高二数学演绎推理1

《演绎推理》疑难点拨一、演绎推理的概念及特点1.概念从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理我们称之为演绎推理.简言之，是由一般到特殊的推理.例如：一切奇数都不能被2整除，99是奇数，所以99不能被2整除.这个推理先从“一切奇数都不能被2整除”这个一般性原理出发，得到“99这个奇数不能被2整除”这一特殊情况下的结论.2.特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理；(2)演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以前提和结论的联系是必然的.只要前提和推理形式正确，结论就必然正确.例1(★★☆)下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A.两条直线平行，同旁内角互补，由此若1,2∠∠是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则°12=180∠+∠B.某校高三（1)班有55人,高三（2)班有54人，高三（3)班有52人，由此得出该校高三所有班都超过50人C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质D.在数列{}n a 中，111111,2n n n a a a a --⎛⎫==+ ⎪⎝⎭()2,,n n N *≥∈由此归纳出{}n a 的通项公式二、“三段论”的一般模式1.大前提：已知的一般原理，例如数学中的公理、定理、性质等,物理中的定律、性质等.凡是经过实践检验是正确的命题都可以当作大前提；2.小前提:所研究的特殊情况，即在大前提范围内的某个特殊情形；3.结论:根据一般原理，对特殊情况作出的判断.“三段论”的具体形式为：大前提：M 是;P小前提:S 是;M结论:S 是.P例2(★★☆)用三段论的形式写出下列演绎推理.(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直；(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等,所以若两个角不相等,则这两个角不是对顶角；(3)0.332•是有理数；(4)()sin y x x R =∈是周期函数.三、合情推理与演绎推理的区别与联系归纳和类比是常用的合情推理.从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理,类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验,也需要辨别它们的真伪,或将积累的知识加工、整理，使之条理化、系统化.合情推理和演绎推理在这些环节中扮演着重要角色.就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理.因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想.合情推理与演绎推理的区别与联系如下表:例3(★★☆)看下面一段发现数学公式的过程，指出各自运用了哪种推理方式.公式：()()()22221123121.6S n n n n n =+++⋅⋅⋅+=++ 1)首先列表计算、观察:运用_____推理;(2)从上表中的数据没有找到明显的规律，于是联想自然数之和公式:()()111231,2S n n n n =+++⋅⋅⋅+=+两者能否有关系呢？ 运用_____推理；(3)再列表计算、对比:运用_____推理;(4)从上表中的数据没有看到明显的规律,再进一步列表计算：运用_____推理；(5)从上表发现了规律:()()121,3S n n S n += 于是猜想:()()()121,6n n n S n ++=运用_____推理. 解题导引参考答案例1.答案：A解析：两条直线平行，同旁内角互补，1,2∠∠是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以可推出乙°12=180∠+∠,故A 是演绎推理，而B ，D 是归纳推理，C 是类比推理.故选A.导师点睛 对于演绎推理的判断一定严格按照定义，由一般到特殊进行判断. 例2.答案：见解析解析：（1)菱形的对角线相互垂直,（大前提）正方形是菱形，（小前提）正方形的对角线相互垂直.(结论）(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等，（大前提）两个角不相等，（小前提）则这两个角不是对顶角.(结论）(3)所有的循环小数都是有理数，（大前提）0.332•是循环小数，（小前提） 0.332•是有理数.（结论）(4)三角函数是周期函数，（大前提）()sin y x x R =∈是三角函数，（小前提） ()sin y x x R =∈是周期函数.(结论）导师点睛 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略,在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.例3.答案：见解析解析：⑴演绎（2)类比（3)演绎（4)演绎（5)归纳导师点睛 合情推理离不开演绎推理，合情推理活动的目的、任务和方向必须借助于理论思维，依靠人们先前积累的一般性理论知识作指导，这本身就是一种演绎活动.并且合情推理得到的结论正确与否，必须借助于演绎推理去论证，从这个意义上说，没有演绎推理也就没有合情推理.。

课题：演绎推理主备人：刘玲 领导签字【学习目标】理解演绎推理的意义，演绎推理与合情推理的区别与联系，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行简单的推理【学习重点】三种推理模式【学习难点】三段论推理【自主学习】1.演绎推理的定义：2.演绎推理的特征：3.演绎推理与合情推理的区别与联系：4.演绎推理的主要模式：（1）（2）（3）【自主测评】1.（1）矩形是平行四边形，（2）三角形不是平行四边形，（3）所以三角形不是平行四边形。

中的小前提是2.已知ABC ∆中，求证：，，。

6030==B A b a < 证明： 因为 ==B A 所以B A < 所以b a < 上述证明过程中划线部分是演绎推理的（ ）A 大前提B 小前提C 结论D 三段论3.下列推理的结论是否正确，为什么？ 对于任意的ab b a R b a ≥+∈2,,有，因为()32,31231,3,1≥--∙-≥--∈--即所以R 4.运用完全归纳推理证明：()1258+-+-=x x x x x f 的值恒为正数【合作探究】例1.将下列演绎推理写成三段论的形式（1）菱形的对角线相互平分（2）通项公式为()223≥+=n n a n 的数列{}n a 为等差数列（3）向量既有大小又有方向，0是向量，故0有大小和方向例2已知函数()x bx ax x f 323-+=在1±=x 处取得极值（1）求函数表达式（2）求证：对于[]1,1-上任意两个自变量的值21,x x ，都有()()421≤-x f x f例3.数列{}n a 的前n 项和为1,12==a a n S n n ，通过计算432,,a a a ，归纳出这个数列的通项公式，并证明你的结论【达标检测】（1）下列有关推理“所有9的倍数都是3的倍数，m 是9的倍数，所以m 是3的倍数”的说法中正确的是（ ） A 大前提错误 B 小前提错误 C 结论错误 D 推理正确（2）不等式a a x x 3132-≥-++对任意实数恒成立，则a 的取值范围是( )（3）用三段论证明()()R x x x x f ∈+=sin 3为奇函数【选作】已知函数()321121x x f x ∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= （1）判断()x f 的奇偶性（2）证明：()0>x f。

演绎推理1．演绎推理【知识点的认识】1．演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊命题为真的推理，叫做演绎推理．规则符号表示为：若p⇒q，p 为真，则q 为真．*演绎推理是一种收敛性的思维方法，只要前提为真，推理形式正确，结论必正确，前提和结论之间存在必然关系，因此演绎推理是数学中严格证明的工具．2．三段论推理：是演绎推理的一般模式．可表示为：若b⇒c，而a⇒b，则a⇒c三段论包括三要素：（1）大前提：已知的一般原理（2）小前提：所研究的特殊情况（3）结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．演绎推理（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；（2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；（3）演绎推理是一种收敛性的思维方法，只要前提为真，推理形式正确，结论必正确，前提和结论之间存在必然关系，因此演绎推理是数学中严格证明的工具．（4）模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：“三段论”的结①大前提﹣﹣已知的一般原理；构②小前提﹣﹣所研究的特殊情况；③结论﹣﹣根据一般原理，对特殊情况做出的判断．“三段论”的表①大前提﹣﹣M 是P．示②小前提﹣﹣S 是M．③结论﹣﹣S 是P．【例题解析】例：关于演绎推理的说法正确的是（）A：演绎推理是由一般到一般的推理B：只要大前提正确，由演绎推理得到的结果必正确C：演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下，得到的结论一定正确D：演绎推理不能用于命题的证明解答：解：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，故A 不正确，演绎推理得到的结论不一定是正确的，还要取决于小前提是否真实，故B 不正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下，得到的结论一定正确，故C 正确，演绎推理不能用于命题的证明，故D 不正确，总上可知有C 是正确的，故选：C．本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系．。

§2.1.2 演绎推理 一、复习思考复习1：归纳推理是由 到 的推理.类比推理是由 到 的推理. 复习2：合情推理的结论 .二、新课导学探究任务一：演绎推理的概念问题：观察下列例子有什么特点？（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ；（3）在一个标准大气压下，水的沸点是100C ︒，所以在一个标准大气压下把水加热到100C ︒时， ； （4）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 ；（5）三角函数都是周期函数，sin α是三角函数，所以 ；（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果A 与B 是两条平行直线的同旁内角，那么 .新知：演绎推理是从 出发，推出情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由到 的推理.大前提—— ；小前提—— ；结论—— .例1 在锐角三角形ABC 中，,AD BC BE AC ⊥⊥，D ，E 是垂足. 求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等.新知：用集合知识说明“三段论”：大前提：小前提：结 论：例2证明函数2()2f x x x =-+在(],1-∞-上是增函数三、课外作业：1. 因为指数函数x y a =是增函数，1()2x y =是指数函数，则1()2x y =是增函数.这个结论是错误的，这是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误2. 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误3. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误4.归纳推理是由 到 的推理；类比推理是由 到 的推理；演绎推理是由 到 的推理.5.合情推理的结论 ；演绎推理的结论 .6. 用三段论证明：在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=DC ，则B C ∠=∠.7. 用三段论证明：3()()f x x x x R =+∈为奇函数.§2.2.1 综合法和分析法（1）一、学习目标：1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.二、课前准备及探究：探究任务一：综合法的应用问题：已知,0a b >,求证:2222()()4a b c b c a abc +++≥.新知：一般地,利用 ,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.典型例题例1已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥变式：已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c ---≥.小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.例2 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.变式：设在四面体P ABC -中,90,,ABC PA PB PC ∠=︒==D 是AC 的中点.求证:PD 垂直于ABC ∆所在的平面.三、课后作业1. 已知22,,"1""1"x y R xy x y ∈≤+≤则是的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2. 如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ）A ．5481a a a a >B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =3. 设23451111log 11log 11log 11log 11P =+++，则（ ） A ．01P << B ．12P <<C ．23P <<D ．34P <<4.若关于x 的不等式22133(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集为1(,)+∞，则k的范围是____ . 5. 已知b a ,是不相等的正数，x y ==，则,x y 的大小关系是_________. 6.已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证:3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>7.在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos ba b B a A -=-§2.2.1 综合法和分析法(二)一、新课导学问题：如何证明基本不等式(0,0)2a b a b +>>新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 反思：框图表示要点：逆推证法；执果索因二、典型例题例1求证变式：求证:小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例2 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.三、课外作业1. 要证明,其中最合理的是A.综合法B.分析法C.反证法D. 归纳法2.不等式①233x x +>;②2b a a b +≥,其中恒成立的是A.①B.②C.①②D.都不正确3.已知0y x >>,且1x y +=,那么 A.22x y x y xy +<<< B.22x y xy x y +<<< C.22x y x xy y +<<< D.22x y x xy y +<<< 4.若,,a b c R ∈,则222a b c ++ ab bc ac ++.5.将a 千克的白糖加水配制成b 千克的糖水(0)b a >>,则其浓度为 ;若再加入m 千克的白糖(0)m >,糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式: .6.已知0a b >>,求证:22()()828a b a b a b a b-+-<<.7. 设,a b R +∈,且a b ≠,求证:3322a b a b ab +>+。