最新湖南安乡五中高二文科数学段考考试卷《附答案》优秀名师资料

2024-2025学年湖南师大附中高二（上）入学数学试卷一、选择题：本题共11小题，第1-8小题每小题5分，第9-11小题每小题6分，共58分。

1.已知全集为U ，集合M ，N 满足M⫋N⫋U ，则下列运算结果为U 的是( )A. M ∪NB. (∁U N)∪(∁U M)C. M ∪(∁U N)D. N ∪(∁U M)2.已知α为锐角，且cosα−sinα=15，则下列选项中正确的有( )A. α∈(π4,π2)B. tanα=43C. sinαcosα=1225D. sinα+cosα=753.下列命题正确的是( )A. 若直线a//b ，a//平面α，则b//平面αB. 若直线a 与b 异面，则过空间任意一点与a 和b 都平行的平面有且仅有一个C. 三个平面两两相交于三条直线，则它们将空间分成7个或8个区域D. 已知直线a 与b 异面，不同的两点P ∈a ，Q ∈a ，不同的两点M ∈b ，N ∈b ，则直线PM 与QN 可能相交4.“函数f(x)=log 12(3−ax)在区间[1,2]上单调递增”的充分必要条件是( )A. a ∈(0,+∞) B. a ∈(0,1) C. a ∈(0,32) D. a ∈(0,32]5.2023年11月16日，据央视新闻报道，中国空间站近日完成了一项重要的科学实验——空间辐射生物学暴露实验装置的首批样品已经返回地面.这项实验旨在研究在太空中长时间存在的辐射对人体和微生物的影响.已知某项实验要在中国空间站进行，实验开始时，某物质的含量为1.2mg/cm 3，每经过1小时，该物质的含量都会减少20%，若该物质的含量不超过0.1mg/cm 3，则实验进入第二阶段，那么实验进入第二阶段至少需要( )小时？(结果取整数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)A. 12B. 8C. 10D. 116.已知M 是△ABC 所在平面内一点，满足AM =34AB +15AC ，则△ABM 与△BCM 的面积之比为( )A. 3B. 4C. 58D. 1257.已知5−a =lna ，b =log 43+log 917，7b +24b =25c ，则以下关于a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A. b >c >aB. a >c >bC. b >a >cD. a >b >c8.已知函数f(x)={1+log a |x−2|,x ≤1,(x−1)2+4a,x >1(a >0且a ≠1)在R 上为单调函数，若函数y =|f(x)|−x−2有两个不同的零点，则实数a 的取值不可能是( )A. 116 B. 14 C. 12 D. 13169.下列命题为假命题的是( )A. 在复数集C 中，方程x 2+x +1=0有两个根，分别为−12+ 32i ，−12− 32i B. 若三个事件A ，B ，C 两两独立，则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)C. 若OP =xOA +yOB +zOC ，则x +y +z =1是P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件D. 复平面内满足条件|z +i|≤2的复数z 所对应的点Z 的集合是以点(0,1)为圆心，2为半径的圆10.已知函数f(x)=sin (ωx +φ)，如图A ，B 是直线y =12与曲线y =f(x)的两个交点，若|AB|=π6，则( )A. f(0)=− 32B. 函数f(x)的最小正周期为7π12C. 若x 1+x 2=91π12，则f(x 1)=f(x 2)D. 若|x 1−x 2|=π24，则|f(x 1)−f(x 2)|的最大值大于1− 3211.如图，在三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，B 1C ⊥BC ，AC ⊥B 1C ，BC =CB 1=A 1C 1=2，下列结论中正确的有( )A. 平面BCC 1B 1⊥平面ACC 1A 1B. 直线AA 1与BC 1所成的角的正切值是13C. 三棱锥C−A 1B 1C 1的外接球的表面积是12πD. 该三棱柱各侧面的所有面对角线长的平方和等于它所有棱长的平方和的3倍三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

高二数学期中考试试卷(文科)考试范围：数学1（解析几何初步）、数学1—1（圆锥曲线）、数学1—2（全部）时间：120分钟 满分：150分一．选择题（共10题，每小题5分，满分50分） 1．y -+5=0的倾斜角为（ ）A ．0150 B ． 0120 C ． 060 D ．0302．如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 垂直，那么a 等于（ ）A ．3-B ．6-C ．23-D ．323．在研究两个分类变量x 、y 的关系时进行独立性检验常常使用统计变量2χ，如果我们有99.9%的把握认为x 、y 有关系，那么2χ值应在的临界值为（ ） A ．2.706 B ．3.841 C ．6.635 D ．10.8284．已知圆的方程为222610x y ax ay +-+-=，则圆心的轨迹方程为（ ） A ．3y x =- B ．3y x = C ．3x y =- D ．3x y =5．复数13z i =+，21z i =-，则复数12z z z =在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．把1，3，6，10，15，21，…这些数称为三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如下图）：则第10个三角形数为（ ） A ．45 B ．55 C ．50 D ．56 7．以下是计算201614121++++ 的值的一个 程序框图，其中判断框内填入的条件是（ ）A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i1 3 158．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ）A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= 9．椭圆192522=+y x 上一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则ON =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．2310．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线2470x y -+=上，则抛物线的方程为（ ）A ．214y x =-B ．22147y x x y =-=或C ．27x y =D ．22147y x x y ==-或 二．填空题（共4题，每小题5分，满分20分）11.在一组随机变量x 、y 的两个回归摸型中，残差的平方和越 大的模型拟合的效果越 （填好或差）.12．阅读所给的算法流程图，则输出的结果是S= ； 13．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23，则双曲线12222=-by a x 的离心率为 .14. 设P 为抛物线x y 42=上的点，则P 到直线3+=x y 的最短距离为 .三.解答题（共6题，满分80分） 15．（满分12分）直线l 过点A （-2，3）且与两坐标轴截得的线段恰好被点A 平分，求直线l 的方程。

2024年下学期期中检测试题高二数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列{}n a 满足6786a a a ++=，则7a 等于（）A.1B.2C.4D.8【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的性质进行求解.【详解】 6787736,2a a a a a ++==∴=故选：B2.若圆224820x y x y m +-++=的半径为2，则实数m 的值为（）A.-9B.-8C.9D.8【答案】D 【解析】【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案.【详解】由224820x y x y m +-++=，得22(2)(4)202x y m -++=-，所以2r ==，解得8m =.故选：D.3.若抛物线22(0)y px p =>的焦点与椭圆22195x y +=的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A.1x =-B.1x =C.2x =D.2x =-【答案】D 【解析】【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程.【详解】∵椭圆22195x y +=的右焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的准线方程为2x =-，故选：D.4.空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为[)0,50、[)50,100、[)100,150、[)150,200、[)200,300和[]300,500六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（）．A.这14天中有5天空气质量为“中度污染”B.从2日到5日空气质量越来越好C.这14天中空气质量指数的中位数是214D.连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日【答案】B 【解析】【分析】根据折线图直接分析各选项.【详解】A 选项：这14天中空气质量为“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A 选项错误；B 选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，B 选项正确；C 选项：这14天中空气质量指数的中位数是179214196.52+=，C 选项错误；D 选项：方差表示波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D 选项错误；故选：B.5.已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A.220x -25y =1B.25x -220y =1C.280x -220y =1D.220x -280y =1【答案】A 【解析】【详解】由题意得，双曲线的焦距为10，即22225a b c +==，又双曲线的渐近线方程为by x a=0bx ay ⇒-=，点1(2)P ，在C 的渐近线上，所以2a b =，联立方程组可得，所以双曲线的方程为22=1205x y -．考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质．6.定义22⨯行列式12142334a a a a a a a a =-，若函数22cos sin ()πcos 22x xf x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则下列表述正确的是（）A.()f x 的图象关于点(π,0)中心对称B.()f x 的图象关于直线π2x =对称C.()f x 在区间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.()f x 是最小正周期为π的奇函数【答案】C 【解析】【分析】由行列式运算的定义，结合三角恒等变换，求出()f x 解析式，AB 选项关于函数图象的对称性，代入检验即可判断；整体代入验证单调性判断选项C ；公式法求最小正周期，检验函数奇偶性判断选项D.【详解】由题中所给定义可知，22ππ()cos sin 2cos 222cos 223f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π(π)2cos103f ==≠，点(π,0)不是()f x 图象的对称中心，故A 错误；ππ2cos 1223f ⎛⎫=-=-≠± ⎪⎝⎭，直线π2x =不是()f x 图象的对称轴，故B 错误；π,06x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2,333x ⎡⎤⎢⎥-⎣-∈⎦-，2ππ,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦是余弦函数的单调递增区间，所以()f x 在区间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；()f x 的最小正周期2ππ2T ==，但(0)0f ≠，所以函数不是奇函数，故D 错误.故选：C7.已知ABC V 中，6AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，D 为BC 的中点，则AD =（）A.25B.19C.D.【答案】C 【解析】【分析】由题意可得：1()2AD AB AC =+，结合向量的数量积运算求模长.【详解】由题意可得：16,4,64122AB AC AB AC ==⋅=⨯⨯=uu u r uuu r uu u r uuu r ，因为D 为BC 的中点，则1()2AD AB AC =+，两边平方得，()22212194AD AB AC AB AC =++⋅=，即AD =uuu r .故选：C.8.已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若11||4||PF F Q =，则椭圆C 的离心率为（）A.255B.2C.155D.217【答案】D 【解析】【分析】由2PF x ⊥轴可得：22||b PF a=，不妨设点2(,)b P c a ，设0(Q x ，0)y ，由11||4||PF F Q =，解得0x 、0y ，代入椭圆方程化简即可求解．【详解】解：由2PF x ⊥轴可得：22||b PF a=，不妨设点2(,)b P c a ，设0(Q x ，0)y ，由11||4||PF F Q =，得032c x =-，204b y a =-，代入椭圆方程得：222291416c b a a+=，结合222a b c =+，化简上式可得：2237c a =，所以椭圆的离心率为7c e a ==，故选：D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.设i 为虚数单位，下列关于复数z 的命题正确的有（）A.2025i 1=-B.若1z ，2z 互为共轭复数，则12=z z C.若1z =，则z 的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆D.若复数1(1)i =++-z m m 为纯虚数，则1m =-【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，利用复数的乘方运算得到A 正确；B 选项，设1i z a b =+，2i z a b =-，则12=z z ；C 选项，由复数的几何意义得到C 正确；D 选项，根据纯虚数的定义得到方程，求出1m =-.【详解】对于A ：()()1012101220252i i i 1i i =⋅=-⋅=，A 错；对于B ：令1i z a b =+，2i,,R z a b a b =-∈，1z =，2z =所以12=z z ，故B 正确；对于C ：1z =，故z 的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆，C 正确；对于D ：若复数1(1)i =++-z m m 为纯虚数，则10,10m m +=-≠，即1m =-，故D 正确.故选：BCD10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是棱CD 上的动点（含端点）.则下列结论正确的是（）A.三棱锥11A B D E -的体积为定值B.11EB AD ⊥C.存在某个点E ，使直线1A E 与平面ABCD 所成角为60o D.二面角11E A B A --的平面角的大小为π4【答案】BD 【解析】【分析】A.根据等体积法的等高等底即可判断；B.结合正方体的性质，由垂影必垂斜即可判断；C.结合正方体的性质即可判断；D.根据二面角的平面角定义即可判断.【详解】对于选项A ：三棱锥11E AB D -的底面积为定值，高变化，体积不为定值，故选项A 不正确；对于选项B ：1,B E 两点在平面11ADD A 上的射影分别为1,A D ,即直线1B E 在平面11ADD A 上的射影为1A D ，而11A D AD ⊥,根据三垂线定理可得11EB AD ⊥.故选项B 正确；对于选项C ：因为1A A ⊥平面ABCD ,直线1A E 与平面ABCD 所成角为1AEA ∠,当点E 和点D 重合时，1A E 在平面ABCD 射影最小，这时直线1A E 与平面ABCD 所成角θ最大值为π4，故选项C 不正确；对于选项D ：二面角11E A B A --即二面角11D A B A --，因为111DA A B ⊥，111AA A B ⊥，1DA ⊂平面11E AB ，1AA ⊂平面11AA B ，所以1DA A ∠即为二面角11E A B A --的平面角，在正方形11ADD A 中，1π4DA A ∠=，所以二面角11E A B A --的大小为π4，故选项D 正确.故选：BD.11.数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐美的产物，曲线()32222:16C x y x y +=为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（）A.方程()()32222160x y x y xy +=<，表示的曲线在第二和第四象限；B.曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2；C.曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；D.曲线C 上有5个整点（横､纵坐标均为整数的点）.【答案】AB 【解析】【分析】本题首先可以根据0xy <判断出A 正确，然后根据基本不等式将()3222216x y x y +=转化为224x y +≤，即可判断出B 正确，再然后根据曲线C 构成的面积小于以O 为圆心、2为半径的圆O 的面积判断出C 错误，最后根据曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2以及曲线C 的对称性即可判断出D 错误.【详解】A 项：因为0xy <，所以x 、y 异号，在第二和第四象限，故A 正确；B 项：因为222x y xy +≥，当且仅当x y =时等号成立，所以222x yxy ≤+，()()22232222222161642x y x y x y x y ⎛⎫++=≤=+ ⎪⎝⎭，即224x y +≤2£，故B 正确；C 项：以O 为圆心、2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 构成的四叶玫瑰线面积小于圆O 的面积，故C 错误；D 项：可以先讨论第一象限内的图像上是否有整点，因为曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2，所以可将()0,0、()2,0、()1,0、()1,1、()0,1、()0,2代入曲线C 的方程中，通过验证可知，仅有点()0,0在曲线C 上，故结合曲线C 的对称性可知，曲线C 仅经过整点()0,0，故D 错误，故选：AB.【点睛】本题是创新题，考查学生从题目中获取信息的能力，考查基本不等式的应用，考查数形结合思想，体现了综合性，是中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.12.圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=的交点为A ，B ，则公共弦AB 所在的直线的方程是________.【答案】4410x y -+=【解析】【分析】两圆相减得到公共弦所在的直线的方程.【详解】由题意可知圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=相交，两圆方程相减得，2222244441025x x y x y x x y y ++=--+--+--=-，故公共弦AB 所在的直线的方程是4410x y -+=.故答案为：4410x y -+=13.若数列{}n a 满足111n nd a a +-=（*n ∈N ，d 为常数），则称数列{}n a 为“调和数列”，已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，且12202220220b b b +++= ，则12022b b 的最大值是________.【答案】100【解析】【分析】根据题设易知正项数列{}n b 为等差数列，公差为d ，应用等差数列前n 项和公式得1202220b b +=，应用基本不等式求12022b b 最大值.【详解】由题意，正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，则1n n d b b +=-（d 为常数），所以正项数列{}n b 为等差数列，公差为d ，则()120221220222022202202b b b b b +++==⨯+ ，则1202220b b +=，则2212022120222010022b b b b +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当0122110b b ==时等号成立），所以12022b b 的最大值是100.故答案为：10014.如图，在四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心且AB =，设点M ，N 分别为线段PD ，PO 上的动点，已知当AN MN ＋取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为____________．【答案】643π.【解析】【分析】根据题意有=B AN MN N MN BM ≥＋＋,动点M 恰为PD 的中点即4BP BD ==,及可求出PO =，则可求出外接球的半径，方可求出其表面积．【详解】由题意知=B AN MN N MN BM ≥＋＋当BM PD ⊥时BM 最小，因为M 为PD 的中点，故而为PD 的中点，即=4BP BD =，2BO =PO ∴=，设外接球的半径为r ，则22)4r r =+．解得433r =.故外接球的表面积为26443r ππ=.【点睛】本题考查锥体的外接球表面积，求出其外接球的半径，即可得出答案，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，84a =，1122S =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值.【答案】（1）320n a n =-（2）-57【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程组求出117,3,a d =-⎧⎨=⎩即可得，（2）由通项公式可求得当6n ≤时，0n a <，从而可得当6n =时，n S 取到最小值，进而可求出其最小值【小问1详解】设数列 的公差为d ，则8111174115522a a d S a d =+=⎧⎨=+=-⎩，解得1173a d =-⎧⎨=⎩，所以1(1)320n a a n d n =+-=-.【小问2详解】令3200n a n =->，解得203n >，所以当6n ≤时，0n a <.故当6n =时，n S 取到最小值，为6161557S a d =+=-.16.已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）2n a n=（2）199(1)8n n n +-++【解析】【分析】（1）设出公差，利用题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；（2）29nn b n =+，利用分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案.【小问1详解】根据{}n a 为等差数列，设公差为0d ≠.10110S =，即11101045a d =+①，1a ，2a ，4a 成等比数列∴2214a a a =⋅，()()21113∴+=+a d a a d ②，由①②解得：122a d =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.【小问2详解】由232329n a n n n n b a n n =+=+=+，数列{}n b 的前n 项和()()122212999nn n T b b b n =++⋯+=⨯+++++++ ()1919(1)992(1)2198n n n n n n +-+-=⨯+=++-.17.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，122PA PB AD BC ====，且E ，F 分别为PC ，CD 的中点，（1）证明：//DE 平面PAB ；（2）若直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）取PB 中点M ，连接AM ，EM ，通过证明四边形ADEM 为平行四边形，即可证明结论；（2）由直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，可得,,,,GF PG AG BG AB ，建立以G 为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.【小问1详解】取PB 中点M ，连接AM ，EM ，E 为PC 的中点，//ME BC ∴，12ME BC =，又AD //BC ，12AD BC =，//ME AD ∴，ME AD =，∴四边形ADEM 为平行四边形，//DE AM ∴，DE ⊄ 平面PAB ，AM ⊂平面PAB ，//DE ∴平面PAB ；【小问2详解】平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB BC =⊂平面ABCD ，,BC AB BC ⊥∴⊥平面PAB ，取AB 中点G ，连接FG ，则//,FG BC FG ∴⊥平面PAB ，()160,32GPF GF AD BC ∴∠=︒=+=，3tan60,PG PG∴︒=∴=2,1,2PA PB AG GB AB ==∴===，如图以G 为坐标原点，GB 为x 轴，GF 为y 轴，GP 为z轴建立空间直角坐标系，(()(),1,4,0,1,2,0P C D ∴-，(()1,4,,2,2,0PC CD ∴==-- ，设平面PCD 的一个法向量，()1,,n x y z = ，则1140220n PC x y n CD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取1y =，则(1n =- ，平面PAB 的一个法向量可取()20,1,0n = ，设平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角为θ，1212cos5n nn nθ⋅∴==，所以平面PAB与平面PCD 所成锐二面角的余弦值55.18.已知抛物线2:2(0)C x py p=>上一点(,6)P m到焦点F的距离为9.（1）求抛物线C的方程；（2）过点F且倾斜角为5π6的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且MA MB⊥，求MAB△的面积.（3）过点(2,0)Q的动直线l与抛物线相交于C，D两点，是否存在定点T，使得TC TD⋅为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由.【答案】（1）212x y=（2）（3）存在定点191,93T⎛⎫⎪⎝⎭，TC TD⋅为常数37081.【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义得02pPF y=+，计算出p得抛物线方程；（2）直线方程与抛物线方程联立方程组，求出,A B两点坐标，利用0MA MB⋅=求出M点坐标，求出M 点到直线l的距离和弦长AB，可求MAB△的面积；（3）设()00,T x y，()33,C x y，()44,D x y，过点Q的直线为(2)y k x=-，与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理表示出TC TD⋅，求出算式的值与k无关的条件，可得TC TD⋅为定值的常数.【小问1详解】由拋物线的定义得02pPF y=+，解得692p+=，6p=.∴抛物线的方程为212x y=.【小问2详解】设()11,A x y，()22,B x y，由（1）知点(0,3)F，∴直线l的方程为0x +-=.由20,12,x x y ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩可得21090y y -+=，则1210y y +=，129y y =，12121061622p p AB AF BF y y y y p ⎛⎫⎛⎫∴=+=+++=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则不妨取11y =，29y =，则点A ，B的坐标分别为，(-.设点M 的坐标为(,3)t -，则,4)MA t =-uuu r，(,12)MB t =--uuu r ，则)()4120MA MB t t ⋅=--+⨯= ，解得t =-.即(3)M --，又点M 到直线l的距离d =d =，故MAB △的面积12S d AB =⋅=；【小问3详解】设()00,T x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，过点Q 的直线为(2)y k x =-，2(2)12y k x x y =-⎧⎨=⎩联立消去y 得：212240x kx k -+=，0∆>时，3412x x k +=，3424x x k =，联立消去x 得：()22241240y k k y k +-+=，234124y y k k +=-，2344y y k =，()()()()30403040TC TD x x x x y y y y ⋅=--+-- ()()22340343403400x x x x x y y y y y x y =-++-+++()2222000024124124k x k k y k k x y =-⋅+--++()()2220000024124412x y k y k x y =-++-++要使()()2220000024124412x y k y k x y -++-++与k 无关，则00241240x y -+=且04120y -=，0199x ∴=，013y =，存在191,93T ⎛⎫ ⎪⎝⎭此时TC TD ⋅ 为定值37081.19.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：步骤1：在纸上画一个圆A ，并在圆外取一定点B ；步骤2：把纸片折叠，使得点B 折叠后与圆A 上某一点重合；步骤3：把纸片展开，并得到一条折痕；步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A ，并在圆外取一定点,4B AB =，按照上述方法折纸，点B 折叠后与圆A 上的点T 重合，折痕与直线TA 交于点,P P 的轨迹为曲线C .（1）以AB 所在直线为x 轴建立适当的坐标系，求C 的方程；（2）设AB 的中点为O ，若存在一个定圆O ，使得当C 的弦PQ 与圆O 相切时，C 上存在异于,P Q 的点,M N 使得//PM QN ，且直线,PM QN 均与圆O 相切.（i ）求证：OP OQ ⊥；（ii ）求四边形PQNM 面积的取值范围.【答案】（1）2213y x -=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）[)6,+∞.【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据双曲线定义可得双曲线方程；（2）假设存在符合条件的圆，依据条件，可得四边形PQNM 为菱形，设直线,OP OQ 的斜率分别为1,k k -，将直线,OP OQ 分别与双曲线方程联立求得||,||OP OQ ，通过计算O 到直线PQ 的距离可得定圆的方程.【小问1详解】以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系.则()()2,0,2,0A B -.由折纸方法可知：PB PT =，所以2PB PA PT PA TA AB -=-==<.根据双曲线的定义，C 是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线，设其方程为()222210,0,x y a b a b-=>>则1,2a c ===，所以221,3a b ==.故C 的方程为2213y x -=.【小问2详解】（i ）假设存在符合条件的圆O ，如图所示：由//PM QN 可得180MPQ NQP ∠+∠=︒，根据切线的性质可知，,MPO OPQ NQO OQP ∠=∠∠=∠,所以90OPQ OQP ∠+∠=︒，即OP OQ ⊥.（ii ）分别作,P Q 关于原点O 的对称点,N M ''，则,N M ''均在C 上，且四边形PQN M ''为菱形，所以,PM QN ''均与O 相切，所以M '与M 重合，N '与N 重合，所以四边形PQNM 为菱形.显然，直线,OP OQ 的斜率均存在且不为0.设直线,OP OQ 的斜率分别为1,k k-，则直线OP 的方程为y kx =，直线OQ 的方程为1=-y x k .设()()1122,,,P x y Q x y ，则由22,13y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2233k x -=，所以230k ->，且21233x k =-，所以203k <<，且1||OP ==.同理可得：213k >，且||OQ =所以四边形PQNM 的面积2||||S OP OQ =⋅=.设241,43t k t =+<<，故S ==.设1=u t ，则1344u <<，所以S =因为216163y u u =-+-在11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，所以(]0,1y ∈.所以[)6,S ∈+∞.所以四边形PQNM 的面积的取值范围是[)6,+∞.。

名校联考联合体2024年秋季高二第二次联考数学时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 图中的U 是全集，A ，B 是U 的两个子集，则表示()()UUA B ∩ ）的阴影部分是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据集合运算的定义，结合韦恩图分析即可得解. 【详解】对于A ，图中阴影部分表示A B ∩，故A 错误； 对于B ，图中阴影部分表示()A B A B ，故B 错误； 对于C ，图中阴影部分表示()()U U A B ∩ ，故C 正确； 对于D ，图中阴影部分表示A B ，故D 错误. 故选：C. 2. 若复数z 满足12i1i z+=−，则z =（ ） A. 13i2−+ B.13i2− C.13i2−− D. 13i 2+【答案】C 【解析】【分析】利用复数的四则运算法则求出复数z ，再求其共轭复数即得. 【详解】因为12i1i z+=−，所以()()()()12i 1i 12i 13i1i1i 1i 2z +++−+==−−+， 所以13i2z −−=.故选:C ．3. 某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、800人、1200人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为165cm 、168cm 、171cm ，估计该校学生的平均身高是（ ）A. 166.4cmB. 168.2cmC. 169.1cmD. 170.0cm【答案】B 【解析】【分析】由分层抽样的概念求出各个年级抽得的人数，计算平均数即可. 【详解】因为高一、高二及高三年级分别有学生1000人、800人、1200人， 用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本， 则高一、高二及高三年级分别抽10人，8人，12人，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为165cm 、168cm 、171cm ， 所以该校学生的平均身高为10165816812171168.230×+×+×=()cm .故选：B4. 已知直线1l ：()2220a x y a −+−=，直线2l ：220x y −−=，若12//l l ，则（ ） A. 1或1− B. 2或−2 C. 2 D. −2【答案】C 【解析】【分析】由两条直线的一般式方程平行的条件求解即可.【详解】因为直线1l ：()2220a x y a −+−=，直线2l ：220x y −−=， 若12l l ∥，则()()222042a a −−−×=≠−− ，解得22a a =± ≠− ，所以2a =，故选：C5. 若a ，b ，c是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（ ）A. a b − ，b c + ，c a +B. a c −+ ，−− b c ，a b +C. a b + ，b c − ，a c +D. a b + ，a b − ，c【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得到答案.【详解】A 选项：()a b b c c a −++=+，所以a b − ，b c + ，c a + 是共面向量；B 选项：()()a cbc a b a b −++−−=−−=−+，所以a c −+ ，−− b c ，a b + 是共面向量； C 选项：()a b b c a c +−−=+， 所以a b + ，b c − ，a c + 是共面向量；D 选项：令a b +=()x a b −+ yc ，显然,x y 无解，故不是共面向量. 故选：D6. 已知0m >，0n >464m n+，则n 的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】【分析】两边同乘m ，得到644nm n+，令t =326440t n t n −+=在(0,)+∞有解，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】因为0,0m n >>464m n +，两边同乘m ，可得644n m n +，令t =，则0t >，可得22644n t t n=+，即326440t n t n −+=， 所以关于t 的二次方程326440t n t n −+=在(0,)+∞有解，令()23644f t t n t n =−+，可知其图象开口向上，对称轴为30128n t =>，原题意等价于6Δ46440n n −××>，解得4n ≥，当4n =时，方程2161640t t −+=，即24(21)0t −=， 解得12t =，此时14m =，满足题意，所以n 的最小值为4.故选：C.7. 圆1C ：()()22121x y +++=与圆2C ：()()22224x y −+−=的内公切线长为（ ）A. 3B. 5C.D. 4【答案】D 【解析】【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为y 轴，求公切线的长即可. 【详解】如图：由图可知圆1C 与圆2C 的内公切线有一条为y 轴， 则公切线的长为|AAAA |=4， 方法二：125C C =，4故选：D8. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()21f x f x +=，若()()01,2f ∈，则()2026f 的取值范围为（ ）A. ()2,1−−B. []1,4C. 1,12D. 11,42【答案】C 【解析】【分析】由已知可得()4()f x f x +=，即()f x 的周期为4，可得()()012026f f =，即可求范围. 【详解】解：()2()1f x f x +=， 1(2)()f x f x ∴+=，即11(4)()1(2)()f x f x f x f x +===+， 即()4()f x f x +=， 所以4上函数()f x 的一个周期，()0(1,2)f ∈ ，()11(2026)2,1(0)2f f f∴==∈.故选：C.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.以下是方程πtan 23x+的解的为（ ） A. 0B.π3C.π2D. π【答案】ACD 【解析】分析】解正切型方程判断即可.【详解】因为πtan 23x +，所以ππ2π33x k +=+，Z k ∈， 所以π2k x =，Z k ∈，所以π0,,π2是方程的解，故选：ACD10. 已知直线l ：()1kx y k −+−，圆C ：()()22121x y ++−=，以下正确的是（ ）A. l 与圆C 不一定存在公共点B. 圆心C 到lC. 当l 与圆C 相交时，304k −<< D. 当1k =−时，圆C 上有三个点到l【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，根据直线与圆的位置关系，求圆心C 到直线l 的距离判断；对于B ，由于直线恒过定点()1,1P ，所以当时CP l ⊥，圆心C 到直线l 的距离最大，从而可求出其最大值；对C ，根据直线与圆的位置关系求解判断；对D ，求出圆心到直线的距离，进而判断.【【详解】对于A ，圆心C 到直线l的距离为d当1d r >=1，解得0k >或43k <−，此时直线l 与圆相离，没有公共点，故A 正确；对于B ，因为直线():10l kx y k −+−=，即()11k x y −=−，所以直线l 过定点()1,1P ， 当时CP l ⊥，圆心C 到直线l 的距离最大，最大值为CP =，故B 正确；对于C ，当直线l 1，解得403k −<<，故C 错误；对于D ，当1k =−时，直线:20+−=l x y ，圆心C 到直线l，所以圆上有三个点到直线l的距离为1−，故D 正确. 故选：ABD.11. 当[)10,1,10,nx a a n =×∈∈Z 时，记()n f x =，()lg a g x =，若0x >，0y >，则（ ） A. ()()()f xy f x f y =+B. ()()x f f x f y y=−C. ()()()()(){},1g xy g x g y g x g y ∈++− D. ()()()(){},1x g g x g y g x g y y∈−−+【答案】CD 【解析】【分析】先明确题意，[)10,1,10,nx a a n =×∈∈Z 表示一个数的科学计数法，()n f x =，()lg a g x =，然后找一个数[)10,1,10,my b b m =×∈∈Z ，然后利用科学计数法表示,xxy y，然后分别写出对应的函数值,判断每一个选项即可.【详解】我们先理解题意，[)10,1,10,nx a a n =×∈∈Z 表示了一个数科学计数法；其中()n f x =，()lg a g x =不妨令另一个数为[)10,1,10,my b b m =×∈∈Z ，则()f y m =，()lg b g y = [)10,1,100m n xy ab ab +=×∈的所以当[)1,10ab ∈时，得()()()f xy m n f x f y =+=+，()()()lg lg lg g xy ab a b g x g b ==+=+当[)10,100ab ∈时，得[)110,1,1001010m n ab abxy ++=×∈， 此时()()()11f xy m n f x f y =++=++，()()()lg lg lg 1110abg xy a b g x g b ==+−=+−， 故选项A 错误；选项C 正确；110,,1010n m x a a y b b − =×∈， 所以当1,110a b ∈时，()1101010,1,10n m x a a y b b −−=×∈， 此时()()11x f n m f x f y y =−−=−−，()()10lg lg lg 11x ag a b g x g y y b ==−+=−+ ， 当[)1,10ab ∈时，10n m x a y b −=×，此时()()()f xy n m f x f y =−=−， ()()lg lg lg x ag a b g x g y y b ==−=−，故选项B 错误，选项D 正确； 故选:CD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 直线240x y −−=的截距式方程为________. 【答案】142x y−= 【解析】【分析】直接化简计算即可.【详解】直线240x y −−=的截距式方程为：142x y−=. 故答案为：142x y−= 13. 已知空间中,,A B C 三点的坐标分别为(1,1,1),(0,0,1),(1,1,0)−−，则点C 到直线AB 的距离为________.【解析】【分析】根据题意，求得(1,1,2),(2,0,1)AB AC =−−=−，结合点到直线的向量公式，即可求解.【详解】由点(1,1,1),(0,0,1),(1,1,0)A B C −−，可得(1,1,2),(2,0,1)AB AC =−−=−，所以点C 到直线AB的距离为d ==， 所以点C 到直线AB.14. 从球O 外一点P 作球O 表面的三条不同的切线，切点分别为,,A B C ，令APB α∠=，BPC β∠=，CPA γ∠=.若2PA =，π3αβ==，π2γ=，则球O 的表面积为________. 【答案】16π 【解析】【分析】根据题意，得到222AB BC AC +=，得到ABC 为直角三角形，取AC 的中点E ，由截面圆的性质，可得OE ⊥平面ABC ，再由PE ⊥平面ABC ，得到,,,A P C O 四点共面，结合四边形APCO 为正方形，求得2OA =，得到球O 的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，从球O 外一点P 作球O 表面的三条不同的切线， 且2PA =，π3APB BPC ∠∠==，π2CPA ∠=， 可得2PA PB PC AB BC =====，AC =则222AB BC AC +=，可得AB BC ⊥，所以ABC 为直角三角形， 取AC 的中点E ，连接,OE BE ，由截面圆的性质，可得OE ⊥平面ABC ， 在PAC 中，PA PC =，且AC 的中点E ，可得PE AC ⊥，又由2PE BE PB ===，所以222PE BE PB +=，所以PE BE ⊥，因为AC BE E = ，且,AC BE ⊂平面ABC ，所以PE ⊥平面ABC ， 所以OE 与PE 重合，所以,,,A P C O 四点共面，连接,,,OA OB OC OP ，则,,OA PA OA PB OA PC ⊥⊥⊥，所以四边形APCO 为正方形，所以2OA =，即外接球的半径为2R =， 所以球的表面积为24π16πS R ==. 故答案为：16π.四、解答题：本题共.5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高二数学试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.6名旅客，安排在3个客房里，每个客房至少安排1名旅客，则不同方法有（ ）种A ．360B ．240C ．540D ．210 2.若抛物线上有一条长为6的动弦，则的中点到轴的最短距离为（ ）A ．B ．C ．1D ．2 3.若的内角满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．4.下列四个命题中，正确的是( ) A ．第一象限的角必是锐角 B ．锐角必是第一象限的角 C ．终边相同的角必相等D ．第二象限的角必大于第一象限的角5.已知集合，．则命题：“若，则”的逆命题是（ ）A ．若则B ．若则C ．若则D ．若则6.设的最小值是（ ）A ．10B ．C ．D ．7.已知函数若对任意的实数，存在实数，使得，则的最小值为（ ）A． B． C． D．8.函数，则导数=（）A．B．C．D．9.曲线在处的切线倾斜角是（）A． B． C． D．10.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．11.条件有意义，条件，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12.某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费用为9万元，这种生产设备的维护费用：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，则这套生产设备最多使用（）年报废最划算。

A．3 B．5 C．7 D．1013.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下和棋的概率是（）A．60% B．30% C．10% D．50%14.已知曲线在处的切线方程是，则及分别为（）A．3,3 B．3，－1 C．－1,3 D．－1，－115.已知函数：，其中：，记函数满足条件：为事件为A，则事件A发生的概率为（）A． B． C． D．16.某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正、副班长，其中至少有1名女生当选的概率是（）A． B． C． D．17.已知随机变量服从正态分布，，则的值等于（）A．0．1 B．0．2 C．0．4 D．0．518.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）19.圆上到直线的距离为的点共有（）A．个B．个C．个D．个20.若函数在（0，1）内有极小值，则实数的取值范围是（）A．（0，1） B．（－∞，1） C．（0，+∞） D．（0，）二、填空题21.设向气球内以每秒100立方厘米的速度注入气体，假设气体的压力不变，那么当气球半径为20厘米时，气球半径增大的速度为每秒▲厘米22.各项为正数的等比数列中，成等差数列，则的值为____．23.一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为__________.24.已知函数的单调递减区间为，则的值为__________．25.已知x和y之间的一组数据,若x、y具有线性相关关系，且回归方程为＝x＋a，则a的值为___________ .26.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为______；体积为______．27.100个个体分成10组，编号后分别为第1组：00，01，02， (09)第2组：10，11，12，…，19；…；第10组：90，91，92，…，99．现在从第组中抽取其号码的个位数与的个位数相同的个体，其中是第1组随机抽取的号码的个位数，则当m=4时，从第7组中抽取的号码是．28.如果x-1+yi,与i-3x 是共轭复数则实数x 与y 分别是＿＿＿＿＿＿.29.观察下面一组等式：，，，，根据上面等式猜测，则 __________．30.在三棱锥中，,，两两互相垂直，且，，则的取值范围是__________.三、解答题31.求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.32.已知函数．（1）若，求函数的极小值；（2）设函数，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明理由？33.设复数，（Ⅰ）若是实数，求的值；（Ⅱ）若对应的点位于复平面第四象限，求的取值范围．34.设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0.①求f(x)的单调区间；②求所有实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．35.如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.参考答案1 .C【解析】略2 .D【解析】试题分析：设，抛物线准线，根据梯形的中位线定理，得所求的距离为，由抛物线的定义得，利用两边之和大于第三边且当三点共线时取等号，所以，故选D．考点：抛物线的定义及其性质．【方法点晴】本题主要考查了抛物线的定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中利用抛物线的准线方程，表示出，再根据抛物线的定义，可知，根据利用两边之和大于第三边且当三点共线时取等号是解答的关键，着重考查了抛物线的定义的灵活应用和学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．3 .D 【解析】，由正弦定理可得，由余弦定理可得，故选D.4 .B【解析】解：因为根据象限角的定义可知，锐角必是第一象限的角，选项A，C,D不符合象限角的定义，因此错误选B5 .C【解析】试题分析：因为命题的逆命题就是将原命题的条件与结论调换位置即可，所以命题：“若，则”的逆命题是“若则”，故选C．考点：命题的逆命题．6 .【解析】试题分析：，当且仅当，即时，等号成立．故答案选．考点：基本不等式．7 .A【解析】设，则，，时，递增，时，递减，，即的最小值为，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求最小值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求范围，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.8 .D【解析】试题分析：根据基本初等函数的导数公式可知，，因此可知答案为，选D.考点：导数的运算点评：解决的关键是根据导数的基本初等函数的导数公式来求解，属于基础题。

班级 姓名 学号 装 订 线高二年级文科数学试题一、选择题（本题共12个小题）1．下面四个命题(1) 0比i -大(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数(3) 1x yi i +=+的充要条件为1x y ==(4)如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应， 其中正确的命题个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．13()i i --的虚部为 ( ) A ．8i B ．8i - C ．8 D ．8-3．使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )A ．z z -= B ．z z = C ．2z 为实数D ．z z -+为实数4．设456124561212,,z i i i i z i i i i =+++++⋅⋅⋅⋅ 则12,z z 的关系是（ ) A ．12z z = B ．12z z =- C ．121z z =+ D ．无法确定 5． 2020(1)(1)i i +--的值是 ( )A ． 1024-B ． 1024C ． 0D ．10246．已知2()(1,)n n f n i i i n N -=-=-∈集合{}()f n 的元素个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 无数个7．正三棱锥的侧棱与底面的对边 （ ） A. 平行 B. 垂直 C.相交 D.以上皆错8．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于 （ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．279．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2；③ED FE +；④FA ED -2中，与AC 等价的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内 （ ） A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．只有最大值或只有最小值D ．既有最大值又有最小值11．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ） A ．5481a a a a > B ．5481a a a a < C ．5481a a a a +>+ D ．5481a a a a = 12．函数xy 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81 B ．81- C ．161 D ．161- 二、填空题（本题共4个小题）13．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=_________。

五市十校教研教改共同体 三湘名校教育联盟 湖湘名校教育联合体2022年下学期高二期中考试数学本试卷共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{||1|2}A x x =-<，{1,2,3,4}B =，则A B =（ ）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3}2.已知圆C 的圆心坐标为(1,1)，且过坐标原点，则圆C 的方程为（ ） A.22(1)(1)2x y -+-=B.22(1)(1)2x y -+-= C.22(1)(1)2x y +++=D.222x y +=3.党的十八大报告指出，必须坚持在发展中保障和改善民生，不断实现人民对美好生活的向往，为响应中央号召，某社区决定在现有的休闲广场内修建一个半径为4m 的圆形水池来规划喷泉景观.设计如下：在水池中心竖直安装一根高出水面为2m 的喷水管（水管半径忽略不计），它喷出的水柱呈抛物线型，要求水柱在与水池中心水平距离为3m 2处达到最高，且水柱刚好落在池内，则水柱的最大高度为（ ） A.8m 3 B.9m 4C.25m 8D.14m 54.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A.2582a a a +=B.3693a a a +=C.2825a a a =⋅D.2936a a a =⋅5.已知幂函数1y x -=的图象是等轴双曲线C ，且它的焦点在直线y x =上，则下列曲线中，与曲线C 的实轴长相等的双曲线是（ ）A.22122x y += B.22122x y -= C.221x y -=D.22144x y -=6.已知函数π()2sin sin 322f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ） A.函数()f x 的最小正周期是2π B.函数()f x 7 C.函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.函数()f x 在区间ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 7.如图水平放置的边长为1的正方形ABCD 沿x 轴正向滚动，初始时顶点A 在坐标原点，（沿x 轴正向滚动指的是先以顶点B 为中心顺时针旋转，再以顶点C 为中心顺时针旋转，如此继续），设顶点(,)A x y 的轨迹方程式()y f x =，则120222f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.0B.127 8.已知三棱锥P ABC -中，1PA PB ==，AB BC =，90APB ABC ∠=∠=︒，若二面角P AB C --的大小为120°，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A.4πB.9π2C.14π3D.5π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（ ） A.命题“(,0)x ∀∈-∞，34xx ”的否定为“[0,)x ∃∈+∞，34x x <”B.在ABC △中，若“A B >”，则“sin sin A B >”C.若0ab >，则a b >的充要条件是11a b< D.若直线30ax y ++=与2(1)10x a y a +-++=平行，则1a =-或2 10.已知各项均为正数的等差数列{}n a 单调递增，且52a =，则（ ）A.公差d 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.7922a a -=C.3746a a a a ⋅>⋅D.1911a a +的最小值为1 11.已知直线l 与抛物线22y px =（0p >）交于A ，B 两点，OD AB ⊥，OA OB ⊥，则下列说法正确的是（ ）A.若点D 的坐标为(2,1)，则54p = B.直线AB 过定点(2,0)pC.D 点的轨迹方程为2220x y px +-=（原点除外）D.设AB 与x 轴交于点M ，则ODM △的面积最大时，直线AB 的斜率为112.在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点M 在正方体内部及表面上运动，下列说法正确的是（ ）A.若M 为棱1CC 的中点，则直线1AC ∥平面BDMB.若M 在线段1BC 上运动，则1CM MD +的最小值为22+C.当M 与1D 重合时，以M 511BB C C 的交线长为π4D.若M 在线段1BD 上运动，则M 到直线1CC 2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某中学高一年级有600人，高二年级有480人，高三年级有420人，因新冠疫情防控的需要，现用分层抽样从中抽取一个容量为300人的样本进行核酸检测，则高三年级被抽取的人数为___________.14.设双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是渐近线上一点，且满足212PF F F =，2120PF F F ⋅=，则双曲线C 的离心率为___________.15.已知动点(,)M x y 2222(2)(2)8x y x y -+++=，记(4,0)A -，(2,3)B ，则ABM △面积的最大值为___________.16.意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被称为斐波那契数，用符号()F n 表示（*n ∈N ），已知(1)1F =，(2)1F =，()(1)(2)F n F n F n =-+-（3n ）. （1）若22(5)(6)()F F F n +=，则n =___________（2分）； （2）若(2022)F a =，则(1)(2)(2020)F F F +++=___________（3分）.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线C 的右支上，且122MF MF -=，离心率2e =.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若1260F MF ︒∠=，求12F MF △的面积. 18.（本小题满分12分）10月9日晚，2022年世界乒乓球团体锦标赛在中国成都落幕.中国队女团与男团分别完成了五连冠与十连冠的霸业.乒乓球运动在我国一直有着光荣历史，始终领先世界水平，被国人称为“国球”，在某次团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设在一局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相对独立. （1）求这场选拔赛三局结束的概率；（2）若第一局比赛乙队获胜，求比赛进入第五局的概率. 19.（本小题满分12分）已知锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(2sin ,3)m A =，(,)n b a =，且m n ⊥. （1）求角B 的大小；（2）若3c =，求ABC △面积的取值范围. 20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =，且11220n n n n a a a a +++⋅-=，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，n S 为{}n b 的前n 项和，满足14b a =，378S =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设nn nb C a =，记数列{}n C 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围. 21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，112PA PD DC BC AB =====，AB CD ∥，90APD ABC ∠=∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PA 中点.（1）求证：DE ∥面PBC ； （2）求证：PA ⊥面PBD ；（3）点Q 在棱PB 上，设PQ PB λ=（01λ<<），若二面角P AD Q --的余弦值为55λ. 22.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点31,2D ⎛⎫⎪⎝⎭，A 为左顶点，且直线DA 的斜率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设(,0)M m 在椭圆内部，(,0)T t 在椭圆外部，过Ｍ作斜率不为0的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，若PTM QTM ∠=∠，求证：m t ⋅为定值，并求出这个定值.五市十校教研教改共同体 三湘名校教育联盟 湖湘名校教育联合体2022年下学期高二期中考试数学参考答案、提示及评分细则一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.【答案】C【解析】∵(1,3)A =-，∴{1,2}A B =.2.【答案】B【解析】圆心(1,1)C ，半径||2r OC ==故圆C 方程为22(1)(1)2x y -+-=. 3.【答案】C【解析】取一截面建系如图，设抛物线方程为22x py =-（0p >），记最大高度为h ，如图：( 1.5,2)A h --，(2.5,)B h -在抛物线上，故92(2)4252()4p h p h ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，两式相除有2592h h =-，解得25m 8h =.4.【答案】AB【解析】若公比1q =有313S a =，616S a =，919S a =，此时9362S S S ≠+，故公比1q ≠，由题意9362S S S =+()()()9361112111111a q a q a q qqq---⇒=+---，化简有472q q q +=，故有2582a a a +=或3692a a a +=，选答案AB. 5.【答案】B【解析】由双曲线几何性质知，双曲线的焦点在实轴上，实轴与双曲线的交点1(1,1)A --，2(1,1)A 是双曲线的顶点，故双曲线C 的实轴长1222A A == B. 6.【答案】D【解析】由π()2sin cos 32sin 2322sin 23f x x x x x x x ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭知A ，B 错误.由π212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以C 错误.当ππ,312x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππππ2,,33222x ⎡⎤⎡⎤+∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以D 正确.7.【答案】D【解析】A 点运动轨迹最终构成图象如图：由图可知4T =.故157202222f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在B →D 段时，A 点的轨迹方程为22(2)2x y -+=（12y），∴572f ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.【答案】C【解析】由题意，取AC 中点1O ，AB 中点2O ，连接2PO ，12O O 则1O ，2O 分别是ABC △与PAB △的外心，且21120PO O ∠=︒，分别过1O ，2O 作1l ⊥面ABC ，2l ⊥面PAB ，记12l l O =，则O 为外接球球心，在12Rt O O O △中，1126tan 30OO O O =︒=，∴2221176R OO O A =+=，故7144ππ63S =⨯=球，选C.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.【答案】BC【解析】对A ：否定为：0(,0)x ∃∈-∞，0034x x <，所以A 错误；对D ，当2a =时，两直线重合，所以D 错误.10.【答案】AB【解析】由题意得0d >，1102402a d d >⇒->⇒<，∴10,2d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 正确； 由()79599522a a a a a a -=+-==，故B 正确；由23746(22)(22)(2)(2)30a a a a d d d d d ⋅-⋅=-+--+=-<，知3746a a a a ⋅<⋅故C 错误；由19524a a a +==有()91191919191111112144a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当19a a =时取到等号，但19a a ≠，故不能取“=”，所以D 错.11.【答案】ABC【解析】(2,1)D ，由AB OD ⊥知AB 方程为25y x =-+，联立22y px =，消去x 有250y py p +-=，记()11,A x y ，()22,B x y ， 则125y y p =-，由212121241OA OB y y p k k x x y y ⋅===-，∴54p =，故A 正确； 对选项BCD ，可设AB ：x my t =+，代入22y px =有2220y pmy pt --=，则122y y pt =-，由212412OA OB p k k t p y y ⋅==-⇒=， 故直线AB 为2x my p =+，过定点(2,0)p ，即(2,0)M p ，故B 正确；由OD DM ⊥，得D 在以OM 为直径的圆：2220x y px +-=上运动（原点除外），故C 正确； 当(,)D p p ±时，Rt ODM △面积最大，此时，有1AB k =±，故D 错误.12.【答案】ACD【解析】易知A ，D 正确；对选项B ：展开11BC D △与1BCC △到同一平面上如图.知22111121cos13522CM MD CD +=+-⨯⨯︒=+，故B 错误；对选项C ：M 与1D 重合时，在侧面11BB C C 上的射影为1C ，故交线是以1C 为圆心的一段圆弧（14个圆），且圆半径2251122r ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，故圆弧长1π2π44r =⨯=，所以C 正确. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.【答案】84【解析】由分层抽样易得.14.5 【解析】不妨设P 在第一象限，则,bc P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 依题意：22bc b c a a=⇒=， ∴离线率2215c b e a a==+= 15.【答案】18【解析】易得M 在椭圆2211612x y +=上运动，且B 在椭圆上，A 为左顶点，由AB 方程：240x y -+=， 设直线l ：20x y m -+=与椭圆相切于点M .联立222011612x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得2216123480y my m -+-=， 由08m ∆=⇒=±，依题意，8m =-时，ABM △面积最大，此时直线l 与AB距离为125d =，又35AB =∴112535182ABM S =⨯=△.16.【答案】（1）11（2分） （2）1a -（3分）【解析】（1）222211(5)(6)5889F F a +=+==，∴11n =；（2）(1)(2)(2020)[(3)(2)][(4)(3)][(2022)(2021)](2022)F F F F F F F F F F +++=-+-++-=(2)1F a -=-.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.【答案】（1）2213y x -= （2）33【解析】（1）由题意122MF MF a -=， ················································································· 1分 ∴221a a =⇒=， ·············································································································· 2分 又22a e c c==⇒=， ········································································································· 3分 ∴2223b c a =-=， ············································································································· 4分 故双曲线C 的方程为2213y x -=； ·························································································· 5分 （2）1MF m =，2MF n =，则由双曲线定义可得2m n -= ①，由三角形余弦定理得2222cos60416m n mn c +-⋅︒== ②， ······················································ 7分 2-①②有12mn =， ·········································································································· 9分 ∴12F MF △的面积1sin 60332S mn =⋅︒= ············································································· 10分 18.【答案】（1）0.28 （2）0.432【解析】设“第i 局甲胜”为事件i A ，“第j 局乙胜”为事件j B （i ，1j =，2，3，4，5），（1）记A =“三局结束比赛”，则123123A A A A B B B =+， ···························································· 2分 ∴()()()()()()()()123123123123()P A P A A A P B B B P A P A P A P B P B P B =+=⋅⋅+⋅⋅0.60.60.60.40.40.4=⨯⨯+⨯⨯0.28=； ···························································································································· 6分 （2）记B =“决胜局进入第五局比赛”，则234234234B A A B A B A B A A =++， ·································· 8分∴()()()234234234()P B P A A A P A B A P B A A =++0.60.60.40.60.40.60.40.60.6=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.432=. ··························································································································· 12分 19.【答案】（1）π3 （2）939382⎛ ⎝⎭【解析】（1）由302sin 30sin 2m n m n b A a b A a ⊥⇒⋅=⇒-=⇒=， ·································· 2分 由正弦定理得sin 3sin 2b A B a ==， ······················································································· 4分 又π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴π3B =， ···································································································· 6分 （2）解法一：在锐角ABC △中，由（1）知，π3B =，有2π3AC +=，令π3A θ=+，则π3C θ=-，ππ66θ-<<， 由正弦定理得sin sin c A a C =，ABC △的面积π3sin 11π3sin 3sin π223sin 3S ac B θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⨯⨯⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭·················· 8分 933193sin (3tan )4222793444313tan 3tan cos sin θθθθθθθ⎫+⎪⎝⎭===----， ································· 10分 由ππ66θ-<<得33tan θ<<23433tan θ<<33423tan θ⎛ -⎝⎭， 于是得939382S <<， 所以ABC △面积的取值范围是939382⎛ ⎝⎭. ··········································································· 12分 解法二：由（1）可知，π3B =，故2π3AC +=， 又因为3sin sin a A C=， 所以ππ3sin π3sin 3sin 333133sin sin sin 22tan C C A a C C C C ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+⋅， ······································· 8分又因为π02C <<，ππ0π32C <--<，所以ππ62C <<， 故3tan C >即有103tan C <<362a <<， ······················································································ 10分 又由13333224S a a =⋅⋅=， 9393S <<， 所以ABC △面积的取值范围是9393⎝⎭. ··········································································· 12分 20【答案】（1）2n a n = （2）1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）由2112111222n n n n n n n a a a a a a a +++=⇒==++， ······························································ 1分 ∴11112n n a a +-=（常数）， ····································································································· 2分 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公差的等差数列， 且首项为1112a =， ················································································································ 3分 ∴111(1)222n n n a =+-=， ···································································································· 4分 故2n a n=； ························································································································· 5分 （2）设{}n b 公比为q （0q >），由题意：1412b a ==， ∴223111744302228S q q q q =++=⇒+-=，解得12q =或32-（舍）， ∴1112n n n b b q -=⋅=，∴12n n n n a n C b +==， ·············································································································· 7分 ∴23411232222n n n T +=++++， 有3412112122222n n n n n T ++-=++++， 两式相减得2312111122222n n n n T ++=+++- 22111221212nn n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-- 21222n n ++=-， ······················································································································ 9分 ∴1212n n n T ++=-， ··············································································································· 10分 由12102n n n n T T +++-=>，知n T 在*n ∈N 上单调递增， ································································· 11分 ∴1,14n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. ···················································································································· 12分 21.【答案】（1）略 （2）略 （3）12【解析】（1）证明：取PB 中点F ，连接EF ，CF ，则//12EF AB ，又//12DC AB ， ∴//EF DC ，∴四边形EFCD 是平行四边形，∴DE CF ∥，又DE ⊂/面PBC ，CF ⊂面PBC ，∴DE ∥面PBC ； ·············································································································· 4分（2）证明：由题意：1BC CD ==，90BCD ∠=︒，∴2BD =2AD =又2AB =，∴222BD AD AB +=，∴BD AD ⊥， ···················································································································· 6分 又面PAD ⊥面ABCD ，∴BD ⊥面PAD ，∴BD DA ⊥.又PA PB ⊥且BD PB B =，∴PA ⊥面PBD ； ··············································································································· 8分（3）以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，2,0,0)A ，2,0)B ，22,0,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴(2,0,0)DA =，22,0,22DP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，222,22PB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 由PQ PB λ=，有22(12,(1)22DQ DP PQ DP PB λλλλ⎛⎫=+=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭， ························ 10分 令(,,)n x y z =是面ADQ 的法向量，则20,0,2(1)2(1)02022x n DA n DQ x y z λλλ⎧=⋅=⎪⇒⎨--⋅=⋅+⋅+⋅=⎪⎩⎩， 令1y =，有20,1,1n λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， ······························································································ 11分 取面PAD 的法向量(0,1,0)m =，由51|cos ,|52n m λ〈〉=⇒=. ································································································ 12分 22.【答案】（1）22143x y += （2）mt 为定值4，证明略 【解析】（1）由题意：(,0)A a -，∴22191,42331212a b a b a ⎧+=⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪+⎩，。

xx.10盐城市龙冈中学xx/xx学年度第一学期2019-2020年高二上学期调研考试数学试题含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．1．命题“x∈R，x2+x+1≤0”的否定是．2．若点P（a，3）在不等式2x+y<3表示的区域内，则实数a的取值范围是 .3．函数y=lg（x2﹣3x+2）的定义域为．4．若椭圆，则实数的取值范围是 .5．已知p：0＜m＜1，q：椭圆+y2=1的焦点在y轴上，则p是q的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空）6．已知x＜0，则的最大值等于________．7．若2x﹣y+1≥0，2x+y≥0，且x≤1，则z=x+3y的最小值为．8．已知方程表示椭圆，则k的取值范围为___________________．9．已知命题p：|x﹣1|＜2和命题q：﹣1＜x＜m+1，若p是q的充分不必要条件，则实数m 的取值范围．10．不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．11．已知xy=2x+y+2（x＞1），则x+y的最小值为．12．已知F1，F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，A为下顶点，连接AF2并延长交椭圆于点B，则BF1长为．13．下列命题中为真命题的是．①命题“x∈R，x2+2＞0”的否定；②“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．14．已知关于x的不等式x2－（4a+2）x+3a2+2a≤0（a＞－1）的解集中恰好含有3个整数解，则a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）设命题p：关于x的函数y=（a﹣1）x为增函数；命题q：不等式﹣x2+2x﹣2≤a对一切实数均成立．若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．16．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点（0，2），其焦点为F1（﹣，0），F2（，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P在椭圆C上，且PF1=4，求△PF1F2的面积．17．（本小题满分15分）某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000m2，人行道的宽分别为4m和10m.求：(1) 若设休闲区的长A1B1＝x m，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2) 要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？18．（本小题满分15分）设分别为椭圆的左、右两个焦点．（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于4，写出椭圆的方程和焦点坐标；（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．19．（本小题满分16分）已知关于的不等式．（1）若此不等式的解集为，求实数的值；（2）若，解关于的不等式20．（本小题满分16分）已知函数（1）若,解不等式；（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.xx.10盐城市龙冈中学xx/xx学年度第一学期高二年级调研考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．1．∀x∈R，x2+x+1＞0 2. a＜0 3．（﹣∞，1）∪（2，+∞）4．5．充要6．7．﹣5 8．(3，4)∪(4，5) 9．（2，+∞）10．（2，+∞）11．712．13．②④14．≤a＜或a=0二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【考点】复合命题的真假．【分析】利用一次函数与二次函数的单调性分别化简命题p，q，由命题“p或q”为真，且“p 且q”为假，可得命题p、q一真一假．即可得出．【解答】解：当命题p为真命题时，a＞2．当命题q为真命题时，由﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1≤﹣1，∴a≥﹣1．由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，可得命题p、q一真一假．①当p真q假时，则，无解；②当p假q真时，则，得﹣1≤a≤2，∴实数a的取值范围是[﹣1，2]．16．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），由椭圆C过点（0，2），其焦点为F2（﹣，0），F2（，0），求出a，b，c，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）由点P在椭圆C上，且PF1=4，求出PF2，|F1F2|，由此能求出△PF1F2的面积．【解答】解：（1）∵椭圆C过点（0，2），其焦点为F2（﹣，0），F2（，0），∴设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），则，∴ =3，∴椭圆C的标准方程为=1．（2）∵点P在椭圆C上，且PF1=4，∴PF2=2×3﹣4=2，∵F1（﹣，0），F2（，0），∴|F1F2|=2，∴．∴PF1⊥PF2，∴△PF1F2的面积S===4．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．17．解：（1）400080000(20)(8)84160,0 S x x xx x=+⨯+=++>（2）∵∴4160160041605760S≥=+=当且仅当即时取“=”答：面积最小时长为100m，宽为40m．18．解：（1）由条件得∴∴∴焦点坐标为（±1，0）（2）设F1K中点为（x，y），K为（x0，y0）则又∵（x0，y0）在椭圆上∴∴19、解：（1）由题意可知，……………………………………………………… 2分和为方程的两根，于是，…………… 4分（2）①当时，由，得；………………………………… 6分②当时，不等式可化为，解得或；… 8分③当时，不等式可化为，若，即，则，…………………………… 10分若，即，则不等式解集为，…………………………… 12分若，即，则．………………………………… 14分综上，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，则不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为．……………………… 16分20．解：（1）(5分)（2）⎩⎨⎧<+--≥+++-=+-=a x a x a a x a x a x x x f x g ,3)1(,3)3(232)()(2 不等式对一切实数恒成立，等价于不等式对一切实数恒成立①当时，当时，单调递增，其值域为，不符合题意，舍去；（7分） ②当时，成立；（9分）③当时，当时，单调递减，其值域为，由于，成立。

解析】高二数学模拟考试卷、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）在给出的四个选项中，只有一项是符 21．复数 1-3 ii 是虚数单位 的模等于（ ）A ． 5B ． 1C ． 5 55【答案】 C【解析】2 23 i312 1Q1 11ii 3i 3i3i555 5合题目要求的 D ． 1032i2．极坐标方程 2sin 表示的圆的半径是（ ） 1 1C ．2A ．B ．34【答案】 D【解析】极坐标方程 2sin ，即 2 2 sin ，故选 C. D ．1转化为普通方程，得： x 2 y 2 2y 0， 极坐标方程2sin表示的圆的半径是： r 12 1. 2故选 D. 3． 已 知 f 1xsinx cosx， 是f n 的导函数， 即 f 2 x f 1 ' x ，3x f 2 '，n，则f 2018 xA ． sinx cosxB ． cosx sinxC ． sinx cosxD ． sinx cosx答案】 CQ f 1 x sinx cosx ， f 2 x f 1 ' x cosx sinx， f 3 x f 2 ' xsinx cosx，f 4 x f 3 ' x cosx sinx ，f 5 xf 4 ' x sinx cosx ，f n 4 x f n ' x ，即函数 f n x 是周期为 4 的周期函数，则f 2018 x f 504 4 2 x f 2 x cosx sinx . 故选 C.4．曲线 y sinx e x 在点 0,1 处的切线方程是（ ） A ． x 3y 3 0 B ． x 2y 2 0 C ． 2x y 1 0 D ．3x y 1 0【答案】 C 【解析】xQ y sinx e ，xy' cosx e ，在 x 0 处的切线斜率 k f ' 0 1 1 2，y sinx e x 在 0,1 处的切线方程为： y 1 2x ， 2x y 1 0 .故选 C.5．函数 f x 的定义域为 R ，导函数 f ' x 的图象如图所示，则函数 f x （ ）x ,a ，函数是增函数； x a,b ，函数是减函数； x b,c ，函数是增函数； x c,d ，函数是减函数； x d, ，函数是增函数；可知极大值点为： a ，c ；极小值点为： b ，d . 故选 C.6．已知 a n log n 1 n 2 n N ，观察下列算式：B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点 【答案】 C0，f ' c 0，f ' d 0A ．无极大值点，有四个极小值点犯在乙、丙、丁三人之中 ”：乙说： “我没有作案，是丙偷的 ”：丙说： “甲、乙两人中有一人是小偷 ”：丁“乙说的是事实 ”．经过调查核实，四人中有两人说的是真两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】 B 【解析】在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，此 乙、丁两人的供词应该是同真或同假 （即都是真话或者都是假话， 不会出现一真一假的情况） 假设乙、 丁两人说的是真话， 那么甲、丙两人说的是假话， 由乙说真话推出丙是罪犯的结论；a 1 a 2 log 2 3 log 3 4lg3 lg 4 lg2 lg 32，a 1 a 2 a 3 a 4a 5 a 6 log 2 3 log 3 4 log 78lg 3 lg 4 lg 2 lg3 lg8lg73， ，若a 1 a 2 a 3a m 2018 mN ，则 m 的值为（A ． 22018 B ． 22018 C ．22016D ． 22016答案】 A 解析】根据题意， a n log n 1 n2lg n 2 lg n+1a 1 a 2 log 2 3 log 3 4lg3 lg2 lg 4 lg3 lg 4lg22，若a 1 a 2a 3 a m 2018 m，则有a 1 a 2a 3a m log 2 3 log 3 4 log m 1 mlg3 lg2 lg4 lg3lg m 2 lg m 1lg m 22018 lg2则m2018，2018m 22018 2；故选 A.7．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时， 四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾的； 所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是 罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯． 故选 B.）时0故选 A.8．在 R 上可导的函数 f的图形如图所示，则关于 x 的不等式 x f ' x 0 的解集为A ．,10,1B C ． 2, 1 1,2D答案】 A解析】1,0 1, , 2 2,若x 0时，不等式 f'0不成立． 若x 0，则不等式 f'0 等价为 f '0， 此时函数单调递减，由图象可知，此若x 0，则不等式 f' 0 等价为 f ' 0， 此时函数单调递增，由图象可知，此时x1．故不等式 x f '0的解集为 ,10,1 ．9．已知函数f x R 的图象上任一点x0,y0 处的切线方程为A．C．y0 x01,,122 x02 1 x x0 ，那么函数f x 的单调递减区间是（B．,2和1,2 D．2,答案】 C解析】Q 函数f x x R 上任一点 x 0, y 0 的切线方程为 y y 0 x 0 2 x 02 1 x x 0 ，即函数在任一点 x 0,y 0 的切线斜率为 k x 0 2 x 02 1 ，2即知任一点的导数为 f ' x x 2 x 2 1 ． 由 f ' x x 2 x 2 1 0，得 x 1或1 x 2， 即函数 f x 的单调递减区间是 , 1 和 1,2 ． 故选 C.x 1 tcos10．已知直线 l 的参数方程为 3 y 3 tsint 为参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为4sin，直线 l 与圆 C 的两个交3A ．B ．C43答案】 D解析】2D ．3直线 l 过点 M 1,，倾斜角为Q 圆 C 的极坐标方程为 4sin，即 2 2 sin 2 3 cos 32圆 C 的直角坐标方程为2y 2 3x 0 ，即 x324，Q132314，点为 A,B ，当 AB 最小时， 的值为（ ） t 为参数），x 1 tcos Q 直线l 的参数方程为3y 3 tsinQ 直线l 与圆C 的两个交点为A,B ，当AB 最小时，直线CM⊥AB ，tan k AB 3 ．23故选 D.11．如图，过原点斜率为k 的直线与曲线y ln x 交于两点A x1,y1 ，B x2,y2 ，给出以下结论：1①k 的取值范围是0,1e②x1 1 x2③当x x1,x2 时，f x kx ln x 先减后增且恒为负．其中所有正确的结论的序号是（）A ．①B ．①②C．①③D．②③答案】 C解析】点M1, 3在圆内，3圆心C 3，1 与M1, 3连线的斜率3 k CM313131121令 f x kx lnx ，则 f ' x k ，x由已知 f x 有两个不同的零点，则 k 0 ，所有正确结论的序号是①③．故选 C.的最大值为（答案】 C 解析】1，故选 C.0,k 1 上单调递减，上单调递增， l n，则，①正确；且有 x1 x 2， kx 1 kx 2， ②错误；当x x 1,x 2时， fkx ln x 先减后增且恒为负，③正确； xf ' x2f x 2f'2xf12，x1，则 g'x 2f ' x2xf1，x lnx ， fln xf'1 2ln12时，2ln x时，f'xe 2 时，f xmax1e2 12 e 2 ln 2ln x 0，12．已知函数 f 的导函数 f ' x ，满足 xf ' x 2f x1，且 f 1 1 ，则函数 f xA ．0B ．C ．D ． 2e1，、填空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20 分）13．由直线x ，x 2，y 0 与y sin x 所围成的封闭图形的面积为33【答案】1【解析】函数的图象如图：Q 1 a cos x 1，①当a时，a a cos x a ，a 1，0 a 1 ；②当a时，适合；③当a 0时，a a cos x a ，a 1，1 a 0 ．综上，1 a 1 ．2S 3 sin xdx323 2 cos x | 3cos33故答案为：1．14．若函数fx x asinx在R上递增，【答案】1,1 【解析】Q f' x 1 a cosx，要使函数fx x asin x 在R 上递增，2 1 1 cos coscos 13 3 3 2 2则1 acosx 0对任意实数x 都成立．当3 x 3时，f x sinx 0，根据积分的几何意义可知，所求区域面积为则实数a 的取值范围为故答案为：1,115．观察下面一组等式：S1 1，S22 3 4=9，S33 4 56 7 25，S4 4 5 67 8 9 10 49 ，根据上面等式猜S2n 1 4n 3 an b ，则a2b2 【答案】25【解析】当n 1 时，S1413ab a b 1，①当n 2 时，S3 4 2 3 2a b 5 2a b 25，②，由①②解得a 4,b 3 ，22a2b216 9 25 ，故答案为：25 ．f x016．如果函数y f x 在其定义域上有且只有两个数x0 ，使得0 f ' x0 ，那么我x0们就称函数y f x 为“双T 函数”，则下列四个函数中：① y x21 ，② y e x，③ y ln x ，④ y sinx 1 ．为“双T 函数”的是 .答案】①③解析】对于①， y f x x 2 1，fx 1 x ， xf ' x 2x ，x ， 令 x 1x1 2x ，即 x x ， 解得 x 1 ，满足题意， yf x 为 “双T 函数 ”； 对于②， y f xx e ，fx x e x ，f' xxx，x 令 e e x ，解得 x 1，x不满足题意， y f x 不是“双T 函数”；ln x, x 0 对于③， y f x lnxln x , x 0f x ln x1x 0 ， ， f ' x ，xxxln x 1令 ，即 ln x 1，解得 x e ， xx fx lnx1x 0 ，f ' x 1，xxxln x 1令1，即 ln x1，解得 x e ，xx满足题意， yf x 为 “双T 函数 ”； 对于④， y f x sinx1，f xsin x 1， f ' x cosx ，xx xsin x 1令cos x ，即 sin x xcosx 1 0，xxi77已知z 1 16 10 2 a i ， z 22 a2a4 1a（1）求实数 a 的值；（2）求z 1 z 2 的值．【答案】 1 3； 2 -23 7 9 +i 7【解析】（1）z 1z 21610 a 2 i2a2 a4 1aQ z 1 z 2 是实数，10 a 2a 20i （其中 i 为虚数单位） ，若 z 1 z 2 是实数 a3；2） 由（ 1）可得z 16 i ，z 2 1 i ，716z 17i16 1+i16 16 z 1 z 2i1i 77 723 9由 g x sinx xcosx 1，则 g ' x xsin x ，令 g ' x 0 ，解得 x k ， k Z ； 由三角函数的周期性知，方程 sin x xcosx 1 0 的解有无数个， 不满足题意， y f x 不是“双T 函数”； 综上，正确的命题序号是①③． 故答案为：①③．6 小题，满分 70 分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤1）求证： 8 6 5 3 ；三、解答题（共 17．（本小题 12 分）i ，解得 a 3或 a 4 （舍去），18．（本小题 122）已知实数 a 、b 、c 满足 0 a 、b 、c 2，求证： 2 a b ， 2 b c ， 2 c a 不 同时大于 1． 【答案】 1 略；2 略 【解析】证明：（ 1）要证： 8 6 5 3 ， 只要证 8 3 5 6 ，22只要证 8 3 5 6 ， 即证 11 2 24 11 2 30 ， 即证 24 30 ，即证 24 30 ，显然成立， 故 8 6 5 3 ．（2）假设 2 a b 1， 2 b c 1， 2 c a 1， 由题意知 2 a 0，2 b 0， 2 c 0，2 a b 那么 2 a b 1 ，21，三式相加，得 3 3 矛盾，所以假设不成立．19．（本小题 12 分） 已知函数 f x 1 a 2 x 2 2xln x ． 1）当 a 1时，求函数 f x 的极值；同理所以 2 a b ，2 b c ， 2 c a 不能同时大于 1．2）若函数 f x 在 0, 单调递增，求实数 a 的取值范围．答案】 1 极大值：121 2 ，无极小值； 2 - ，0 ee解析】1）当 a 1时， f x2xlnx ，x 0 ，f' x 21 lnx ，1令f' x 0，解得 x ，e1当 0 x 时， f ' x 0 ，函数单调递增， e1当 x 时， f ' x 0 ，函数单调递减，e1 12 2 1 ln 1 2，无极小值；e e e2） Q 函数 f x 在 0, 单调递增，f ' x 2 1 a x 2 1ln x0 ，在 0, 上恒成立，1 a 1 ln xx设g x1 ln xx 0 ，xg' x ln x2，x令g' x 0，解得 x 1 ，当0 x 1时， g ' x 0 ， 函数 g x 单调递增， 当x 1时， g ' x0 ，函数 g x 单调递减，gx g 1 11 a 1，a 0故 a 的取值范围为 - ，020．（本小题 12 分） 1 n n 1数列a n 满足： a 1，前 n 项和 S n a n ，621）写出 a 2， a 3， a 4；1 当 x 时，函数取得极大值，极大值为 e2）猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．答案】a2112,a31120,a4 30; 2 a n1n1n2证明略解析】1) Q a1 1，前n 项和S n61 1a2 a1 122212 a n ，令n3，即a1 a2 a36a3，a3120令n4，得a1 a2 a3 a410a4，a4令n 2 ，即a1 a2 3a2 ．1302）猜想a n1n1n2 面用数学归纳法给出证明．①当n 1 时，结论成立．②假设当n k 时，结论成立，即a k1 k1k2则当n k 1 时，S k k，2 k 2k1k2S k 1 a k 12k 1 k 2即S k a k 1 a k 1 ，2k 1k k 1 k 2，a k 1 a k 1 ，2 k 2k 12k 1k k3a k 1 k，k12k 12 k 2a k 11 k2k3当n k 1 时结论成立．21．（本小题 12 分） 已知函数 f x e 2x ax ． 1）讨论 f x 的单调性；解析】x 在 R 上递增，2x8xe2xh ' x22 x 1a 2时， g ' x 0没有实根， g 'x 在 0，+ 上单调递增， g x g 0 0 ，符合题意， 第16页（共 18页）由①②可知，对一切n N 都有 a n1 成立． n1n22）当 x 0 时， f x 2ax 1， 求 a 的取值范围．答案】 单调递增区间：，1 ln a ，单调递减区间：2221ln a 2，+ ；2，21) f '2e 2xa，时，得1ln a， 22，1ln a 22f' ，1ln a 22 上递减；1ln a ，+2f' 1ln a ，+22上递增．2）2xxeax 2ax 2 1 变形为2xe 2ax ax令g2xe2ax ax1， g ' x2e 2x2ax a，0 ，可得a 2e 2 x ，2x 1 0时， 0， h x 在 0，+ 上单调递增，h x 的值域是 2，+ ， 0时，2x2e 2 x ，2 x 12当 a 2时， g ' x 0有唯一实根 x 0， x 0,x 0 时， g' x 0 ，g x 在 0,x 0 上递减， g x g 0 0 ， 综上， a 的取值范围是 a 2．22．（本小题 10 分）xOy 的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ： cos sin 2 2 ．1）试写出曲线 C 的极坐标方程与直线 l 的普通方程；2）在曲线 C 上求一点 P ，使点 P 到直线 l 的距离最小，并求此最小值． 答案】 1 2+2 2 sin 2 3,x y 2 2 0;解析】即 2 2 2 sin 2 3 ．Q 直线 l ： cos sin直线 l 的普通方程为 x2）设 P 3 cos,sin则 P 到直线 l 的距离 3 cos sin2222si n22 3当2sin2时，点 P 到直线 l 的距离最小，不符题意， 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C ：x 3 cos （ 为参数），以平面直角坐标系 ysin1）Q 曲线 C： xy 3 cos sin为参数），曲线 C 的普通方程为1，曲线 C 的极坐标方程为 2cos322sin1，此时3,1 2,2此最小值为d min。