加试模拟训练题（50）（附详细答案）
)(.1都相切的圆的延长线以及边、边上的旁切圆是与边的注：边上的旁切圆半径；
的外接圆半径等于上，求证：在线段边上的高，是的外心和内心，分别为、如图，BC AC AB BC ABC BC ABC OD I BC AD ABC I O ∆∆∆
2. 设m 和n 是正整数，a 1，a 2，…，a m 是集合{1，2，…，n}中的不同元素，每当
a i +a j ≤n ，1≤i ≤j ≤m ，就有某个k ，1≤k ≤m ，使得a i +a j =a k ，求证：
3.在木板上写有若干个0，1和2．现在可以擦掉两个不同的数字，并用另一个数字来代替(代替0和1的是2，代替1和2的是0，代替0和2的是1)．证明：如果由于这种做法，最后在木板上只留下一个数字，那么与它们操作的次序无关．
4.求满足等式2x2y2+y2=26x2+1201的一切正整数数组（x，y）．
加试模拟训练题（50）
)(.1都相切的圆的延长线以及边、边上的旁切圆是与边的注：边上的旁切圆半径；
的外接圆半径等于上，求证：在线段边上的高，是的外心和内心，分别为、如图，BC AC AB BC ABC BC ABC OD I BC AD ABC I O ∆∆∆
2
cos 2sin 22cos 2sin 2sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin 2sin )(21sin 21,12
cos 2cos 2sin 42
sin 2sin 2sin 2sin sin 2)2()1(2
sin 2sin 2sin 22cos 2sin 2sin sin 2cos 2sin 2
sin 212sin 2
12
12
12
1sin sin 2sin //,C B C B C B C B C B A R A C B C B A R r a
c b A bc r a c b r S A bc r BC ABC C B A A C B C B A C B C B A C C B BK AB B
A BI BK
B BI AB S S IK AI A BAK C
ACB AKB A CAK CBK B IBC ABI C B R
B c OK AD IK AI AD
OK BC OK R O OK K O ABC AI b CA a BC c AB a a a ABC a KBI ABI ++--+⋅=-+⋅=∴-+=⇒-+==∆=∴==⋅=⋅=+⋅⋅⋅⋅==∴∠=∠∠=∠=∠∠=∠=∠∠=∠=∠=⋅==∴∴⊥∆===∆∆∆则：
上的旁切圆半径为的边又设可得：、由又，，的半径，记为是圆则点，于的外接圆的延长线交设，，证明：如图，记 边上旁切圆的半径的外接圆半径等于即BC ABC R C B A R C B C B C B A R ∆∴=⋅=+⋅=2sin 2sin 22sin 42sin 2sin 22sin sin sin sin
2.设m和n是正整数，a1，a2，…，a m是集合{1，2，…，n}中的不同元素，每当
a i+a j≤n，1≤i≤j≤m，就有某个k，1≤k≤m，使得a i+a j=a k，求证：
【题说】第三十五届（1994年）国际数学奥林匹克题1．本题由法国提供．
【证】不妨设a1＞a2＞…＞a m，
若存在某个i，l≤i≤m，使a i+a m+1-i≤n．则
a i＜a i+a m＜a i+a m-1＜…＜a i+a m+1-i≤n
由已知，得i元集
这不可能，于是对1≤i≤m，恒有a i+a m+1-i≥n+1．从而
2（a1+a2+…+a m）=（a1+a m）+（a2+a m-1）+…+（a m+a1）≥m（n+1）
3.在木板上写有若干个0，1和2．现在可以擦掉两个不同的数字，并用另一个数字来代替(代替0和1的是2，代替1和2的是0，代替0和2的是1)．证明：如果由于这种做法，最后在木板上只留下一个数字，那么与它们操作的次序无关．
【题说】第九届(1975年)全苏数学奥林匹克八年级题6，十年级题5．
【证】假设0的个数是p，1的个数是q，2的个数是r．在每次操作后，p、q和r分别增加或减少1，即p、q、r改变一次奇偶性．当木板上只留下一个数字时，p、q、r三个数中，一个为1，另两个为0．由此可见，p、q、r三数中，必有一个的奇偶性与另外两个奇偶性不同；与它对应的数字最后留在木板上．
4.求满足等式2x2y2+y2=26x2+1201的一切正整数数组（x，y）．
【题说】1995年日本数学奥林匹克预选赛题8．
【解】由条件得
（2x2+1）（y2－13）=1188=22×33×11
从而2x2+1与y2－13均为22×32×11的因数．又2x2+1是奇数，故2x2+1为33×11=297的因数．由下表
可知，所求的正整数解为（4，7）和（7，5）．
