2019_2020学年高中数学第一章算法初步1.3算法案例限时规范训练新人教A版

1.3 算法案例[课时作业][A组学业水平达标]1．用辗转相除法求35和134的最大公约数，第一步是( )A．134－35＝99 B．134＝35×3＋29C．先除以2，得到18和67 D．35＝25×1＋10解析：按照辗转相除法的算法步骤，先用大数除以小数，故选B.答案：B2．下列各数转化成十进制后最小的数是( )A．111 111(2)B．210(6)C．1 000(4)D．81(9)解析：A项，将111 111(2)转化为十进制数为111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1×20＝32＋16＋8＋4＋2＋1＝63；B项，将210(6)转化为十进制数为210(6)＝2×62＋1×61＋0×60＝78；C项将1 000(4)转化为十进制数为1 000(4)＝1×43＋0×42＋0×41＋0×40＝64；D项，将81(9)转化为十进制数为81(9)＝8×91＋1×90＝73，比较这四个数，78＞73＞64＞63，即A项转化为十进制数之后表示的数最小．答案：A3．利用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1，当x＝4时的值，需要做乘法和加法的次数分别为( )A．6,6 B．21,6C．5,6 D．6,5解析：用秦九韶算法计算多项式的值时，计算的乘法的次数与多项式的未知数的最高次项的指数相同，∴一共进行了6次乘法运算，加法运算的次数在多项式有常数项的条件下与乘法的次数相同，∴一共进行了6次加法运算，故答案为A.答案：A4．把89化成五进制数的末位数字为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：89÷5＝17……4, 17÷5＝3……2,3÷5＝0……3，所以把89化成五进制数为324(5)答案：D5．下列结论正确的是( )A．88(9)<210(6)B．62＝124(5)C．110(2)>10(3)D．32(4)＝23(6)解析：对于A：因为88(9)＝8×9＋8×90＝80，210(6)＝2×62＋1×6＋0×60＝78,80>78，所以A错误．对于B：因为124(5)＝1×52＋2×5＋4×50＝39≠62，所以B错误．对于C：因为110(2)＝1×22＋1×2＋0×20＝6，10(3)＝1×3＋0×30＝3,6>3，所以C正确．对于D：因为32(4)＝3×4＋2×40＝14，23(6)＝2×6＋3×60＝15,14≠15，所以D错误．答案：C6．用辗转相除法求得数98与63的最大公约数是________．解析：98＝63×1＋35,63＝35×1＋28,35＝28×1＋7,28＝4×7＋0.所以最大公约数为7. 答案：77．25(7)＝________(2)．解析：因为根据除k取余法，得到25(7)＝1 011(2)．答案：1 0118．读程序：若在INPUT语句中输入m，n的数据分别是72,168，则程序运行的结果为__________．解析：程序是求n的最大公约数．答案：249．用秦九韶算法求多项式f(x)＝5x5－4x4＋3x2＋8x－6，当x＝3时的值．解析：f(x)＝5x5－4x4＋3x2＋8x－6＝((((5x－4)x＋0)x＋3)x＋8)x－6，当x＝3时，v0＝5，v1＝5×3－4＝11，v2＝11×3＋0＝33，v3＝33×3＋3＝102，v4＝102×3＋8＝314，v5＝314×3－6＝936.∴f(3)＝936.10．用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果．(1)80,36；(2)294,84.解析：(1)80＝36×2＋8,36＝8×4＋4,8＝4×2，即80与36的最大公约数是4.验证：80－36＝44,44－36＝8,36－8＝28,28－8＝20,20－8＝12,12－8＝4,8－4＝4，故80与36的最大公约数为4.(2)294＝84×3＋42,84＝42×2，即294与84的最大公约数是42.验证：∵294与84都是偶数，可同时除以2，∴取147与42的最大公约数后再乘以2.147－42＝105,105－42＝63,63－42＝21,42－21＝21，∴294与84的最大公约数为21×2＝42.[B组应考能力提升]1．计算机中常用十六进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号与十进制得对应关系如下表：例如用十六进制表示有D＋E＝1B，则A×B＝( )A．6E B．7CC．5F D．B0解析：∵表格中A对应的十进制数为10，B对应的十进制数为11，∴A×B＝10×11，由十进制表示为：10×11＝6×16＋14，又表格中E对应的十进制为14，∴用十六进制表示A×B＝6E.故选A答案：A2．已知多项式f (x )＝4x 5＋2x 4＋3.5x 3－2.6x 2＋1.7x －0.8，用秦九韶算法计算f (5)时的v 1值为( )A ．22B ．564.9C ．20D ．14 130.2 解析：根据秦九韶算法，把多项式改写为f (x )＝((((4x ＋2)x ＋3.5)x －2.6)x ＋1.7)x －0.8；按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x ＝5时的值：v 0＝4，v 1＝4×5＋2＝22.答案：A3．下列各数85(9)，210(6)，1 000(4)，111 111(2)中最小的数是________．解析：将题中四个数化为十进制数．85(9)＝8×91＋5×90＝72＋5＝77；210(6)＝2×62＋1×6＋0＝72＋6＝78；1 000(4)＝1×43＝64；111 111(2)＝25＋24＋23＋22＋21＋20＝63.答案：111 111(2)4．已知n 次多项式P n (x )＝a 0x n ＋a 1x n －1＋…＋a n －1x ＋a n .如果在一种算法中，计算x k0(k ＝2,3,4，…，n )的值需要k －1次乘法，计算P 3(x 0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P n (x 0)的值共需要__________次运算． 下面给出一种减少运算次数的算法：P 0(x )＝a 0，P k ＋1(x )＝xP k (x )＋a k ＋1(k ＝0,1,2，…，n －1)．利用该算法，计算P 3(x 0)的值共需要6次运算，计算P n (x 0)的值共需要__________次运算．(参考公式：1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2 ) 解析：P n (x 0)＝a 0x n 0＋a 1x n －10＋…＋a n －1x 0＋a n ，共需n 次加法运算，每个小因式中所需乘法运算依次为n ，n －1，…，1,0.故总运算次数为n ＋n ＋(n －1)＋…＋1＝n ＋n n ＋2＝12n (n ＋3)． 第二种算法中，P 0(x 0)＝a 0，不需要运算，P 1(x 0)＝x 0P 0(x 0)＋a 1需2次运算， P 2(x 0)＝x 0P 1(x 0)＋a 2需2＋2次运算，依次往下，P n (x 0)需2n 次运算．答案：12n (n ＋3) 2n 5．用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x ，当x ＝3时的值．解析：由f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ，∴y 1＝7×3＋6＝27；y 2＝27×3＋5＝86； y 3＝86×3＋4＝262；y 4＝262×3＋3＝789；y 5＝789×3＋2＝2 369；y 6＝2 369×3＋1＝7 108；y 7＝7 108×3＝21 324；∴f(3)＝21 324.6．若二进制数100y 011和八进制数x03相等，求x＋y的值．解析：100y 011(2)＝1×26＋y×23＋1×2＋1＝67＋8y，x03(8)＝x×82＋3＝64x＋3，∴8y＋67＝64x＋3.∵y可取0,1，x可以取1,2,3,4,5,6,7，y＝0时，x＝1；y＝1时，64x＝72无解；∴x＋y＝1.。

第9课时秦九韶算法知识点一秦九韶算法的原理1．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x当x＝x0时的值，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为( )A．5，4 B．5，5 C．4，4 D．4，5答案 D解析n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加法，缺一项就减少一次加法运算．f(x)中无常数项，故加法次数要减少一次，为5－1＝4．故选D．2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4在x＝－1时的值，v2的结果是( )A．－4 B．－1 C．5 D．6答案 D解析n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式得v0＝2，v1＝v0x＋a3＝－5，v2＝v1x＋a2＝6．3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是( ) A．4×4＝16 B．7×4＝28C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34答案 D解析因为f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是7×4＋6＝34．4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x4－2x3＋3x2－7x－5，当x＝4时的值，给出如下数据．①0 ②2 ③11 ④37 ⑤143其中运算过程中(包括最终结果)会出现的数有________．(只填序号)答案②③④⑤解析将多项式改写成f(x)＝(((x－2)x＋3)x－7)x－5．v0＝1；v1＝1×4－2＝2；v2＝2×4＋3＝11；v3＝11×4－7＝37；v4＝37×4－5＝143．知识点二利用秦九韶算法计算多项式的值5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．解f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以有v0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2369；v6＝2369×3＋1＝7108；v7＝7108×3＝21324．故当x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21324．易错点利用秦九韶算法求含空项的n次多项式的值时易出现错误6．已知f(x)＝3x4＋2x2＋4x＋2，利用秦九韶算法求f(－2)的值．易错分析由于没有抓住秦九韶算法原理的关键，没有正确改写多项式并使每一次计算只含有x的一次项而致误．正解f(x)＝3x4＋0·x3＋2x2＋4x＋2＝(((3x＋0)x＋2)x＋4)x＋2，v1＝3×(－2)＋0＝－6；v2＝－6×(－2)＋2＝14；v3＝14×(－2)＋4＝－24；v 4＝－24×(－2)＋2＝50．故f (－2)＝50．一、选择题1．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝3x 6＋9x 5＋5x 4＋6x 3＋12x 2＋8x －7在x ＝2时的值，需要做乘法和加法的次数分别是( )A ．5，5B ．5，6C ．6，6D ．6，5答案 C解析 因为f (x )的最高次数是6，所以需要做乘法和加法的次数都是6．2．用秦九韶算法求多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6在x ＝－4时，v 4的值为( )A ．－57B ．220C ．－845D ．3392答案 B解析 v 0＝3，v 1＝3×(－4)＋5＝－7， v 2＝－7×(－4)＋6＝34，v 3＝34×(－4)＋79＝－57，v 4＝－57×(－4)－8＝220．3．已知多项式f (x )＝4x 5＋3x 4＋2x 3－x 2－x －12，用秦九韶算法求f (－2)等于( ) A ．－1972 B ．1972 C ．1832 D ．－1832答案 A解析 ∵f (x )＝((((4x ＋3)x ＋2)x －1)x －1)x －12，∴f (－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－12＝－1972． 4．秦九韶算法的先进性主要体现在减少运算次数，下列说法正确的是( )A ．可以减少加法运算次数B ．可以减少乘法运算次数C ．同时减少加法和乘法的运算次数D ．加法次数和乘法次数都有可能减少答案 B解析 秦九韶算法可以把至多n n ＋12次乘法运算减少为至多n 次乘法运算．加法运算次数不变．5．用秦九韶算法计算函数y ＝2x 3－3x 2＋2x －1在x ＝2时的函数值，则下列各式正确的是( )A ．v 0＝2B ．v 0＝1C ．v 1＝4D ．v 2＝7答案 A解析 根据秦九韶算法，把多项式改写成y ＝((2x －3)x ＋2)x －1，从内到外依次计算：v 0＝2，v 1＝2×2－3＝1，v 2＝1×2＋2＝4，v 3＝4×2－1＝7．二、填空题6．已知f (x )＝x 5＋2x 3＋3x 2＋x ＋1，用秦九韶算法计算x ＝3时的值，v 3的值为________． 答案 36解析 v 0＝1，v 1＝1×3＋0＝3，v 2＝3×3＋2＝11，v 3＝11×3＋3＝36，…．7．用秦九韶算法求多项式f (x )＝5x 5＋3x 3＋2x 2＋10，当x ＝3时f (x )的值为________． 答案 1324解析 f (x )＝5x 5＋0x 4＋3x 3＋2x 2＋0x ＋10＝((((5x ＋0)x ＋3)x ＋2)x ＋0)x ＋10＝((((5x )x ＋3)x ＋2)x )x ＋10，当x ＝3时，有v 0＝5， v 1＝5×3＝15，v 2＝15×3＋3＝48，v 3＝48×3＋2＝146，v 4＝146×3＝438，v 5＝438×3＋10＝1324，∴f (3)＝1324．8．用秦九韶算法求多项式f (x )＝1－5x －8x 2＋10x 3＋6x 4＋12x 5＋3x 6当x ＝－4时的值时，v 0，v 1，v 2，v 3，v 4中最大值与最小值的差是________．答案 62解析多项式变形为f(x)＝3x6＋12x5＋6x4＋10x3－8x2－5x＋1＝(((((3x＋12)x＋6)x＋10)x－8)x－5)x＋1，v0＝3，v1＝3×(－4)＋12＝0，v2＝0×(－4)＋6＝6，v3＝6×(－4)＋10＝－14，v4＝－14×(－4)－8＝48，∴v4最大，v3最小．∴v4－v3＝48－(－14)＝62．三、解答题9．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x6＋12x5＋8x4－3．5x3＋7．2x2＋5x－13，当x＝6时的值，写出详细步骤．解f(x)＝(((((3x＋12)x＋8)x－3．5)x＋7．2)x＋5)x－13，v0＝3，v1＝v0×6＋12＝30，v2＝v1×6＋8＝188，v3＝v2×6－3．5＝1124．5，v4＝v3×6＋7．2＝6754．2，v5＝v4×6＋5＝40530．2，v6＝v5×6－13＝243168．2．f(6)＝243168．2．10．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝5x7＋x6－x3＋x＋3当x＝－1时的值，并判断f(x)在区间[－1，0]内有没有零点．解∵f(x)＝5x7＋x6－x3＋x＋3＝((((((5x＋1)x＋0)x＋0)x－1)x＋0)x＋1)x＋3，∴当x＝－1时，v0＝5，v1＝5×(－1)＋1＝－4，v2＝－4×(－1)＋0＝4，v3＝4×(－1)＋0＝－4，v4＝－4×(－1)－1＝3，v5＝3×(－1)＋0＝－3，v6＝－3×(－1)＋1＝4，v7＝4×(－1)＋3＝－1，∴f(－1)＝－1．又f(0)＝3，∴f(0)·f(－1)<0，由零点存在定理，知f(x)在区间[－1，0]内有零点．。

算法案例(45分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.2 146和1 813的最大公约数为( )A.36B.37C.38D.39【解析】选B.2 146=1 813×1+333,1 813=333×5+148,333=148×2+37,148=37×4.故2 146与1 813的最大公约数为37.2.(2016·淮南高一检测)利用秦九韶算法计算多项式f(x)=101x100+100x99+99x98 +…+2x+1当x=x0时的值，其中下面公式v0=101，v k=v k-1x0+101-k(k=1,2，…100)被反复执行，可用循环结构来实现，那么该循环结构中循环体被执行的次数为( ) A.200 B.101 C.100 D.99【解析】选C.多项式的最高次数为100，故需要重复进行100次的乘法和加法运算，即执行循环体100次.3.(2016·武汉高一检测)将五进制数10243(5)化为十进制数为( )A.683B.698C.823D.2 048【解析】选B.10243(5)=1×54+0×53+2×52+4×51+3×50=625+0+50+20+3=698.4.下列各数中最小的数是( )A.111111(2)B.210(6)C.1000(4)D.110(8)【解题指南】把各数都化为十进制数再比较大小.【解析】选A.把A，B，C，D项中的数都换成十进制数，那么，111111(2)=1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20=63，210(6)=2×62+1×61+0×60=78，1 000(4)=1×43=64，110(8)=1×82+1×81+0×80=72，故通过比较可知A中数最小.5.用秦九韶算法求多项式f(x)=x5+0.11x3-0.15x-0.04当x=0.3时的值为( )A.-0.079 6B.0.079 6C.0.796D.-0.796【解析】选A.将f(x)改写为：f(x)=((((x+0)·x+0.11)x+0)x-0.15)x-0.04.按从内到外的顺序，依次计算多项式的值：v0=1,v1=v0·0.3+0=0.3,v2=v1·0.3+0.11=0.2,v3=v2·0.3+0=0.06,v4=v3·0.3-0.15=-0.132,v5=v4·0.3-0.04=-0.079 6.所以当x=0.3时，多项式的值为-0.079 6.6.四位二进制数能表示的最大十进制数是( )A.4B.64C.255D.15【解析】选D.由二进制数化为十进制数的过程可知，当四位二进制数为1 111时表示的十进制数最大，此时，1 111(2)=15.7.三个数72,120,168的最大公约数为( )A.48B.36C.24D.12【解析】选C.先求120,168的最大公约数，因为168=120×1+48,120=48×2+24,48=24×2，所以120,168的最大公约数是24.再求72，24的最大公约数,因为72=24×3,所以72,24的最大公约数为24,即72,120,168的最大公约数为24.【一题多解】选C.先求120,168的最大公约数,168-120=48,120-48=72,72-48=24,48-24=24.所以120,168的最大公约数为24.再求72,24的最大公约数，72-24=48,48-24=24.所以72,24的最大公约数为24,即72,120,168的最大公约数为24.8.用秦九韶算法求ｎ次多项式ｆ(ｘ)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0，当ｘ=x0时，求f(x0)需要算乘方、乘法、加法的次数分别为( )A.()n n12+,n,n B.n,2n,nC.0,2n,nD.0,n,n【解析】选D.利用秦九韶算法求f(x0)的值，不需要算乘方，只需要n次乘法，n次加法.二、填空题(每小题5分，共10分)9.235(7)=_____(8).【解析】先将235(7)转化为十进制数，235(7)=2×72+3×7+5×70=124,所以235(7)=124.又124=174(8),所以235(7)=174(8).答案:17410.用秦九韶算法求多项式f(x)=x4-2x3+3x2-7x-5当x=4时的值,给出如下数据:①0；②2；③11；④37；⑤143.其运算过程中(包括最终结果)会出现的数有_______(只填序号).【解析】将多项式写成f(x)=(((x-2)x+3)x-7)x-5.其中v0=1;v1=1×4-2=2;v2=2×4+3=11;v3=11×4-7=37;v4=37×4-5=143.答案:②③④⑤三、解答题(每小题10分，共20分)11.用两种方法求378和90的最大公约数.【解析】方法一：辗转相除法：378=90×4+18，90=18×5+0，所以378与90的最大公约数是18.方法二：更相减损术：因为378与90都是偶数.所以用2约简得189和45.189-45=144,144-45=99，99-45=54,54-45=9，45-9=36,36-9=27，27-9=18,18-9=9.所以378与90的最大公约数为2×9=18.【补偿训练】用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数.【解析】324=243×1+81，243=81×3+0，则324与243的最大公约数为81.又135=81×1+54，81=54×1+27，54=27×2+0，则 81 与 135的最大公约数为27.所以,三个数324，243，135的最大公约数为27.【一题多解】324-243=81,243-81=162,162-81=81，则324与243的最大公约数为81.135-81=54,81-54=27,54-27=27，则81与135的最大公约数为27.所以，三个数324，243，135的最大公约数为27.12.用秦九韶算法求多项式f(x)=x7-2x6+3x3-4x2+1,当x=2时的函数值.【解析】先将多项式f(x)进行改写：f(x)=x7-2x6+3x3-4x2+1=((((((x-2)x+0)x+0)x+3)x-4)x+0)x+1.由内向外逐次计算：v0=1,v1=v0x+a6=1×2-2=0,v2=v1x+a5=0×2+0=0,v3=v2x+a4=0×2+0=0,v4=v3x+a3=0×2+3=3,v5=v4x+a2=3×2-4=2,v6=v5x+a1=2×2+0=4,v7=v6x+a0=4×2+1=9,故当x=2时多项式f(x)的值为f(2)=9.【能力挑战题】若二进制数10b1(2)和三进制数a02(3)相等，求正整数a，b.【解题指南】先将这两个数化为十进制数，再利用两数相等，同时注意a，b的取值范围来求a，b的值. 【解析】10b1(2)=1×23+b×21+1=2b+9，a02(3)=a×32+2=9a+2，所以2b+9=9a+2.即9a-2b=7.又因为a∈{1,2}，b∈{0,1}.所以当a=1时，b=1，符合题意；当a=2时，b=112不合题意.所以a=1，b=1.。

1.2.2条件语句【基础练习】1．下列问题所描述出来的算法，其中不包含条件语句的为()A．给出三棱锥的底面积与高，求其体积B．求方程ax2＋bx＋ c＝0的解C．判断直线和圆的位置关系D．给三名同学的成绩排名次【答案】 A2．如图程序中，输出的是4，则输入的x 可以是()INPUT xIF x<0 THENx＝－ xEND IFy＝ SQR xPRINT yENDA．－ 8B．4C．8D．－ 16【答案】 D【解析】本题考查条件语句的基本结构和功能．程序实现了函数y＝| x| 的功能；当输出 4 时，则 4＝| x| ，故输入的x＝±16，故选D．3．当输入的a＝3时，下面程序运行后输出结果是()INPUT aIF a<10 THENy＝ 2*aELSEy＝ a*aEND IFPRINT yENDA．9B． 3C．6D． 10【答案】 C【解析】本程序含义为：输入a，如果 a＜10，执行 y＝2a，否则，执行y＝ a2.因为 a＝3，所以 y＝2a，可得 y＝6，故程序运行后输出结果是6，故选 C．4．阅读下列程序：INPUT“a＝”；aIF a>5 THENb＝ 2*aELSEb＝ a*a ＋ 1END IFPRINT bEND若输入 5，则程序运行的结果为()A．1B． 10C．25D． 26【答案】 D【解析】 a＝5时，条件 a>5不成立，故执行ELSE后面的语句b＝ a2＋1＝26.5．根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出 y 的值为________．INPUT xIF x<＝50 THENy＝ 0.4*xELSEy＝ 25＋ 0.5* x－ 50END IFPRINT yEND【答案】 300.4x ，x≤50，【解析】算法程序是求分段函数f(x) ＝的函数值．∵输25＋0.5 × x－ 50 ， x>50入的 x＝60，满足 x＞ 50，∴输出的结果 y＝25＋0.5 ×(60 － 50) ＝ 30. 故答案为 30.6．认真阅读下面的程序，回答下列问题．INPUT xIF x<＝2 THENy＝ 0.2ELSEy＝ 0.2 ＋ 0.1* x－ 3END IFEND程序表示的是 ________语句；程序表示的函数关系式是 ________．0.2 ，x≤2，【答案】条件 y＝x－3 ， x>20.2 ＋0.1 ×【解析】本题程序应为一个条件语句，它是用来实现分段函数求值的．7．已知函数y＝ f ( x)的程序框图如图所示．(1)求函数 y＝ f ( x)的表达式；(2)写出输入 x 的值计算 y 的值的程序．x＋1， x>0，解： (1) y＝f ( x) ＝2＋x，x＝ 0，2x2，x<0.(2)INPUT“x＝”；xIF x>0 THENy＝ x＋ 1ELSEIF x＝ 0 THENy＝ 2＋xELSEy＝ 2*x*xEND IFEND IFPRINT“y＝”；yEND2x，x≤4，8．函数y＝ 8， 4<x≤8，写出求函数的函数值的程序．2 12－x，x＞8，解：INPUT“x＝”；xIF x<＝ 4 THENy＝ 2*xELSEIF x< ＝8 THENy＝8ELSEy＝2*(12 －x)END IFEND IFPRINT“y＝”；yEND【能力提升】9．下面的程序：INPUT xINPUT yIF x＜ 0 THENx＝ y－ 4ELSEy＝y＋ 4END IFPRINT x－ y， y－ xEND如果输入 x，y 的值分别是2，－ 30，则输出的结果为()A．38，－ 38B． 36，－ 36C．32，－ 32D． 28，－ 28【答案】 D【解析】根据题意输入的x＝2不满足条件“ x＜0”，需要执行ELSE 后面的语句，所以得到 y＝－26，所以 x－ y＝28， y－ x＝－28.10．阅读下面的程序：INPUT xIF x＞ 9 AND x<100 THENa＝x\10b＝x MOD 10x＝10*b ＋ aPRINT xEND IFEND上述程序如果输入的值是51，则运行结果是()A．51B． 15C．105D． 501【答案】 B【解析】 51÷10＝51，a 是 51 除以 10 的商，即为5，＝ 51 MOD 10＝ 1，＝10×1b x＋5＝ 15.11．阅读下面的程序：IF a>5 THENIF b<4 THENc＝ a－ bELSEc＝ b－ aEND IFELSEIF a>3 THENc＝ a*bELSEc＝a MOD bEND IFEND IFPRINT cEND(1)若 a＝4，b＝3，上述程序运行结果是________；(2)若 a＝6，b＝3，上述程序运行结果是________；(3)若 a＝2，b＝6，上述程序运行结果是________；(4)若 a＝7，b＝5，上述程序运行结果是________．【答案】 (1)12 (2)3 (3)2 (4) －2【解析】该程序对应的函数为a－ b， a>5且 b<4，b－ a， a>5且 b≥4，c＝ab，3<a≤5，a除以 b所得的余数， a≤3，(1)a＝4， b＝3，符合情形3，运行结果是12；(2)a＝6， b＝3，符合情形1，运行结果是3；(3)a＝2， b＝6，符合情形4，运行结果是2；(4)a＝7， b＝5，符合情形2，运行结果是－ 2.12．某商场购物实行优惠措施，若购物金额x 在800元以上(包括800元)，打8折；若购物金额x 在500元以上(包括500元)，但不足800 元，则打九折，否则不打折，设计程序框图并编写程序，要求输入购物金额x，能输出实际交款额y.0.8 x，x≥800，解：实际交款额y 与购物金额x 的函数关系为y＝0.9 x，500≤ x＜800，x， x＜500.程序框图如图．程序如下．INPUT xIF x>＝ 800 THENy＝0.8xELSEIF x＞＝ 500 THENy＝ 0.9xELSEy＝xEND IFEND IFPRINT yEND。

2019-2020年高中数学第一章《算法初步》教案新人教A版必修3一、课标要求：1、本章的课标要求包括算法的含义、程序框图、基本算法语句，通过阅读中国古代教学中的算法案例，体会中国古代数学世界数学发展的贡献。

2、算法就是解决问题的步骤，算法也是数学及其应用的重要组成部分，是计算机科学的基础，利用计算机解决问需要算法，在日常生活中做任何事情也都有算法，当然我们更关心的是计算机的算法，计算机可以解决多类信息处理问题，但人们必须事先用计算机熟悉的语言，也就是计算能够理解的语言（即程序设计语言）来详细描述解决问题的步骤，即首先设计程序，对稍复杂一些的问题，直接写出解决该问题的程序是困难的，因此，我们要首先研究解决问题的算法，再把算法转化为程序，所以算法设计是使用计算机解决具体问题的一个极为重要的环节。

3、通过对解决具体问题的过程与步骤的分析（如二元一次方程组的求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。

理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。

理解并掌握几种基本的算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。

进一步体会算法的基本思想。

4、本章的重点是体会算法的思想，了解算法的含义，通过模仿、操作、探索，经过通过设计程序框图解决问题的过程。

点是在具体问题的解决过程中，理解三种基本逻辑结构，经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本的算法语句。

二、编写意图与特色：算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。

随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。

需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。

在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。

1.3 算法案例【基础练习】1．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4的值时，第一步算的是( ) A．4×4＝16 B．7×4＝28C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34【答案】D【解析】∵f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2＝(((((7x＋6)x＋0)x＋0)x＋3)x＋0)x＋2，∴在求x ＝4时的值时，v1的值为7x＋6＝7×4＋6＝34.故选D．2．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.6时的值时，需做加法与乘法的次数和是( )A．12 B．11C．10 D．9【答案】A【解析】需做加法与乘法的次数都为6，其和为12.故选A．3．840和1 764的最大公约数是( )A．84 B．12C．168 D．252【答案】A【解析】1 764＝840×2＋84,840＝84×10，故840和1 764的最大公约数是84.故选A．4．下列各数中，最小的是( )A．101 010(2)B．111(5)C．32(8)D．54(6)【答案】C【解析】101 010(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42，111(5)＝1×52＋1×51＋1×50＝31，32(8)＝3×81＋2×80＝26，54(6)＝5×61＋4×60＝34.又42＞34＞31＞26，故最小的是32(8)．5．下列与二进制数1 001 101(2)相等的是( )A．115(8)B．113(8)C．114(8)D．116(8)【答案】A【解析】先化为十进制数：1 001 101(2)＝1×26＋1×23＋1×22＋1×20＝77，再化为八进制．所以77＝115(8)，所以1 001 101(2)＝115(8)．6．三个数720,120,168的最大公约数是________．【答案】24【解析】先求720与120的最大公约数120，再求168与120的最大公约数24，因此，720,120与168的最大公约数为24.7．用更相减损术求561与255的最大公约数．解：561－255＝306，306－255＝51，255－51＝204，204－51＝153，153－51＝102，102－51＝51.所以561与255的最大公约数为51.8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝5x5＋7x4＋6x3＋3x2＋x＋1当x＝3时的值．解：f(x)＝5x5＋7x4＋6x3＋3x2＋x＋1＝(5x4＋7x3＋6x2＋3x＋1)x＋1＝((5x3＋7x2＋6x＋3)x＋1)x＋1＝(((5x2＋7x＋6)x＋3)x＋1)x＋1＝((((5x＋7)x＋6)x＋3)x＋1)x＋1.v0＝5；v1＝5×3＋7＝22；v2＝22×3＋6＝72；v3＝72×3＋3＝219；v4＝219×3＋1＝658；v5＝658×3＋1＝1 975.故多项式f(x)当x＝3时的值为1 975.9．把八进制数2 016(8)化为五进制数．解：2 016(8)＝2×83＋0×82＋1×81＋6×80＝1 024＋0＋8＋6＝1 038.∴2 016(8)＝13 123(5)．【能力提升】10．利用辗转相除法求最大公约数，下列说法不正确的是( )A．228和1 995的最大公约数是57B．78和36的最大公约数是6C．85和357的最大公约数是34D．153和119的最大公约数是17【答案】C【解析】本题主要考查两个整数的最大公约数，由辗转相除法可得，85和357的最大公约数应该是17，故选C．11．已知1 0b1(2)＝a02(3)，则a＋b的值为( )A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【解析】1 0b1(2)＝1×23＋b×2＋1＝2b＋9，a02(3)＝a×32＋2＝9a＋2，∴2b＋9＝9a＋2，即9a－2b＝7.∵a∈{1,2}，b∈{0,1}，∴当a＝1，b＝1时符合题意，即a＋b＝2，故选C．12．用秦九韶算法计算当x＝2时，f(x)＝3x4＋x3＋2x2＋x＋4的值的过程中，v2的值为( )A．3 B．7C．16 D．33【答案】C【解析】f(x)＝3x4＋x3＋2x2＋x＋4＝(((3x＋1)x＋2)x＋1)x＋4，∴在x＝2时的值时，v0＝2，v1＝3×2＋1＝7，v2＝7×2＋2＝16，故选C．13．已知175(r)＝125(10)，求r进制数76(r)应记成十进制的什么数？解：∵1×r2＋7×r1＋5×r0＝125，∴r2＋7r－120＝0.∴r＝8或r＝－15(舍去)．∴r＝8.76(r)＝76(8)＝7×81＋6×80＝62.数76(r)应记成十进制62.14．古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上点火报告敌情，如下图，烽火台上点火表示数字1，未点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制数的单位是1 000，请你计算一下，这组烽火台表示有多少敌人入侵？解：由题图可知这组烽火台表示的二进制数为11 011(2)，它表示的十进制数为11 011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝27，由于二进制数对应的十进制数的单位是 1 000，所以入侵敌人的数量为27×1 000＝27 000.。

2019-2020年高中数学第一章《算法案例》教案3 新人教A版必修3（1）教学目标（a）知识与技能了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。

（b）过程与方法学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律。

（c）情态与价值领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系。

（2）教学重难点重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换难点：除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计（3）学法与教学用具学法：在学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k去余法。

教学用具：电脑，计算器，图形计算器（4）教学设想（一）创设情景，揭示课题我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又又什么联系呢?（二）研探新知进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。

可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。

现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。

对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。

比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。

表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.电子计算机一般都使用二进制,下面我们来进行二进制与十进制之间的转化例1 把二进制数110011(2)化为十进制数.解:110011=1*25+1*24+0*23+1*24+0*22+1*21+1*20=32+16+2+1=51例2 把89化为二进制数.解:根据二进制数满二进一的原则,可以用2连续去除89或所得商,然后去余数.具体的计算方法如下:89=2*44+144=2*22+022=2*11+089 44 22 11 5 21222222 2 0 余数 1 0 0 1 1 0111=2*5+15=2*2+1所以:89=2*(2*(2*(2*(2*2+1)+1)+0)+0)+1=1*26+0*25+1*24+1*23+0*22+0*21+1*20=1011001(2)这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示:把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到89=1011001(2)上述方法也可以推广为把十进制化为k 进制数的算法,这种算法成为除k 取余法.当数字较小时,也可直接利用各进位制表示数的特点,都是以幂的形式来表示各位数字,比如2*103表示千位数字是2,所以可以直接求出各位数字.即把89转换为二进制数时,直接观察得出89与64最接近故89=64*1+25同理:25=16*1+99=8*!+164+1*23+1*20即89=1011001(2)练习:(1)把73转换为二进制数(2)利用除k 取余法把89转换为5进制数把k 进制数a(共有n 位)转换为十进制数b 的过程可以利用计算机程序来实现,语句为: INPUT a,k,ni=1b=0WHILE i<=nt=GET a[i]b=b+t*k^(i-1)WENDPRINT bEND练习:(1)请根据上述程序画出程序框图.参考程序框图:(2)设计一个算法,实现把k进制数a(共有n位)转换为十进制数b的过程的程序中的GET函数的功能,输入一个正5位数,取出它的各位数字,并输出.(1)进位制的概念及表示方法(2)十进制与二进制之间转换的方法及计算机程序（5）评价设计作业：P38 A（4）补充：设计程序框图把一个八进制数23456转换成十进制数.2019-2020年高中数学第一章《算法的概念》教案新人教A版必修3一、教学目标：1、知识与技能：（1）了解算法的含义，体会算法的思想。

第一章算法初步检测试题(时间:120分钟满分:150分)选题明细表一、选择题(每小题5分,共60分)1.下列语句表达中是算法的个数为( B )①从广州到东京可以先乘火车到北京再坐飞机抵达;②利用公式S=4πR2计算半径R=2球的表面积;③4x>2x+4;④f(x)=x2+2x+3.(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:①②是算法,③④不是算法.故选B.2.下列各进制中,最大的值是( D )(A)85(9) (B)111 111(2)(C)1 000(4)(D)210(6)解析:因为85(9)=8×9+5=77,111 111(2)=26-1=63,1 000(4)=43=64,210(6)=2×62+1×6+0=78,故选D.3.如图程序的输出结果为( C )(A)(4,3) (B)(7,7) (C)(7,10) (D)(7,11)解析:程序在运行过程中各变量的结果如下表示:X=4,Y=3,X=X+Y=7,Y=X+Y=10,故程序的输出结果为(7,10).故选C.4.如图所示的程序框图,如果输入三个实数a,b,c,要求输出这三个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的( A )(A)c>x (B)x>c (C)c>b (D)b>c解析:在第一个判断结束后,已经把a,b两个数中的大者赋给了x,因此只要在第二个判断中把x,c中的大者找出来即可,应填c>x.故选A.5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是( A )(A)4 (B)5(C)6 (D)7解析:程序执行第一次,S=0+20=1,k=1,第二次,S=1+21=3,k=2,第三次,S=3+23=11,k=3,第四次,S=11+211>100,k=4,跳出循环,输出k=4, 故选A.6.图象不间断函数f(x)在区间[a,b]上是单调函数,在区间(a,b)上存在零点,如图是用二分法求f(x)=0近似解的程序框图,判断框中可以填写( B )①f(a)f(m)<0;②f(b)f(m)>0;③f(b)f(m)<0;④f(a)f(m)>0.(A)①或④(B)①或②(C)①或③(D)②或④解析:由二分法求方程f(x)=0近似解的流程知:当满足f(a)f(m)<0时,令b=m;否则令a=m;故①正确,④错误;当满足f(m)f(b)>0时,令a=m;否则令b=m;故②正确,③错误.故选B.7.利用秦九韶算法求f(x)=x5+x3+x2+x+1当x=3时的值为( C )(A)121 (B)321 (C)283 (D)239解析:将函数式变形成一次式的形式可得f(x)=((((x+0)x+1)x+1)x+1)x+1. 当x=3时,f(3)=((((3+0)×3+1)×3+1)×3+1)×3+1=283.故选C.8.阅读下面的程序:S=1i=1WHILE i<=10S=3*Si=i+1WENDPRINT “S=”;SEND上述程序的功能是( C )(A)计算3×10的值(B)计算39的值(C)计算310的值(D)计算1×2×3×…×10的值解析:由程序知,当i>10时,退出循环.i=1,S=3;i=2,S=32;i=3,S=33;…;i=10,S=310;i=11时退出循环,故输出S的值为310的值.9.将2 012(3)化为六进制数为abc(6),则a+b+c等于( D )(A)6 (B)7 (C)8 (D)9解析:“三进制”数为2 012(3)转化为“十进制”数为2×33+0×32+1×31+2 =59,将59转化为六进制数:将59化为六进制数是135(6),从而可求a+b+c=1+3+5=9,故选D.10.执行如图所示的程序框图,输出的s值为( B )(A)(B)(C)(D)解析:k=1,s=1,s=1-=,k=2;s=+=,k=3,因为3≥3成立,所以输出s=.所以选B.11.五进制是以5为底的进位制,主因乃人类的一只手有五根手指.中国古代的五行学说也是采用的五进制,0代表土,1代表水,2代表火,3代表木,4代表金,依此类推,5又属土,6属水,……,减去5即得.如图,这是一个把k进制数a(共有n位)化为十进制数b的程序框图,执行该程序框图,若输入的k,a,n分别为5,324,3,则输出的b等于( B )(A)45 (B)89 (C)113 (D)445解析:模拟执行程序框图,a=324,k=5,n=3,b=0,i=1.进入循环t=4,b=0+4·50=4,i=2<3;t=2,b=4+2×5=14,i=3;t=3,b=14+3×52=89,i=4>3.输出b=89.故选B.12.某数学爱好者编制了如图的程序框图,其中mod(m,n)表示m除以n的余数,例如mod(7,3)=1.若输入m的值为8,则输出i的值为( B )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:输入m后,n=2<8;mod(m,n)=0,i=1,n=3<8;mod(m,n)≠0,n=4<8;mod(m,n)=0,i=2,n=5<8;mod(m,n)≠0,n=6<8;mod(m,n)≠0,n=7<8;mod(m,n)≠0,n=8;mod(m,n)=0,i=3,n=9>8,输出i=3,故选B.二、填空题(每小题5分,共20分)13.运行如图所示的程序,若输入的是-2 018,则输出的值是.INPUT xIF x<0 THENx=-xEND IFPRINT xEND解析:因为-2 018<0,所以x=-(-2 018)=2 018,故输出的值为2018. 答案:2 01814.执行如图所示的程序框图,若输入n=10,m=4,则输出的p= .解析:输入n=10,m=4,k=1,p=1进入循环,p=7;k=2,n=10,m=4,p=56;k=3,n=10,m=4,p=504;k=4,n=10,m=4,p=5 040;输出5 040.答案:5 04015.执行如图所示的程序框图,输出值a= .解析:模拟程序的运行,a=2,i=1<2 019,a=1-=;i=2<2 019,a=1-2=-1;i=3<2 019,a=1-(-1)=2;i=4<2 019,a=1-=;……i=2 018<2 019,a=-1;i=2 019,输出a=-1.答案:-116.已知程序:INPUT xIF x>0 THENy=3*x/2+3ELSEIF x<0 THENy=-3*x/2+5ELSEy=0END IFEND IFPRINT y若输出y的值为6,则输入x的值为. 解析:由题意得,当x>0时,令3×+3=6,解得x=2;当x<0时,令-3×+5=6,解得x=-,当x=0时,y=0不成立,综上可知x=2或x=-.答案:2或-三、解答题(共70分)17.(本小题满分10分)画出求p=1×3×5×7×…×31的值的算法流程图.解:算法流程图如图所示:18.(本小题满分12分)读下列程序,写出此程序表示的函数,并求当输出的y=4时,输入的x的值. INPUT xIF x<0 THENy=x∧2ELSEIF x>0 THENy=2*xELSEy=-1END IFEND IFPRINT yEND解:此程序表示的函数为y=当x<0时,x2=4得x=-2.当x>0时,2x=4得x=2.故当输出的y=4时,输入的x=±2.19.(本小题满分12分)分别用辗转相除法和更相减损术求81和135的最大公约数.解:辗转相除法:135=81×1+5481=54×1+27,54=27×2+0,则81与135的最大公约数为27.更相减损术法:135-81=54;81-54=27;54-27=27.所以81和135的最大公约数为27.20.(本小题满分12分)阅读如图所示的程序框图,解答下列问题:(1)求输入的x的值分别为-1,2时,输出的f(x)的值;(2)根据程序框图,写出函数f(x)(x∈R)的解析式;并求当关于x的方程f(x)-k=0有三个互不相等的实数解时,实数k的取值范围.解:(1)当输入的x的值为-1时,输出的f(x)=2-1=.当输入的x的值为2时,输出的f(x)=22-2×2+1=1.(2)根据程序框图,可得f(x)=当x<0时,f(x)=2x,此时f(x)单调递增,且0<f(x)<1;当x=0时,f(x)=2;当x>0时,f(x)=x2-2x+1=(x-1)2在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且f(x)≥0.结合图象,知当关于x的方程f(x)-k=0有三个不同的实数解时,实数k的取值范围为(0,1).21.(本小题满分12分)乘坐火车时,可以托运货物.从甲地到乙地,规定每张火车票托运费用计算方法是:当行李质量不超过50 kg时按0.25元/kg;超过50 kg而不超过100 kg时,其超过部分按0.35元/kg;超过100 kg时,其超过部分按0.45元/kg.请设计一个输入行李质量ω kg(ω≥0),计算出托运的费用x元的算法,画出算法框图并用基本语句描述该算法.解:设行李重量为ω kg,应付托运费为x元,则x=则x=程序框图如图所示:程序如下:INPUT “行李重量=”;ωIF ω<=50 THENx=0.25*ωELSEIF ω<=100 THENx=0.35*ω-5ELSEx=0.45*ω-15END IFEND IFPRINT x22.(本小题满分12分)设计算法求+++…+的值.要求画出程序框图,写出用基本语句编写的程序.解:这是一个累加求和问题,共99项相加,可设计一个计数变量,一个累加变量,用循环结构实现这一算法.程序及程序框图如图所示.S=0k=1DoS=S+1/k(k+1)k=k+1LOOP UNTIL k>99PRINT SEND。