华大新高考联盟名校2020年5月份高考预测考试文科数学试题 (解析版)

2020届华大新高考联盟名校高考预测考试5月数学（文）试题一、单选题1．集合{}13,x x x N *-<<∈的非空子集个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】A【解析】化简集合,根据集合元素个数可求解. 【详解】{}{}13,1,2x x x N *-<<∈=,∴集合共有224=个子集， ∴非空子集个数为4-1=3个，故选：A 【点睛】本题主要考查了集合的子集的概念，属于容易题.2．已知命题p ：复数2z i =-的虚部是i -，命题q ：210ax ax ++>恒成立，则()0,4a ∈.下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝【答案】D【解析】先判断条件中命题,p q 的真假，即可判断选项的真假. 【详解】对于命题p ，复数2z i =-的虚部是1-，所以命题p 是假命题，p ⌝是真命题， 对于命题q ，当0a =时，不等式10>恒成立，满足条件，所以命题q 是假命题，q ⌝是真命题，∴p q ∧是假命题，故A 错误；p q ∨是假命题，故B 错误；p q ⌝∧是假命题，故C 错误；p q ⌝∧⌝是真命题，故D 正确.故选：D. 【点睛】假，对原命题真假判断正确是关键.3．已知角α和角β的终边垂直，角β的终边在第一象限，且角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin β=（ ） A ．35B ．35C ．45-D ．45【答案】B【解析】根据任意角的三角函数定义求出3cos 5α=，再根据诱导公式sin sin()2πβα=+cos α=可求得结果.【详解】 由已知得35x =，45y =-，所以222234()()155r x y =+=+-=， 所以由任意角的三角函数定义可知3cos 5x r α==， 所以sin sin()2πβα=+3cos 5α==. 故选：B. 【点睛】本题考查了任意角的三角函数定义，考查了诱导公式，属于基础题. 4．执行如图所示的程序框图，则输出的s 的值为（ ）A ．49B ．89C ．37D ．67【解析】根据算法和循环结构依次计算即可 【详解】解：第1次，1101(12)13S =+=⨯+⨯，15i =≤成立，则123i =+=，第2 次，11,351335S i =+=≤⨯⨯成立，则325i =+=， 第3次，111,55133557S i =++=≤⨯⨯⨯成立，则527i =+=， 第4次，1111,7513355779S i =+++=≤⨯⨯⨯⨯不成立， 则输出111113355779S =+++⨯⨯⨯⨯ 11111111123355779⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1141299⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 故选：A. 【点睛】此题考查算法循环结构框图，考查裂项相消求和法，属于基础题.5．函数2sin ()xf x x=的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】先判断函数的奇偶性，再根据函数在2x π=处的导数值正负，判断函数在该点的斜率正负即可. 【详解】()22sin sin x x -()f x ∴为奇函数，故A ，C 错误；()222sin cos sin x x x xf x x-'=， 2402f ππ⎛⎫'∴=-< ⎪⎝⎭，故图象在2x π=处的切线斜率为负，故D 错误.故选：B. 【点睛】本题考查给定函数选函数的图象，此类题型先观察选项的不同之处，一般先判断函数的奇偶性，然后取特殊值代入计算，或利用单调性判断.6．从1，2，3，4，5这五个数中随机选取两个，则和为奇数的概率为（ ） A ．25B ．12C ．35D ．710【答案】C【解析】根据题意，列举所有可能的选取情况，再找出满足题意的可能，用古典概型的概率计算公式即可求得结果. 【详解】用列举法，所有情况为：（1，2），（1，3），（1.4），（1，5），（2，3），（2.4），（2.5），（3.4），（3，5），（4.5）.共10种，其中和为奇数的情况包含6种：（1.2），（1，4），（2.3），（2.5），（3.4），（4.5）. 故满足题意的概率为35， 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型的概率求解，属简单题；注意列举的不重不漏. 7．函数()()tan 0,02f x x ωϕωϕπ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭与直线1y =的两个相邻交点之间的距离为2π，且将()f x 的图象向左平移6π之后得到的图象关于原点对称.则关于函数()f x ，下列说法正确的是（ ）A ．最小正周期为πB ．渐近线方程为()k x k z ππ=+∈C ．对称中心为(),0122k k z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．单调递增区间为(),3262k k k k z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意，得到2T π=，求出2ω=，再由函数奇偶性，得到6π=ϕ，求得()tan 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由正切函数的性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】由题意，易得最小正周期为2T π=，所以2ω=，将()f x 的图象向左平移6π之后得到tan 23y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为其图象关于原点对称， 所以tan 23y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，因此()32k k Z ππϕ+=∈， 又02πϕ<<，所以6π=ϕ，故()tan 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()262x k k Z πππ+=+∈得，渐近线方程为()62k x k Z ππ=+∈， 由262k x ππ+=得()124k x k Z ππ=-+∈，对称中心为(),0124k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 由2262k x k πππππ-+<+<+，解得：3262k k x ππππ-+<<+， 即单调递增区间为(),3262k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题主要考查正切函数的性质的应用，涉及三角函数的平移变换，属于常考题型. 8．直线()2200,0ax by a b +-=>>过函数()111f x x x =++-图象的对称中心，则41a b+的最小值为（ ） A ．9 B ．4C ．8D ．10【解析】求得()f x 的对称中心，据此求得 a b +，再利用基本不等式即可求得结果. 【详解】 函数()111f x x x =++-的图象可由1y x x =+向右平移1个单位，再向上2个单位得到， 又1y x x=+是奇函数，故其对称中心为()0,0， 故()f x 的对称中心为（1，2）， 所以1a b +=.()41414415249b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当223a b ==时等号成立. 故选：A. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及函数对称中心的求解，属综合基础题. 9．在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，点P 是以点C 为圆心，2为半径的圆上的动点，设AP AB AD λμ=+ ，则λμ+的最小值为（ ） A ．1 B ．76C ．2D ．83【答案】B【解析】根据题意，以点A 为坐标圆，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，得到圆C 的方程为：()()22344x y -+-=，设()2cos 3,2sin 4P θθ++，根据AP AB AD λμ=+，得出()5sin 26λμθϕ+=++，即可得出结果.【详解】则()0,0A ，()3,0B ，()0,4D ，()3,4C ， 点P 是以点C 为圆心，2为半径的圆上的动点， 所以圆C 的方程为：()()22344x y -+-=， 设()2cos 3,2sin 4P θθ++，又AP AB AD λμ=+，所以2cos 332sin 44θλθμ+=⎧⎨+=⎩，从而()2157cos sin 2sin 23266λμθθθϕ+=++=++≥. 故选：B. 【点睛】本题主要考查由平面向量基本定理求参数，涉及三角函数的性质，以及圆的方程，属于常考题型.10．九章算术中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖（如图）.现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法.显然.正方体的内切球同时也是“牟合方盖”的内切球.因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，该平面截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆.结合相国原理，两个同高的立方体，如在等高处的截面积相等，则体积相等；若正方体的棱长为2.则“牟合方盖”的体积为（ ）A ．163B ．2πC ．83D ．43π 【答案】A【解析】根据题意，得到任意水平面与“牟合方盖”及其内切球相交的截面为正方形和一个正方形的内切圆，由祖暅原理，得出“牟合方盖”的体积和内切球的体积比，进而可求依题意，任意水平面与“牟合方盖”及其内切球相交的截面为正方形和一个正方形的内切圆，正方形和内切圆的面积比为4:π，由祖暅原理，“牟合方盖”的体积和内切球的体积比为4:π，又正方体的棱长为2，所以其内切球的半径为1，所以内切球体积为43π， 故“牟合方盖”的体积为163. 故选：A. 【点睛】本题主要考查多面体与球内切的相关计算，属于常考题型.11．设1F 、2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线右支上一点，满足1260F PF ∠=︒，且以1PF 、2PF 为邻边的平行四边形的两对角线长度分别为2c 、4b ，则双曲线的离心率为（ ）A ．B CD 【答案】C【解析】利用双曲线的定义及平行四边形的对角线的向量表示，即可建立12,PF PF 的方程，再利用余弦定理可得,,a b c 关系，即可求出离心率. 【详解】由双曲线定义知122PF PF a -=， 由平行四边形知124PF PF b +=. 同时将上述两式等号两边平方得：222121224PF PF PF PF a +-=，22212122cos6016PF PF PF PF b →→→→++︒=解得()2222123324PF PF ba +=+，22123164.PF PFb a =-（）又由余弦定理22212124PF PF c PF PF +-=，将（）式代入，可得方程2224230b a c +-=，整理得222c a =，故离心率c e a ===.本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，余弦定理，向量的数量积运算，考查了运算能力，属于中档题.12．定义在R 上的连续函数()f x ，导函数为()f x '，若对任意不等于1-的实数x 均有()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦成立.且()()211x f x f x e -+=--，则下列命题中一定成立的是（ ） A ．()()10f f -> B ．()()21ef f -<- C ．()()20ef f -< D ．()()20ef f ->【答案】B【解析】构造函数()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=，()g x '的符号与1x +的符号相反，从而可得()()x f x g x e=在(),1-∞-上单调递增，在()1,-+∞上单调递减，由()()211xf x f x e -+=--得()()1111x xf x f x e e-+---+--=，得到()g x 的图像关于直线1x =-对称，进而可得答案【详解】构造函数()()xf xg x e=.则()()()x f x f x g x e '-'=，()g x '的符号与1x +的符号相反， 故()()x f x g x e=在(),1-∞-上单调递增，在()1,-+∞上单调递减； 又()()211xf x f x e -+=--，所以()()1111x xf x f x e e -+---+--=， 即()()11g x g x -+=--. 故()()x f x g x e=关于直线1x =-对称. 综上，()()02(1)g g g =-<-， 故选：B. 【点睛】此题考查抽象函数的单调性，考查导数的应用，考查函数的对称性，属于中档题二、填空题13．若4进制数2m 01（4）（m 为正整数）化为十进制数为177，则m =______. 【答案】3【解析】将各数位上的数乘以其权重累加后，即可求解 【详解】将4进制数2m 01（4）化为十进制数为01231404424177m ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得3m =. 故答案为：3 【点睛】本题考查进制间的转化，属于基础题.14．已知命题“x R ∃∈，210mx x -+<”是假命题，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】14m ≥【解析】利用原命题的等价命题进行转化求解，即原命题为假，则其否定为真. 【详解】若命题“x R ∃∈，210mx x -+<”是假命题，则“x R ∀∈，210mx x -+≥”为真命题，则只需满足0140m m >⎧⎨∆=-≤⎩，解得14m ≥.故答案为：14m ≥. 【点睛】本题考查命题的真假与参数的取值范围求解问题，较易，解答时只需要利用等价命题转化为二次不等式的恒成立问题即可.15．已知a 、b 、c 分别是ABC 的内角A 、B 、C 所对的边.且2222cos cos b c a ac C c A +-=+，若ABC ______. 【答案】6【解析】根据题意利用正弦定理边角互化，求得A ；根据三角形面积，求得bc ，再利用基本不等式即可求得周长的最小值. 【详解】则2221cos 22b c a A bc +-==. 又()0,A π∈，则3A π=，所以132s bcsinA ==，得4bc =， 因此2224a b c =+-，故2242426a b c b c b c bc bc ++=+-++-+=≥ （当且仅当2b c ==时等号成立）. 故答案为：6. 【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及利用基本不等式求最值，属综合中档题. 16．如图，在等腰三角形ABC 中，已知3AB AC ==，2BC =.将它沿BC 边上的高AD 翻折，使B 点与C 点的距离为1，则四面体ABCD 的外接球的表面积为______.【答案】103π【解析】根据题意，得到翻折后BCD 为等边三角形，记BC 中点为E ，连接DE ，记BCD 的外心为1O ，求出1O D ，记四面体ABCD 外接球的球心为O ，连接1OO ，OA ，OD ，根据球的性质，得到1OO ⊥平面BCD ，推出1//OO AD ，取AD 中点F ，连接OF ，设R 表示外接球的半径，再由题中条件，求出球的半径，即可得出结果. 【详解】由已知可得，翻折后1BC BD CD ===， 即BCD 为等边三角形，记BC 中点为E ，连接DE ，记BCD 的外心为1O ，则1O 也为等边三角形BCD 的中心，所以2122131332O D DE ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭记四面体ABCD 外接球的球心为O ，连接1OO ，OA ，OD ， 因为球心与截面圆圆心的连线与截面垂直， 所以1OO ⊥平面BCD ，又AD DC ⊥，AD DB ⊥，DC ⊂平面BCD ，DB ⊂平面BCD ， 所以AD ⊥平面BCD ，因此1//OO AD ， 取AD 中点F ，连接OF ， 设R 表示外接球的半径，则OA OD R ==，所以OF AD ⊥，又AD ⊥平面BCD ，所以1AD DO ⊥， 所以四边形1DFOO 为矩形，因此13OF DO ==， 又222AD AC CD =-=所以222312532326AD R ⎛⎛⎛⎫=+=+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因此25104463S R πππ==⨯=. 故答案为：103π. 【点睛】本题主要考查求几何体外接球的表面积，熟记几何体结构特征，以及球的表面积公式即可，属于常考题型.三、解答题17．某研究部门为了研究气温变化与患新冠肺炎人数多少之间的关系，在某地随机对50人进行了问卷调查；得到如下列表：（附()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++）（1）是否有99%的把握认为患新冠肺炎与温度有关，说明你的理由；（2）为了了解患新冠肺炎与年龄的关系，已知某地患有新冠肺炎的老年、中年、青年的人数分别为54人，36人，18人.按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少一人是老年人的概率.【答案】（1）有99%的把握认为患新冠肺炎与气温有关，理由见解析；（2）4 5 .【解析】（1）根据题意，计算2k，结合参考数据表，即可容易判断；（2）求得分层抽样在各年龄段抽取的人数，列举所有从6人中随机抽取2人的可能，再找出满足题意的可能，利用古典概型的概率计算公式，即可求得结果.【详解】（1）()225020155108.333 6.63525252030k⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为患新冠肺炎与气温有关， （2）从108人中按照分层抽样的方法随机抽取6人， 老年、中年、青年分别抽取的人数为3人，2人，1人，记3个老年人为123,,A A A ，2个中年人为12,B B ，1个青年人为1C ，抽取的全部结果为（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，C 1），（A 2，A 3）， （A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，C 1），（31,A B ），（32,A B ），（31,A C ），（B 1，B 2）， （B 1，C 1），（B 2，C 1）共15种.至少1人是老年人的有（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，C 1）， （A 2，A 3），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，C 1），（31,A B ）， （32,A B ），（3A ，1C ），共12种. 所以至少1人是老年人的概率为124155p ==. 【点睛】本题考查独立性检验，以及古典概型的概率求解，涉及分层抽样，属综合基础题. 18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且430S =，2a ，4a 的等差中项为10. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求212231222nn n n T S S S S S S +=++⋅⋅⋅+. 【答案】（1）2nn a =；（2）()121221+-=-nnn T . 【解析】（1）将题中条件转化为与等比数列的首项和公比，求出首项、公比即可求出通项公式；（2）由（1）求出n S ，求出数列12n n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可用裂项相消的形式求出n T .【详解】（1）2a ，4a 的等差中项为10,2420a a ,()()23143241130302020a q q q S a a a q q ⎧+++==⎧⎪⇒⎨⎨+=+=⎩⎪⎩，解得12a =，2q,1222n n n a -∴=⋅=;（2）由（1）可知()()21222112n n nS -==--，()()1112211142121221221n n n n n n n n S S +++⎛⎫∴==- ⎪⋅---⋅-⎝⎭， 2231111111142121212121n n nT +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⋅-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()111111122211421421221n n n n n ++++--⎛⎫=⋅-=⋅= ⎪---⎝⎭. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及前n 项和公式的求法，并且考查了用裂项相消法求数列前n 项和，属于综合题.19．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，PA ⊥平面ABC ，E 、F 分别是PC 、PB 边上的中点，点M 是线段AB 上任意一点，若2AP AC BC ===.（1）求异面直线AE 与BC 所成的角： （2）若三棱锥M AEF -的体积等于19，求AMBM【答案】（1）90°；（2）12AM BM =. 【解析】（1）根据题意，由线面垂直推证处BC AE ⊥，则异面直线夹角可求； （2）转化棱锥顶点，根据点E 到平面PAB 的距离等于点C 到平面PAB 的距离的一半，结合棱锥体积公式，即可求得结果. 【详解】（1）因为AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，则AC BC ⊥. 又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC所以PA BC ⊥. 又PAAC A =，,PA AC ⊂平面PAC ，则BC ⊥平面PAC .又AE ⊂平面PAC ， 则BC AE ⊥.所以异面直线AE 与BC 所成的角为90°. （2）设AMt BM=.因为2PA AC BC ===，所以AB =则122PAB S =⨯=△又因为F 是PB的中点，所以12ABF PAB S S ==△△因为AM t BM=，所以AMF BMF S t S =△△..又AMF BMF ABF S S S +==△△△1AMF S t =+△. 因为AC BC =，且O 为AB 中点，故CO AB ⊥； 又PA ⊥平面ABC ，CO ⊂平面PAB ，故CO PA ⊥， 又,,AB PA A AB PA ⋂=⊂平面PAB ， 故可得CO ⊥平面PAB，而CO =C 到平面PAB.又E 是PC 的中点，则点E 到平面PAB 的距离等于点C 到平面PAB 的距离的一半. 故点E 到平面PAB的距离等于2. 111323129M AEF E AMF AMF V V S t --==⨯⨯=⨯⨯=+△，解得12t =，即12AM BM =. 【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，以及有棱锥体积计算线段比例关系，涉及线线垂直的证明，属综合基础题.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0Q ，直线:2l x =.若动点P 在直线l 上的射影为R ，且2PR PQ =，设点P 的轨迹为C .（1）求C 的轨迹方程；（2）设直线y x n =+与曲线C 相交与A 、B 两点，试探究曲线C 上是否存在点M ，使得四边形MAOB 为平行四边形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）答案见解析.【解析】（1）根据题意，设出动点的坐标，将几何关系转化为代数关系，整理化简即可求得轨迹方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理结合向量的坐标运算，根据点M 坐标满足椭圆方程，即可求证. 【详解】（1）设()P x y ，，由2PR PQ =得2x -=平方化简得号2212x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，联立2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22220x x n ++-=， 即2234220x nx n ++-=， 所以1243n x x +=-，1212223ny y x x n +=++=. 假设存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形， 则OM OA OB =+，所以()()()331122,,,x y x y x y =+， 所以31243n x x x =+=-，31223ny y y =+=. 由点M 在曲线C 上得223312x y +=，代入得2284199n n +=，解得234n =，n =.所以当n =时，曲线C 上存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形，此时点M 的坐标为33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或者M 33⎛- ⎝⎭，当2n ≠±，曲线C 上不存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中点的存在性问题，涉及韦达定理的使用，属综合中档题.21．设函数()=ln f x x ，()1x ng x x +=+， （1）当1n =-时，若函数()y g x m =-在()1,+∞上单调递增，求m 的取值范围： （2）若函数()()y f x g x =-在定义城内不单调，求n 的取值范围： （3）是否存在实数a ，使得()202axa x f f e f x a ⎛⎫⎛⎫⋅+≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意正实数x 恒成立?若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2m ≤；（2）3n <-；（3）存在，2a =. 【解析】（1）根据题意，得到()211y g x m x m =-=--+，再由函数单调性，即可得出结果；（2）先由题意，得到定义域，再对函数()()y f x g x =-求导，根据其不单调，得到11x n x+++的最小值为负，进而可得出结果；（3）先令()()22axa x x f f e f x a θ⎛⎫⎛⎫=⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对其求导，用导数的方法求出最大值，再结合题中条件，即可得出结果. 【详解】（1）当1n =-时，()11x g x x -=+， ()12111x m y g x m x m x m --=-==--+-+在()1,+∞上单调递增，而函数211y x m =--+可由2y x =-平移后得到，函数2y x=-单调递增，所以只需11m -≤，所以2m ≤；（2）易知函数()()y f x g x =-的定义域为()0,∞+，而()()()()()()2222111111111x n x n x n y f x g x x x x x x x ++++++-=-==++''-+'=， 因为函数()()y f x g x =-在定义城内不单调， 所以，只需11x n x+++的最小值为负，即301n n ++<=，所以3n <-.（3）令()()2ln 2ln ln ln 22axa x x f f e f ax a ax x x a x a θ⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅-⋅+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0x >，0a >.则()1ln 2ln a a a x a x x θ⋅--+'=，令()1ln 2ln a a x x a a xδ⋅--+=， 则()22110a ax x x x xδ+'=--=-<在()0,∞+上恒成立， 则()x δ在()0,∞+上单调递减，又x →∞时，()x δ→-∞；0x →时，()x δ→+∞； 所以()0x δ=在区间()0,∞+上必存在实根， 不妨设()00x δ=，即()0001ln 2ln 0x a a a x a x δ=⋅--+=， 即0000ln 2ln 10ax a ax x ax ⋅--+=，（）所以当()00,x x ∈时，()()0x x θδ'=>；当()0,x x ∈+∞时，()()0x x θδ'=<， 即()x θ在区间()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，所以()()0max x x θθ=. 而()00000ln 2ln ln ln 20x ax a ax x x a θ=⋅-⋅+-=，代人（ ）式得()00012x ax ax θ+=-.根据题意知()000120x ax ax θ=+-≤恒成立. 又根据不等式0012ax ax +≥，当且仅当001ax ax =时等式成立， 所以0012ax ax +=，即01ax =， 将01x a =代入（）式得1ln ln 2a a =，即12a a =，a =【点睛】本题主要考查由函数单调性求参数，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记导数的方法研究函数单调性，最值等即可，属于常考题型，难度较大. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2231x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413cos ρθ=+（1）写出直线l 和曲线C 的普通方程：（2）过曲线C 上任一点P 作与l 的夹角为30°的直线，交l 于点Q ，求PQ 的最大值与最小值.【答案】（1）直线l 的普通方程为3280x y --=，曲线C 的普通方程为2214y x +=；（2）最大值为. 【解析】（1）利用加减消元法即可求得直线l 的普通方程；利用公式，即可求得曲线C 的直角坐标方程；（2）设出点P 坐标的参数形式，根据题意，将PQ 长度转化为椭圆上一点到直线距离的最值问题，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的值域，即可求得结果. 【详解】（1）直线l 的参数方程为2231x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），故可得其普通方程为：3280x y --=； 曲线C 的极坐标方程为22413cos ρθ=+，故可得22234x y x ++=，整理可得曲线C 的直角坐标方程为：2214y x +=. （2）根据（1）中所求，不妨设点P 坐标为(),2cos sin θθ，点P 到直线l 的距离为h ，根据题意可得22PQ h ==()35sin θ8,,,224tan ππφφφ⎛⎫=-+∈-=- ⎪⎝⎭，故可得max min PQ PQ ==. 【点睛】本题考查参数方程和普通方程，极坐标方程和直角坐标方程的转化，涉及利用参数方程求动点到直线距离范围的问题，属综合基础题.23．设函数()11f x x x =+--（1）求()y f x =的值域；（2）[)()0,,x f x ax b ∀∈+∞≤+，求2+a b 的最小值.【答案】（1）[]2,2-；（2）2.【解析】（1）利用绝对值三角不等式求函数的值域；（2）由题得2,01()=2,1x x f x x ≤≤⎧⎨>⎩，即当0a ≥且0b ≥且2a b +≥时，求2+a b 的最小值，再利用线性规划知识分析解答即得解.【详解】（1）因为()()11112x x x x +--≤+--=.所以2112x x -≤+--≤. 当1x ≤-时，()f x 取得最小值-2；当1≥x 时，()f x 取得最大值2.所以()y f x =的值域为[]2,2-.（2）由题得2,01()=2,1x x f x x ≤≤⎧⎨>⎩， 由题意知，当[)0,x ∈+∞时，()y f x =的图象恒在射线y ax b =+的下方，作出两函数在[)0,x ∈+∞时的图象，易得022b a b ≤≤⎧⎨≤+⎩或20b a ≥⎧⎨≥⎩，即当0a ≥且0b ≥且2a b +≥时，求2+a b 的最小值， 设112,22a b z b a z +=∴=-+，根据线性规划，当2a =，0b =时，2+a b 有最小值2.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，考查绝对值不等式的恒成立问题的求解，考查线性规划直线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

2020年湖北省华大新高考联盟高考文科数学模拟试卷数学试题一、选择题（共12小题）1.设集合{}3,1,0,1,3A =--，()(){}120B x x x =-+≥，则A B =（ ） A.{}3,3- B.{}1,3 C.{}3,1,3-D.{}3,1,0,1,3--2.已知复数11z i=+，则z z ⋅=（ ） A.0B.1D.23.已知()tan 2αβ+=，tan 1α=-，则tan β=（ ） A.3-B.3C.13-D.134.魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是以圆内接正多边形的面积，来无限逼近圆面积.刘徽形容他的割圆术说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.”某学生在一圆盘内画一内接正十二边形，将100粒豆子随机撒入圆盘内，发现只有4粒豆子不在正十二边形内.据此实验估计圆周率的近似值为（ ） A.103B.165C.227D.2585.已知lg 2x =，ln 3y =，2log 3z =，则（ ） A.x z y <<B.z y x <<C.x y z <<D.z x y <<6.执行如图所示的程序框图，设输出数据构成集合A ，则集合A 中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.67.设椭圆2213x y m +=的离心率为e ，则4m =是12e =的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 的中点，设AC a =，BD b =，则AM =（ ）A.1344a b + B.1344a b - C.3144a b + D.3144a b - 9.设()f x ，()g x 分别为定义在[],ππ-上的奇函数和偶函数，且()()2cos x f x g x e x +=（e 为自然对数的底数），则函数()()y f x g x =-的图象大致为（ ）A. B.C. D.10.将函数2cos 214y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位得到()y f x =的图象，给出下列四个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 在(),ππ-上有4个零点；③()f x 在37,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；④3788f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则正确的结论序号是（ ） A.②④B.①②C.③④D.②③11.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a c ≠，sin2B =，ABC △的面积为2b ac -最小值为（ ）A.B. C. D.12.制作芯片的原料是晶圆，晶圆是由硅元素加以纯化得到，晶圆越薄，其体积越小且成本越低，但对工艺的要求就越高，即制作晶圆越薄其工艺就越高.某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立甲，乙，丙三个科研小组，用三种不同的工艺制作晶圆.甲小组制作的晶圆厚度为11sin 32毫米，乙小组制作的晶圆厚度为11sin 23毫米，丙小组制作的晶圆厚度为17cos 28毫米，则在三个小组中制作工艺水平最高与最低的分别是（ ） A.甲小组和丙小组 B.丙小组和乙小组 C.乙小组和丙小组D.丙小组和甲小组二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设()31log ,021,0x x x f x x -+≥⎧=⎨-<⎩，则13f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦______.14.某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批产品中随机抽取一件产品检测，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为______.15.在等腰直角ABC △中，2AB =，90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 的高，将ABC △沿AD 折叠，折叠后使ABC △成等边三角形，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为______.16.设点1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过点1F 作直线l 与双曲线C 的左、右支分别交于A ，B 两点，若2234AF BF =且22AF BF ⊥，则双曲线C 的离心率为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟.教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组[]0,40，(]40,80，(]80,120，(]120,160，(]160,200得到如图所示的频率分布直方图.全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人.若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率.18.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知417a a -=，37S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2,log ,n n na nb a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，数列{}n b 前n 项和为n T ，求2n T .19.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=︒，2AC =，侧面11CBB C 为正方形，平面11ACC A ⊥平面ABC .点M 为1A C 的中点，点N 为AB 的中点.（1）证明：MN ∥平面11BCC B ； （2）求三棱柱11A ABC -的体积.20.设点F 为抛物线22y px =（0p >）的焦点，A ，B ，C 三点在抛物线上，且四边形ABCF 为平行四边形，当B 点到y 轴距离为1时，5BF =. （1）求抛物线的方程；（2）平行四边形ABCF 的对角线AC 所在的直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由. 21.已知函数()22cos 2f x ax x =+-，（a ∈R ）.（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程； （2）若()0f x ≥，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为cos 32sin 3x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为253cos 2θρα=-，点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上.（1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）求PQ 的最大值. [选修4-5：不等式选讲]23.设a ，b ，c 都是正数，且1a b c ++=. （1）求11a b c++的最小值； （2）证明：444a b c abc ++≥.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}3,1,0,1,3A =--，()(){}120B x x x =-+≥，则A B =（ ） A.{}3,3- B.{}1,3 C.{}3,1,3-D.{}3,1,0,1,3--【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可.解：集合{}3,1,0,1,3A =--，()(){}(][)120.21,B x x x =-+≥=-∞-+∞， 则{}3,1,3A B =-， 故选：C.2.已知复数11z i=+，则z z ⋅=（ ） A.0B.1D.2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由2z z z ⋅=求解. 解：∵21111iz i i i -=+=+=--，∴222z z z ⋅===. 故选：D.3.已知()tan 2αβ+=，tan 1α=-，则tan β=（ ） A.3-B.3C.13-D.13【分析】利用βαβα=+-，进行拆角，结合两角和差的正切公式进行计算即可. 解：()()()tan tan 21tan tan 31tan tan 12αβαβαβααβα+-+=+-===-++-，故选：A.4.魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是以圆内接正多边形的面积，来无限逼近圆面积.刘徽形容他的割圆术说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.”某学生在一圆盘内画一内接正十二边形，将100粒豆子随机撒入圆盘内，发现只有4粒豆子不在正十二边形内.据此实验估计圆周率的近似值为（ ） A.103B.165C.227D.258【分析】设圆的半径为1，圆的面积为S ，求得圆内接正多边形的中心角，再由三角形的面积公式，计算可得正多边形的面积，注意运用近似计算，即可得到所求结论.解：设圆的半径为1，圆的面积为S ， 由圆内接正十二边形的每条边的中心角为3603012︒=︒， 则12111211sin 306322S =⨯⨯⨯⨯︒=⨯=； ∴2310042511008ππ-≈⇒≈⋅； 故选：D.5.已知lg 2x =，ln 3y =，2log 3z =，则（ ） A.x z y <<B.z y x <<C.x y z <<D.z x y <<【分析】利用对数函数的性质求解. 解：∵lg 21x =<，ln 31y =>，2log 31z =>， 所以x 最小， 又∵lg 3lg y e=，lg 3lg 2z =，而lg lg 2e >， ∴x y z <<， 故选：C.6.执行如图所示的程序框图，设输出数据构成集合A ，则集合A 中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.6【分析】先根据流程图进行逐一进行运行，即可求出集合A ，从而得解. 解：当20x y =-⇒=；2111x y =-+=-⇒=-， 1100x y =-+=⇒=， 0113x y =+=⇒=，1128x y =+=⇒=，213x =+=，退出循环，所以{}0,1,3,8A =-，则集合A 中元素的个数为4. 故选：B.7.设椭圆2213x y m +=的离心率为e ，则4m =是12e =的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【分析】讨论椭圆焦点位置，从而求出m ，在判断其充分必要性.解：当3m >时，12e ==， ∴4m =当3m <时，12e ==， ∴94m = ∴4m =是12e =的充分不必要条件 故选：A.8.在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 的中点，设AC a =，BD b =，则AM =（ ） A.1344a b +B.1344a b -C.3144a b +D.3144a b -【分析】利用平面向量的基本定理，分解AM AB BM =+，根据题意，找到AB ，BM 与a ，b 的关系，代入即可得答案. 解：如图，∵1122AB DC a b ==-，1122BC b a =+， ∴111244BM BC b a ==+， ∴111131224444AM AB BM a b b a a b =+=-++=-. 故选：D.9.设()f x ，()g x 分别为定义在[],ππ-上的奇函数和偶函数，且()()2cos x f x g x e x +=（e 为自然对数的底数），则函数()()y f x g x =-的图象大致为（ ）A. B.C. D.【分析】依题意，可得()()2cos xxf xg x e-=-，当0.01x =时，0y <，可排除选项C ，D ；又4x π=-为极值点，则排除选项B ；由此得出正确答案.解：∵()()2cos xf xg x e x +=，∴()()()2cos x f x g x e x --+-=-，即()()2cos xf xg x e x --+=，∴()()2cos xxf xg x e -=-， ∵2cos xxy e=-，当0.01x =时，0y <，∴可排除选项C ，D ；又()2sin cos 4x xx x x y e e π⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'==，故4x π=-为极值点，即选项B 错误； 故选：A.10.将函数2cos 214y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位得到()y f x =的图象，给出下列四个结论： ①()f x 为偶函数；②()f x 在(),ππ-上有4个零点；③()f x 在37,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；④3788f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则正确的结论序号是（ ） A.②④B.①②C.③④D.②③【分析】先根据图象的平移变换，求出()f x 的解析式.对于①，只需()0f 取得最值即可；对于②，令()0f x =，求出该区间上的根即可；对于③，根据x 的区间，求出x ωϕ+的范围，看看是否是sin x 的减区间即可；对于④，由函数的对称性判断对称轴即可.解：依题意，()2cos 22cos 21444f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 对于①，因为()01f =，不是最值，故①错；对于②，由()0f x =得1cos 242x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2243x k πππ-=±+，k Z ∈，所以24x k ππ=-+或724x k ππ=+，k Z ∈.令0k =，1-，1，可得1724z π=-，或24π-，或724π，或2324π.故②对； 对于③，当3788x ππ<<时，32242x πππ<-<，此时，cos y x =在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭先减后增，故③错；对于④，3788f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭表示函数关于58x π=对称，此时538f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭最小值，故④对. 故选：A.11.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a c ≠，sin23B =，ABC △的面积为2b ac -最小值为（ ）A.B. C. D.【分析】根据二倍角公式和同角的三角函数的关系和面积公式可得6ac =，再根据余弦定理可得()228b a c =-+，则28b ac a c a c=-+--根据均值不等式即可求出.解：因为sin 23B =，所以21cos 12sin 23BB =-=，所以sin 3B =，又因为1sin 2ac B = 所以6ac =，所以()()2222242cos 83b ac ac B a c ac a c =+-=-+=-+，所以28b ac a ca c=-+≥=--，当且仅当a c -=a =，c =故2ba c-最小值为故选：C.12.制作芯片的原料是晶圆，晶圆是由硅元素加以纯化得到，晶圆越薄，其体积越小且成本越低，但对工艺的要求就越高，即制作晶圆越薄其工艺就越高.某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立甲，乙，丙三个科研小组，用三种不同的工艺制作晶圆.甲小组制作的晶圆厚度为11sin 32毫米，乙小组制作的晶圆厚度为11sin 23毫米，丙小组制作的晶圆厚度为17cos 28毫米，则在三个小组中制作工艺水平最高与最低的分别是（ ） A.甲小组和丙小组 B.丙小组和乙小组 C.乙小组和丙小组D.丙小组和甲小组【分析】设11sin 32a =，11sin 23b =，17cos 28c =，可得：162sin 2a =，163sin 3b =，763cos 8c =.利用三角函数的单调性可得：733cos 3cos 832π>=.12sin 2sin 126π<=，133sin 3sin 362π<=.可得c 最大，否定B ，D.设()sin x f x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.利用导数研究其单调性即可得出b a >.解：设11sin 32a =，11sin 23b =，17cos 28c =， ∴162sin 2a =，163sin 3b =，763cos 8c =. ∵783π<，∴733cos 3cos 832π>=.又126π<，136π<，∴12sin 2sin126π<=，133sin 3sin 362π<=. ∴c 最大，否定B ，D. 设()sin x f x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.()2cos sin x x x f x x -'=. 令()cos sin g x x x x =-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.()sin 0g x x x '=-<. ∴函数()g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时为减函数，∴()()00g x g <=.∴()0f x '<. ∴函数()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时为减函数. ∴1132f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11sinsin321132>，∴113sin 2sin 32>.∴b a >. 故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设()31log ,021,0x x x f x x -+≥⎧=⎨-<⎩，则13f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦34-.【分析】推导出3111log 233f ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，从而()212213f f f -⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由此能求出结果.解：∵()31log ,021,0x x x f x x -+≥⎧=⎨-<⎩，∴3111log 233f ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭， ()21322134f f f -⎡⎤⎛⎫=-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：34-.14.某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批产品中随机抽取一件产品检测，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为0.21.【分析】抽到一等品、二等品、三等品的事件分别为A ，B ，C ，利用互斥事件概率加法公式列出方程组，能求出抽到二等品的概率.解：设抽到一等品、二等品、三等品的事件分别为A ，B ，C ，则()()()()()()()0.860.351P A P B P B P C P A P B P C +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩， 解得抽到二等品的概率()0.21P B =. 故答案为：0.21.15.在等腰直角ABC △中，2AB =，90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 的高，将ABC △沿AD 折叠，折叠后使ABC △成等边三角形，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为6π. 【分析】将三角形沿AD折叠使得，则可求出AD BD CD ===BD CD ⊥，又AD BD ⊥，AD CD ⊥，以A ，D ，B ，C 为顶点构造正方形，可得()226R =，解得即可求出外接球的表面积.解：沿AD 折叠后使ABC △为等边三角形，即折叠后2BC =，易得AD BD CD ===又222224BD CD BC +=+==，所以BD CD ⊥，又AD BD ⊥，AD CD ⊥，以A ，D ，B ，C 为顶点构造正方形， 设三棱锥A BCD -的外接球的半径为R ，则()222222226R AD BD CD =++=++=，解得232R =，所以该三棱锥的外接球的表面积246D R ππ==. 故答案为：6π.16.设点1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过点1F 作直线l 与双曲线C 的左、右支分别交于A ，B 两点，若2234AF BF =且22AF BF ⊥，则双曲线C的离心率为5. 【分析】利用已知条件，结合直角三角形以及双曲线的定义，通过余弦定理，转化求解双曲线的离心率即可. 解：2234AF BF =，设24BF m =，23AF m =，因为22AF BF ⊥，所以5AB m =，由双曲线的定义可得：1132542m AF am AF m a⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩解得m a =，1AF a =，在直角三角形2ABF 中，233cos 55a BAF a ∠==， 在12AF F △中，()22224923cos c a a a a BAF π=+-⋅-∠，所以22173c a =，可得e =.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟.教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组[]0,40，(]40,80，(]80,120，(]120,160，(]160,200得到如图所示的频率分布直方图.全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人.若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率.【分析】（1）利用频率分布直方图性质能求出男生自主学习不超过40分钟的人数和女生自主学习不超过40分钟的人数，由此能估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数.（2）在80名学生中，男生网上学习时间不超过40分钟的人数4人，女生网上学习时间不超过45分钟的人数2人，从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，基本事件总数2615n C ==，至少抽到1名男生包含的基本事件个数21144214m C C C =+=，由此能求出至少抽到1名男生的概率.解：（1）男生自主学习不超过40分钟的人数为：0.0025401500150⨯⨯=人，女生自主学习不超过40分钟的人数为：0.0012540150075⨯⨯=人，∴估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数为：15075225+=人. （2）在80名学生中，男生网上学习时间不超过40分钟的人数：400.0025404⨯⨯=人，女生网上学习时间不超过45分钟的人数：400.00125402⨯⨯=人， ∴选4名男生，2名女生，从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，基本事件总数2615n C ==，至少抽到1名男生包含的基本事件个数21144214m C C C =+=，∴至少抽到1名男生的概率1415m p n ==. 18.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知417a a -=，37S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2,log ,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，数列{}n b 前n 项和为n T ，求2n T .【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为1q ≠，由417a a -=，37S =.可得3117a q a -=，()31171a q q-=-，联立解得：1a ，q .即可得出n a .（2）设2,log ,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，则12,1,n n n b n n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为偶数为奇数.利用等差数列等比数列的求和公式即可得出.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为1q ≠，∵417a a -=，37S =. ∴3117a q a -=，()31171a q q-=-，联立解得：11a =，2q =.∴12n n a -=.（2）设2,log ,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，则12,1,n n n b n n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为偶数为奇数. 数列{}n b 前n 项和为n T ，则()()321222202422n n T n -=++++++++-()()()22412412204123n nn n n n ---+=+=+--.19.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=︒，2AC =，侧面11CBB C 为正方形，平面11ACC A ⊥平面ABC .点M 为1A C 的中点，点N 为AB 的中点.（1）证明：MN ∥平面11BCC B ； （2）求三棱柱11A ABC -的体积.【分析】（1）连结1AC 、1BC ，推导出1MN BC ∥，由此能证明MN ∥平面11BCC B.（2）取AC 的中点H ，连1A H ，则1A H AC ⊥，从而1A H ⊥平面ABC ，进而1A H BC ⊥，由11CBB C 为正方形，得1BC CC ⊥，推导出1BC AA ⊥，1BC AA ⊥，从而BC ⊥平面11ACC A ，由此能求出三棱柱11A ABC -的体积. 解：（1）证明：连结1AC 、1BC ，∵11ACC A 是菱形，点M 为1A C 的中点，∴11AC AC M ⋂=， 又点M 为1AC 的中点，点N 为AB ，∴1MN BC ∥， ∵1BC ⊂平面11BCC B ，MN ⊄平面11BCC B ， ∴MN ∥平面11BCC B .（2）∵侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=︒， ∴1AAC △为等边三角形，112AA A C AC ===， 取AC 的中点H ，连1A H ，则1A H AC ⊥， ∵平面11ACC A ⊥平面ABC ，∴1A H ⊥平面ABC ， ∴1A H BC ⊥，而11CBB C 为正方形，∴1BC CC ⊥， 又11AA CC ∥，∴1BC AA ⊥， 又11AA CC ∥，∴1BC AA ⊥，又111AA A H A ⋂=，∴BC ⊥平面11ACC A ，∵11AAC △的面积122sin1202S =⨯⨯⨯︒=∴三棱柱11A ABC -的体积11111233A ABCB A AC V V --===.20.设点F 为抛物线22y px =（0p >）的焦点，A ，B ，C 三点在抛物线上，且四边形ABCF 为平行四边形，当B 点到y 轴距离为1时，5BF =. （1）求抛物线的方程；（2）平行四边形ABCF 的对角线AC 所在的直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.【分析】（1）依题意1B x =，再利用抛物线的定义即可求出p 的值，从而得到抛物线的方程；（2）设直线AC 的方程为：x ty m =+，设()11,A x y ，()22,C x y ，(),B B B x y ，()4,0F ，由FA FC FB +=可得12124B B x x x y y y =+-⎧⎨=+⎩，联立方程直线AC 与抛物线方程，利用韦达定理得到2162416B Bx t m y t ⎧=+-⎨=⎩，代入抛物线方程，即可求出m 的值，从而得到直线AC 恒过定点()2,0. 解：（1）依题意，1B x =， 由抛物线的定义可得：152p+=，∴8p =， ∴抛物线的方程为：216y x =；（2）设直线AC 的方程为：x ty m =+，设()11,A x y ，()22,C x y ，(),B B B x y ，()4,0F ， ∴()114,FA x y =-，()4,B B FB x y =-，()224,FC x y =-， 依题意，FA FC FB +=，所以1212444B B x x x y y y -+-=-⎧⎨+=⎩，即12124B B x x x y y y =+-⎧⎨=+⎩，联立方程216x ty m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：216160y ty m --=，∴()2164160t m ∆=-+⨯>，即240t m +>，且1216y y t +=，1216y y m =-，∴()212122162x x t y y m t m +=++=+，∴2162416B B x t m y t⎧=+-⎨=⎩，又∵216B B y x =， ∴()()2216161624t t m =+-，解得2m =，即直线AC 的方程为：2x ty =+，令0y =，2x =， ∴直线AC 恒过定点()2,0.21.已知函数()22cos 2f x ax x =+-，（a ∈R ）.（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程； （2）若()0f x ≥，求a 的取值范围.【分析】（1）先求导，根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）先判断函数的奇偶性，再根据导数和函数最值的关系即可求出a 的范围，需要分类讨论.解：（1）若1a =时，()22cos 2f x x x =+-，则()22sin f x x x '=-，∴斜率()2k f ππ'==，∵()24f ππ=-，∴曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()242y x πππ-+=-，即2240x y ππ---=.（2）∵()()f x f x -=， ∴()f x 为偶函数， ∵()0f x ≥，∴当0x ≥时，()0f x ≥， ∵()22sin f x ax x '=-，0x ≥， 令()22sin g x ax x =-，∴()()22cos 2cos g x a x a x '=-=-，①当1a ≥时，()0g x '≥，()g x 在[)0,+∞上单调递增，∴()()00g x g ≥=， 即()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞上单调递增，∴()()00f x f ≥=，满足条件，②当0a ≤时，22024f a ππ⎛⎫=⋅-< ⎪⎝⎭，显然不满足条件，③当01a <<时，若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()0g x '=，解得0cos x a =， ∴存在0x ，使得当()00,x x ∈，()0g x '<，∴()g x 在()00,x 上单调递减，即()()00g x g <=，即()0f x '<， ∴()f x 在()00,x 上单调递减，即()()00f x f <=，所以不满足条件， 综上所述a 的取值范围为[)1,+∞.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为cos 32sin 3x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为253cos 2θρα=-，点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上.（1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）求PQ 的最大值.【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和二次函数性质的应用求出结果.解：（1）曲线1C的参数方程为323x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），转换为直角坐标方程为()22723x y +-=.曲线2C 的极坐标方程为253cos 2θρα=-，转换为直角坐标方程为2214x y +=.（2）设()2cos ,sin Q θθ，()10,2C ，则：()()22212282cos 0sin 23sin 33C Q θθθ⎛⎫=-+-=-++ ⎪⎝⎭，当2sin 3=-时，1max C Q =所以max 33PQ =+=. [选修4-5：不等式选讲]23.设a ，b ，c 都是正数，且1a b c ++=. （1）求11a b c++的最小值； （2）证明：444a b c abc ++≥.【分析】（1）由a ，b ，c 都是正数，且1a b c ++=，利用“1的代换”代入，再由基本不等式求最值；（2）()()4444444442222222221122a b c a b b c a c a b b c a c ++++++++=+≥， 而()()2222222222222222221122222a b b c a c a b b c a b a c b c a c ++=+++++ ()()22212222ab c a bc abc abc a b c abc ≥++=++=，两次基本不等式等号同时成立，结论得证.【解答】（1）解：∵a ，b ，c 都是正数，且1a b c ++=，∴111124a b c a b c c a b a b c a b c a b c ++++++=+=+++≥+=+++. 当且仅当a b c +=时取“=”，∴11a b c++的最小值为4； （2）证明：()()4444444442222222221122a b c a b b c a c a b b c a c ++++++++=+≥. 当且仅当13a b c ===时“=”成立.而()()2222222222222222221122222a b b c a c a b b c a b a c b c a c ++=+++++ ()()22212222ab c a bc abc abc a b c abc ≥++=++=. 当且仅当13a b c ===时“=”成立.∴444a b c abc ++≥，当且仅当13a b c ===时“=”成立.。

华大新高考联盟名校2020年5月高考预测考试文科数学命题单位：湖南师大附中高三年级组审订单位：华中师范大学考试研究院本试题卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

＊祝考试顺利＊注意事项：1. 答题前先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2. 选择题的作答：每小题选出答案后．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效S 3. 填空题和醉答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效：-!. 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5. 考试结束后请将答题卡上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合A={.z·l -1<.r<.3,.rEN ·}的非空子集个数为A 3 B. 4 C.7 D. 82. 已知命题P:复数z =2-i 的虚部是一i;命题q泣丑+ax+l>O 恒成立，则aE (0,4). 下列命题为真命题的是A P I\ q B. P V q C.7 P /\ q D. 7 p /\ 7 q3.如图，角a和角p的终边垂直，且角a与单位圆的交点坐标为P(一，一一）．则si 咄＝A.-立5y B .一3 5C . 4 5勹,,'D .—4 5 4.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为4_9立7A C8_96_7 B D华大新高考联盟名校2020年5月高考预测考试文科数学参考答案和评分标准一、选择题1. 【答案】A 【解析】A中包含2个元素：1,2, 故子集个数为4,非空子集个数为3'故选A .2. 【答案】D 【解析】易发现p ,q均为假命题，故选D .3. 【答案】B【解析】由任意角的三角函数定义可知3 CO 沁＝—,所以s叩=sin (a+—亢35 2 ) =cosa = , 故选B .5生【答案】A 1 1 【解析】该程序为裂项相消求和，依题意知首项为，末项为，故选A .1X 37X9 5. 【答案】B. 2 【解析】函数f(x)为奇函数，故排除A ,C. j'(x ) = 2xsinxcos 2x —Slll X'所以j'(气＝—4X 2 z<O, 故图象在穴x =互处的切线斜率为负，故选B .26. 【答案】C【解析】用列举法，所有情况为：(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5), 共10种．其中和为奇数的情况包含6种：(1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 5), 3 (3,4),(4,5), 故概率为—，故选C.57. 【答案】D 【解析】易得w =2,所以y =tan(2x +;飞）为奇函数，中+;=�穴(kEZ),又o<产勹�'所以cp =�.故f(x)—tan(2x +互），最小正周期为气渐近线方程为x —卫红6 26 2+ (kEZ), 对称中心为卫＋红12 4 , 0)(kEZ ), 单调递增区间为六k 冗穴k 穴——+——— 3 2'6 2+ )(kEZ), 故选D .8. 【答案】A【解析】函数f(x)—x + 1 +1的图象的对称中心为(1,2)'所以a+b —1,4 1 4 1 —+——(a+b ) (—+—)— x —1 a b a b 4b a 2 4+1+—+—彦5+2五=9,当且仅当a =2b =—时等号成立，故选A .a b 3队【答案】B【解析】如图，点P在圆C :Cx —3)气(y —4)2—4上，设P(2cos0+3,2sin0+4), 又2cos0+3=3入吁＝入邓＋卢币，所以｛，从而2sin0+4=4µ 2 1 5 7 入十µ=—cos0+—sin{}十2=—sin(0+中)+2多—，故选B .3 2 6 6DA B文科数学参考答案和评分标准第1页（共5页）。

2020届华大新高考联盟押题模拟考试（五）数学（文）试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题1.设全集U= {}0,1,2,3,4,5，集合{1,3},{3,5}A B ==，则U ()C A B U =A. ｛0，4｝B. ｛1，5｝C. ｛2，0，4｝D. ｛2，0，5｝【答案】C 【解析】{}{}{}1,33,51,3,5A B ⋃=⋃=Q ，因为全集U = {}0,1,2,3,4,5，所以()U C A B ⋃= {}024，，，选C. 2.设i 是虚数单位，复数21iz i=+，则z =（ ）A. 1B. 2C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先化简运算复数z ，然后求出模长即可.【详解】解：因为复数()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-所以z ==故选D【点睛】本题考查了复数的运算与模长，属于基础题. 【此处有视频，请去附件查看】3.已知3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()cos 6πα-=（ ） A. 35 B. 35-C. 45D. 45-【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式可求出cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】由诱导公式可得3cos cos sin 63235ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：A.【点睛】本题考查利用诱导公式求值，解题的关键就是要明确两角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.4.下列函数中，是偶函数的是（ ） A. ()22f x x x =+B. ()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. ()2log f x x =D. ()2log f x x =【答案】D 【解析】分析各选项中函数的奇偶性，可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，函数()22f x x x=+的对称轴为直线1x =-，该函数不是偶函数；对于B 选项，函数()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为非奇非偶函数； 对于C 选项，函数()2log f x x =的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数； 对于D 选项，函数()2log f x x =的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()22log log f x x x f x -=-==，该函数为偶函数.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，熟悉基本初等函数的奇偶性以及函数奇偶性的定义是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.5.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222a b c bc =++，则A =（ ） A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理化简已知条件，求得1cos 2A =-，由此求得A 角的大小.【详解】由已知222a b c bc =++及余弦定理，得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，所以120A =︒．故选C ．【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.6.设平面向量()a=1,2v，()b=2,y -v ，若a b r r P ，则2a b -r r 等于（ ）A. 4B. 5C.D. 【答案】D 【解析】利用向量共线定理即可得出y ，从而计算出2a b -r r的坐标，利用向量模的公式即可得结果. 【详解】//,220a b y ∴-⨯-=Q vv，解得4y =-，()()()221,22,44,8a b ∴-=---=vv ，2a b ∴-==vv 故选D.【点睛】本题主要考查平面向量平行的性质以及向量模的坐标表示，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.7.等差数列{}n a 中，若159371139,27a a a a a a ++=++=，则数列{}n a 前11项的和为 A. 121 B. 120C. 110D. 132【答案】A 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵159371139,27a a a a a a ++=++=， ∴()()3711159612a a a a a a d ++-++==-, ∴2d =-,∴159131239a a a a d ++=+=, 解得121a =. ∴1111102111(2)1212S ⨯=⨯+⨯-=．选A ． 8.函数ln y x x =的单调递减区间是 （ ） A. 1(,)e -+∞ B. 1(,)e --∞C. 1(0,)e -D. (,)e +∞【答案】C 【解析】由题意，可得()f x '和定义域，由()0f x '<，即可求解函数的递减区间. 【详解】由题意，可得()ln 1,(0)f x x x =+>'，令()0f x '<，即ln 10x +<，解得10x e -<<，即函数的递减区间为1(0,)e -.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中根据函数的解析式求得函数的导数，利用()0f x '<求解，同时注意函数的定义域是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.9.函数sin y x x =-在[],ππ-上的图象是( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】【详解】试题分析：以x -代x 得，()sin()sin x x x x ---=-,所以函数sin y x x =-为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D;令2x π=，得函数值2y π=-，排除A 、C ，选B.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的图象.10.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且68139122a a a a +=，则2122220log log log a a a +++=L （ ）．A. 50B. 60C. 100D. 120【答案】A 【解析】分析：由题意结合等比数列的性质和对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：因为等比数列{}n a 的各项均为正数，且68139122a a a a +=， 所以6101122a a =，所以510112a a =，所以2122220log a log a log a +++L()21220log a a a =L()1021011log a a =()2101110log a a =52102log =10550=⨯=．本题选择A 选项.点睛：本题主要考查等比数列的性质，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.在等腰三角形ABC 中，4AB AC ==，6BC =，点P ，Q 是边BC 上的两个三等分点，则AP AQ ⋅=u u u r u u u r（ ） A. 0 B. 3C. -6D. 6【答案】D 【解析】 【分析】先取BC 中点D 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，以DA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，再求出P Q A 、、坐标，得到AP u u u v 与AQ uuuv 坐标，进而可求出其数量积.【详解】如图，取BC 中点D 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，以DA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，因为4AB AC ==，6BC =，则A 点坐标为(，P 点坐标为()1,0-，Q 点坐标为()1,0，所以(1,AP =-u u u v ，(1,AQ =u u u v ，所以6AP AQ u u u v u u u v⋅=.故选D【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，可采用建系的方法求出向量的坐标，进而可求出结果，属于基础题型.12.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()21xf x x e =+，以下列命题：①当0x >时，()()21x f x x e =- ②()0f x <的解集为11,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U③函数()f x 共有2个零点 ④12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -< 其中正确命题个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】首先根据奇函数，求0x >时，函数的解析式，然后再判断②③④，再判断④时， 转化为()()12max 2f x f x -<成立. 【详解】①设0x >，0x -<()f x Q 是奇函数，()()()()2121x x f x f x x e x e --∴=--=--+=-，∴①不成立；②当0x <时，()210xx e +< ，解得：21x <-； 当0x >时，()210xx e --< ，解得：102x <<，综上：不等式的解集是11,0,22⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，故②正确；③由②可知()f x 有两个零点，分别是12x =-和12x =，()f x Q 是R 上的奇函数，()00f ∴= ，()f x ∴有3个零点，分别是11,0,22x =-.故③不正确； ④当0x >时，()21xx f x e-=， ()32xx f x e -'=，当32x =时，()0f x '=， 当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当3,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减， ∴当32x =时，()f x 取得最大值，32322f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()f x Q 是奇函数，()f x ∴的最小值是32322f e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()()()33322212max 2242f x f x eee----=--=< ，∴12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<，故④正确.故正确的有②④. 故选：B【点睛】本题考查根据函数的奇偶性，求函数的解析式，并判断分段函数的性质，本题的关键是①式的正确判断，根据函数的奇偶性求函数的解析式时，求0x >的解析式，那就需设0x >，再根据函数的奇偶性，求()f x 的解析式，本题的易错点是③，函数的零点个数，不要忘记0x =.二、填空题13.若3sin 5α=，则cos2=α______. 【答案】725【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式可求出cos2α的值.【详解】由二倍角余弦公式可得2237cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：725. 【点睛】本题考查二倍角余弦值的计算，熟练利用二倍角余弦公式计算是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.14.在等差数列{}n a 中，已知16112a a a π++=，则6sin a 的值为______.【解析】 【分析】利用等差中项的性质计算出6a ，即可计算出6sin a 的值.【详解】由等差中项的性质可得1611632a a a a π++==，623a π∴=，因此，62sin sinsin sin 3332a ππππ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查等差中项性质的应用，同时也考查了利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.15.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若3A π=，ABC S ∆=，则AB AC ⋅=u u u r u u u r______.【答案】2 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式可求出bc 的值，然后利用平面向量数量积的定义可计算出AB AC ⋅uu u r uuu r的值.【详解】由三角形的面积公式可得11sin sin 223ABC S cb A cb π∆====4cb =. 由平面向量数量积的定义可得1cos 422AB AC cb A ⋅==⨯=u u u r u u u r .故答案为：2.【点睛】本题考查利用三角形面积求其它量，同时也考查了平面向量数量积的计算，涉及平面向量数量积的定义，考查计算能力，属于中等题.16.已知数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，则数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为______. 【答案】()43n n +【解析】 【分析】利用累加法求出n a ，可得出数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，然后利用等差数列的求和公式可求出数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【详解】11n n a a n +=++Q ，1n n a a n -∴-=，()()()()12132111232n n n n n a a a a a a a a n -+∴=+-+-++-=++++=L L ，12n a n n +∴=， ()111111222n n n a a n n n ++++-=-=+Q ，则数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.因此，数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为()113224n n n n +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=.故答案为：()43n n +.【点睛】本题考查累加法求数列通项，同时也考查了等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17.已知数列{}n a 是等差数列，12a =，12312a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令3nn a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）2n a n =；（2）9(19)9(91)198n nn S -==--【解析】 试题分析：(1)利用题意首先求得公式为2，然后利用等差数列通项公式可得2n a n =.(2) 利用题意可得数列{}n b 是首项为9，公比9q =的等比数列，结合等比数列求和公式可得()9918nn S =-. 试题解析：（1）∵数列{}n a 是等差数列，由12312a a a ++=，得2312a =，∴24a =， 由12a =，所以公差21422d a a =-=-=， ∴数列{}n a 的通项公式2n a n =.（2）239nnn b ==，11999n n n n b b ++==， ∴数列{}n b 是首项为9，公比9q =的等比数列， 数列{}n b 的前n 项和()()919991198n nnS -==--18.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()cos 2cos b C a c B =-. （1）求B ； （2）若2c =，b =ABC ∆的面积.【答案】（1）3π；（2【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化思想求出cos B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的值； （2）利用余弦定理求出a 的值，利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积.【详解】（1）()cos 2cos b C a c B =-Q ，由正弦定理得()sin cos 2sin sin cos B C A C B =-， 则()()2sin cos sin cos cos sin sin sin sin A B B C B C B C A A π=+=+=-=，sin 0A >Q ，1cos 2B ∴=，0B Q π<<，因此，3B π=； （2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2427a a +-=，整理得2230a a --=.0a >Q ，解得3a =，因此，ABC ∆的面积为11333sin 3222ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，解题时要结合三角形已知元素的类型选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.19.已知数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝42nn a a + (n ∈N *)．(1)证明：数列11{}2n a -是等比数列； (2)设b n ＝nna ，求数列{b n }的前n 项和S n . 【答案】（1）见解析（2）2(1)224n n n n ++-+ 【解析】试题分析:（1）根据等比数列定义，代入条件化简即得111211122n n a a +-=- （2）先求出1n a ，再利用分组求和以及错位相减法得数列{b n }的前n 项和S n .试题解析：解：(1)证明：∵a n ＋1＝，∴＝＝＋.∴－＝.又∵a 1＝1，∴－＝，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．(2)解：由(1)知－＝·n －1＝，即＝＋，∴b n ＝＝＋. 设T n ＝＋＋＋…＋，① 则T n ＝＋＋…＋＋，②①－②，得T n ＝＋＋…＋－＝1－－，∴T n ＝2－－.又∵ (1＋2＋3＋…＋n )＝，∴数列{b n }的前n 项和S n ＝2－＋.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.20.已知()2cos 23,1m x x =+u r ，()cos ,n x y =-r ，满足m n ⊥u r r．（1）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；（2）已知a 、b 、c 分别为锐角ABC ∆的三个内角A 、B 、C 对应的边长，()()f x x R ∈的最大值是2f A ⎛⎫⎪⎝⎭，且3a =ABC ∆周长L 的取值范围．【答案】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，最小正周期为π；（2）(33,33+. 【解析】 【分析】（1）由m n ⊥u r r，可得出()2cos cos y x x x =+，利用二倍角降幂公式以及辅助角公式可将函数()y f x =的解析式化简，然后利用周期公式可计算出函数()y f x =的最小正周期；（2）由题意可得02A π<<，可得出6A π+的取值范围，结合题中条件求出A 的值，然后利用正弦定理将L 表示为角B 的三角函数，并求出角B 的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求出L 的取值范围.【详解】（1）()2cos ,1m x x =+u r Q ，()cos ,n x y =-r ，满足m n ⊥u r r，()2cos cos 0m n x x x y ∴⋅=+-=u r r，()22cos cos cos 2cos 2cos 21y x x x x x x x x ∴=+=+=++2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因此，函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==； （2）由题意可知，函数()y f x =的最大值为2sin 126A f A π⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.A Q 为锐角，则02A π<<，2663A πππ∴<+<，则62A ππ+=，解得3A π=.由正弦定理2sin sin sin sin3b c a B C A ====，2sin b B ∴=，2sin c C =，()2sin 2sin 2sin 2sin L a b c B C B A B ∴=++=+=++12sin 2sin 2sin 2sin 32B B B B B π⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin 6B B B π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭ABC ∆Q 为锐角三角形，且3A π=，则0202B C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<， 2363B πππ<+<Q，sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，则36B π⎛⎫+<++≤ ⎪⎝⎭因此，ABC ∆的周长L的取值范围是(3+.【点睛】本题考查三角函数解析式化简以及正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角形周长取值范围的计算，一般转化为以某角为自变量的三角函数值域问题求解，考查计算能力，属于中等题. 21.已知函数2()(1)ln f x a x x =--.（1）若()y f x =在2x =处取得极小值，求a 的值； （2）若()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围； 【答案】（1）18a =；（2）12a ≥. 【解析】试题分析：（1）求函数2()(1)ln f x a x x =--的导数1()2f x ax x='-，由(2)0f '=求之即可；（2）分0a ≤、102a <<、12a ≥分别讨论函数的单调性，由单调性求出函数在区间[1,)+∞上的最小值，由min ()0f x ≥求之即可.试题解析： （1）∵()f x的定义域为(0,)+∞，1'()2f x ax x=-， ∵()f x 在2x =处取得极小值，∴'(2)0f =，即18a =. 此时，经验证2x =是()f x 的极小值点，故18a = （2）∵1'()2f x ax x=-， ①当0a ≤时，'()0f x <，∴()f x 在[1,)+∞上单调递减， ∴当1x >时，()(1)0f x f <=矛盾②当0a >时，221'()ax f x x-=，令'()0f x >，得x >；'()0f x <，得0x <<. （ⅰ1>，即102a <<时， x ∈时，'()0f x <，即()f x 递减，∴()(1)0f x f <=矛盾. （ⅱ1≤，即12a ≥时，[1,)x ∈+∞时，'()0f x >，即()f x 递增，∴()(1)0f x f ≥=满足题意.综上，12a ≥考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数与不等式. 22.已知圆的极坐标方程为：2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭. （1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点(,)P x y 在该圆上，求x y +的最大值和最小值. 【答案】（1）224460x y x y +--+= （2）最大值为6，最小值为2 【解析】 【分析】（1）将2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭先由两角差的余弦公式展开，再化为普通方程． （2）由题可知圆的参数方程为22x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数），因为点(,)P x y在该圆上，所以()2,2P θθ++，所以可得42sin 4x y πθ⎛⎫++ ⎪⎝+⎭=，从而得出答案．【详解】（1）由圆的极坐标方程为：2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭可得2cos 6022ρθθ⎛⎫-++= ⎪⎪⎝⎭，即24cos 4sin 60ρρθρθ--+= 所以直角坐标方程224460x y x y +--+=（2）由（1）可知圆的方程为()()22222x y -+-=所以圆的参数方程为22x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩ ，（θ为参数） 因为点(,)P x y在该圆上，所以()2,2P θθ+所以2242sin 4x y πθθθ+=⎛⎫++=++⎪⎝⎭因为sin 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的最大值为1，最小值为1- 所以x y +的最大值为6，最小值为2【点睛】极坐标与参数方程是高考的重要选修考点，学生应准确掌握极坐标方程与普通方程的互化，与圆锥曲线有关的最值问题可转化为三角函数求最值．。

2020年高考数学模拟试卷（文科）（5月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}2．已知i为虚数单位，复数z=51+2i+i的共轭复数为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．已知向量a→=（﹣2，m），b→=（1，2），a→•（2a→+b→）=112．则实数m的值为（）A．﹣1B．−12C．12D．14．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为（）A．15B．25C．35D．345．2020年前为了支授期北省对新冠病毒肺炎的治疗，某市卫健要考在要本市委派医疗队的人员时，有六个人员尚未确定，这大个人分别是呼吸科主治医师甲，呼吸科主治医师乙，护士丙、护士丁，影像民师小李和传料医小周．综合考虑各种因素：（1）甲和乙至少要参加一个；（2）如果丙不能参加或丁不能参加，则甲也不能参加；（3）如果丙不能参加，那么小周也不能参加；（4）只有小李参加，乙之才能参加．卫健委最终定不让小李参加医疗队，由此可以推出（）A ．无法确定小周是否参加医庁队B ．甲没参加医疗队C ．无法确定两名护护士是否参医疗队D ．乙参加了医疗队6．已知函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（ ） A ．[136，83) B ．(136，83] C ．[3112，83) D ．(3112，83] 7．已知定义在R 上的奇函数f （x ）＝e x ﹣ke ﹣x +2sin x ，则a =f(log 234)，b =f(log 445)，c =f(log 889)的大小关系为（ ） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b8．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O 上的弦，△COD 为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．√24C ．√34D ．√229．已知椭圆C 1：x 28+y 24=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)的准线l 过点F 1，设P 是直线l 与椭圆C 1的交点，Q 是线段PF 2与抛物线C 2的一个交点，则|QF 2|＝（ ） A ．12(3−2√2)B ．12(4−2√2)C ．√2D ．2√210．函数f （x ）＝2+k sin x 在（0，2）处的切线l 也是函数y ＝x 3﹣x 2﹣3x ﹣1图象的一条切线，则k ＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣211．若0≤α≤β≤π4，sin α+cos α＝a ，sin β+cos β＝b ，则以下结论正确的个数是（ ） ①ab ≥1；②ab ≤2；③2a ﹣b 的最大值为√2；④2a ﹣b 的最大值为2√2−1． A ．0 B ．1C ．2D ．312．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 分别与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，则直线l 的斜率为（ ）A．√24B．√22C．√33D．√32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．2020年2月17开始，为实现“停课不停学”，张老师每天晚上20：05～20：50时间通过班群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是．14．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，b cos C＝（2a﹣c）cos B，则∠B＝，若b＝2，则△ABC的面积为．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为2√85cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为cm2．三．解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和S n，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a2n−n}的前n项和T n大于2020的最小自然数n．18．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量BA→的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图的面积为√34，求四棱锥P'﹣ABCD的体积．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有A，B两款车型，根据以这往这两种租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年67年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用秀命不高于6年使用寿不低于7年总计A型B型总计（2）司机师傅小李准备在一辆开了4年的A型车和一辆开了4年的B型车中选择、为了尽最大可能实现3年内（含3年）不换车，试通过计算说明，他应如何选择．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．参考数据：p（K2≥k0）0.050.0100.001k0 3.841 6.63510.82820．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)与过其右焦点F（1，0）的直线交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为−3 4．（1）求C的方程；（2）设椭圆的左顶点为M，k MA，k MB如分别表示直线MA，MB的斜率，求证k MA+k MB= 43k OD．21．已知函数f（x）＝xlnx，函数g（x）＝kx﹣cos x在点(−π2，g(−π2))处的切线平行于x轴．（1）求函数f（x）的极值；（2）讨论函数F（x）＝g（x）﹣f（x）的零点的个数．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k2（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． （1）求曲线C 1的普通方程；（2）过曲线C 2上一点P 作直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，中点为D ，|AB|=2√3，求|PD |的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=13（x +1）2． （1）求f （x ）+|f （x ）﹣9|的最小值M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足了f （a ）+f （b ）+f （c ）＝M ，求证：a +b +c ≤6．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}【分析】先解出关于集合A，B的不等式，求出A的补集，从而求出其补集与B的交集．解：因为∁U A＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|2x≤2}＝{x|x≤1}，∴（∁U A）∩B＝{x|﹣1≤x≤1}；故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A，B是解决本题的关键．2．已知i为虚数单位，复数z=51+2i+i的共轭复数为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．解：∵z=51+2i+i=5(1−2i)(1+2i)(1−2i)+i=1−2i+i=1−i，∴z=1+i，故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知向量a→=（﹣2，m），b→=（1，2），a→•（2a→+b→）=112．则实数m的值为（）A．﹣1B．−12C．12D．1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算法则表示出2a→+b→，再根据数量积的坐标运算法则表示出a→•（2a→+b→），从而得到关于m的方程，解之即可．解：∵a→=（﹣2，m），b→=（1，2），∴2a→+b→=(−3，2m+2)，∴a→•（2a→+b→）＝6+m（2m+2）=112，即m2+m+14=0，解得m=−12，故选：B．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．4．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为（）A．15B．25C．35D．34【分析】由图可知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，设为A，B，C，其余三项设为a，b，c，从中任选两项，利用列举法能求出这两项来自影响稍弱区的概率．解：某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道．由图可知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，设为A，B，C，其余三项设为a，b，c，从中任选两项的结果为15种，分别为：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C），（B，a），（B，b），（B，c），（C，a），（C，b），（C，c），（a，b），（a，c），（b，c），这2项来自影响稍弱区的结果为：（A，B），（A，C），（B，C），共3种，∴这两项来自影响稍弱区的概率为P=315=15．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．2020年前为了支授期北省对新冠病毒肺炎的治疗，某市卫健要考在要本市委派医疗队的人员时，有六个人员尚未确定，这大个人分别是呼吸科主治医师甲，呼吸科主治医师乙，护士丙、护士丁，影像民师小李和传料医小周．综合考虑各种因素： （1）甲和乙至少要参加一个；（2）如果丙不能参加或丁不能参加，则甲也不能参加； （3）如果丙不能参加，那么小周也不能参加； （4）只有小李参加，乙之才能参加．卫健委最终定不让小李参加医疗队，由此可以推出（ ） A ．无法确定小周是否参加医庁队B ．甲没参加医疗队C ．无法确定两名护护士是否参医疗队D ．乙参加了医疗队【分析】根据小李不参加，代入（4）得到乙不能参加，再依题意代入（1），进而推得甲丙丁都参加，即可得到答案解：因为小李不参加，故由（4）可得乙不参加，则根据（1）甲必须参加， 而根据（2）甲参加，则丙和丁都参加， 但是无法确认小周是否参加， 故选：A ．【点评】本题考查学生合情推理的能力，小李不参加是突破口，依次代入条件判断，属于中档题．6．已知函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（ ） A ．[136，83)B ．(136，83] C ．[3112，83) D ．(3112，83]【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，可得2ωπ+π6∈[9π2，11π2），由此可得结果．解：∵函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数为 y ＝sin （ωx +π6）在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值； ωx +π6∈[π6，2ωπ+π6]，∴2ωπ+π6∈[9π2，11π2），则正实数ω∈[136，83），故选：A ．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．7．已知定义在R 上的奇函数f （x ）＝e x ﹣ke ﹣x +2sin x ，则a =f(log 234)，b =f(log 445)，c =f(log 889)的大小关系为（ ） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （0）＝e 0﹣ke 0+2sin0＝1﹣k ＝0，解可得k 的值，即可得函数的解析式，求出函数的导数，分析可得函数f （x ）为R 上的增函数，由对数的运算性质可得log 234＜log 445＜log 889，结合函数的单调性分析可得答案．解：根据题意，f （x ）为定义在R 上的奇函数，则f （0）＝e 0﹣ke 0+2sin0＝1﹣k ＝0，解可得k ＝1，即f （x ）＝e x ﹣e ﹣x +2sin x ，其导数f ′（x ）＝e x +e ﹣x +2cos x ≥2√e x ×e −x +2cos x ＝2+2cos x ≥0，则函数f （x ）为R上的增函数，又由log 445=log 2√45=log 2√5，log 889=log 2√893=log 2√93，则有log 234＜log 445＜log 889，又由函数f （x ）为R 上的增函数， 则a ＜b ＜c ； 故选：B ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意利用导数分析函数的单调性，属于基础题．8．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O 上的弦，△COD 为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．√24C ．√34D ．√22【分析】设OP ＝r ，过点D 作OC 的平行线交与CD 于行的半径于点E ，则OE ＝OC ＝CD ＝OD ＝r ，PC ＝PD =√2r ，∠PDE （或其补角）为其异面直线OC 与PD 所成角，由此能求出异面直线OC 与PD 所成角的余弦值．解：设OP ＝r ，过点D 作OC 的平行线交与CD 于行的半径于点E ， 则OE ＝OC ＝CD ＝OD ＝r ，PC ＝PD =√2r ，∴∠PDE （或其补角）为其异面直线OC 与PD 所成角， 在△PDE 中，PE ＝PO =√2r ，DE ＝r ， ∴cos ∠PDE =r 22r=√24． 故选：B ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 9．已知椭圆C 1：x 28+y 24=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)的准线l 过点F 1，设P 是直线l 与椭圆C 1的交点，Q 是线段PF 2与抛物线C 2的一个交点，则|QF 2|＝（ ） A ．12(3−2√2)B ．12(4−2√2)C ．√2D ．2√2【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三角形相似列式求解|QF 2|的值．解：由题意，F 1（﹣2，0），则抛物线方程为y 2＝8x ． 计算可得|PF 1|=√2，|PF 2|＝2a −√2=4√2−√2=3√2． 过Q 作QM ⊥直线l 与M ，由抛物线的定义知，|QF 2|＝|QM |． ∵|F 1F 2||PF 2|=|MQ||PQ|，∴3√2=3√2−|MQ|，解得：|MQ |＝12（3﹣2√2）． ∴|QF 2|＝|MQ |＝12（3﹣2√2）． 故选：A ．【点评】本题考查抛物线与椭圆综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．函数f（x）＝2+k sin x在（0，2）处的切线l也是函数y＝x3﹣x2﹣3x﹣1图象的一条切线，则k＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】分别求得f（x）＝2+k sin x和y＝x3﹣x2﹣3x﹣1的导数，可得f（x）在（0，2）处的切线的斜率和方程，再设l与函数y＝x3﹣x2﹣3x﹣1图象的相切的切点为（m，n），可得k，m，n的方程组，解方程可得所求值．解：函数f（x）＝2+k sin x的导数为f′（x）＝k cos x，y＝x3﹣x2﹣3x﹣1的导数为y′＝3x2﹣2x﹣3，可得f（x）＝2+k sin x在（0，2）处的切线的斜率为k，切线的方程为y＝kx+2，设l与函数y＝x3﹣x2﹣3x﹣1图象的相切的切点为（m，n），可得k＝3m2﹣2m﹣3，n＝m3﹣m2﹣3m﹣1＝km+2，解得m＝﹣1，n＝0，k＝2．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11．若0≤α≤β≤π4，sinα+cosα＝a，sinβ+cosβ＝b，则以下结论正确的个数是（）①ab≥1；②ab≤2；③2a﹣b的最大值为√2；④2a﹣b的最大值为2√2−1．A．0B．1C．2D．3【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和不等式的性质的应用求出a和b的范围，进一步利用线性规划的知识求出结论．解：a ＝sin α+cos α=√2sin(α+π4)，b ＝sin β+cos β=√2sin(β+π4)， 由于0≤α≤β≤π4，所以π4≤α+π4≤β+π4≤π2，所以sin(α+π4)≤sin(β+π4)， 所以1≤a ≤b ≤√2． 则：1≤ab ≤2． 故①②正确．由1≤a ≤b ≤√2，构造平面区域如图所示： 令2a ﹣b ＝t ，可得b ＝2a ﹣t ． 由{b =√2a =√2，可得A （√2，√2）， 当直线b ＝2a ﹣t 经过点A 时，t 取得最大值t ＝2√2−√2=√2．故③正确． 故选：D ．【点评】本题考查了三角函数的关系式的变换、正弦型函数的性质的应用、线性规划应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 分别与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，则直线l 的斜率为（ ） A ．√24B ．√22C ．√33D ．√32【分析】由题意可得MF 2⊥NF 2，且|MF 2|＝|NF 2|，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN |=√2m ，运用双曲线的定义和直角三角形的性质和勾股定理，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，即可判断正确结论．解：由MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，可得MF 2⊥NF 2，且|MF 2|＝|NF 2|，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN |=√2m ，由|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，|NF 2|﹣|NF 1|＝2a ，两式相减可得|NF 1|﹣|MF 1|＝|MN |＝4a ，即有m ＝2√2a ，设H 为MN 的中点，在直角三角形HF 1F 2中，可得4c 2＝4a 2+（2a +2√2a ﹣2a ）2，化为c 2＝3a 2，即c =√3a ， 因为|HF 2|=12|MN |＝2a ，所以|HF 1|=√|F 1F 2|2−|HF 2|2=2√c 2−a 2，所以直线l 的斜率为|HF 2||HF 1|=2√c 2−a 2=√22， 故选：B ．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量的数量积的定义和性质，同时考查直角三角形的勾股定理，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．2020年2月17开始，为实现“停课不停学”，张老师每天晚上20：05～20：50时间通过班群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是 1118．【分析】求出符合条件的区间范围，根据长度比即可求解结论．解：由题意可得：该学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，其时间长度为90分钟，等待直播的时间不超过30分钟的，需在19：35至20：30分之间的任意时刻加入，区间长度为55；由测度比为长度比．可得所求概率为：5590=1118．故答案为：1118．【点评】本题主要考查几何概型的长度比，属于基础题目．14．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x ＝1对称，则f （2x ﹣2）≥f （0）的解集为 [1，2] ．【分析】先求出a 的值，可得函数的解析式，再根据图象的对称性以及f （2x ﹣2）≥f （0），求出x 的范围．解：∵函数f(x)=(12)|x−a|关于x ＝1对称，∴a ＝1，f （x ）=(12)|x−1|∈（0，1]，则由f （2x ﹣2）≥f （0）=12，结合图象可得 0≤2x ﹣2≤2，求得 1≤x ≤2， 故答案为：[1，2]．【点评】本题主要考查指数不等式的性质，函数图象的对称性，属于中档题． 15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 周长为5，b cos C ＝（2a ﹣c ）cos B ，则∠B ＝π3，若b ＝2，则△ABC 的面积为√312．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合sin A ≠0，可得cos B =12，结合范围B ∈（0，π），可求B =π3，进而根据余弦定理可求ac 的值，根据三角形的面积公式即可求解．解：∵b cos C ＝（2a ﹣c ）cos B ，∴由正弦定理可得：sin B cos C ＝（2sin A ﹣sin C ）cos B ，可得sin B cos C +cos B sin C ＝2sin A cos B ， ∴sin （B +C ）＝2sin A cos B ，∵sin （B +C ）＝sin （π﹣A ）＝sin A ，且sin A ≠0，∴可得cos B =12， ∵B ∈（0，π）， ∴B =π3，又∵b ＝2，a +c ＝3， ∴a 2+c 2﹣2ac cos B ＝b 2， ∴（a +c ）2﹣3ac ＝4， ∴ac =53，∴S △ABC =12ac sin B =5√312．故答案为：π3，5√312．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm ，高为18cm （底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为2√85cm 的圆铁棒l （粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l 的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为1849π16cm 2．【分析】根据铁棒与底面六边形的最长对角线、相对棱的部分长h 构成直角三角形求出容器内水面的高度h ，再利用球的半径和球被六棱柱体上底面截面圆的半径和球心到截面圆的距离构成直角三角形求出球的半径，即可计算球的表面积． 解：如图所示，六棱柱笔筒的边长为6cm ，高为18cm ，铁棒与底面六边形的最长对角线、相対棱的部分长h 构成直角三角形， 所以2√85=√122+h 2，解得h ＝14， 所以容器内水面的高度为14cm ，设球的半径为R ，则球被六棱柱体上面截得圆的半径为r =√62−32=3√3，球心到截面圆的距离为R ﹣4，所以R 2＝（R ﹣4）2+(3√3)2，解得R =438； 所以球的表面积为4π×(438)2=1849π16（cm 2）． 故答案为：1849π16．【点评】本题考查了球与六棱柱体的结构特征与计算问题，是中档题． 三．解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，S 3＝15，a 1，a 4，a 13成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a 2n −n }的前n 项和T n 大于2020的最小自然数n ．【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），由题设条件列出d 的方程，解出d ，a 1，求出通项公式； （2）由（1）求得a2n −n ，再使用分组求和求出T n ，研究其单调性，求出满足T n 大于2020的最小自然数n ．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），则S 3＝3a 1+3×22d =15， ∴a 1+d ＝5，a 4＝5+2d ，a 13＝5+11d ， ∵a 1，a 4，a 13成等比数列，∴（5+2d ）2＝（5﹣d ）（5+11d ），解得d ＝0（舍）或d ＝2， 故a 1＝5﹣d ＝3．所以a n ＝3+（n ﹣1）×2＝2n +1； （2）根据（1）知a2n −n=2（2n ﹣n ）+1＝2n +1﹣（2n ﹣1），∴T n ＝（22+23+…+2n +1）﹣[1+3+…+（2n ﹣1）]=4(1−2n)1−2−(1+2n−1)n 2=2n +2﹣n 2﹣4．∵2n ﹣n ＞0， ∴a2n −n=2（2n ﹣n ）+1＞0，∴T n 单调递增，又∵T9＜2020，T10＞2020，所以T n大于2020的最小自然数n为10．【点评】本题主要考查等差数列基本量的运算及数列的分组求和，还有前n项和的单调性，属于中档题．18．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量BA→的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图的面积为√34，求四棱锥P'﹣ABCD的体积．【分析】（1）由平面图形可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，则AB⊥平面P′AD，得AB⊥P′D．再由已知在可得AE⊥P′D．由直线与平面垂直的判定可得P′D⊥平面ABE；（2）P′﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，求出△P′AD的面积，得到∠P′AD＝120°或60°．再由（1）可知，平面ABCD⊥平面P′AD，得P′在平面ABCD内的射影落在直线AD上，求得P′到平面ABCD的距离，由棱锥体积公式可得四棱锥P′﹣ABCD 的体积．【解答】（1）证明：由平面图形可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，又P′A∩AD＝A，∴AB⊥平面P′AD，则AB⊥P′D．∵E为P'D的中点，P′A＝AD，∴AE⊥P′D．∵AE∩AB＝A，∴P′D⊥平面ABE；（2）解：∵P′﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，∴S△P′AD=12×1×1×sin∠P′AD=12sin∠P′AD=√34，∴sin∠P′AD=√32，即∠P′AD＝120°或60°．由（1）可知，平面ABCD⊥平面P′AD，∴P′在平面ABCD内的射影落在直线AD上，得点P′到平面ABCD的距离d=1×sin∠P′AD=√32．∴四棱锥P′﹣ABCD的体积V P′−ABCD=13×√32×12×(12+1)×1=√38．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有A，B两款车型，根据以这往这两种租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年67年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用秀命不高于6年使用寿不低于7年总计A型B型总计（2）司机师傅小李准备在一辆开了4年的A型车和一辆开了4年的B型车中选择、为了尽最大可能实现3年内（含3年）不换车，试通过计算说明，他应如何选择．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．参考数据：p（K2≥k0）0.050.0100.001k0 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）记事件A 1，A 2分别表示小李选择A 型出租车和B 型出租车时，3年内（含3年）换车，分别计算出P （A 1）和P （A 2）的值，再比较即可． 解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：使用秀命不高于6年使用寿不低于7年总计 A 型 30 70 100 B 型 50 50 100 总计80120200由列联表可知：K 2=200×(50×70−30×50)2100×100×80×120≈8.33＞6.635，所以有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关；（2）记事件A 1，A 2分别表示小李选择A 型出租车和B 型出租车时，3年内（含3年）换车，由表知P （A 1）=10100+20100+45100=0.75，P （A 2）=15100+35100+40100=0.90， 因为P （A 1）＜P （A 2），所以小李应选择A 型出租车．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目． 20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)与过其右焦点F （1，0）的直线交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，且直线l 与直线OD 的斜率之积为−34． （1）求C 的方程；（2）设椭圆的左顶点为M ，k MA ，k MB 如分别表示直线MA ，MB 的斜率，求证k MA +k MB =43k OD． 【分析】（1）设A ，B 的坐标，代入椭圆中，两式相减可得直线AB ，OD 的斜率之积，由题意可得a ，b 的关系，再由右焦点的坐标及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，求出椭圆的方程；（2）由（1）可得M 的坐标，将直线l 的方程代入椭圆的方程，求出两根之和及两根之积，进而求出直线AM ，BM 的斜率之和，再由直线AB ，OD 的斜率之积可证得k AM +k BM =43k OD ． 解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 0，y 0），将点A ，B 坐标代入椭圆的方程{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1两式相减(x 1−x 2)(x 1+x 2)a 2+(y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2=0，所以k AB =y 1−y 2x 1−x 2=−b 2a 2⋅x 1+x 2y 1+y 2， 因为D 为AB 的中点，所以k OD =y 1+y2x 1+x 2，所以k AB •k OD =−b 2a2=−34，所以b 2a =34，又a 2﹣b 2＝1，解得：a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1；（2）由（1）可得左顶点M （﹣2，0），由题意设直线AB 的方程：x ＝my +1， 联立直线与椭圆的方程：{x =my +1x 24+y 23=1整理可得：（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0，所以y 1+y 2=−6m 4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2， 所以k AM +k BM =y1x 1+2+y2x 2+2=y 1(my 2+3)+y 2(my 1+3)(my 1+3)(my 2+3)=2my 1y 2+3(y 1+y 2)m 2y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9=2m⋅−94+3m 2+3(−6m 4+3m2)m 2⋅−94+3m 2+3m(−6m 4+3m2)+9=−m ，因为k AB •k OD =−1m•k OD =−34，所以m =−43k OD ， 所以k AM +k BM =43k OD ．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．21．已知函数f （x ）＝xlnx ，函数g （x ）＝kx ﹣cos x 在点(−π2，g(−π2))处的切线平行于x 轴．（1）求函数f （x ）的极值；（2）讨论函数F （x ）＝g （x ）﹣f （x ）的零点的个数．【分析】（1）利用函数f （x ）的导数判断函数的单调性，然后求出函数的极值； （2）因为F （x ）＝x ﹣cos x ﹣xlnx ，F '（x ）＝sin x ﹣lnx ，设h （x ）＝sin x ﹣lnx ，分类讨论：（i ）当x ∈（e ，+∞）时，h （x ）＝F '（x ）≤0，则F （x ）单调递减，此时可得F （x ）在（e ，32π）上存在唯一零点，也即在（e ，+∞）上存在唯一零点；（ii ）当x ∈（π2，e ]时，h '（x ）＝cos x −1x＜0，则F '（x ）在（π2，e ]单调递减，此时F （x ）在（π2，e ]上恒大于0，无零点；（iii ）当x ∈（0，1）时，h '（x ）＝cos x −1x ＜0，所以F '（x ）在（0，1）上单调递减，此时F （x ）在（1e，π2]上存在唯一零点，即F （x ）在（0，π2]上存在唯一零点．解：（1）因为函数f （x ）＝xlnx 的定义域为（0，+∞）， 所以f '（x ）＝lnx +1，令f '（x ）＜0，即lnx +1＜0，解得0＜x ＜1e， 所以f （x ）的单调递减区间为（0，1e ），令f '（x ）＞0，即lnx +1＞0，解得x ＞1e， 所以f （x ）的单调递增区间为（1e ，+∞），综上，f （x ）的极小值为f （1e）=−1e，无极大值；（2）由g '（x ）＝k +sin x ，得g '（−π2）＝k ﹣1＝0，故k ＝1，所以g （x ）＝x ﹣cos x ， 因为F （x ）＝x ﹣cos x ﹣xlnx ，F '（x ）＝sin x ﹣lnx ， 设h （x ）＝sin x ﹣lnx ，（i ）当x ∈（e ，+∞）时，h （x ）＝F '（x ）≤0，则F （x ）单调递减， 又F （e ）＝﹣cos e ＞0，F （32π）=32π（1﹣ln 32π）＜0，故F （x ）在（e ，32π）上存在唯一零点，也即在（e ，+∞）上存在唯一零点；（ii ）当x ∈（π2，e ]时，h '（x ）＝cos x −1x＜0，则F '（x ）在（π2，e ]单调递减，因为F '（e ）＝sin e ﹣lne ＝sin e ﹣1＜0，F '（π2）＝1﹣ln π2＞0，所以存在x 0∈（π2，e ]，使得F '（x 0）＝0，且在（π2，x 0）上F '（x ）＞0，在（x 0，e ]上F '（x ）＜0，所以F （x 0）为F （x ）在（π2，e ]上的最大值，又因为F （e ）＝﹣cos e ＞0，F （π2）=π2（1﹣ln π2）＞0，所以F （x ）在（π2，e ]上恒大于0，无零点；（iii ）当x ∈（0，1）时，h '（x ）＝cos x −1x ＜0，所以F '（x ）在（0，1）上单调递减， 当x ∈[1，π2]时，h '（x ）＝cos x −1x=xcosx−1x， 设t （x ）＝x cos x ﹣1，所以t '（x ）＝cos x ﹣x sin x ≤cos x ﹣sin x ＜0， 所以t （x ）在[1，π2]上单调递减，所以t （x ）＜t （1）＝cos1﹣1＜0，即h '（x ）＜0， 所以F '（x ）在（0，π2]上单调递减，因为F '（π2）＝1﹣ln π2＞0，所以F （x ）在（0，π2]上单调递增，因为F （π2）=π2（1﹣ln π2）＞0，F （1e ）=2e −cos 1e ＜2e −cos π6=2e −√32=4−√3e 2e＜0，所以F （x ）在（1e，π2]上存在唯一零点，即F （x ）在（0，π2]上存在唯一零点， 综上，F （x ）有且仅有2个零点．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及单调性，考查分析问题解决问题的能力． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k2（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． （1）求曲线C 1的普通方程；（2）过曲线C 2上一点P 作直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，中点为D ，|AB|=2√3，求|PD |的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果． （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k2（k 为参数），整理得y 2+1=21+k ，又x +1=4k 1+k2，两式相除得：k =x+1y+2，代入x +1=4k 1+k2，得到（x +1）2+y 2＝4（y ≠﹣2）．（2）曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x ﹣y ﹣4＝0．设圆心C 1（﹣1，0）到直线l 的距离为d ， 则|AB |=2√4−d 2=2√3，解得d ＝1． 所以：|PD |=√|PC 1|2−1， 当|PC 1|最小时，|PD |最小，由于|PC 1|的最小值为圆心C 1到直线C 2的距离． 根据|PC 1|=|−1+0−4|2=5√22， 所以|PD|min =√252−1=√462．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=13（x +1）2． （1）求f （x ）+|f （x ）﹣9|的最小值M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足了f （a ）+f （b ）+f （c ）＝M ，求证：a +b +c ≤6． 【分析】（1）由f （x ）≥0，可得f （x ）+|f （x ）﹣9|＝|f （x ）|+|f （x ）﹣9|，由绝对值不等式的性质，可得所求最小值M ；（2）由条件可得（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2＝27，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证．解：（1）由f（x）=13（x+1）2≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|≥|f（x）﹣f（x）+9|＝9，当0≤f（x）≤9时，取得等号，则最小值M＝9；（2）证明：由a，b，c＞0，f（a）+f（b）+f（c）＝9，可得（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝27，由柯西不等式可得（12+12+12）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，当且仅当a+1＝b+1＝c+1，即a＝b＝c时，取得等号，则a+b+c+3≤√3[(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2]=√3×27=9，即a+b+c≤6．【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020年湖北省华大新高考联盟名校高考数学模拟试卷(文科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A={x|−1<x<3,x∈N∗}的非空子集个数为()A. 3B. 4C. 7D. 82.已知命题p：|x|≥0；命题q：∀x∈R，x2−x−1=0.则下列命题为真命题的是()A. ￢p∨qB. ￢p∧qC. p∨￢qD. ￢p∧￢q3.若角α的终边与单位圆的交点为P(35,−45)，则tanα=()A. 43B. −45C. 34D. −434.执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A. 23B. 25C. 45D. 675.函数y=4xx2+1的图象大致为()A. B.C. D.6. 从1，2，3，4这四个数中，随机取出两个数字，剩下两个数字的和是奇数的概率是( )A. 13B. 12C. 23D. 567. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则tanφ=( )A. √33B. 1C. √3D. −√338. 已知x +1>y >0，则x +4x+y+1+1x−y+1的最小值为( )A. 3√102−1B. 103C. 2√3−1D. 3√2−19. 在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC//AB ，AD =DC =1，AB =2，E ，F分别为AB ，BC 的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P(如图所示).若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λED ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ，μ∈R ，则λ+μ的值是( ) A. √22B. 3√24C. √2D. 3410. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，得到“牟合方盖”的体积与球的体积之比为4:π，也得到了“牟合方盖”的18体积计算公式，即，从而计算出，记棱长均为r 的正四棱锥的体积为V 正，则A. V 正B. V 正C.V 正D. 以上结果均有可能11. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 的左、右支于M ，N ，若|PF 1|=3|PF 2|，且∠MF 2N =60∘，则双曲线的离心率为( )A. √52B. 3C. 2D. √7212. 已知函数F 的导函数为f′(x)，且f′(x)>f(x)对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是( )A. f(1)<ef(0)，f(2)<e 2f(0)B. f(1)>ef(0)，f(2)<e 2f(0)C. f(1)<ef(0)，f(2)>e 2f(0)D. f(1)>ef(0)，f(2)>e 2f(0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若六进制数13m502(6)化为十进制数为12710，则m的值为____．14.若命题“存在x∈R，ax2+4x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．15.若△ABC的内角A，B，C所对的边a、b、c满足(a+b)2=10+c2，且cosC=2，则a2+b2的3最小值为______．16.已知正三角形ABC边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为√3，此时四面体ABCD的外接球的表面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对心肺疾病入院的50人进行问卷调查，得到了如下的列联表：(1)根据已知条件求出上面的2×2列联表中的A和B；用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？(2)为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，并说明是否有99.5%的把握认为心肺疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：，其中n=a+b+c+d．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)18. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗), −2S 2,S 3 , 4S 4成等差数列，且a 2+2a 3+a 4=116．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =−(n +2)log 2|a n |，求数列{1b n}的前n 项和T n ．19. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =3，E 在CC 1上且CE =2EC 1．(1)若F 是AB 的中点，求异面直线C 1F 与AC 所成角的大小； (2)求三棱锥B 1−DBE 的体积．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点Q(1,0)，直线l ：x =2，若动点P 在直线l 上的射影为R ，且|PR ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |，设点P 的轨迹为C ． (1)求C 的轨迹方程；(2)设直线y =x +n 与曲线C 相交与A 、B 两点，试探究曲线C 上是否存在点M ，使得四边形MAOB 为平行四边形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=x 2+alnx ．(1)当a =−2时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若x ∈[1,+∞)时，f(x)≥3−2x 恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =tt+1y =2t+1t+1(t 为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；(Ⅱ)射线θ1=β(0<β<π2)与曲线C2交于O，P两点，射线θ2=π2+β与曲线C1交于点Q，若△OPQ的面积为1，求|OP|的值．23.(1)求函数f(x)=|x−1|+|x+1|的最小值；(2)求函数f(x)=|x−1|−|x+1|的值域．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【试题解析】本题考查了子集及非空子集，考查简单的运算能力，属于基础题．先得出集合A包含2个元素，即可得到非空子集的个数．解：A中包含2个元素：1，2，故子集的个数为4，非空子集个数为3，故选A．2.答案：C解析：本题考查的知识点是复合命题，熟练掌握复合命题真假判断的真值表，是解答的关键．先判断简单命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，得到答案．解：∵命题p：|x|≥0为真命题；命题q：∀x∈R，x2−x−1=0为假命题．故命题￢p∨q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题．命题p∨￢q为真命题．故选：C．3.答案：D解析：本题考查了任意角三角函数的定义与应用问题，是基础题．根据任意角三角函数的定义，计算tanα的值即可．解：角α的终边与单位圆的交点为P(35,−45)，则tanα=yx =−4535=−43．故选：D ．4.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S =21×3+23×5+25×7的值，由于S =21×3+23×5+25×7=2×12×[(1−13)+(13−15)+(15−17)]=67． 故选：D ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S =21×3+23×5+25×7的值，利用裂项法即可计算得解．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.答案：A解析：本题考查了函数图象的识别，属于基础题． 根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．解：函数y =f(x)=4xx 2+1，则f(−x)=−4xx 2+1=−f(x)， 则函数y =f(x)为奇函数，故排除C ，D ， 当x >0时，y =f(x)>0，故排除B ， 故选：A ．6.答案：C解析：解：从1，2，3，4这四个数中，随机取出两个数字，基本事件总数n =C 42=6，剩下两个数字的和是奇数包含的基本事件个数m =C 21C 21=4，∴剩下两个数字的和是奇数的概率p =m n=46=23．故选：C ．。

2020届湖北省华大新高考联盟高考数学模拟试卷(5月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={1,2}，B ={1,2，3，4，5}，则满足A ∪X =B 的集合X 的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 82. 若复数(为虚数单位)是纯虚数，则实数的值为( )A.B.C.D.3. 设函数的导函数为，若的图像在点处的切线方程为，则A. 4B. 3C. 2D. 14. 某次数学测试6位同学成绩的茎叶图如下，将这6位同学成绩作为总体，从总体中任取两位同学成绩作为一个样本，则样本平均数大于总体平均数的概率是( )A. B.C. D.5. 已知{}为等差数列，，{}的前n 项和，则使得达到最大值的n 是( )A. 21B. 20C. 19D. 186. 已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则57是数列中的( )A. 第58项B. 第59项C. 第60项D. 第61项7. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点为F(c,0)(c >0)，且离心率等于√5，若该双曲线的一条渐近线被圆x 2+y 2−2cx =0截得的弦长为2√5，则该双曲线的标准方程为( )A. x 220−y25=1 B. x 225−y2100=1 C. x 25−y 220=1 D. x 25−y 225=18. 在底面是正方形的四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，点E 为棱PB 的中点，点F 在棱AD上，平面CEF 与PA 交于点K ，且PA =AB =3，AF =2，则四棱锥K −ABCD 的外接球的表面积为( )A.454π25B.466π25C. 19πD.486π259. 一个空间几何体的三视图如图所示，则这个空间几何体的表面积是( )A. 4πB. 4(π+1)C. 5πD. 6π10. 若x ，y 满足{x −y ≥0x +y ≤1y ≥0.，则z =x +2y 的最大值为( )A. 0B. 1C. 2D. 3211. 已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是2x ±y =0，则该双曲线的离心率是( )A. √6B. √5C. 2D. √312. 已知函数y =f(x)满足f(x +2)=2f(x)，且f(7)=3f(3)+3，则f(5)=( )A. 16B. 8C. 6D. 2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若函数f(x)={x +1(x <0)cosx(0≤x ≤π2)，则f(x)与x 轴围成封闭图形的面积为______．14. 平面向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ． 15. √3−1与√3+1的等比中项是______ ．16. 设函数f(x)=sin(ωx −π4)(ω>0)的一个零点为−π4，且f(x)在区间(0,5π36)上单调，则ω=______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若tanA =3，cosC =√55，c =4．(1)求角B ； (2)求△ABC 的面积．18.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB=2FD=4．(1)求证：EF⊥AC；(2)求几何体EFABCD的体积．19.某校从参加高二年级省学业水平模拟考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，成绩的频率分布直方图如图3所示，其中成绩分组区间是：[40,50)[50，60)[60,70)[70，80)[80,90)[90，100]．(Ⅰ)求图中m的值，估计此次考试成绩的众数；(Ⅱ)为了帮助成绩弱的学生能顺利通过省学业水平考试，学校决定成立“二帮一”学习小组．在样本中从[90,100]分数段的同学中选两位共同帮助[40,50)分数段的同学中的某一位，已知甲同学的成绩为45分，乙同学成绩96分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．20.设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．21.在长32cm，宽20cm的矩形薄铁板的四角分别剪去一个相等的正方形，做成一个无盖的盒子．问剪去的正方形边长为多少时，盒子的容积最大，并求出最大容积．22.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C1：p2−4psinθ+3=0，曲线C2：psin(θ−π4)+√22=0．(1)求C1，C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与y轴交于A，B两点，P为C2上任一点，求|PA|+|PB|的最小值．23.已知a，b，c∈R，且a+b+c=3，a2+b2+c2的最小值为M．(Ⅰ)求M的值；(Ⅱ)解关于x的不等式|x+4|−|x−1|≥M．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵A∪X=B，且A={1,2}，B={1,2，3，4，5}，∴X一定含元素3，4，5，可能含元素1，2，∴X的个数为22=4个．故选：C．根据条件即可得出，集合X一定含有元素3，4，5，可能含有元素1，2，从而可得出集合X的个数．本题考查了列举法的定义，并集的定义及运算，集合个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：试题分析：由是纯虚数可得，所以，故选D．考点：本小题主要考查复数的基本运算．3.答案：A解析：解析：根据题中所给出的已知条件，利用导数的几何意义即可求得的值，利用切点在切线上，即可求得f(1)，从而得到答案。

2020届华大新高考联盟原创精准预测考试（五）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则复数2ii-的虚部为 ( ) A ．2i B ．2i -C ．2D ．2-2.已知集合2{|20}A x x x =--?,()2{|log 10}B x x =-?，则A B ?（ ）A. {}|12x x-＃ B. {}|12x x＃ C. {|12}x x <? D. {}|2x x £3.若双曲线221x y m -=( 0m >)的离心率为332，则其焦距为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．164.如图是某几何体的三视图,其中正视图与侧视图相同，且均为 正方形，则该几何体的体积为（ ）A.4πB.12πC.48πD.16π5. 为比较甲、乙两地某月11时的气温情况,随机选取该月中的5天,将这5天中11时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：① 甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温 ② 甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温③ 甲地该月11时的平均气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差 ④ 甲地该月11时的平均气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差 其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 6、若是两条不同的直线，是三个不同的平面，①//,////m n m n αα⇒ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ④若,,//m n m n αγβγ==，则//αβ则以上说法中正确的有( )个A. 1B. 2C. 3D. 47.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A. 2-B.12-- C.1 D.0 8.得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ）A.0a > ,0<bB.0a > ,0>bC.0a < ,0<bD.0a < ,0>b9.将函数2()cos() (cos 2sin )sin f x x x x x p =+-+的图象向左平移8p后得到 函数()g x ，则()g x 具有性质( ) A.2x p =对称 B.周期为p ，图象关于(,0)4p对称C.在(,0)2p -上单调递增，为偶函数 D.在(0,)4p上单调递增，为奇函数 10. 设a ，b ，c 均为正数，且2a= log 12a ，(12)b = log 12b ， (12)c = log 2c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c11．设1F 、2F 分别为双曲线2221x y a b-=（0a >， 0b >）的左、右焦点， P 为双曲线右支上任一点．若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线离心率e 的范围是 （ ）．A. ()0,2B. (]1,3C. [)2,3 D. [)3,+∞12已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=-1,1,2)(31x x x x e x f x ，则2))((<x f f 的解集为( )A. ()+∞-,2ln 1B. ()2ln 1,-∞-C. ()1,2ln 1-D.()2ln 1,1+第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题,考生根据要求作答.二．填空题（每题5分，共4个小题，共计20分） 13、已知向量a 与b 的夹角是3π，且1,2a b ==，若)b a λ+⊥，则实数λ=__________．14 、已知命题2:,x p x R x e ∃∈<，那么命题p ⌝为____15.若函数2()2ln 5(,1)f x x x x c m m =+-++在区间上为递减函数，则m 的 取值范围是__________.16、已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-，且ABC sin C 三角形的面积为， 则ABC ∆的周长最小时，cosA= . 三、解答题（共6个小题，共计70分）17、（本题10分 ）选修4-4：在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系． （Ⅰ）写出1C 的普通方程与极坐标方程；（Ⅱ）射线π6θ=（0ρ≥）与1C 交于A ,B 两点，求||AB ．18（本题12分）.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122()n n S m m R +=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足211(21)log ()n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的n 项和为n T .19．(本题12分)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，VC 垂直⊙O 所在平面，D ，E 分别VA ，VC 的中点．(1)求证：DE ⊥平面VBC ；(2)若VC ＝CA ＝6，⊙O 的半径为5，求点E 到平面BCD 的距离．20（本题12分）宏远集团为了拓展规模，准备在A 地或B 地新建一生产基地，为了最终决定在A 地还是在B 地建立生产基地，宏远集团对A 、B 两地各25名居民在其产品上的月消费额度上，进行了调查，结果如下：频率组距0.004 0.00280.0012O 100 200 300 400 500 600 每月消费额度（元）频率组距0.0036 0.0028 0.00240.0012O 100 200 300 400 500 每月消费额度（元）A 地B 地（I ）根据频率分布直方图，请你判断宏远集团是应该在A 建立生产基地，还是应该 在B 地建立生产基地，并给出理由？（Ⅱ）从A 地受访居民月平均消费额度在100,300⎡⎤⎣⎦之间中选出2人，求此2人消费额度均在100,200⎡⎤⎣⎦的概率。

四省名校联合命题华大新高考联盟2023年名校高考预测卷（全国卷）文科数学本试题卷共 4 页，共 23 题。

满分 150 分，考试用时 120 分钟注意事项：1.答题前，允斗寄自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上．并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答·每小题选出答案后．用2B铅笔祀答是豆宇土对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、苹稿纸和答题卡上的非$.足足区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在主主题卡丰对应的�题区城内。

写在试卷、苹；！；1，纸和答题卡丰的非答是革区域均元效。

4.考试结求后，请将本试卷和主主题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1若集合A ={x l 内＋�)<O}, B = {y l y =f ＋� ,.r <O ｝川n B =A.(-4，一］B.(-4，一3]c. [-3,0)。

［-f ,o)2-31 90,2一一，，.，＋（4一i)• i"＂旧的应部为· 1+21气27� 9 c .11 一－H 一一· 一－5叫553.中心对称图形的叠加会产生对称美的效果，现有如下叠加：在正六边形ABCDEF 中，JIR六条边的中点顺次连接，得到一个六边形，将上述步骤jlJ重复一次，得到六边形GHIJKL 如i望所示，则往正六边形ABCDEF 中任意投掷一点．该点落在六边形GHTJKL I材的概率为3734－qd A 2一3RU cC l.. D.立FE. 164已知幕函数f （』A .函数f(x φ）7'1奇涵数B.函数｛（.x）为｛肉函数c.函数f<x ）在（O ,+oo )I:.单调递榴D.函数f(x ）在（O ,+oo ）上单调递减数学试题｛全罔文科数学）第1页（共4页）5已知首项为÷的数列｛(l ，，州市r n 项和为S .,，；（＃比－S .，）问＋l)+l ＝川!IJ a, •α2 ' (13 '．α2阳A÷ B 1c.-tD÷6.已知平而向最a,b 满足｜α1=3,l b l =L I α＋Z b l =4，则a -3b,b 夹角的余弦值为A一－－－：－B .一－C.-4D .车J百412667.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的而积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆椭圆的丽积等于困用率π与椭圆的附轴伏与短半袖长的乘积已知椭圆C ，兰＋丢＝1a o(a>b ＞们的而积为21π，点P 在椭圆C上·同点P 与椭圆C左、右顶点连续的斜率之积为一立，记椭圆C-49 的两个焦点分别为只，凡，』!I J I PF ,I的值不可能为A. 48. 7 C. 10D .148.己知在边l王为2的正方体AB C D -A I B i C, D ，中，点M在线段B,q上〈含端点位置），现有女II下说法：①CM ／／平而A 1BD ；②CM ..l_AC ，，③点M到平丽ABC 1D 1的距离的最大值为l .则正确说法的个数为A. 0B.lC. 2D . 39己知双曲线C ：王－}z =l归＞吵。