2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(50)

2013届高三数学二模好题集锦12、将边长为2的正方形沿对角线AC 折起，以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积最大值等于 ．14、已知函数aax x a x a x x f 2222)1()(22-++--+=的定义域是使得解析式有意义的x 的集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则实数a 的取值范围是 ．16、已知函数)2cos()2sin(2ππ-+=x x y 与直线21=y 相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M （ ）.A π6 .B π7 .C π12 .D π1317、若22παπ≤≤-，πβ≤≤0，R m ∈，如果有0sin 3=++m αα，0cos )2(3=++-m ββπ，则)cos(βα+值为（ ）． .A 1- .B 0 .C21.D 1 18、正方体1111D C B A ABCD -的棱上．．到异面直线AB ，1CC 的距离相等的点的个数为（ ）.A 2． .B 3． .C 4． .D 5．12．已知23230123(3)(3)(3)n x x x x a a x a x a x ++++=+-+-+-(3)n n a x ++-()n N *∈且012n n A a a a a =++++，则lim4nnn A →∞=___________.14．已知1()4f x x =-，若存在区间1[,](,)3a b ⊆+∞，使得{}(),[,][,]y y f x x a b ma mb =⊆=，则实数m 的取值范围是___________.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 具有性质：①1a 为整数；②对于任意的正整数n ，当n a 为偶数时，12n n a a +=；当n a 为奇数时，112n n a a +-=. （1）若1a 为偶数，且123,,a a a 成等差数列，求1a 的值；（2）设123m a =+(3m >且m ∈N )，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：123m n S +≤+； （3）若1a 为正整数，求证：当211log n a >+(n ∈N )时，都有0n a =.【解析】⑴设12a k =，2a k =，则：322k a k +=，30a =分两种情况： k 是奇数，则2311022a k a --===，1k =，1232,1,0a a a === 若k 是偶数，则23022a ka ===，0k =，1230,0,0a a a === ⑵当3m >时，123123423,21,2,2,m m m m a a a a ---=+=+==45122,,2,1,0m m m m n a a a a a ++-======∴1124223n m m m S S +≤=++++=+⑶∵211log n a >+，∴211log n a ->，∴112n a ->由定义可知：1,212,2nnn n n na a a a a a +⎧⎪⎪=≤⎨-⎪⎪⎩是偶数是奇数∴112n n a a +≤ ∴1211112112n n n n n n a a a a a a a a a ----=⋅⋅⋅≤⋅∴111212n n n a --<⋅= ∵n a N ∈，∴0n a =，综上可知：当211log n a >+()n N ∈时，都有0n a =12．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 1=+∞→n nn S S ， 则其公比q 的取值范围是 .13．已知两个不相等的平面向量，β(0≠)满足|β|＝2，且与β－的夹角为120°，则||的最大值是 .14．给出30行30列的数表A ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1074216183150117216342720131832721159150201510511713951，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数10743421101，，，，，按顺序构成数列{}n b ，存在正整数)1(t s t s <<、使t s b b b ,,1成等差数列，试写出一组),(t s 的值 .12. 公差为d ，各项均为正整数的等差数列{}n a 中，若11,73n a a ==，则n d +的最小值等于 ．13. 已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，6,7,8,AC BC AB ===则AO BC ⋅=uuu r uu u r．14．设()f x 是定义在R 上的函数，若81)0(=f ，且对任意的x ∈R ，满足 (2)()3,(4)()103x x f x f x f x f x +-≤+-≥⨯,则)2014(f = ．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．如图，过坐标原点O 作倾斜角为60的直线交抛物线2:y x Γ=于1P 点，过1P 点作倾斜角为120的直线交x 轴于1Q 点，交Γ于2P 点；过2P 点作倾斜角为60的直线交x 轴于2Q 点，交Γ于3P 点；过3P 点作倾斜角为120的直线，交x 轴于3Q 点，交Γ于4P 点；如此下去……．又设线段112231n n OQ QQ Q Q Q Q -，，，，，L L 的长分别为123,,,,,n a a a a L L，11122OPQ Q PQ ∆∆，，2331n n n Q PQ Q PQ -∆∆，，，L L 的面积分别为123,,,,,,n G G G G L L 数列{}n a 的前n 项的和为n S ．（1）求12,a a ； （2）求n a ，limnn nG S →∞；（3）设(01)n an b a a a =>≠且，数列{}n b 的前n 项和为n T ，对于正整数,,,p q r s ，若p q r s <<<，且p s q +=+试比较p s T T ⋅与q r T T ⋅的大小．11．方程0cos =x x 在区间[]6,3-上解的个数为 .12．某人从标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张.约定如下：如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记为ξ；如果出现一奇一偶，则将它们的差的绝对值记为ξ，则随机变量ξ的数学期望为 .13．如果M 是函数)(x f y =图像上的点，N 是函数)(x g y =图像上的点，且N M ,两点之间的距离MN 能取到最小值d ，那么将d 称为函数)(x f y =与)(x g y =之间的距离.按这个定义，函数x x f =)(和34)(2-+-=x x x g 之间的距离是 .14．数列}{n a 满足1241+-=+n n n a a a （*∈N n ）．①存在1a 可以生成的数列}{n a 是常数数列； ②“数列}{n a 中存在某一项6549=k a ”是“数列}{n a 为有穷数列”的充要条件； ③若{}n a 为单调递增数列，则1a 的取值范围是)2,1()1,( --∞；④只要k k k k a 232311--≠+，其中*∈N k ，则n n a ∞→lim 一定存在； 其中正确命题的序号为 .17．已知以4为周期的函数(](]⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=3,1,2cos 1,1,1)(2x xx x m x f π，其中0>m 。

加试模拟训练题（2）1、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值．2、设 ,,,,21a a a k为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 11213、 一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。

加试模拟训练题（2）1、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值． 解：令112123123412341,5,14,30,y x y x x y x x x y x x x x =-⎧⎪=+-⎪⎨=++-⎪⎪=+++-⎩ 则 0(1,2,3,4)i y i ≤=，112123234341,4,9,16,x y x y y x y y x y y =+⎧⎪=-++⎪⎨=-++⎪⎪=-++⎩ 于是 ()()()()112223411114916234U y y y y y y y =++-+++-+++-++ 123411*********10.y y y y =++++≤ 当 1121231234123410,50,140,300,y x y x x y x x x y x x x x =-=⎧⎪=+-=⎪⎨=++-=⎪⎪=+++-=⎩即12341,4,9,16x x x x ====时，max 10.U = 2、设 ,,,,21a a a k为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 1121 证明: 设a a ab b b n n ,,,,,,2121 是的从小到大的有序排列,即 b b b n ≤≤21,因为b i是互不相同的正整数.则n b b b n ≥≥≥,,2,121又因为n 222111132>>>>所以由排序不等式得:n a a a n 22212+++ (乱序) n bb b n22212+++≥ (倒序) n 1211+++≥即 ∑∑==≥n k n k k k k a 1121 成立. 3、 一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．【证】 将人看作平面上的点，得到一个有3n ＋1个点的图(假定任意三点都不在一直线上)，当两个人玩网球或象棋或乒乓球时，我们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线，需要证明的是，一定存在一个三条边的颜色互不相同的三角形．自一点引出的3n 条线段中，如果某两条线段的颜色不同，就称它们构成一个“异色角”．考虑异色角的个数．由于自每一点引出n 条红线，角形中有3个异色角．这个三角形的三条边颜色互不相同，即相应的三个人之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。

2013年北京市西城区高三二模试卷高三数学（理科）2013.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4}B =，那么()U A B = ð （A ）{0,1} （B ）{2,3} （C ）{0,1,4} （D ）{0,1,2,3,4}2．在复平面内，复数1z 的对应点是1(1,1)Z ，2z 的对应点是2(1,1)Z -，则12z z ⋅= （A ）1 （B ）2（C ）i -（D ）i3．在极坐标系中，圆心为(1,)2π，且过极点的圆的方程是 （A ）2sin =ρθ （B ）2sin =-ρθ （C ）2cos =ρθ （D ）2cos =-ρθ4．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯” 之值，则判断框内可以填入 （A ）10k ≤ （B ）16k ≤ （C ）22k ≤ （D ）34k ≤5．设122a =，133b =，3log 2c =，则 （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）c b a << （D ）c a b <<6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是 （A ）m n ⊥，n ∥α（B ）m ∥β，⊥βα （C ）m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α （D ）m n ⊥，n ⊥β，⊥βα7．已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（A （B （C （D ）8．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程()f x kx k =+有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 （A ）111[1,)(,]243--（B ）111(1,][,)243--（C ）111[,)(,1]342--（D ）111(,][,1)342--第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．右图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm ）数据 的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙， 则 x 甲______x 乙． （填入：“>”，“=”，或“<”） 10．5(21)x -的展开式中3x 项的系数是______．（用数字作答）11．在△ABC 中，2BC =，AC ，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______． 12．如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD PD ⊥．若4PC =，2PB =，则CD =______．13．在等差数列{}n a 中，25a =，1412a a +=，则n a =______；设*21()1n n b n a =∈-N ，则数列{}n b 的前n 项和n S =______．14．已知正数,,a b c 满足a b ab +=，a b c abc ++=，则c 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）若311=x ，求2x ； （Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．16．（本小题满分13分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下： 奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望．如图1，四棱锥ABCD P -中，⊥PD 底面ABCD ，面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示． （Ⅰ）证明：⊥BC 平面PBD ； （Ⅱ）证明：AM ∥平面PBC ；（Ⅲ）线段CD 上是否存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43？若存在，找到所有符合要求的点N ，并求CN 的长；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为9(5，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m 的取值范围．已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中a ∈R ． （Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[2,3]上的最大值和最小值． 20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x = 是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈ ，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列；排列12,,,n a a a 为排列12,,,n b b b 的母列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列；（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,n a a a ''' 为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同； （Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，定义变换τ：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,n a a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.5 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C；2．B；3．A；4．C；5．D；6．C；7．B；8．B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．>；10．80；11．312．125；13．21n+，4(1)nn+；14．4(1,]3．注：11、13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得1cosx=α，2cos()3xπ=+α．因为,)62ππ∈(α，1cos3=α，所以sin3==α．………………3分所以211cos()cos sin3226xπ-=+==αα-α．（Ⅱ）解：依题意得1siny=α，2sin()3yπ=+α．所以111111cos sin sin2224S x y==⋅=ααα，………………7分2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x yπππ==-+⋅+=-+ααα．……………9分依题意得2sin22sin(2)3π=-+αα，整理得cos20=α．………………11分因为62ππ<<α，所以23π<<πα，所以22π=α，即4π=α．………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，………………1分则2334A1()A4P A==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为14． ………………4分 （Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20． ………………5分1(0)4P X ==， 2224A 1(5)A 6P X ===， 222344A 11(10)A A 6P X ==+=， 122234C A 1(15)A 6P X ⋅===， 3344A 1(20)A 4P X ===． ………………10分 所以，随机变量X 的分布列为:………………11分11111051015201046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分17．（本小题满分14分） 【方法一】（Ⅰ）证明：由俯视图可得，222BD BC CD +=，所以 BD BC ⊥． ………………1分 又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥， ………………3分所以 ⊥BC平面PBD ． ………………4分 （Ⅱ）证明：取PC 上一点Q ，使:1:4PQ PC =，连结MQ ，BQ ． ………………5分由左视图知 4:1:=PD PM ，所以 MQ ∥CD ，14MQ CD =． ………………6分 在△BCD 中，易得60CDB ︒∠=，所以 30ADB ︒∠=．又 2=BD ， 所以1AB =， AD又因为 AB ∥CD ，CD AB 41=，所以 AB ∥MQ ，AB MQ =． 所以四边形ABQM 为平行四边形，所以 AM ∥BQ ． ………………8分 因为 ⊄AM 平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ，所以 直线AM ∥平面PBC ． ………………9分（Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：………10分 因为 ⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． 所以 )3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(M C B A D ．设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． ………………11分 所以)3,0,3(-=，)0,1,3(--=t ．要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有||||||AM BN AM BN ⋅=………………12分所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得 0=t 或2，均适合40≤≤t ． ………………13分 故点N 位于D 点处，此时4CN =；或CD 中点处，此时2CN =，有AM 与BN 所成角的余弦值为43． ………………14分 【方法二】（Ⅰ）证明：因为⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥，建立如图所示 的空间直角坐标系xyz D -．在△BCD 中，易得60CDB ︒∠=，所以 30ADB ︒∠=， 因为 2=BD ， 所以1AB =，AD由俯视图和左视图可得：)4,0,0(),3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(P M C B A D ．所以 )0,3,3(-=，)0,1,3(=．因为 0001333=⋅+⋅+⋅-=⋅DB BC ，所以BD BC ⊥． ………………2分 又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥， ………………3分 所以 ⊥BC 平面PBD ． ………………4分（Ⅱ）证明：设平面PBC 的法向量为=()x,y,z n ，则有 0,0.PC BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 因为 )0,3,3(-=，)4,4,0(-=，所以440,30.y z y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取1=y ，得=n )1,1,3(． ………………6分因为 )3,0,3(-=AM ， 所以 ⋅AM =n 03101)3(3=⋅+⋅+-⋅． ………………8分因为 ⊄AM 平面PBC ，所以 直线AM ∥平面PBC ． ………………9分 （Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：………10分 设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． ………………11分 所以 )3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t BN ． 要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有 43||||=⋅BN AM BN AM ， ………………12分 所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得0=t 或2，均适合40≤≤t ． ………………13分 故点N 位于D 点处，此时4CN =；或CD 中点处，此时2CN =，有AM 与BN 所成角的余弦值为43． ………………14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段AP 的中点，因为(1,0)A -，9(5P ，所以 点M的坐标为2(5．………………2分由点M 在椭圆C 上，所以41212525m+=， ………………4分 解得 47m =． ………………5分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 2201y x m+=，且011x -<<． ① ………………6分因为 M 是线段AP 的中点，所以 00(21,2)P x y +． ………………7分 因为 OP OM ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．② ………………8分由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-． ………………10分 所以001116242(2)82m x x =+≤-++-+， ………………12分 当且仅当02x =-时，上式等号成立． 所以 m的取值范围是1(0,24-． ………………13分 19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ， 且 2()242f x x x a '=-+-． ………………2分当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--， 即 6350x y +-=． ………………4分 （Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式为8a =∆．（ⅰ）当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3] 上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ………………6分 （ⅱ）当0a >时，令()0f x '=，得112x =-，或212x =+． ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调增区间为(,1-∞，(1)+∞；单调减区间为(1． ………………8分① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3] 上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ………………10分 ② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是 25()33f x a =--． ………………11分 因为 14(3)(2)3f f a -=-， 所以 当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是(3)73f a =-；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是7(2)23f a =-． ………………12分③ 当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减， 所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-；最大值是7(2)23f a =-．………………14分 综上，当2a ≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是723a -，最大值是73a -；当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是53a -73a -；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是53a -723a -； 当8a ≥时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -，最大值是723a -． 20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3--； ………………2分排列0,1,2,3,4,3--的母列为3,2,4,1,6,5． ………………3分（Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a ''' 的生成列是与12,,,n b b b ''' ． 从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,n a a a ''' 第一个不同的项为k a 与k a '，即：n n a a '=，11n n a a --'=， ，11k ka a ++'=，k k a a '≠． 显然 n nb b '=，11n n b b --'=， ，11k k b b ++'=，下面证明：k k b b '≠． ………………5分 由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,n a a a ''' 中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21k b l k ''=-+． 因为 12,,,k a a a 与12,,,k a a a ''' 是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠， 所以 l l '≠， 从而 k kb b '≠． 所以排列12,,,n a a a 和12,,,n a a a ''' 的生成列也不同． ………………8分 （Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤- ． ………………9分进行一次变换τ后，排列12,,,n a a a 变换为1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+ ，设该排列的生成列为12,,,n b b b ''' ． 所以 1212()()n n b b b b b b '''+++-+++ 121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++-1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++- 22k b =-≥． ………………11分因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2． 因为i a 的满意指数1i b i ≤-，其中1,2,3,,i n = ，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n nn -++++-= ， 即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数． ………………13分。

加试模拟训练题（10）1、已知凸四边形ABCD ， ,AB DC 交于点P ， ,AD BC 交于点Q ，O为四边形 ABCD 内一点，且有 BOP DOQ ∠=∠，证明180AOB COD ∠+∠=︒。

2、已知),0(,,∞+∈z y x ，且1=++z y x ，证明：274222≤++x z z y y x 成立的条件.3．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,…,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：若第k 号点染成了红色，则可依顺时针方向转过k 个间隙，将所到达的点染成红色，试求圆周上最多可以得到多少个红点？4．求不定方程21533654321=+++++x x x x x x 的正整数解的组数．加试模拟训练题（10）1、已知凸四边形ABCD ， ,AB DC 交于点P ， ,AD BC 交于点Q ，O为四边形 ABCD 内一点，且有 BOP DOQ ∠=∠，证明180AOB COD ∠+∠=︒。

证明 设 BOP DOQ α∠=∠=，则()sin sin,sin sin AOD QD AQOQD OD OQD OAαα+∠==∠∠，从而有()sin sin AOD AQ OD OA QDαα+∠=。

类似地，有()sin sin AOB AP OBOA BP αα+∠=，因此有()()sin sin AOD AQ OD BP AOB AP OB QD αα+∠=+∠。

同理，由()sin sin ,sin sin COD BOQ BQ QC OQB OB OQB OCα∠-∠==∠∠，可得()()sin sin ,sin sin COD BOC QC OB PC ODBOQ OC BQ DOP OC PDαα∠-∠-==∠∠，因此有()()sin sin COD QC OB PDBOC PC OD QBαα∠-=∠-。

设 AC 与 PQ 交于点L ，由梅涅劳斯定理，1,1AQ DP CL CQ BP ALQD PC LA QB PA LC==，于是有()()()()sin sin 1sin sin AOD COD AOB BOC αααα+∠∠-=+∠∠-。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学学科测试（理工类）2013.5 （考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{}0,1,3M =，集合{}3,N x x a a M ==∈，则M N =A.{}0 B.{}0,3 C. {}1,3,9 D. {}0,1,3,9（2）若120()d 0x mx x +=⎰，则实数m 的值为A ．13-B ．23-C ．1-D ．2-（3）执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16，则判断框内的条件是 A. 6n >? B. 7n ≥? C. 8n >? D. 9n >?（第3（第5题图）（第3题图）11 正视侧视俯视（4）若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线与抛物线22y x =+有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(1,3]D ．(1,3) （5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．16B ．13C ．12 D ．1（6）某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有 A ．10种 B ．12种C ．18种D ．36种（7）已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩ 给出下列命题：①()()F x f x =； ②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是A ．②B ．①②C ．③D ．②③（8）点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点，则1PA PC 的取值范围是A ．1[1,]4-- B ．11[,]24-- C ．[1,0]- D ．1[,0]2- 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.（9）i 为虚数单位，计算3i1i +=+ ．（10）若直线l 与圆2cos ,:12sin x C y θθ=⎧⎨=-+⎩（θ为参数）相交于A ，B 两点，且弦AB 的中点坐标是(1,2)-，则直线l 的倾斜角为 ． （11）如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，4,8PC PB ==， 则tan COP ∠= ，△OBC 的面积是 ．（12）某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨．（13将一个质点随机投放在关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是 ．（14）数列{21}n-的前n 项1,3,7,,21n -组成集合{1,3,7,,21}()n n A n *=-∈N ，从集合n A 中任取k (1,2,3,,)k n =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =+++．例如当1n =时，1{1}A =，11T =，11S =；当2n =时，2{1,3}A =，113T =+，213T =⨯，213137S =++⨯=.则当3n =时，3S = ；试写出n S = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分） 在△ABC中，,,A B C所对的边分别为,,a b c，且2()2cossin()sin 222A A A f A =π-+-2cos 2A.（Ⅰ）求函数()f A 的最大值；（Ⅱ）若()0,,12f A C a 5π===b 的值．（16）（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EAPD ，22AD PD EA ===，F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：FG平面PED ；（Ⅱ）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小； （Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点M ,使直线FM 与直线ADBCPEFGHPA 所成的角为60？若存在，求出线段PM 的长；若不存在，请说明理由. （17）（本小题满分13分）为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30其成绩等级为“A 或B ”的概率；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记X 表示抽到成绩等级为“A 或B ”的学生人数，求X 的分布列及其数学期望EX ； （Ⅲ）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率．（18）（本小题满分13分）已知函数()mxf x x =++211（m ≠0），2()e ()axg x x a =∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当m >0时，若对任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DPMN的取值范围．（20）（本小题满分13分）已知实数12,,,nx x x （2n ≥）满足||1(1,2,3,,)i x i n ≤=，记121(,,,)n i ji j nS x x x x x ≤<≤=∑．（Ⅰ）求2(1,1,)3S --及(1,1,1,1)S --的值； （Ⅱ）当3n =时，求123(,,)S x x x 的最小值；（Ⅲ）求12(,,,)n S x x x 的最小值．注：1i ji j n x x ≤<≤∑表示12,,,n x x x 中任意两个数i x ,j x （1i j n ≤<≤）的乘积之和.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学学科测试答案（理工类）2013.５（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题： （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为22()2cossin sin cos 2222A A A Af A =+-sin cos )4A A A π=-=-.因为A 为三角形的内角，所以0A <<π，所以444A ππ3π-<-<. 所以当42A ππ-=，即34A π=时，()f A. ………6分（Ⅱ）由题意知())04f A A π=-=，所以sin()04A π-=． 又因为444A ππ3π-<-<，所以04A π-=，所以4A π=． 又因为12C 5π=，所以3B π=．由正弦定理sin sin a bA B =得，sin 3sin a Bb A===． …………13分（16）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为F ,G 分别为PB ，BE 的中点， 所以FGPE .又FG ⊄平面PED ，PE ⊂平面PED ， 所以FG平面PED . …………4分（Ⅱ）因为EA ⊥平面ABCD ，EA PD ，所以PD ⊥平面ABCD ， 所以PD AD ⊥，PD CD ⊥. 又因为四边形ABCD 是正方形， 所以AD CD ⊥.如图，建立空间直角坐标系， 因为22AD PD EA ===,所以D()0,0,0，P ()0,0,2，A ()2,0,0，C ()0,2,0，B ()2,2,0，(2,0,1)E ．…………5分因为F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点，所以F ()1,1,1，G 1(2,1,)2，H (0,1,1). 所以1(1,0,)2GF =-，1(2,0,)2GH =-. 设1111(,,)x y z =n 为平面FGH 的一个法向量，则1100GF GH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即11111021202x z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，再令11y =，得1(0,1,0)=n .(2,2,2)PB =-,(0,2,2)PC =-.设2222(,,)x y z =n 为平面PBC 的一个法向量,则2200PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n , 即222222220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令21z =，得2(0,1,1)=n . 所以12cos ,n n =1212⋅⋅n n n n =.所以平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为4π. …………9分（Ⅲ）假设在线段PC 上存在一点M ,使直线FM 与直线PA 所成角为60. 依题意可设PM PC λ=,其中01λ≤≤. 由(0,2,2)PC =-,则(0,2,2)PM λλ=-.又因为FM FP PM =+,(1,1,1)FP =--，所以(1,21,12)FM λλ=---. 因为直线FM 与直线PA 所成角为60，(2,0,2)PA =-，所以cos ,FM PA =12，即12=58λ=. 所以55(0,,)44PM =-，52PM =.所以在线段PC 上存在一点M ,使直线FM 与直线PA 所成角为60，此时PM =.………………………………………14分 （17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，分数等级为“A 或B ”的频率为461013030303+==． 从本地区小学生中任意抽取一人，其“数独比赛”分数等级为“A 或B ”的概率约为13．……………………………………………………………………………………3分（Ⅱ）由已知得，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3．所以0033128(0)()()3327P X C ==⋅=； 112312124(1)()()33279P X C ==⋅==； 22131262(2)()()33279P X C ==⋅==； 3303121(3)()()3327P X C ==⋅=．随机变量X 的分布列为X 01 2 3 P827 49 29 127所以812610123127272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………9分（Ⅲ）设事件M ：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分． 设从这30名学生中，随机选取2人，记其比赛成绩分别为,m n ． 显然基本事件的总数为230C ．不妨设m n >，当90m =时，60n =或40或30，其基本事件数为111141073()C C C C ⋅++；当70m =时，n =40或30，其基本事件数为111673()C C C ⋅+；当60m =时，30n =，其基本事件数为11103C C ⋅；所以11111111141073673103230()()34()87C C C C C C C C C P M C ⋅+++⋅++⋅==． 所以从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分的概率为3487． ……………13分（18）（本小题满分1 3分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()m x m x x f x x x --+'==++2222211111.…………1分①当m >0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(,)-∞-1 (,)-11 (,)+∞1()f x ' -+-()f x所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)-11，单调递减区间是(,)-∞-1，(,)+∞1. …………3分②当m <0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(,)-∞-1 (,)-11 (,)+∞1()f x ' + -+()f x所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)-∞-1，(,)+∞1，单调递减区间是(,)-11. ……………5分 （Ⅱ）依题意，“当m >0时，对于任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立”等价于 “当m >0 时，对于任意[0,2]x ∈， min max ()()f x g x ≥成立”.当m >0时，由（Ⅰ）知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，因为(0)1f =，2(2)115mf =+>，所以函数()f x 的最小值为(0)1f =.所以应满足max ()1g x ≤. ……………………………………………………………6分因为2()e ax g x x =，所以2()(+2)e ax g x ax x '=. ……………7分 ①当0a =时，函数2()g x x =，[0,2]x ∀∈，max ()(2)4g x g ==， 显然不满足max ()1g x ≤，故0a =不成立. ……………8分②当0a ≠时，令()0g x '=得，10x =，22x a =-.（ⅰ）当22a -≥，即10a -≤<时，在[0,2]上()0g x '≥，所以函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max ()(2)4e ag x g ==.由24e1a≤得，ln 2a ≤-，所以1ln 2a -≤≤-. ……………10分（ⅱ）当202a <-<，即1a <-时,在2[0,)a -上()0g x '≥，在2(,2]a -上()0g x '<，所以函数()g x 在2[0,)a -上单调递增，在2(,2]a -上单调递减， 所以max 2224()()e g x g a a =-=. 由2241e a ≤得，2e a ≤-，所以1a <-. ……………11分 （ⅲ）当2a -<，即0a >时,显然在[0,2]上()0g x '≥，函数()g x 在[0,2]上单调递增，且2max ()(2)4e ag x g ==.显然2max ()4e 1ag x =≤不成立，故0a >不成立. ……………12分 综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]-∞-. ……………13分 （19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-.由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-.又因为221a b -=，解得2,a b ==.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………4分（Ⅱ）依题直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=. 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+. …………6分 所以弦MN 的中点为22243(,)3434k kP k k -++. ……………7分所以MN ===2212(1)43k k +=+. ……………9分 直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =…………11分所以243DP MN k ==+=. ……………12分 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<<.所以DPMN的取值范围是1(0,)4. ………………………………………14分 （20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得222(1,1,)11333S --=-+-=-．(1,1,1,1)1111112S --=----+=-． ……………3分（Ⅱ）设123(,,)S S x x x =．当3n =时，12312132313(,,)i j i j S S x x x x x x x x x x x ≤<≤===++∑．若固定23,x x ，仅让1x 变动，此时12132323123()S x x x x x x x x x x x =++=++，因此2323min{(1,,),(1,,)}S S x x S x x ≥-． 同理2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x ≥-．2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x -≥---．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可在某一组取值1±的123,,x x x 所达到，于是12311,2,3min{(,,)}k x k S S x x x =±=≥．当1k x =±（1,2,3k =）时，22221231231[()()]2S x x x x x x =++-++212313()22x x x =++-．因为123||1x x x ++≥，所以13122S ≥-=-，且当121x x ==，31x =-时，1S =-． 因此min 1S =-． ……………8分（Ⅲ）设121(,,,)n i ji j nS S x x x x x ≤<≤==∑121312321n n n n x x x x x x x x x x x x -=++++++++.固定23,,,n x x x ，仅让1x 变动，此时2312321()()n n n n S x x x x x x x x x x -=+++⋅+++++， 因此2323min{(1,,,,),(1,,,,)}n n S S x x x S x x x ≥-．同理2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x ≥-． 2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x -≥---．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可在某一组取值1±的12,,,n x x x 所达到，于是1211,2,,min {(,,,)}k n x k nS S x x x =±=≥．当1k x =±（1,2,,k n =）时，222212121[()()]2n n S x x x x x x =+++-+++2121()22n n x x x =+++-．①当n 为偶数时，2nS ≥-，若取1221n x x x ====，12221n nn x x x ++====-，则2n S =-，所以min 2nS =-．②当n 为奇数时，因为12||1n x x x +++≥，所以1(1)2S n ≥--，若取12121n x x x -====，1112221n n n x x x --++====-，则1(1)2S n =--，min 1 (1) 2S n=--．…………………………13分所以。

2013年高三理科数学二模试题(惠州有答案)骞夸笢鐪佹儬宸炲競2013悊绉戯級2013.4 85鍒嗭紝婊″垎40€椤规槸绗﹀悎棰樼洰瑕佹眰鐨勶紟1鐨勫畾涔夊煙涓洪泦鍚圡锛岄泦鍚圢锛?锛屽垯锛?锛夛紟A锛?B锛嶯C锛?D锛嶮2銆佸凡鐭ユき鍦鍊嶏紝鍒欐き鍦嗙殑绂诲績鐜囩瓑浜庯紙锛夛紟A锛?B锛?C锛?D锛?3猴級锛岄偅涔堣緭鍑虹殑锛?锛夛紟锛★紟2450 2500 锛ｏ紟2550 锛わ紟2652 4銆佽嫢鏇茬嚎鐨勪竴鏉″垏绾?涓庣洿绾?鍨傜洿锛屽垯鍒囩嚎鐨勬柟绋嬩负锛?锛夛紟A銆?銆€B銆?C銆?D銆?5銆佹柟绋?鏈夊疄鏍圭殑姒傜巼涓猴紙锛夛紟A銆?B銆?C銆?D銆?6銆佸凡鐭?锛夛紟A銆佽嫢鈭?锛屽垯銆€B 銆佽嫢鈭?锛屽垯鈭?C銆佽嫢锛屽垯鈭?銆€D銆佽嫢锛屽垯7銆佷竴寮犳?鈥濆浘妗堬紝?銆?锛屽壀鍘婚儴鍒嗙殑闈㈢Н涓?锛?鑻?锛屽垯鐨勫浘璞℃槸锛?锛夛紟8銆佸皢鍑芥暟鐨勫浘璞″厛鍚戝乏骞崇Щ锛岀劧鍚庡皢鎵€寰楀浘璞′笂鎵€鏈夌偣鐨勬í鍧愭爣鍙樹负鍘熸潵鐨?鍊嶏紙绾靛潗鏍囦笉鍙橈級锛屽垯鎵?锛夛紟A锛?B锛?C锛?D 锛??10鍒嗭級浜屻€佸～绌洪ч??3锝?5锛屼笁棰樺叏绛旂殑锛屽彧璁＄畻鍓嶄袱棰樺緱鍒嗭紟姣忓皬棰?鍒嗭紝婊″垎30鍒嗭紟9銆佸凡鐭ュ悜閲?锛?锛岃嫢锛屽垯瀹炴暟鐨勫€肩瓑浜?锛?10銆佸凡鐭?锛屽垯= 锛?11銆??锛?12銆佸嚱鏁?鐢变笅琛ㄥ畾涔夛細鑻?锛?锛?锛屽垯锛?13銆?鍧愭爣绯讳笌鍙傛暟鏂圭▼閫夊仛棰?鏇茬嚎锛?涓婄殑鐐瑰埌鏇茬嚎锛?锛?14銆?涓嶇瓑寮忛€?宸茬煡瀹炴暟婊¤冻锛屽垯鐨勬渶澶у€间负锛?15銆?鍑犱?濡傚浘锛屽钩琛屽洓杈瑰舰锛岃嫢鐨勯潰?cm , 鍒??cm 锛?涓夈€佽Вч??0鍒嗭紟瑙ｇ瓟椤诲啓鍑烘?16?2?鐨勫墠椤瑰拰涓?, 宸茬煡锛?锛?锛堚厾锛夋眰棣栭」鍜屽叕姣?鐨勫€硷紱锛堚叀锛夎嫢锛屾眰鐨勫€硷紟17?2鍒嗭級璁惧嚱鏁?锛?锛堚厾锛夋眰鍑芥暟鐨勬渶?锛堚叀锛夊綋鏃讹紝鐨勬渶澶у€间负2锛屾眰鐨勫€硷紝骞舵眰鍑??18樻弧鍒?4у皬鐩稿悓鐨?4粦鐞冿紟锛堚厾锛夐噰鍙栨斁鍥炴娊鏍锋柟寮忥紝浠庝腑鎽稿嚭涓や釜鐞冿紝?锛堚叀锛夐噰鍙栦笉鏀惧洖鎶芥牱屾柟宸? 锛?19?4鍒嗭級濡傚浘锛屽凡鐭ュ洓妫遍敟鐨?搴曢潰鏄骞抽潰, 锛?鐐?涓?鐨勪腑鐐癸紟锛堚厾锛夋眰璇侊細骞抽潰锛?锛堚叀锛夋眰浜岄潰瑙?20?4鍒嗭級缁欏畾鍦哖: 鍙婃姏鐗?绾縎: ,杩囧渾蹇?浣滅洿绾?,姝ょ洿绾夸笌涓婅堪涓ゆ洸绾??璁颁负,濡傛灉绾?娈??姹傜洿绾?鐨勬柟绋? 21?4欢鐨勫嚱鏁?鏋勬垚鐨勯泦鍚堬細鈥溾憼鏂圭▼鏈夊疄鏁版牴锛涒憽鍑芥暟鐨?婊¤冻鈥濓紟?礌锛屽苟璇存槑鐞嗙敱锛?鍏锋湁涓嬮潰鐨勬€ц川锛氳嫢鐨勫畾涔夊煙涓篋锛屽垯瀵逛簬浠绘剰[m锛宯] D锛岄兘瀛樺湪[m锛宯]锛屼娇寰楃瓑寮?鎴愮珛鈥濓紝璇曠敤杩欎竴鎬ц川璇佹槑锛氭柟绋?鍙??鐨勫疄鏁版牴锛屾眰璇侊細瀵逛簬瀹氫箟鍩熶腑浠绘剰鐨?锛屽綋锛屼笖鏃讹紝锛?骞夸笢鐪佹儬宸炲競2013冪瓟妗?007.11 涓€銆侀€夋嫨棰橈細棰樺彿1銆佽В鏋愶細锛孨锛?锛?鍗?锛庣瓟妗堬細锛?2銆佽В锛屽張锛??锛?3銆佽В鏋愶細绋嬪簭鐨勮繍琛岀粨鏋滄槸锛庣瓟妗堬細锛?4銆佽В鏋愶細涓庣洿绾?鍨傜洿鐨勫垏绾?鐨勬枩鐜囧繀涓?锛岃€?锛屾墍浠ワ紝鍒囩偣涓?锛庡垏绾夸负锛屽嵆锛岀瓟妗堬細锛?5銆佽В鏋愶細鐢变竴鍏冧簩娆℃柟绋嬫湁瀹炴牴鐨勬潯浠?锛岃€?锛岀敱鍑犱綍姒傜巼寰楁锛庣瓟妗堬細锛?6銆佽В鏋愶細濡傛灉涓ゆ??姝ｇ‘锛?锛屾墍浠?锛?7銆佽В鏋愶?锛岀瓟妗堬細锛?8銆佽В鏋愶細鐨勫浘璞″厛鍚戝乏骞崇Щ锛屾í鍧愭爣鍙樹负鍘熸潵鐨?鍊?锛庣瓟妗堬細锛??棰樺彿9銆佽В鏋愶細鑻?锛屽垯锛岃В寰?锛?10銆佽В?锛?11銆佽В鏋愶細12銆佽В鏋愶細浠?锛屽垯锛屼护锛屽垯锛?浠?锛屽垯锛屼护锛屽垯锛?浠?锛屽垯锛屼护锛屽垯锛?鈥︼紝鎵€浠?锛?13銆佽В鏋愶細锛?锛涘垯鍦嗗績鍧愭爣涓?锛?锛?蹇冨埌鐩寸嚎鐨勮窛绂讳负锛?14銆佽В鏋愶細鐢辨煰瑗夸笉绛夊紡锛岀瓟妗堬細锛?15銆佽В鏋愶細鏄剧劧涓?涓虹浉浼间笁瑙掑舰锛屽張锛屾墍浠??cm 锛?涓夈€佽Вч??0鍒嗭紟瑙ｇ瓟椤诲啓鍑烘?16銆佽В: (鈪? , 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?2鍒?鈭?锛屸€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?4鍒?瑙ｅ緱锛庘€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?6鍒?(鈪?鐢?,寰楋細, 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?8鍒?鈭?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?10鍒?鈭?锛庘€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?12鍒?17銆佽В锛氾紙1锛?鈥?2鍒?鍒?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?涓斿綋鏃??鍗?涓?愬紑鍖洪棿涓嶆墸鍒嗭級锛庘€︹€︹€?鍒?锛?锛夊綋鏃?锛屽綋锛屽嵆鏃?锛?鎵€浠?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?涓?酱锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€?2鍒?18銆佽В锛?锛堚厾锛夎В娉曚竴锛氣€滄湁鏀惧洖鎽镐袱娆★紝棰滆壊涓嶅悓鈥濇寚鈥滃厛鐧藉啀榛戔€濇垨鈥滃厛榛戝啀鐧解€濓紝蹭笉鍚屸€濅负浜嬩欢锛屸€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鈭碘€绉嶅彲鑳斤紝鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鈭?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?瑙ｆ硶浜岋細鈥滄湁鏀惧洖鎽稿彇?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?锛庘€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鈭粹€滄湁鏀惧洖鎽镐袱娆★紝棰滆壊涓嶅悓鈥濈殑姒傜巼涓?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?锛屼緷棰樻剰寰楋細锛?锛?锛庘€︹€︹€︹€?0鍒?鈭?锛屸€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?2鍒?锛庘€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?4鍒?19銆?鈪?璇佹槑:杩炵粨锛?涓?浜や簬鐐?锛岃繛缁?.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?? 鈭?鏄?鐨勪腑鐐? 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鐐?涓?鐨勪腑鐐? 鈭?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?骞抽潰骞抽潰, 鈭?骞抽潰. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€?6鍒?(鈪?瑙ｆ硶涓€: 骞抽潰, 骞抽潰,鈭?. 锛屸埓. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?7鍒?? 鈭?. 锛?鈭?骞抽潰. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?浣?锛屽瀭瓒充负锛岃繛鎺?锛屽垯, 鎵€浠?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?10鍒?,鈭?锛?. 鍦≧t鈻?涓? = 锛屸€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?12鍒?鈭?.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?13鍒?鈭翠簩闈. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?14鍒?瑙ｆ硶浜岋細濡傚浘锛屼互鐐?鐨勫瀭鐩村钩鍒嗙嚎鎵€鍦ㄧ洿绾夸负杞达紝鎵€鍦ㄧ洿绾夸负杞达紝鎵€鍦ㄧ洿绾夸负杞达紝寤?锛屸€︹€︹€︹€︹€?鍒?鍒?锛?, 锛?鈭?锛?鈥︹€︹€︹€︹€?鍒?璁惧钩闈??, 鐢?锛屽緱锛?浠?锛屽垯锛屸埓. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?骞抽潰, 骞抽潰, 鈭?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?8鍒?锛屸埓. ?鈭?. 锛屸埓骞抽潰.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?9鍒?鈭??, 锛庘€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?10鍒?鈭?锛?鈭?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?12鍒?鈭?锛庘€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?13鍒?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?14鍒?20銆佽В:鍦?鐨勬柟绋嬩负,鍒欏叾鐩村緞闀?,鍦嗗績涓?,璁?鐨勬柟绋嬩负,鍗?,浠ｅ叆鎶涚墿绾挎柟绋嬪緱: ,璁?锛?鏈?, 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鍒?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鏁?鈥?鍒?, 鈥︹€︹€︹€?7鍒?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?8鍒?? , 鈥︹€︹€︹€︹€?10鍒?鎵€浠?锛屽嵆, 锛屸€︹€︹€︹€︹€?12鍒?鍗筹細鏂圭▼涓?鎴?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€?4鍒?21銆佽В锛?锛?锛夊洜涓?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鎵€浠?锛屾弧瓒虫潯浠?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鍙堝洜涓哄綋鏃讹紝锛屾墍浠ユ柟绋?鏈夊疄鏁版牴锛?鎵€浠ュ嚱鏁?冪礌锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?锛?锛夊亣璁炬柟绋?瀛樺湪涓や釜瀹炴暟鏍?锛夛紝鍒?锛屸€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?涓嶅Θ璁?浣垮緱绛夊紡鎴愮珛锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鍥犱负锛屾墍浠?锛屼笌宸茬煡鐭涚浘锛?鎵€浠ユ柟绋?︹€︹€︹€︹€︹€?0鍒?锛?锛屽洜涓?鎵€浠?锛屾墍浠?锛?鍙堝洜涓?锛屾墍浠ュ嚱鏁?涓哄噺鍑芥暟锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?1鍒?鎵€浠?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?2鍒?鎵€浠?锛屽嵆锛?鈥︹€︹€︹€?3鍒?鎵€浠?锛?鈥?4鍒?。

2013年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次.一、（本题满分40分）如图，AB 是圆ω的一条弦，P 为弧AB 内一点，E 、F 为线段AB 上两点，满足AE EF FB ==.连接PE PF 、并延长，与圆ω分别相交于点C D 、.求证：EF CD AC BD ⋅=⋅证明连接AD ，BC ，CF ，DE .由于AE=EF=FB ，从而sin =2sin BC BCE B CP BEAC ACE A CP AE⋅∠==⋅∠点到直线的距离点到直线的距离.○1……………10分同样sin =2sin AD ADF A PD AFBD BDF B PD BF⋅∠==⋅∠点到直线的距离点到直线的距离.○2 另一方面，由于BCE BCP BDP BDF ∠=∠=∠=∠， ACE ACP ADP ADF ∠=∠=∠=∠，故将○1，○,2两式相乘可得4BC ADAC BD⋅=⋅，即4BC AD AC BD ⋅=⋅ ○3 ABCDEFPωωPFEDCBA……………30分由托勒密定理AD BC AC BD AB CD ⋅=⋅+⋅○4故由○3，○4得 3AB CD AC BD ⋅=⋅, 即EF CD AC BD ⋅=⋅.……………40分二、（本题满分40分）给定正整数,u v .数列{}n a 定义如下：1a u v =+，对整数1m ≥，221,.m m m m a a u a a v +=+⎧⎨=+⎩记()121,2,m m S a a a m =+++=L L .证明：数列{}n S 中有无穷多项是完全平方数. 证明 对正整数n ，有()()()11112345212221n n n S a a a a a a a +++---=+++++++L ()()()11222121n n u v a u a v a u a v a u a v --=++++++++++++++L()2122n n u v S -=++，……………10分所以 ()()()()12112212121222222n n n n n n S u v S u v u v S --------=++=++++ ()21221222n n u v S ---=⋅++()()()11122n n n u v u v --==-⋅+++L()12n u v n -=+⋅.……………20分设2k u v q +=⋅，其中k 是非负整数，q 是奇数.取2n q l =⋅，其中l 为满足()1mod 2l k ≡-的任意正整数，此时2221212n k q l S q l -+⋅-=⋅，注意到q 是奇数，故()()()222111110mod 2k q l k l k k k k -+⋅≡-+≡-+-=-≡，所以，21n S -是完全平方数.由于l 有无穷多个，故数列{}n S 中有无穷多项是完全平方数.……………40分三、（本题满分50分）一次考试共有m 道试题，n 个学生参加，其中,2m n ≥为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有x 个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x 分，未答对的学生得零分.每个学生得总分为其m 道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为12n p p p ≥≥≥L ，求1n p p +得最大可能值.解 对任意的1,2,,k m =L ，设第k 题没有答对者有k x 人，则第k 题答对者有k n x -人，由得分规则知，这k n x -个人在第k 题均得到k x 分.设n 个学生得得分之和为S ，则有()21111nm m mik k k k i k k k ps x n x n x x ======-=-∑∑∑∑.因为每一个人在第k 道题上至多得k x 分，故11mk k p x =≤∑.……………10分由于21p p ≥≥L ，故有23111n n p p p S p p n n +++-≤=--L .所以 1111211121112111n m m mk k kk k k S p n Sp p p p n n n n x n x x n n ===--+≤=+----⎛⎫≤⋅+⋅- ⎪--⎝⎭∑∑∑ 211121mmk k k k x x n ===-⋅-∑∑. ……………20分由柯西不等式得22111mm k k k k x x m ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑， 于是()()()()2111211211111mm n k k k k mk k p p x x m n x m n m n m n ===⎛⎫+≤-⋅ ⎪-⎝⎭⎛⎫=-⋅--+- ⎪-⎝⎭∑∑∑()1m n ≤-.……………40分另一方面，若有一个学生全部答对，其他1n -个学生全部答错，则()()11111mn k p p p n m n =+==-=-∑.综上所述，1n p p +的最大值为()1m n -. ……………50分四、（本题满分50分）设,n k 为大于1的整数，2k n <.证明：存在2k 个不被n 整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组若干个数的和被n 整除. 证明先考虑n 为2的幂的情形.设2,1r n r =≥，则r k <.取3个12r -及23k -个1，显然这些数均不被n 整除.将这2k 个数任意分成两组，则总有一组中含2个12r -，它们的和为2r ，被n 整除.……………10分现在设n 不是2的幂，取2k 个数为22211,1,2,2,,2,1,2,2,,2k k -------L L ，因为n 不是2的幂，故上述2k 个数均不被n 整除. ……………20分若可将这些数分成两组，使得每一组中任意若干个数的和均不能被n 整除.不妨设1在第一组，由于（-1）+1=0，被n 整除，故两个-1必须在第二组；因（-1）+（-1）+2=0，被n 整除，故2在第一组，进而推出-2在第二组.现归纳假设1,2,,2l L 均在第一组，而1,1,2,,2l ----L 均在第二组，这里12l k ≤<-，由于()()()()1112220l l +-+-+-++-+=L ，被n 整除，故12l +在第一组，从而12l +-在第二组.故由数学归纳法可知，221,2,2,,2k -L 在第一组，221,1,2,2,,2k ------L 在第二组.最后，由于()()()()21112220k k ---+-+-++-+=L，被n 整除，故12k -在第一组.因此211,2,2,,2k -L 均在第一组，由正整数的二进制表示可知，每一个不超过21k -的正整数均可表示为211,2,2,,2k -L 中若干个数的和，特别地，因为21k n ≤-，故第一组中有若干个数的和为n ，当然被n 整除，矛盾！因此，将前述2k 个整数任意分成两组，则总有一组中有若干个数之和被n 整除.……………50分。

2013年高考理科数学二模试题（哈三中有答案）2013年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试理科数学本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共24题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合，，则A．B．C．D．2．设Sn是公差为的无穷等差数列的前n项和，则“dA．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．ΔABC中，，，若，则角C为A．B．C．D．4．已知，则展开式中的常数项为A．20B．-20C．-15D．155．正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为A．B．C．D．6．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为与，则A．的最小正周期为，且在上为单调递增函数B．的最小正周期为，且在上为单调递减函数C．的最小正周期为，且在上为单调递增函数D．的最小正周期为，且在上为单调递减函数7．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的外接球半径为A．B．C．D．8．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l 与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的摄影为C，若，，则抛物线的方程为A．B．C．D．9．阅读右面的程序框图，输出结果s的值为A．B．C．D．10．在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为A．B．C．D．11．已知函数的两个极值点分别为x1，x2，且，，记分别以m，n为横、纵坐标的点表示的平面区域为D，若函数的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为A．B．C．D．12．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为A．B．C．D．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省洛阳市2013届高三年级二练数学（理）试题本试卷分第 I 卷（选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150 分．考试时间 120 分钟。

第I 卷（选择题，共 60 分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卷上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，将答题卷交回．一、选择超：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知22={|2},{(,)|4}M y y x N x y x y ==+=，则M N 中元素个数为A ． 0B ． 1C ． 2D ．不确定2．i 是虚数单位，则(1)ii i +的模为A ．12 B．2CD ． 23．某项测量中，测量结果2~(1,)(0)X N σσ>，若 X 在（0， 1 ）内取值的概率为 0．4 ，则 X 在（0, 2 ）内取值的概率为 A ．0．8 B ．0．4 C ．0．3 D ．0．24．已知(nx 的展开式中第五项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为A ． 128B ． 64C ． 32D ．165．设n S 是等差数列｛a n ｝的前 n 项和。

若533S S =，则96S S A ．32B ．53C ． 2D ． 36．已知命题22:,11,:,10,P x R mx q x R x mx ∃∈+≤∀∈++≥若 ()p q ∨⌝为假命题，则实数m 的取值范围是 A ． （(,0)(2,)-∞+∞B ．[0，2]C ．RD ．φ7· 已知正数x ，y 满足20,350.x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩则22111z og x og y =++的最大值是A ． 8B ． 4C ． 2D ． 18．已知双曲线22145x y -=上一点 P 到 F （ 3 ，0）的距离为 6，O 为坐标原点，1(),||2OQ OP OF OQ =+=则 A ． 1 B ． 2C ． 2 或 5D ． 1 或 59．对任意非零实数 a , b ，若 a *b 的运算原理如图所示，sin xxdx =⎰A B ．3C D 10．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象关于直线3x π=对称，且()012f π=，则ω的最小值是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 11．动点 P 在正方体A BCD 一 A 1B 1C 1D 1的对角线 BD 1上，过 P 作垂直于平面 BB 1 D 1D 的直线，与正方体表面交于 M , N 两点，设|BP|= x ， △ BMN 的面积是 y , 则函数()y f x =的图象大致为12．已知正数是 a , b , c 满足：534,1111c a b c a c nb a c nc nb na -≤≤-≥+-则的取值范围是A ．(],17n -∞B ．[]212,12n n -C ．31,15n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,17n第 Ⅱ 卷（非选择题，共 90 分）二、坡空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分．共 20 分13．正三角形 A BC 中， D 是边 BC 上的点， AB =3，BD = l ，则AB ·AD = 。

2013年高三教学测试（二）文科数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．B ；2．A ； 3．C ； 4．A ； 5．B ； 6．D ； 7．C ； 8．A ； 9．D ； 10．D ．第10题提示：因为812221≤⇒≥+=ab ab b a ，当且仅当212==b a 时取等号．又因为ab ab ab b a ab b a 141)2(21422+=+⋅≥++．令ab t =，所以t t t f 14)(+=在]81,0(单调递减，所以217)81()(min ==f t f ．此时212==b a ．二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）11．13；12．2013； 13．︒30； 14．5； 15．26525+； 16．4； 17．81． 第17题提示：设),(00y x P ，则)11,(00y x E λ+，)3(3:00++=x x y y PA …① )3(311:00--+=x x y y BE λ…② 由①②得)9()9)(1(220202--+=x x y y λ， 将20209x y -=代入，得119922=++λy x ．由1199=+-λ，得到81=λ．三、解答题（本大题共5小题，第18、19、22题各14分，20、21题各15分，共72分）18．（本题满分14分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足CA B A b c a sin sin sin sin --=+． （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）求cb a +的取值范围． 解：（Ⅰ）C A B A bc a sin sin sin sin --=+c a b a --=，化简得222c ab b a =-+， …4分 所以212cos 222=-+=ab c b a C ，3π=C ．…7分（Ⅱ）C BA c b a s i n s i n s i n +=+)]32sin([sin 32A A -+=π)6s i n (2π+=A ．…11分 因为)32,0(π∈A ，)65,6(6πππ∈+A ，所以]1,21()6sin(∈+πA ． 故，c ba +的取值范围是]2,1(．…14分19．（本题满分14分）已知数列{}n a 中，21=a ，231+=+n n a a ．（Ⅰ）记1+=n n a b ，求证：数列{}n b 为等比数列；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）由231+=+n n a a ，可知)1(311+=++n n a a ．因为1+=n n a b ，所以n n b b 31=+，…4分 又3111=+=a b ，所以数列{}n b 是以3为首项，以3为公比的等比数列．…6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,31n n a =+13-=n n a ，所以n n na n n -=3．所以)21()3323(2n n S n n +++-⋅++⋅+=…9分 其中2212nn n +=++记n n n T 33232⋅++⋅+= ①13233)1(3233+⋅+⋅-++⋅+=n n n n n T ②两式相减得1112323333332+++⋅---=⋅-+++=-n n n n n n n T…13分 4334121+⋅-=+n n n T所以4322341221-+-⋅-=+n n n S n n…14分20．（本题满分15分）如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，a BC AC 3==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于E ，AC PF //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ．（Ⅰ）求证：//'C B 平面PE A '；（Ⅱ）若PB AP 2=，求二面角E PC A --'的平面角的正切值．解：（Ⅰ）因为PE FC //，⊄FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '．因为平面⊥PE A '平面PEC ，且PE E A ⊥'，所以⊥E A '平面ABC ． …2分 同理，⊥F B '平面ABC ，所以E A F B '//'，从而//'F B 平面PE A '． …4分 所以平面//'CF B 平面PE A '，从而//'C B 平面PE A '．…6分 （Ⅱ）因为a BC AC 3==，BP AP 2=，所以a CE =，a A E 2='，a PE 2=，a PC 5=．…8分过E 作PC EM ⊥，垂足为M ，连结M A '．PAB FC 'B'A E（第20题） M B F PAFC 'B 'A E （第20题）由（Ⅰ）知ABC E A 平面⊥'，可得PC E A ⊥'， 所以EM A PC '⊥面，所以PC M A ⊥'．所以ME A '∠即为所求二面角E PC A --'的平面角，可记为θ． …12分 在R t △PCE 中，求得a EM 552=， 所以55522tan =='=aaEM EA θ． …15分21．（本题满分15分） 已知函数x a x x ax f ln )4(22)(2-+-=，0>a ．（Ⅰ）若1=a ，求函数)(x f 的极值；（Ⅱ）若函数)(x f 在)2,1(上有极值，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）若1=a ，则x x x x f ln 3221)(2--=．x x x x x x x x x f )1)(3( 3232)('2+-=--=--=．…2分 当)3,0(∈x 时，0)('<x f ；当),3(+∞∈x 时，0)('>x f ． …4分 所以函数有极小值3ln 323)3(--=f ，无极大值． …6分 （II ）)0( 42 42)('2>-+-=-+-=x x a x ax x a ax x f ．记42)(2-+-=a x ax x h ．若)(x f 在)2,1(上有极值，则0)(=x h 有两个不等根且在)2,1(上有根． …8分 由0422=-+-a x ax 得)2(2)1(2+=+x x a ， 所以425)2(21)2(22-+++=++=x x x x a ．…10分 因为)4,3(2∈+x ，所以)3,58(∈a ．…14分 经检验当)3,58(∈a 时，方程0)(=x h 无重根．故函数)(x f 在)2,1(上有极值时a 的取值范围为)3,58(．…15分22．（本题满分14分）如图，已知抛物线py x C 2:21=的焦点在抛物线121:22+=x y C 上． （Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物线1C 上的动点P 作抛物线2C 的两条切线PM 、PN ， 切点为M 、N ．若PM 、PN 的斜率乘积为m ，且]4,2[∈m ，求||OP 的取值范围．解：（Ⅰ）1C 的焦点为)2,0(pF ，…2分 所以102+=p，2=p ．…4分 故1C 的方程为y x 42=，其准线方程为1-=y ．…6分（Ⅱ）任取点),2(2t t P ，设过点P 的2C 的切线方程为)2(2t x k t y -=-． 由⎪⎩⎪⎨⎧+=-=-121)2(22x y t x k t y ，得0224222=+-+-t tk kx x ． 由()0)224(4222=+--=∆t tk k ，化简得022422=-+-t tk k ， …9分记PN PM ,斜率分别为21,k k ，则22221-==t k k m ， 因为]4,2[∈m ，所以]3,2[2∈t…12分所以]21,12[4)2(422422∈-+=+=t t t O P ， 所以]21,32[∈O P ．…14分（第22题）。

山东省莱芜市2013届高三第二次模拟考试数学（理）数 学（理工农医类）2013.04本试卷共4页，分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共60分）注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.在中，“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.集合，则下列关系正确的是A.=RB.C.D.4.已知双曲线的实轴长为2，焦距为4，则该双曲线的渐近线方程是A. B. C. D.5.已知是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题：①若，则；②若；③若；④若.A.①②B.②③C.①④D.②④6.设，则二项式展开式中的项的系数为A. B.20 C. D.1607.已知函数（x＞），当时，取得最小值.则在直角坐标系中，函数的大致图象为8.有一平行六面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图均为矩形，则这个平行六面体的表面积为A. B.C. D.429.已知＜.若＜恒成立，则的取值范围是A. B.C. D.10.运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为A. B. C. D.11.定义在R上的函数的导函数为,已知是偶函数，＜0.若x1＜x2,且＞2，则的大小关系是A.＜B.C.＞D.不确定12.某学校要召开学生代表大会，规定根据班级人数每10人给一个代表名额，当班级人数除以10的余数大于6时，再增加一名代表名额.那么各班代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数可表示为A. B.C. D.第II卷（非选择题 共90分）注意事项：1.将第II卷答案用0.5mm的黑色签字笔在答题纸的相应位置上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.、二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.如图，在________.14.某市为增强市民的节约粮食意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第四组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示若用分层抽样的方法从第3，4，5组中共抽取了12名志愿者参加10月16日的“世界粮食日”宣传活动，则从第4组中抽取的人数为__________.15.在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若，，则角B=__________.16.如图，椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，上顶点A，离心率为，点P为第一象限内椭圆上的一点，若则直线PF1的斜率为_________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数（I）求的最小正周期和最大值；（II）在给出的坐标系中画出函数上的图象，并说明的图象是由的图象怎样变换得到的.18.（本小题满分12分）甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：①连续竞猜3次，每次相互独立；②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知，则本次竞猜成功；③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖.（I）求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；（II）现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏，这6人中有且仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和期望.19.（本小题满分12分）已知正三棱柱，点D为AC的中点，点E在线段AA1上.（I）当时，求证；（II）是否存在点E，使二面角D—BE—A等于60°？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分12分）某工厂为扩大大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万年，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.（I）设第n年该生产线的维护费用为，求的表达式；（II）若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线.求该生产线前n年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？21.（本小题满分12分）已知定点，B为x轴负半轴上的一个动点，动点M使得，且线段BM的中点在y轴上.（I）求动点M的轨迹C的方程；（II）设EF为曲线C的一条动弦（EF不垂直于x轴），其垂直平分线与x轴交于点T（4，0）,当 P=2时，求的最大值.22.（本小题满分14分）已知函数.（I）当的单调区间；（II）若不等式有解，求实数m的取值范围；（III）定义：对于函数在其公共定义域内的任意实数，称的值为两函数在处的差值.证明:当时，函数在其公共定义域内的所有差值都大于2.。

适用精选文件资料分享2013 年 5 月高考二模理科数学试卷（黄冈中学带答案）湖北省黄冈市黄冈中学 2013 届高三五月第二次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合要求的． 1 ．设非空会集 P、Q满足，则（） A． B．，有 C．，使得 D．，使得 2 ．已知，此中是实数，是虚数单位，则的共轭复数为（）A ．B ．C．D．3 ．设随机变量依照正态分布 N (3 ，7) ，若，则 a =（） A ．1 B．2 C．3 D．4 4 ．已知会集，，且，则A ． B． C． D． 5 ．已知某几何体的三视图以下，则该几何体体积为（）正视图侧视图俯视图（第 5 题图）（第 6 题图） A ．4+B．4+ C．4+ D．4+ 6 ．如右上图，已知为以以以下图的程序框图输出的结果，二项式的张开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最小值为( ) A． B ． C． D． 7 ．先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有 1、2、3、4、5、6 个点）两次，落在水平桌面后，记正面向上的点数分别为 x，y，设事件为“ x +y 为偶数”，事件为“ x ，y 中有偶数且“”，则概率（）A． B ． C． D． 8 ．正项等比数列中，存在两项使得，且，则的最小值是 ( ) A． B ．2 C． D． 9 ．设满足拘束条件，若恒建立，则实数的最大值为 ( ) A ． B ． C． D． 10 ．已知函数是偶函数，且，当时，，则方程在区间上的解的个数是（）A ．8 B．9 C．10 D．11 二、填空题：本大题共6 小题，考生共需作答5 小题，每题分，共分．请将答案填在答题卡对应题号的地点上，书写不清楚，含糊其词均不得分． 11 ．一个学校高三年级共有学生 600 人，此中男生有 360 人，女生有 240 人，为了检查高三学生的复习情况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为 50 的样本，应抽取女生人． 12 ．已知函数 ( ) 的图象以以以下图所示，它与 x 轴在原点处相切，且 x 轴与函数图象所围地域 ( 图中暗影部分 ) 的面积为 112，则 a 的值为． 13 ．某小朋友按如右图所示的规则练习数数， 1 大拇指， 2 食指，3 中指， 4 无名指， 5 小指， 6 无名指，，向来数到 2013 时，对应的指头是 ( 填指头的名称 ) ． 14 ．设是椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，当取最大值时的余弦值为．则（Ⅰ）椭圆的离心率为；（Ⅱ）若椭圆上存在一点 , 使 ( 为坐标原点 ) ，且 , 则的值为．（二）选考题（请考生在第15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定地点将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑．假如全选，则按第 15 题作答结果给分．） 15 ．（选修 4-1 ：几何证明选讲）如图 , 在△ ABC中,AB＝AC, 72 ° , ⊙O过 A、B 两点且与BC相切于点 B, 与 AC交于点 D,连接 BD,若 BC＝ , 则． 16 ．（选修4-4 ：坐标系与参数方程）已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为．三、解答题：本大题共 6 小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17 ．（本题满分12 分）设角是的三个内角 ,已知向量， , 且 . ( Ⅰ)求角的大小； (Ⅱ)若向量 , 试求的取值范围 .18．（本题满分 12 分）某校要用三辆校车从头校区把教师接到老校区，已知从头校区到老校区有两条公路，校车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；校车走公路②堵车的概率为，不堵车的概率为．若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车因为其余原由走公路②，且三辆车能否堵车互相之间没有影响．（Ⅰ）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的个数的分布列和数学希望．学19．（本题满分12 分）如图，为矩形，为梯形，平面平面，， . （Ⅰ）若为中点，求证：∥平面；（Ⅱ）求平面与所成锐二面角的大小．20．（本题满分 12 分）已知正项数列 {an} 的前项和，．（Ⅰ）求数列 {an} 的通项公式；（Ⅱ）定理：若函数在区间 D上是下凸函数，且存在，则当时，总有．请依据上述定理，且已知函数是上的下凸函数，证明： bn ≥ 32 ．21．（本题满分 13 分）抛物线 :上一点到抛物线的焦点的距离为，为抛物线的四个不一样样的点，此中、关于y 轴对称，，，，，直线平行于抛物线的以为切点的切线．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）到直线、的距离分别为、，且，的面积为48，求直线的方程．22．（本题满分 14 分）已知函数在处的切线的斜率为 1．（为无理数，）（Ⅰ）求的值及的最小值；（Ⅱ）当时，，求的取值范围；（Ⅲ）求证：．（参照数据：）数学（理）试卷答案及解析选择填空：BDCBABBACB11．20 12．13 ．小指14 ．，15 ．2 16．1 ．【解析】应选B． 2 ．【解析】应选D．3 ．【解析】由题意知对称轴为，应选C． 4 ．【解析】应选B． 5 ．【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的构成，此中重叠了一部分，所以该几何体的体积为．应选 A． 6 ．【解析】由程序框图得，通项公式，的最小值为为 5．应选 B． 7 ．【解析】应选 B． 8 ．【解析】，，解得，由得，（当取等），应选 A． 9 ．【解析】作出可行域，由恒建立知令，由图可知，当直线与椭圆相切时，最小，消得：得∴ ．应选 C． 10 ．【解析】由题意可得，函数的周期是 4，可将问题转变成与在区间有几个交点．如图：由图知，有9 个交点．选 B． 11 ．【解析】． 12 ．【解析】，，∴ f(x) ＝－ x3＋ax2，令 f(x) ＝0，得 x＝0 或 x＝a(a<0) ．∴S暗影＝ [0 － ( －x3＋ax2)]dx ＝(14x4 －13ax3)|0a ＝112a4＝112，∴a＝．13 ．【解析】∵小指对的数是 5+8n，又∵ 2013=251×8+5，∴数到 2013 时对应的指头是小指． 14 ．【解析】设分别为椭圆的长轴长，虚轴长，（Ⅰ）当点位于短轴端点时，最大，得或设，；（Ⅱ）取中点，由得设得，， 15 ．【解析】由已知得，，解得． 16 ．【解析】由解得，即两曲线的交点为． 17 ．【解答】 ( Ⅰ) 由题意得，即，由正弦定理得，再由余弦定理得， . ( Ⅱ) ，，，，所以，故 . 18 ．【解答】（Ⅰ）由已知条件得，即，则．（Ⅱ）解：可能的取值为 0，1，2，3．；；；的分布列为：0123所以． 19 ．【解答】（Ⅰ）证明：连接，交与，连接，在中，分别为两腰的中点，∴ ，面，又面，平面，（Ⅱ）解法一：设平面与所成锐二面角的大小为，以为空间坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则设平面的单位法向量为，则可设设面的法向量，应有，即：，解得：，所以，∴，所以平面与所成锐二面角为60°.解法二：延长CB、DA相交于 G，连接 PG，过点 D作 DH⊥PG ，垂足为 H，连接 HC ，∵矩形PDCE中 PD⊥DC，而 AD⊥DC，PD∩AD=D，∴CD⊥平面 PAD∴CD⊥PG，又 CD∩DH=D，∴PG⊥平面 CDH，从而 PG⊥HC，∴∠ DHC为平面 PAD 与平面 PBC所成的锐二面角的平面角，在△中，，，可以计算，在△中，，所以平面与所成锐二面角为 60°. 20．【解答】（Ⅰ）当时，或．因为 {an} 是正项数列，所以．当时，，整理，得．因为{an} 是正项数列，∴．∴数列 {an} 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列．从而，当时也满足．∴ ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又是上的下凸函数，依据定理，得，令，整理得，，．21 ．【解答】（Ⅰ）|QF|=3=2+ ， =2 ．（Ⅱ）抛物线方程为，A( ) ， D( ) ， B( ) ，C( ) ，，，，，，，，所以直线 AC和直线 AB的倾斜角互补，．（Ⅲ）设，则 m=n=|AD|sin ，，即，把与抛物线方程联立得：，，，同理可得，，，．22 ．【解答】（Ⅰ），由已知，得∴a＝1．此时，，∴当时，；当时，．∴当 x ＝0 时， f(x) 获得极小值，该极小值即为最小值，∴ f(x)min ＝ f(0)＝0．（Ⅱ）记，, 设①当时，，，，，时满足题意；②当时，，得 , 当，，在此区间上是减函数， , ∴在此区间上递减，不合题意 . 综合得的取值范围为 . 法二：当时，，即．①当时，；②当时，等价于．记，，则．记，则，当时，，在上单调递加，且，在上单调递加，且，当时，，从而在上单调递加．由洛必达法规有，．即当时，，所以当时，所以，所以．的取值范围为 . （Ⅲ）记，，令解得，当时函数有最大值，且最大值为，， , ，又。