一类非线性四阶微分方程三点边值问题的可解性

一类四阶非线性常微分方程两点边值问题三重正解的存在性张海波
【期刊名称】《吉林化工学院学报》
【年(卷),期】2012(029)011
【摘要】考虑一类四阶非线性两点边值问题三重正解的存在性问题，这里f：[0，1]×[0，＋∞）×（-∞，0][0，＋∞）．通过适当变换可将上述四阶边值问题转化为与其等价的二阶微分一积分方程的两点边值问题，适当定义半序巴拿赫空间及其上的锥，运用Legget—Williams不动点定理，得到二阶微分～积分方程的两点边值问题的三重正解的存在性，再由等价性，得到上述四阶非线性两点边值问题三重正解的存在性．
【总页数】7页(P156-162)
【作者】张海波
【作者单位】吉林化工学院理学院,吉林吉林132022
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.一类四阶微分方程两点边值问题正解及多个正解的存在性 [J], 李洋
2.一类四阶两点边值问题正解的存在性 [J], 苗亮英;何志乾;
3.一类四阶微分方程两点边值问题正解及多个正解的存在性 [J], 李洋;
4.一类四阶非线性常微分方程的两点边值问题解的存在性与唯一性 [J], 禹海兰;裴
明鹤
5.一类完全四阶两点边值问题正解的存在性 [J], 邓瑞娟;崔洪瑞
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一维奇异p-Laplacian三点边值问题正解的存在性白杰;祖力【摘要】利用非线性Leray-Schauder抉择定理和锥不动点定理,在假设条件下证明一维非线性奇异p-Laplacian三点边值问题解的存在性.结果表明,在区间(O,1]上至少存在一个正解.%By means of nonlinear Leray-Schauder alternative theorem and fixed point theorem in cones, thernauthors proved the existence of the solutions for one-dimensional singular p-Laplacian three-point boundaryrnvalue problems under assumptive conditions. There is at least one positive value in the interval from zero tornone.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2012(050)004【总页数】7页(P621-627)【关键词】Leray-Schauder抉择定理;锥不动点定理;奇异边值问题;正解的存在性【作者】白杰;祖力【作者单位】东北师范大学人文学院信息技术学院,长春130117;长春大学理学院,长春130022;东北师范大学数学与统计学院,长春130024【正文语种】中文【中图分类】O175.140 引言关于一维p-Laplacian边值问题的研究目前已有许多结果[1-10]. 翁世有等[8]利用Schauder不动点原理和非线性Leray-Schauder抉择定理建立了一维p-Laplacian奇异边值问题解的一些存在性原则; Agarwal等[11-12]利用Leray-Schauder抉择定理得到了p=2时正解的存在性.考虑如下奇异边值问题:(1)其中: Φ(s)=s; p>1; q(t)在t=0处有奇性; 非线性项f可能在u=0 处有奇性. 本文应用文献[11-12]的方法, 证明p>1时问题(1)存在正解.1 预备知识假设：(H1) q(t): (0,1)→(0,∞)连续, 并且存在0≤α<p-1, 使得tαq(t)dt<∞成立;(H2) f(u)=g(u)+h(u), 其中: g>0在(0,∞)上连续且单调不增; h≥0在[0,∞)上连续; 且h/g在(0,∞)上单调不减;(H3) 存在一个常数r>0, 使得(2)成立, 其中Φ-1(u) ∶=sgn u是Φ(u)的反函数.例如, 当α∈(a-1,p-1)∩[0,p-1)时, 函数q(t)=t-a(0<t<1, 0≤a<p)满足条件(H1). 注1 容易验证条件(H1)表明若函数u(t)满足下列条件, 则u(t)是问题(1)的一个正解:1) u∈C[0,1]∩C1(0,1];2) 对任意的t∈(0,1], 有u(t)>0, 并且u(0)=0, u(1)=u(ξ), 0<ξ<1;3) Φ(u′(t))在(0,1)上一致绝对连续, 且(Φ(u′))′+q(t)f(u(t))=0, 0<t<1.定义1[13] 设X为实Banach空间, K是X中的闭凸子集, 若K满足下列条件, 则称K是X中的闭锥(简称锥):1) 若x∈K, λ≥0, 则λx∈K;2) 若x∈K, -x∈K, 则x=0.引理1(非线性Leray-Schauder抉择定理)[14] 假设K为Banach空间E的一个凸集, Ω为K的一个相对开子集, 0∈Ω, 映射为一个紧算子, 则下列条件必有一个成立:1) A在上有一个不动点;2) 存在x∈∂Ω和0<λ<1, 使得x=λA(x).定义C[0,1]中锥K为: K ∶={u∈C[0,1]: u(t)是非负的凹函数}.引理2 令h(t): (0,1)→(0,∞)连续, 且存在0≤α<p-1, 使得tαh(t)dt<∞, 则(3)存在唯一的正解V∈C[0,1]∩C1(0,1].证明：先证解的存在性.当0<t≤1时, 设显然, 由注1知, y(t)在(0,1]上连续严格增, 且y(ξ)<0<y(1). 因此, y(t)在(0,1)上只有一个零点. 令σ是y(t)在(0,1)上的唯一零点. 则令(4)则V在(0,1]上有定义, 且在(0,1]上V(t)>0. 进一步, 有(5)由(H2)知, 对0<t≤σ, 有则V(0)=0.类似可得V(1)=V(ξ). 因此, V(t)在[0,1]上连续, 且V(0)=0, V(1)=V(ξ); [Φ(V′(t))]′=-h(t), t∈(0,1).由比较原理易证唯一性. 证毕.令n≥4是一个固定的自然数. 对每个u∈K, 考虑如下问题:(6)其中F(u)=g*(u)+h(u), 满足注2 g*(u)≤g(u), ∀u∈(0,∞).由引理2, 可得:引理3 对每个固定的u∈K, 边值问题(6)存在唯一的解:w(t)=(Ψu)(t), w∈K,其中(7)σu∈(0,1)为如下方程在0≤τ≤1时的唯一解:对u∈K, 由w和Ψ的定义知:1)2) 在(0,1)中, (Φ(w′(t)))′=-q(t)F(u(t)), 且w(0)=1/n, w(1)=w(ξ);3) w=Ψu∈K, ‖w‖=w(σu).表明w(t)是问题(6)的一个解, 且为定义在[0,1]上的凹函数.类似文献[7]中引理2.6～引理2.9的证明方法, 可得下列引理.引理4 令wi(t)是F=Fi(i=1,2)时问题(6)的一个解. 如果F1≤F2, 则w1(t)≤w2(t).引理5 设[a,1]⊂(0,1]是一紧区间, 且令w(t)是F(u)≤M时问题(6)的一个解, 则w′(t)≤C(a,M), a≤t≤1.其中: M是一个正常数; C(a,M)是一个与a,M有关的正常数.注3 设w(t)是F(u)≤M时问题(6)的一个解, 则w(t)≤1/n+VM(t), 即(Ψu)(t)≤1/n+VM(t).注4 设w(t)是F(u)≥m时问题(6)的一个解, 则w(t)≥1/n+Vm(t), 即(Ψu)(t)≥1/n+Vm(t).引理6 对任意有界闭子集Ω⊂K, 集合Ψ(Ω)在[0,1]上等度连续.引理7 对任意的有界闭子集Ω⊂K, 映射Ψ: Ω→K是连续的.综合引理3～引理7, 可得:引理8 Ψ: K→K是全连续的.2 主要结果定理1 假设条件(H1)～(H3)成立, 则在区间(0,1]上, 系统(1)至少存在一个解u∈C[0,1]∩C1(0,1], 满足u>0, 且‖u‖<r.证明: 先用引理1证明解的存在性. 选择ε>0, 且ε<r, 使得(9)选择n0∈{1,2,…}, 使得1/n0<ε. 令N+={n0,n0+1,…}.下面证明边值问题:(10)在(0,1]上有一个解: 且‖un‖<r.∀n∈N+, 为证式(10)有一个解, 需考虑如下边值问题:(11)其中F的定义见式(6).固定n∈N+. 定义为式(7), 式(7)中σu∈(0,1)为如下方程的唯一解:由引理8, 可得是全连续的.下面证明u≠λΨu, λ∈(0,1), u∈∂Ωr.(12)假设式(12)不成立, 即存在一个λ∈(0,1)和u∈∂Ωr, 使得u=λΨu, 则有(13)显然存在σn∈(0,1), 使得在(0,σn)上, u′(t)≥0; 在(σn,1)上, u′(t)≤0, 且u(σn)=‖u‖=r. 再注意到F(u(t))≤g(u(t))+h(u(t)), t∈(0,1),则当z∈(0,1)时,(14)对式(14)从t(0<t≤σn)到σn积分, 得(15)则有(16)再从0到σn积分得(17)即(18)因此(19)这与条件(9)矛盾, 于是式(12)成立.由引理1可知Ψ有一个不动点即1/n≤‖un‖≤r(注意到, 如果‖un‖=r, 则与式(14)～(19)的证明同理可得矛盾). 因为un≥1/n, 所以un(t)也是问题(10)的一个解. 由(H2), 当r>0时,g(un(t))≥g(r), f(un)=h(un)+g(un)≥g(r).则由注4, 可得(20)注5 注意到在区间(0,1]上, Vg(r)(t)>0, 则un(t)>0, t∈(0,1].下面证明{un}n∈N+在[0,1]上一致有界且等度连续. 由式(14)(用un代替u), 可得(21)因为在[0,1]上, un(t)≥1/n, 则在(0,σn)上存在σn∈(0,1), 使得而在(σn,1)上, 且un(σn)=‖un‖≤r.对式(21)从t(0<t<σn)到σn积分得(22)下面证明存在a0>0, 使得a0<inf{σn: n∈N+}≤1.(23)如果式(23)不成立, 则存在N+的子列S, 使得当S中的n→∞时, σn→ 0. 对式(22)从0到σn积分得(24)其中n∈S. 因为当n→∞时, σn→ 0, 则由式(24)可得, 当n→∞时, un(σn)→ 0. 又因为un在[0,1]上σn处取得最大值, 所以当n→∞时, C[0,1]中的函数un→ 0. 这与式(20)矛盾. 表明(25)其中W(t)=q(z)dz. 由注2知, Φ-1(W)∈L1[0,1].对式(21)从σn(σn<t<1)到t积分得当σn≤t≤1时, 有(26)则式(25),(26)表明, 当t∈(0,1)时,(27)定义I: [0,∞)→[0,∞)为I(z) 注意到I: [0,∞)→[0,∞)是单调增的映射, 且I(∞)=∞, 这是因为g(u)>0在(0,∞)上单调不减, 且对任意的B>0, I在[0,B]上连续.{I(un)}n∈N+在[0,1]上一致有界且等度连续, 其等度连续性可从下式得到(这里t,s∈[0,1]):由不等式(28)、 I-1的一致连续性及un(t)-un(s)=I-1(I(un(t)))-I(un(s))可知{un}n∈N+在[0,1]上一致有界且等度连续.由Arzela-Ascoli定理, N+存在一个子列N⊂N+, 使得当n∈N, n→∞时, 存在u∈C[0,1], 使得un在[0,1]上一致收敛于u. 则由式(20)知, 在[0,1]上,un(t)≥Vg(r)(t). 特别地, 在(0,1]上, u(t)>0.固定t∈(0,1], 有(29)由式(26), 有则有一个收敛子列; 为方便, 仍用表示该子列, 并且令r0∈R表示其极限. 则对上面固定的t∈(0,1], 在N上, 令n→∞(注意到q f在紧子区间[t,1]×(0,r]上一致连续)得(30)t取遍(0,1]可得因此r0=u′(1), 从而有(Φ(u′))′+q(t)f(u(t))=0, 0<t<1, u(0)=u(1)-u(ξ)=0.最后易证‖u‖<r(注意到如果‖u‖=r, 与式(14)～(19)的证明同理可推出矛盾). 从而证明了问题(1)至少有一个正解u(t)∈C[0,1]∩C1(0,1], 且‖u‖<r. 证毕.3 应用实例考虑奇异边值问题:(31)其中: 0≤m<p; σ>0; α>0; β>p-1.设则b0=σ1/(p-1)b1.应用定理1可知, 如果存在r>0满足(32)则问题(31)存在一个正解.设则选择r=x0, 则式(32)成立. 显然, 定理1中的(H1)～(H3)成立. 因此, 问题(31)存在一个解u∈C[0,1]∩C1(0,1], 使得在(0,1]上, u>0且‖u‖<r=x0.参考文献【相关文献】[1] XU Xian. Multiplicity Results for Positive Solutions of Some Semi-position Three-Point Boundary Value Problems [J]. J Math Anal Appl, 2004, 291(2): 673-689.[2] SUN Jing-xian, XU Xian, O’Regan D. Nodal Solutions for m-Point Boundary Value Problems Using Bifurcation Methods [J]. Nonlinear Anal: Theory, Method & Applications, 2008, 68(10): 3034-3046.[3] Gupta C P. Existence and Uniqueness Theorems for the Bending of an Elastic Beam Equations [J]. Appl Anal, 1988, 26(4): 289-304.[4] Gupta C P. Solvability of a Three-Point Nonlinear Boundary Value Problem for a Second Order Ordinary Differential Equation [J]. J Math Anal Appl, 1992, 168(2): 540-551.[5] KONG Ling-bin, WANG Jun-yu. Multiple Positive Solutions for the One-Dimensional p-Laplacian [J]. Nonlinear Anal: Theory, Method & Applications, 2000, 42(8): 1327-1333. [6] Agarwal R P, O’Regan D. Twin Solutions to Sin gular Dirichlet Problems [J]. J Math Anal Appl, 1999, 240(2): 433-445.[7] JIANG Da-qing, XU Xiao-jie. Multiple Positive Solutions to a Class of Singular Boundary Value Problems for the One-Dimensional p-Laplacian [J]. Comput Math Appl, 2004,47(4/5): 667-681.[8] WENG Shi-you, GAO Hai-yin, ZHANG Xiao-ying, et al. Existence Principles for Singular Boundary Value Prolems of One Dimension p-Laplacian [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2006, 44(3): 351-356. (翁世有, 高海音, 张晓颖, 等. 一维p-Laplacian奇异边值问题的存在性原则 [J]. 吉林大学学报: 理学版, 2006, 44(3): 351-356.)[9] YUAN Cheng-jun, WEN Xiang-dan, MENG Qing-yuan. Existence and Uniqueness of Positive Solutions of Fourth-Order Nonlinear Singular Discrete Boundary Value Problems with p-Lapacian Operator [J]. Journal of Northeast Normal University: Natural Science Edition, 2010, 42(1): 5-9. (苑成军, 文香丹, 孟庆元. 奇异四阶p-Lapacian差分方程边值正解的存在唯一性 [J]. 东北师大学报: 自然科学版, 2010, 42(1): 5-9.)[10] YUAN Cheng-jun, WEN Xiang-dan. Existence and Uniqueness of Positive Solutions for Fourth-Order Nonlinear Singular Continuous Boundary Value Problems with p-Lapacian Operator [J]. Journal of Natural Science of Heilongjiang University, 2009, 26(2): 190-193. (苑成军, 文香丹. 奇异四阶p-Lapacian微分方程边值正解的存在惟一性 [J]. 黑龙江大学自然科学学报， 2009, 26(2): 190-193.)[11] Agarwal R P, O’Regan D. Existence Theory for Single and Multiple Solutions to Singular Positone Boundary Value Problems [J]. J Differential Equations, 2001, 175(2): 393-414.[12] Agarwal R P, O’Regan D. Twin Solutions to Singular Boundary Value Problems [J]. Proc Amer Math Soc, 2000, 128: 2085-2094.[13] 钟承奎, 范先令, 陈文源. 非线性泛函分析引论 [M]. 兰州: 兰州大学出版社, 1998.[14] Agarwal R P, O’Regan D. Nonlinear Superlinear Singular and Nonsingular Second Order Boundary Value Problems [J]. J Differential Equations, 1998, 143(1): 60-95.。

烟台大学硕士学位论文一类非线性常微分方程边值问题的求解方法及其解的定性分析姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***20080401摘　要　本文基于非线性弹性力学的有限变形理论，将不可压缩超弹性材料组成的球形结构（如实心球体、初始状态含有微孔的球体、球壳）内部的空穴生成和增长问题归结为一类非线性常微分方程的边值问题，并对其进行了比较系统的研究，得到了一些新的理论结果和数值计算结果．　主要的工作和结论如下：１．　研究了由各向同性不可压缩的超弹性材料组成的实心球体在给定的表面径向拉伸死载荷作用下的空穴分岔问题．　得到了描述球体内部空穴生成和增长的空穴分岔方程．　特别地，对于各向同性的Rivlin- Saunders材料，给出了此类材料中有空穴现象出现的条件．　证明了空穴分岔方程的非平凡解在分岔点附近可以局部向左或向右分岔，这与其它各向同性不可压缩的超弹性材料中的空穴生成和增长现象有明显的不同．　最后，利用最小势能原理分析了空穴分岔方程解的稳定性和实际稳定的平衡状态．　２．　研究了在给定的表面拉伸死载荷作用下，由横观各向同性不可压缩的neo-Hookean 材料组成的球体内部预存微孔的增长问题．　利用材料的不可压缩条件和边界条件，得到了描述拉伸死载荷与微孔增长量之间的平衡关系的方程，并结合数值例图详细讨论了材料参数和结构参数对微孔增长的影响．　３．　研究了由横观各向同性不可压缩的Ogden材料组成的球壳在其内、外表面分别受到突加恒定载荷作用下的径向有限变形问题．　讨论了材料参数和结构参数对球壳内表面半径增长的影响，同时给出了相应的数值模拟．　关键词：不可压缩超弹性材料；预存微孔；球壳；有限变形；稳定性　AbstractBased on the finite deformation theory of Nonlinear Elasticity, the problems of cavity formation and growth in the interior of the spherical structures (such as a solid sphere, a sphere with an initial micro-void, a spherical shell) are described as a class of nonlinear ordinary differential equations with boundary conditions, where the structures are composed of incompressible hyper-elastic materials. These problems are discussed systemically, and s ome new theoretical and numerical results are obtained. The main works and results are as follows:1. A cavitated bifurcation problem is examined for a solid sphere composed of a class of isotropic incompressible hyper-elastic material s, where the surface of the sphere is subjected to a prescribed radially tensile dead-load. A cavitated bifurcation equation that describes cavity formation and growth in the interior sphere is obtained. Particularly, for the isotropic Rivlin-Saunders materials, the conditions of cavitation in the interior of this class of materials are presented. It is proved that the nontrivial solution can bifurcate locally to the left or the right near the bifurcation point, which is quite different from other isotropic incompressible hyper-elastic materials. Finally, the stability of the solutions and the actual stable equilibrium state are discussed by using the minimal potential principle.2. Under a prescribed uniform tensile dead-load, the growth of the pre-existing micro-void at the center of the sphere composed of the transversely isotropic incompressible neo-Hookean materials is examined. By using the incompressibility constraint and the boundary condition, an equation that describes the equilibrium relation between the tensile dead-load and the measure of void growth is obtained. The effects of material a nd structure parameters on the growth of the micro-void are discussed in detail with numerical examples.3. The radial finite deformation problem is examined for a spherical shell composed of the transversely isotropic incompressible Ogden materials, where the inner and the outer surfaces of the shell are subjected to different suddenly applied constant loads. The effects of material and structure parameters on the growth of the inner-surface are discussed. Simultaneously, the corresponding numerical simulations are given.Keywords: incompressible hyper-elastic material; pre-existing micro-void; spherical shell; finite deformation; stability烟台大学学位论文原创性声明和使用授权说明　原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

一类三阶两点边值问题解的存在性一类三阶两点边值问题是指具有以下形式的微分方程：y'''(x) = f(x,y(x),y'(x),y''(x))在区间[a, b]上，同时满足以下边界条件：y(a) = y_0, \quad y(b) = y_1y_0, y_1是已知常数。

我们需要关注方程的连续性和可导性。

根据连续性理论，如果f在闭区间[a, b]上连续，则对于给定的初值y_0, y_1，存在唯一的解y(x)在该区间上存在。

对于三阶微分方程，我们需要更高级的连续性条件来保证解的存在性。

这里我们引入分析学中的一个重要概念：Lipschitz条件。

如果函数f(x,y,y',y'')满足Lipschitz条件，即存在常数L>0，使得对于任意(x,y,y',y'')和(x,z,z',z'')，有|f(x,y,y',y'') - f(x,z,z',z'')| \leq L(|y-z| + |y'-z'| + |y''-z''|)那么我们可以得到Peano存在性定理和Picard-Lindelöf存在唯一性定理。

根据Peano存在性定理，对于三阶微分方程y'''(x) = f(x,y(x),y'(x),y''(x))，如果f(x,y,y',y'')在闭区间[a, b]上连续，则存在至少一个解y(x)在该区间上存在。

Peano 存在性定理不能保证解的唯一性。

Picard-Lindelöf存在唯一性定理则给出了解的唯一性的条件。

如果f(x,y,y',y'')满足Lipschitz条件，并且在闭区间[a, b]上连续，则对于给定的初值y_0, y_1，存在唯一解y(x)在该区间上存在。

非线性微分方程三阶三点边值问题正解的存在性
区别线性微分方程和非线性微分方程：1.微分方程中的线性，指的是y及其导数y'都是一次方。

如y'=2xy。

2.非线性，就是除了线性的。

如y'=2xy^2。

若一个微分方程不符合上面的条件，就是非线性微分方程。

线性方程：在代数方程中,仅不含未知数的一次幂的方程称作线性方程。

这种方程的
函数图象为一条直线，所以称作线性方程。

可以认知为：即为方程的最低次项就是一次的，容许存有0次项，但无法少于一次。

比如说ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。

如果一个微分方程中仅所含未明函数及其各阶导数做为整体的一次幂,则表示它为线
性微分方程。

可以认知为此微分方程中的未明函数y就是不少于一次的，且此方程中y的
各阶导数也必须就是不少于一次的。

一类四阶三点边值问题正解的存在性
在数学的边值问题中，提出一类四阶三点边值问题，它们是一种把问题简化，把给定条件
改写成特定方程组形式，然后进行解决的数学方法。

在一般的四阶三点边值问题中，给定
五个初始值，在一特定区间内计算出其他四个未知点的值。

首先，来看一类四阶三点边值问题的正解存在性。

在这类问题中，假设满足方程的系数相
关性不变，只有微分方程的左右两步有正解的存在性，也就是说，当系数的相关性是正确
的时候，就有可能有正解。

但是，在很多情况下，系数的相关性是正确的，但是四阶三点边值问题正解依然存在问题。

此时，必须靠数值解法来解决这个问题，例如牛顿迭代法。

当数值方法解出方程的精确解时，就可以确定四阶三点边值问题的正解存在性了。

最后，通过对符合一定相关性的系数和数值方法获得的正确方程解来判断，是否能够获得边值问题的正解。

如果能够获得正确的方程解，那么就可以得到这类四阶三点边值问题的正解存在性，而且可以获得解析解。

概括起来，可以看出，在一类四阶三点边值问题中，只要系数相关性正确，而且利用数值
方法获得精确的解，就可以求解出相应的正解。

所以，一类四阶三点边值问题的正解存在
性可以得到确认。

一类三阶三点边值问题的可解性
近年来，非线性椭圆型偏微分方程的发展受到了广泛关注，众多学者研究了其中一类三阶三点边值问题(TPBVP)的可解性。

本文将针
对这类问题，进行一些深入的研究，尝试寻找解决方案。

TPBVP是一类非线性椭圆型偏微分方程的三点边值问题。

它的特点是拥有三个边界条件，在边界条件的作用下，有一个未知函数在满足椭圆型偏微分方程的定义域内满足这一条件。

在此基础上，本文将以具有三参数K，L，M的一类三阶三点边值问题为研究对象，尝试寻找解决该问题的方法。

首先，通过数学分析，推导出问题的三个定性结果，即在K>0,L>0,M>0时，该问题是可解的；在K≤0,L≤0,M≤0时，该问题是不可解的；在K，L，M取任意实数时，问题的可解性是未知的。

其次，将寻求未知函数的问题转化为求解一个非线性有限元方程组的形式，并将空间化为FEM（有限元方法）中最常见的三角形元单元，及其剖分网格，采用Galerkin有限元方法，分别建立出二阶和三阶系数矩阵，并采用LU分解求解该方程组，从而求得未知参数K、L、M时，该问题的可解性。

最后，本文分析了一类三阶三点边值问题可解性的特点，得出结论：K、L、M三个参数值任意取实数时，该问题都是可解的，其可解性取决于参数K、L、M具体取值，当参数均大于零时，问题是可解的；当参数有一个或多个小于零时，问题是不可解的。

本文对于一类三阶三点边值问题的可解性做了一些深入的分析，旨在探索其可解性的本质，为此类问题的研究提供了一定的理论基础，
为今后相关研究提供借鉴。