鄞州中学提前招生选拔数学试卷

宁波九年级数学选拔试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪个数是质数？A. 21B. 23C. 27D. 302. 若一个三角形的两边长分别是8cm和10cm，那么第三边的长度可能是多少？A. 3cmB. 5cmC. 12cmD. 17cm3. 下列哪个选项是正确的？A. 0除以任何数都等于0B. 任何数乘以0都等于0C. 任何数除以1都等于它本身D. 任何数乘以1都等于它本身4. 下列哪个数是无理数？A. √9B. √16C. √25D. √265. 下列哪个图形是正方形？A. 四条边都相等的四边形B. 四个角都相等的四边形C. 对角线互相垂直的四边形D. 对角线互相平分且相等的四边形二、判断题（每题1分，共5分）1. 0是最小的自然数。

（）2. 任何两个奇数相加的和都是偶数。

（）3. 任何两个有理数相乘的积都是有理数。

（）4. 平行四边形的对角线互相平分。

（）5. 任何两个实数相加的和都是实数。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 最大的负整数是______。

2. 若一个数的平方是49，那么这个数是______或______。

3. 若两个数的和是10，它们的差是2，那么这两个数分别是______和______。

4. 若一个等腰三角形的底边长是8cm，腰长是5cm，那么这个三角形的周长是______cm。

5. 若一个数的算术平方根是3，那么这个数是______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简要解释有理数的概念。

2. 请简要解释无理数的概念。

3. 请简要解释平行四边形的性质。

4. 请简要解释等腰三角形的性质。

5. 请简要解释勾股定理。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 计算下列各式的值：(1) 3^2 + 4^2(2) (3 + 4)^2(3) (3 4)^22. 解方程：2x + 3 = 113. 解方程：3(x 2) = 2(x + 1)4. 计算下列各式的值：(1) √9(2) √16(3) √255. 计算下列各式的值：(1) 3^3(2) 4^3(3) (3 + 4)^3六、分析题（每题5分，共10分）1. 已知一个三角形的两边长分别是8cm和10cm，那么第三边的长度可能是多少？请给出理由。

2024年初中学业水平适应性考试数学卷（2024.6.6）一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一、项是符合题目要求的．1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（）。

A ．B ．C ．D ．2．人体内一种细胞的形状可以近似地看成球，它的直径约为0.00000156，用科学记数法表示为（ ）。

A ．B ．C ．D ．3．计算的正确结果是（ ）。

A ．B ．C ．D ．4．党中央国务院赋予浙江省建设“共同富裕示范区”的光荣使命，共同富裕的要求是：在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕．下列有关人均收入的统计量特征中，最能体现共同富裕要求的是（ ）。

A ．方差小，众数小B ．平均数小，方差小C ．平均数大，方差小D ．平均数大，方差大5．方程的解是（ ）。

A ．，B ．，C ．，D ．，16．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为，点D 的坐标为，若与是位似图形，且位似中心为O ，则的值是（ ）。

A ．B ．C ．D ．7．如图，直线，以直线的点A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线、于点B 、C ，连结AB 、BC ．若，则的度数为（）。

A ．22°B ．32°C ．44°D ．68°50.15610-⨯61.5610-⨯715.610-⨯71.5610-⨯()233a -66a69a -59a69a()()2222x x x -=-12x =21x =12x =22x =-12x =20x =12x =21x =-()1,0()3,0ABC V DEF V :AC DF 1:21:42:31:312//l l 2l 1l 2l 68ACB ∠=1∠8．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方程组是（）。

2023年浙江省宁波市效实中学、鄞州中学、宁波中学中考数学强基招生试卷一、选择题（共6题，其中第5、6题为多选题）1．（3分）已知a为正实数，x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的两个根，则（﹣1）（﹣1）＝（）A．2a+1B．2a﹣1C．﹣2a+1D．﹣2a﹣12．（3分）已知x3﹣y3+3xy+1＝0，x﹣y的值有（）A．1个B．2个C．大于2个但有限D．无数个3．（3分）如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，半径为r，△AEF的内切圆⊙P切EF于点N，半径为，则＝（）A．B．C．D．4．（3分）已知a＜（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），则在0，，，，中可以取得最大值是（）A．0B．C．D．（多选）5．（3分）如图，AB＝AC＝AD，∠BAE＝∠CAE（）A．A，B，C，D B．A，H，C，D C．A，B，E，C D．A，B，E，D（多选）6．（3分）小明进行投篮游戏，已知投篮20次，命中了17个，其中20次投篮的命中概率为r1，r2，r3，…r20，则下列哪个数一定会在r1，r2，r3，…r20中出现？（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8二、填空题（共5题）7．（3分）如图，∠DCB＝∠A，CD＝4，∠CDB＝120°，则△ABC的面积为．8．（3分）若函数y＝|2x﹣3|﹣2a始终大于y＝|x+a|，则a的取值范围为．9．（3分）一个圆可以把平面分成两个部分，两个圆可以分成三个或四个部分，问7个圆最多可以将平面分成个部分．10．（3分）函数，关于M中心对称，则M的坐标为．11．（3分）4只猴子分桃，第一只猴子把桃分成数量相同的四份，多了一个自己偷吃，第二只猴子把剩下的桃再次分成相同的四份，多了一个自己偷吃，第三只，第四只猴子以此类推个．三、解答题（共3题）12．如图，P为半圆上的动点，AO＝OB＝BC＝2，其中Q，P，C逆时针排列．（1）若△OPB为正三角形，求BQ的值；（2）求四边形POCQ的面积最大值．13．已知a+b＝4．（1）求的最小值；（2）若xy＝6，bx+ay＝9，x+y＝11﹣2ab，b，x，y的值．14．在Rt△AOB中，O为坐标原点，A在第一象限（a，9a），其中A，B，I三点都是整数点．（1）求直线OA的解析式；（2）a＝2003，求整点△AOB的个数．2023年浙江省宁波市效实中学、鄞州中学、宁波中学中考数学强基招生试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6题，其中第5、6题为多选题）1．（3分）已知a为正实数，x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的两个根，则（﹣1）（﹣1）＝（）A．2a+1B．2a﹣1C．﹣2a+1D．﹣2a﹣1【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝a，x1x2＝﹣a，再利用完全平方公式把（﹣1）（﹣1）变形为﹣（+）+1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵x1，x2是方程x4﹣ax﹣a＝0的两个根，∴x1+x3＝a，x1x2＝﹣a，∴（﹣1）（﹣（+＝（x1x2）6﹣[（x1+x2）2﹣2x1x5]+1＝（﹣a）2﹣[a6﹣2×（﹣a）]+1＝a6﹣a2﹣2a+6＝﹣2a+1．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．2．（3分）已知x3﹣y3+3xy+1＝0，x﹣y的值有（）A．1个B．2个C．大于2个但有限D．无数个【分析】先把已知等式的常数项移到等号右侧得①，然后求（x﹣y）3得②，再把①②相加，进行分解因式，再利用平方数的非负性进行解答即可．【解答】解：∵x3﹣y3+7xy+1＝0，∴x2﹣y3+3xy＝﹣7①，∵（x﹣y）3＝x3﹣y2﹣3x2y+6xy2②，②﹣①得：﹣3x6y﹣3xy+3xy2＝（x﹣y）3+1，∴﹣4xy（x﹣y+1）＝[（x﹣y）2﹣（x﹣y）+2]（x﹣y+1），[（x﹣y）2﹣（x﹣y）+2]（x﹣y+1）+3xy（x﹣y+8）＝0，（x﹣y+1）[（x﹣y）2﹣（x﹣y）+1+3xy]＝3，（x﹣y+1）（x2﹣2xy+y2﹣x+y+1+6xy）＝0，（x﹣y+1）（x3+y2+xy﹣x+y+1）＝2，∴，，，∴x﹣y+1＝5，（x﹣y）2+（x﹣1）2+（y+1）2＝3，∴x﹣y＝﹣1，∵（x+y）2≥4，（x﹣1）2≥4，（y+1）2≥5，∴x﹣1＝0，y+2＝0，∴x＝1，y＝﹣2，∴x﹣y＝1﹣（﹣1）＝2+1＝2，综上可知：x﹣y的值有4个，为﹣1或2，故选：B．【点评】本题主要考查了因式分解，解题关键是根据已知条件，找出解题的基本思路．3．（3分）如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，半径为r，△AEF的内切圆⊙P切EF于点N，半径为，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用切线长的关系求出EF，构造矩形OMNH，则MN＝OH，把OH放在Rt△POH中求，再求比值．【解答】解：设AB与⊙O、⊙P的切点分别是Q、G、⊙P的切点分别是T、S、PG、OA、OT，垂足为H，EG＝EN，EQ＝EM，FM＝FT，∵OQ＝OT，OQ⊥AB，∴AO是∠BAC的角平分线，∵PG＝PS，PG⊥AB，∴P在OA上，Rt△APG中，AG＝＝＝，∴AE+AF﹣EF＝AG+EG+AS+FS﹣EN﹣FN＝AG+AS＝3AG＝①，Rt△AOQ中，AQ＝＝＝r，∴AE+AF+EF＝AE+AF+EM+FM＝AE+AF+EQ+FT＝AQ+AT＝2AQ＝2r②，②﹣①得2EF＝，∴EF＝，∵∠OMN＝∠MNH＝∠NHO＝90°，∴四边形OMNH是矩形，∴MN＝OH，NH＝MO，Rt△POH中，OP＝AO﹣AP＝2OQ﹣2PG＝4r﹣2×＝+r＝，∴OH＝＝＝，∴MN＝，∴＝＝，故选：D．【点评】本题考查了切线长定理，构造矩形OMNH，把MN转移到OH是关键．4．（3分）已知a＜（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），则在0，，，，中可以取得最大值是（）A．0B．C．D．【分析】令S＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），则有S＞1﹣﹣﹣﹣…﹣，求出+++…+＝﹣，即可求S＞．【解答】解：（1﹣a1）（2﹣a2）（1﹣a7）…（1﹣a n）＞1﹣a4﹣a2﹣…﹣a n，（n≥2），当n＝5时，（1﹣a1）（2﹣a2）＝1﹣a4﹣a2+a1a5＞1﹣a1﹣a6，当n＝k时，（1﹣a1）（8﹣a2）（1﹣a8）…（1﹣a k）＞1﹣a7﹣a2﹣…﹣a k，当n＝k+1时，（2﹣a1）（1﹣a4）（1﹣a3）…（7﹣a k）（1﹣a k+1）＞[3﹣（a1+a2+…+a k）]（3﹣a k+1）＝1﹣（a8+a2+…+a k）﹣a k+1+（a7+a2+…+a k）•a k+1＞8﹣（a1+a2+…+a k）﹣a k+8＝1﹣（a1+a8+a3′′′+a k+1）  成立；令S＝（5﹣）（2﹣）…（1﹣），∴S＞1﹣﹣﹣﹣…﹣＝6﹣（+++…+），令M＝+++…+，∴M＝++，∴M＝﹣，∴M＝﹣，∴S＞1﹣+＝+＞，故选：D．【点评】本题考查数字的变化规律，会用错位相减法求和，灵活应用（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＞1﹣﹣﹣﹣…﹣是解题的关键．（多选）5．（3分）如图，AB＝AC＝AD，∠BAE＝∠CAE（）A．A，B，C，D B．A，H，C，D C．A，B，E，C D．A，B，E，D【分析】A、反证法说明四个点不可能共圆；B、反证法说明四个点不可能共圆；C、找到一个圆使四点共圆；D、找到一个圆使四点共圆．【解答】解：对于选项A：若A，B，C，D四点共圆，∵AB＝AC＝AD，∴B、C、D在以A为圆心；∠B＝∠ACB，∴∠ACB+∠ACD＝180，∴B、C、D三点共线、C、D在圆上矛盾，∴A，B，C，D四点不共圆，故A选项符合题意．对于选项B：若A，H，C，D四点共圆，∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，∴∠AHB＝90°，∴∠D＝90°，这与△ACD是等腰三角形是矛盾的．∴A，H，C，D四点不共圆故B选项符合题意．对于选项C：A，B，C三点确定一个圆，故C选项不符合题意．对于选项D：E可以落在以A为圆心，以AB为半径的圆上，故D选项不符合题意．故选：AB．【点评】本题考查了四点共圆、反证法、存在性问题，在涉及“不可能”字眼时，一般用反证法，如果得不出矛盾，可以从正面寻找四点共圆．（多选）6．（3分）小明进行投篮游戏，已知投篮20次，命中了17个，其中20次投篮的命中概率为r1，r2，r3，…r20，则下列哪个数一定会在r1，r2，r3，…r20中出现？（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8【分析】根据第一个没进，依次对后面的投篮情况进行讨论即可．【解答】解：因为第一个没进，所以若第二个进了，则有．若第二个没进，第三个没进．若第二个没进，第四个没进．若第二个没进，第五个没进．后续情况无需讨论，由此可见0.5一定会在r2，r2，r3，…r20中出现．因为7.6＝，如果前五次有三次没进，则，……由此可见这一种情况中2.6没有出现．因为0.6＝，如果前10次有一次或二次没进，则，由此可见这种情况下0.7没有出现．因为3.8＝，如果前五次只有第一次没进，则，如果前五次有二次没进，同时前十次也是二次没进，则．如果前五次有二次没进，前十次是三次没进，则．如果前五次有三次没进，则．由此可见8.8一定会在r1，r5，r3，…r20中出现．故选：AD．【点评】本题考查分类讨论思想的应用，正确的对没进的球进行讨论是解题的关键．二、填空题（共5题）7．（3分）如图，∠DCB＝∠A，CD＝4，∠CDB＝120°，则△ABC的面积为．【分析】过点C作CE⊥AB于点E，根据∠CDB＝120°求出∠CDE＝60°，然后在Rt△CDE中求出ED，CE的长，再在Rt△CEB中求出BC的长，利用已知条件证得△DBC∽△CBA，根据相似三角形对应边成比例即可求出AB的长，最后根据三角形面积公式计算即可．【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，∴∠CED＝90°，∵∠CDB＝120°，∴∠CDE＝60°，∴∠ECD＝30°，∴，由勾股定理得：，∴BE＝BD+ED＝7+2＝4，在Rt△CEB中，由勾股定理得：，∵∠DCB＝∠A，又∵∠DBC＝∠CBA，∴△DBC∽△CBA，∴，即，解得：BA＝14，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积的计算方法，解直角三角形以及相似三角形的性质与判定，熟练掌握这些性质是解题的关键．8．（3分）若函数y＝|2x﹣3|﹣2a始终大于y＝|x+a|，则a的取值范围为a＜﹣．【分析】在函数图象上只要y＝|2x﹣3|﹣2a的最小值大于y＝|x+a|即可．【解答】解：函数y＝|2x﹣3|﹣7a，当|2x﹣3|＝7时，即x＝时，y min＝4﹣2a＝﹣2a≥4，x≤0，此时大于y＝|x+a|，就能始终大于，y＝|x+a|＝|+a|，①当+a≥2，a≥﹣，﹣3a＞，a＜﹣，则﹣≤a＜﹣，②当+a＜0，a＜﹣，﹣2a＞﹣，a＜，则a＜﹣，综上，a＜﹣．【点评】本题考查一次函数和绝对值的综合题，在函数图象上只要y＝|2x﹣3|﹣2a的最小值大于y＝|x+a|即可．解题的关键是最值问题和分类讨论思想．9．（3分）一个圆可以把平面分成两个部分，两个圆可以分成三个或四个部分，问7个圆最多可以将平面分成44个部分．【分析】先求出前几个的值，再找出规律求解．【解答】解：1个圆最多可以把平面分成2个部分，7个圆最多可以分成4个部分，3圆可以把平面分成7个部分，4个圆可以分成14个部分，……，7个圆最多可以将平面分为：14+4+10+12＝44，故答案为：44．【点评】本题考查了圆的认识，找到变化规律是解题的关键．10．（3分）函数，关于M中心对称，则M的坐标为（﹣3，4）．【分析】设f（x）＝，将函数变形为）4+，根据函数的特点求出f（﹣6﹣x），找出f（x）与f（﹣6﹣x）的关系即可【解答】解：设f（x）＝，则，f（x）＝4+，∴f（﹣6﹣x）＝4+＝4﹣（），∴f（x）+f（﹣6﹣x）＝8＝5×4，即f（x）＝2×2﹣f[2×（﹣3）﹣x]，∴f（x）关于（﹣4，4）成中心对称，∴点M的坐标为（﹣3，4）．【点评】本题主要考查成中心对称的函数的对称中心，要求某个函数的对称中心（a，b），只要看函数否满足f（x）＝2b﹣f（2a﹣x）．掌握证明函数图象关于某点中心对称的证明方法即可．11．（3分）4只猴子分桃，第一只猴子把桃分成数量相同的四份，多了一个自己偷吃，第二只猴子把剩下的桃再次分成相同的四份，多了一个自己偷吃，第三只，第四只猴子以此类推253个．【分析】设第四只猴子分过后每份桃子有x个，则由题意可知：第四只猴子所分的桃子有（4x+1）个，第三只猴子所分的桃子有个，第二只猴子所分的桃子有个，第一只猴子有个，再由“是正整数，x是正整数”求出x的最小值，从而得出结论．【解答】解：设第四只猴子分过后每份桃子有x个，则第四只猴子所分的桃子有（4x+1）个+2）个，即个，第二只猴子所分的桃子有（4×+1）个，即个+1）个，即个，∵＝4x+6+，且，x是正整数，∴＝是正整数，∴x+8是27的倍数，∴x的最小值是26，此时9x+6+＝4×26+6+13＝253．故桃子至少253个．故答案为：253．【点评】此题考查了应用类问题，属于逆向推理问题，考查学生能够运用所学知识推断一些简单的逻辑问题的能力，同时还培养了学生公平、公正的生活作风．三、解答题（共3题）12．如图，P为半圆上的动点，AO＝OB＝BC＝2，其中Q，P，C逆时针排列．（1）若△OPB的值；（2）求四边形POCQ的面积最大值．【分析】（1）连接PB、BQ，BQ交PC于点D，根据△OPB为正三角形且OB＝BC可得PB＝PC，再根据△PQC为等腰直角三角形可得BQ为PC的垂直平分线，在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，可得BD＝BC ＝1，CD＝，在Rt△CDQ中，∠QCP＝45°，可得QD＝CD＝，从而得到BQ；（2）首先根据图形易知当OP⊥OC时，四边形POCQ的面积最大，在Rt△POC中，由勾股定理得PC ＝，再根据△PQC为等腰直角三角形，可得QC＝，从而可计算S△OPC＝•OC•OP＝×4×2＝4，S△PQC＝QC•QP＝××＝5，从而得到四边形的面积．【解答】解：（1）如图，连接PB，BQ交PC于点D，∵△OPB为正三角形，∴OB＝BP＝OP，∠OBP＝60°，又∵AO＝OB＝BC＝2，∴PB＝CB＝2，∵△PQC为等腰直角三角形，∴BQ垂直平分PC．∵∠PBC＝180°﹣∠OBP＝120°，∴∠BCD＝30°，在Rt△BCD中，BC＝6，∴BD＝BC＝7，在Rt△CDQ中，∠QCP＝45°，∴QD＝CD＝，∴BQ＝BD+DQ＝7+；（2）∵△PQC的面积不变，∴△POC面积最大时，四边形POCQ的面积最大，∵OC＝4，OP＝4恒不变，∴当OP⊥OC时，四边形POCQ的面积最大．如图，在Rt△POC中，由勾股定理得PC＝＝＝，∵△PQC为等腰直角三角形，∴PC＝PQ，由勾股定理得：PQ8+QC2＝PC2，即7QC2＝20，∴QC＝，∴S△OPC＝•OC•OP＝，S△PQC＝QC•QP＝××，∴S四边形POCQ＝S△OPC+S△PQC＝4+5＝6．∴四边形POCQ的面积最大值为9．【点评】本题考查勾股定理，等边三角形、等腰三角形的性质等，熟练掌握基本知识点并能灵活应用是解题的关键．13．已知a+b＝4．（1）求的最小值；（2）若xy＝6，bx+ay＝9，x+y＝11﹣2ab，b，x，y的值．【分析】（1）将已知式子化为＝＝，再由b＝4﹣a得原式转化为求的最小值，只要分母最大时即可得解；（2）将b＝4﹣a分别代入x+y＝11﹣2ab，bx+ay＝9，整理得x﹣y＝4（a﹣2）﹣，x+y＝2（a﹣2）2+3，令a﹣2＝t，则（2t2+3）2﹣（4t﹣）2＝24，解得t＝±1，即可求a＝1，b＝3，x＝2，y＝3或a ＝3，b＝1，x＝3，y＝2．【解答】解：（1）＝＝＝＝，∵﹣≤，∴的最小值为＝，b＝7﹣a＝4﹣＝．（2）∵a+b＝3，∴b＝4﹣a，∴x+y＝11﹣2ab＝4a2﹣8a+11，bx+ay＝（4﹣a）x+ay＝9，∴（2﹣a）（x﹣y）＝﹣2a2+16a﹣13＝﹣4（a﹣8）2+3，∴x﹣y＝5（a﹣2）﹣，x+y＝2（a﹣2）8+3，令a﹣2＝t，则（3t2+3）7﹣（4t﹣）7＝24，解得t＝±1，∴a＝1，b＝7，y＝3或a＝3，x＝5．【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握配方法，利用换元法求出a﹣2的值是解题的关键．14．在Rt△AOB中，O为坐标原点，A在第一象限（a，9a），其中A，B，I三点都是整数点．（1）求直线OA的解析式；（2）a＝2003，求整点△AOB的个数．【分析】（1）由题可知OI平分∠AOB，则∠IOA＝45°，设直线OA的解析式为y＝kx，直线OI的解析式为y＝9x，由到角公式可得＝1，求出k的值即可求直线解析式；（2）先求出直线OB的解析式为y＝﹣x，设A（5m，4m），B（﹣4n，5n），由I是△AOB的内心，可得OI＝r＝，整理可得到（m﹣2a）（n﹣2a）＝2×20222＝2×72×174，再由m＞2a，n＞2a，可得共2×3×5＝30个整点．【解答】解：（1）∵I是△AOB的内心，∠AOB＝90°，∴OI平分∠AOB，∴∠IOA＝45°，设直线OA的解析式为y＝kx，∵I（a，9a），∴直线OI的解析式为y＝9x，∴＝5，解得k＝，∴直线OA的解析式为y＝x；（2）∵OA⊥OB，∴直线OB的解析式为y＝﹣x，设A（5m，4m），6n），∵I是△AOB的内心，∴OI＝r＝，∴5a2＝（m+n﹣）2，∴2a＝m+n﹣，∴（m+n﹣2a）5＝m2+n2，∴mn﹣5a（m+n）+2a2＝8，∴（m﹣2a）（n﹣2a）＝5×20222＝2×32×174，∵m、n不可能均小于5a，∴m＞2a，n＞2a，∴共6×3×5＝30个整点．【点评】本题三角形内心与内切圆，熟练掌握三角形内切圆的性质，直角三角形的性质，到角公式的应用是解题的关键．。

绝密★启用前2023年浙江宁波市重点中学小升初自主招生分班考数学试卷（考试时间：90分钟试卷满分：100分）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

一．耐心审题，巧思妙算（共3小题，满分28分）1．（8分）直接写出得数。

132+78＝ 6.2﹣2.6＝ 3.02×7＝＝0.42÷0.6＝＝＝＝【分析】根据整数、小数、分数加减乘除的计算方法依次口算结果。

【解答】解：132+78＝210 6.2﹣2.6＝3.6 3.02×7＝21.14 ＝0.42÷0.6＝0.7 ＝＝＝【点评】本题解题的关键是熟练掌握整数、小数、分数加减乘除的计算方法。

2．（8分）解方程。

x÷＝4x﹣x＝（24+x）＝30：27＝【分析】（1）根据等式的性质，两边同时乘即可；（2）首先化简，然后根据等式的性质，两边同时乘即可；（3）首先根据等式的性质，两边同时乘3，然后两边再同时减去24即可；（4）首先根据比例的基本性质化简，然后根据等式的性质，两边同时除以54即可。

【解答】解：（1）x÷＝4x÷×＝4×x＝（2）x﹣x＝x＝x×＝×x＝（3）（24+x）＝30（24+x）×3＝30×324+x＝9024+x﹣24＝90﹣24x＝66（4）：27＝2x×27＝×354x＝54x÷54＝÷54x＝【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等，以及解比例问题，注意比例的基本性质的应用。

3．（12分）脱式计算，能简便的用简便方法计算。

宁波某校入学选拔测试卷（数学）答案及解析（考试时间：60分钟：试卷满分：120分）一、填空题（本大题共20小题，每小题5分，共100分）1.在循环小数0.2021142857142857……中，小数点后第2021位上的数字是1。

【解析】易知循环小数0.2021·14285·7的循环节是142857共6个数字，所以（2021-4）÷6=336（个）……1（个），即共有336个循环，多1个数字，故小数点后第2021位上的数字是1。

2. 202117200417116116565152321120212020。

【解析】原式20211717202117111117116611655652252112 20212020202111202111711711111116161515121211202117172021171111171166116556522521123.水结成冰后，体积增加了10%，一块体积是3.3立方米的冰，融化成水后体积是3立方米。

【解析】水结成冰后，体积增加10%，把水的体积看作单位“1”，则冰的体积是水的（1+10%），要求冰融化成水后体积是多少，用除法计算。

即3.3÷（1+10%）=3.3÷1.1=3（立方米）；4.有a 、b 、c 三个自然数，它们的乘积是2021，则a +b +c 的最大值是2023。

【解析】由于本题未规定a 、b 、c 不能相同，故无需将2021分解质因数，则a +b +c 最大为1+1+2021=2023。

5.现在父亲的年龄是儿子的3倍，再过18年，父亲的年龄是儿子的2倍，则现在父亲的年龄为54。

【解析】不妨设现在儿子的年龄是x 岁，则根据题意现在父亲的年龄为3x 岁。

18年后，父亲的年龄为（3x +18）岁，儿子的年龄为（x +18）岁，根据条件易列方程：18183623362183182183 x x x x x x ）（）（此时父亲的年龄为3x =3×18=54（岁）6.规定现在是北京时间2021年3月27日12点10分，再过11555分钟，时针和分针第一次重合。

2023年中考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．定义：若点P（a，b）在函数y=的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y=ax2+bx称为函数y=的一个“派生函数”．例如：点（2，）在函数y=的图象上，则函数y=2x2+称为函数y=的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：（1）存在函数y=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧（2）函数y=的所有“派生函数”的图象都经过同一点，下列判断正确的是（）A．命题（1）与命题（2）都是真命题B．命题（1）与命题（2）都是假命题C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题D．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题2．如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．143．把6800000，用科学记数法表示为（）A．6.8×105 B．6.8×106 C．6.8×107 D．6.8×1084．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为()A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠05．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=27，CD=1，则BE的长是()A．5 B．6 C．7 D．86．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是()①b ＜0＜a ； ②|b|＜|a|； ③ab ＞0； ④a ﹣b ＞a+b ．A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④7．不等式组1240x x >⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上可表示为（ ） A ． B ． C ． D ．8．以坐标原点为圆心，以2个单位为半径画⊙O ，下面的点中，在⊙O 上的是( )A ．(1，1)B ．(2，2)C ．(1，3)D ．(1，2) 9．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D 是AB 的中点，G 是△ABC 的重心，如果以点D 为圆心DG 为半径的圆和以点C 为圆心半径为r 的圆相交，那么r 的取值范围是（ ）A ．r ＜5B ．r ＞5C ．r ＜10D ．5＜r ＜1010．2(3)-的化简结果为( )A ．3B ．3-C ．3±D ．9二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．分式方程213024x x x -=+-的解为x =__________．12．请写出一个 开口向下，并且与y 轴交于点（0,1）的抛物线的表达式_________13．如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中, 点A 和点F 的坐标分别为 （3,2)，（－1,－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是_________．14．如图，已知ABC ，D 、E 分别是边BA 、CA 延长线上的点，且//.DE BC 如果35DE BC =，4CE =，那么AE 的长为______．15．如图，点,,D E F 分别在正三角形ABC 的三边上，且DEF ∆也是正三角形.若ABC ∆的边长为a ，DEF ∆的边长为b ，则AEF ∆的内切圆半径为__________．16．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于_______．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）为进一步深化基教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．学生小红计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；若学生小明和小刚各计划送修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？18．（8分）先化简，再求值：（x﹣2﹣52x +）÷2(3)2xx++，其中x=3．19．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB ，BE∥DC．(1)求证：四边形DBEC是菱形；(2)若AD＝3，DF＝1，求四边形DBEC面积．20．（8分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=1．当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．21．（8分）如图，菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°, ∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于E、F．（1）如图甲，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；（2）知识探究：①如图乙，当顶点G运动到AC的中点时，请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；②如图丙，在顶点G运动的过程中，若ACtGC=，探究线段EC、CF与BC的数量关系；（3）问题解决：如图丙，已知菱形的边长为8，BG=7，CF=65，当t＞2时，求EC的长度．22．（10分）如图，一次函数y kx b=+的图象与反比例函数myx=的图象交于()A2,3-，B()4,n两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）结合图形，直接写出一次函数大于反比例函数时自变量x的取值范围．23．（12分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．组别分数段频次频率A60≤x＜70170.17B70≤x＜80 30 aC80≤x＜90 b 0.45D90≤x＜100 8 0.08请根据所给信息，解答以下问题：(1)表中a=______，b=______；(2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；(3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．24．“六一”儿童节前夕，某县教育局准备给留守儿童赠送一批学习用品，先对红星小学的留守儿童人数进行抽样统计，发现各班留守儿童人数分别为6名，7名，8名，10名，12名这五种情形，并绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）该校有_____个班级，补全条形统计图；（2）求该校各班留守儿童人数数据的平均数，众数与中位数；（3）若该镇所有小学共有60个教学班，请根据样本数据，估计该镇小学生中，共有多少名留守儿童．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C【解析】试题分析：（1）根据二次函数y=ax2+bx的性质a、b同号对称轴在y轴左侧，a、b异号对称轴在y轴右侧即可判断．（2）根据“派生函数”y=ax2+bx，x=0时，y=0，经过原点，不能得出结论．（1）∵P（a，b）在y=上，∴a和b同号，所以对称轴在y轴左侧，∴存在函数y=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧是假命题．（2）∵函数y=的所有“派生函数”为y=ax2+bx，∴x=0时，y=0，∴所有“派生函数”为y=ax2+bx经过原点，∴函数y=的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，是真命题．考点：（1）命题与定理；（2）新定义型2、A【解析】根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．【详解】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=12AB=12×7=3.1．故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．3、B【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．详解：把6800000用科学记数法表示为6.8×1．故选B．点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4、C【解析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．【详解】∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0，∴k＞﹣1，∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数，∴k≠0，则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，故选C.【点睛】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0.5、B【解析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵半径OC垂直于弦AB，∴AD=DB=1 2在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即)2，解得，OA=4∴OD=OC-CD=3，∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6故选B【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键6、B【解析】分析：本题是考察数轴上的点的大小的关系.解析：由图知，b<0<a，故①正确，因为b点到原点的距离远，所以|b|>|a|,故②错误，因为b<0<a，所以ab<0，故③错误，由①知a-b>a+b，所以④正确.故选B.7、A【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.【详解】解：1 240xx>⎧⎨-≤⎩①②∵不等式①得：x＞1，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为1＜x≤2，在数轴上表示为：，故选A.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键.8、B【解析】根据点到圆心的距离和半径的数量关系即可判定点与圆的位置关系.【详解】A选项,(1,1)2<2,因此点在圆内,B选项22到坐标原点的距离为2=2,因此点在圆上,C选项(1,3) 10>2,因此点在圆外D选项(12) 3<2,因此点在圆内,故选B.【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系,解决本题的关键是要熟练掌握点与圆的位置关系.9、D【解析】延长CD交⊙D于点E，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴22AC BC+，∵D是AB中点，∴CD=115 AB= 22，∵G是△ABC的重心，∴CG=2CD3=5，DG=2.5，∴CE=CD+DE=CD+DF=10，∵⊙C 与⊙D 相交，⊙C 的半径为r ，∴ 510r <<，故选D.【点睛】本题考查了三角形的重心的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、两圆相交等，根据知求出CG 的长是解题的关键.10、A【解析】 2(3)93-==．故选A ． 考点：二次根式的化简二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、-1【解析】【分析】先去分母，化为整式方程，然后再进行检验即可得.【详解】两边同乘（x+2）(x-2)，得：x-2﹣3x=0，解得：x=-1，检验：当x=-1时，（x+2）(x-2)≠0，所以x=-1是分式方程的解，故答案为：-1.【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.12、221y x x =-++（答案不唯一） 【解析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a<0，与y 轴交点的纵坐标即为常数项，然后写出即可．【详解】∵抛物线开口向下，并且与y 轴交于点（0,1）∴二次函数的一般表达式2y ax bx c =++中，a<0，c=1， ∴二次函数表达式可以为：221y x x =-++（答案不唯一）.【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握开口方向、与y 轴的交点与二次函数二次项系数、常数项的关系是解题的关键.13、（1，0）；（﹣5，﹣2）.【解析】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是当E 和C 是对应顶点，G 和A 是对应顶点；另一种是A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点．【详解】∵正方形ABCD 和正方形OEFG 中A 和点F 的坐标分别为（3，2），（-1，-1），∴E （-1，0）、G （0，-1）、D （5，2）、B （3，0）、C （5，0），（1）当E 和C 是对应顶点，G 和A 是对应顶点时，位似中心就是EC 与AG 的交点，设AG 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），∴231k b b =+⎧⎨-=⎩，解得11b k =-⎧⎨=⎩． ∴此函数的解析式为y=x-1，与EC 的交点坐标是（1，0）；（2）当A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点时，位似中心就是AE 与CG 的交点，设AE 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），320k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故此一次函数的解析式为1122y x =+…①，同理，设CG 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），501k b b +=⎧⎨=-⎩，解得151k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故此直线的解析式为115y x =-…② 联立①②得1122115y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得52x y =-⎧⎨=-⎩，故AE 与CG 的交点坐标是（-5，-2）．故答案为：（1，0）、（-5，-2）．14、32【解析】由DE∥BC不难证明△ABC~△ADE,再由DE AEBC AC=，将题中数值代入并根据等量关系计算AE的长.【详解】解：由DE∥BC不难证明△ABC~△ADE,∵35DE AEBC AC==，CE=4,∴345 DE AEBC AE==-，解得：AE=3 2故答案为3 2.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记三角形的判定和性质是解题关键.15、3() 6a b-【解析】根据△ABC、△EFD都是等边三角形，可证得△AEF≌△BDE≌△CDF，即可求得AE+AF=AE+BE=a，然后根据切线长定理得到AH=12（AE+AF-EF）=12（a-b）；，再根据直角三角形的性质即可求出△AEF的内切圆半径．【详解】解：如图1，⊙I是△ABC的内切圆，由切线长定理可得：AD=AE，BD=BF，CE=CF，∴AD=AE=12[（AB+AC）-（BD+CE）]=12[（AB+AC）-（BF+CF）]=12（AB+AC-BC），如图2，∵△ABC ，△DEF 都为正三角形，∴AB=BC=CA ，EF=FD=DE ，∠BAC=∠B=∠C=∠FED=∠EFD=∠EDF=60°，∴∠1+∠2=∠2+∠3=120°，∠1=∠3；在△AEF 和△CFD 中，13BAC C EF FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△CFD （AAS ）；同理可证：△AEF ≌△CFD ≌△BDE ；∴BE=AF ，即AE+AF=AE+BE=a ．设M 是△AEF 的内心，过点M 作MH ⊥AE 于H ，则根据图1的结论得：AH=12（AE+AF-EF ）=12（a-b ）；∵MA 平分∠BAC ，∴∠HAM=30°；∴HM =AH•tan30°=12（a-b ）•=)a b -故答案为：)a b -．【点睛】本题主要考查的是三角形的内切圆、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，切线的性质，圆的切线长定理，根据已知得出AH 的长是解题关键．16、43π【解析】分析：题图中阴影部分为弓形与三角形的和，因此求出扇形AOC 的面积即可，所以关键是求圆心角的度数.本题考查组合图形的求法.扇形面积公式等.详解：连结OC ，∵△ABC 为正三角形，∴∠AOC=3603︒=120°，∵AOB AOC S S = , ∴图中阴影部分的面积等于AOC S 扇形∴S 扇形AOC=22120243603603n r πππ⋅==即S 阴影=43πcm2.故答案为43π. 点睛：本题考查了等边三角形性质，扇形的面积，三角形的面积等知识点的应用，关键是求出∠AOC 的度数，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力.三、解答题（共8题，共72分）17、（1）答案见解析；（2）14【解析】分析：（1）直接列举出所有可能的结果即可.（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．详解：（1）学生小红计划选修两门课程，她所有可能的选法有：A 书法、B 阅读；A 书法、C 足球；A 书法、D 器乐；B 阅读，C 足球；B 阅读，D 器乐；C 足球，D 器乐.共有6种等可能的结果数；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4， 所以他们两人恰好选修同一门课程的概率41.164== 点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．1832【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】 原式()2245223x x x x --+=⨯++， ()()()2+33223x x x x x -+=⨯++，33x x -=+． 当3x 333=+32=【点睛】本题考查的知识点是分式的化简求值，解题关键是化简成最简再代入计算.19、 (1)见解析2【解析】（1）根据平行四边形的判定定理首先推知四边形DBEC 为平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等：CD=BD ，得证；（1）由三角形中位线定理和勾股定理求得AB 边的长度，然后根据菱形的性质和三角形的面积公式进行解答．【详解】（1）证明：∵CE ∥DB ，BE ∥DC ，∴四边形DBEC 为平行四边形．又∵Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 是AC 的中点，∴CD=BD=12AC ， ∴平行四边形DBEC 是菱形；（1）∵点D ，F 分别是AC ，AB 的中点，AD=3，DF=1，∴DF 是△ABC 的中位线，AC=1AD=6，S △BCD=12S △ABC∴BC=1DF=1．又∵∠ABC=90°，∴AB=22AC BC - = 2262-= 42．∵平行四边形DBEC 是菱形，∴S 四边形DBEC=1S △BCD=S △ABC=12AB•BC=12×42×1=42．点睛：本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理.由点D 是AC 的中点，得到CD=BD 是解答（1）的关键，由菱形的性质和三角形的面积公式得到S 四边形DBEC=S △ABC 是解（1）的关键.20、（2）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=2时，x2=x2=﹣2．【解析】分析：（2）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（2）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根. 当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.21、（1）证明见解析（2）①线段EC ，CF 与BC 的数量关系为：CE ＋CF ＝12BC.②CE ＋CF ＝1t BC （3）95【解析】（1）利用包含60°角的菱形，证明△BAE ≌△CAF ，可求证;(2)由特殊到一般，证明△CAE′∽△CGE ，从而可以得到EC 、CF 与BC 的数量关系(3) 连接BD 与AC 交于点H,利用三角函数BH ,AH,CH 的长度，最后求BC 长度.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝60°，∠B ＝∠ACF ＝60°，AB=BC ，AB=AC ，∵∠BAE ＋∠EAC ＝∠EAC ＋∠CAF ＝60°，∴∠BAE=∠CAF ，在△BAE 和△CAF 中，BAE CAF AB AC B ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩＝,∴△BAE ≌△CAF ，∴BE ＝CF ，∴EC ＋CF ＝EC ＋BE ＝BC ，即EC ＋CF ＝BC ；（2）知识探究： ①线段EC ，CF 与BC 的数量关系为：CE ＋CF ＝12BC.理由：如图乙，过点A 作AE′∥EG ，AF′∥GF ，分别交BC 、CD 于E′、F′．类比（1）可得：E′C+CF′=BC ，∵AE′∥EG ，∴△CAE′∽△CGE12CE CG CE CA '∴==，1'2CE CE ∴=，同理可得：12'CF CF =，()1111'''2'222CE CF CE CF CE CF BC ∴+=+=+=，即12CE CF BC +=；②CE ＋CF ＝1t BC.理由如下：过点A 作AE′∥EG ，AF′∥GF ，分别交BC 、CD 于E′、F′.类比（1）可得：E′C ＋CF′＝BC ，∵AE′∥EG ，∴△CAE′∽△CAE ，∴1CE CG CE AC t '==，∴CE ＝1t CE′，同理可得：CF ＝1t CF′，∴CE ＋CF ＝1t CE′＋1t CF′＝1t （CE′＋CF′）＝1t BC ，即CE ＋CF ＝1t BC ；（3）连接BD 与AC 交于点H ，如图所示：在Rt △ABH 中，∵AB ＝8，∠BAC ＝60°，∴BH ＝ABsin60°＝8×3＝43AH ＝CH=ABcos60°＝8×12＝4，∴GH1， ∴CG ＝4－1＝3， ∴38CG AC =，∴t ＝83（t ＞2），由（2）②得：CE ＋CF ＝1t BC ，∴CE ＝1t BC －CF ＝38×8－65＝95.【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、菱形的性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加辅助线构造相似三角形．22、（1）6y x =-；3342y x =-+；（2）2x <-或04x <<；【解析】（1）利用点A 的坐标可求出反比例函数解析式，再把B （4，n ）代入反比例函数解析式，即可求得n 的值，于是得到一次函数的解析式；（2）根据图象和A ，B 两点的坐标即可写出一次函数的值大于反比例函数时自变量x 的取值范围．【详解】（1）m y x =过点()2,3A -，6m ∴=-，∴反比例函数的解析式为6y x =-； 点()4,B n 在6y x =-上，32n ∴=-，3(4,2B ∴-)，一次函数y kx b =+过点()2,3A -，3(4,2B - )23342k b k b -+=⎧⎪∴⎨+=-⎪⎩， 解得：3432k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴一次函数解析式为3342y x =-+； （2）由图可知，当2x <-或04x <<时，一次函数值大于反比例函数值．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数解析式和一次函数的解析式．23、（1）0.3 ，45；（2）108°；（3）16．【解析】（1）首先根据A 组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a 、b ；（2）B 组的频率乘以360°即可求得答案；（2）画树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；【详解】（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a=30100=0.3，b=100×0.45=45（人）．故答案为0.3，45；（2）360°×0.3=108°．答：扇形统计图中B 组对应扇形的圆心角为108°．（3）将同一班级的甲、乙学生记为A 、B ，另外两学生记为C 、D ，画树形图得：∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率为212=16．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24、（1）16；（2）平均数是3，众数是10，中位数是3；（3）1．【解析】（1）根据有7名留守儿童班级有2个，所占的百分比是2.5%，即可求得班级的总个数，再求出有8名留守儿童班级的个数，进而补全条形统计图；（2）将这组数据按照从小到大排列即可求得统计的这组留守儿童人数数据的平均数、众数和中位数；（3）利用班级数60乘以（2）中求得的平均数即可．【详解】解：（1）该校的班级数是：2÷2.5%=16（个）．则人数是8名的班级数是：16﹣1﹣2﹣6﹣2=5（个）．条形统计图补充如下图所示：故答案为16；（2）每班的留守儿童的平均数是：（1×6+2×7+5×8+6×10+2×2）÷16=3将这组数据按照从小到大排列是：6，7，7，8，8，8，8，8，10，10，10，10，10，10，2，2．故这组数据的众数是10，中位数是（8+10）÷2=3．即统计的这组留守儿童人数数据的平均数是3，众数是10，中位数是3；（3）该镇小学生中，共有留守儿童60×3=1（名）．答：该镇小学生中共有留守儿童1名．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了平均数、中位数和众数以及用样本估计总体．。

鄞州中学提前招生数学试卷（本卷考试时间80分钟，满分120分）一、填空题（把答案填在题中横线上，每小题7分，共70分）1、已知a 、b 满足a 2－2a －1＝0，b 2－2b －1＝0，且a ≠b ，则a b ＋ba ＋1＝ . 2、△ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是 .3、要使关于x 的方程21++x x －1-x x ＝22-+x x m 的解为负数，则m 的取值范围是 . 4、已知：41(b －c )2＝(a －b )(c －a )，且a ≠0，则ac b 4+＝ . 5、如图，E 、F 分别在AD 、BC 上，EFCD 是正方形，且矩形ABCD ∽矩形AEFB ，则AB ∶BC 的值是 .6、设x 、y 、z 满足关系式x －1＝21+y＝32-z ，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为. 7、如图，在△ABC 中，D 、E 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点， BM交AD 、AE 于G 、H 则BG ∶GH ∶HM ＝ . 8、如图3×3的正方形的每一条方格内的字母都代表某个数，已 知其每行、每列以及两条对角线上三角形个数之和都相等，若a ＝4，d ＝19，i ＝22，那么b ＝ ，h ＝ .9、在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，若将矩形折叠，使B点与D 点重合，如图所示，则折痕EF 的长为 .10、如图，已知ABCD 是一个半径为R 的圆内接四边形，AB ＝12， CD ＝6，分别延长AB 和DC ，它们相交于点P ，且BP ＝8，∠APD ＝600，则R ＝ . 二、解答题（本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11、如图，在直角坐标系内有两个点A （－1，－1），B （2,3）－MA 最大，求M 点的坐标，并说明理由.（10分）第7题 第10题 第8题 第11题12、分别求所有的实数k，使得关于x的方程kx2＋(kx＋1)x＋(k－1)＝0（1）有实根（2）都是整数根（12分）13、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD＝4DC，已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G. 求证：AD⊥BF. （14分）14、我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市用水收费方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗。

一、选择题1. 答案：C解析：此题考查了有理数的乘法运算。

由于-3和-5都是负数，根据有理数乘法的法则，两个负数相乘得到正数，所以-3乘以-5等于15。

2. 答案：B解析：此题考查了一元一次方程的解法。

将方程2x-1=5中的-1移到等号右边，得到2x=6，再将方程两边同时除以2，得到x=3。

3. 答案：A解析：此题考查了平面几何中的三角形。

由于三角形ABC是等边三角形，所以角A、B、C都是60度。

因此，角D是三角形ABC的外角，根据外角定理，角D等于角A和角B的和，即60度+60度=120度。

4. 答案：D解析：此题考查了函数图像的理解。

根据函数图像，当x=2时，y的值为3，所以点(2,3)在函数图像上。

5. 答案：C解析：此题考查了数据的统计与分析。

通过计算平均数、中位数、众数和方差，可以得出这组数据的分布情况。

计算得到平均数为5，中位数为5，众数为5，方差为2.5。

二、填空题1. 答案：-5解析：此题考查了绝对值的性质。

由于|-5|=5，所以-(-5)=5。

2. 答案：4解析：此题考查了二次根式的化简。

将二次根式√(16-8√3+12)化简为√(4-2√3)的平方，即(2-√3)^2，展开后得到4-4√3+3，化简得到7-4√3。

3. 答案：π解析：此题考查了圆的周长公式。

由于圆的半径为1，根据圆的周长公式C=2πr，得到C=2π。

4. 答案：-2解析：此题考查了解一元二次方程。

将方程x^2-4x+4=0因式分解为(x-2)^2=0，得到x=2，所以x-2的值为0，再减去2得到-2。

5. 答案：0.6解析：此题考查了概率的计算。

根据题意，事件A发生的概率为0.4，事件B发生的概率为0.2，且事件A和事件B相互独立。

因此，事件A和事件B同时发生的概率为0.4乘以0.2，即0.08。

所以，事件A和事件B至少有一个发生的概率为1-0.08=0.92。

由于事件A和事件B至少有一个发生与事件A和事件B同时发生是互斥的，所以事件A和事件B同时发生的概率为0.92减去事件A和事件B至少有一个发生的概率，即0.92-0.6=0.32。

2024.7.8 鄞州中学新初三大讲堂选拔考数学试卷一、不定项选择题(共4 小题, 共18 分, 单选题每题4 分, 多选题每题5 分, 注意选错得0 分, 部分选对得 2 分)1. (单选题) 已知二次函数yy=aaxx2+bbxx+cc(其中aa为正整数) 的图像过点AA(−1,4),BB(2,1),且与xx轴有两个不同的交点,则bb+cc的最大值为A. -4B. -3C. -2D. -12. (单选题) 已知实数aa>bb>cc,设方程1xx−aa+2xx−bb+3xx−cc=0的两个实根分别为xx1,xx2(xx1< xx2),则下列关系中恒成立的是A. xx1<cc<bb<xx2<aaB. cc<xx1<bb<xx2<aaC. cc<xx1<xx2<bb<aaD. cc<xx1<bb<aa<xx23. (多选题) 十六世纪中叶, 英国数学家雷科德在《研智石》一书中首先把“ =”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“ <”和“ >” 符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远. 已知非零实数aa,bb满足aa3>bb3,则A. 1aa>1bbB. aa|aa|>bb|bb|C. aa(aa2+3bb2)>bb(bb2+3aa2)D. bb+1aa+1>bb aa4. (多选题) 已知直线ll1:yy=xx2,直线ll2:yy=−2xx+5,若圆⊙OO1与圆⊙OO2相切(OO1,OO2是两个圆的圆心) 并均与直线ll1,ll2相切,将OO1,OO2所在的直线记作ll3:yy=kkxx+bb,则kk可以为A. 3 或−13B. 2 或−12C. -3 或13D. −2或12二、填空题(共 6 小题, 共32 分: 前4 题单空, 每空 5 分, 后2 题双空, 每空 3 分)5. 已知1aa+1bb=92(aa+bb),则bb aa+aa bb=___.6. 已知xxyy≠1,3xx2+2021xx+7=0,7yy2+2021yy+3=0,则xx yy=___.7. 甲、乙、丙3 人站到共有6 级的台阶上, 若每级台阶最多站2 人且甲、乙不站同一个台阶, 同一台阶上的人不区分站的位置, 则不同的站法种数是___种. (用数字作答)8. 正方体AABBAAAA−AA1BB1AA1AA1的每条棱长为2,NN为AAAA上一动点, MM为AAAA1上一动点,则AA1MM+MMNN的最小值为___.9. 如图,画一个正三角形AA1AA2AA3,不画第三边; 接着画正方形AA2AA3AA4AA5对这个正方形,不画第四边、接着画正五边形AA1AA5AA6AA7AA8,对这个正五边形,不画第五边; 接着画正六边形,……,这样无限画去,形成一条无穷伸展的等边折线,设线段AA nn AA nn+1与线段AA nn+1AA nn+2所夹的角为θθnn(nn∈NN∗,θθnn∈(0,ππ),则θθ10= ; 满足θθnn>174∘的最小nn值为___.10. 定义一种关于nn的符号运算ff(nn),如下:如果nn是偶数,就对nn尽可能多次地除以2,直到得出一个奇数,这个奇数记作ff(nn);如果nn是奇数,就对3nn+1尽可能多次地除以2,直到得出一个奇数,这个奇数记作ff(nn). 则ff(6)⋅ff(7)=___；若ff(mm)=nn,ff(nn)=mm,其中mm,nn(mm≤nn)是两个正整数,则mm=___.三、解答题(共4 小题, 其中11, 12 题每题10 分, 其中13, 14 题每题15 分)11. 对于两个不相等的实数aa、bb,我们规定符号max{aa,bb},表示aa、bb中较大的数,如max{−2,4}=4,按照这个规定,若方程max{xx,−xx}=aa−1|xx|的所有的实数根的绝对值的和等于6,求aa的值.12. 如图,设OO是正三角形AABBAA内一点,已知∠AAOOBB=110∘,∠BBOOAA=130∘,求以线段OOAA,OOBB,OOAA为边构成的三角形的各内角的度数.13. 如图所示,在圆OO中,已知AABB⊥BBAA,BBAA⊥AAAA,线段AABB、BBAA、AAAA的长度分别是aa,bb,cc,若aa+cc=bb,aa+bb=2cc,圆OO的面积是45ππ,求AAAA的长度.14. 将一串正数(有无穷多个) 按照从小到大的顺序排列:aa1,aa2,aa3,aa4,aa5⋯aa kk,aa kk+1⋯(aa kk+1>aa kk>aa kk−1>⋯>aa2>aa1),给出两个性质:①对于这串数中的任意两项aa ii,aa jj(i>jj),都能在这串数中找到一项aa mm,使得aa ii2aa jj=aa mm,②对于这串数中的任意一项aa n(nn≥3),都能在这串数中找到两项aa kk,aa ll(kk>ll),使得aa nn= aa kk2aall(1) 若这串数是1,2,3,⋯,nn,⋯( nn是整数),判断这串数是否满足性质①,并说明理由;(2) 若这串数是1,2,4,8⋯,2nn−1,⋯,判断这串数是否满足性质①和性质②,并说明理由.。

宁波九年级数学选拔试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。

A. a/2B. a√2C. 2aD. a²2. 下列哪个数是质数？（）A. 21B. 29C. 35D. 393. 若x² 5x + 6 = 0，则x的值为（）。

A. 2 或 3B. 1 或 6C. -2 或 -3D. -1 或 -64. 在直角坐标系中，点(3, 4)关于y轴的对称点是（）。

A. (3, -4)B. (-3, 4)C. (-3, -4)D. (4, 3)5. 若一组数据的平均数为10，且数据个数为5，则这组数据的总和为（）。

A. 40B. 50C. 60D. 70二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个负数相乘的结果是正数。

（）2. 任何一个偶数都可以表示为2的倍数。

（）3. 三角形的内角和等于180度。

（）4. 若a > b，则a² > b²。

（）5. 对角线互相垂直的四边形一定是菱形。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若一个三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长度范围为______。

2. 2的平方根是______。

3. 若一个等差数列的首项为2，公差为3，则第5项为______。

4. 若sinθ = 1/2，则θ的值为______度。

5. 二项式展开式(a + b)²的结果是______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 解释什么是质数。

2. 简述勾股定理的内容。

3. 解释等差数列和等比数列的区别。

4. 什么是函数？给出一个函数的例子。

5. 简述平行四边形的性质。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 计算下列表达式的值：2³ + 3² 5。

2. 解方程：2x 5 = 3x + 2。

3. 若一个长方体的长、宽、高分别为4、3、2，求其体积。

4. 已知等差数列的前三项分别为2、5、8，求该数列的通项公式。