b ＝1.答案：A3．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：由四边形ABCD 为平行四边形，知AC →＝AB →＋AD →＝(3，－1)，故AD →·AC →＝(2，1)·(3，－1)＝5.答案：A4．已知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝( )A ．－1B ．1C ．－92D ．－232解析：因为|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，所以(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋7e 1·e 2－2e 22＝－6＋72－2＝－92. 答案：C5．(2015·福建卷)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53 C.53 D.32解析：c ＝a ＋kb ＝(1＋k ，2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32. 答案：A6．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，4)，且a ∥b ，则|a －b |＝________． 解析：因为a ∥b ，所以4＋2x ＝0.所以x ＝－2，a －b ＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)．所以|a －b |＝3 5.答案：3 57．已知|a |＝|b |＝|c |＝1，且满足3a ＋mb ＋7c ＝0，其中a 与b 的夹角为60°，则实数m ＝________．解析：因为3a ＋mb ＋7c ＝0，所以3a ＋mb ＝－7c ，所以(3a ＋mb )2＝(－7c )2，化简得9＋m 2＋6m a·b ＝49.又a·b ＝|a ||b |cos 60°＝12， 所以m 2＋3m －40＝0，解得m ＝5或m ＝－8.答案：5或－88．已知OA →＝(－2，1)，OB →＝(0，2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是________．解析：设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2，1)．由AC →∥OB →，BC →⊥AB →，得⎩⎨⎧－2（x ＋2）＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝6.所以点C 的坐标为(－2，6)．答案：(－2，6)9．已知|a |＝1，|b |＝ 2.(1)若a ∥b 且同向，求a·b ；(2)若向量a·b 的夹角为135°，求|a ＋b |.解：(1)若a ∥b 且同向则a 与b 夹角为0°，此时a·b ＝|a ||b |＝ 2.(2)|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝ 1＋2＋22cos 135°＝1.10．设平面三点A (1，0)，B (0，1)，C (2，5)．(1)试求向量2AB →＋AC →的模；(2)若向量AB →与AC →的夹角为θ，求cos θ.解：(1)因为A (1，0)，B (0，1)，C (2，5)，所以AB →＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，AC →＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)．所以2AB →＋AC →＝2(－1，1)＋(1，5)＝(－1，7)．所以|2AB →＋AC →|＝ （－1）2＋72＝5 2.(2)由(1)知AB →＝(－1，1)，AC →＝(1，5)，所以cos θ＝（－1，1）·（1，5）（－1）2＋12×12＋52＝21313. B 级 能力提升11．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1，2)，B (4，1)，C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确解析：AC →＝(－1，－3)，AB →＝(3，－1)．因为AC →·AB →＝－3＋3＝0，所以AC ⊥AB .又因为|AC →|＝10，|AB →|＝10，所以AC ＝AB .所以△ABC 为等腰直角三角形．答案：C12.如图所示，△ABC 中∠C ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM→＝3MA →，则CM →·CB →＝________．解析：CM →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CA →＋14AB →·CB →＝14AB →·CB →＝14(CB →－CA →)·CB →＝14CB 2→＝4.答案：413．(2014·湖北卷)设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．解析：由题意得，(a ＋λb )·(a －λb )＝0，则a 2－λ2b 2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3.答案：±314．已知向量a ＝(2，0)，b ＝(1，4)．(1)求|a ＋b |的值；(2)若向量ka ＋b 与a ＋2b 平行，求k 的值；(3)若向量ka ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，求k 的取值范围． 解：(1)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)，所以a ＋b ＝(3，4)．则|a ＋b |＝5.(2)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)，所以ka ＋b ＝(2k ＋1，4)，a ＋2b ＝(4，8)．因为向量ka ＋b 与a ＋2b 平行，所以8(2k ＋1)＝16，则k ＝12. (3)因为a ＝(2， 0)，b ＝(1，4)，所以k a ＋b ＝(2k ＋1，4)，a ＋2b ＝(4，8)．因为向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，所以⎩⎪⎨⎪⎧4（2k ＋1）＋32>0，k ≠12.解得k >－92或k ≠12. 15．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|3a －b |＝ 5.(1)求|a ＋3b |的值；(2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值．解：(1)由|3a －b |＝5，得(3a －b )2＝5，所以9a 2－6a·b －b 2＝5.因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b 2|＝1，所以9－6a·b ＋1＝5.所以a·b ＝56. 所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2＝1＋6×56＋9×1＝15. 所以|a ＋3b |＝15.(2)设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ.因为(3a －b )·(a ＋3b )＝3a 2＋8a·b －3b 2＝3×1＋8×56－3×1＝203， 所以cos θ＝（3a －b ）·（a ＋3b ）|3a －b ||a ＋3b |＝2035×15＝439. 因为0°≤θ ≤180°，所以sin θ＝1－cos 2θ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4392＝339. 所以3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值为339.。
[学业水平训练]1.若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角θ为45°，则m ·n ＝________.解析：m ·n ＝|m ||n |cos θ＝4×6×cos 45°＝12 2.答案：12 22.(2014·南通调研)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12，则|AB →|＝________．解析：将AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12两式相减得AB →·(AC →－BC →)＝AB →2＝16，则|AB →|＝4.答案：43.设a 与b 的模分别为4和3，夹角为60°，则|a ＋b |＝______.解析：|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝42＋2×4×3×cos 60°＋32＝37.答案：374.若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为__________． 解析：设向量a 与b 的夹角为θ，由题意知(a ＋b )·a ＝0，∴a 2＋a ·b ＝0，∴|a |2＋|a ||b |cos θ＝0，∴1＋2cos θ＝0，∴cos θ＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.答案：120°5.设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，则|c |2＝__________． 解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )．又∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.∴|c |2＝c 2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5.答案：56.如图所示的是正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，则下列向量的数量积中最大的是__________．(只填序号)① P 1P 2→·P 1P 3→；②P 1P 2→·P 1P 4→；③P 1P 2→·P 1P 5→；④P 1P 2→·P 1P 6→.解析：根据正六边形的几何性质，得P 1P 2→·P 1P 5→＝0，P 1P 2→·P 1P 6→＜0，P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·3|P 1P 2→|·cos π6＝32|P 1P 2→|2，P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→|·2|P 1P 2→|·cos π3＝|P 1P 2|2，经比较可知P 1P 2→·P 1P 3→的数量积最大．答案：①7.已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为3π4. 求：(1)(3a －2b )·(a －2b )；(2)|a ＋b |.解：(1)(3a －2b )·(a －2b )＝3a 2－8a ·b ＋4b 2＝3×32－8×3×4cos 3π4＋4×42＝91＋48 2. (2)|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝ a 2＋2a ·b ＋b 2＝32＋2×3×4cos 3π4＋42＝ 25－12 2.8.已知a ，b 是非零向量，且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，求a 与b 的夹角． 解：∵(a －2b )⊥a ，∴(a －2b )·a ＝0，即a 2－2a ·b ＝0.∵(b －2a )⊥b ，∴(b －2a )·b ＝0，即b 2－2a ·b ＝0.∴a 2＝b 2，即|a |＝|b |.a ·b ＝12a 2，即a ·b ＝12|a |2. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12|a |2|a |2＝12.又θ∈[0，π]，∴θ＝π3. [高考水平训练]1.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →＝________．解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝13AC →＋23AB →， 又∵BC →＝AC →－AB →，AC →2＝1，AB →2＝4，且AB →·AC →＝2×1×cos 120°＝－1，∴AD →·BC →＝(13AC →＋23AB →)·(AC →－AB →)＝13AC →2－23AB →2＋13AC →·AB →＝－83. 答案：－832.已知非零向量AB →，AC →和BC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且AC →·BC →|AC →||BC →|＝22，则△ABC 的形状为________．解析：∵AB →|AB →|、AC →|AC →|分别表示与AB →、AC →同向的单位向量， ∴以AB →|AB →|、AC →|AC →|为邻边的平行四边形为菱形． ∴表示向量AB →|AB →|＋AC →|AC →|的有向线段在∠A 平分线上． ∴由(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0知∠A 的平分线垂直于BC ， ∴△ABC 为等腰三角形．又AC →·BC →|AC →||BC →|＝cos C ＝22， ∴∠C ＝π4，从而可知，∠A ＝π2. ∴△ABC 为等腰直角三角形．答案：等腰直角三角形3.已知a 、b 是两个非零向量，同时满足|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． 解：根据|a |＝|b |，有|a |2＝|b |2，又|b |＝|a －b |，得|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，∴a ·b ＝12|a |2.而|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2，∴|a ＋b |＝3|a |.设a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·（a ＋b ）|a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |·3|a |＝32， 又∵θ∈[0°，180°]．∴θ＝30°.4．已知向量a ，b 满足：a 2＝9，a ·b ＝－12，求|b |的取值范围．解：法一：∵a 2＝9，∴|a |＝3.又a ·b ＝－12.∴|a ·b |＝12.又∵|a ·b |≤|a ||b |.∴12≤3|b |，解得|b |≥4.故|b |的取值范围是[4，＋∞)．法二：∵a ·b ＝|a ||b |cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．又由a 2＝9，得|a |＝3，由a ·b ＝－12，得θ≠90°.即cos θ≠0.∴|b |＝a ·b |a |cos θ＝－123cos θ＝－4cos θ. ∵－1≤cos θ<0，∴|b |≥4.故|b |的取值范围是[4，＋∞)．。
[学业水平训练]1 .已知a= (3, x), |a|= 5,贝U x= ___________ .解析：由题意知,|a|= 9 + x2= 5. ••• x= ±4.答案：±4 ”2. 若向量a = (3，m)，b= (2，- 1), a b= 0，则实数m的值为_____________ .解析：由题意知6—m= 0,「. m= 6.答案：63. 若向量a= (1, 1), b= (2, 5), c= (3, x),满足条件(8a—b) c= 30,则x= ____________ .解析：•/ a = (1,1), b= (2, 5),「. 8a —b= (8, 8) —(2, 5) = (6, 3).又T (8a —b) c= 30, • - (6 , 3) (3, x)= 18+ 3x= 30.• x= 4.答案：44. ______________________________________________________ 已知向量a= (2 , 1), ab= 10, |a + b|= ^[2，则|b|= ________________________________ . 解析：•/ |a + b|= 5 ；'2,A a2+ 2a b+ b2= 50,二b2= 25,• |b|= 5.答案：5解析：法一：以A为坐标原点5. _______________________ 如图，在矩形ABCD中，AB= .'2, BC = 2,点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB AF = \/2，则AEB F = _________________________ .x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略),则A(0 , 0), B( .2, 0), E( 2, 1), F(x, 2).故AB= ( .2, 0), AF = (x, 2), AE = ( . 2, 1), BF = (x—2, 2),• AB AF = ( 2, 0) (x, 2) = ,2x.又ABAl = 2 ,••• x= 1.「. B F = (1 —. 2, 2).••• AE B| = ( 2, 1) (1 —'. 2, 2)= . 2—2 + 2 = .2.法二：设DF = xAB,则CF = (x —1)AB.AB AF = AB (AD + DF) = AB (AD + xAB)T2 2=xAB2= 2X,「.X=「' 2 -•BF = BC + Cl = EBC+迸—1)AB.T T T T T■：：：••；2 T•AE BF = (AB + BE) [ BC+ ( 2—1)AB]T 1 T T , 2 T=(AB+ ?BC)[BC+ (丁—1)AB]=—1)A B2+ 玩2=(今—1) 2+ 2«= • 2.答案：26. 设向量a = (1, 2), b = (x, 1)，当向量a + 2b 与2a — b 平行时，a b 等于 _____________ . 解析：a + 2b = (1 + 2x , 4), 2a — b = (2 — x , 3), v a + 2b 与 2a — b 平行，二(1 + 2x) >3 —1 1154>2 — x)= 0,「. x = 2，a b = (1, 2) (^, 1)=灼+ 2 > =-.答案：57. (2014大连高一检测)已知a = (1 , 2), b = (— 3, 2)，当k 为何值时：(1) k a + b 与 a — 3b 垂直？(2) k a + b 与a — 3b 平行？平行时它们同向还是反向？解：(1)k a + b = k(1 , 2)+ (— 3, 2) = (k — 3, 2k + 2), a — 3b = (1, 2) — 3( — 3 , 2) = (10 , —4).当(k a + b ) (a — 3b ) = 0 时，这两个向量垂直.由 (k — 3) >0 + (2k + 2) >— 4) = 0•解得 k = 19,即当k = 19时，k a + b 与a — 3b 垂直.⑵当k a + b 与a — 3b 平行时，存在惟一的实数 人 使k a + b = "a — 3b ).由(k — 3, 2k +”k =-3 解得 d 1所以当k = — 3时，k a + b 与a — 3b 平行，因为 疋0,所以k a + b 与a — 3b 反向.&已知a = (2, — 3)，求与a 垂直的单位向量的坐标. 解：设单位向量为e ,其坐标为(x ,2x — 3y = 0,2 2, x + y = 1, X 1 =3 1 13解得 :y 1 = d “ 1 13 '13 所以 e =(S , S )或(—S13 13丿或 13 1.已知向量 OA = (2, 2), OB = (4,的坐标是 ___________ .解析：设点 P 的坐标为(x , 0),则AP = (x — 2, — 2), BP = (x — 4, — 1).AP BP = (x — 2)(x —4) + (— 2) >— 1) = x 2— 6x + 10= (x — 3)2 + 1•当 x = 3 时，AP BP 有最小值 1,此时点 P 的坐 标为(3, 0).答案：(3, 0)2•如果向量a 与b 的夹角为0,那么我们称axb 为向量a 与b 的 向量积” a>)是一个向量，它的长度为 |axb |= |a | |b |sin 0•如果 |a = 5, |b |= 1, a b =— __________ 3,则 |axb |= .3 解析： 由于 a b = |a ||b |cos 0=— 3,所以 cos 0=—- 54又因为0为向量a 与b 的夹角，所以sin 0= 5，所以 |axb |= |a ||b |sin 0= 4. 答案：4k — 3= 10人2)= "10, — 4)，得:[2k + 2=— 4"y).根据题意有 r 3伍 乞=—13 或 3 , 2寸13 y 2=2\ 13 —右). ［高考水平训练］1)，在x 轴上有一点 P 使AP BP 有最小值，则点 P|b | =a b >^— 1 >^23= °.T x 丄 y ,： x y = 0,•••[a + (t 2 — 3) b ] (— k a + t b )= 0.t 3 — 3t化简得k = ~4~ ,2.k + t 1 2 1 2 7••T = 4（t + 4t —3）=4（t + 2）— 4,k +12 7即当t =— 2时，一p 有最小值一\4.已知c = m a + n b = （— 2寸3, 2）, a 与c 垂直，b 与c 的夹角为120 °且b c = =2 2，求实数m , n 的值及a 与b 的夹角a解：■/ a 与c 垂直，• a c = 0.又 T c = m a + n b ,： c c = m a c + n b c ,• 12 + 4 =— 4n , • n = — 4.•/ b c = |b ||c |cos 120 ,1• 4= |b | >x (—刁，.，.|b |= 2.又 a c = m a 2— 4a b , |a |= 2 2, • a b = 2m.2又 b c = m(a b ) — 4b ,• — 4= 2m 2— 16,「. m 2= 6,： m = ± 6.当 m = ,6时，a b = 2 6.• cos a=竝=亠=£|a ||b | 2近 > 2'n又ae [0, n, • a= 6.当 m =— .6时,a b =— 2 6•- cos a= —」，又ae [o , n ,• a=因此 m=J6, n =— 4 时，a= n ； m = —{6, n =— 4 时，a=尹 3•已知 a = ( ,3, 且存在实数k 和t ，使得x = a + （t 2— 3）b , y =— k a —4, |a | =1,。
2．4 向量的数量积前面我们学习过向量的加减法，实数与向量的乘法，知道a＋b，a－b，λa(λ∈R)仍是向量，大家自然要问：两个向量是否可以相乘？相乘后的结果是什么？是向量还是数？1．已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量________叫做a与b的数量积，记作____________，即________________．答案：|a||b|cos θa·b a·b＝|a||b|cos θ2．两非零向量a与b的夹角为θ，a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影是________，a·b的几何意义为__________________________________________________________．当θ为________时，b在a上投影为正；当θ为________时，b在a上的投影为负；当θ为________时，b在a上的投影为零．答案：|a|cos θ|b|cos θa的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的积锐角钝角90°3．a，b同向时，a·b＝______，当a与b反向时，a·b＝________，特别地a·a＝________．答案：|a||b| －|a||b| |a|24．|a·b|与|a|·|b|的大小关系是________．答案：|a·b|≤|a|·|b|5．向量数量积的运算律为a·b＝________；(λa)·b＝________＝________；(a＋b)·c＝________．答案：b·aλ(a·b) a·(λb) a·c＋b·c6．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝________．答案：x 1x 2＋y 1y 27．如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，那么|a |＝________________________________________，这是平面内两点间的距离公式． 答案：（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）28．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔________． 答案：x 1x 2＋y 1y 2＝09．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 、b 的夹角为θ，则有cos θ＝________________． 答案：x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，我们把|a ||b |cos θ叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(0≤θ≤π)．其中|a |cos θ(|b |cos θ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影．特别提示：(1)当0≤θ＜π2时，cos θ＞0，从而a ·b ＞0；当π2＜0≤π时，cos θ＜0，从而a ·b ＜0；当θ＝π2时，cos θ＝0，从而a ·b ＝0.(2)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．这个投影值可正可负也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数．数量积的性质及运算律 1．数量积的重要性质．设a 与b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与e 的夹角． (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ； (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a |·|b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a |·|b |；特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ＝a 2，a ·a 也可记作a 2. (4)|a ·b |≤|a |·|b |. 2．数量积的运算律．已知a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： (1)a ·b ＝b ·a (交换律)；(2)(λa )·b ＝a ·(λb )＝λ(a ·b )＝λa ·b (数乘结合律)； (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．说明：(1)当a ≠0时，由a ·b ＝0不能推出b 一定是零向量．这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a ·b ＝0.(2)已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab ＝bc ⇒a ＝c .但对向量的数量积，该推理不正确，即a ·b ＝b ·c 不能推出a ＝c .由图很容易看出，虽然a ·b ＝b ·c ，但a ≠c .(3)对于实数a 、b 、c ，有(a ·b )c ＝a (b ·c )；但对于向量a 、b 、c 而言，(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．向量的模设a ＝(x ，y )，|a |2＝a ·a ＝(x ，y )·(x ，y )＝x 2＋y 2，故|a |＝x 2＋y 2，即向量的长度(模)等于它的坐标平方和的算术平方根．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.即得平面上两点间的距离公式，与解析几何中的距离公式完全一致．向量的夹角设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其夹角为θ，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2或a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 21＋y 21 x 22＋y 22cos θ，故cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，当θ＝90°时，cos θ＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.基础巩固1．i ，j 是互相垂直的单位向量，a 是任一向量，则下列各式不成立的是( ) A ．a ·a ＝|a |2B ．i ·i ＝1C ．i ·j ＝0D ．a ·j ＝a 答案：D2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16解析：∵∠C ＝90°，∴AC →·CB →＝0.∴AB →·AC →＝()AC →＋CB →·AC →＝()AC →2＋AC→·CB →＝16，故选D.答案：D3．已知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－92 D ．－232解析：∵|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°， ∴(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2) ＝－6e 21＋7e 1·e 2－2e 22 ＝－6＋72－2＝－92.故选C. 答案：C4．若a ∥b ，a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．0解析：∵a ∥b ，a ⊥c ，∴c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋c ·2b ＝0＋0＝0，故选D. 答案：D5．(2014·湖北卷)若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________． 解析：先判断△AOB 是等腰三角形，再计算斜边长．由题意，并可知△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长|OA →|＝|OB →|＝10，由勾股定理得|AB →|＝20＝2 5.答案：256．已知A (－1，1)，B (1，2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，则AB →·AC →等于________．答案：1527．设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m⊥b ，则|x ＋2y |＝________． 答案：58．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b 等于________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，329．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角是________．答案：150°10．定义|a ×b |＝|a |·|b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，求|a ×b |.解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2×5×cos θ＝－6，∴cos θ＝－35.又∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝45.∴|a ×b |＝|a ||b |sin θ＝2×5×45＝8.能力升级11．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是________． 解析：由于(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧（a －2b ）·a ＝0，（b －2a ）·b ＝0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a ·b ，b 2＝2a ·b .又∵cos a ，b＝a ·b |a ||b |＝a ·b 2a ·b ·2a ·b ＝12， ∴a 与b 成的夹角为π3.答案：π312．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．解析：方程有实根，∴Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，|a |2－4|a |·|b |cos 〈a ，b 〉≥0. ∴cos 〈a ，b 〉≤12.∴〈a ，b 〉∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π13．已知a ·b ＝0，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(ka －b )，则实数k 的值为________． 解析：由(3a ＋2b )·(ka －b )＝3k |a |2－3a ·b ＋2ka ·b －2|b |2＝0得12k －18＝0，所以k ＝32.答案：3214．(2014·湖北卷)设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．解析：通过向量的线性运算列方程求解．由题意得，(a ＋λb )·(a －λb )＝0，即a 2－λ2b 2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3. 答案：±315．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________．解析：∵|a |＝13，|b |＝19，∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a ＋2a ·b ＋b 2＝242.∴2a ·b ＝242－132－192＝46.∴|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝484.∴|a －b |＝22.答案：2216．已知|a |＝3，|b |＝5，|c |＝7，且a ＋b ＋c ＝0，则a ，b 的夹角 θ＝________.解析：∵|a |＝3，|b |＝5，|c |＝7，且a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c .∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝c 2.∴9＋2×3×5×cos θ＋25＝49. ∴cos θ＝12.∴θ＝60°.答案：60°17．已知向量a ，b ，c 两两所成的角相等且均为120°.且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝1，求向量a ＋b ＋c 的长度．解析：由已知向量a ，b ，c 两两所成的角相等，均为120°，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝1.∴a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－3，b ·c ＝|b ||c |cos 120°＝－32， a ·c ＝|a ||c |cos 120°＝－1.∴|a ＋b ＋c |2＝(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝4＋9＋1－6－3－2＝3.∴|a ＋b ＋c |＝ 3.18．已知a 、b 是非零向量，当a ＋tb (t ∈R)的模取最小值时． (1)求t 的值；(2)求证：b ⊥(a ＋tb )．(1)解析：|a ＋tb |＝（a ＋tb ）2＝a 2＋t 2b 2＋2ta ·b ＝ |a |2＋|b |2t 2＋2a ·bt ＝|b |2t 2＋2a ·bt ＋|a |2， 当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a ·b|b |2时，|a ＋tb |有最小值．故|a ＋tb |取最小值时，t ＝－a ·b|b |2. (2)证明：∵b ·(a ＋tb )＝b ·a ＋tb 2＝a ·b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ·b |b |2·|b |2＝a ·b －a ·b ＝0，∴b ⊥(a ＋tb )．19．已知a 为非零向量，向量a 与b 的夹角为120°，向量a －3b 与向量7a ＋5b 互相垂直，问：是否存在实数λ，使得向量a －4b 与向量λa －b 互相垂直？解析：∵(a －3b )⊥(7a ＋5b )，∴(a －3b )·(7a ＋5b )＝0. 即：7|a |2－15|b |2－16a ·b ＝0.①假设λ存在，则由(a －4b )⊥(λa －b )得：(a －4b )·(λa －b )＝0， 即：λ|a |2＋4|b |2－(1＋4λ)a ·b ＝0.② 又a ·b ＝－12|a ||b |，③令|a |＝|b |，联立①、②、③得：⎝⎛⎭⎪⎫λ＋4＋1＋4λ2|a |2＝0. ∵a ≠0，∴|a |>0.∴λ＋4＋1＋4λ2＝0，即λ＝－32.故存在实数λ＝－32，满足条件．20．已知△ABC 是边长为2的正三角形，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，求AD →·BE →.解析：∵BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，∴AD →·BE →＝(AB →＋BD →)·(BC →＋CE →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋13CA →＝AB →·BC →＋13AB →·CA →＋12BC →2＋16BC →·CA →＝－BA →·BC →－13AB →·AC →＋12BC →2－16CB →·CA →＝－2×2×cos 60°－13×2×2×cos 60°＋12×22－16×2×2×cos 60°＝－2－23＋2－13＝－1.。
[学业水平训练]1．已知a ＝(3，x )，|a |＝5，则x ＝________．解析：由题意知，|a |＝9＋x 2＝5.∴x ＝±4.答案：±42．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为________． 解析：由题意知6－m ＝0，∴m ＝6.答案：63．若向量a ＝(1，1)，b ＝(2，5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝__________． 解析：∵a ＝(1，1)，b ＝(2，5)，∴8a －b ＝(8，8)－(2，5)＝(6，3)．又∵(8a －b )·c ＝30，∴(6，3)·(3，x )＝18＋3x ＝30.∴x ＝4.答案：44．已知向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝________.解析：∵|a ＋b |＝52，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.答案：55.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →＝________.解析：法一：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (0，0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x ，2)．故AB →＝(2，0)，AF →＝(x ，2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)，∴AB →·AF →＝(2，0)·(x ，2)＝2x .又AB →·AF →＝2，∴x ＝1.∴BF →＝(1－2，2)．∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝ 2.法二：设DF →＝xAB →，则CF →＝(x －1)AB →.AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →)＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ，∴x ＝22. ∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋(22－1)AB →. ∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·[BC →＋(22－1)AB →] ＝(AB →＋12BC →)[BC →＋(22－1)AB →] ＝(22－1)AB →2＋12BC 2→＝(22－1)×2＋12×4＝ 2. 答案： 26．设向量a ＝(1，2)，b ＝(x, 1)，当向量a ＋2b 与2a －b 平行时，a ·b 等于__________． 解析：a ＋2b ＝(1＋2x ，4)，2a －b ＝(2－x ，3)，∵a ＋2b 与2a －b 平行，∴(1＋2x )×3－4×(2－x )＝0，∴x ＝12，a ·b ＝(1，2)·(12，1)＝1×12＋2×1＝52. 答案：527.(2014·大连高一检测)已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时：(1)k a ＋b 与a －3b 垂直？(2)k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们同向还是反向？解：(1)k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．当(k a ＋b )·(a －3b )＝0时，这两个向量垂直．由(k －3)×10＋(2k ＋2)×(－4)＝0.解得k ＝19，即当k ＝19时，k a ＋b 与a －3b 垂直．(2)当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在惟一的实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)，得：⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得⎩⎨⎧k ＝－13，λ＝－13. 所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 因为λ＜0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．8．已知a ＝(2，－3)，求与a 垂直的单位向量的坐标．解：设单位向量为e ，其坐标为(x ，y )．根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝0，x 2＋y 2＝1， 解得⎩⎨⎧x 1＝31313y 1＝21313或⎩⎨⎧x 2＝－31313y 2＝－21313， 所以e ＝(31313，21313)或(－31313，－21313)． [高考水平训练]1．已知向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使AP →·BP →有最小值，则点P的坐标是__________．解析：设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1).AP →·BP →＝(x －2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1，此时点P 的坐标为(3，0)．答案：(3，0)2.如果向量a 与b 的夹角为θ，那么我们称a ×b 为向量a 与b 的“向量积”，a ×b 是一个向量，它的长度为|a ×b |＝|a |·|b |sin θ.如果|a |＝5，|b |＝1，a ·b ＝－3，则|a ×b |＝________．解析： 由于a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－3，所以cos θ＝－35. 又因为θ为向量a 与b 的夹角，所以sin θ＝45， 所以|a ×b |＝|a ||b |sin θ＝4.答案：43.已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t的最小值． 解：由已知得|a |＝（3）2＋（－1）2＝2， |b |＝⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭⎫322＝1， a·b ＝3×12－1×32＝0.∵x ⊥y ，∴x·y ＝0， ∴[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.化简得k ＝t 3－3t 4， ∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74， 即当t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值－74. 4．已知c ＝m a ＋n b ＝(－23，2)，a 与c 垂直，b 与c 的夹角为120°，且b ·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.解：∵a 与c 垂直，∴a ·c ＝0.又∵c ＝m a ＋n b ，∴c ·c ＝m a ·c ＋n b ·c ，∴12＋4＝－4n ，∴n ＝－4.∵b ·c ＝|b ||c |cos 120°，∴－4＝|b |×4×(－12)，∴|b |＝2. 又a ·c ＝m a 2－4a ·b ，|a |＝22，∴a ·b ＝2m .又b ·c ＝m (a ·b )－4b 2，∴－4＝2m 2－16，∴m 2＝6，∴m ＝±6.当m ＝6时，a ·b ＝2 6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝2622×2＝32， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π6. 当m ＝－6时，a ·b ＝－2 6.∴cos θ＝－32，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6. 因此m ＝6，n ＝－4时，θ＝π6；m ＝－6，n ＝－4时，θ＝5π6.。
课题：§2.4 向量的数量积（2）作业 总第____课时班级_______________姓名_______________一、填空题：1. 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为600，那么3a b += .2．若9,1,36-=⋅==b a b a，则a 与b 的夹角是 .3．若),1,0(),2,4(),1,2(C B A 则⋅= .4．已知),2,1(),1,3(-=-=b a 若),()2(b k a b a+⊥+-求实数k 的值 .5．设O 为ABC ∆内一点，⋅=⋅=⋅ ，则O 是ABC ∆的_______心.6．已知)1,2(),3,(-==b x a若a 与b 的夹角是钝角，则x 的取值范围是____________.7. 已知1212(,),(,)a a a b b b ==，a b +与a b -垂直，则1212,,,a a b b 满足的关系式是 .8．设,,a b c 是三个非零向量，且互相不共线，有下列命题：①()()0a b c c a b ⋅⋅-⋅=；②b a b a-<-；③()()b c a a c b ⋅-⋅不与c 垂直；④22(34)(34)916a b a b a b +⋅-=-，其中真命题的序号是 .9．已知为线D C B A ),3,4(),1,6(),1,3(段BC 的中点，则向量与的夹角的余弦值为 .10．已知向量)1,4(),2,2(==OB OA 在x 轴上有一点P ，使BP AP •有最小值，则P 的坐标为 . 二、解答题：11．在平面直角坐标系中，已知)1,2(),10,1(),5,3(C B A -求： （1）⋅的值；（2）ACB ∠的大小.12. 已知两非零向量b a ,满足b a b a b a⊥-⊥-)2(,)2(，求b a 与的夹角．13. 已知坐标平面内P OM OB OA ),2,1(),1,7(),5,1(===是直线OM 上一个动点．当PB PA ⋅取最小值时，求OP 的坐标，并求APB ∠cos 的值．三、作业错误分析及订正：2．填空题具体订正：_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 3．解答题订正：。
［学业水平训练］1•设a是非零向量，入是非零实数，下列结论中正确的是____________ .(填序号)①a与怯的方向相反；②a与爲的方向相同；③|一?a |列；④一泡|=解析：入可正可负，故①不正确；而入是非零实数，故f>0,所以a与f a的方向相同，②正确；又f与1的大小不确定，故③不正确；又f |=|f |a|,故④不正确.答案：②2•已知a|= 1, |b|= 2, a= 也贝U入等于__________ .1解析：因为a=?b,所以|a |= |f|b|,即1 = 2|f,所以X= ±-.答案：±13若|a| = 8, b 与a 反向，|b|= 7,则a = __________ b.解析：•/ b与a反向，8由共线向量基本定理知，a = —7b.答案：—84. ________________________________________ 点C 在线段AB 上，且CC= 3，则AC = ___________________________________________________ A B, BC= ___________ AB.解析：•/ AC = 3，.・.点C为线段AB的5等分点，CB 23 2…AC= ；AB, B C=—；AB.5 5答案：3 — 25 55. 已知向量a, b不共线，实数x, y满足(3x—4y)a+ (2x—3y)b= 6a+ 3b,贝U x—y的值为__________ .3x —4y= 6, x= 6,解析：由原式可得解得••• x —y= 3.|2x —3y = 3, |y= 3.答案：36. 在A\BC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD = 2DB ,ClD = gcA + ，则f= ________ .解析：由AD = 2［D B ,T T T T 2 T得CD = CA + AD = CA+ 3AB-T 2 -> -> 1 -> 2 ->=CA+ ^(CB —CA) = §CA+ 3CB,，'人T 1 T T 斤r. 2结合CD= 3CA+ QB,知f= 3.2答案：27. (1)已知3(x + a)+ 3(x —2a)—4(x —a+ b) = 0(其中a, b 为已知向量)，求x；3x + 4 y = a, t其中a , b 为已知向量，求 x , y .2x — 3 y = b ,解：(1)原方程化为 丁 3x + 4y = a , ⑵ 2x — 3y = b ,2 1 由②得y = §x — -b , 得 3x + 4（j x -c 84 综上可得l y = 17a — 17b . 8. 设两个向量a 与b 不共线.(1)试证：起点相同的三个向量a ,b , 3a — 2b 的终点在同一条直线上 (a 羽); ⑵求实数k ,使得k a + b 与2a + k b 共线.解：(1)证明：设OA = a , OB = b , OC = 3a — 2b . 因为 AC = OC — OA = (3a — 2b )— a = 2( a — b ), AB = OB — OA = b — a ,所以AC =— 2AB ,故AC , AB 共线.又AC , AB 有公共起点A ,所以A , B , C 在同一条直线上.(2)因为 k a + b 与 2a + k b 共线，所以设 k a + b = ?(2a + k b ),入€ R ,即 k a + b = 2 扫+ k b |k =2 入又a 与b 不共线,所以 所以k = ±.'2.1.1 = k 入［高考水平训练］1. 已知0是△ABC 内的一点，且OA + OB + OC = 0 ,贝V O 是△ABC 的 ________ .解析：OA + OB 是以OA 、OB 为邻边作平行四边形的对角线 ，且过AB 的中点，设中点 为D ,则OA + OB = 2OD , • 2OD + OC = 0,同理设E 、F 为AC , BC 中点，则满足条件的 点O 为A ABC 三边中线的交点，故为重心.答案：重心2. 已知A ABC 和点M 满足IMA + MB + MC = 0.若存在实数 m 使得AB + AC = mAM 成立，则 m= ________ .解析：由MA + MB + MC = 0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则(2)已知 3 x + 3a + 3x — 6 a — 4x + 4a — 4 b =0.1即 2x = 4b — a .「. x = 2b — 2a .得 2x + a — 4b = 0, 代入①,…3x + §x — 3b — a = 0, 17x = 4b + 3a.3 4••• x =万 a+ 万 b.2 34 1 2 8 1 • y = 3（万 a + 万 b） — 3b =万 a + 51b — 3b —23-= 17a —J r 色 ±x = 17a + 17 b ,+ AC) = 3(A B + AC),所以有AB + AC= 3AM ,故m= 3.答案：33•证明：若向量OA、OB、OC的终点A、B、C共线，则存在实数入□，且H 尸1 ,使得：OC= OA+ Q B;反之，也成立.4 H证明：①如图所示,若OA、OB、OC的终点A、B、C共线，则AB// B C ,故存在实数m,使得BC = mAB,又BC = OC —OB, AB = OB-OA, 所以OC—OB= m(OB—OA),即OC=—mOA + (1 + m)OB.令入=—m, 尸1 + m,则存在实数入□且H 尸1,使得OC = 活A + Q B.②若OC= ；OA+ Q O B,其中入让R且H 尸1 ,贝y 尸1—入故OC = X5A+ (1 —?)OB , 即OC —OB = ?(OA —OB),即BC= ?BA.所以A、B、C三点共线, 即向量OA、OB、OC的终点在一条直线上.4.设a, b, c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知 a + b与c共线，且b+ c与a共线，则b与a + c是否共线？请证明你的结论.解：b与a+ c共线.证明如下：••• a+ b与c共线，•••存在惟一实数入使得a+ b= ?c.①•••b+ c与a共线，•存在惟一实数Q使得b+ c= Q a.②由①一②得，a —c= ?c—(1 + Q a= (1 + ?)c.又T a 与c不共线,• 1 +(= 0, 1 + 入= 0 ,• Q=—1, ?= —1 ,• a + b= —c,即a + b+ c= 0. • a + c= —b.故a + c 与b 共线.。
高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积达标训练 苏教版必修4基础·巩固1.已知a =(3,2),b =(2,-3),则向量a 与b 的夹角为( ) A.6π B.4π C.3π D.2π 思路解析:由a ·b =3×2+2×(-3)=0,∴a ⊥b .∴两向量夹角为2π.也可通过画简图帮助分析. 答案:D2.若向量a 与b 的夹角为120°,|b |=4,(a +2b )·(a -3b )=-72,则向量a 的模为( )A.2B.4C.6D.12思路解析:将(a +2b )·(a -3b )=-72展开,即a 2+2a ·b -3a ·b -6b 2=-72.∴|a |2-a ·b -6|b |2+72=0,即|a |2-|a ||b |cos120°-24=0.∴|a |2+2|a |-24=0,解得|a |=4或|a |=-6(舍去).故|a |=4.答案:B3.已知平面向量a =(4,2),b =(x,-4),且a ⊥b ,则x 等于( )A.2B.1C.-1D.-2思路解析:4x+2×(-4)=0得x=2.答案:A4.已知a =(1,1),b =(1,0)且k a +b 恰好与b 垂直,则实数k 的值是( )A.1B.-1C.1或-1D.以上都不对思路解析:k a +b =k(1,1)+(1,0)=(1+k,k),∵k a +b 与b 垂直,∴(k a +b )·b =0,即(1+k,k)·(1,0)=0.∴(1+k)×1+k×0=0得k=-1.答案:B5.已知a 、b 是非零向量且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a 与b 的夹角是( ) A.6π B.3π C.32π D.65π 思路解析:设a 与b 的夹角是α,∵(a -2b )⊥a ,∴(a -2b )·a =0,即|a |2-2a ·b =0. ①又∵(b -2a )⊥b ,∴(b -2a )·b =0,即|b |2-2a ·b =0. ②由①②知|a |=|b |,a ·b =21|a |2=21|b |2, ∴cosα=22||||21||||a a b a ab ==21.∴a 与b 的夹角为3π. 答案:B 6.已知平面上三点A 、B 、C 满足||=6,||=8,||=10,则·+·+·的值等于___________________________.思路解析:∵||2+|BC |2=||2, ∴∠B=90°⇒cos∠ABC=0,cos∠BAC=53,cos∠BCA=54. ∴原式=6×8×0+8×10×(-54)+6×10×(-53)=-100. 答案:-1007.设a 、b 、c 是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,下列命题:①(a ·b )·c -(c ·a )·b =0;②|a |-|b |＜|a -b |;③(b ·c )a -(c ·a )b 不与c 垂直;④(3a +2b )·(3a -2b )=9|a |2-4|b |2.其中正确的有____________.思路解析:①错误,因向量的数量积不满足结合律.③错误,因［(b ·c )·a -(c ·a )·b ］·c =(b ·c )·(a ·c )-(c ·a )·(b ·c )=0,则(b ·c )·a -(c ·a )·b 与c 垂直.②④都是正确的.答案:②④8.已知|a |=5,b =(-4,3),且a ⊥b ,则a 的坐标为_________________________.思路解析:设a 的坐标为(x,y),由已知则有⎩⎨⎧=+=+0.3y 4x -25,y x 22解得⎩⎨⎧==4y 3,x 或⎩⎨⎧==-4.y -3,x 答案:(3,4)或(-3,-4)9.已知|a |=8,|b |=10,当(1)a ∥b ,(2)a ⊥b ,(3)a 与b 的夹角为60°时,分别求a 与b 的数量积.思路分析:利用向量数量积的定义求解,求解时应注意两向量平行时需分两类.解:(1)a ∥b ,若a 与b 同向,则θ=0°,∴a ·b =|a ||b |cos0°=8×10=80.若a 与b 反向,则θ=180°,∴a ·b =|a ||b |cos180°=8×10×(-1)=-80.(2)当a ⊥b 时,θ=90°,a ·b =|a ||b |cos90°=0.(3)当a 与b 的夹角为60°时,a ·b =|a ||b |cos60°=8×10×21=40. 10.已知向量a =(3,4),b =(4,3),试确定能使(x a +y b )⊥a 且|x a +y b |=1成立的x 、y 的值. 思路分析:本题利用向量的模、垂直的坐标表示等基础知识.解题时由已知条件建方程组解之即可.解:由于a =(3,4),b =(4,3),所以x a +y b =x(3,4)+y(4,3)=(3x+4y,4x+3y).因为(x a +y b )⊥a 且|x a +y b |=1,所以有⎩⎨⎧=+++=+++ 1.3y)(4x 4y)(3x 0,3y)4(4x 4y)3(3x 22 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==75-y ,3524x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.75y ,3524-x 综合·应用 11.若O 为△ABC 所在平面内一点,且满足(OC OB -)·(OA OC OB 2-+)=0,则△ABC 的形状为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.A 、B 、C 均不是 思路解析:由(OC OB -)·(OA OC OB 2-+)=0,得CB ·(AC AB +)=0,又∵AC AB CB -=,∴(AC AB -)·(AC AB +)=0,即|AB |2-|AC |2=0. ∴|AB |=|AC |.∴△A BC 为等腰三角形.答案:C12.已知点A(1,0)、B(5,-2)、C(8,4)、D(4,6),则四边形是( )A.正方形B.菱形C.梯形D.矩形思路解析:如右图,=(4,-2),=(4,-2),∴DC AB =.∴四边形ABCD 为平行四边形.又AB ·AD =(4,-2)·(3,6)=4×3+(-2)×6=0,∴⊥.又||≠||,∴四边形为矩形.答案:D13.已知a =(λ,3),b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )A.λ＞5B.λ≥5C.λ＜5D.λ≤5思路解析:设两向量的夹角为θ,由已知可得-1＜cosθ=25993152++-λλ＜0,经验证A 项正确.答案:A14.点A(3,0)、B(-2,0),动点P(x,y)满足·=x 2,则点P 的轨迹方程是_________________.思路解析:∵=(3-x,-y),=(-2-x,-y).∴(3-x)(-2-x)+(-y)(-y)=x 2.∴y 2=x+6.答案:y 2=x+615.已知a 、b 为非零向量,当t=________________时,a +t b (t∈R )的模取最小值.思路解析:由|a +t b |2=t 2|b |2+2t a ·b +|a |2是关于t 的二次式,∴当t=-2||22b b a •时,即t=-2||b b a •. 答案:-2||b b a • 16.i 、j 是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上的两个单位向量,且AB =4i +2j ,AC =3i +4j ,证明△ABC 是直角三角形,并求它的面积.思路分析:利用向量数量积的坐标运算及垂直的坐标条件.证明:=(4,2),AC =(3,4), 则=(3-4,4-2)=(-1,2),BA =(-4,-2), ∴·=(-1)×(-4)+(-2)×2=0. ∴⊥,即△ABC 是直角三角形. ||=522422=+,||=5)2()1(22=-+-,且∠B=90°,∴S △ABC =21×552⨯=5. 17.(2006四川高考)如图2-4-8,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量的数量积中最大的是( )图2-4-8 A.21P P ·31P P B.21P P ·41P P C.21P P ·51P P D.21P P ·61P P 思路分析:设正六边形的边长为1,则21P P ·31P P =1×3×cos30°=23, 21P P ·41P P =1×2×cos60°=1,21P P ·51P P =1×3×cos90°=0, 21P P ·61P P=1×1×cos120°=-21. 答案:A18.(2006重庆高考)与向量a =(27,21),b =(21,27)的夹角相等,且模为1的向量是( ) A.(54,-53) B.(54,-53)或(-54,53) C.(322,-31) D.(322,-31)或(-322,31) 思路解析:设出向量的坐标,利用已知条件建立方程组求解或反代排除法求解.方法一:设所求向量的坐标为(x,y),由已知可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++++=+,)27()21(2721)21()27(2127,1222222y x y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53,54y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.53,54y x方法二:(反代排除法)验证(54,-53)满足已知条件,验证(-54,53)也满足已知条件,故选择B.答案:B19.(2006江西高考)已知向量a =(1,2),b =(-2,-4),|c |=5,若(a +b )·c =25,则a 与c 的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°思路解析:本题利用向量数量积的坐标运算和向量数量积的性质.解题时要注意隐含条件a 与a +b 反向.∵a +b =(1,2)+(-2,-4)=(-1,-2)=-a ,则a 与a +b 反向.又a +b =(-1,-2),则|a +b |=5.则由(a +b )·c =25,可得a +b 与c 的夹角为60°, ∴a 与c 的夹角为120°.答案:C20.(2006重庆高考)已知三点A(2,3)、B(-1,-1)、C(6,k),其中k 为常数.若||=||,则与的夹角为( ) A.arccos(-2524) B.2π或arccos 2524 C.arccos 2524 D.2π或π-arccos 2524 思路解析:先由已知条件求出k 的值,再利用向量数量积的坐标运算求出两向量的夹角. 由||=||可得2222)3()26()31()21(-+-=--+--k ,解得k=0或k=6. 设与的夹角为θ.当k=0时,=(-3,-4),AC =(4,-3),则cosθ=5)4()3()3()4(4)3(22⨯-+--⨯-+⨯-=0.当k=6时,=(-3,-4),AC =(4,3),则cosθ=222234)4()3(3)4(4)3(+-+-⨯-+⨯-=-2524. 所以θ的值为2π或π-arccos 2524. 答案:D21.(2006浙江高考)设向量a 、b 、c 满足a +b +c =0,且(a -b )⊥c ,a ⊥b ,若|a |=1,则|a |2+|b |2+|c |2的值是________________________.思路解析:由向量加、减法的平行四边形法则,以a 、b 对应有向线段为邻边可以构成一个正方形,则其对角线长为2,且其中一条对应向量c .答案:422.(2006天津高考)设向量a 与b 的夹角为θ,且a =(3,3),2b -a =(-1,1),则cosθ=_______________.思路解析:首先求出向量b ,再利用夹角公式求解.答案:10103 23.(2006北京高考)已知向量a =(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ),且a ≠±b ,那么a +b 与a -b 的夹角大小是______________________.思路解析:方法一:设a +b 与a -b 的夹角为θ.∵a =(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ),∴a +b =(cosα,sinα)+(cosβ,sinβ)=(cosα+cosβ,sinα+sinβ);a -b =(cosα,sinα)-(cosβ,sinβ)=(cosα-cosβ,sinα-sinβ). ∴cosθ=2222)sin (sin )cos (cos )sin (sin )cos (cos )sin )(sin sin (sin )cos )(cos cos (cos βαβαβαβαβαβαβαβα-+-+++-++-+ =22222222)sin (sin )cos (cos )sin (sin )cos (cos )sin (sin )cos (cos βαβαβαβαβαβα-+-+++-+-=0. ∴θ=2π.方法二:∵a =(cos α,sinα),b =(cosβ,sinβ),∴|a |=αα22sin cos +=1,|b |=ββ22sin cos +cos 2β+sin 2β=1.而(a +b )·(a -b )=|a |2-|b |2=0,∴a +b ⊥a -b ,即a +b 与a -b 的夹角大小是2π.答案:2π。
