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则称X,Y相互独立 .
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .
用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F (x ,y ) F X (x )F Y (y )
则称X,Y相互独立 .
它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
解 由于X 与Y 相互独立,
所 p (x ,以 y ) p X (x )p Y (y )
又pX(x)
1 e , (x 2 σ a 2)2 2σ
x ;
pY(y)21b, b yb, 0, 其它 .
得 p(x,y)1 1 e , (x2σa2)2
2b 2σ
其 x 中 , b y b .
当 yb时 , p(x,y)0.
例5（会面问题）甲乙两人约定0时到1时在某 处会面，他们到达会面地点的时间均匀分 布在0～1时.设他们两人到达的时间是相互 独立，二人约定先到者等候另一人1刻钟， 过时即可离去，求两人能会面的概率.
解：设 X ,Y 分 表 示 甲 , 乙 两 人 到 达 的 时 间 , 则
3
(1)求 与 应满足;的条件 (2若 ) X与 Y相互,求 独 与 立 的.值
解 将(X,Y)的分布律改写为
Y X
1
1
1
6
1
2
3
pj P{Yyj}1 2
2 1 9
1 9
3 piP {Xxi}
1
1
18
3
1
3
1 18
2
3
(1)由分布律的性质知
则
4
P{|XY|1 4}D p(x,y)dxdy
dxdy
D
7 16
二、离散型随机变量的条件分布
问题
考虑一大,从 群其 人中随机挑选 ,分一别个 用X和Y记此人的体重,则 和X身 和Y高 都是随 机变,量 他们都有自己. 的分布
现在如果限制 Y 取值从 1.5米到 1.6米, 在这个限制下求 X 的 分布 .
P { X 3 , Y 2 } P { X 3 } P { Y 2 } 0 .7 0 .60.42,
P { X 3 , Y 4 } P { X 3 } P { Y 4 } 0 .7 0 .40.2.8
因此(X,Y)的联合分布律为
Y X
2
4
1 0.18 0.12
定义 设(X,Y)是二维离散型随机 ,对变于量固定
的j, 若P{Y yj}0, 则称
P{ X
xi
Y
yj
}
pY(y)0x e(xy)dx ey
y >0
即：
xex, x0
pX(x)0, 其它
ey,
pY
(
y)
0,
y0 其它
例4 设随机X变 和Y相 量互独 ,并立 且 X服从 N(a,σ2)Y , 在[b,b]上服从均,求 匀 (X,分 Y) 布 的联合概. 率密度
对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
P ( X x i,Y y j) P ( X x i) P ( Y y j)
则称X和Y相互独立.
例1 已知(X,Y)的分布律为
(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
1
1
1
1
p ij
6
9 18
0,0,2
3
1,
故 与 应满足 : 的 0 , 条 0且 件 1 是 .
3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
p i j p i p j,( i 1 , 2 ;j 1 , 2 , 3 )
特别有
p12 p1p2111
P { X 1 , Y 2 } P { X 1 } P { Y 2 }
0 .3 0 .60.18,
P { X 1 , Y 2 } P { X 1 } P { Y 2 } 0 .3 0 .60.18,
P { X 1 , Y 4 } P { X 1 } P { Y 4 } 0 .3 0 .40.12,
1, 0x1 pX(x)0, 其它
1, 0y1 pY(y)0, 其它
由 于 X 与 Y 相 互 独 立 ， 则 （ X , Y ) 的 密 度 函 数
1, 0x1， 0y1，
p(x,y) 0, 其 它 要 使 两 人 能 会 面 ， 则 | X Y
|
1
9 39
2, 9
又
例2 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为
X1 3 PX 0.3 0.7
Y2 4 PY 0.6 0.4
求随机变量 (X,Y) 的分布律.
解 因为X与Y 相互独立, 所以
P { X x i , Y y j } P { X x i } P { Y y j } 于是
若 (X,Y)是连续型r.v ,则上述独立性的 定义等价于：
若对任意的 x, y, 有
p (x,y)p X(x)p Y(y)
成立，则称X,Y相互独立 .
其中 p(x, y) 是X,Y的联合密度， pX(x),pY(y)分别是X的
边缘密度和Y 的边缘密度 .
若 (X,Y)是离散型r.v ，则上述独立性的 定义等价于：
P84例1
3 0.42 0.28
例3 设(X,Y)的概率密度为
x e(xy), p(x,y)
0,
对一切x, y, 均有：
xp 0(,xy,y ) 0p X(x)p Y(y) 其 它 故X,Y 独立
问X和Y是否独立？
解：pX(x)0xe(xy)dy xex
x>0
第3-3节 随机变量的独立性,条件分布
一、随机变量的相互独立性 二、离散型随机变量的条件分布 三、连续型随机变量的条件分布 四、小结
一、随机变量的相互独立性
随机变量的独立性是概率论中的一 个重要概念.两随机变量独立的定义是：
1.定义 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
P ( X x ,Y y ) P ( X x ) P ( Y y )
