高中数学联赛二试训练

二试训练题（1）

1. （本题满分40分）实数a 使得对于任意实数12345,,,,x x x x x ，不等式

22222

1234512233445()x x x x x a x x x x x x x x ++++≥+++

都成立，求a 的最大值．

2. （本题满分40分）在直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，它的内切圆分别与边BC ，CA ，AB 相切与点D ，E ，F ，连接AD ，与内切圆相交于另一点P ，连接PC ，PE ，PF ．已知PC PF ⊥，求证：PE ∥BC ．

F C B

A

3．（本题满分50分）对正整数n ，记()f n 为数2

31n n ++的十进制表示的数码和． (1) 求()f n 的最小值；

(2) 是否存在一个正整数n ，使得()f n =100？

4．（本题满分50分）求满足如下条件的最小正整数n ，在圆O 的圆周上任取n 个点

12,,,n A A A L ，则在2n C 个角(1)i j A OA i j n ∠≤<≤中，至少有2011个不超过120︒．

二试训练题（2）

1、（本题40分）在△ABC 中，AB ＞BC ，K 、M 分别是边AB 和AC 的中点，O 是△ABC 的内心。设P 点是直线KM 和CO 的交点，而Q 点使得QP⊥KM 且QM∥BO，证明：QO⊥AC。

2、（本题40分）已知无穷数列{}n a 满足,,10y a x a ==()Λ,2,11

1

11=++=

--+n a a a a a n n n n n .

（1）对于怎样的实数x ，y ，总存在正整数0n ,使当0n n ≥时，n a 恒为常数？ （2）求数列{}n a 的通项公式.

3、（本题50分）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证:无论怎样染,总存在同色三角形.（1953年美国普特南数学竞赛题）由此，证明有17位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目. (第6届国际数学奥林匹克试题)

4、（本题50分）设*2

11,1,3N n a a a a n n n ∈-+==+，证明：

（1）对所有)4(m od 3,≡n a n ；（2）当m m ≠时，1),(=n m a a （即n m a a ,互质）

二试训练题（3）

1. （40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．

2. （40分）设k 是给定的正整数，1

2

r k =+

．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r =(1)(()),2l f f r l -≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥

表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥

，11=⎡⎤⎢⎥．

3. （50分）给定整数2n >，设正实数12,,,n a a a L 满足1,1,2,,k a k n ≤=L ，记

12,1,2,,k

k a a a A k n k

+++=

=L L ．

求证： 1

1

1

2

n n

k k k k n a A ==--<

∑∑．

4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A L 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？

二试训练题4

一、（本题满分40分）

设A B C D E 、

、、、为直线l 上顺次排列的五点，AC BC

CE CD

=

，F 在直线l 外的一点，连结FC 并延长至点G ，恰使FAC AGD ∠=∠，FEC EGB ∠=∠同时成立.

求证：FAC FEC ∠=∠。

二、（本题满分40分）

已知：,,0a b c ≥，2a b c ++=，

求证：

()()()

1111bc ca ab

abc a b abc b c abc c a ++≤++++++。

三、（本题满分50分）

设正整数n大于1，它的全部正因数为d1，d2，…，d k，满足1=d1

(i) 证明：D

(ii) 确定所有的n，使得D整除n2。

四、（本题满分50分）

设圆周上有一些红点和蓝点，可以进行如下操作：加上一个红点，并改变其相邻两点的颜色；或去掉一个红点，并改变原先与之相邻的两点颜色．已知开始时只有两个点，均为红点，那么是否有可能经过若干次操作，使得圆周上只有两个点，且均为蓝点．