2018年最新 湖南师大附中(数学文) 精品

炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高三月考试卷（五）数学（文科） 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U N *=，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{2}B ．[]4,6C ．{1,3,5}D ．{2,4,6}2．已知向量(1,2)a =-，(3,5)b -，若(2)a b c +⊥，则c 的坐标可以是（ ） A ．(2,3)- B ．(2,3)-- C ．(4,4)- D ．(4,4)3．已知直线,m n 与平面,,αβγ满足αβ⊥，m αβ= ，n α⊥，n γ⊂，则下列判断一定正确的是（ ）A ．//,m γαγ⊥B ．//,n βαγ⊥C ．//,βγαγ⊥D ．,m n αγ⊥⊥4．下面为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（ ）A ．i>20B ．i<20C ．i>=20D ．i<=205．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小于2的概率为（ ）A ．14 B ．13C ．47D ．49 7．已知1sin()53πα-=，则3cos(2)5πα+=（ ）A ．79-B ．19-C ．19D ．798．已知函数()y f x =对任意自变量x 都有()(2)f x f x =-，且函数()f x 在[1,)+∞上单调．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且62012(}()f a f a =，则{}n a 的前2017项之和为（ ） A ．0 B ．2017 C ．2016 D ．40349．已知ABC ∆的面积为1，内切圆半径也为1，若ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，则4a ba b c+++的最小值为（ ）A ．2 B．2．4 D．2+10．设1F 、2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若12||||6PF PF a +=，且12PF F ∆最小内角的大小为30︒，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A0y ±= B．0x ±= C ．20x y ±= D ．20x y ±=11．定义在R 上的奇函数()y f x =满足(3)0f =，且当0x >时，不等式()'()f x xf x >-恒成立，则函数()()lg |1|g x xf x x =++的零点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若1,()0,R x Qf x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩，则称()f x 为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数()f x ，给出下面4个命题：①对任意x R ∈，都有[()]1f f x =；②对任意x R ∈，都有()()0f x f x -+=；③对任意1x R ∈，都有2x Q ∈，121()()f x x f x +=；④对任意,(,0)a b ∈-∞，都有{|()}{|()}x f x a x f x b >=>．其中所有真命题的序号是（ ） A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．设i 是虚数单位，则复数2i 31iz +=-的共轭复数的虚部为 ． 14．过点(1,2)-作圆22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则AB 所在直线的方程为 ．15．在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内（含边界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为 ．16．已知曲线x a y e +=与2(1)y x =-恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S 市的A 区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这x 个分店的年收入之和．（Ⅰ）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；（Ⅱ）假设该公司在A 区获得的总年利润z （单位：百万元）与,x y 之间的关系为20.05 1.4z y x =--，请结合（Ⅰ）中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？ 参考公式：y b x a ∧∧∧=+，1221ni ii nii x ynx y b xnx∧==-==-∑∑121()()()niii nii x x yy x x ==---∑∑，a y b x ∧∧=-．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥，2PA AD ==．四边形ABCD 满足//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．E 为侧棱PB 的中点，F 为侧棱PC 上的任意一点．（Ⅰ）若F 为PC 的中点，求证：平面EFP ⊥平面PAB ；（Ⅱ）是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由． 19．函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，将()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()y g x =的图象．（Ⅰ）求函数()y g x =的解析式；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=，D 是AC 的中点，且cos B =，BD ABC ∆的最短边的边长． 20．已知O 为坐标原点，抛物线2:(n 0)C y nx =>上在第一象限内的点(2,)P t 到焦点的距离为52，曲线C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，直线1l 经过点Q 且垂直于x 轴． （Ⅰ）求Q 点的坐标；（Ⅱ）设不经过点P 和Q 的动直线2:l x my b =+交曲线C 于点A 和B ，交1l 于点E ，若直线PA ，PE ，PB 的斜率依次成等差数列，试问：2l 是否过定点？请说明理由．21．已知函数2()ln f x x x ax =-+．（Ⅰ）若(1)0f =，求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）证明当2()n n N *≥∈时，11111ln 2ln3ln 4ln n ++++> ； （Ⅲ）若关于x 的不等式21()(1)(21)12f x a x a x ≤-+--恒成立，求整数a 的最小值．请考生在（22）～（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号。

湖南师大附中2018届高考模拟卷(二)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知复数z 满足z(3＋i)＝1－2i ，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于(A)(A)第一象限 (B) 第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限【解析】因为z(3＋i)＝1－2i ，所以z ＝1－2i 3＋i ＝（1－2i ）（3－i ）（3－i ）（3＋i ）＝110－710i ，所以复数z 的共轭复数在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫110，710，位于第一象限，故选A.(2)若集合A ＝{x|－a<x<a ，x ∈N }有且只有一个元素，则实数a 的取值范围为(A) (A)(]0，1(B)[]1，2(C)[1，2) (D)(1，2]【解析】∵集合A ＝{x|－a<x<a ，x ∈N }有且只有一个元素， ∴A ＝{0}，∴实数a 的取值范围为(]0，1.故选A.(3)“直线l 与抛物线C 有唯一公共点”是“直线l 与抛物线C 相切”的(B)(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【解析】当“直线l 与抛物线C 有唯一公共点”成立时，有可能是直线与抛物线的对称轴平行，此时，“直线l 与抛物线C 相切”不成立；反之，“直线l 与抛物线C 相切”成立，一定能推出“直线l 与抛物线C 有唯一公共点”，所以“直线l 与抛物线C 有唯一公共点”是“直线l 与抛物线C 相切”的必要不充分条件，故选B.(4)设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意的n ∈N *，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 2b 3＋b 13＋a 14b 5＋b 11的值为(C)(A)2945 (B)1329 (C)919 (D)1930【解析】由等差数列的性质和求和公式可得：a 2b 3＋b 13＋a 14b 5＋b 11＝2a 82b 8＝152（a 1＋a 15）152（b 1＋b 15）＝S 15T 15＝919，故选C.(5)若函数g(x)＝xf(x)是定义在R 上的奇函数，在(－∞，0)上是减函数，且g(2)＝0，则使得f(x)<0的x 的取值范围是(C)(A)(－∞，2) (B)(2，＋∞)(C)(－∞，－2)∪(2，＋∞) (D)(－2，2)【解析】当x<0时，f(x)<0即要求g(x)>0则x<－2，又∵g(x)为奇函数关于点(0，0)对称．∴f(x)<0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，故选C.(6)△ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π4，a ＝6，b ＝8，则c ＝(A)(A)42－2或42＋2 (B)42－2 (C)42＋2 (D)4 【解析】∵a sin A ＝b sin B ，得：sin B ＝223>sin π4，所以B>π4，故cos B ＝±13，故sin C ＝4±26， 由a sin A ＝c sin C，得：c ＝42±2，故选A. (7)一个棱长为4的正方体涂上红色后，将其均切成棱长为1的若干个小正方体，置于一密闭容器中搅拌均匀，从中任取一个小正方体，则取到至少两面涂红色的小正方体的概率为(B)(A)18 (B)12 (C)827 (D)1227【解析】一个棱长为4的正方体涂上红色后，将其切成棱长为1的小正方体，切割后共计43＝64个正方体，原来的正方体有8个角，12条棱，6个面，所以三面红色的正方体数等于角数，有8个，两面红色的正方体数为棱数的2倍，有12×2＝24个，∴从中任取一个，则取到至少两面涂红色的小正方体的概率为：P ＝3264＝12.(8)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(D)(A)2＋4 3 (B)4＋4 3 (C)8＋2 3 (D)6＋2 3【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是以正视图为底面的四棱柱，故底面面积为：1×3＝3，底面周长C ＝2(1＋12＋（3）2)＝6，棱柱的高h ＝1， 故棱柱的表面积S ＝6＋23，故选D.(9)已知平面向量OA →、OB →、OC →满足：|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，OA →·OB →＝12. 若OC →＝xOA →＋yOB →，(x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是(D)(A)1 (B)33 (C)2 (D)233【解析】由|OC →|＝1可设C(cos θ，sin θ)，又OA →·OB →＝12，|OA →|＝|OB →|＝1，可设A(1，0)，B ⎝⎛⎭⎫12，32.由已知可得cos θ＝x ＋y 2，sin θ＝32y ，即得y ＝2sin θ3，x ＝cos θ－sin θ3， 则x ＋y ＝cos θ＋sin θ3＝23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，所以x ＋y 的最大值是233，故选D.(10)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤12x －y ≥0（2x ＋1）（x －1）≤0，则||x －2y －4＋2x 的最大值为(C)(A)3 (B)7 (C)9 (D)10【解析】根据题意画出可行域如图所示(图中阴影部分)，由可行域可知 －12≤x ≤1，－32≤y ≤2，所以x －2y －4<0， 所以|x －2y －4|＋2x ＝－x ＋2y ＋4＋2x ＝x ＋2y ＋4，设z ＝x ＋2y ＋4， 当直线y ＝－12x ＋12z －2过点A(1，2)时，z 取得最大值，为9，故选C.(11)设A 、B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是(A)(A)(0，1]∪[9，＋∞) (B)(0， 3 ]∪[9，＋∞) (C)(0，1]∪[4，＋∞) (D)(0， 3 ]∪[4，＋∞)【解析】当0<m<3，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则a b ≥tan 60°＝3，即3m ≥3，得0<m ≤1；当m>3，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则a b ≥tan 60°＝3，即m3≥3，得m ≥9，故m 的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞)，选A.(12)已知函数f(x)在定义域R 上的导函数为f′(x)，若函数y ＝f′(x)没有零点，且f[f(x)－2 017x ]＝2 017，当g(x)＝sin x －cos x －kx 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上与f(x)在R 上的单调性相同时，则实数k 的取值范围是(A)(A)(－∞，－1] (B)(－∞， 2 ] (C)[－1， 2 ] (D)[2，＋∞)【解析】若函数y ＝f′(x)没有零点，即方程f′(x)＝0无解， 则f′(x)>0或f′(x)<0恒成立，所以f(x)为R 上的单调函数， x ∈R 都有f[f(x)－2 017x ]＝2 017，则f(x)－2 017x 为定值，设t ＝f(x)－2 017x ，则f(x)＝t ＋2 017x ，易知f(x)为R 上的增函数， ∵g(x)＝sin x －cos x －kx ，∴g ′(x)＝cos x ＋sin x －k ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－k ，又g(x)与f(x)的单调性相同，∴g(x)在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上单调递增，则当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，g ′(x)≥0恒成立，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－1，2]，此时k ≤－1，故选A.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．(13)若函数f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＋1，x>11－⎝⎛⎭⎫12x －1，x<1，则f ()a ＋f(2－a)＝__2__． 【解析】当x>1时，2－x<1， f(x)＋f(2－x)＝2x －1＋1＋1－⎝⎛⎭⎫122－x －1＝2，同理：当x<1时，f(x)＋f(2－x)＝2，∴f(a)＋f(2－a)＝2.故答案为：2.(14)已知数列{a n }满足a n ＋2＋a n ＝a n ＋1，且a 1＝2，a 2＝3，则a 2 017＝__2__．【解析】数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1，可得a n ＋3＝－a n ，所以a n ＋6＝a n ，数列的周期为6.a 2 017＝a 336×6＋1＝a 1＝2. 故答案为：2.(15)，得到如下2×2列联表：理科 文科 总计 男 20 5 25 女101525总计30 20 50 那么，__0.005__． (参考公式K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），n ＝a ＋b ＋c ＋d)P(K 2≥k 0)0.010 0.005 0.001 k 06.6357.87910.828【解析】K 2＝50×（20×15－10×5）30×20×25×25≈8.333＞7.879，∴认为“高中学生的文理科选修与性别有关系”犯错误的概率不超过0.005. 故答案为：0.005.(16)设函数f(x)＝⎩⎨⎧3x－a ，x<1，π（x －3a ）（x －2a ），x ≥1，若f(x)恰有2个零点，则实数a 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫13，12∪[3，＋∞)__．【解析】令y ＝3x －a ＝0，则x ＝log 3 a ，令y ＝π(x －3a)(x －2a)＝0，则x ＝2a ，或x ＝3a ， 若a ≤0时，则x ＝log 3a 无意义，此时函数无零点；若0＜a ＜3，则x ＝log 3a ＜1必为函数的零点，此时若f(x)恰有2个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧2a<1，3a ≥1，解得：a ∈⎣⎡⎭⎫13，12， 若a ≥3，则x ＝log 3a ≥1必不为函数的零点，2a ≥1，3a ≥1必为函数的零点，此时a ∈[3，＋∞)， 综上可得实数a 的取值范围是：⎣⎡⎭⎫13，12∪[3，＋∞)． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)已知向量m ＝(2cos ωx ，－1)，n ＝(sin ωx －cos ωx ，2)(ω＞0)，函数f(x)＝m·n ＋3，若函数f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为π2.(Ⅰ)求函数f(x)的单调增区间；(Ⅱ)若将函数f(x)的图象先向左平移π4个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，得到函数g(x)的图象，当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，求函数g(x)的值域．【解析】(Ⅰ)f(x)＝m·n ＋3＝2cos ωx(sin ωx －cos ωx)－2＋3＝sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4，2分∵T ＝π，∴2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4.令－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，求得f(x)的增区间为⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π，k ∈Z .6分(Ⅱ)将函数f(x)的图象先向左平移π4个单位，得到y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象；8分然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，得到函数g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4的图象，故g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4，∵π4≤x ≤π2，5π4≤4x ＋π4≤9π4，∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤22， 故函数g(x)的值域是[－2，1].12分 (18)(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，且b 2＋S 2＝11，2S 3＝9b 3. (Ⅰ)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)令c n ＝（－1）n －12n ·a n b n ，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n －1T n(n ∈N *)的最大值与最小值．【解析】(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋3＋d ＋q ＝112（3＋3＋d ＋3＋2d ）＝9q 2， 解得d ＝3，q ＝2，所以a n ＝3n ，b n ＝2n －1.6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得c n ＝－3·⎝⎛⎭⎫－12n ，故T n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n， 当n 为奇数时，T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12n，T n 随n 的增大而减小，所以1<T n ≤T 1＝32； 当n 为偶数时，T n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n ，T n随n 的增大而增大，所以34＝T 2≤T n <1，8分 令f(x)＝x －1x ，x>0，则f′(x )＝1＋1x 2>0，故f(x)在x>0时是增函数．故当n 为奇数时，0<T n －1T n ≤T 1－1T 1＝56；当n 为偶数时，0>T n －1T n ≥T 2－1T 2＝－712，综上所述，T n －1T n 的最大值是56，最小值是－712.12分(19)(本小题满分12分)如图，已知AB ⊥BC ，BE ∥CD ，∠DCB ＝90°，平面BCDE ⊥平面ABC ，CD ＝4，AB ＝BC ＝BE ＝2，F 为AD 中点．(Ⅰ)证明：EF ∥平面ABC ； (Ⅱ)求三棱锥D －BCF 的体积．【解析】(Ⅰ)证明：设AC 中点为G ，连FG ，BG ∵F 为AD 中点，∴FG ∥DC ，FG ＝12DC又由题意BE ∥CD ，BE ＝12CD∴EB ∥FG ，且EB ＝FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形 ∴EF ∥BG ，又BG 平面ABC ，EF 平面ABC∴EF ∥平面ABC.6分(Ⅱ)∵平面BCDE 所在平面垂直平面ABC ，平面BCDE ∩平面ABC ＝BC AB 平面ABC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥平面BCDE∵F 为AD 中点，∴V D －BCF ＝V F －BCD ＝12V A －BCD ＝16⎝⎛⎭⎫12BC·DC AB ＝43 所以，三棱锥D －BCF 的体积是43.12分(20)(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝4x ，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线C 于点A 、B 和点C 、D ，线段AB 、CD 的中点分别为M 、N.(Ⅰ)求线段AB 的中点M 的轨迹方程；(Ⅱ)过M 、N 的直线l 是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由． 【解析】(Ⅰ)由题设条件得焦点坐标为F(1，0)， 设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，k ≠0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）y 2＝4x ，得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0.Δ＝[－2(2＋k 2)]2－4k 2k 2＝16(1＋k 2)>0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则xM ＝12(x 1＋x 2)＝1＋2k 2，y M ＝k(x M －1)＝2k ，∴x M ＝1＋12y 2M∴线段AB 的中点M 的轨迹方程为：y 2＝2(x －1)(x>1).5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知：⎩⎨⎧x M ＝x 1＋x 22＝2＋k 2k2y M ＝2k.7分同理，设N(x N ，y N )，则⎩⎪⎨⎪⎧x N ＝2k 2＋1y N ＝－2k .8分当k ≠±1时，可知直线l 的斜率为：k′＝k1－k 2， 所以直线l 的方程为：y ＋2k ＝k 1－k 2(x －2k 2－1)，即yk 2＋(x －3)k －y ＝0 ① 当x ＝3，y ＝0时方程①对任意的k(k ≠±1)均成立，即直线l 过点(3，0)11分 当k ＝±1时，直线l 的方程为：x ＝3，综合所述，过M 、N 的直线l 必过定点(3，0).12分(21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(1＋ax 2)e x －1.(Ⅰ)当a ≥0时，讨论函数f(x)的单调性； (Ⅱ)求函数f(x)在区间[0，1]上零点的个数． 【解析】(Ⅰ)∵f′(x)＝(ax 2＋2ax ＋1)e x ，1分当a ＝0时，f ′(x)＝e x ≥0，此时f(x)在R 单调递增；2分 当a>0时，Δ＝4a 2－4a ，①当0<a ≤1时，Δ≤0，ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，∴f ′(x)≥0，此时f(x)在R 单调递增；3分 ②当a>1时，令f′(x)＝0x 1＝－1－1－1a，x 2＝－1＋1－1ax (－∞，x 1)x 1 (x 1，x 2)x 2 (x 2，＋∞)f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)↗↘↗即f(x)在⎝⎛⎭⎫－∞，－1－1－1a 和⎝⎛⎭⎫－1＋1－1a ，＋∞上单调递增； 在⎝⎛⎭⎫－1－1－1a ，－1＋1－1a 上单调递减；5分综上：当0≤a ≤1时，f(x)在R 单调递增； 当a>1时，f(x)在⎝⎛⎭⎫－∞，－1－1－1a 和⎝⎛⎭⎫－1＋1－1a ，＋∞上单调递增； 在⎝⎛⎭⎫－1－1－1a ，－1＋1－1a 上单调递减.6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当0≤a ≤1时，f(x)在[0，1]单调递增，f(0)＝0，此时f(x)在区间[0，1]上有一个零点； 当a>1时，－1－1－1a<0且－1＋1－1a <0，∴f(x)在[0，1]单调递增；f(0)＝0，此时f(x)在区间[0，1]上有一个零点； 当a<0时，令f′(x)＝0x ＝－1＋1－1a>0(负值舍去)①当－1＋1－1a ≥1即－13≤a<0时，f(x)在[0，1]单调递增，f(0)＝0，此时f(x)在区间[0，1]上有一个零点；②当－1＋1－1a <1即a<－13时，若f(1)>0即1e －1<a<－13时，f(x)在⎣⎡⎭⎫0，－1＋1－1a 单调递增，在⎣⎡⎦⎤－1＋1－1a ，1单调递减，f(0)＝0，此时f(x)在区间[0，1]上有一个零点；若f(1)≤0即a ≤1e －1时，f(x)在⎣⎡⎭⎫0，－1＋1－1a 单调递增，在⎣⎡⎦⎤－1＋1－1a ，1单调递减f(0)＝0，此时f(x)在区间[0，1]上有零点x ＝0和在区间⎣⎡⎦⎤－1＋1－1a ，1有一个零点共两个零点；综上：当a ≤1e －1时，f(x)在区间[0，1]上有2个零点；当a>1e－1时，f(x)在区间[0，1]上有1个零点.12分请考生在第(22)～(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋3y ＝53，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(Ⅰ)求直线l 的极坐标方程和圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ)射线OP ：θ＝π6与圆C 的交点为O 、A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长．【解析】(Ⅰ)在x ＋3y ＝53中，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ. 得ρcos θ＋3ρsin θ＝53，化简得2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝5 3.即为直线l 的极坐标方程．由ρ＝4sin θ得ρ2＝4ρsin θ，即x 2＋y 2＝4y. x 2＋()y －22＝4，即为圆C 的直角坐标方程.5分(Ⅱ)ρA ＝4sin π6＝2，ρB ＝532sin ⎝⎛⎭⎫π6＋π6＝5，所以||AB ＝||ρA －ρB ＝3.10分(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝||2x －4＋||x ＋1，x ∈R .(Ⅰ)解不等式f(x)≤9；(Ⅱ)若方程f(x)＝－x 2＋a 在区间[0，2]有解，求实数a 的取值范围． 【解析】(Ⅰ)可化为⎩⎪⎨⎪⎧x>23x －3≤9或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤25－x ≤9或⎩⎪⎨⎪⎧x<－1－3x ＋3≤9； 2<x ≤4或－1≤x ≤2或－2≤x<－1； 不等式的解集为[－2，4].5分(Ⅱ)由题意：f(x)＝－x 2＋a a ＝x 2－x ＋5，x ∈[0，2]故方程f(x)＝－x 2＋a 在区间[0，2]有解函数y ＝a 和函数y ＝x 2－x ＋5图象在区间[0，2]上有交点 ∵当x ∈[0，2]时，y ＝x 2－x ＋5∈⎣⎡⎦⎤194，7∴a ∈⎣⎡⎦⎤194，7.10分。

湖南师大附中2018届高考模拟卷(一)数学(文科)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知复数z满足i z＝|3＋4i|－i，则z的虚部是(A)(A)－5 (B)－1 (C)－5i (D)－i【解析】复数z满足i z＝|3＋4i|－i，∴－i·i z＝－i(5－i)，∴z＝－1－5i，则z的虚部是－5.故选：A.(2)命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是(D)(A)a≥9 (B)a≤9 (C)a≤8 (D)a≥8【解析】命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题，∴a≥[x2]max＝9.∴命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是a≥8，故选：D.(3)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(D)(A)y＝x(B)y＝lg x(C)y＝2x(D)y＝1 x【解析】根据题意得，函数y＝10lg x的定义域为：(0，＋∞)，值域为：(0，＋∞)，A项，y＝x，定义域和值域都是R，不符合题意．B项，y＝lg x，定义域为(0，＋∞)，值域是R，不符合题意．C项，y＝2x，定义域是R，值域是(0，＋∞)，不符合题意．D 项，y ＝1x，定义域是(0，＋∞)，值域是(0，＋∞)，与y ＝10lg x 的定义域和值域都相同，符合题意，故选D.(4)图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入m ＝209，n ＝121，则输出m 的值等于(B)(A)10 (B)11 (C)12 (D)13【解析】当m ＝209，n ＝121，m 除以n 的余数是88， 此时m ＝121，n ＝88，m 除以n 的余数是33， 此时m ＝88，n ＝33，m 除以n 的余数是22， 此时m ＝33，n ＝22，m 除以n 的余数是11， 此时m ＝22，n ＝11，m 除以n 的余数是0， 此时m ＝11，n ＝0，退出程序，输出结果为11，故选：B.(5)已知log ab ＝－1，2a >3，c >1，设x ＝－log b a ，y ＝log bc ，z ＝13a ，则x 、y 、z 的大小关系正确的是(A)(A)z ＞x ＞y (B)z ＞y ＞x (C)x ＞y ＞z (D)x ＞z ＞y 【解析】∵log ab ＝－1，2a >3，c >1，∴x ＝－log b a ＝－12log ba ＝－12×1－1＝12，2a ＞3，a ＞log23＞1，b ＝1a ∈(0，1)．y ＝log bc ＜0，z ＝13a ＞13log23>13×log28＝12，∴z ＞x ＞y .故选：A.(6)等差数列x 1、x 2、x 3、…、x 11的公差为1，若以上述数据x 1、x 2、x 3、…、x 11为样本，则此样本的方差为(A)(A)10 (B)20 (C)55 (D)5【解析】∵等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 11的公差为1， x 1，x 2，x 3，…，x 11的平均数是x 6，∴以数据x 1，x 2，x 3，…，x 11为样本，则此样本的方差： S 2＝111[(x 1－x 6)2＋(x 2－x 6)2＋(x 3－x 6)2＋(x 4－x 6)2＋(x 5－x 6)2＋(x 6－x 6)2＋(x 7－x 6)2＋(x 8－x 6)2＋(x 9－x 6)2＋(x 10－x 6)2＋(x 11－x 6)2]＝111(25＋16＋9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＋16＋25)＝10.故选：A.(7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(B)(A)8(π＋4) (B)8(π＋8) (C)16(π＋4) (D)16(π＋8)【解析】由三视图还原原几何体如右图：该几何体为两个空心半圆柱相切，半圆柱的半径为2，母线长为4， 左右为边长是4的正方形．∴该几何体的表面积为2×4×4＋2π×2×4＋2(4×4－π×22)＝ 64＋8π＝8(π＋8)． 故选：B.(8)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标的取值范围为(A)(A)⎣⎡⎦⎤0，125 (B)[0，1] (C)⎣⎡⎦⎤1，125 (D)⎝⎛⎭⎫0，125 【解析】设点M (x ，y )，由MA ＝2MO ，知：x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2， 化简得：x 2＋(y ＋1)2＝4，∴点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ， 又∵点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，∴1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2，∴1≤a 2＋（2a －3）2≤3， 化简可得 0≤a ≤125，故选A.(9)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，若存在x 1、x 2、…、xn 满足0≤x 1＜x 2＜…＜xn ≤4π，且|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (2)－f (x 3)|＋…＋|f (xn －1)－f (xn )|＝16(n ≥2，n ∈N *)，则n 的最小值为(C) (A)8 (B)9 (C)10 (D)11【解析】∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3对任意xi ，xj (i ，j ＝1，2，3，…，n )，都有|f (xi )－f (xj )|≤f (x )max －f (x )min ＝2，要使n 取得最小值，尽可能多让xi (i ＝1，2，3，…，n )取得最高点，考虑0≤x 1＜x 2＜…＜xn ≤4π，|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (xn －1)－f (xn )|＝16， 按下图取值即可满足条件，即有|1＋12|＋2×7＋|1－12|＝16.则n 的最小值为10.故选：C.(10)如图所示，两个非共线向量OA →、OB →的夹角为θ，M 、N 分别为OA 与OB 的中点，点C 在直线MN 上，且OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为(B)(A)24 (B)18 (C)22 (D)12【解析】解法一：特殊值法，当θ＝90°，|OA →|＝|OB →|＝1时，建立直角坐标系， ∴OC →＝xOA →＋yOB →得x ＋y ＝12，所以x 2＋y 2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C 、M 、N 共线，所以OC →＝λOM →＋μON →，有λ＋μ＝1， 又因为M 、N 分别为OA 与OB 的中点， 所以OC →＝λOM →＋μON →＝12λOA →＋12μOB →∴x ＋y ＝12λ＋12μ＝12原题转化为：当x ＋y ＝12时，求x 2＋y 2的最小值问题，∵y ＝12－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫12－x 2＝2x 2－x ＋14结合二次函数的性质可知，当x ＝14时，取得最小值为18.故选B.(11)已知双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是(A)(A)(1，3] (B)[3，＋∞) (C)(0，3) (D)(0，3] 【解析】设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，根据双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＝8a |PF 2|， ∴m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m －n m 2＝2a8an， ∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，∴n ＝2a ，m ＝4a ， 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＜|PF 1|＋|PF 2|， ∴2c ＜4a ＋2a ，∴ca ＜3，当P 为双曲线顶点时，ca＝3又∵双曲线e ＞1，∴1＜e ≤3，故选：A.(12)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x 2－f (－x )．当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜2x ；若f (m ＋2)－f (－m )≤4m ＋4，则实数m 的取值范围是(C)(A)(－∞，－1] (B)(－∞，－2] (C)[－1，＋∞) (D)[－2，＋∞) 【解析】解：令g (x )＝f (x )－x 2， g ′(x )＝f ′(x )－2x ，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜2x ， ∴g (x )在(－∞，0)递减，而g (－x )＝f (－x )－x 2，∴f (－x )＋f (x )＝g (－x )＋x 2＋g (x )＋x 2＝2x 2， ∴g (－x )＋g (x )＝0，∴g (x )是奇函数，g (x )在R 上递减， 若f (m ＋2)－f (－m )≤4m ＋4， 则f (m ＋2)－(m ＋2)2≤f (－m )－m 2， ∴g (m ＋2)≤g (－m )，∴m ＋2≥－m ，解得：m ≥－1，故选：C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≥0，2x －y ≥0，8－x －y ≥0则目标函数z ＝3x －2y ＋1的最小值为__－53__．【解析】作出可行域，则当直线z ＝3x －2y ＋1过点A ⎝⎛⎭⎫83，163时z 取最小值－53.(14)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被y ＝3sin π4x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为__18__．【解析】根据题意，大圆的直径为y ＝3sinπ4x 的周期，且T ＝2ππ4＝8，面积为S ＝π·⎝⎛⎭⎫822＝16π，一个小圆的面积为S ′＝π·12＝π，根据几何概型概率公式可得在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P ＝2S ′S ＝2π16π＝18.(15)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若2sin B ＝sin A ＋sin C ，cos B＝35，且S △ABC ＝6，则b ＝__4__． 【解析】已知等式2sin B ＝sin A ＋sin C ，利用正弦定理化简得：2b ＝a ＋c ，∵cos B ＝35，∴可得sin B ＝1－cos2 B ＝45，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac ×45＝6，可解得ac ＝15，∴余弦定理可得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝()a ＋c 2－2ac ()1＋cos B ＝4b 2－2×15×⎝⎛⎭⎫1＋35，∴可解得b ＝4，故答案为4. (16)已知f ()x ＝25－x ，g ()x ＝x ＋t ，设h ()x ＝max {}f ()x ，g ()x .若当x ∈N ＋时，恒有h ()5≤h ()x ，则实数t 的取值范围是__[]－5，－3__．【解析】设y ＝f ()x 与y ＝g ()x 交点横坐标为x 0，则h ()x ＝⎩⎨⎧f ()x ，x ≤x 0g ()x ，x >x 0，∵x ∈N ＋时，总有h ()5≤h ()x ，所以若h ()5＝f ()5，必有h ()6＝g ()6，只需g ()6≥f ()5，t ＋6≥1，即t ≥－5，若h ()5＝g ()5，必有h ()4＝f ()4，只需f ()4≥g ()5，2≥t ＋5，t ≤－3，综上，－5≤t ≤－3，故答案为[]－5，－3.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如下表：统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占30%，该商场每日大约有4 000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品．(Ⅰ)试确定a，b的值，并估计每日应准备纪念品的数量；(Ⅱ)为了迎接春节，商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次购物不超过200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：请问该商场日均大约让利多少元？【解析】(Ⅰ)由已知，100位顾客中购物款不低于150元的顾客有b＋20＝100×30%，b ＝10；2分a＝100－()20＋30＋20＋10＝20.4分该商场每日应准备纪念品的数量大约为4000×60100＝2 400. 6分(Ⅱ)设顾客一次购物款为x元．当x∈(]50，100时，顾客约有4000×20%＝800人；当x∈(]100，150时，顾客约有4000×30%＝1200人；当x∈(]150，200时，顾客约有4000×20%＝800人；当x∈[)200，＋∞时，顾客约有4000×10%＝400人.10分该商场日均大约让利为：800×75×6%＋1200×125×8%＋800×175×10%＋400×30＝41 600(元).12分(18)(本小题满分12分)在公比为q 的等比数列{an }中，已知a 1＝16，且a 1，a 2＋2，a 3成等差数列． (Ⅰ)求q ，an ；(Ⅱ)若q ＜1，求满足a 1－a 2＋a 3－…＋(－1)2n －1a 2n >10的最小的正整数n 的值． 【解析】(Ⅰ)由16＋16q 2＝2(16q ＋2)得4q 2－8q ＋3＝0，q ＝12或322分当q ＝12时，an ＝25－n ，4分当q ＝32时，an ＝16⎝⎛⎭⎫32n －1.6分(Ⅱ)q ＜1，an ＝25－n ，a 1－a 2＋a 3＋…＋(－1)2n －1a 2n ＝16⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－122n1－⎝⎛⎭⎫－128分＝323⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－122n >10，10分 ⎝⎛⎭⎫122n<116，2n >4，n >2，正整数n 的最小值为3.12分(19)(本小题满分12分)如图，几何体ABC －A 1DC 1由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得，AB ＝4，AA 1＝32，A 1D ＝1，AA 1⊥平面ABC ，M 为AB 的中点，E 为棱AA 1上一点，且EM ∥平面BC 1D .(Ⅰ)若N 在棱BC 上，且BN ＝2NC ，证明：EN ∥平面BC 1D ；(Ⅱ)过A 作平面BCE 的垂线，垂足为O ，确定O 的位置(说明作法及理由)，并求线段OE 的长．【解析】(Ⅰ)证明：∵EM ∥平面BC 1D ，EM 平面ABDA 1， 平面ABDA 1∩平面BC 1D ＝BD ， ∴BD ∥EM .过D 作DH ⊥AB 于H ，连接CH ，则CH ∥C 1D ，则HM ＝12AB －14AB ＝14AB ，∴HM ∶MB ＝CN ∶NB ＝1∶2， ∴MN ∥CH ，则MN ∥C 1D .∵EM ∩MN ＝M ，∴平面EMN ∥平面BC 1D . ∵EN 平面EMN ，∴EN ∥平面BC 1D .6分(Ⅱ)解：在线段AB 上取一点F ，使BF ＝A 1D ＝1，则A 1F ∥BD ， 由(Ⅰ)知EM ∥BD ，∴EM ∥A 1F ，∴AE AA 1＝AM AF ＝23，∴AE ＝23×32＝2 2.取BC 的中点G ，连接AG ，EG ，过A 作AO ⊥EG 于O ，则AO ⊥平面BCE .9分 证明如下：由题意可知，△ABC 为等边三角形，则AG ⊥BC ， 又AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥BC .∵AG ∩AA 1＝A ，∴BC ⊥平面AEG ，∴BC ⊥AO .又EG ∩BC ＝G ，∴AO ⊥平面BCE .由射影定理可得，AE 2＝OE ×EG ， 又AG ＝23，EG ＝25，∴OE ＝455.12分(20)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 为椭圆C 上的任意一点，MF →1·MF 2→的最小值为2.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)已知椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，点D (a ，t )为第一象限内的点，过F 2作以BD 为直径的圆的切线交直线AD 于点P ，求证：点P 在椭圆C 上．【解析】(Ⅰ)设M (x 0，y 0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 则MF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，MF 2→＝(c －x 0，－y 0)，MF →1·MF 2→＝(－c －x 0，－y 0)(c －x 0，－y 0)＝x 20－c 2＋y 20，由∵x 20a 2＋y 20b 2＝1(a >b >0)，y 20＝b 2－b 2a 2x 20，MF →1·MF 2→＝(1－b 2a 2)x 20＋b 2－c 2，由－a ≤x 0≤a ，则x 0＝0，则MF 1→·MF 2→取最小值，最小值为b 2－c 2， ∴b 2－c 2＝2，又椭圆的离心率为12∴a 2＝4，b 2＝3，则椭圆的标准方程：x 24＋y 23＝1；4分(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知F 2(1，0)，D (2，t )，B (2，0)，设以BD 为直径的圆E ，其圆心E ⎝⎛⎭⎫2，t 2， 则圆E ：(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －t 22＝t 24， (6分) 直线AD 的方程为y ＝t4(x ＋2)，设过点F 2与圆E 相切的直线方程设为x ＝my ＋1， 则|2－mt 2－1|1＋m 2＝丨t2丨，则m ＝4－t 24t ，(8分)解方程组⎩⎨⎧y ＝t4（x ＋2），x ＝4－t 24t y ＋1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24－2t 212＋t 2，y ＝12t 12＋t 2，(10分)将⎝⎛⎭⎪⎫24－2t 212＋t 2，12t 12＋t 2代入椭圆方程成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫24－2t 212＋t 224＋⎝⎛⎭⎫12t 12＋t 223＝1，∴点P 在椭圆C 上．(12分) (21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln xx ，g (x )＝b (x ＋1)，其中a ≠0，b ≠0(Ⅰ)若a ＝b ，讨论F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(Ⅱ)已知函数f (x )的曲线与函数g (x )的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，证明：x 1＋x 2ag (x 1＋x 2)>2.【解析】(Ⅰ)由已知得F (x )＝f (x )－g (x )＝a (ln xx －x －1)，∴F ′(x )＝ax 2(1－x 2－ln x )当0＜x ＜1时，∵1－x 2＞0，－ln x ＞0，∴1－x 2－ln x ＞0，； 当x ＞1时，∵1－x 2＜0，－ln x ＜0，∴1－x 2－ln x ＜0.故若a ＞0，F (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 故若a ＜0，F (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(4分) (Ⅱ)不妨设x 1＞x 2，依题意a ln x 1x 1＝b (x 1－1)，∴a ln x 1＝b (x 21－x 1)………①，同理得a ln x 2＝b (x 22－x 2)………②， 由①－②得a ln x 1x 2＝b (x 1－x 2)(x 1＋x 2－1)，∴ln x 1x 2（x 1－x 2）＝ba(x 1＋x 2－1)，(8分) ∴x 1＋x 2a g (x 1＋x 2)＝(x 1＋x 2)ba (x 1＋x 2－1)＝（x 1＋x 2）x 1－x 2ln x 1x 2. 故只需证（x 1＋x 2）x 1－x 2ln x 1x 2>2，取t ＝x 1x 2>1即只需证明t ＋1t －1ln t >2，对任意的t >1成立，即只需证p (t )＝ln t －2·t －1t ＋1>0对t >1成立，p ′(t )＝（t －1）2t （t ＋1）2>0.∴p (t )在区间[1，＋∞)上单调递增，∴p (t )＞p (1)＝0，t ＞1成立，故原命题得证．(12分)请考生在第(22)～(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)(Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝14，求直线的倾斜角α的值． 【解析】(Ⅰ)∵ρ＝4cos θ，而ρcos θ＝x ，∴曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ可化为：ρ2＝4ρcos θ ∴.(x －2)2＋y 2＝4(5分)(Ⅱ)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4得：化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，t 1＋t 2＝2cos α，t 1·t 2＝－3∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos2α＋12＝14 可得cos α＝±22.∴α＝π4或α＝3π4.∴直线的倾斜角为α＝π4或α＝3π4.(10分)(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1.(Ⅰ)若ab ≤m 恒成立，求m 的取值范围；(Ⅱ)若 4a ＋1b ≥|2x －1|－|x ＋2|恒成立，求x 的取值范围．【解析】(Ⅰ)∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝14，当且仅当a ＝b ＝12时“＝”成立，由ab ≤m 恒成立，故m ≥14；(5分)(Ⅱ)∵a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1， ∴4a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫4a ＋1b (a ＋b )≥9， 故4a ＋1b ≥|2x －1|－|x ＋2|恒成立，则|2x －1|－|x ＋2|≤9， 当x ≤－2时，解得－6≤x ≤－2， 当－2<x <12，解得－2<x <12，当x ≥12时，解得12≤x ≤12，综上所述x 的取值范围为[－6，12]．(10分)。

2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面上，复数3﹣2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若¬（p∧q）为假命题，则（）A．p为真命题，q为假命题B．p为假命题，q为假命题C．p为真命题，q为真命题D．p为假命题，q为真命题3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．已知变量x，y满足约束条，则z＝3x+y的最大值为（）A．2B．6C．8D．116．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．187．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°8．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．≤B．+≤1C．≥2D．a2+b2≥89．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形11．数列a n＝2n+1，其前n项和为T n，若不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤412．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，若g（x）＝x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为．14．已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是．15．i是虚数单位，设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝．16．函数f（x）＝ln x﹣（a＞0），若∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求圆C和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆C公共点的极坐标．18．（12分）高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；（2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数；（3）设m，n表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18），求事件|m﹣n|＞2的概率．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PCD．（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．21．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．22．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0）．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）证明：∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面上，复数3﹣2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接写出复数3﹣2i对应的点的坐标得答案．【解答】解：在复平面上，复数3﹣2i对应的点的坐标为（3，﹣2），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．若¬（p∧q）为假命题，则（）A．p为真命题，q为假命题B．p为假命题，q为假命题C．p为真命题，q为真命题D．p为假命题，q为真命题【分析】根据否命题和复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：若¬（p∧q）为假命题，则p∧q为真命题，则p为真命题，q为真命题，故选：C．【点评】本题主要考查复合命题真假判断，根据复合命题真假关系是解决本题的关键．3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，则“x＜1”是“|x|＜1””的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【分析】根据线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，根据线面垂直的性质定理，可得A正确；对于B，若m∥α，n∥α，则m∥n，m，n相交或异面，不正确；对于C，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，不正确；对于D，若m∥α，α⊥β，则m与β的位置关系不确定，不正确．故选：A．【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于基础题．5．已知变量x，y满足约束条，则z＝3x+y的最大值为（）A．2B．6C．8D．11【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中z的几何意义，求出直线z＝3x+y的最大值即可．【解答】解：作出变量x，y满足约束条的可行域如图，由z＝3x+y知，y＝﹣3x+z，所以动直线y＝﹣3x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（3，2），结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，目标函数取得最大值z＝3×3+2＝11．故选：D．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．18【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i＝8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S＝20，i＝1i＝2，S＝18不满足条件i＞5，i＝4，S＝14不满足条件i＞5，i＝8，S＝6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．7．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC＝30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．8．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．≤B．+≤1C．≥2D．a2+b2≥8【分析】利用基本不等式，得出ab≤4，然后对各选项的代数式进行变形，利用ab≤4进行验证，【解答】解：（当且仅当a＝b时，等号成立），即，ab≤4，∴，选项A、C不成立；，选项B不成立；a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣2ab≥8，选项D成立．故选：D．【点评】本题考查基本不等式的应用，这种类型问题的解题关键在于对代数式进行合理配凑，属于中等题．9．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x【分析】由题意可得b，c，由双曲线的a，b，c的关系可得a，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．【解答】解：由题意可得，双曲线的b＝1，c＝，则a＝＝，则双曲线的渐近线方程为y＝x，即为y＝x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】b2+c2＝a2+bc，利用余弦定理可得cos A＝，可得．由sin B•sin C＝sin2A，利正弦定理可得：bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，可得b＝c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2＝a2+bc，∴cos A＝＝＝，∵A∈（0，π），∴．∵sin B•sin C＝sin2A，∴bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，∴（b﹣c）2＝0，解得b＝c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．数列a n＝2n+1，其前n项和为T n，若不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤4【分析】不等式n log2（T n+4）﹣λb n+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），可得λ≤对一切n∈N*恒成立，利用不等式，即可得出结论．【解答】解∵a n＝2n+1，∴T n＝＝2n+2﹣4．不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），∵n∈N*，∴λ≤对一切n∈N*恒成立．而＝＝（n+1）+﹣3≥2﹣3＝3，当且仅当n+1＝即n＝2时等号成立，∴λ≤3，故选：A．【点评】本题考查数列的通项于求和，突出考查基本不等式的运用，考查运算、分析、求解的能力，属于中档题．12．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，若g（x）＝x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，）【分析】根据函数f（x）为偶函数，则g（x）也为偶函数，利用导数可以判断g（x）在[0，+∞）为减函数，则不等式g（x）＜g（1﹣2x）转化为|x|＞|1﹣2x|，解得即可【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x），∴f（﹣x）＝f（x）∵x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，∴x2f′（x）+2xf（x）≤0，∵g（x）＝x2f（x），∴g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）≤0，∴g（x）在[0，+∞）为减函数，∵f（x）为偶函数，∴g（x）为偶函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，∵g（x）＜g（1﹣2x）∴|x|＞|1﹣2x|，即（x﹣1）（3x﹣1）＜0，解得＜x＜1，故选：A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和导数和函数的单调性的关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为﹣3．【分析】先将利用消参法将直线的参数方程化成直线的普通方程，再将直线写出斜截式，求出斜率即可．【解答】解：∵直线l的参数方程为（t为参数）∴消去参数t得y＝2﹣3（x﹣1）化简得y＝﹣3x+5，则直线l的斜率为﹣3，故答案为﹣3【点评】本题主要考查了直线的参数方程，以及直线的斜率等基础知识，属于基础题．14．已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是π是无理数．【分析】根据三段论推理的标准形式，可得出结论【解答】解：用三段论形式推导一个结论成立，大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是：π是无理数，故答案为：π是无理数【点评】本题主要考查推理和证明，三段论推理的标准形式，属于基础题．15．i是虚数单位，设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝．【分析】由复数相等的条件列式求得x，y的值，再由复数模的公式计算．【解答】解：由（1+i）x＝1+yi，得x+xi＝1+yi，∴x＝y＝1，则|x+yi|＝|1+i|＝．【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．16．函数f（x）＝ln x﹣（a＞0），若∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）．【分析】∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），⇔f（x）max＜f（t）max，其中x∈[1，2]，t∈R．且f（a）不在区间[1，2]内．f′（x）＝﹣＝（a＞0，x＞0）．研究单调性即可得出极值与最值．【解答】解：∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），⇔f（x）max＜f（t）max，其中x∈[1，2]，t∈Rf′（x）＝﹣＝（a＞0，x＞0）．可得：函数f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减．x＝a时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（a）＝lna﹣1．∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），可得f（a）不在区间[1，2]内．∴a∈（0，1）∪（2，+∞）．故答案为：（0，1）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力由于计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求圆C和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆C公共点的极坐标．【分析】（1）圆C的极坐标方程转化为ρ2＝ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆C的直角坐标方程；直线l的极坐标方程转化为ρsinθ﹣ρcosθ＝1，由此能求出直线l的直角坐标方程．（2）由，得，由此求出直线l与圆C公共点的极坐标．【解答】解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，∴ρ2＝ρcosθ+ρsinθ，圆C的直角坐标方程为x2+y2＝x+y，∴x2+y2﹣x﹣y＝0，∵直线l的极坐标方程为ρsin（）＝，∴ρsinθ﹣ρcosθ＝1，∴直线l的直角坐标方程为：y﹣x＝1，即x﹣y+1＝0．（2）由，得，∴直线l与圆C公共点的极坐标为（1，）．【点评】本题考查圆和直线的直角坐标方程的求法，考查直线和圆的交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（12分）高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；（2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数；（3）设m，n表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18），求事件|m﹣n|＞2的概率．【分析】（1）由频率分布直方图能求出样本数据的众数．（2）数据落在第一、二组的频率为0.22，由此能求出该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数．（3）成绩在[13，14）的人数有2人，设为a，b，成绩在[17，18]的人数有3人，设为A，B，C，由此利用列举法能求出事件|m﹣n|＞2的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：众数落在第三组[15，16）中，∴样本数据的众数为：＝15.5．（2）∵数据落在第一、二组的频率为：1×0.04+1×0.18＝0.22，∴该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数为0.22×50＝11．（3）成绩在[13，14）的人数有：50×0.04＝2人，设为a，b，成绩在[17，18]的人数有：50×0.06＝3人，设为A，B，C，m，n∈[13，14）时有ab一种情况，m，n∈[17，18]时，有AB，AC，BC三种情况，m，n分别在[13，14）和[17，18]时有aA，aB，aC，bA，bB，bC六种情况，基本事件总数n＝10，设事件|m﹣n|＞2为事件A，它由aA，aB，aC，bA，bB，bC这六个基本事件组成，∴P（A）＝．【点评】本题考查众数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）设公差d不为零的等差数列{a n}，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）b n＝＝＝（﹣），由数列的裂项相消求和即可得到所求和．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列，可得a1+2d＝7，a42＝a2a9，即（a1+3d）2＝（a1+d）（a1+8d），解得a1＝1，d＝3，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；（2）b n＝＝＝（﹣），可得前n项和S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．20．（12分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PCD．（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．【分析】（1）推导出AF⊥PD，PA⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而AF⊥CD，由此能证明AF⊥平面PCD．（2）取PC的中点G，连结EG，GF，则四边形AEGF为平行四边形，从而EG∥AF，进而GF⊥平面PCD，EG 为三棱锥E﹣PFC的高，由此能求出三棱锥P﹣EFC的体积．【解答】证明：（1）∵PA＝AD＝2，F为AD中点，∴AF⊥PD，∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD，∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD．解：（2）取PC的中点G，连结EG，GF，则GF∥CD，GF＝，又EA∥CD，EA＝CD，∴AE∥GF，AE＝GF，∴四边形AEGF为平行四边形，∴EG∥AF，由（1）知AF⊥平面PDC，∴GF⊥平面PCD，EG为三棱锥E﹣PFC的高，又GF＝AF＝EG＝，PF＝，，∴三棱锥P﹣EFC的体积V＝＝．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．【分析】（I）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB，则可分别表示k PA和k PB，根据倾斜角互补可知k PA＝﹣k PB，进而求得y1+y2的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率．【解答】解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px∵点P（1，2）在抛物线上∴22＝2p×1，得p＝2故所求抛物线的方程是y2＝4x准线方程是x＝﹣1（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB则，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴k PA＝﹣k PB由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12＝4x1（1）y22＝4x2（2）∴∴y1+2＝﹣（y2+2）∴y1+y2＝﹣4由（1）﹣（2）得直线AB的斜率【点评】本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．22．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0）．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）证明：∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（3）问题等价于证明xlnx＞﹣令g（x）＝xlnx，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝xlnx，f′（x）＝lnx+1，切线斜率k＝f′（1）＝1，切点为（1，0），切线方程为y＝x﹣1；（2）f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得：x＝，①当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在[a，2a]上单调递增，∴f（x）min＝f（a）＝lna；②当＜a＜2a，即＜a＜时，f（x）在[a，]上单调递减，在[，2a]上单调递增，∴f（x）min＝f（）＝﹣；③当a≤时，f′（x）＜0，f（x）在[a，2a]上单调递减，∴f（x）min＝f（2a）＝2ln（2a）；（3）证明：要证的不等式两边同乘以x，则等价于证明xlnx＞﹣令g（x）＝xlnx，则由（1）知f（x）min＝f（）＝﹣，令φ（x）＝﹣，则φ′（x）＝，当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，φ（x）递增；当x＞1时，φ′（x）＜0，φ（x）递增减；∴φ（x）max＝φ（1）＝﹣，∴f（x）min＝φ（x）max，且最值不同时取到，即xlnx＞﹣，∴∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。

湖南师大附中18－18学年度第一学期期末考试高 二 数 学（选修1－1）命题人：朱海棠 审题人：吴锦坤考生注意：本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共20个小题，考试时间120分钟，试卷满分100分.一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把各题答案的代号填写在答题卷中相应的表格内.1.椭圆22145x y +=的一个焦点坐标是 （ D ） A .（3，0） B .（0，3） C .（1，0） D .（0，1）2.给出下列四个语句：①两条异面直线有公共点；②你是师大附中的学生吗？③x ∈{1，2，3，4}；④方向相反的两个向量是共线向量.其中是命题的语句共有 （ C ）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个3.给出下列五个导数式：①43()4x x ¢=；②(cos )sin x x ¢=；③(2)2ln 2x x ¢=；④1(ln )x x ¢=-；⑤211()x x¢=.其中正确的导数式共有 （ A ） A .2个 B . 3个 C .4个 D .5个 4.“a ＜1”是“11a >”的 （ B ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5.函数()(1)xf x x e =-的单调递增区间是 （ A ）A .[0，＋∞）B . [1，＋∞）C .（－∞，0]D .（－∞，1]6.下列命题的逆命题为真命题的是 （ C ）A .正方形的四条边相等B .正弦函数是周期函数C .若a ＋b 是偶数，则a ，b 都是偶数D .若x ＞0，则|x |＝x7.过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则|AB |＝ （ B ）A . 6B . 8C . 10D . 14 8.给出下列两个命题：命题p ：2是有理数；命题q ：若a ＞0，b ＞0，则方程221ax by +=表示的曲线一定是椭圆.那么下列命题中为真命题的是 （ D ）A .p ∧qB . p ∨qC . (﹁p )∧qD . (﹁p )∨q9.设a 为非零常数，若函数3()f x ax x =+在1x a=处取得极值，则a 的值为 （ C ） A. 3- B. 3 C. －3D. 3 10.设点A 为双曲线221124x y -=的右顶点，则点A 到该双曲线的一条渐近线的距离是（ A ）A .3B .3C . 32D . 32二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卷中相应题次后的横线上.11.命题“若a ＞2，则a 2＞4”的逆否命题可表述为：若 a 2≤4，则a ≤2 .12.抛物线y 2＝－12x 的准线方程是 x ＝3 .13.设某物体在时间t 秒内所经过的路程为s ，已知2443(0)s t t t =+-?，则该物体在第2秒末的瞬时速度为 20 m /s .14.曲线sin x y x =在点M (π，0)处的切线的斜率是1p -. 15.已知动点M 分别与两定点A (1，0)，B (－1，0)的连线的斜率之积为定值m (m ≠0)，若点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆(除去点A 、B )，则m 的取值范围是（－1，0）；若点M 的轨迹是离心率为2的双曲线(除去点A 、B )，则m 的值为 3 .三、解答题：本大题共5小题，共40分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分6分)已知含有量词的两个命题p 和q ，其中命题p ：任何实数的平方都大于零；命题q ：二元一次方程2x ＋y ＝3有整数解.（Ⅰ）用符号“"”与“$”分别表示命题p 和q ；（Ⅱ）判断命题“(﹁p )∧q ”的真假，并说明理由.【解】（Ⅰ）命题p ："x ∈R ，x 2＞0； （1分）命题q ：$x 0∈Z 且y 0∈Z ，2x 0＋y 0＝3.（3分）（Ⅱ）因为当x ＝0时，x 2＝0，所以命题p 为假命题，从而命题﹁p 为真命题. （4分） 因为当x 0＝2，y 0＝－1时，2x 0＋y 0＝3，所以命题q 为真命题. （5分） 故命题“(﹁p )∧q ”是真命题. （6分）17.(本小题满分8分)已知函数21()3ln 22f x x x x =-+. （Ⅰ）确定函数()f x 的单调区间，并指出其单调性；（Ⅱ）求函数()y f x =的图象在点x ＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积.【解】（Ⅰ）2233223()2(0)x x x x f x x x x x x-+--¢=-+==->. （1分）由()0f x ¢>，得x 2－2x －3＜0，即(x ＋1)(x －3)＜0，所以0＜x ＜3. （2分） 由()0f x ¢<，得x 2－2x －3＞0，即(x ＋1)(x －3)＞0，所以x ＞3. （3分） 故()f x 在区间(0，3)上是增函数，在区间(3，＋∞)上是减函数. （4分） （Ⅱ）因为(1)3124f ¢=-+=，13(1)222f =-+=， （5分） 所以切线的方程为34(1)2y x -=-，即542y x =-. （6分）从而切线与两坐标轴的交点坐标为5(0,)2-和5(,0)8. （7分） 故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积1552522832S =创=. （8分）18.(本小题满分8分)已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长等于12，离心率为13. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆左顶点作直线l ，若动点M 到椭圆右焦点的距离比它到直线l 的距离小4，求点M 的轨迹方程.【解】（Ⅰ）设椭圆的半长轴长为a ，半短轴长为b ，半焦距为 c. 由已知，2a ＝12，所以a ＝6. （1分） 又13c a =，即a ＝3c ，所以3c ＝6，即c ＝2. （2分） 于是b 2＝a 2－c 2＝36－4＝32. （3分）因为椭圆的焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程是2213632x y +=. （4分） （Ⅱ）法一：因为a ＝6，所以直线l 的方程为x ＝－6，又c ＝2，所以右焦点为F 2(2，0). （5分）过点M 作直线l 的垂线，垂足为H ，由题设，|MF 2|＝|MH |－4.设点M (x ，y )，则22(2)(6)42x y x x -+=+-=+. （6分）两边平方，得222(2)(2)x y x -+=+，即y 2＝8x. （7分） 故点M 的轨迹方程是y 2＝8x . （8分） 法二：因为a ＝6，c ＝2，所以a －c ＝4，从而椭圆左焦点F 1到直线l 的距离为4. （5分） 由题设，动点M 到椭圆右焦点的距离与它到直线x ＝－2的距离相等，所以点M 的轨迹是以右焦点为F 2(2，0)为焦点，直线x ＝－2为准线的抛物线. （7分） 显然抛物线的顶点在坐标原点，且p ＝|F 1F 2|＝4，故点M 的轨迹方程是y 2＝8x .（8分）19.(本小题满分8分)某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提高产品的增加值.已知投入x 万元用于技术改造，所获得的产品的增加值为2(60)x x -万元，并且技改投入比率(0,5]60x x∈-. （Ⅰ）求技改投入x 的取值范围；（Ⅱ）当技改投入多少万元时，所获得的产品的增加值为最大，其最大值为多少万元？【解】（Ⅰ）由05600x x x ⎧<≤⎪⇒-⎨⎪>⎩006060005050(60)5x x x x x x x >⎧<<⎧⎪->⇒⇒<≤⎨⎨≤⎩⎪≤-⋅⎩. （3分） 故技改投入x 的取值范围是(0，50]. （4分） F 2 x y O F 1 M l H（Ⅱ）设223()(60)60f x x x x x =-=-，(0,50]x ∈. 则2()12033(40)f x x x x x '=-=--. （5分） 由()0f x '>，得040x <<；由()0f x '<，得4050x <≤. （6分） 所以()f x 在区间（0，40]内是增函数，在区间[40，50]内是减函数，从而当x ＝40时()f x 取最大值. （7分）又2(40)(6040)4032000f =-⋅=，故当技改投入40万元时，所获得的产品的增加值为最大，其最大值为32000万元. （8分）20.(本小题满分10分)已知双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，过左焦点F 1作倾斜角为30°的直线l ，交双曲线于A ，B 两点，F 2为双曲线的右焦点，且AF 2⊥x 轴，如图. （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）若|AB |＝16，求双曲线的标准方程. 【解】（Ⅰ）设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>. 由已知∠AF 1F 2＝30°，∠A F 2F 1＝90°. （1分）在Rt △AF 2F 1中，121|F F |43|AF |c cos303==o ，21223|AF ||F F |tan30c 3==o . （3分）因为|AF 1|－|AF 2|＝2a ，所以4323c c 233a -=，即3c 3a =，所以3c e a ==. （5分）（Ⅱ）因为3c a =，所以22222b c a a =-=，从而双曲线方程化为222212x y a a -=， 即22222x y a -=. （6分） 因为右焦点为F 2(3a ，0)，则直线l 的方程为3(3)3y x a =+.代人双曲线方程，得 22212(3)23x x a a -+=，即2252390x ax a --=. （7分） A B F 1 F 2 x y O设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则21212239,55x x a x x a +==-. （8分） 所以2221212121212362||||1()4332553a a AB x x x x x x =-?=+-?+? 83216535a a =?. （9分） 因为|AB|＝16，所以a ＝5，从而22250b a ==.故双曲线方程是2212550x y -=.(10分)。

湖南师大附中2018年高三年级第六次月考数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间150分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合=<--=<=N M x x x N x x M 则集合},032|{},2|||{2 （ ）A ．}22|{<<-x xB ．}31|{<<-x xC ．}32|{<<x xD ．}21|{<<-x x 2．在△ABC 中，C=2B ，则B Bsin 3sin 等于（ ）A ．ba B ．abC ．ca D ．ac 3．已知命题p ：公差不为0的等差数列}{n a 中的任何两项不相等；命题q ：公比不为1的等 比数列}{n b 中的任何两项不相等，则下列命题为真的是（ ）A ．p 或qB ．p 且qC ．┐p 或qD ．┐p 且q4．把函数x y 2cos =的图象按向量a 平移，得到x y 2sin =的图象，则 （ ）A ．)0,2(π=B ．)0,2(π-= C ．)0,4(π= D ．)0,4(π-=5．（理）圆122=+y x 上的点到直线t t y tx (3443⎩⎨⎧+=-=为参数）的距离的最大值是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．1（文）直线过点（0，2），且被圆422=+y x 截得的弦长为2，则此直线的斜率是（ ） A ．23±B ．33±C ．2±D ．3±6．在四边形ABCD 中，==⋅且,0，则四边形ABCD 是 （ ）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形 7．如图，点E 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，则 过点E 且与直线AB 、B 1C 1都相交的直线的条数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数条 8．若),,0(,+∞∈b a 则“122<+b a ”是“b a ab +>+1”成立 的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 9．如图，在杨辉三角中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的 数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，……，记 其第n 项为a n ，则a 19等于 （ ） A ．11 B ．12 C ．55 D ．7810．将一张画了两轴的长度单位相同的平面直角坐标系的纸折叠一次，使点（2，0）与点（－2，4）重合，若点（7，3） 与点（m ，n ）重合，则m+n 的值为 （ ）A ．3B ．7C ．10D ．4 11．如图，在△ABCD 中，︒=∠=∠30CBA CAB ，AC 、BC边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 （ ） A ．1 B ．2C ．32D ．312．已知x 、y 满足12,00033-+=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+x y z y x y x 则的取值范围是（ ）A ．[－2，1]B ．),1[]2,(+∞--∞C ．[－1，2]D ．),2[]1,(+∞--∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上. 13．用火柴棒按下图的方法搭三角形： 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 . 14．函数),(132a x x y -∞+--=在区间上是增函数，则a 的取值范围是 . 15．在等式“][9][11+=”右边两个分灵敏的分母处，各填上一个自然数，使这两个自然数的和最小. 16．定义一种运算“*”，对于正整数n 满足以下运算性质：（1）1*1=1，（2）（n+1）*1=3（n*1）则n*1用含n 的代数式表示是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）如图，在圆422=+y x 上有一定点)3,1(--A 和两动点P 和Q ，PA PAQ ,30︒=∠与 x 轴交成的倾斜角为)65,0(,πθθ∈ （1）把线段PA 的长表示成θ的函数并求该函数的值域； （2）当线段PA 最长时求△PAQ 面积.18．（本小题满分12分）某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为)0(>k k ，贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去.（1）若存款的利率为)048.0,0(,∈x x ，试写出存款量)(x g 及银行应支付给储户的利息 )(x h ；（2）存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？19．（12分）已知四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ABC BAD ，⊥PA 平面ABCD ，PA=AD=3BC=3，AB=2.（1）求点D 到平面PAC 的距离；（2）若点M 分PA 的比为2，求二面角M —CD —A 的正切值.20．（本小题满分12分）有)4(2≥n n 个正数，排成n n ⨯矩阵（n 行n 列的数表，如图）：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足：163,81,1434224===a a a ，（1）求公比q ； （2）用k 表示k a 4；（3）（文科生不做．．．．．）求nn a a a a ++++ 332211的值.… ………21．（本小题满分12分）（理科生做．．．．）已知OPQ ∆的面积为S ，且1=⋅PQ OP ； （1）若θ的夹角与求向量PQ OP S ),23,21(∈的取值范围； （2）设m S m OP 43,||==，以O 为中心，P 为焦点的椭圆经过点Q ，当),2[+∞在m 上 变动时，求||的最小值，并建立适当的直角坐标系求出此时的椭圆方程.（文科生做）在△ABC 中，已知B （－3，0），C （3，0），D 为线段BC 上一点，H BC AD ,0=⋅是△ABC 的垂心，且.3= （1）求点H 的轨迹M 的方程； （2）若过C 点且斜率为21-的直线与轨迹M 交于点P ，点Q （t ，0）是x 轴上任意一点， 求当△CPQ 为锐角三角形时t 的取值范围.22．（本小题满分14分）（理科生做．．．．）对于在区间[m ，n]上有意义的两个函数)()(x g x f 与，如果对任意],[n m x ∈ 均有],[)()(,1|)()(|n m x g x f x g x f 在与则称≤-上是非接近的，否则称)()(x g x f 与在],[n m 上是非接近的，现有两个函数)1,0(1log )()3(log )(21≠>-=-=a a ax x f a x x f a a 与，给定区间]3,2[++a a .（1）若)()(21x f x f 与在给定区间]3,2[++a a 上都有意义，求a 的取值范围. （2）讨论)()(21x f x f 与在给定区间]3,2[++a a 上是否接近的？（文科生做）已知函数)()(2c b a c bx ax x f >>++=的图象上有两点))(,(11m f m A 、))(,(22m f m B ，满足.0)()()]()([0)1(21212=⋅+⋅++=m f m f a m f m f a f 且（1）求证：0≥b ；（2）求证：)(x f 的图象被x 轴所截得的线段长的取值范围是)3,2[；（3）问能否得出)3(1+m f 、)3(2+m f 中至少有一个为正数？请证明你的结论.数学参考答案一、选择题：D ，A ，A ，C （理）A ，（文）B ，C ，B ，A ，C ，C ，D ，B 二、填空题：13．12+=n a n 14．1-≤a 15．4，12 16．13-n 提示：1213]1)1[(31,,3)12(313,3)11(312,111-=*-=*∴=*=*=*=*=*n n n三、解答题17．（1）解法1：设P 点的坐标为l PA y x =||),,(，于是3sin ,1cos -=-=θθl y l x .因为4),(22=+y x y x P 在圆上，所以4)3sin ()1cos (22=-+-θθl l ， 化简得).6sin(4)sin 3(cos 20,0)sin 3(cos 22πθθθθθ+=+=>=+-l l l l 得由].4,0()6sin(4),65,0(∈+=∴∈πθπθl ………………8分 解法2：直线PA 的方程为03tan tan ),1(tan 3=-+-+=+θθθy x x y 即 ∵圆心O 到直线PA 的距离为2222||2,tan 1|3tan |d R PA R d -=∴=+-=θθθθθθθθ222222cos )1tan 3(2tan 1)1tan 3(2tan 1)3(tan 42+=++=+--= ]4,0()6sin(4||),65,0(.|)6sin(|4|cos sin 3|2∈+=∴∈+=+=πθπθπθθθPA ……………………8分（2）由（1）得或者由几何性质得：当3πθ=即AP 过圆心时PA 最长为4，此时PA 为圆的直径. 所以PAQ ∆为直角三角形. 因为|PA|=4，所以2,32==PQ AQ .32||||21==∆PQ AQ S PAQ ……………………12分 18．解：（1）由题意，存款量2)(kx x g =，银行应支付的利息3)()(kx x g x x h =⋅=……4分（2）设银行可获收益为y ，则 32048.0kx kx y -⋅=………………6分03096.003096.022=-⨯='-⋅='kx x k y kx x k y 即令解得032.00==x x 或………………9分又当)032.0,0(,0,)048.0,032.0(,0,)032.0,0(在时时y y x y x ∴<'∈>'∈内单调递增， 在（0.182，0.188）单调递减. 故当032.0=x 时，y 在（0，0.188）内取得极大值，亦即最大值.答：存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益.………………12分 19．解法一：（1）过D 作DQ ⊥AC 于点Q ，⊥PA 平面ABCD ，DQ PA ⊥∴.………………（1分） ⊥∴DQ 平面PAC.………………（2分）∴又由DQ AC AB AD S ACD ⋅=⋅=∆2121， 522=+=BC AB AC ……………（4分） 556523=⋅=⋅=∴AC AB AD DQ ………（5分） ∴D 到平面PAC 的距离为.556…………（6分） （2）过A 作AK ⊥DC 于K 点，连MK. ∵PA ⊥平面ABCD ，∴MK ⊥CD. ∴∠MKA 为M —CD —A 的平面角.……………………（9分）ACD MA PM MAPMAD PA ∆==∴===在又.1,2,2,3 中，由面积相等， 得22,=⋅=⋅CD AK CD AB AD 又，.32tan ,223==∠∴=⋅=∴AK MA MKA CD AB AD AK ………………（12分）解法二：以A 为坐标原点，分别以,,所在直线为x 、y 、z 轴建立坐标系. ……………………………………（1分）（1）过D 作DQ PAC DQ DQ PA Q AC DQ ∴⊥∴⊥⊥,,,平面于 就是D 到平面PAC 的距离.………………（2分）设),0,1,2()(m BC AB m AC m AQ =+==),0,3,2()0,1,2()0,3,0(-=+-=+=∴m m m AQ DA DQ …………（4分）由53,0)3(4,2=∴=-+=⋅⊥m m m m 得…………（5分） .556)512()56(||22=+=……………………（6分）（2）过A 作).0,2,2(,-==⊥λλK DC AK 设点于………………（7分） 则,43,0,).0,23,2(=∴=⋅∴⊥-=+=λλλDK AK AD AK DK AD AK .2230)23()23(||22=++=∴………………（9分）MKA CD MK ABCD MA ∠∴⊥∴⊥.,平面 就是M —CD —A 的平面角.……（11分）.32||tan ==∠∴AK MKA ………………………………（12分） 20．解：（1）∵每一行的数列成等差数列，444342,,a a a ∴成等差数列，41,244444243=+=∴a a a a ；又每一列的数成等比数列，故1,2422444=⋅=a q a a ， 21,0,412=∴>=∴q a q n 且………………（文6分，理4分）（2）.16))(2(81)2(4243424ka a k d k a a k =--+=-+=……（文12分，理8分） （3）∵第k 列的数成等比数列 ).,,2,1()21()21(16444n k k k q a a k k k k kk =⋅=⋅=⋅=∴-- 记n nn S a a a a =++++ 332211，由错位相消法，可得.222nn n S +-=……（理12分）21．（理科）解：（1）,,θπθ-∴夹角为与夹角为与,sin ||||21)sin(||||21θθπPQ OP PQ OP S ⋅=-⋅=∴ 又,tan 21sin cos 121,1cos ||||θθθθ=⋅=∴=⋅=⋅S )23,21(∈S ，).3,4()3,1(tan ππθθ∈∴∈∴………………（5分）（2）以O 为原点，所在直线为x 轴建立直角坐标系，,43||21),,(),0,(000m y m S y x Q m P OPQ =⋅⋅=∴∆则设 ),23,(),0,(,2300±-==∴±=∴m x m y由,1,1)(00mm x m x m +=∴=-=⋅.49)1(||),23,1(2++=∴±+∴m m m m Q ……………………（8分） 令1)(,1)(>+=x x f x x x f 在上是增函数，),2(1)(+∞+=∴在mm m f 上为增函数， ||,2m 时当=∴的最小值为;23449)25(2=+………………（10分） 此时P （2，0），椭圆另一焦点为)0,2(-'P ，则椭圆长轴长,102)23()225()23()225(||||22222=++++-='+=P O a6410,102=-==b a ，故椭圆方程为.161022=+y x ………………（12分） （文科）解：（1）设),(),,(00y x A y x H ，则由0=⋅BC AD 知，AD 是△ABC 的高， .4,3.00y y x x ===∴得由 ).,3(),4,3().4,(y x y x y x A +=--=∴∴…（2分） ABC H ∆是 的垂心，0),3()4,3(,0=+⋅--∴=⋅y x y x即).0(9422≠=+y y x …………（6分）（2）直线CP 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+--=--=94)3(21).3(2122y x x y x y 由解得点P 的坐标为).23,0(…（7分） （i ）PCQ k CP ∠∴-=当,21是锐角时，点Q 只能在点C 的左侧，此时.3<t …（8分）（ii ）当PQC ∠为锐角时，0,0<>t k PQ 此时；…………（9分） （iii ）当QPC ∠为锐角时，.43,0)23,3()23,(,0->>-⋅->⋅t t 即.043<<-∴t ………………（12分） 22．（理科）（14分）（1）要使)()(21x f x f 与有意义，则有：.31003a x a a a x a x >⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠>>->-且要使)()(21x f x f 与在给定区间[a +2，a +3]上有意义。

湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试文科数学试题一、选择题(本大题共11个小题，每小题5分，共55分)1.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用二倍角的余弦公式求解即可.详解：,故选C.点睛：本题主要考查二倍角的余弦公式，属于简单题.2.已知数列1，，，，…，，…，则是它的( )[A. 第22项B. 第23项C. 第24项D. 第28项【答案】B【解析】试题分析：由题意可知数列的通项公式，∴令=，可得．考点：数列的通项公式．3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝c＝2a，则cos B＝A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】将三角形的三边都用表示，然后根据余弦定理求解即可．【详解】在△ABC中，由余弦定理得．故选B．【点睛】本题考查余弦定理的应用，解题的关键是把三边进行统一表示，属于简单题．4.在△中，角所对的边分别为,若，则△为A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】由正弦定理可得，即，所以是钝角，选A.5.已知点在函数的图象上，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，利用基本不等式计算出的最小值为.【详解】故选.【点睛】本题考查基本不等式的应用，属中档题.6.《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节的容积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设此等差数列为{a n}，公差d＞0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，可得4a1+6d=3，3a1+21d=4，联立解出即可得出a1与d的值，由等差数列的通项公式计算可得答案．详解：根据题意，设该竹子自上而下各节的容积为等差数列{a n}，设其公差为d，且d＞0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，则4a1+6d=3，3a1+21d=4，解可得a1=，d=，则第6节的容积a6=a1+5d=故答案为：A点睛：本题主要考查等差数列的通项，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力. 7.设为等比数列{}的前n 项和,,则＝A. 10B. 9C. -8D. -5 【答案】A 【解析】由,得,故.故选A 8.数列满足，则数列的前20项的和=( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】由，得，，的前项的和为，故选A.9.若实数满足约束条件，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使最大，则直线在轴上的截距最大，结合可行域可知当直线过点时z 最大，求出的坐标，代入得答案．详解：由满足约束条件作出可行域如图，由，得．要使z最大，则直线的截距最大，由图可知，当直线过点时截距最大．联立，解得），∴的最大值为．故选：B．点睛：本题考查了简单的线性规划，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．10.已知，则取最大值时的值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由，利用基本不等式可得结果.详解：∵，∴，当且仅当时取等号．∴取最大值时的值为．故选．点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.11.已知等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若对所有的n(n∈N*)，都有S n≥S10，则A. a n≥0B. a9·a10<0C. S2<S17D. S19≤0【答案】D【解析】【分析】由题意得到等差数列前n项和的最小值为，进而得到，然后再根据等差数列项的下标和的性质以及求和公式，对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．【详解】由对所有的n(n∈N*)，都有，得等差数列{a n}的前n项和S n的最小值为，所以a10≤0，a11≥0.对于A，由以上结论可得显然不成立，所以A错误；对于B，由以上结论可得，所以B错误；对于C，由于，所以，因此C错误；对于D，由以上结论可得，故，所以D正确．故选D.【点睛】本题考查等差数列中的基本运算和分析判断的能力．解题的关键是由题意得到数列项的正负的结论，另外还要注意等差数列中“下标和”性质的应用，属于基础题．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.在等比数列{a n}中，a4·a6＝2 018，则a3·a7＝________ .【答案】2018【解析】【分析】根据等比数列中项的下标和的性质求解即可．【详解】∵数列{a n}为等比数列，∴．故答案为：2018.【点睛】本题考查等比数列的项的下标和的性质，即在等比数列中，若，且，则，运用此性质可简化计算，提高解题的效率．13.在△ABC中，a＝，b＝1，∠A＝，则cos B＝________．【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求出sin B，再根据平方关系求出cos B即可．【详解】在△ABC中，由正弦定理得，∴．又，∴B为锐角，∴．故答案为：．【点睛】本题考查正弦定理和同角三角函数关系式的运用，解题时根据要求逐步求解后可得结论，属于基础题．14.对于实数a、b、c，有下列命题：①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0.其中正确的是________．(填写序号)【答案】②③④⑤【解析】【分析】根据不等式的有关知识对给出的每个命题分别进行判断，进而可得正确的命题．【详解】对于①，当c＝0时，由a>b，可得ac＝bc，故①为假命题；对于②，由ac2>bc2，得c≠0，故c2>0，所以可得a>b，故②为真命题；对于③，若，则，且，所以，故③为真命题；对于④，若，则，则，则，故④为真命题；对于⑤，若a>b，，则，故a·b<0，所以，故⑤为真命题．综上可得②③④⑤为真命题．故答案为：②③④⑤.【点睛】本题考查不等式的性质及其应用，解题的关键是熟练、正确地运用有关性质进行解题，要特别注意在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向要改变等，这是容易出现错误的地方，属于基础题．三、解答题(本大题共3小题，共30分)15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求的角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长. 试题解析：（1）由已知可得（2）又，的周长为考点：正余弦定理解三角形.16.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3 000元、2 000元. 甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在A、B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1 h，2 h，加工一件乙产品所需工时分别为2 h，1 h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400 h和500 h，分别用x，y表示计划每月生产甲、乙产品的件数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问每月分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使月收入最大？并求出最大收入．【答案】（1）见解析（2）安排生产甲、乙两种产品月的产量分别为200，100件可使月收入最大，最大为80万元．【解析】试题分析：（1）设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，列出约束条件和目标函数，画出可行域。

湖南师大附中2018届高三月考试卷(七)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设集合A＝{x|－3<x<π}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则A∩B的元素个数为(C)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】因为集合A＝{x|－3<x<π}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，所以集合A中含有所有奇数，A∩B＝{－1，1，3}，A∩B的元素个数为3，故选C.(2)若复数z满足(1－i)z＝1＋3i，则|z|＝(B)(A) (B) (C) (D)【解析】由(1－i)z＝1＋3i，则z＝，|z|＝＝＝，故选B.(3)为了检查某超市货架上的奶粉是否合格，要从编号依次为1到50的袋装奶粉抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是(D)(A)5，10，15，20，25 (B)2，4，8，16，32(C)1，2，3，4，5 (D)7，17，27，37，47【解析】从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，采用系统抽样间隔应为10，只有D答案中的编号间隔为10，故选D.(4)设集合A＝，B＝{x||x－1|<a}，则“a＝1”是“A∩B≠”的(A)(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【解析】由题意得A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|1－a<x<a＋1}．①当a＝1时，B＝{x|0<x<2}，则A∩B＝{x|0<x<1}≠成立，即充分性成立．②若a＝，则A∩B＝{x|－1<x<1}∩{x|<x<}＝{x|<x<1}≠故必要性不成立．综合得“a＝1”是“A∩B≠”的充分不必要条件，故选A.(5)已知动圆M与圆C1：＋y2＝1外切，与圆C2：＋y2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是(A)(A)＋＝1 (B)＋＝1(C)＋y2＝1 (D)x2＋＝1【解析】设动圆M的半径为r，则|MC1|＝r＋1，|MC2|＝5－r，∴|MC1|＋|MC2|＝6>|C1C2|，故圆M的轨迹是以C1(－1，0)，C2(1，0)为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为＋＝1.(6)4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元，则2枝玫瑰花和3枝茶花的价格之差的最大值是(B)(A)－1 (B)0 (C)1 (D)2【解析】设一枝玫瑰花与一枝茶花价格分别为x元和y元，则有令z＝2x－3y，如图作出可行域：当过点A(3，2)时，2x－3y有最大值，z＝0，故选B.(7)已知α，β∈，＝，且2sin β＝sin，则β的值为(A)(A) (B) (C) (D)【解析】∵α∈，＝＝tan α，∴α＝，∴sin α＝，cos α＝；∵2sin β＝sin＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos β＋sin β化简可得∴tan β＝，∵β∈，∴β＝.故选A.(8)如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝(A)(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【解析】模拟执行程序框图，可得a＝14，b＝18，满足条件a≠b，不满足条件a>b，b＝4，满足条件a≠b，满足条件a>b，a＝10，满足条件a≠b，满足条件a>b，a＝6，满足条件a≠b，满足条件a>b，a＝2，满足条件a≠b，不满足条件a>b，b＝2，不满足条件a≠b，输出a的值为2.故选A.(9)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为a i(i＝1，2，…，10)，且a1<a2<…<a10，若48a i＝5M，则i＝(C)(A)4 (B)5 (C)6 (D)7【解析】由题意知，由细到粗每段的重量成等差数列，记为，设公差为d，则解得a1＝，d＝，所以该金杖的总重量M＝10×＋×＝15，∵48a i＝5M，∴48＝75，解得i＝6，故选C.(10)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(A)。