【课堂新坐标】2017届高三文科数学(通用版)二轮复习：技法强化训练(三) 分类讨论思想 Word版含解析

高考小题分项练10 圆锥曲线1．△ABC 的两个顶点分别为A (－4,0）,B (4，0)，△ABC 的周长为18,则C 点的轨迹为( ）A.错误!＋错误!＝1 （y ≠0）B.错误!＋错误!＝1 （y ≠0）C.错误!＋错误!＝1 (y ≠0) D 。

错误!＋错误!＝1 （y ≠0）答案 D解析 由题意可知｜AB ｜＝8，|AC |＋｜BC ｜＝10，10>8，点C 到两个定点A ，B 的距离之和等于定值，故点C 的轨迹是以点A ，B 为焦点的椭圆（除去长轴两个顶点)．∵2a ＝10,2c ＝8，∴b ＝3，∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝1 (y ≠0）．2．已知圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与抛物线x 2＝4y 的准线相切，则实数m 等于( ）A ．±2 2B ．±错误! C.错误!D 。

错误! 答案 B解析 因为圆x 2＋y 2＋mx －错误!＝0,即(x ＋错误!）2＋y 2＝错误!与抛物线x 2＝4y 的准线相切，所以 错误!＝1，m＝±错误!，故选B.3．已知双曲线C：错误!－错误!＝1 (a〉0,b>0）的焦距为10，点P（1,2）在C的渐近线上,则C的方程为( ）A。

错误!－错误!＝1 B。

错误!－错误!＝1C。

错误!－错误!＝1 D。

错误!－错误!＝1答案B解析由题意，得双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，且c＝5。

因为点P(1,2)在C的渐近线上，所以b＝2a，所以a2＝5，b2＝20，故选B.4．如图，抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,过抛物线上一点A（3，y）向准线l作垂线，垂足为B，若△ABF为等边三角形，则抛物线的标准方程是( ）A．y2＝错误!x B．y2＝xC．y2＝2x D．y2＝4x答案D解析设抛物线方程为y2＝2px，则F(错误!，0)，将A（3，y)代入抛物线方程得y2＝6p,y＝错误!，由于△ABF为等边三角形，故k AF＝错误!，即错误!＝错误!，解得p＝2。

高考冲刺模拟卷Ⅰ本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．时间：120分钟，满分：150分．第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.复数6i 7+8i 2 016(其中i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于 ( C )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.一批产品有A,B,C 三种型号,数量分别是120件,80件,60件.为了解它们的质量是否存在差异,用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本,其中从型号C 的产品中抽取了3件,则n 的值是 ( D )A.9B.10C.12D.133.已知条件p ：log 2(x -1)<1；条件q ：|x -2|<1,则p 是q 成立的 ( C ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知0≤θ≤2π,且cos )2(θπ-->0, 012sin 22>-θ,则θ的范围是 ( C )A.)2,0(πB.),2(ππC.)23,(ππ D.)2,23(ππ5.已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长为4,过焦点且垂直于长轴的弦长为3,则椭圆的方程是 ( A )A.13422=+y xB.12422=+y x C.14522=+y xD.1222=+y x 6.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1,点数之和大于5的概率记为p 2,点数之和为偶数的概率记为p 3,则（ C ）A.p 1<p 2<p 3B.p 2<p 1<p 3C.p 1<p 3<p 2D.p 3<p 1<p 27.在长为5 cm 的线段AB 上任取一点C,以AC,BC 为邻边作一矩形,则矩形面积不小于 4 cm 2的概率为 ( C )A.51B.52C.53 D.54 8.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=3,BC=7,则∙= ( B )A.23 B.25 C.2 D.39.关于x 的方程e x -1-|kx |=0(其中e =2.718 28…是自然对数的底数)有三个不同实根，则k 的取值范围是 ( D )A.{-2,0,2}B.(1,+∞)C.(e ,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)10.如果函数f (x )满足：对定义域中的任意三个数a ,b ,c ,都有f (a ),f (b ),f (c )是一个三角形三边的长,则称f (x )为“三角形函数”.在函数①y =|x |;②y =2x ;③y =x +x1(1≤x ≤2);④y =4x 3-3x 2+2(0≤x ≤1)中,“三角形函数”的个数是 ( B )A.1B.2C.3D.411.设函数y =f (x )在R 上有定义，对给定的正数M,定义函数M x f x f x f M ≤=)(),()(, M , f (x )>M ,则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”.若给定函数f (x )=2-x 2,M=1,则f M (0)的值为 ( B )A.2B.1C.2D.2-12.已知函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d (b,c,d 为常数),其极大值在（0，1）上取得，极小值在 （1，2）上取得.若T =22)3()21(-++c b ,则T 的取值范围是 ( A )A.(5,5)B.)5,237( C.)25,437(D.(5,25) 第Ⅱ卷二、填空题：(本大题4共小题，每小题5分，共20) 13．已知)0,0(112>>=+y x yx ，则y x +14.一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是__3272π______.15.某汽车公司对新生产的舒适型和豪华型两种轿车进行民意调查，并按规定的项目对两种轿车的某些功能进行打分评价(满分为10分),董事长从若干次调查结果中随机抽取6次，结果如下表.(1) =-豪华型舒适型x x _______;(2) _______型轿车的功能发挥更稳定. 16.某种平面分形如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1,两两夹角为120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…(1)依此规律得到5级分形图，则5级分形图中所有线段的长度之和为(2)n 级分形图中所有线段的长度之和为___n)32(99∙-_______.三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a ,b ,c ,满足(a -b )(sin A- sin B)=c sin C-a sin B. (1)求角C 的大小；(2)若c =7,a >b ,且△ABC 的面积为233,求ab的值. 解析：(1)由(a -b )(sin A -sin B )=c sin C -a sin B ,利用正弦定理得 (a -b )(a -b )=c 2-ab ,化简得a 2+b 2-ab =c 2,所以cos C=3,212222π==-+C ab c b a . (2)由(1)得a 2+b 2-ab =7,① 又由△ABC 的面积得 S=2332321sin 21=∙=ab C ab ,即ab =6,② 又a >b ,由①②联立可解得a =3,b =2, 所以32=a b .18.(本小题满分12分)如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，AA 1=3,点E 在棱B 1B 上运动.豪华(1)证明：AC ⊥D 1E;(2)若三棱锥B 1-A 1D 1E 的体积为32时，求异面直线AD 与D 1E 所成的角.解析：(1)证明：连接BD. ∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD. ∵四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1是直棱柱， ∴B 1B ⊥平面ABCD ． ∵AC ⊂平面ABCD ， ∴B 1B ⊥AC. ∵B 1B ∩BD=B ， ∴AC ⊥平面B 1BDD 1.∵D 1E ⊂平面B 1BDD 1，∴AC ⊥D 1E. (2)∵111111D B A E E D A B V V --=, EB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1, ∴11111131EB S V D B A D B A E ∙=∆-. ∵121111111=∙=∆D A B A S D B A , ∴2.323111111=∴==-EB EB V D B A E . ∵AD ∥A 1D 1,∴∠A 1D 1E 为异面直线AD 与D 1E 所成的角. 在Rt △EB 1D 1中，求得ED 1=22. ∵D 1A 1⊥平面A 1ABB 1,∴D 1A 1⊥A 1E.在Rt △EA 1D 1中，求得cos ∠A 1D 1E=222=21,∠A 1D 1E=60°. ∴异面直线AD 与D 1E 所成的角为60°.19.(本小题满分12分)已知公比为q 的等比数列{a n }是递减数列，且满足a 1+a 2+a 3=913,a 1a 2a 3=271. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若2331+∙=-n n n a n b (n ∈N*),证明：35411113221≥++++n n b b b b b b . 解析：(1)由a 1a 2a 3=271及等比数列性质得27132=a ,即a 2=31, 由a 1+a 2+a 3=913得a 1+a 3=910, 由 a 2=31, a 1+a 3=910, 得 a 1q =31, a 1+a 1q 2=910, 所以31012=+q q ,即3q 2-10q +3=0, 解得q =3,或q =31. 因为{a n }是递减数列，故q =3舍去, 所以q =31,由a 2=31,得a 1=1, 故数列{a n }的通项公式为a n =131-n .354111,352715152151,1).52151(2)52132191717151(2111),521321(25223221,2323233)2(132211322111≥+++=-≥+-≥+-=+-+++-+-=++++-+=+∙+=+=+=+∙=+++-n n n n n n n n n b b b b b b n n n n n b b b b b b n n n n b b n n a n b 所以因为所以因为20.(本小题满分12分)已知x n x mx f ln 1)(++=(m ,n 为常数)在x =1处的切线为x +y -2=0. (1)求y =f (x )的单调区间；(2)若任意实数x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,1e ,使得对任意的t ∈[1,2]上恒有f (x )≥t 3-t 2-2at 成立，求实数a 的取值范围.解析：(1)由x n x mx f ln 1)(++=的定义域为(0,+∞)， 可得xnx m x f ++-=2')1()(. 由条件可得f ′(1)=4m-+n =1-, 把x =1代入x +y -2=0可得y =1, ∴f (1)=2m =1,∴m =2,n =21-. ∴f (x )=x x ln 2112-+,f ′(x )=x x 21)1(22-+-. ∵x >0, ∴f ′(x )<0,∴f (x )的递减区间为(0,+∞),没有递增区间.(2)由(1)可知，f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,1e 上单调递减，∴f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,1e 上的最小值为f (1)=1.∴只需t 3-t 2-2at ≤1,即2a ≥t 2-t -t1对任意的t ∈[1,2]上恒成立.令g(t )=t 2-t -t1,则g ′(t )=2t -1+21t=22312t t t +-. ∵t ∈[1,2], ∴01)12(12222>+-=+-t t t t , ∴g ′(t )>0,即g(t )在[1,2]上单调递增， ∴g(t )的最大值为g(2)=4-2-21=23, ∴只需2a ≥23,即a ≥43. ∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43.21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F(1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C. (1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P(-2,1),求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围. 解析：(1)设点M (x ,y ),依题意得|MF |=|x |+1, 即1)1(22+=+-x y x , 化简整理得y 2=2(|x |+x ).故点M 的轨迹C 的方程为0,2≥=x x y , 0,x<0. (2)在点M 的轨迹C 中，记C 1:y 2=4x (x ≥0),C 2：y =0(x <0).依题意，可设直线l 的方程为y -1=k (x +2). 由方程组 y -1=k (x +2), y 2=4x , 可得ky 2-4y +4(2k +1)=0.①当k =0时,y =1.把y =1代入轨迹C 的方程, 得x =41. 故此时直线l :y =1与轨迹C 恰好有一个公共点)1,41(. 当k ≠0时，方程①的判别式Δ=-16(2k 2+k -1).② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0), 则由y -1=k (x +2),令y =0,得x 0=kk 12+-.③ (ⅰ)若 Δ<0,x 0<0,由②③解得k < -1或k >21. 即当k ∈(-∞,-1)∪（21，+∞）时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点. (ⅱ)若 Δ=0, x 0<0 或Δ>0, x 0≥0,由②③解得021}21,1{<≤--∈k k 或. 即当}21,1{-∈k 时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点. 当⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈0,21k 时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点.故当}21,1{0,21-⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈k 时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.(ⅲ)若 Δ>0,x 0<0,由②③解得-1<k <21-或0<k <21. 即当)21,0()21,1(⋃--∈k 时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综上所述，当}0{),21()1,(⋃+∞⋃--∞∈k 时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点； 当}21,1{0,21-⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈k 时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当)21,0()21,1(⋃--∈k 时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线C 1:x =-2,圆C 2:(x -1)2+(y -2)2=1，以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 1,C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为)(4R ∈=ρπθ，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积.解析：(1)因为x =ρcos θ,y =ρsin θ,所以C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C 2的极坐标方程为 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0. (2)将θ=4π代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得 ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2=2. 故ρ1-ρ2=2,故｜MN ｜=2. 由于C 2的半径为1, 所以△C 2MN 的面积为21.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f (x )=|x +1|-2|x -a |,a >0.(1)当a =1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.解析：(1)当a =1时，f (x )>1化为|x +1|-2|x -1|-1>0.当x ≤-1时，不等式化为x -4>0,无解；当-1<x <1时，不等式化为3x -2>0, 解得32<x <1; 当x ≥1时，不等式化为-x +2>0,解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为}232{<<x x . (2)由题设可得 f (x )= x -1-2a ,x < -1,x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x >a .所以函数 f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为)1,()0,12(),0,312(++-a a C a B a A ，, 则△ABC 的面积为32(a +1)2. 由题设得32(a +1)2>6,故a >2. 所以a 的取值范围为(2,+∞).。

技法强化训练(二) 数形结合思想题组1 利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题 1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ＞0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B ∵a ＞0，∴a 2＋1＞1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点．] 2．已知函数f (x )＝|log 2|x ||－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )有三个零点，且所有零点之积大于－1B ．f (x )有三个零点，且所有零点之积小于－1C ．f (x )有四个零点，且所有零点之积大于1D ．f (x )有四个零点，且所有零点之积小于1A 在同一坐标系中分别作出f 1(x )＝|log 2|x ||与f 2(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，如图所示，由图象知f 1(x )与f 2(x )有三个交点，设三个交点的横坐标从左到右分别是x 1，x 2，x 3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＞0，所以－12＜x 1＜－14，同理12＜x 2＜1,1＜x 3＜2，即－1＜x 1x 2x 3＜－18，即所有零点之积大于－1.]3．(2016·广州二模)设函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，当x ∈0,1]时，f (x )＝x 3，则函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52上的所有零点的和为( )A ．7B ．6C ．3D ．2A 函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52上的零点为函数h (x )＝|cos(πx )|与函数f (x )的交点的横坐标．因为f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )为关于x ＝1对称的偶函数，又因为当x ∈0,1]时，f (x )＝x 3，则在平面直角坐标系内画出函数h (x )＝|cos(πx )|与函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52内的图象，如图所示，由图易得两函数图象共有7个交点，不妨设从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，则由图易得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 5＝2，x 4＝1，x 6＋x 7＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＝7，即函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52上的零点的和为7，故选A.]4．(2016·合肥二模)若函数f (x )＝a ＋sin x 在π，2π]上有且只有一个零点，则实数a ＝________.1 函数f (x )＝a ＋sin x 在π，2π]上有且只有一个零点，即方程a ＋sin x ＝0在π，2π]上只有一解，即函数y ＝－a 与y ＝sin x ，x ∈π，2π]的图象只有一个交点，由图象可得a ＝1.]5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是______________．(－∞，0)∪(1，＋∞) 函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点． ①若a ＜0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x ＞a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点．②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点．③若a ＞1，则a 3＞a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点．综上，a ＜0或a ＞1.]题组2 利用数形结合思想求解不等式或参数范围6．若不等式log a x ＞sin 2x (a ＞0，a ≠1)对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4都成立，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 D ．(0,1)A 记y 1＝log a x (a ＞0，a ≠1)，y 2＝sin 2x ，原不等式即为y 1＞y 2，由题意作出两个函数的图象，如图所示，知当y 1＝log a x 的图象过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1时，a ＝π4，所以当π4＜a ＜1时，对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4都有y 1＞y 2.]7．(2016·黄冈模拟)函数f (x )是定义域为{x |x ≠0}的奇函数，且f (1)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，当x ＞0时，f (x )＋xf ′(x )＞1x，则不等式xf (x )＞1＋ln|x |的解集是( )【导学号：85952004】A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1,1)A 令g (x )＝xf (x )－ln|x |，则g (x )是偶函数， 且当x ＞0时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )－1x ＞0， ∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增． 故不等式xf (x )＞1＋ln|x |⇔g (|x |)＞g (1)， ∴|x |＞1，解得x ＞1或x ＜－1.故选A.]8．若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.]9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0＜x ≤10，－12x ＋6，x ＞10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是________．(10,12) 作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a ＜b ＜c ， 则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c . 由图知10＜c ＜12，∴abc ∈(10,12)．]10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3的相邻两条对称轴之间的距离为π4，将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g (x )的图象，若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数根，则k 的取值范围是________.【导学号：85952005】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪－12＜k ≤12或k ＝－1因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π4，结合三角函数的图象可知T 2＝π4，即T ＝π2.又T ＝2π2ω＝π2，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.将f (x )的图象向右平移π8个单位得到f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．所以方程为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋k ＝0.令2x －π6＝t ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π6≤t ≤5π6.若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数根，即y ＝sin t 与y ＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点． 如图所示，由正弦函数的图象可知－12≤－k ＜12或－k ＝1， 即－12＜k ≤12或k ＝－1.]题组3 利用数形结合解决解析几何问题11．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4B 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.]12．(2016·衡水模拟)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B ，C 两点，l 与抛物线的准线交于点A ，且|AF |＝6，AF→＝2FB →，则|BC |＝( ) A.92 B ．6 C.132D ．8A 如图所示，直线与抛物线交于B ，C 两点，与抛物线的准线交于A 点．∵AF →＝2FB →，∴F 在A ，B 中间，C 在A ，F 之间，分别过B ，C 作准线的垂线BB 1，CC 1，垂足分别为B 1，C 1.由抛物线的定义可知|BF |＝|BB 1|，|CF |＝|CC 1|.∵AF →＝2FB →，|AF |＝6， ∴|FB |＝|BB 1|＝3. 由△AFK ∽△ABB 1可知， |FK ||BB 1|＝|AF ||AB |，∴|FK |＝2. 设|CF |＝a ，则|CC 1|＝a ，由△ACC 1∽△AFK ，得|CC 1||FK |＝|AC ||AF |.∴a 2＝6－a 6，∴a ＝32.∴|BC |＝|BF |＋|FC |＝3＋32＝92.]13．已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为________．22 从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC 的面积S Rt △P AC ＝12|P A |·|AC |＝12|P A |越来越大，从而S 四边形P ACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形P ACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线l 时，S 四边形P ACB 应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 从而|P A |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.所以(S 四边形P ACB )min ＝2×12×|P A |×|AC |＝2 2.]14．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解] (1)圆C 1的方程x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0).2分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)， M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由题意可知直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝tx . 将上述方程代入圆C 1的方程，化简得(1＋t 2)x 2－6x ＋5＝0.5分由题意，可得Δ＝36－20(1＋t 2)＞0(*)，x 1＋x 2＝61＋t 2，所以x 0＝31＋t 2，代入直线l 的方程，得y 0＝3t1＋t 2.6分 因为x 20＋y 20＝9(1＋t 2)2＋9t 2(1＋t 2)2＝9(1＋t 2)(1＋t 2)2＝91＋t 2＝3x 0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94. 由(*)解得t 2＜45，又t 2≥0，所以53＜x 0≤3. 所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3.8分(3)由(2)知，曲线C 是在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上的一段圆弧．如图，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253，F (3,0)，直线L 过定点G (4,0)． 联立直线L 的方程与曲线C 的方程，消去y 整理得(1＋k 2)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0.令判别式Δ＝0，解得k ＝±34，由求根公式解得交点的横坐标为x H ，I ＝125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3.11分 由图可知：要使直线L 与曲线C 只有一个交点，则k ∈k DG ，k EG ]∪{k GH ，k GI }，即k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34.12分。

专题限时集训(七)用样本估计总体建议A、B组各用时：45分钟]A组高考达标]一、选择题1．(2016·山西考前模拟)某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图(如图7-5所示)，据此估计此次考试成绩的众数是()图7-5A．100 B.110C.115D.120C分析频率分布折线图可知众数为115，故选C.]2．(2016·南昌二模)如图7-6所示是一样本的频率分布直方图．若样本容量为100，则样本数据在15,20)内的频数是()图7-6A．50 B.40C.30D.14C因为15,20]对应的小矩形的面积为1－0.04×5－0.1×5＝0.3，所以样本落在15,20]的频数为0.3×100＝30，故选C.]3．(2016·青岛模拟)已知数据x1，x2，x3，…，x50,500(单位：kg)，其中x1，x2，x3，…，x50是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x, 中位数为y，则x1，x2，x3，…，x50,500这51个数据的平均数、中位数分别与x，y比较，下列说法正确的是()【导学号：85952030】A．平均数一定变大，中位数一定变大B．平均数一定变大，中位数可能不变C.平均数可能不变，中位数可能不变D．平均数可能不变，中位数可能变小B显然500大于这50个学生的平均体重，则这51个数据的平均数一定增大，中位数可能增大也可能不变，故选B.]4．(2016·沈阳模拟)从某小学随机抽取100名同学，现已将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图7-7)．若要从身高在120,130)，130,140)，140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在140,150]内的学生中选取的人数应为()图7-7A．2 B.3C.4D.5B依题意可得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035)＝1，解得a＝0.030，故身高在120,130)，130,140)，140,150]三组内的学生比例为3∶2∶1，所以从身高在140,150]内的学生中选取的人数应为3.]图7-85．(2016·郑州模拟)某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图7-8所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为()A.815 B.49C.35 D.19C依题意，平均数x＝20＋60＋30＋(7＋9＋1＋5)6＝22，故优秀工人只有2人，用a，b表示优秀工人，用c，d，e，f表示非优秀工人，故任取2人的情况如下：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)共15种，其中至少有1名优秀工人只有9种情况，故所求概率P＝915＝35.]二、填空题6．某中学共有女生2 000人，为了了解学生体质健康状况，随机抽取100名女生进行体质监测，将她们的体重(单位：kg)数据加以统计，得到如图7-9所示的频率分布直方图，则直方图中x的值为________；试估计该校体重在55,70)的女生有________人．图7-90．024 1 000由5×(0.06＋0.05＋0.04＋x＋0.016＋0.01)＝1，得x＝0.024.在样本中，体重在55,70)的女生的频率为5×(0.01＋0.04＋0.05)＝0.5，所以该校体重在55,70)的女生估计有2 000×0.5＝1 000人．]7.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图7-10所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是________．图7-101当x≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝6407≠91，∴x <4，∴89＋89＋92＋93＋92＋91＋x ＋907＝91， ∴x ＝1.] 8．从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图7-11.根据茎叶图，树苗的平均高度较高的是__________种树苗，树苗长得整齐的是__________种树苗．【导学号：85952031】图7-11乙 甲 根据茎叶图可知，甲种树苗中的高度比较集中，则甲种树苗比乙种树苗长得整齐；而通过计算可得，x 甲＝27，x 乙＝30，即乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度．]三、解答题9．(2016·太原二模)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成如下六段：40,50)，50,60)，…，90,100]，得到如图7-12所示的频率分布直方图．图7-12(1)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；(2)在抽取的40名学生中，若从数学成绩在40,50)与90,100]两个分数段内随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解] (1)由10×(0.005＋0.01＋0.02＋a ＋0.025＋0.01)＝1，得a ＝0.03.2分 根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.4分估计期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544(人).6分(2)成绩在40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，则记在40,50)分数段的两名同学为A1，A2，在90,100]分数段内的同学为B1，B2，B3，B4.若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法共有15种.8分如果2名学生的数学成绩都在40,50)分数段内或都在90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法有(A1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共7种取法，所以所求概率为P＝715.12分10．(2016·郑州一模)为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？(2)将先取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B类是其他市民．现对A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类市民的概率是多少．解](1)设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A，2分则P(A)＝40200＝15.4分所以当罚金定为10元时，比不制定处罚，行人闯红灯的概率会降低15.6分(2)由题可知A类市民和B类市民各有40人，故分别从A类市民和B类市民中各抽出2人，设从A类市民中抽出的2人分别为A1，A2，从B类市民中抽出的2人分别为B1，B2.设“A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M，8分则事件M中首先抽出A1的事件有：(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)，共6种．同理首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6种．故事件M 共有24种.10分设“抽取4人中前两位均为B 类市民”为事件N ，则事件N 有(B 1，B 2，A 1，A 2)，(B 1，B 2，A 2，A 1)，(B 2，B 1，A 1，A 2)，(B 2，B 1，A 2，A 1)．∴P (N )＝424＝16.12分B 组 名校冲刺]一、选择题1．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图7-13所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值m n ＝( )图7-13A ．1B.13C.38D.29C 由茎叶图可知乙的中位数是32＋342＝33，根据甲、乙两组数据的中位数相同，可得m ＝3，所以甲的平均数为27＋33＋393＝33，又由甲、乙两组数据的平均数相同，可得20＋n ＋32＋34＋384＝33，解得n ＝8，所以m n ＝38，故选C.]2．(2016·山西四校二联)某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图7-14，数据的分组依次为20,40)，40,60)，60,80)，80,100)，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )图7-14A ．45B.50C.55D.60B∵20,40)，40,60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是150.3＝50.]3．为了了解某城市今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图7-15)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为120，则抽取的学生人数是()图7-15A．240 B.280C.320D.480D由频率分布直方图知：学生的体重在65～75 kg的频率为(0.012 5＋0.037 5)× 5＝0.25，则学生的体重在50～65 kg的频率为1－0.25＝0.75.从左到右第2个小组的频率为0.75×26＝0.25.所以抽取的学生人数是120÷0.25＝480,故选D.]4．3个老师对某学校高三三个班级各85人的数学成绩进行分析，已知甲班平均分为116.3分，乙班平均分为114.8分，丙班平均分为115.5分，成绩分布直方图如图7-16，据此推断高考中考生发挥差异较小的班级是()图7-16A．甲 B.乙C.丙D.无法判断C由于平均分相差不大，由直方图知丙班中，学生成绩主要集中在110～120区间上且平均分较高，其次是乙，分数相对甲来说比较集中，相对丙而言相对分散．数据最分散的是甲班，虽然平均分较高，但学生两极分化，彼此差距较大，根据标准差的计算公式和性质知甲的方差大于乙的方差大于丙的方差，所以丙班的学生发挥差异较小．故选C.]5．已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．图7-17(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图7-17所示，则该样本的方差为________．(1)2,10,18,26,34 (2)62 (1)分段间隔为405＝8，则所有被抽出职工的号码为2,10,18,26,34.(2)x ＝15(59＋62＋70＋73＋81)＝69.s 2＝15(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.]6．如图7-18是某个样本的频率分布直方图，分组为100,110)，110,120)，120,130)，130,140)，140,150)，已知a ，b ，c 成等差数列，且区间130,140)与140,150)上的数据个数相差10，则区间110,120)上的数据个数为__________．图7-1820 由频率分布直方图得130,140)上的频率为0.025×10＝0.25，140,150)上的频率为0.015×10＝0.15.设样本容量为x ，则由题意知0.25x －0.15x ＝0.1x ＝10，解得x ＝100.因为a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c .又10a ＋10b ＋10c ＝1－0.25－0.15＝0.6⇒a ＋b ＋c ＝0.06⇒3b ＝0.06，解得b ＝0.02.故区间110,120)上的数据个数为10×0.020×100＝20.]7．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩(单位：分)数据的茎叶图如图7-19(1)所示：(1)(2)图7-19(1)分别求出甲、乙两组数据的中位数，并比较两组数据的分散程度(只需给出结论)；(2)甲组数据频率分布直方图如图7-19(2)所示，求a，b，c的值；(3)从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．解](1)甲组数据的中位数为78＋792＝78.5，乙组数据的中位数为75＋822＝78.5.从茎叶图可以看出，甲组数据比较集中，乙组数据比较分散.3分(2)由题图易知a＝0.05，b＝0.02，c＝0.01.7分(3)从甲、乙两组数据中各任取一个，得到的所有基本事件共有100个，其中满足“两数之差的绝对值大于20”的基本事件有16个，故所求概率P＝16100＝425.12分8．(2016·河南六市联考)在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图7-20所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．图7-20(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有2人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩均为A的概率．解](1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25＝40(人)，2分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.4分(2)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1×(40×0.2)＋2×(40×0.1)＋3×(40×0.375)＋4×(40×0.25)＋5×(40×0.075)]÷40＝2.9.8分(3)由题图可知，“数学与逻辑”科目的成绩为A的有3人，“阅读与表达”科目的成绩为A的有3人，因为恰有2人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A.设这4人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，基本事件空间为Ω＝{{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．设“随机抽取2人进行访谈，这2人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P(B)＝16.12分。

高考小题分项练3函数的图象与性质1．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y＝2x B．y＝x3＋xC．y＝－错误!D．y＝－log2x答案B解析若函数是奇函数，则f（－x）＝－f（x)，故排除A、D；对C：y＝－错误!在（－∞，0）和(0,＋∞)上单调递增，但在定义域上不单调，故C错，故答案为B.2．设函数f(x)＝错误!若f（f(错误!）)＝4，则b等于（)A．1 B。

78C。

错误!D。

错误!答案D解析f（错误!）＝错误!－b，①当错误!－b〈1，即b>错误!时，f(f（错误!))＝f（错误!－b)＝3×(错误!－b)－b＝错误!－4b＝4，∴b＝错误!（舍)．②当错误!－b≥1，即b≤错误!时,f(f(56)）＝f(错误!－b)＝522b－＝4，∴错误!－b＝2,∴b＝错误!.3．已知函数f（x)＝ln(2x＋错误!)－错误!，若f(a）＝1，则f（－a)等于( ）A．0 B．－1 C．－2 D．－3答案D解析因为f(a)＋f(－a)＝错误!＋错误!＝－2，所以f（－a）＝－2－f（a）＝－2－1＝－3.故选D。

4．设函数f(x)＝e x＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3，若实数a,b满足f(a）＝g(b）＝0，则( )A．f(b）<0〈g（a）B．g(a）<0<f（b）C．0<g（a)〈f（b）D．f(b)<g(a）〈0答案B解析易知f（x)是增函数，g(x)在(0，＋∞）上也是增函数,由于f(0）＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以0〈a〈1;又g(1)＝－2<0，g(2)＝ln 2＋1>0，所以1<b<2,所以f（b）〉0，g(a）<0，故g(a)〈0〈f(b）．5．若函数f（x）＝1＋错误!＋sin x在区间［－k,k］(k>0)上的值域为[m，n],则m＋n的值是( )A．0 B．1C．2 D．4答案D解析f(x）＝1＋错误!＋sin x＝1＋2(错误!）＋sin x＝3－错误!＋sin x，m＋n＝f（－k）＋f（k)＝6－2（错误!＋错误!)＋sin（－k）＋sin k＝6－2＝4。

2017年高考仿真原创押题卷(三) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁U A)∪B＝() A．(2, 3] B.(－∞，1]∪(2，＋∞)C.1,2)D.(－∞，0)∪1，＋∞)D因为∁U A＝{x|x＞2或x＜0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁U A)∪B＝(－∞，0)∪1，＋∞)．]2．已知i是虚数单位，若a＋b i＝i2＋i－i2－i(a，b∈R)，则a＋b的值是()A．0 B.－2 5iC.－25 D.25D因为a＋b i＝i2＋i －i2－i＝2i＋1－2i＋14＋1＝25，所以a＝25，b＝0，a＋b＝25.]3．已知条件p：a＜0，条件q：a2＞a，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B因为綈p：a≥0，綈q：0≤a≤1，所以綈p是綈q的必要不充分条件．] 4．如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是()图1①②③④A ．①④ B.②③ C.②④D.①②A 由所给的正方体知，△P AC 在该正方体上下面上的射影是①，△P AC 在该正方体左右面上的射影是④，△P AC 在该正方体前后面上的射影是④，故①④符合题意．]5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，若过右焦点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是( )A ．(2,4) B.(2,4] C.2,4)D.(2，＋∞)A 椭圆x 225＋y 29＝1的半焦距c ＝4.要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即ba ＜tan 60°＝3，即b ＜3a ，∴c 2－a 2＜3a 2，整理得c ＜2a ，∴a ＞2.又a ＜c ＝4，则此双曲线实半轴长的取值范围是(2,4)．]6．若数列{a n }满足1a n －1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝()A ．10 B.20 C.30 D.40B由题意知，∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，∴11x n ＋1－11x n＝x n ＋1－x n ＝d ，∴{x n }是等差数列．又∵x 1＋x 2＋…＋x 20＝200＝20(x 1＋x 20)2，∴x 1＋x 20＝20.又∵x 1＋x 20＝x 5＋x 16，∴x 5＋x 16＝20.]7．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，3x ＋4y ≥4，y ≥0，则x 2＋y 2＋2x 的最小值是( )【导学号：85952100】A.25B.2－1C.2425D.1D满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，3x ＋4y ≥4，y ≥0的平面区域如图中阴影部分所示．∵x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1表示(－1,0)点到可行域内任一点距离的平方再减1，由图可知当x ＝0，y ＝1时，x 2＋y 2＋2x 取最小值1.]8．已知函数f (x )＝sin (2x ＋φ)，其中0＜φ＜2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π6C 若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于函数的最大值或最小值，即2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋π6，k ∈Z .又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，即sin φ＜0,0＜φ＜2π，当k ＝1时，此时φ＝7π6，满足条件．]9．程序框图如图2所示，该程序运行后输出的S 的值是 ( )图2A ．2 B.－12 C.－3D.13A 由程序框图知：S ＝2，i ＝1；S ＝1＋21－2＝－3，i ＝2；S ＝1－31＋3＝－12，i ＝3；S ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝13，i ＝4；S ＝1＋131－13＝2，i ＝5；……，可知S 值周期性出现，周期为4，当i ＝2 017＝4×504＋1时，结束循环输出S ，即输出的S ＝2.]10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C ，则( )A ．a ，b ，c 成等差数列B ．a ，b ，c 成等比数列 C.a,2b,3c 成等差数列 D ．a,2b,3c 成等比数列B ∵cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cosC ，∴1－cos 2B ＝cos B ＋cos A cos C ，即sin 2B ＝－cos(A ＋C )＋cos A cos C ＝sin A sin C ，由正弦定理可知：b 2＝ac ，∴a ，b ，c 成等比数列．故选B.]11．已知双曲线T ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的右焦点为F (2,0)，且经过点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，△ABC 的三个顶点都在双曲线T 上，O 为坐标原点，设△ABC 三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为M ，N ，P ，且三条边所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k i ≠0，i ＝1,2,3.若直线OM ，ON ，OP 的斜率之和为－1.则1k 1＋1k 2＋1k 3的值为( )A ．－1 B.－12 C.1D.12B 由题易知a ＝233，a 2＋b 2＝4，解得a 2＝43，b 2＝83，所以T 为：3x 24－3y 28＝1.已知k OM ＋k ON ＋k OP ＝－1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 214－3y 218＝1，3x 224－3y 228＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22y 1＋y 22.即k 1＝2kOM⇒k OM ＝2k 1，同理k ON ＝2k 2，k OP ＝2k 3.由k OM ＋k ON ＋k OP ＝－1，所以2k 1＋2k 2＋2k 3＝－1， 即1k 1＋1k 2＋1k 3＝－12，故选B.]12．如图3，在三棱锥P -ABC 中，P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝3，PB ＝2，PC ＝2，设M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别表示三棱锥M -P AB ，M -PBC ，M -P AC 的体积，若f (M )＝(1，x,4y )，且1x ＋ay ≥8恒成立，则正实数a 的最小值是( )【导学号：85952101】图3A ．2－ 2 B.22－12C.9－424D.6－4 2C ∵P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝3，PB ＝2，PC ＝2， ∴V P -ABC＝13×12×3×2×2＝2＝1＋x ＋4y ，即x ＋4y ＝1.∵1x ＋a y ≥8恒成立，∴1x ＋a y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y (x ＋4y )＝1＋ax y ＋4y x ＋4a ≥1＋4a ＋4a ≥8，解得a ≥9－424，∴正实数a 的最小值为9－424.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.1 由题意知(a ＋b )·(k a －b )＝0， 即k －1＋(k －1)a·b ＝0， ∴(k －1)(1＋a·b )＝0.又∵1＋a·b ＝0不恒成立，∴k ＝1.]14．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，则公比q ＝________.13因为等比数列{a n }为递增数列且a 1＝－2＜0，所以公比0＜q ＜1.又因为3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，两边同除以a n 可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝13，而0＜q ＜1，所以q ＝13.]15．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝e x ＋x 2＋1，则函数h (x )＝2f (x )－g (x )在点(0，h (0))处的切线方程是________．x －y ＋4＝0 由f (x )－g (x )＝e x ＋x 2＋1知f (－x )－g (－x )＝e －x ＋x 2＋1， 即f (x )＋g (x )＝e －x ＋x 2＋1，∴f (x )＝e x ＋e －x ＋2x 2＋22，g (x )＝e －x －e x2，∴h (x )＝2f (x )－g (x )＝e x ＋e －x ＋2x 2＋2－e －x －e x 2＝32e x ＋12e －x ＋2x 2＋2，∴h ′(x )＝32e x ＋12e －x ·(－1)＋4x ，∴h ′(0)＝32－12＝1.又∵h (0)＝4， ∴切线方程是x －y ＋4＝0.]16．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2(1－x )＋1，－1≤x ＜0，x 3－3x ＋2，0≤x ≤a 的值域是0,2]，则实数a 的取值范围是________．1，3] 函数图象如图所示：∴1≤a≤ 3.]三、解答题(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sin C2＝104.(1)求cos C的值；(2)若△ABC的面积为3154，且sin2A＋sin2B＝1316sin2C，求a，b及c的值.【导学号：85952102】解](1) 因为sinC2＝104，所以cos C＝1－2sin2C2＝－14.4分(2) 因为sin2A＋sin2B＝1316sin2C，由正弦定理得a2＋b2＝1316c2.①6分由余弦定理得a2＋b2＝c2＋2ab cos C，将cos C＝－14代入，得ab＝38c2，②8分由S△ABC＝3154及sin C＝1－cos2C＝154，得ab＝6.③10分由①②③得⎩⎨⎧a＝2，b＝3，c＝4或⎩⎨⎧a＝3，b＝2，c＝4.经检验，满足题意．所以⎩⎨⎧a＝2，b＝3，c＝4或⎩⎨⎧a＝3，b＝2，c＝4.12分18.(本小题满分12分)在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生表2：女生(1)从表2人中恰有1人测评等级为合格的概率；(2)由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.参考数据与公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d. 临界值表：解](1)则m500＝45500＋400，m＝25，∴x＝25－20＝5，y＝20－18＝2.2分表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为：(a，b)，(a，c)，(b，c)，(A，B)，(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)共10种.4分设事件C表示“从表2的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共6种，∴P(C)＝610＝35，故所求概率为35.6分(2)8分∵1－0.9＝0.1，P (K 2≥2.706)＝0.10，而K 2＝45(15×5－15×10)230×15×25×20＝98＝1.125＜2.706，10分∴没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.12分19．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，PD ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，DC ＝2AB ＝2a ，DA ＝3a ，E 为BC 中点．(1)求证：平面PBC ⊥平面PDE ；(2)线段PC 上是否存在一点F ，使P A ∥平面BDF ？若存在，请找出具体位置，并进行证明：若不存在，请分析说明理由．图--【证明】 (1)连接BD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°， AB ＝a ，DA ＝3a ， 所以BD ＝DC ＝2a ，2分 E 为BC 中点， 所以BC ⊥DE .又因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥PD .4分 因为DE ∩PD ＝D ， 所以BC ⊥平面PDE .因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDE.6分(2)当点F位于PC三分之一分点(靠近P点)时，P A∥平面BDF.8分连接AC，BD交于O点，AB∥CD，所以△AOB∽△COD.又因为AB＝12DC，所以AO＝12OC，10分从而在△CP A中，AO＝13AC，而PF＝13PC，所以OF∥P A，而OF⊂平面BDF，P A⊄平面BDF，所以P A∥平面BDF.12分20．(本小题满分12分) (2016·河南八校联考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝83y的焦点．图6(1)求椭圆C的方程；(2)点P(2,3)，Q(2，－3)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值；②当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．解](1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则由题意可知b＝2 3.2分由ca＝12，a2＝c2＋b2，得a＝4.∴椭圆C的方程为x216＋y212＝1.4分(2)①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝12x＋t，5分代入x216＋y212＝1，得x2＋tx＋t2－12＝0.6分由Δ＞0，解得－4＜t＜4.由韦达定理得x 1＋x 2＝－t ，x 1x 2＝t 2－12.四边形APBQ 的面积S ＝12×6×|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝348－3t 2， ∴当t ＝0，S max ＝12 3.8分②由∠APQ ＝∠BPQ ，可知P A ，PB 的斜率之和为0，设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ，P A 的直线方程为y －3＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －3＝k (x －2)，x 216＋y 212＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋8(3－2k )kx ＋4(3－2k )2－48＝0. ∴x 1＋2＝8(2k －3)k 3＋4k 2.9分 同理，PB 的直线方程为y －3＝－k (x －2)，可得x 2＋2＝－8k (－2k －3)3＋4k 2＝8k (2k ＋3)3＋4k 2. ∴x 1＋x 2＝16k 2－123＋4k 2，x 1－x 2＝－48k 3＋4k 2.10分 k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1－2)＋3＋k (x 2－2)－3x 1－x 2 ＝k (x 1＋x 2)－4k x 1－x 2＝12. 所以AB 的斜率为定值12.12分21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln ax －x －a x (a ≠0)．(1)求此函数的单调区间及最值；(2)求证：对于任意正整数n ，均有1＋12＋13＋…＋1n ≥ln e nn ！(e 为自然对数的底数).【导学号：85952103】解] (1)由题意f ′(x )＝x －a x 2.2分当a ＞0时，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，此时函数在(0，a )上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数，f (x )min ＝f (a )＝ln a 2，无最大值.4分当a ＜0时，函数f (x )的定义域为(－∞，0)，此时函数在(－∞，a )上是减函数，在(a,0)上是增函数，f (x )min ＝f (a )＝ln a 2，无最大值. 6分(2)证明：取a ＝1，由(1)知f (x )＝ln x －x －1x ≥f (1)＝0，故1x ≥1－ln x ＝ln e x ，10分取x ＝1,2,3，…，n ，则1＋12＋13＋…＋1n ≥ln e nn ！.12分 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝a (a ＞0)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4，θ＝π2＋φ与曲线C 1分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D .(1)若曲线C 1关于曲线C 2对称，求a 的值，并把曲线C 1和C 2化成直角坐标方程；(2)求|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |的值．解] (1) C 1：(x －1)2＋(y －1)2＝2，C 2：y ＝a .3分因为曲线C 1关于曲线C 2对称，所以a ＝1，C 2：y ＝1.5分(2)|OA |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4，6分 |OB |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π2＝22cos φ，7分 |OC |＝22sin φ，8分|OD |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋3π4＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4，9分 所以|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |＝4 2.10分23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为－1,5]，求实数a ，m 的值；(2)当a ＝2且0≤t ＜2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2)．解] (1)因为|x －a |≤m ，所以 a －m ≤x ≤a ＋m ，3分所以⎩⎨⎧a －m ＝－1，a ＋m ＝5，解得a ＝2，m ＝3.5分(2)a ＝2时等价于|x －2|＋t ≥|x |，6分 当x ≥2时，x －2＋t ≥x ，∵0≤t ＜2，∴舍去；7分当0≤x ＜2时，2－x ＋t ≥x ，∴0≤x ≤t ＋22，成立；8分当x ＜0时，2－x ＋t ≥－x ，成立.9分所以原不等式的解集是 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，t ＋22.10分。

2017年高考仿真原创押题卷(一) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{x|(x＋2)(x－2)≤0}，N＝{x|x－1＜0}，则M∩N＝()A．{x|－2≤x＜1} B.{x|－2≤x≤1}C.{x|－2＜x≤1}D.{x|x＜－2}A M＝{x|(x＋2)(x－2)≤0}＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，则M∩N＝{x|－2≤x＜1}，故选A.]2．设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝()A．3＋3i B.－1＋3iC.3＋iD.－1＋iC复数(1－i)(1＋2i)＝1＋2－i＋2i＝3＋i.故选C.]3．已知函数f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝2x2－1，则f(1)的值为()【导学号：85952090】A．1 B.－1C.2D.－2B函数f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝2x2－1，则f(1)＝－f(－1)＝－(2×12－1)＝－1.故选B.]4．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为()A.5B.2C.3D.2D设M在双曲线x2a2－y2b2＝1的左支上，且MA＝AB＝2a，∠MAB＝120°，则M的坐标为(－2a，3a)，代入双曲线方程可得，4a2a2－3a2b2＝1，可得a＝b，c＝a2＋b2＝2a，即有e＝ca＝ 2.故选D.]5．(2016·黄冈模拟)若a ，b ∈{－1,0,1,2}，则函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 有零点的概率为( )A.1316 B.78 C.34D.58A 法一 显然总的方法总数为16种．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋b ，显然b ∈{－1,0,1,2}时，原函数必有零点，所以有4种取法；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 为二次函数，若f (x )有零点须Δ≥0，即ab ≤1，所以a ，b 取值组成的数对分别为(－1,0)，(1,0)，(2,0)，(－1,1)，(－1，－1)，(1,1)，(1，－1)，(－1,2)，(2，－1)共9种，综上符合条件的概率为9＋416＝1316，故选A.法二 (排除法)总的方法种数为16种，其中原函数若无零点须有a ≠0且Δ<0，即ab >1，所以此时a ，b 取值组成的数对分别为：(1,2)，(2,1)，(2,2)共3种，所以所求有零点的概率为：1－316＝1316，故选A.]6．在北京召开的国际数学家大会会标如图1所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则sin 2 θ－cos 2 θ的值等于( )图1A ．1 B.－725 C.725D.－2425B 依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cos θ－sin θ.∵小正方形的面积是125，∴(cos θ－sin θ)2＝ 125. 又θ为直角三角形中较小的锐角，∴cos θ＞sin θ，∴cos θ－sin θ＝15.又∵(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝125， ∴2cos θsin θ＝2425，∴1＋2sin θcos θ＝4925， 即(cos θ＋sin θ)2＝4925，∴cos θ＋sin θ＝75，∴sin 2 θ－cos 2 θ＝(cos θ＋sin θ)(sin θ－cos θ)＝－15×75＝－725， 故选B.] 7．已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )A ．3 B.－3 C.13D.－13B ∵a ∥b ，∴cos α＋2sin α＝0，∴tan α＝－12， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－3，故选B.]8．下面命题中假命题是( ) A ．∀x ∈R,3x ＞0B ．∃α，β∈R ，使sin (α＋β)＝sin α＋sin βC.∃m ∈R ，使f (x )＝mxm 2＋2是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增 D ．命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1＞3x ” D 对于A ，根据指数函数的性质可知，∀x ∈R,3x ＞0，∴A 正确． 对于B ，当α＝β＝0时，满足sin (α＋β)＝sin α＋sin β＝0，∴B 正确． 对于C ，当m ＝1时，幂函数为f (x )＝x 3，且在(0，＋∞)上单调递增，∴C 正确． 对于D ，命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，∴D 错误．故选D.]9．执行如图2所示的程序框图，则输出的S ＝( )图2A ．1 023 B.512 C.511D.255C 模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是：S ＝20＋21＋22＋23＋…＋28＝1－291－2＝29－1＝511.故选C.]10.如图3，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )图3A ．y 2＝9xB ．y 2＝6x C.y 2＝3x D ．y 2＝3xC 如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知，|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|.∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，∴∠A 1AF ＝60°.连接A 1F ，则△A 1AF 为等边三角形， 过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于N ，则|NF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32， ∴抛物线方程为y 2＝3x .故选C.]11．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图4所示，则该三棱锥的外接球的表面积为( )【导学号：85952091】图4A ．29π B.30π C.29π2D.216πA 由三视图复原几何体，几何体是底面为直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径d ＝42＋22＋32＝29，球的半径R ＝292.该三棱锥的外接球的表面积S ＝4×π×⎝⎛⎭⎪⎫2922＝29π，故选A.]12．(2015·南昌二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(－x )，x ≤0，log 5x ，x ＞0，函数g (x )是周期为2的偶函数，且当x ∈0,1]时，g (x )＝2x －1，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．5 B.6 C.7D.8C 由题意作函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，log 5x ，x ＞0及函数g (x )的图象如下，结合图象可知，函数f (x )与g (x )的图象共有6个交点， 故函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点个数为6， 故选C.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2016·唐山期末)若(x 2＋ax ＋1)6(a ＞0)的展开式中x 2的系数是66，则⎠⎛0a sinx d x 的值为________．1－cos 2 由题意可得(x 2＋ax ＋1)6的展开式中x 2的系数为C 16＋C 26a 2. 故C 16＋C 26a 2＝66，所以a ＝2或a ＝－2(舍去)． 故⎠⎛0a sin x d x ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x)|20＝1－cos 2.] 14．已知p ：－2≤x ≤11，q ：1－3m ≤x ≤3＋m(m ＞0)，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．8，＋∞) 因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的必要不充分条件，即p ⇒q ，但qD ⇒/p ， 即⎩⎨⎧ 1－3m ≤－2，3＋m ≥11，即⎩⎨⎧m ≥1，m ≥8，所以m ≥8.] 15．如图5，菱形ABCD 的边长为1，∠ABC ＝60°，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，则BE →·BF→＝________.图5138 BE →·BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BA →＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋12CD →＝BA →·BC →＋12BA →·CD →＋12AD →·BC →＋14AD →·CD→＝1×1×cos 60°＋12×1×1＋12×1×1＋14×1×1×cos 60°＝32＋18＝138.]16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2c cos B ＝2a ＋b ，△ABC 的面积为S ＝312c ，则ab 的最小值为________.【导学号：85952092】13 在△ABC 中，由条件及正弦定理可得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ＝2sin (B ＋C )＋sin B ，即 2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2sin C cos B ＋sin B ， ∴2sin B cos C ＋sin B ＝0，∴cos C ＝－12，C ＝2π3. 由于△ABC 的面积为S ＝12ab ·sin C ＝34ab ＝312c ， ∴c ＝3ab .再由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ，整理可得9a 2b 2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，当且仅当a ＝b 时，取等号，∴ab ≥13.]三、解答题(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a n ，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解] (1)设{a n }是公比为q 大于1的等比数列， ∵a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列，∴6a 2＝a 3＋4＋a 1＋3，化为6a 1q ＝a 1q 2＋7＋a 1.4分 又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝7. 联立解得a 1＝1，q ＝2. ∴a n ＝2n －1.6分(2)b n ＝ln a n ＝(n －1)ln 2，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝n (n －1)2ln 2.12分18．(本小题满分12分)性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：(单位：名)(1)从这606的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？(2)根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．(精确到0.001)(3)从(1)中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．附：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解] (1)抽样比为660＝110，则样本中喜爱的观众有40×110＝4名；不喜爱的观众有6－4＝2名.4分 (2)假设：观众性别与喜爱乐嘉无关，由已知数据可求得，K 2＝140×(60×20－40×20)280×60×100×40＝224192≈1.167＜5.024.所以不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关.8分(3)记喜爱乐嘉的4名男性观众为a ，b ，c ，d ，不喜爱乐嘉的2名男性观众为1,2，则基本事件分别为：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a,1)，(a,2)，(b ，c )，(b ，d )，(b,1)，(b,2)，(c ，d )，(c,1)，(c,2)，(d,1)，(d,2)，(1,2)．其中选到的两名观众都喜爱乐嘉的事件有6个， 故其概率为P (A )＝615＝0.4.12分19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥BC 1， (2)求证：AC 1∥平面CDB 1； (3)求三棱锥D -AA 1C 1的体积．图--解] (1)证明：∵AC ＝3，AB ＝5，BC ＝4，∴AC ⊥BC. ∵BB 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥CC 1，又BC ∩CC 1＝C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，CC 1⊂平面BCC 1B 1， ∴AC ⊥平面BCC 1B 1.∵BC 1⊂平面BCC 1B 1， ∴AC ⊥BC 1. 4分(2)证明：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE . ∵四边形BCC 1B 1是平行四边形，∴E 是BC 1的中点． ∵D 是AB 的中点，∴DE ∥AC 1.又∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.8分(3)VB -AA 1C 1＝VB -ACC 1＝VC 1-ABC ＝13S △ABC ·CC 1＝13×12×3×4×4＝8. ∵D 是AB 的中点，∴VD -AA 1C 1＝12VB -AA 1C 1＝4.12分20．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，点M 在椭圆上，且满足MF 2⊥x 轴，|MF 1|＝433.(1)求椭圆的方程；(2)若直线y ＝kx ＋2交椭圆于A ，B 两点，求△ABO (O 为坐标原点)面积的最大值.【导学号：85952093】解] (1)由已知得c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2， 得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，因为点M 在第一象限且MF 2⊥x 轴， 可得M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，233c ，由|MF 1|＝4c 2＋43c 2＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.4分 (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋2代入椭圆，可得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0， 由Δ＞0，即144k 2－24(3k 2＋2)＞0， 可得3k 2－2＞0，则有x 1＋x 2＝－12k 2＋3k 2，x 1x 2＝62＋3k 2，所以|x 1－x 2|＝218k 2－123k 2＋2.8分因为直线y ＝kx ＋2与y 轴交点的坐标为(0,2)，所以△OAB 的面积S ＝12×2×|x 1－x 2|＝218k 2－123k 2＋2＝26×(3k 2－2)3k 2＋2.①令3k 2－2＝t ，由①知t ∈(0，＋∞)， 可得S ＝26tt ＋4＝26tt 2＋8t ＋16＝26t ＋16t ＋8≤62， 所以t ＝4时，面积最大为62.12分 21．(本小题满分12分)已知f (x )＝mx ＋1＋n ln x (m ，n 为常数)在x ＝1处的切线为x ＋y －2＝0.(1)求y ＝f (x )的单调区间；(2)若任意实数x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，使得对任意的t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒有f (x )≥t 3－t 2－2at ＋2成立，求实数a 的取值范围．解] (1)f (x )＝m x ＋1＋n ln x 的定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝－m (x ＋1)2＋n x， ∴f ′(1)＝－m 4＋n ＝－1， 把x ＝1代入x ＋y －2＝0可得y ＝1，∴f (1)＝m 2＝1，∴m ＝2，n ＝－12， ∴f (x )＝2x ＋1－12ln x ，f ′(x )＝－2(x ＋1)2－12x. ∵x ＞0，∴f ′(x )＜0，∴f (x )的递减区间是(0，＋∞)，无递增区间.4分(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递减， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上的最小值为f (1)＝1， ∴只需t 3－t 2－2at ＋2≤1，即2a ≥t 2－t ＋1t 对任意的t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立.6分 令g (t )＝t 2－t ＋1t ，则g ′(t )＝2t －1－1t 2＝2t 3－t 2－1t 2. ∵t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴2t 3－t 2－1＝(t －1)(2t 2＋t ＋1)， ∴在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上g (t )单调递减，在1,2]上g (t )单调递增.10分 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝74，g (2)＝52，∴g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是52， ∴只需2a ≥52，即a ≥54，∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞.12分 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t(t 为参数)，两曲线相交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若P (－2，－4)，求|PM |＋|PN |的值．解] (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，求得曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，2分用代入法消去参数求得直线l 的普通方程为x －y －2＝0.5分(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，代入y 2＝4x ，得到t 2－122t ＋48＝0，6分设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，8分则 t 1＋t 2＝122，t 1·t 2＝48，∴|PM |＋|PN |＝|t 1＋t 2|＝12 2.10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ＞1)，且f (x )的最小值为3.(1)求a 的值；(2)若f (x )≤5，求满足条件的x 的集合．解] (1)函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |表示数轴上的x 对应点到4，a 对应点的距离之和，它的最小值为|a －4|＝3，4分再结合a ＞1，可得a ＝7.5分(2)f (x )＝|x －4|＋|x －7|＝⎩⎨⎧ －2x ＋11，x ＜4，3，4≤x ≤7，2x －11，x ＞7.6分 故由f (x )≤5可得⎩⎨⎧ x ＜4，－2x ＋11≤5，① 或⎩⎨⎧ 4≤x ≤7，3≤5，② 或⎩⎨⎧x ＞7，2x －11≤5.③8分 解①求得3≤x ＜4，解②求得4≤x ≤7，解③求得7＜x ≤8，综上，不等式的解集为3,8].10分。

南昌市十所省重点中学2017年二模突破冲刺交流卷（03）高三文科数学2017.3一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．已知集合{}0)3)(32(<-+∈=x x Z x A ，{}x y x B ln 1-==，则=B A （ ）A ．(]e ,0B ．{}e ,0C ．{}2,1D ．)2,1(2．已知复数z 满足i zi21211+=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4B ．i 4C ．4-D ．i 4-3．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为:5:3k ，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种型号产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为（ ）A ．40B ．36C ．30D ．244．设5sinπ=a ，3log2=b ，3241⎪⎭⎫⎝⎛=c ，则（ ）A ．b c a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（ ） A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m ∥n 的一个充分不必要条件是（ ）A ． m ⊥α，n ⊥β，α∥βB ．m ∥α，n ∥β，α∥βC ． m ∥α，n ⊥β，α⊥βD ．m ⊥α，n ⊥β，α⊥β7．我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如左下程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数）．若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为（ ）A ．3.119B ．3.126C ．3.132D ． 3.151（第7题图） （第8题图）8．某几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积为( )A ．32 B ．34 C ．2 D ．38 9．函数)3sin(2)(ϕ+=x x f 的图像向右平移动12π个单位，得到的图像关于y 轴对称，则||ϕ的最小值为（ ） A ．12π B ．4π C ．3πD ．125π 10．若2sinsin (i)777n n S πππ=+++（n N +∈），则在122017,,,S S S 中，值为零的个数是（ ）A ．143B ．144C ．287D ．28811．设R m ∈，实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥.0623,0632,y x y x m y ，若182≤+y x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．33m -≤≤B ．66m -≤≤C ．36m -≤≤D ．60m -≤≤12．设函数⎭⎬⎫⎩⎨⎧=x e x x x x f 2,ln min )(（{}b a ,m in 表示b a ,中的较小者），则函数)(x f 的最大值为( )A ． 24eB ．2ln 2C ．e1D ．2ln 23二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点和点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点M 坐标为(-，则tan()4πα+= ．14．在菱形ABCD 中，60,2=∠=A AB ,M 为BC 中点，则=⋅ ．15．已知21,F F 分别是双曲线14922=-y x 的左、右焦点，A 为双曲线右支上一点，且12OP OA OF =+，22OQ OA OF =+,= ________．16．如右图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）已知ABC ∆中,A,B,C 的对边分别是a ，b ，c ，且B Bsin 32cos 22=，3a c = （1）分别求角B 和tan C 的值； （2）若1b =，求ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m 3）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2017年1月某日某省x 个监测点数据统计如下：（单位：（1x ，y 的值，并完成频率分布直方图；（2）若A 市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A “其中至少有一个为良”发生的概率是多少？（μg/m 3）19．（本小题满分12分）四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 为正方形，211===D A AA AD ,H 为AD 中点，且BD H A ⊥1．（1）证明1AA AB ⊥；（2）求点C 到平面BD A 1的距离．20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为33，联接椭圆四个顶点的四边形面积为62．（1）求椭圆C 的方程；（2）B A 、是椭圆的左右顶点，),(P P y x P 是椭圆上任意一点，椭圆在P 点处的切线与过B A 、且与x 轴垂直的直线分别交于D C 、两点，直线BC AD 、交于),(Q Q y x Q ,是否存在实数λ，使Q P x x λ=恒成立，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()ln a f x x b x =-+，其中,a b R ∈且2a >，若(2)ln 212ef =-+，()f x 在(1,(1))f 处切线的斜率为1e --．（1）求函数()f x 的解析式及其单调区间；（2）若实数,c d 满足cd λ=，且()()f c f d <对于任意c d >恒成立，求实数λ的取值范围．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为)(sin 4cos 3为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=y x ．以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线3)cos (sin 2=-θθρk C ：，k 为实数． （1）求曲线1C 的普通方程及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线2C 上，从点P 向1C 作切线，切线长的最小值为22，求实数k 的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数)92ln()(-++-=a x x x f ． （1）当3=a 时，求函数)(x f 的定义域；（2）若函数)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围．高三数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 132 14．1- 15．3 16三、解答题：本大题共6个题，共70分． 17．解：（1）22cos2BB =，1cos B B ∴+=1sin cos )122B B ∴-= 即：1sin()62B π-= 所以66B ππ-=或56π（舍），即3B π=…………………………………………………………3分 3a c =，根据正弦定理可得：sin 3sin A C =sin()sin B C A +=,∴sin()3sin 3C C π+=5sin 2C C = tan 5C ∴=………………………………………………………………………………………6分 （2）3B π=∴1sin 22B B == 根据余弦定理及题设可得：2222cos 131cos 2b a c ac Bb a cB ⎧=+-⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩解得：773,77==a c …………………………………………9分∴1sin 2ABC S ac B ∆===分 18．解：（1）150.00350100x x⨯=∴=15401010035y y +++=∴=……………………2分组距由于400.00810050=⨯，350.00710050=⨯，100.00210050=⨯，则频率分布直方图如右图所示，…………………5分（2）设A 市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为 1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4,5, 从中任取2个的基本事件分别为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种，……………………………… 8分 其中事件A“其中至少有一个为良”包含的 基本事件为(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共7种，…………………………………………………10分所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是7()10P A =．……………………………… 12分 19．解：（1）等边AD A 1∆中, H 为AD 中点,∴AD H A ⊥1又BD H A ⊥1,且D BD AD =ABCD H A 面⊥∴1AB H A ⊥∴1……………………………………………………3分在正方形ABCD 中，AB AD ⊥H AD H A = 111A ADD AB 面⊥∴∴1AA AB ⊥……………………………………………………6分(2) BD A 1∆中，22,22,211===B A BD D A ,71=∴∆BD A S由(1)知, ABCD H A 面⊥13323111=⨯=∴-H A s V BCD BCD A ……………………………………………………9分 等体积法可得3327313111=⨯=⨯=∴-d d s V BD A BD A C 点C 到平面BD A 1的距离为7212=d ．…………………………………………………12分 20．解：（1）由题意33==a c e ，622=ab 解得2,3==b a ，故椭圆C 的方程为12322=+y x ．……………………………4分 （2）设切线方程为m kx y +=，与椭圆联立消元得0636)32(222=-+++m kmx x k相切，0)63)(32(4362222=-+-=∆∴m k m k化简得2232k m +=…………………………………………………6分 且mkk km x P 3)32(262-=+-=………………………………………8分 又直线AD 方程为)3(323++=x km y直线BC 方程为)3(323---=x km y解得3Q kx m=-……………………………………………………10分 ∴存在1λ=，使Q P x x λ=恒成立．………………………………12分21．解：1）由于2a >且(2)ln 212e f =-+，则122a eb +=+， 当1x =时，()ln a f x x b x =-+，即21'()a f x x x=--， 故'(1)11f a e =--=--，即a e =，1b =， 因此()ln 1ef x x x=-+．………………………………………………………………………………3分 令()ln e g x x x =-，则21'()0eg x x x=+>，即()g x 在(0,)+∞上单调递增， 由于()0g e =，则0,ln 1()ln 1,ln 1e x e x e xf x x e x x e x x ⎧<<-+⎪⎪=-+=⎨⎪>-+⎪⎩，故当0x e <<时，()ln 1ef x x x=-+，'()'()0f x g x =-<，()f x 单调递减； 当x e >时，()ln 1ef x x x=-+，'()'()0f x g x =>，()f x 单调递增． 因此()f x 的单调递减区间为(0,)e ，()f x 的单调递增区间为(,)e +∞．…………………………6分 （2）当2(,)λe ∈+∞时，取d e =，则λc e d=>， 由于()f x 在(,)e +∞上单调递增，则()()f d f c <，不合题意，故舍去；………………………8分 当2(0,]λe ∈时，由抽屉原理可知d e <≤，则()ln 1ef d d d=-+， 若c e ≤，由于()f x 在(0,)e 上单调递减，则()()f c f d <成立； 若c e >，λc d =，则()ln 1ln ln 1e edf d c λd c λ=-+=--+，故()()ln e ed f c f d λd λ-=+-， 由于2(0,]λe ∈，则ln 2λ≤，ed dλe≥（当且仅当2λe =时取“=”）故()()220e d f c f d d e -≥+-≥=（当且仅当d e =时取“=”） 由于d e <，故上式无法取“=”，因此()()f c f d <恒成立，2(0,]λe ∈．…………………………………………………………12分22．解：（1）曲线1C 的普通方程为1)4()3(22=-+-y x ，曲线2C 的直角坐标方程3+=kx y …………………………………………………………………5分 （2）切线长的最小值为22即圆心1C 到直线2C 的距离为3313432=++-=∴k k d解得34-=k …………………………………………………………………………………………10分23．解：（1）当3=a 时，932>++-x x由绝对值的几何意义可得∈x (,5)(4,)-∞-+∞……………………………………………5分（2）由题意92>++-a x x 恒成立2)(22+=+--≥++-a a x x a x x 92>+∴a解得7>a 或11-<a ．………………………………………………………………………10分。

专题二 函数的图象与性质题型一| 函数及其表示(1)(2016·苏锡常镇调研(二))函数f (x )＝ln (2x －x 2)x －1的定义域为________．(2)(2016·苏州模拟)已知实数m ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x ＞2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．(1)(0,1)∪(1,2) (2)8或－83 [(1)要使函数有意义，只需⎩⎨⎧2x －x 2＞0，x －1≠0，解得0＜x ＜1或1＜x ＜2，即原函数的定义域为(0,1)∪(1,2)． (2)当m ＞0时，2－m ＜2＜2＋m ，由f (2－m )＝f (2＋m )得3(2－m )－m ＝－(2＋m )－2m ， 解得m ＝8.当m ＜0时，2＋m ＜2＜2－m ，由f (2－m )＝f (2＋m )得－(2－m )－2m ＝3(2＋m )－m ， 解得m ＝－83. 综上所述m ＝8或－83.]【名师点评】 1.对于分段函数求值，应注意依据条件准确地找出利用哪一段求解．2．若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可．(2016·无锡期中)定义在R上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧log 2(3－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，则f (11)＝________. 2 [f (11)＝f (10)－f (9)＝f (9)－f (8)－f (9)＝－f (8)， f (8)＝f (7)－f (6)＝f (6)－f (5)－f (6)＝－f (5)， f (5)＝f (4)－f (3)＝f (3)－f (2)－f (3)＝－f (2)， f (2)＝f (1)－f (0)＝f (0)－f (－1)－f (0)＝－f (－1)， ∴f (11)＝f (－1)＝log 2(3＋1)＝log 24＝2.]题型二| 函数的图象及其应用(1)已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (2－x )≤f (1)的解集为________．(2)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．【导学号：91632003】[解题指导] (1)作出f (x )的图象，根据图象转化为关于x 的不等式． (2)在同一坐标系中，分别作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象，将方程根的个数问题转化为两图象交点的个数问题求解．(1)[－1，＋∞) (2)(0,1)∪(9，＋∞) [(1)函数y ＝f (x )的图象如图，由不等式f (2－x )≤f (1)知，2－x ≤2＋1，从而得到不等式f (2－x )≤f (1)的解集为[－1，＋∞)．(2)设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎨⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同解．消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根， 所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0， 解得a <1或a >9.又由图象得a >0，所以0<a <1或a >9.]【名师点评】 1.识图：在观察、分析图象时，要注意图象的分布及变化趋势，尤其是函数的奇偶性以及极值点、特殊点的函数值等，找准解析式与图象的对应关系.2.用图：函数图象形象地展示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，因此常用函数的图象研究函数的性质，求解方程(不等式)中的参数取值等.1．设函数y ＝f (x )是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1)时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎨⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0，则函数f (x )和g (x )的图象在区间[－5,10]内公共点的个数为________． 14 [根据题意可在同一坐标平面内分别作出函数y ＝f (x )和函数y ＝g (x )的图象，如图所示，可见它们在区间[－5,10]内公共点的个数为14个．] 2．函数y ＝12－x的图象与函数y ＝sin π2x (－4≤x ≤8)的图象所有交点的横坐标之和等于________．16 [函数y ＝12－x与函数y ＝sin π2x (－4≤x ≤8)的图象有公共的对称中心(2,0)，画出两者的图象如图所示，易知y ＝12－x 与y ＝sin π2x (－4≤x ≤8)的图象共有8个交点，不妨设其横坐标为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，且x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7<x 8，由对称性得x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝4，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋x 8＝16.]题型三| 函数的性质及其应用(1)(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．(2)(2016·苏锡常镇调研(二))已知函数f (x )＝x 3＋2x ，若f (1)＋f (log 1a 3)＞0(a ＞0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．【导学号：91632004】[解题指导](1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92――――――――――→周期为2，f (x )在[－1，1)上已知建立a 的等量关系―→求a ―→求f (5a )(2)f (x )＝x 3＋2x――→奇偶性f (x )为奇函数――――――――→f (1)＋f (log 1a3)＞0f (log a 3)＜f (1)――→f (x )的单调性建立log a 3与1的不等关系――→解对数不等式求a 的取值范围(1)－25 (2)(0,1)∪(3，＋∞) [(1)∵函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，得－12＋a ＝110，解得a ＝35.∴f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. (2)∵f (x )＝x 3＋2x ，∴f (－x )＝－x 3－2x ＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数，∴f (1)＋f (log 1a 3)＞0等价于f (1)＞f (log a 3)． 又f ′(x )＝3x 2＋2＞0，∴f (x )在R 上单调递增， ∴log a 3＜1，当a ＞1时，由log a 3＜1得a ＞3， 当0＜a ＜1时，由log a 3＜1得0＜a ＜1. 综上可知，a ∈(0,1)∪(3，＋∞)．]【名师点评】 1.应用函数周期性和奇偶性求值的关键是借助函数的性质将待求函数值的自变量向已知函数的定义域进行转化.2.关于周期性的常用结论,若对于函数f (x )的定义域内任意一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f (x ) 或f (x ＋a )＝－1f (x )(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是以2a 为一个周期的周期函数.1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x－k ，x ≤0，(1－k )x ＋k ，x ＞0是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 [由f (x )为R 上的增函数，则f (x )在(0，＋∞)上为增函数，1－k ＞0，k ＜1.同时，k ≥e 0－k ＝1－k ，即k ≥12，从而k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.]2．(2016·南京三模)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤2的解集是________．[－1,3] [∵f (x )是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x －2，∴f (x )＝2|x |－2.由f (x )≤2得2|x |－2≤2，即2|x |≤4，解得－2≤x ≤2.故由f (x －1)≤2得－1≤x ≤3，即不等式f (x －1)≤2的解集为[－1,3]．]命题展望函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，综合应用函数的性质解题是高考考查的重点内容之一.纵观江苏省近五年高考，我们可以发现以分段函数为载体的函数性质问题，是每年的必考题.(2012·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．－10 [因为f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．①又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22， 即b ＝－2a.②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.] [阅卷心语]易错提示 (1)对周期函数的定义理解不到位，找不到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32的计算方式；(2)找不出f (－1)与f (1)的关系.防范措施 (1)可借助f (x ＋T )＝f (x )间的关系，把自变量的值实现区域转化； (2)要注意函数特殊点(或特殊位置)的函数值.1．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.1 [函数的周期是2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，根据题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.] 2．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t <2f (1)时，那么t 的取值范围是________．【导学号：91632005】⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e [因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ＝f (－ln t )＝f (ln t )＝f (|ln t |)．由f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t <2f (1)⇒2f (ln t )<2f (1)⇒f (|ln t |)<f (1)⇒|ln t |<1⇒－1<ln t <1⇒1e<t <e.]3．(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为________．(－5,0)∪(5，＋∞) [设x ＜0，则－x ＞0，于是f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，由于f (x )是R 上的奇函数，所以－f (x )＝x 2＋4x ，即f (x )＝－x 2－4x ，且f (0)＝0，于是f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.当x ＞0时，由x 2－4x ＞x ，得x ＞5；当x ＜0时，由－x 2－4x ＞x ，得－5＜x ＜0，故不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．]。

1．在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则DA ＝ CDA ＝CB ＝AB －AC ＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．] 2．(2016· 河北联考)在等腰梯形 ABCD 中，AB ＝－2CD ，M 为 BC 的中点，则AM A.2AB ＋2AD B.4AB ＋2AD C.4AB ＋4ADD.2AB ＋4ADB 因为AB ＝－2CD ，所以AB ＝2DC.又 M 是 BC 的中点，所以AM ＝2(AB＋AC)＝2(AB ＋AD ＋DC)＝2(AB ＋AD ＋2AB)＝4AB ＋2AD ，故选 B.]3．已知向量BA ＝ ，⎪，BC ＝ ，2⎪，则∠ABC ＝( )⎪，BC ＝ ，2⎪，所以BA · BC ＝ 4 ＋ 4 ＝ 2 .又因为BA · BC⎝2 2 ⎭ ⎝ 2 ＝|BA||BC|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以 cos ∠ABC ＝ 3.又 0°≤∠ABC ≤180°，4．(2016· 武汉模拟)将OA ＝(1,1)绕原点 O 逆时针方向旋转 60°得到OB ，则OB ＝ 专题限时集训 (三)平面向量建议 A 、B 组各用时：45 分钟]A 组 高考达标]一、选择题→ → →()A ．(2,4) B.(3,5)C.(1,1)D.(－1，－1)→ → → →→ → →＝()1 → 1 →3 → 1 → 3 → 1 →1 → 3 →→ → → → → 1 → →1 → → → 1 → → 1 → 3 → 1 →→ ⎛1 3⎫ → ⎛ 3 1⎫ ⎝2 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭A ．30°C.60°B.45°D .120°→ ⎛1 3⎫ → ⎛ 3 1⎫ → → 3 3 3 → → A因为BA ＝ ，⎭2所以∠ABC ＝30°.故选 A.]→ → →()2 ⎪⎝2 ⎭ 2 ⎪ ⎝ 2⎭ C. ， ⎪D. ， ⎪22 2 2 A由题意可得OB的横坐标 x ＝ 2cos(60°＋45°)＝ 2 － 4 2 ，纵坐⎝ 4 标 y ＝ 2sin(60°＋45°)＝ 2＋ 4 ⎛ 6 2⎫ 1＋ 3 → ⎛1－ 3 1＋ 3⎫ 2 ，则OB ＝2 ⎪，故选 A.] ⎝ 4 ⎝ 2 ⎭ ．△5 ABC 外接圆的半径等于 1，其圆心 O 满足AO ＝2(AB＋AC)，|AO|＝|AC|， 则向量BA在BC 方向上的投影等于(C 由AO ＝2(AB ＋AC)可知 O 是 BC 的中点，即 BC 为外接圆的直径，所以|OA|＝|OB|＝|OC|.又因为|AO|＝|AC|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC ＝60°，由 圆周角定理可知∠ABC ＝30°，且|AB|＝ 3，所以BA 在BC 方向上的投影为|BA |· c os ∠ 1 → → ⎛1－ 3 1＋ 3⎫ A. ，⎛－1－ 3 －1＋ 3⎫⎝ ⎭ ⎛1＋ 3 1－ 3⎫B. ，⎛－1＋ 3 －1－ 3⎫⎝⎭→ ⎛ 2 6⎫ 1－ 3 ⎪＝ ⎭⎪＝ ， ⎭→ 1 → → → →→ →)【导学号：85952018】3A ．－ 23 C.23 B. 2D.3→ →→ → → →→ → → →3ABC ＝ 3×cos 30°＝2，故选 C.]二、填空题6．在如图 3-2 所示的方格纸中，向量 a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方x形顶点)上，若 c 与 x a ＋y b (x ，y 为非零实数)共线，则y 的值为________．图 3-2e －y)e 1＋λ(x －2y)e 2，∴⎨⎪⎩y ＝ 5 ，7．已知向量AB 与AC 的夹角为 120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数 λ 的值为________． 7 → → → →∵AP ⊥BC ，∴AP · B C ＝0，∴(λAB ＋AC )· B C ＝0， 即(λAB ＋AC )· (AC －AB)＝λAB · A C －λAB 2＋AC 2－AC · A B ＝0. ∵向量AB 与AC 的夹角为 120°，|AB|＝3，|AC|＝2， 8．(2016· 湖北七州联考)已知点 O 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心，则OB · O C－ ∵△ABC 是正三角形，O 是其中心，其边长 AB ＝BC ＝AC ＝1，∴AO 是∠BAC 的平分线，且 AO ＝ 3 ，∴OB · OC ＝(AB －AO )· (AC －AO)＝AB · AC －AO · AC－⎛ 3⎫29．设向量 a ＝( 3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x ∈⎢0，2⎥. ⎝ 3 ⎭⎤ 65设 e 1，2 为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量 c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与 x a ＋y b 共线，得 c ＝λ(x a ＋y b )，∴e 1－2e 2＝2λ(x⎧λ(2x －2y )＝1， ⎩λ(x －2y )＝－2，∴ ⎧⎪x ＝3， ⎨ λ2λx 6 则y 的值为5.]→ → → → → → → →→12→ → →→ → → → → → → → → →→ → → →7 ∴(λ－1)×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得 λ＝12.]→ →＝__________.163 → → → → → → → → → →→ → → 3 3 1 AO · AB ＋AO 2＝1×1×cos 60°－ 3 ×1×cos 30°－ 3 ×1×cos 30°＋ ⎪ ＝－6.]三、解答题⎡ π ⎣ ⎦(1)若|a|＝|b|，求 x 的值；(2)设函数 f(x)＝a·b ，求 f(x)的最大值．解] (1)由|a |2＝( 3sin x)2＋(sin x)2＝4sin 2 x ，|b |2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，又 x ∈⎢0，2⎥，从而 sin x ＝ ，2＝sin 2x －6⎪＋2，9 分当 x ＝3∈⎢0，2⎥时，sin 2x －6⎪取最大值 1.．在△10 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 a >c.已知BA · B C ＝解](1)由BA · B C ＝2 得 cacos B ＝2.1 分 π⎤ (2)在△ABC 中，sin B ＝ 1－cos 2 B ＝⎛1⎫ ⎝ ⎭⎪ ＝ 及|a |＝|b |，得 4sin 2x ＝1.4 分⎡ π⎤ 1 ⎣ ⎦π所以 x ＝6.6 分(2)f(x)＝a·b ＝ 3sin x ·cos x ＋sin 2 x3 1 1 ＝ 2 sin 2x －2cos 2x ＋2⎛ π⎫ 1 ⎝ ⎭π ⎡ ⎛ π⎫ ⎣ ⎦ ⎝ ⎭3所以 f(x)的最大值为2.12 分→ →12，cos B ＝3，b ＝3.求：(1)a 和 c 的值；(2)cos(B －C)的值．→ →1因为 cos B ＝3，所以 ac ＝6.2 分由余弦定理，得 a 2＋c 2＝b 2＋2accos B.又 b ＝3，所以 a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.⎧ac ＝6， 解⎨⎩a 2＋c 2＝13，得 a ＝2，c ＝3 或 a ＝3，c ＝2.4 分因为 a >c ，所以 a ＝3，c ＝2.6 分2 21－ 3⎪2＝ 3 ，7 分c 2 2 2 4 2由正弦定理，得 sin C ＝b sin B ＝3× 3 ＝ 9 .8 分因为 a ＝b >c ，所以 C 为锐角，因此 cos C ＝ 1－sin 2 C ＝1－⎛4 2⎫2 7.10⎝ 9 ⎭ 9分AB交于点D，若OC＝λOA＋μOB(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( B由题意可得OD＝k OC＝kλOA＋kμOB(0<k<1)，又A，D，B三点共线可得kλ3．如图3-3，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·F E等A．－48 B.－917224223于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝3×9＋3×9＝27.12分B组名校冲刺]一、选择题1．(2016·石家庄一模)已知A，B，C是圆O上的不同的三点，线段CO与线段→→→)A．(0,1) C.(1，2]B.(1，＋∞)D.(－1,0)→→→→1＋kμ＝1，则λ＋μ＝k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.]12．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝3，若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为()A．4 9C.4B.－49 D.－4B∵n⊥(tm＋n)，∴n·(t m＋n)＝0，即t m·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.31又4|m|＝3|n|，∴t×4|n|2×3＋|n|2＝0，解得t＝－4.故选B.]→→→→于()图3-33C.－44D.－9B∵BF ＝2FO ，圆 O 的半径为 1， ∴FD · FE ＝(FO ＋OD )· (FO ＋OE)＝FO 2＋FO · (OE ＋OD)＋OD · OE ＝ 3⎪2＋0－1＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量 m ＝ 2，4⎪，n ＝ 6，0⎪，点 P 在 y ＝cos x 的图象上运动， 点 Q 在 y ＝f(x)的图象上运动，且满足OQ ＝m ⊗OP ＋n (其中 O 为坐标原点)，则 y ＝f(x) 在区间⎢6，3⎥上的最大值是()Q 点的坐标为(x ，y)，则OQ ＝m ⊗OP ＋n ⇒(x ，y)＝ 2，4⎪⊗(x 0，cos x 0)＋ 6，0⎪⇒(x ，⎧⎪ x ＝2x 0＋6， ⎪⎩y ＝4cos x ， 1 π ⎝2x 0＋6，4cos x 0⎭ ⎧⎪ x ＝2 x －6⎪， 即⎨ 0 ⎪⎩y ＝4cos x ⇒y ＝4cos 2x －3⎪，2x －3⎪，⎛ π⎫ 即 f(x)＝4cos 当 x ∈⎢6，3⎥时， 2x －3⎪≤1⇒2≤4cos2x －3⎪≤4， 所以2≤cos 1 ⎛ ⎛ π⎫ 所以函数 y ＝f(x)在区间⎢6，3⎥上的最大值是 4，故选 A.] 1→ →→ 1 ∴|FO|＝3，→ → → → → → → → → → → → ⎛1⎫ ⎝ ⎭8＝－9.]4．设向量 a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)⎛1 ⎫ ⎛π ⎫ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭→⎡π π⎤ ⎣ ⎦【导学号：85952019】A ．4C.2 2 B.2D.2 3A 因为点 P 在 y ＝cos x 的图象上运动，所以设点 P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设→ → ⎛1 ⎫ ⎛π ⎫ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭1 π ⎛ ⎫y)＝ ⎪⇒⎨⎛ π⎫ ⎝ ⎭ 0⎛ π⎫ ⎝ ⎭⎝ ⎭⎡π π⎤ ⎣ ⎦π π π 2π π π由6≤x ≤3⇒3≤2x ≤ 3 ⇒0≤2x －3≤3，⎝ ⎭⎝ ⎭⎡π π⎤ ⎣ ⎦二、填空题→与AC满足AB＋AC⎪·B C＝0,且|AB－AC|＝23，点D是⎛→→⎫6．已知非零向量AB⎝|AB||AC|⎭△ABC中BC边的中点，则AB·B D＝________.⎛AB AC⎫⎪→＋－3由→→⎪·B C＝0得BC与∠A的角平分线所在的向量垂直，所以AB＝AC，BC⊥AD.又|AB－AC|＝23，所以|CB|＝23，所以|BD|＝3，AB·B D＝－BA·B D＝－|BD|2＝－3.]7．已知向量a＝ 2sin ωx＋3⎪，0⎪，b＝(2cosωx,3)(ω>0)，函数f(x)＝a·b的图解](1)因为向量a＝ 2sin ωx＋3⎪，0⎪，b＝(2cosωx，3)(ω>0)，所以函数f(x)a|⎛ωx＋2π⎫⎪cosωx＝4 sinωx·⎛ －⎫⎪＋cosωx·3⎭⎝2⎭＝a·b＝4sin ⎪cosωx＝23·c os2ωx－2sin ωx cosωx＝3(1＋cos2ωx)－sin2ωx＝2cos 2ωx＋6⎪＋3，4分π5．(2016·广州二模)已知平面向量a与b的夹角为3，＝(1，3)，a－2b|＝23，则|b|＝__________.2由题意得|a|＝12＋(3)2＝2，则|a－2b|2＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＋4|b|2＝π22－4×2cos3|b|＋4|b|2＝12，解得|b|＝2(负舍)．]→→→→→→⎪→→→→→⎝|AB||AC|⎭→→→→→→→→→→→三、解答题⎛⎛2π⎫⎫⎝⎝⎭⎭象与直线y＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求ω的值；(2)求函数f(x)在0,2π]上的单调递增区间．⎛⎛2π⎫⎫⎝⎝⎭⎭⎝⎝⎛13⎫2⎭⎛π⎫⎝⎭由题意可知f(x)的最小正周期为T＝π，2π所以2ω＝π，即ω＝1.6分(2)易知 f(x)＝2cos 2x ＋6⎪＋ 3，当 x ∈0,2π]时，2x ＋6∈⎢6，4π＋6⎥，8 分所以函数 f(x)的单调递增区间为⎢12， 12 ⎥和⎢ 12 ， 12 ⎥.12 分．已知△8 ABC 的周长为 6，|BC|，|CA|，|AB|成等比数列，求：(2)BA · B C 的取值范围． 解] 设|BC|，|CA|，|AB|依次为 a ，b ，c ，则 a ＋b ＋c ＝6，b 2＝ac.2 分 (2)BA · B C ＝accos B ＝ ＝ ＝ ＝－(b ＋3)2 ∵0＜b ≤2，∴2≤BA · B C ＜18， 即BA · B C 的取值范围是 2,18).12 分⎛ π⎫ π ⎡π π⎤ ⎝ ⎭ ⎣ ⎦π π故 2x ＋6∈π，2π]或 2x ＋6∈3π，4π]时，函数 f(x)单调递增，10 分⎡5π 11π⎤ ⎡17π 23π⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦→ → →(1)△ABC 面积 S 的最大值；→ →→ → →在△ABC 中，cos B ＝a 2＋c 2－b 2 a 2＋c 2－ac 2ac －ac 1 π2ac ＝ 2ac ≥ 2ac ＝2，故有 0＜B ≤3，4分a ＋c 6－b又 b ＝ ac ≤ 2 ＝ 2 ，从而 0＜b ≤2.6 分1 1 1 π π (1)S ＝2acsin B ＝2b 2sin B ≤2·22·sin 3＝ 3，当且仅当 a ＝c ，且 B ＝3，即△ABC 为等边三角形时面积最大，即 S max ＝ 3.8 分→ →a 2＋c 2－b 2 (a ＋c )2－2ac －b 2 (6－b )2－3b 2 22 2＋27.10 分→ →→ →。