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chapter04非线性方程和方程组的数值解法

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非线性方程组的数值求解

非线性方程组的数值求解

第四章 非线性方程组的数值求解习题4.11．考虑211212221212(,)0(,)0f x x x x f x x x x αα⎧=-+=⎪⎨=-++=⎪⎩，讨论1,1/4,0,1α=-的4种情况下的解各等于什么？ 2．用图解法研究方程组12221sin 0220x x x x π⎧-=⎪⎨⎪-=⎩的解大致等于什么？ 3．先用图解法大致判断解的位置，再用消元法求解212221210(2)(0.5)10x x x x ⎧--=⎪⎨-+--=⎪⎩。

4．查阅数学手册，用卡丹方法分别求解331540;660x x x x --=-+=。

5．解4次分圆方程43210x x x x ++++=。

6．证明实系数n 次代数方程的共轭根必定成对出现。

习题4.21．用Gerschgorin 圆盘定理作方程3243100x x x +--=和765432621353521710x x x x x x x -+-+-+-=的实根的定位，求出根的隔离区间。

2．设()A ρ为矩阵A 的谱半径，用圆盘定理直接证明()||||A A ρ≤．3．若n 阶矩阵A 不可约，有一特征值λ在A 的一个圆盘的边界上，证明：A 的n 个圆盘的边界均通过λ。

4．用Gerschgorin 圆盘定理隔离矩阵20312102810A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值，再用实矩阵特征值的性质，改进得出的结果。

5．用二分法求函数:f R R →的零点。

初始有根区间长度为1，问迭代6次后有根区间的长度为多少？需要用函数表达式吗？若在初始区间上函数有符号变化，问二分法的收敛速度与要求是单根还是重根有关系吗？ 6．应用二分法求方程sin02xxe π-=在区间[0， 1]上误差不超过52-的近似根，应对分多少次，并求其根。

7．对3()310f x x x =--=的根进行隔离，并用二分法计算所有的实根。

8．在[1，2]上用二分法解22cos 0xx -+=，精度要求31||10k k x x -+-<和3|*|10k x x --<，对分各多少次数？9．用二分法求cos()0x e =在[0，4]上的根，精度要求31||10k k x x -+-<和3|*|10k x x --<，对分各多少次数？10．用二分法求20xx e -+=的一个正根和一个负根，精度要求31||10k k x x -+-<。

非线性方程组数值解法

非线性方程组数值解法

非线性方程组数值解法随着科学技术的进步和发展，人们发现非线性方程组在科学研究中起着越来越重要的作用，成为解决复杂科学问题的有力工具。

解决非线性方程组的核心是采用有效的数值解法，它们可以帮助我们快速解决复杂的非线性问题。

一般来说，解决非线性方程组的数值解法可以分为三类：一类是积分方法，一类是有限元方法，另一类是迭代方法。

积分方法包括欧拉法和梯形法等；有限元方法则包括Galerkin方法、Ritz方法、Kirchhoff方法等；而迭代方法有Newton-Raphson方法、拟牛顿投影方法、拟牛顿变量步长方法、McKenna迭代法等。

积分方法按照方程组的方向将时间分解为若干步，并利用各步的积分求解出方程组的解。

它的优点是收敛性强，适用范围广，但缺点是计算量大，实际计算起来比较复杂。

有限元方法将非线性方程组转换成一组有限元方程，然后利用有限元解法求解出解析解。

它的优点是快速计算和分空间，可以解决含有空间变量的非线性问题，但缺点是收敛性一般，容易发散。

迭代方法首先采用初始值作为方程组的解，然后不断迭代求解，该方法的优点是可以用来求解非线性方程组的定点解，但也有缺点，如求解精度较低，耗时较长。

在实际应用中，解决非线性方程组数值解法需要考虑多方面因素，如准确性、可行性、处理效率和使用复杂度等，以选择合适的解法。

此外，还需要考虑非线性方程组的特殊性质，如线性方程组不可约或不可约变系数等，以决定是否可以采用一般的解法。

因此，解决非线性方程组的数值解法是一项复杂的工作，要求工程师必须运用知识和技术，有系统地考虑不同的解法，并在不同情况下进行取舍，才能获得最佳的结果。

总之，解决非线性方程组的数值解法具有复杂的理论和实际应用，为解决复杂科学问题提供了有力的工具，受到了越来越多的关注。

只有深入地研究各类数值解法，推动它们的发展，才能满足现实需求，建立科学有效的解决方案，最终实现理想的结果。

非线性方程的数值解法

非线性方程的数值解法
(5) xk 1
还可以建立更多 的迭代格式
3 2 xk 4 xk 10 g5 ( xk ) xk 2 3xk 8xk
取初始近似值 x0 1.5 ，迭代计算的结果分别为：
8 (1)迭代4次后 x4 1.0310 看来不收敛；
数值分析
(2)迭代3次后 x3 8.65
则称x* 为 f (x) = 0 的 m 重根，当m=1时称为单根， 此时有:
f ( x ) f ( x ) f ( m1) ( x ) 0,
f ( m) ( x ) 0.
§4.2 二分法和试位法 一、基本原理及做法
零点定理：若 f C[a, b]，且 f (a) · (b) < 0，则 f 在 (a, b) f 上必有一根。
一、 Newton迭代公式(构造思想和几何意义)
数值分析
将 f (x)在 xk 做一阶Taylor展开: f () f ( x) f ( xk ) f ( xk )( x xk ) ( x xk ) 2 ， 在 xk 和 x 之间。 2! 将 (x xk)2 看成高阶小量，则有：
数值分析
收敛速度是用来衡量迭代方法好坏的重要标志，常用收敛 的阶来刻划．
定义 记某迭代格式的第k次迭代误差为 ek= xk-x*, 并假设迭代格式是收敛的，若存在实数 p 1, 使得
| ek 1 | lim C k | e | p k
则称该迭代格式是p阶收敛的，C称为渐近误差常数． 当 p =1，且 C <1 时，称迭代格式为线性收敛； 当 p =2时，称迭代格式为二阶收敛； 当 p>1时, 称迭代格式为超线性收敛．
数值分析
第四章 非线性方程的数值解法
定义 设f(x)为一元连续函数，称方程f(x)=0为函数方程。

非线性方程和方程组的求解讲解

非线性方程和方程组的求解讲解

注：1.若初始值充分接近于根，则N－R法的收 敛速度很快； 2.由于方程的精确解的具体值事先不知道， 在编程实施时，可以预先给定一个足够小的正 数 ，以下式作为迭代终止的判定条件：
x k 1 x k
N-R法的几何意义
y f(x) f(x0) f(x1) 0 x* xk+1 xk … x1 x0 x
0 1 0 2
0 x1 0 x2
f 2 ( x1 , x2 ) (x x ) x2
1 1 0 1
0 x1 0 x2
1 0 ( x2 x2 )0
1 1 0 X x x 若令 1 1 1
1 1 0 X 2 x2 x2
1 T 2
则 X X
1
1 1
X

令
f 1 x 0 J( X ) 1 f 2 x1
f (1) 1 在[0,1]中有实根
bk 1 0.5 0.5 0.375 0.375 0.375 0.359375 0.3515625 0.34765625 0.34765625 0.34765625 0.34765625 0.347412109 xk 0.5 0.25 0.375 0.3125 0.34375 0.359375 0.3515625 0.34765625 0.345703125 0.346679687 0.347167968 0.347412109 0.347290038 f(xk) -3.75 0.265625 -0.07227 0.09302 0.009369 -0.03171 -0.01124 -0.000949 0.004206 0.001627 0.0003387 -0.0003054 0.00001666
Matlab程序：

非线性方程与方程组数值解法

非线性方程与方程组数值解法

2.2 二分法
表2-2 计算结果
k
0 1 2 3 4 5 6 7
ak
1 1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 1.3125 1.3203
bk
2 1.5 1.5 1.375 1.375 1.3438 1.3281 1.3281
xk
1.5 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242
ab ；否则，回 2
5.2 二分法
说明：
x*
(ⅰ)上述计算步骤（2）和（3）每执行一次就把新的区间分成两份，根的范围也 缩小一半. 如果第 k 次二分后得到的区间记 为 [ak , bk ]，根的近似值记为 xk ，则 ba (a b ) 有 bk ak k ， xk k k ，那么当时 k ， bk ak 0，这说明如果二分过 2 2 程无限继续下去，这些区间必将收敛于一点，即为所求根. (ⅱ) 第
3
2 f ( x ) 3 x 1 0, x [1, 2] 解 已知 f (1) 1 0, f (2) 5 0 且 ，
则方程
f ( x) x 3 x 1 0
在区间
(1, 2)
内只有一个实根.
当 k 1 ， x1
bk ak 102 ，继续二分；
2.1 引言
通常隔离区间的确定方法为 （1）作 y f ( x) 的草图, 由 y f ( x)与横轴交点的大致位置来确定； 或 者将 f1 ( x) f 2 ( x) 改写成 f ( x) 0 ， 根据 y f1 ( x) 和 y f 2 ( x) 交点横坐标来确定
根的隔离区间.
当 k 2 ， x2

非线性方程(组)的解法

非线性方程(组)的解法

lnim(bn
an )
lim
n
2n1
(b
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x
取
x
cn
1 2
(an
bn
)为
x 的近似解。
7
二分法
迭代终止准则
an - bn
即
x - cn
bn an 2
2
8
2.2一般迭代法
2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x (x) 形式 如： x3 x 1 0 x 3 x 1
12
例题
例2.2.1 试用迭代法求方程 f (x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。 解：由 x 3 x 1建立迭代关系
xk1 3 xk 1 k=0,1,2,3…… 计算结果如下:
13
例题
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
14
例题 但如果由x x3 1建立迭代公式
xk1 xk3 1 k 1,2,...
仍取 x0 1.5，则有 x1 2.375 ，x2 12.39 显 然结果越来越大，{xk }是发散序列
15
2.3 Newton迭代法
设x*是方程f (x) = 0的根， 又x0 为x* 附近的一个值，
将f (x) 在x0 附近做泰勒展式：
f (x)
二分法
用二分法(将区间对平分)求解。
令
a1
a, b1
b, c1
1 2
(a1
b1 )
若 f (a1) f (c1) 0，则[a1, c1] 为有根区间，否 则 [c1,b1]为有根区间

非线性方程和方程组的数值解法

1. 使用二分法求3250x x --=在区间[2，3]上的根，要求误差不超过30.510-⨯.解：首先确定二分次数，根据误差估计式得，取k=10即可。

使用二分法计算10次，结果见下表2. 利用0)ln(=+x x 构造收敛的迭代格式，并求在0.5附近的根.解 首先考虑迭代格式1ln ,0,1,2,...k k x x k +=-=，相应的迭代函数()ln ,x x ϕ=-容易计算'1()x xϕ=-，在0.5附近有 ''()2,()21x x ϕϕ≈-≈>.迭代格式1ln ,0,1,2k k x x k +=-=不收敛，利用上题结论，函数()ln x x ϕ=-的反函数1()x x e ϕ--=，建立迭代格式1,0,1,2,...,k x k x e k -+==取初值00.5x =，计算结果见下表：最后*180.5671408x x≈=3.求方程310x x--=在]2,1[上的唯一正根，精度410-解考虑函数3()1, f x x x=--显然(1)10,(2)50f f=-<=>，故在[1,2]上方程有根存在；另外'2()312,[1,2],f x x x=-≥∈因此在[1,2]上方程有唯一的根。

建立迭代格式1nx+=迭代函数()xϕ=在[1,2]上满足23'131()(1)3x xϕ-=+<根据收敛性定理，迭代格式1nx+=[1,2]x∈均收敛。

例如，取初值x=1.5，并计算结果如下：方程31x x--=0在[]1,2上的精确解是* 1.324718x=4.利用简单加速方法，求方程xx e-=在x=0.5附近得一个根，精度510-。

解考虑'(),()0.6x xx e x e Lϕϕ--==-=≈-.利用简单加速方法()1111111n nnn nL Lx xx x xϕ+++--⎧=⎪⎨=-⎪⎩得()1111 1.60.6nxnnn nx ex x x-+++⎧=⎪⎨=+⎪⎩取初值00.5x =，计算结果列表如下：5. 利用Newton 法解方程x=cosx ，取初值0x =1.解 考虑()cos f x x x =-，建立Newton 迭代格式：()()01'1,,0,1,2.....n n n n x f x x x n f x +=⎧⎪⎨=-=⎪⎩方程x=cosx 的精确解是*x =0.739 085 133……。

(完整版)数值分析重点公式

第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x ll x x x lαα+-≤---≤--定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠L （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。

6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。

非线性方程的数值解法


xk

x* ) p
根据已知条件得
(xk ) (x*)
1
p!
(
p
)
(
)(
xk
x*) p
由迭代公式 xk1 (xk ) 及 x* (x* ) 有
x k 1

x*

( p) ( )
p! (xk

x*) p
lim ek1 ( p) (x* ) 0
取一个初值 x0 , 代入式 x (x) 的右端, 得到
x1 (x0 )
再将 x1 代入式 x (x) 的右端, 得到 x2 (x1) , 依此类推, 得到一个数列 x3 (x2 ) …， 其一般表示
xk1 (xk ) (k 0,1,2,) (2.4)
2.3.1 迭代法的基本思想
为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便
于迭代的等价方程
x (x)
其中 (x) 为x的连续函数
(2.3)
例4 用迭代法求方程 x3 x 1 0
在x=1.5附近的一个根 解 将方程改写成如下两种等价形式
x 1 (x ) 3 x 1 x 2 (x ) x3 1
x6、x7重合，所以迭代公式（1）是收敛的，x*≈0.3758。 用迭代公式（2） xk1 10xk 2 , x0=1, 算得
x1=10-2=8, x2=108-2≈108, x3=10108-2≈ 10108，…… 迭代公式（2）发散。
}
2.3.3 迭代法收敛的条件 对方程f(x)=0可以构造不同的迭代公式, 但
证:由于 (x*) 1 ,存在充分小邻域△: x x* ,使成 立 (x* ) L 1 这里L为某个定数,根据微分中值定 理 (x) (x* ) ( )( x x* ) 由于 (x* ) x*,又当 x 时 ,故有 (x) x* L x x* x x* 由定理2.1知 xk1 (xk ) 对于任意的 x0 都收敛

4非线性方程求解

第四章 非线性方程数值求解
§ 4.1 一元方程求根
1）问题的提出
满足函数方程
f(x)=0
(1)
的x称为方程(1)的根，或称为函数f(x)的零点。如果 函数(x)可分解为 (x)=(xs)mg(x) 且g(s )0,则称s是(x)的m重零点或(x)=0的m重根。 当m=1时，称s是(x)的单根 或单零点。 若f(x)不是x的线性函数, 则称(1)为非线性方程, 特 别地, 若f(x)是n次多项式，则称(1)为n次多项式方程 或代数方程；若f(x)是超越函数，则称(1)为超越方程。
(2) (3)
说明: 条件(2)可用更强更便于应用的条件代替:
| ( x ) | L 1 x ( a , b)
证: 1o
设g ( x ) x ( x ), 则
g( a ) a ( a ) 0 , g( b ) b ( b ) 0
故至少有一个根 x * [ a , b ], 使 g( x * ) 0, 若另有根 y : y ( y ), 则 | x * y | | ( x * ) ( y ) | L | x * y |, 所以 (1 L) | x * y | 0, 从而 | x * y | 0, 即 x ( x ) 在 a, b 内有唯一解 x * .
2)预备知识 定理1.(根的存在定理) 假设函数y=f(x)Ca,b,且f(a)· f(b)<0, 则 至少存在一点x (a,b)使得f(x )=0. (并称区间(a,b)为有根区间) 定理2. 假设函数y=f(x)在a,b上单调连续,且 f(a)· f(b)<0, 则恰好只存在一点x (a,b)使得 f(x )=0 定理3. 假设函数y=f(x)在x=s的某一邻域内充分可微， 则s是方程f(x )=0的m重根的充分必要条件是
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由微分学中值定理，条件(2)常常用条件：
(3)
此时
( x) L 1 所替代
( x) ( y) ( ) x y L x y
3、已知一个三次方程为 x x 1 0
3
试在1.5附近讨论根的存在惟一性，并构造两种 不同的收敛迭代格式，再用其中一种收敛迭代格式 4 10 计算该方程在1.5附近的一个根( ) 2 3 f ( x ) 3 x 1 解：设 f ( x) x x 1 当 x 1/ 3 时，f ( x) 是严格单调增加的，而
等价变换
x = (x)
(x) 的不动点
从一个初值 x0 出发，计算 x1 = (x0), x2 = (x1), …, x 思 xk+1 = (xk), … 若 k k 0 收敛，即存在 x* 使得 路 lim x k x *，且 连续，则由 lim x k 1 lim g x k 可 k k k 知 x* = (x* )，即x* 是 的不动点，也就是f 的根。
定 理 4.3.3 若x * 为迭代函数 ( x)的不动点,
( x)在x *的某邻域S内有连续导数, 且 | ( x*) | 1,
则迭代法(4.3.3)是局部收敛的 .
例4.3.2用迭代法求方程 x 2 3 0的根x* 3. 2 （ 1 ）xk 1 xk xk 3， ( x) 2 x 1， ( x*) 2 3 1 1; 3 3 （2）xk 1 ， ( x) 2 ， ( x*) 1; xk x 1 2 x 3 （3）xk 1 xk ( xk 3)， ( x) 1 ， ( x*) 1 0.134; 4 2 2 1 3 1 3 （ 4）xk 1 ( xk )， ( x) (1 2 )， ( x*) 0. 2 xk 2 x
8、确定常数a, b, c，使迭代式 xk 1 局部收敛到 x *
1 ，并有尽可能高的收敛阶数，
b c ( xk ) axk 2 5 xk xk
并指出这个阶数。 解：因为迭代公式收敛到
的不动点。从而有：
x 1 ，故1是 ( x)
*
a b c 1
①
为使迭代公式具有较高的收敛阶，可令
0 f ( x*) f ( x0 ) f ( x0 )( x * x0 ) y
x* x0 f ( x0 ) f ( x0 )
线性 /* linear */ x* x
x0
一般地
设已知方程f ( x ) 0的近似根x k , 并假定f ( x k ) 0, 做Taylor展开
第4 章
4.1 引言
非线性方程的数值解法
f ( x) 0
考虑单变量非线性方程 (1.1) 的求根问题，其中x R, f ( x) C[a, b].
非线性方程的分两类：
1. 代数方程, a0 x n a1 x n 1 an 1 x an 0, 其中a0 0, ai R (i 0,1, , n). 如 : x 3 x 1 0.
定 理 4.3.4 如果迭代函数(x)在x (x)的根x * 邻近具有p阶连续导数 , 并且
(p 1) (p) (x*) (x*) (x*) 0， (x*) 0,
那么迭代过程在x* 附近是p阶收敛的.
特别地，当0 | (x*)| 1时, 迭代法线性收敛; 当 (x*) 0, (x*) 0时, 平方收敛.
若f ( x) C[a, b], f (a) f (b) 0, 则可用搜索法求有根区间.
例4.1.1 求方程x e
x
f(x)的符号
x
0的有根区间 .
1 2 +
−1 −
0 −
+
求根问题的三个方面：存在性，分布，精确化。
4.3
不动点迭代法
4.3.1不动点和不动点迭代法
将非线性方程f ( x) 0化为等价形式 x ( x).
(1) 0, (1) 0
b c ( x) ax 2 5 x x
(1) 0, (1) 0
a 2b 5c 0
即： ② ③
5 1 解联立方程组①②③，得到：a b , c 9 9
。
Hale Waihona Puke 6b 30 c 0此时， (1) 10 0 故当

x x0 x*
p1

x
x1
Fixed-Point Iteration
定理
考虑方程 x = (x), (x)C[a, b], 若
( I ) 当 x[a, b] 时， (x)[a, b]；
( II ) 0 L < 1 使 | ′(x) | L < 1 对 x[a, b] 成立。
f ( x) f ( xk ) f ( xk )( x xk ),
于是 f ( x ) 0近似表示为 f ( xk ) f ( xk )( x xk ) 0, (4.5.1)
记其根为x k 1 ,则有计算公式 x k 1 f ( xk ) xk . f ( x k ) （4.5.2 ）
ab 5 1 ,c 9 9
时，迭代公式的收敛阶最高，为3.
4.5 Newton迭代法和割线法
原理：将非线性方程线性化 —— Taylor 展开 /* Taylor’s expansion */ 取 x0 x*，将 f (x)在 x0 做一阶Taylor展开: f ( ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2， 在 x0 和 x 之间。 2! 将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：
用格式（1）计算得到： X0=1.5,x1=1.35721,x2=1.33086,x3=1.32588, x4=1.32494,x5=1.32476,x6=1.32473 X7=1.32472,x8=1.32472
用格式（2）计算得到： X0=1.5,x1=1.29099,x2=1.33214,x3=1.32313, x4=1.32506,x5=1.32464,x6=1.32473 X7=1.32472,x8=1.32472
k
则称迭代公式(2.2) 收敛，且x* ( x*)是
( x)的不动点，故称(2.2)为不 动 点 迭 代 法 .
例4.3.1 求x3 x 1 0在1.5附近的根x *.
解：（ 1 ）x0 1.5，xk 1 3 xk 1, (k 0,1,2,).
k 0 1 2 3 4 5 6 7
当
2 2 ( x) 0 ，故 2 ( x) 单调增加，有 又由于 2
1 x 2
( x) 时， 2
1
1
2 (1) 2 2, 2 (2) 1.5 1 当 1 x 2 时， 1 ( x) 2 2
从而对任意初值
x0 [1,2] ，迭代格式（2）收敛。
此法何时收敛？ 如此简单，简 直难以相信！ 有什么问题吗？
Fixed-Point Iteration y p1 p0 y=x y=(x) y p0 y=x

x0 y x1 x* y=x x x0 y y= (x) p0 x* y= (x)

p1 y= (x) x x1 y=x
p0 p1 x1 x0 x*
4.3.3、局部收敛性
迭代序列 {xk }在[a, b]上的收敛性通常称为全 局收敛性； 不容易由定理作出判断 。应用上经常只在不动 点x * 附近考察收敛性，称为 局部收敛性.
定义4.3.1 如果U ( x*, ), 使得x0 U ( x*, )迭代序列 (2.2) 均收敛于x* ( x*), 则称迭代序列局部收敛 .
xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472
3 (2) xk 1 xk 1, x0 1.5, x1 2.375, x2 12.39, .
4.3.2 不动点迭代法
f (x) = 0 f (x) 的根
2. 超越方程, 如 : x e
x
0.
如果f ( x)可以分解为 f ( x) ( x x*)m g ( x), 其中0 | g ( x*) | , m为正整数. 则称x * 为f ( x)的m重零点.
此时 f ( x*) f ( x*) f ( m1) ( x*) 0, f ( m) ( x*) 0.
k 0 1 2 3 ‫׃‬ xk x0 x1 x2 x3 ‫׃‬ 迭代法(1) 2 3 9 87 ‫׃‬ 迭代法(2) 2 1.5 2 1.5 ‫׃‬ 迭代法(3) 2 1.75 1.73475 1.732631 ‫׃‬ 迭代法(4) 2 1.75 1.732143 1.732051 ‫׃‬
定 义 4.3.2 设迭代过程xk 1 ( xk )收敛于x*, 误差ek xk x*, ek 1 若 lim p C , C是不等于零的常数, k e k 则称迭代过程为 p阶收敛. 特别地，当p 1时迭代法为线性收敛； 当p 1时为超线性收敛；当p 2时为平方收敛.
k
( k = 1, 2, … )
k
lim
x * x k 1 x * x * xk
定 理 4.3.1 如果迭代函数 ( x) C[a, b] , 并且 (1) x [a, b], 都有 ( x) [a, b], (2) 0 常数L 1, 使得x, y [a, b], 都有 | ( x) ( y ) | L | x y |; 那么 ( x)在[a, b]上存在唯一的不动点x * .