2015届高考数学(理)二轮练习：三角函数、解三角形、平面向量(含答案)

出三角形模型．真题感悟1． (2021浙·江 )α∈R ， sin α＋2cos α＝ 10，那么 tan 2α等于 ()24 3 3 4 A. 3 B.4 C ．－4 D ．－3答案C10解析 ∵ sin α＋ 2cos α＝2 ，∴sin2α·cos α＋ 25α＋ 4sin 4cos α＝2. 用降幂公式化简得： 4sin 2α＝－ 3cos 2α，∴tan 2 α＝ sin 2α3＝－ .应选 C.cos 2α 42．(2021·苏江 ) 假设△ ABC 的内角满足 sin A ＋ 2sin B ＝ 2sin C ，那么 cos C 的最小值是________． 答案 6－ 24解析 由 sin A ＋ 2sin B ＝ 2sin C ，结合正弦定理得a ＋ 2b ＝2c.由余弦定理得 cos C ＝ a 2＋ b 2－ c 22aba 2＋b 2－a ＋2b23a 2＋ 1b2－ 2ab＝2ab 4＝4 2 22ab2 32 1 2 － 2ab4 a b≥22 ＝6－ 2，2ab4故6－2≤ cos C<1，且 3a 2＝ 2b 2时取“＝〞． 46－ 2故 cos C 的最小值为.4押题精练1．在△ ABC 中， tanA ＋B＝ sin C ，给出以下四个结论：2① tan A＝ 1；② 1<sin A ＋ sin B ≤ 2；③ sin 2A ＋ cos 2B ＝ 1；④ cos 2 A ＋ cos 2B ＝ sin 2C. tan B其中一定正确的选项是()A ．①③ B．②③ C．①④ D．②④答案Dsin A＋ B2sinA＋ B A＋ B22 cos2解析依题意， tan A＋B＝A＋ B ＝2A＋B2cos22cos2＝sin A＋ B＝sin C＝ sin C.1＋ cos A＋B1＋ cos A＋ B∵s in C≠ 0，∴1＋ cos(A＋B)＝ 1， cos(A＋ B)＝ 0.π∵0< A＋B<π，∴A＋ B＝，即△ABC 是以角 C 为直角的直角三角形．2对于①，由tan A＝ 1，得 tan A＝ tan B，即 A＝B，不一定成立，故① 不正确；tan Bππ对于②，∵A＋ B＝，∴ sin A＋ sin B＝ sin A＋ cos A＝2sin( A＋ )，24∴1<sin A＋ sin B≤2，故②正确；π2A＋sin2A＝2sin2A，对于③，∵A＋ B＝，∴ sin2A＋ cos2B＝sin2其值不确定，故③ 不正确；π22222对于④，∵A＋ B＝，∴ cos A＋ cos B＝ cos A＋ sin A＝1＝ sin C，故④正确． 22．在△ ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别为a， b， c，q＝ (2a,1)，p＝ (2b－ c， cos C)，且q∥ p.(1)求 sin A 的值；(2) 求三角函数式－ 2cos 2C＋ 1 的取值X围．1＋ tan C解(1) ∵q＝ (2a,1)，p＝(2b－ c， cos C) 且q∥p，∴ 2b－ c＝ 2acos C，由正弦定理得 2sin Acos C＝ 2sin B－ sin C，又 sin B＝ sin(A＋ C)＝ sin Acos C＋ cos Asin C，∴1sin C＝ cos Asin C.21π∵sin C≠ 0，∴cos A＝，又∵ 0<A<π，∴ A＝，23∴sin A＝32.22(2) 原式＝－ 2cos 2C＋1＝1－ 2 cos C－sin C＝ 1－ 2cos2 C＋ 2sin Ccos C＝ sin 2C－ cos 2C＝1＋ tan C sin C1＋cos C π2sin(2C－4) ，2ππ 13∵ 0< C<3π， ∴ －4<2C －4<12π，2π∴－2 <sin(2 C －4)≤ 1，π∴－ 1< 2sin(2 C －4)≤2，－ 2cos 2C 即三角函数式＋ 1 的取值X 围为 (－ 1，2]．1＋ tan C(推荐时间： 60 分钟 )一、选择题1．(2021浙·江 )为了得到函数 y ＝ sin 3x ＋ cos 3x 的图象，可以将函数 y ＝ 2cos 3x 的图象 ()ππA ．向右平移4个单位B ．向左平移4个单位C ．向右平移 π个单位D ．向左平移π个单位1212答案 C解析因为 y ＝ sin 3x ＋ cos 3x ＝π2sin(3x ＋)4＝ 2sin[3( x ＋π2cos 3x ＝π12)] ，又 y ＝2sin(3x ＋2)π y ＝ 2cos 3x的图象向右平移π ＝ 2sin[3( x ＋ )]，所以应由个单位得到．612π π)2． α∈ ( ，π)， sin(α＋ )＝3，那么 cos α等于 (24527 2 A ．－10B. 102 7 27 2C ．－10或 10D ．－10答案A解析 ∵ α∈ π π3π，5 π)．( ，α)． ∴ α＋ ∈(24 4 4π 3 ∵ s in( α＋4)＝5，π4∴cos(α＋4)＝－5，π π π π 4× 2 32 ＝－ 2∴cos α＝ cos(α＋ )cos＋sin( α＋ )sin( )＝－5 ＋ ×210. 44442 5sin C2 25)3．在△ ABC 中，假设＝ 3， b － a＝ ac ，那么 cos B 的值为 (sin A211 A. 3 B.211 C.5D.4答案 D解析由正弦定理：c ＝sin C＝ 3，a sin A222 c 2－5acc 5 35 1由余弦定理： cos B ＝ a＋c － b212ac＝2ac ＝ × － ＝ －＝ .2 a 4 2444．(2021陕·西 )设△ ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设 bcos C ＋ ccos B ＝asinA ，那么△ ABC 的形状为 ( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案B解析2，即 sin(B2由 bcos C ＋ ccos B ＝ asin A ，得 sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝ sin A ＋C)＝ sin A ，所以 sin A ＝ 1，由 0<A<π，得 πA ＝ ，所以△ ABC 为直角三角形．2 5． tan β＝4， sin(α＋ β)＝5，其中α， β∈ (0，π)，那么 sin α的值为 ()3 136333 A. 65B.651363 33C.65D.65或65答案 A解析依题意得 sin β＝ 4 ， cos β＝ 3 .注意到 sin( α＋ β)＝ 5π55 13<sin β，因此有 α＋ β>(否那么，假设α2 π π＋β≤ ，那么有 0<β<α＋ β≤，0<sin β<sin( α＋ β)，这与“ sin(α＋ β)<sin β〞矛盾 ) ，那么 cos(α＋ β)2 21263＝－ 13， sin α＝ sin[( α＋ β)－ β]＝ sin(α＋β)cos β－ cos(α＋β)sin β＝65.6．△ ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别是a 、b 、c ，且 tan B ＝2－ 3→ →2 22， BC ·BA ＝1，a －b ＋c 2那么 tan B 等于 ()3A. 2B. 3－ 1 C ． 2 D ．2－ 3答案D解析→→→→由题意得， BC ·BA ＝ |BC| |BA|cos · B＝ a ccos B ＝1，即 cos B ＝1，22ac由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 2＝ 1 ? a 2＋c 2－b 2＝1，2ac 2ac2－ 3所以 tan B ＝a 2－b 2＋c 2＝2－ 3，应选 D.二、填空题7． tanα＋ππ2sin 2α＋sin 2α4 ＝1，且－<α<0，那么π ＝ ________.22cos α－4答案 － 25 5解析由 tan α＋ π ＝ tan α＋ 1 11 4 ＝2， 得 tan α＝－ .1－ tan α 3又－π，可得 sin α＝－ 10<α<0 10 .2 2sin 2α＋ sin 2α 2sin αsin α＋ cos α故cos α－π ＝242 sin α＋ cos α＝22sin α＝－255.8．在△ ABC 中，内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、b 、 c ， a 2－ c 2＝ 2b ，且 sin Acos C＝ 3cos Asin C ，那么 b ＝ ________.答案 4解析由 sin Acos C ＝ 3cos Asin C 得：aa 2＋b 2－c 2b 2＋c 2－ a 2 c，2R ·＝ 3··2ab2bc2R222＝ 22222b 2∴a＋ b － c3(b＋ c－ a )， a － c ＝，2a 2－ c 2＝ 2b解方程组：2 ，∴b ＝ 4.a 2－ c 2＝b2πππ9． 0<α<<β<π， cos(β－ )＝1， sin(α＋ β)＝4，那么 cos(α＋)＝________.24354答案 8 2－ 315π解析因为 0< α<2<β<π，所以 π π 3π π 3π<β－ < 4 ， <α＋ β< .4 4 2 2π所以 sin( β－4)>0， cos(α＋ β)<0.π1，sin( α＋ β)＝ 4，因为 cos(β－)＝435π 2 2 3 .所以 sin( β－)＝， cos(α＋β)＝－54 3π π所以 cos(α＋ )＝ cos[(α＋ β)－ (β－ )]44π π＝cos(α＋ β)cos(β－ ) ＋sin( α＋ β)sin( β－ )443 14 22 82－3＝－5×3＋5×3＝15 .10．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚 B 处看索道 AC ，发现X 角∠ ABC ＝ 120 °；从 B 处攀登 400 米到达 D 处，回头看索道 AC ，发现X 角∠ ADC ＝ 150 °；从 D 处再攀登 800 米方到达 C 处，那么索道 AC 的长为 ________米．答案 400 13解析如题图，在△ABD 中， BD ＝ 400 米，∠ABD ＝ 120°.因为∠ ADC ＝ 150°，所以 ∠ ADB＝ 30°.所以∠ DAB ＝ 180°－ 120°－30°＝ 30°.由正弦定理，可得BD＝ADsin ∠ DAB sin ∠ABD.所以 400＝ AD ，得 AD ＝ 400 3(米)．sin 30 °sin 120 °在△ ADC 中， DC ＝ 800 米，∠ ADC ＝ 150°，由余弦定理，可得AC 2＝ AD 2＋ CD 2－ 2× AD × CD × cos ∠ADC＝ (400 3)2＋ 8002－2× 400 3× 800× cos 150 °＝ 4002×13，解得 AC ＝ 400 13(米 )．故索道 AC 的长为 400 13米．三、解答题11． (2021·徽安 )设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对边的长分别是a ， b ， c ，且 b ＝ 3， c ＝1， A＝ 2B.(1) 求 a 的值；π(2) 求 sin A ＋4的值．解 (1) 因为 A ＝2B ，所以 sin A ＝ sin 2B ＝2sin Bcos B.a 2＋ c 2－b 2由正、余弦定理得a ＝ 2b ·.2ac因为 b ＝ 3， c ＝ 1，所以 a 2＝ 12， a ＝ 23.b 2＋c 2－ a 29＋ 1－ 121(2) 由余弦定理得 cos A ＝2bc＝6＝－ .3由于 0<A<π，所以 sin A ＝2＝1 ＝2 21－ cos A 1－ 3 .9故 sin A ＋π ＝ sin Acosπ π2＋ － 1 × 2＝ 4－ 2 .4＋ cos Asin＝2 2×3644 3 22π12．函数 f(x)＝ 4cos ωx·sin(ωx－6)＋ 1(ω>0)的最小正周期是 π.(1) 求 f(x)的单调递增区间；π 3π(2) 求 f(x)在 [8，8 ]上的最大值和最小值．π解(1)f(x)＝ 4cos ωx·sin(ωx－6 )＋ 1 ＝23sin ωxcos ωx － 2cos 2ωx ＋ 1π＝3sin 2ωx － cos 2ωx ＝ 2sin(2ωx －6)．2π最小正周期是2ω＝π，所以， ω＝ 1，π从而 f( x)＝ 2sin(2x －6)．ππ π令－＋ 2k π≤2x － ≤ ＋ 2k π， k ∈ Z .262解得－ ππ6＋ k π≤x ≤ 3＋ k π，k ∈Z .ππ 所以函数f(x)的单调递增区间为[ －＋ k π，＋k π](k ∈Z )．63π 3ππ π 7π(2) 当 x ∈ [8，8 ]时， 2x －6∈ [12，12] ，π 6－ 2，2]，f(x)＝ 2sin(2 x －6)∈ [2π 3π6－ 2所以 f( x)在 [，2，2.88 ]上的最大值和最小值分别为13．角 A 、 B 、 C 是△ ABC 的三个内角，假设向量A － B5，m ＝(1－cos(A ＋B)，cos2)，n ＝ (8A － B9cos 2 )，且m ·n ＝ 8.(1) 求 tan Atan B 的值；absin C2的最大值．(2)求22a ＋b － c解552A－ B (1)m·n＝－ cos(A＋ B)＋ cos2 889199＝8－8cos Acos B＋8sin Asin B＝8，∴c os Acos B＝ 9sin Asin B 得 tan Atan B＝1 . 9tan A＋ tan B993 (2)tan(A＋ B)＝＝ (tan A＋tan B)≥ ·2tan Atan B＝ .1－ tan Atan B8841(∵ tan Atan B＝9>0 ，∴A， B 均是锐角，即其正切值均为正)absin C2＝sin C1222cos C ＝ tan Ca ＋b －c2＝－13，tan(A＋ B)≤ －283所求最大值为－.。

高考数学专题：三角函数、解三角形、平面向量一、选择题1．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________． 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝________．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝ 3，b ＝ 2，B ＝45°，则A ＝________．4.若将函数f(x)＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．5．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a ，b ＝________．6．设0≤x＜2π，且 1－sin 2x ＝sin x －cos x ，则x 的取值范围是________．7．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC→，λ∈R ，若BQ →·CP →＝－32，则λ＝________． 8．设D ，E ，F 分别为ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝________．9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，则角C ＝________．10．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a·b =____．11．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x＜2π)取得最大值时，x ＝____．12．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．三、解答题 13.已知3tan 44x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（42x ππ<<）. （Ⅰ）求tan x 的值； （Ⅱ）求2sin 22sin cos 2x x x-的值.14.已知函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12π⎛⎫ ⎪⎝⎭，. （Ⅰ）求实数a 和b 的值； （Ⅱ）若[0]x π∈，，求()f x 的最大值及相应的x 值 .15.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知)1tan (tan 3tan tan -⋅=+C A C A ，且7,22ABC b S ∆==． 求：（I ）角B ； （II ）a + c 的值．16、在ABC ∆中，角A ，B ，C 分别所对的边为c b a ,,，且C B A A B 2s i n c o s s i n c o s s i n =+，A B C ∆的面积为34.：(Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若2=a ，求边长c.17．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2bsin A.(1)求角B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求△ABC 的面积及b.18．已知函数f(x)＝（sin x －cos x ）sin 2x sin x. (1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递增区间．19、设函数=)(x f ⋅p q ,其中向量()sin ,cos sin x x x =+p , ()2cos ,cos sin x x x =-q ,x ∈R . （I ）求)3(πf 的值及函数)(x f 的最大值； （II ）求函数)(x f 的单调递增区间.20．函数f(x)＝6cos 2ωx 2＋3cos ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示， A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x 0)＝835，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f(x 0＋1)的值．21．在△A BC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →.(1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值．22．已知函数f(x)＝sin x ＋acos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0. (1)求实数a 的值； (2)求函数f(x)的最小正周期与单调递增区间．23．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x 2，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2，1(x ∈R)，设函数f(x)＝m ·n －1. (1)求函数f(x)的值域； (2)已知锐角三角形ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若f(A)＝513，f(B)＝35，求f(C)的值．24、在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的三条边分别是a 、b 、c ，且满足2b ac =. （Ⅰ）求证：03B π<≤； （Ⅱ）求函数1sin 2sin cos B y B B+=+的值域.。

三角恒等变换与解三角形1．(2014·某某高考)函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 【解析】 y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin(2x ＋π6)＋12. ∴T ＝2π2＝π.【答案】 π2．(2014·高考)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________.【解析】 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝1＋4－2×1×2×14＝4，则c ＝2又cos C ＝14，则sin C ＝154，由csin C ＝a sin A 得sin A ＝158. 【答案】 21583．(2014·全国新课标Ⅰ高考)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.【解析】 在△AMC 中，∵∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，∴∠AMC ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理：AMsin ∠MCA ＝ACsin ∠AMC，又△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠CAB ＝45°，BC ＝100， ∴AC ＝1002，∴AM ＝1002sin 45°·sin 60°＝1003，在△AMN 中，MN ⊥AN ， ∠NAM ＝60°，∴MN ＝AM ·sin 60°＝1003×32＝150.【答案】 1504．(2014·某某高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．【解】 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac.因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3. (2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26.从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为： 1．三角恒等变换及求值①利用两角和与差的三角函数公式进行三角恒等变换及求值是高考必考内容．该类问题出题背景选择面广，解答题中易出现与三角函数的图象和性质等知识交汇综合命题．②该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现，属中、低档题． 2．三角函数与平面向量的结合①向量与三角函数相结合是高考的重要考查内容，在近几年的高考中，年年都会出现，成为了高考的主流趋势．这类问题一般比较综合，考查综合应用知识分析问题、解决问题的能力．一般以向量为工具，考查三角恒等变换及三角函数的性质等．②多以解答题的形式出现，难度中档． 3．正、余弦定理及应用①该类问题是解三角形的主要考查类型，常以三角形中的边长、角度、面积为知识载体，融平面向量、三角恒等变换等知识于其中，考查正弦(余弦)定理的应用，预计将会成为今后高考题的一个热点．②多以解答题形式出现，有时也在选择、填空题中出现．可单独命题，也可在知识交汇处命制题目，重在体现三角函数知识的工具性，突出考查学生的运算能力，属中档题.三角恒等变换及求值【例1】 (2014·某某高考)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值． 【解】 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55 ＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2 sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫552＝35， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝－4＋3310.【规律感悟】 三角函数恒等变换“六策略”：(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦；(5)公式的变形应用：如sin α＝cos αtan α，tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)等；角的合成及三角函数名的统一：运用辅助角公式合成角及统一三角函数名称．[创新预测]1．(1)(2014·全国新课标Ⅰ高考)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2【解析】 tan α＝sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋sin βcos α ∴sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α 又∵－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2.∴α－β＝π2－α，即2α－β＝π2，故选B.【答案】 B(2)(2013·某某高考)4cos 50°－tan 40°＝( )A. 2B.2＋32C. 3 D ．22－1【解析】 借助商数关系，三角恒等变换及角度拆分求解．4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝sin 80°＋sin 60°＋20°－sin 60°－20°cos 40°＝sin 80°＋2cos 60°sin 20°cos 40°＝sin 80°＋sin 20°cos 40°＝sin 50°＋30°＋sin 50°－30°cos 40°＝2sin 50°cos 30°cos 40°＝3·cos 40°cos 40°＝ 3.【答案】 C三角函数与平面向量的结合【例2】 (2014·某某高考)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．【解】 (1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以错误! 即错误!解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1， 因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z .所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π， k ∈Z .【规律感悟】 向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性，考查三角恒等变换及三角函数的性质等问题．解这类问题的基本思路是将向量转化为代数运算，常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思想．本题对向量的考查主要体现在向量的工具性．解决这类问题的基本思路就是先通过向量的基本运算，脱去向量的“外衣”，将问题转化为三角函数式的化简求值等问题．[创新预测]2．(2013·某某高考)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]． (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．【解】 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12，当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π6)取最大值1.所以f (x )的最大值为32.正、余弦定理及应用【例3】 (1)(2014·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A 的值为( ) A ．－19 B.13C ．1 D.72(2)(2014·某某高考)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mzC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m(3)(2014·高考)如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos∠ADC ＝17.①求sin ∠BAD ； ②求BD ，AC 的长．【解析】 (1)2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2·(b a )2－1＝2×94－1＝72. (2)由题意知AB ＝60sin 75°，∠C ＝30°，∠BAC ＝45°.在△ABC 中，由正弦定理得AB sin 30°＝BC sin 45°，BC ＝602sin 75°∴BC ＝120(3－1)，故选C.(3)【解】 ①在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos ∠B －cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314. ②在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠B＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.【答案】 (1)D (2)C (3)①3314②7【规律感悟】 1.在解三角形时，正、余弦定理可解决的几类问题： (1)正弦定理可解决两类问题：①已知两角及任一边，求其他边或角； ②已知两边及一边的对角，求其他边或角． (2)余弦定理可解决两类问题：①已知两边及夹角求第三边和其他两角； ②已知三边，求各角．2．应用解三角形知识解决实际问题的步骤：①读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；②图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；③建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；④验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[创新预测]3．(1)(2014·全国新课标Ⅱ高考)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1【解析】 ∵S △ABC ＝12a ·c sin B ＝12×2×1×sin B ＝12，∴sin B ＝22，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝2＋1－22×1×22＝1，∴b ＝1，∴△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．∴B ＝3π4时，由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝5，∴b ＝5，故选B.【答案】 B(2)(2013·某某高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【解析】 利用余弦定理的变形将角的余弦值转化为三角形边之间的关系． ∵b cos C ＋c cos B＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a22a＝a ＝a sin A ，∴sin A ＝1. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．故选B.【答案】 B[总结提升] 通过本节课的学习，需掌握如下三点： 失分盲点(1)忽视角的X 围：既要关注条件中角的X 围还应考虑到隐含条件． (2)忽视对解的检验：已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理时，应注意对解进行检验(大边对大角)．答题指导(1)看到三角形内角，想到三角形内角和定理．(2)看到有边又有角的等式，想到利用正、余弦定理进行边角之间的互化． (3)看到求某个角，想到求该角的某种三角函数值． 方法规律1．(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α.(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ；(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2的关系，进行变形转化．(3)“1”的代换法：利用1＝sin 2θ＋cos 2θ＝(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝tanπ4. 2．(1)减元法：利用A ＋B ＋C ＝π及诱导公式可得到以下公式：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos Csin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C2. (2)边角互化法：利用正、余弦定理进行边角之间的转化．正、余弦定理的合理运用运算的合理性是提高运算能力的核心，运算错误往往是由运算不合理带来的．在运算中由于选择和运用的概念、公式、定理不同，运算往往简繁各异．学会运算并不困难，困难的是怎样进行灵活、简捷的运算，使运算不会走入误区．【典例】 (2014·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．【解】 (1)由题意可知：c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝22＋522－7222×2×52＝－15.(2)由sin A cos 2B2＋sin B cos 2A2＝2sin C 可得：sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知：a ＋b ＝3c . 又因a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，b ＝3.【规律感悟】 本题考查正弦定理和余弦定理，在化简方程中应用了三角恒等变换公式，三角形的内角和定理．在化简方程时考查了对式子的变形能力，整个求解过程中考查运算求解能力、推理论证能力和分析问题、解决问题的能力．建议用时 实际用时错题档案45分钟一、选择题1．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3【解析】 利用两角和的正切公式求解．∵tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根， ∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.【答案】 A2．(创新题)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )A.22B.12C ．0D ．－1【解析】 利用向量垂直及倍角公式求解．∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝0，∴cos 2θ＝12，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝1－1＝0.【答案】 C 3．发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是关于时间t 的函数：I A ＝I sin ωt ，I B ＝I sin(ωt ＋2π3)，I C ＝I sin(ωt ＋φ)，且I A ＋I B ＋I C ＝0,0≤φ＜2π，则φ等于( )A.π3B.2π3C.4π3D.5π3【解析】 由I A ＋I B ＋I C＝I sin ωt ＋I sin(ωt ＋23π)＋I sin(ωt ＋φ)＝I sin(ωt ＋π3)＋I sin(ωt ＋φ)＝0，得sin(ωt ＋φ)＝－sin(ωt ＋π3)＝sin(ωt ＋43π)．故φ＝43π.【答案】 C4．(2013·某某高考)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( )A.43B.34C.34D.43【解析】 先利用条件求出tan α，再利用倍角公式求tan 2α.把条件中的式子两边平方，得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，即3cos 2α＋4sinαcos α＝32，所以3cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝32，所以3＋4tan α1＋tan 2α＝32，即3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.【答案】 C5．(2013·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6【解析】 根据正弦定理与和角公式求解．由正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，又因为sin B ≠0，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，所以sin(A ＋C )＝sin B ＝12.因为a >b ，所以∠B ＝π6.【答案】 A 二、填空题6．(2014·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sinB ＝3sinC ，则cos A 的值为________．【解析】 ∵2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，∴b ＝32c ，又b －c ＝14a ，∴a ＝4(b －c )，∴a ＝2c .cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22·32c 2＝－14.【答案】 －147．(2014·东北三城联考)若cos(α＋π6)－sin α＝335，则sin(α＋5π6)＝________.【解析】 ∵cos(α＋π6)－sin α＝335，∴cos αcos π6－sin αsin π6－sin α＝335，∴32cos α－32sin α＝335，∴cos(α＋π3)＝35. ∴sin(α＋5π6)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－α＋5π6＝cos(α＋π3)＝35. 【答案】 358．(2014·某某潍坊3月模拟)如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是____________米．【解析】 在三角形BCD 中，可得CD ＝10，∠BCD ＝105°，∠BDC ＝45°，由正弦定理可得BC sin 45°＝10sin 30°⇒BC ＝102，在直角三角形ABC 中可得AB ＝102tan 60°＝10 6. 【答案】 10 6三、解答题9．(2014·某某某某质检)如图，A ，B 是海平面上的两个小岛，为测量A ，B 两岛间的距离，测量船以15海里/小时的速度沿既定直线CD 航行，在t 1时刻航行到C 处，测得∠ACB ＝75°，∠ACD ＝120°，1小时后，测量船到达D 处，测得∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A ，B 两小岛间的距离．(注：A ，B ，C ，D 四点共面)【解】 由已知得CD ＝15，∠ACD ＝120°，∠ADC ＝30°，∴∠CAD ＝30°，在△ACD 中，15sin 30°＝AD sin 120°， ∴AD ＝15 3.∵∠BDC ＝75°，∠BCD ＝45°，∴∠CBD ＝60°，在△BCD 中，15sin 60°＝BD sin 45°， ∴BD ＝5 6.在△ABD 中，∠ADB ＝45°，AB ＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB＝1532＋562－2×153×56cos 45°＝515，故两小岛间的距离为515海里．10．(2014·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B 2＋4sin A sin B ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．【解】 (1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2，故cos(A ＋B )＝－22. 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4. (2)因为S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝32，由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得c＝10.。

高考数学（理）二轮复习：三角函数与平面向量（含答案）4 三角函数与平面向量1．准确记忆六组诱导公式 对于“k π2±α，k ∈Z ”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等． (2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (3)弦、切互化：一般是切化弦．(4)灵活运用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a . 3．三种三角函数的性质函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象单调性在⎣⎢⎡－π2＋2k π，⎦⎥⎤π2＋2k π(k ∈Z ) 上单调递增；在⎣⎢⎡π2＋2k π，⎦⎥⎤3π2＋2k π(k ∈Z ) 上单调递减在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在⎝⎛－π2＋k π，⎭⎪⎫π2＋k π(k ∈Z )上单调递增对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝π2＋对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0(k ∈对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)图象变换y ＝sin x ――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ―――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 5．正弦定理及其变形a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .6．余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .7．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .8．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 9．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 10．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 11．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 12．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号． 2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围．3．求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．4．三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)时，平移量为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω，而不是φ.5．在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解． 6．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行．7．a·b ＞0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件；a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件．1．若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2 D.12答案 B解析 tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.2．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x答案 A解析 化简函数的解析式，A 中，y ＝cos 2x 是最小正周期为π的偶函数． 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝2，c ＝2，cos A ＝－24.则b 的值为( ) A ．1 B. 2 C.32D.62答案 A解析 根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，则22＝b 2＋(2)2－2b ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，所以b 2＋b －2＝0，解得b ＝1，故选A.4．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度答案 B解析 因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将函数y ＝sin 4x 向右平移π12个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3.故选B. 5．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值是( )A ．－1B ．－ 3C ．－12D ．－32答案 B解析 f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π6，则由题意知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋θ＋π6＝0，又因为0<θ<π，所以7π6<π＋θ＋π6<13π6，所以π＋θ＋π6＝2π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x .又因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上是减函数，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－2sin π3＝－3，故选B. 6．(2016·全国Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A 等于( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010答案 C解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，AD ＝BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以cos A ＝－1010，故选C.7．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4 答案 A解析 ∵sin 2α＝55，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，即α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，cos 2α＝－255，又sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010，∴sin(α＋β)＝sin [(β－α)＋2α] ＝sin(β－α)cos 2α＋cos( β－α)sin 2α ＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×55 ＝－22， cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55 ＝22， 又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4，故选A.8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23答案 A 解析 如图， CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →， 所以λ＝23.故选A.9．函数y ＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π8个单位长度后关于y 轴对称，则满足此条件的φ的值为( ) A.π4B.3π8C.3π4D.5π8 答案 C解析 平移后有f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π4，f (x )关于y 轴对称，则φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π＋3π4，k ∈Z ，由于0＜φ＜π，所以φ＝3π4.10．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)－1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π8，其图象与直线y ＝1相邻两个交点的距离为4π3，若f (x )＞0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，π4恒成立，则φ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－π8，－π24C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π12，π8D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12答案 B解析 由已知得函数f (x )的最小正周期为4π3，则ω＝32，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，π4时，32x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π16＋φ，3π8＋φ， 因为f (x )＞0，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋φ＞12，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3π16＋φ≥－π3＋2k π，3π8＋φ≤π3＋2k π(k ∈Z )，解得－7π48＋2k π≤φ≤－π24＋2k π(k ∈Z )，又|φ|＜π8，所以－π8＜φ≤－π24，故选B.11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________．答案 1解析 根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6，所以周期T ＝π，由ω＝2πT ＝2.又函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，又0＜φ＜π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1.12．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2， 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 那么当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，角B 为锐角，且sin 2B ＝8sin A ·sinC ，则ba ＋c的取值范围为____________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫63，255解析 因为sin 2B ＝8sin A ·sinC ，由正弦定理可知，b 2＝8ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝(a ＋c )2－2ac －b22ac ＝(a ＋c )2－54b 214b 2＝4(a ＋c )2b2－5∈(0,1)， 令t ＝ba ＋c，t >0，则0＜4t2－5＜1，解得23＜t 2＜45，即t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫63，255.14．已知O 是锐角△ABC 外接圆的圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2mAO →，则m 的值为______． 答案32解析 如图所示，取AB 的中点D ，则OA →＝OD →＋DA →，OD ⊥AB ，所以OD →·AB →＝0，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由cos B sin C ·AB→＋cos C sin B ·AC →＝2mAO →，得cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝－2m (OD →＋DA →)，两边同乘以AB →，得cos B sin C ·AB →2＋cos C sin B ·AC →·AB →＝－2m (OD →＋DA →)·AB →，即cos B sin C ·c 2＋cos C sin B ·bc ·cos A ＝m ·c 2，所以cos B sin C ·c ＋cos C sin B ·b ·cos A ＝m ·c ， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，所以b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入上式整理，得cos B ＋cos C cos A ＝m ·sin C ， 所以m ＝cos B ＋cos C cos Asin C＝－cos (A ＋C )＋cos C cos A sin C＝sin A ，又∠A ＝60°，所以m ＝sin 60°＝32. 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＝2，b ＝7，求△ABC 的面积．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即sin A sin B －3sin A cos B ＝0, 因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B ＝3，又0＜B ＜π，所以B ＝π3. (2)因为sin B ＝32，cos B ＝12， 所以a sin A ＝b sin B ＝732＝2213，又a ＝2， 所以sin A ＝321＝217， 因为a ＜b ，所以cos A ＝277. 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32114， 所以S ＝12ab sin C ＝332. 16．已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x ＋12(x ∈R )． (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12时，求函数f (x )的最小值和最大值； (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，a )与向量n ＝(2，b )共线，求a ，b 的值．解 (1)∵函数f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x ＋12(x ∈R )， ∴f (x )＝32sin 2x ＋1－cos 2x 2＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. ∵－π12≤x ≤5π12，∴－π3≤2x －π6≤2π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1， ∴1－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1≤2， ∴f (x )的最小值是1－32，最大值是2. (2)∵f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＋1＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1， ∵0＜C ＜π，∴－π6＜2C －π6＜11π6， ∴2C －π6＝π2，解得C ＝π3. ∵向量m ＝(1，a )与向量n ＝(2，b )共线，∴b －2a ＝0，即b ＝2a .①由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3， 即a 2＋b 2－ab ＝3.②由①②得a ＝1，b ＝2. 亲爱的读者：春去燕归来，新桃换旧符。

1.【2015高考北京，文15】（本小题满分13分）已知函数()2sin 2xf x x =-． （I ）求()f x 的最小正周期； （II ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．【答案】（I ）2π；（II ）.2.【2015高考安徽，文16】已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++ （Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）最大值为1+，最小值为03.【2015高考福建，文21】已知函数()2cos 10cos 222x x xf x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；4.【2015高考广东，文16】（本小题满分12分）已知tan 2α=． （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1．5.【2015高考湖南，文17】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =. （I ）证明：sin cos B A =； (II) 若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C . 【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C ===6.【2015高考山东，文17】 ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知cos ()B A B ac =+==求sin A 和c 的值.7.【2015高考陕西，文17】ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,)m a =与(cos ,sin )n A B =平行.(I)求A ；(II)若2a b ==求ABC ∆的面积.【答案】(I) 3A π=；(II)8.【2015高考四川，文19】已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tanA 、tanB 是关于方程x 2px －p ＋1＝0(p ∈R )两个实根. (Ⅰ)求C 的大小(Ⅱ)若AB ＝1，AC ，求p 的值9.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC的面积为,12,cos ,4b c A -==- （I ）求a 和sin C 的值;（II ）求πcos 26A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（I ）a =8,sin C =（II10.【2015高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且a = 求ABC ∆的面积.【答案】（I ）14（II ）111.【2015高考浙江，文16】（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A的值；（2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.【答案】(1)25；(2)912.【2015高考重庆，文18】已知函数f(x)=122cos x . (Ⅰ)求f （x ）的最小周期和最小值，(Ⅱ)将函数f （x ）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图像.当x ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求g(x)的值域. 【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为，最小值为2+32，（Ⅱ）1323,]22.13【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为315,12,cos ,4b c A -==- （I ）求a 和sin C 的值; （II ）求πcos 26A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（I ）a =8,15sin 8C =;（II ）157316-.16.【2015高考北京，文15】（本小题满分13分）已知函数()2sin 23sin 2xf x x =-． （I ）求()f x 的最小正周期； （II ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值． 【答案】（I ）2π；（II ）3-.（Ⅱ）∵203x π≤≤，∴33x πππ≤+≤. 当3x ππ+=，即23x π=时，()f x 取得最小值.∴()f x 在区间2[0,]3π上的最小值为2()33f π=.17.【2015高考安徽，文16】已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++ （Ⅰ）求()f x 最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）最大值为1+，最小值为0 【解析】（Ⅰ）因为x x x x x x x x f 2cos 2sin 12cos cos sin 2cos sin )(22++=+++=1)42sin(2++=πx所以函数)(x f 的最小正周期为ππ＝＝22T . （Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，1)42sin(2)(++=πx x f当]2,0[π∈x 时，]45,4[42πππ∈+x由正弦函数x y sin =在]45,4[ππ上的图象知，当242ππ=+x ，即8π=x 时，)(x f 取最大值12+；当4542ππ=+x ，即4π=x 时，)(x f 取最小值0.综上，)(x f 在[0,]2π上的最大值为12+，最小值为0.18.【2015高考福建，文21】已知函数()2cos 10cos 222x x xf x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析．【解析】（I ）因为()2cos 10cos 222x x xf x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．19.【2015高考广东，文16】（本小题满分12分）已知tan 2α=． （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值． 【答案】（1）3-；（2）1． 【解析】试题分析：（1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得222sin 22sin cos sin sin cos cos 21sin sin cos 2cos ααααααααααα=+--+-，再分子、分母都除以2cos α可得22sin 22tan sin sin cos cos 21tan tan 2αααααααα=+--+-，代入数值，即可得2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值． 试题解析：（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭- （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+-- ()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-22tan tan tan 2ααα=+- 222222⨯=+-1=21.【2015高考湖南，文17】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =. （I ）证明：sin cos B A =；(II) 若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C . 【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C === 【解析】试题分析：（I ）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得sin sin cos sin A AA B=，所以sin cos B A = ；(II)根据两角和公式化简所给条件可得3sin sin cos cos sin 4C A B A B -==，可得23sin 4B =，结合所给角B 的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C.22.【2015高考山东，文17】 ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知36cos ()2339B A B ac =+==求sin A 和c 的值. 223【解析】在ABC ∆中，由3cos 3B =6sin 3B =因为A BC π++=，所以6sin sin()9C A B =+=， 因为sin sin C B <，所以C B <，C 为锐角，53cos 9C =因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+==由,sin sin a c A C =可得sin sin c A a C ===，又ac =，所以1c =. 23.【2015高考陕西，文17】ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,3)m a =与(cos ,sin )n A B =平行.(I)求A； (II)若2a b ==求ABC ∆的面积.【答案】(I) 3A π=；(II)试题解析：(I)因为//m n ，所以sin cos 0a B A-=由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=， 又sin0B ≠，从而tan A =，由于0A π<< 所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A=+-，而2a b ==，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =， 故ABC ∆面积为1sin 2bc A =2sin B=从而sin B =又由a b >知A B >，所以cos B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =24.【2015高考四川，文19】已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tanA 、tanB 是关于方程x 2－p ＋1＝0(p ∈R )两个实根. (Ⅰ)求C 的大小(Ⅱ)若AB ＝1，AC ，求p 的值【解析】(Ⅰ)由已知，方程x 2－p ＋1＝0的判别式△＝p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0所以p ≤－2或p ≥23由韦达定理，有tanA ＋tanB p ，tanAtanB ＝1－p 于是1－tanAtanB ＝1－(1－p )＝p ≠0从而tan (A ＋B )＝tan tan 1tan tan A B A B +==-所以tanC ＝－tan (A ＋B ) 所以C ＝60° (Ⅱ)由正弦定理，得sinB ＝sin AC C AB ==解得B ＝45°或B ＝135°(舍去) 于是A ＝180°－B －C ＝75°则tanA ＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==+- 所以p(tanA ＋tanB )(21)＝－125.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC的面积为,12,cos ,4b c A -==- （I ）求a 和sin C 的值; （II ）求πcos 26A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（I ）a=8,sin C =（II【解析】（I ）由面积公式可得24,bc =结合2,b c -=可求得解得6, 4.b c ==再由余弦定理求得a =8.最后由正弦定理求sin C 的值;（II ）直接展开求值. 试题解析:（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A =由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a cA C=,得sin C =（II）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=26.【2015高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B （II ）若90B =，且a = 求ABC ∆的面积.【答案】（I ）14（II ）1 试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac .又a b ，可得2b c ,2a c , 由余弦定理可得2221cos 24a c b B ac . （II ）由(1)知22b ac . 因为B90°，由勾股定理得222a c b . 故222a c ac ，得2c a .所以ABC 的面积为1.27.【2015高考浙江，文16】（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=. （1）求2sin 2sin 2cos A A A的值； （2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积. 【答案】(1)25；(2)9 【解析】(1)利用两角和与差的正切公式，得到1tan 3A =，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；(2)利用正弦定理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：(1)由tan(A)24π+=，得1tan 3A =， 所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.(2)由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=.28.【2015高考重庆，文18】已知函数f(x)=122cos x . (Ⅰ)求f （x ）的最小周期和最小值，(Ⅱ)将函数f （x ）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图像.当x ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求g(x)的值域. 【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为，最小值为2+32，（Ⅱ）1323,]22. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）首先用降幂公式将函数21()sin 23cos 2f x x x 的解析式化为()sin()f x A x B ωϕ=++的形式，从而就可求出()f x 的最小周期和最小值，（Ⅱ）由题目所给变换及（Ⅰ）的化简结果求出函数()g x 的表达式，再由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦并结合正弦函数的图象即可求出其值域．试题解析： (1) 2113()sin 23cos sin 2(1cos 2)222f x x x x x 1333sin 2cos 2sin(2)22232x x x , 因此()f x 的最小正周期为，最小值为2+32. (2)由条件可知：3g()sin()32x x . 当[,]2x 时，有2[,]363x ， 从而sin()3x 的值域为1[,1]2， 那么3sin()32x 的值域为1323,]22. 故g()x 在区间[,]2上的值域是1323,]22. 28.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC的面积为,12,cos ,4b c A -==-（I ）求a 和sin C 的值;（II ）求πcos 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（I ）a =8,sin C =（II 【解析】（I ）由面积公式可得24,bc =结合2,b c -=可求得解得6, 4.b c ==再由余弦定理求得a =8.最后由正弦定理求sin C 的值;（II ）直接展开求值.试题解析:（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A = 由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a c A C = ,得sin C =（II ）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=。

2015届高中数学·二模汇编（专题：三角函数）1θ∈⎛ ,⎫⎪，sin2θ=cos +x⎪2，且α∈(0,π)，则t g=．2sinπ+ωx(12.（2015年普陀理5）若0≤x≤π，则函数y=sin ⎛π+x⎪cos +x⎪的单调递增区间为2≤x≤2，则函数y=cos x⋅cos +x⎪的单调递减区间为2015届高中数学·二模汇编三角函数一、填空题1.（2015年崇明理7文8）在∆ABC中，已知BC=8,AC=5，三角形面积为12，则cos2C=．2.（2015年奉贤理7文7）若ππ⎝42⎭51116π，则cosθ-sinθ的值是__________．3.（2015年虹口理10文10）若行列式sin(π+x)02的第1行第2列的元素1的代数余子式为-1，则实数x⎛π⎫⎝4⎭1的取值集合为____.4.（2015年黄埔理5）已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边经过点P(-3a,4a)(a≠0,a∈R)，则cos2α的值是.5.（2015年黄埔理△6）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2=b2+c2-2bc sin A，则∠A=．6.（2015年静安理2）已知扇形的圆心角是1弧度，半径为5cm，则此扇形的弧长为cm．7.（2015年静安文7）方程3sin x=cos x的解集为．8.（2015年静安理7）方程lg(3sin x)=lg(-cos x)的解集为．9.（2015年闵行理4文4）若cosα=45α210.（2015年浦东理8文8）若对任意x∈R，不等式sin2x+2sin2x-m<0恒成立，则m的取值范围是．11.（2015年普陀理3文2）若函数f(x )=sinωxω>0)的最小正周期为π，则ω2⎫⎛π⎫⎝3⎭⎝2⎭=13.（2015年普陀文4）若-ππ⎛π⎫2⎝2⎭”是“ A = ”的（）已知函数 f ( x ) = 3sin(2 x - ) + 2sin 2( x -14.（2015 年普陀理 10）如图，机车甲、乙停在 A 、B 处，且 AB = 10km ．甲的速度为 4 千米/小时1乙的速度是甲的 倍，甲沿北偏东 60 的方向移动，乙沿正北方向移动．若两者同时移动 100 分钟，2北60°D则它们之间的距离为千米．A15. （2015 年徐汇理 5）在 ∆ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ，若 a = 3, c = 2, A =π3则 ∆ABC 的面积为．16. （2015 年徐汇文 5）已知函数 y = cos x 与 y = sin(2 x + ϕ) (0 ≤ ϕ ≤ π ) 的图像有一个横坐标π为的交点，则常数ϕ 的值为 ．3CB第10题图17.（2015 年长宁理 9）已知方程sin x + 3 cos x = m + 1 在 x ∈ [0 , π ] 上有两个不相等的实数解，则实数m 的取值范围是________．18.（2015 年长宁文 7）方程 sin x + 3 cos x = 0 在 x ∈ [0,π ] 上的解为_____________．二、选择题1.（2015 年徐汇文 15）“ α = arcsin （A ）充分不必要条件 （C ）充要条件1 1”是“ sin α = ”的（ ） 3 3（B ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件2.（2015 年长宁理 15 文 △15）在ABC 中，“ sin A = 12π 6A ．充分非必要条件C ．充要条件三、解答题1.（2015 年崇明理 19 文 19）B ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件π π6 12（1）化简并求函数 f ( x ) 的最小正周期；（2）求使函数 f ( x ) 取得最大值的 x 集合．) ( x ∈ R ) ．32.（2015年奉贤理19文19）如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有4.5海里，并以10海里/小时的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以14海里/小时的速度航行，应沿什么方向，用多少小时能尽快追上乙船？(13分)北A45°B15°C3.（2015年虹口理21文21）如图，经过村庄A有两条夹角60为的公路AB,AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M,N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）.记∠AMN=θ.（1）将AN,AM用含θ的关系式表示出来；（2）如何设计（即AN,AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？CN PA M B44.（2015 年黄埔理 20）已知函数 g (x ) = sin 2 x - sin 2 x - cos 2 x + 1，x ∈ R ，函数 f ( x ) 与函数 g ( x ) 的图像关于原点1 32 2（1）求 y = f (x )的解析式；（2）求函数 f (x ) 在 [0,π ]上的单调递增区间．cos 2 x + 1, x ∈ R ，函数 f (x ) 与函数 g (x ) 的图像关于原点对称5.（2015 年黄埔文 20） 已知函数 g( x ) =对称．（1）求 y = f ( x ) 的解析式；1 32 2（2）当 x ∈ [-π π, ] 时，求函数 f ( x ) 的取值范围． 4 256.（2015年静安理20）已知函数f(x),g(x)满足关系g(x)=f(x)⋅f(x+α)，其中α是常数.（1）若f(x)=cos x+sin x，且α=π2，求g(x)的解析式，并写出g(x)的递增区间；（2）设f(x)=2x+12x，若g(x)的最小值为6，求常数α的值．7.（2015年静安文20）已知函数f(x),g(x)满足关系g(x)=f(x)⋅f(x+α)，其中α是常数.（1）若f(x)=cos x+sin x，且α=π2，求g(x)的解析式，并写出g(x)的递增区间；1（2）设f(x)=x，若g(x)≥1在x∈[,+∞)上恒成立，求常数α的取值范围．26C C E E3．若△ABC不是钝角三角形，求：1）某公园有个池塘，其形状为直角∆ABC，∠C=900，AB的长为2百米，BC的长为1百米．（1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D、E、F，如图（1），使得EF//AB，EF⊥ED，在∆DEF内喂食，求当∆DEF的面积取最大值时EF的长；（2）若准备建造一个荷塘，分别在AB、BC、CA上取点D、E、F，如图（2），建造∆DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使∆DEF为正三角形，记∠FEC=α，求∆DEF边长的最小值及此时α的值．（精确到1米和0.1度）A AFDD FB B图(1)图(2)9.（2015年闵行理20文20）设三角形ABC的内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且B=π（角C的范围；（2）2ac的取值范围．7．2+3sin x cos x．2，求h(x)=f(x)+g(x)的值域．一颗人造卫星在地球上空1630千米处沿着圆形轨道匀速运行，每2小时绕地球一周，将地球近似为一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合，已知卫星与中午12点整通过卫星跟踪站A点的正上空A'，12:03时卫星通过C点（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）（1）求人造卫星在12:03时与卫星跟踪站A之间的距离（精确到1千米）；C（2）求此时天线方向AC与水平线的夹角（精确到1分）．A'AO11.（2015年普陀理19）已知函数f(x)=cos2x,g(x)=1（1）若直线x=a是函数y=f(x)图象的一条对称轴，求g(2a)的值；（2）若0≤x≤π8其中 A , B , C 为锐角三角形 ABC 的三个内角．12.（2015 年徐汇理 20）一个随机变量 ξ 的概率分布律如下：ξPx 1 cos2Ax 2 sin(B +C )．．．．．（1）求 A 的值；（2）若 x = cos B ， x = sin C ，求数学期望 E ξ 的取值范围．1 213.（2015 年徐汇文 20）在 ∆ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ，且 a cos C + c cos A = 2b cos A ．（1）求角 A 的大小；（2）若 a = 3, c = 2 ，求 ∆ABC 的面积．9()() 14.（2015年杨浦理19文20）如图，一条东西走向的大江，其河岸A处有人要渡江到对岸B处，江面上有一座大桥AC，已知B在A的西南方向，C在A的南偏西15︒，BC=10公里.现有两种渡江方案：方案一：开车从大桥AC渡江到C处，然后再到B处；方案二：直接坐船从A处渡江到对岸B处.若车速为每小时60公里，船速为每小时40公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B处，应选择哪个方案？说明理由.AB C15.（2015年闸北理15文16）如图所示，某市拟在长为8km道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=A s inωx(A>0,ω>0)x∈[0,4]的图像，且图像的最高点为S3,23，赛道的后一部分为折线段MNP，且∠MNP=120．（1）求M、P两点间的直线距离；（2）求折线段赛道MNP长度的最大值．1016.（2015年长宁理19文19）在△ABC中，已知2sin2A+B+cos2C=1，外接圆半径R=2．2（1）求角C的大小；（2）若角A=π6△，求ABC面积的大小.11。

2015届高考数学二轮专题检测：专题三 三角函数与平面向量时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中，真命题的个数为( )①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④若AB →＝CD →，则A 、B 、C 、D 是一个平行四边形的四个顶点．A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] D[解析] ∵|a |＝|b |即两向量的模相等，但方向不确定，∴①不正确；对于②，当b ＝0时，其方向是任意的，∴a ∥c 不对；对于④，当AB →＝CD →时，A 、B 、C 、D 有可能共线，即不能构成四边形，∴只有③正确，故选D.2．函数f (x )＝tan(π4－x )的单调递减区间为( )A ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZB ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈ZC ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZD ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z [答案] B[解析] f (x )＝tan(π4－x )＝－tan(x －π4)，所以f (x )的单调递减区间满足不等式 －π2＋k π<x －π4<π2＋k π，k ∈Z ，即 －π4＋k π<x <3π4＋k π，k ∈Z ，故选B. 3．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)＝( )A ．－7210B.7210 C ．－210D.210[答案] A[解析] 本题考查了同角的三角函数关系和两角和的正弦公式，在解题时要注意正确计算各个三角函数的值，题目定位是中档题．由题知，cos α＝－45，α是第三象限的角，所以sin α＝－35，由两角和的正弦公式可得sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝(－35)×22＋(－45)×22＝－7210，故选A.4．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6 D ．9[答案] C[解析] 由题意知，π3＝2πω·k ，∴ω＝6k ，令k ＝1，∴ω＝6.5．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝( )A ．3B ．2 C.32 D.23[答案] C[解析] 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2πω，∴2πω＝43π，∴ω＝23.故选C(亦利用y ＝sin x 的单调区间来求解)6．(2014·潍坊二模)函数y ＝cos(2x ＋π6)－2的图象F 按向量a 平移到F ′，F ′的函数解析式为y ＝f (x )，当y ＝f (x )为奇函数时，向量a 可以等于( )A ．(－π6，－2)B ．(－π6，2)C ．(π6，－2)D ．(π6，2)[答案] B[解析] 函数y ＝cos(2x ＋π6)－2按向量a ＝(m ，n )平移后得到y ′＝cos(2x －2m ＋π6)＋n－2.若平移后的函数为奇函数，则n ＝2，π6－2m ＝k π＋π2(k ∈Z )，故m ＝－π6时适合．7．在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos C cos B ＝2a －cb ，则B 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] B[解析] ∵cos C cos B ＝2a －c b ＝2sin A －sin Csin B ，∴sin B cos C ＝2sin A cos B －sin C cos B ， 移项得sin(B ＋C )＝2sin A ·cos B ，∴sin A ＝2sin A ·cos B ，∵sin A ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝60°.故选B.8．设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1[答案] A[解析] 如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c . ∵|a |＝|b |＝1，∴OA ＝OB ＝1. 又∵a ·b ＝－12，∴|a |·|b |·cos ∠AOB ＝－12，∴cos ∠AOB ＝－12.∴∠AOB ＝120°.∴O 、A 、C 、B 四点共圆．∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时∠OAC ＝∠OBC ＝90°，∴Rt △AOC ≌Rt △BOC ，∴∠ACO ＝∠BCO ＝30°，∴|OA |＝12|OC |，∴|OC |＝2|OA |＝2.9．在△ABC 中，若2cos B ·sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形[答案] C[解析] 法一：∵C ＝π－(A ＋B )，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos B sin A . ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0. ∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0，即A ＝B .方法二：由正弦定理sin A ＝a 2R ，sin C ＝c2R ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入条件式得2·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2R ＝c2R ，∴a 2＝b 2.故a ＝b .10．设F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，当△F 1PF 2的面积为1时，PF 1→·PF 2→的值为( )A ．0B ．1 C.12 D ．2[答案] A[解析] 设P (x ，y )，F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3. ∵△F 1PF 2的面积S ＝12|F 1F 2→||y |＝12·23·|y |＝3|y |＝1，∴y 2＝13.由于点P 在椭圆上，∴x 24＋y 2＝1.∴x 2＝83. ∴PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－3＝83＋13－3＝0.故选A.11．(文)设函数f (x )＝sin(2x ＋π4)＋cos(2x ＋π4)，则( )A ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称C ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称D ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称[答案] D[解析] 此类题目应先化简函数解析式为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋m 形式再求解． f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2cos2x .则函数在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图象关于x ＝π2对称． (理)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在(0，π2)单调递减B ．f (x )在(π4，3π4)单调递减C ．f (x )在(0，π2)单调递增D ．f (x )在(π4，3π4)单调递增[答案] A[解析] 依题意：f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ) ＝2sin(ωx ＋φ＋π4)，又T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ＋π4)又f (x )为偶函数，∴φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π4.又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos2x .又y ＝cos x 在x ∈[0，π)单调递减， 则由0<2x <π得0<x <π2.即f (x )＝2cos2x 在(0，π2)单调递减，故选A.12．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 [答案] D[解析] 依题意：C (c,0)，D (d,0)调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则有： AC →＝λAB →，AD →＝μAB →，即(c,0)＝λ(1,0)＝(λ，0)， (d,0)＝μ(1,0)＝(μ，0)，∴c ＝λ，d ＝μ， 又1λ＋1μ＝2，∴1c ＋1d＝2. 对于A ，若C 为AB 中点，则c ＝12，又1c ＋1d ＝2，∴d 不存在，A 错误．同理B 错误．若C 正确，则0<c ≤1,0<d ≤1，∴0<λ≤1,0<μ≤1. ∴1λ≥1，1μ≥1，又λ，μ不能同时取1， ∴1λ＋1μ>2.∴C 错误．故选D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．) 13．(2014·南京二模)函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )(x ∈R )的最小正周期是________． [答案] π[解析] 因为f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )＝12sin2x ＋1－cos2x 2＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12， 所以最小正周期为T ＝π.14．在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.[答案]255；210 [解析] 依题意：0<A <π，tan A ＝2， ∴sin A ＝25＝255.由正弦定理得：a ＝b sin B ·sin A ＝5×2×25＝210.15．(文)在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，若AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________. [答案]152[解析] AB →·AD →＝AB →(AB →＋BD →)＝AB →2＋AB →·BD →＝32＋3×1×cos120°＝9－32＝152.(理)若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________． [答案] [π6，5π6][解析] 平行四边形面积S ＝|α→||β→|sin θ＝12，∵|α|≤1，|β|≤1，∴sin θ≥12，又θ∈[0，π]，∴θ∈[π6，5π6]16．(2014·吉林高三质检)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像为C ，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号．．)．①图像C 关于直线x ＝1112π对称；②图像C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝3sin2x 的图像向右平移π3个单位长度可以得到图像C .[答案] ①②③[解析] ①∵f ⎝⎛⎭⎫1112π＝3sin ⎝⎛⎭⎫116π－π3 ＝3sin 32π＝－3，∴x ＝1112π为对称轴．②∵f ⎝⎛⎭⎫2π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫43π－π3＝3sinπ＝0， ∴⎝⎛⎭⎫2π3，0为f (x )的图像的对称中心． ③由－π12<x <5π12⇒－π2<2x －π3<π2，由于函数y ＝3sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内单调递增， 故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内单调递增． ④∵f (x )＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π6， 由y ＝3sin2x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数y ＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，故答案为①②③.三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2(π2－x )满足f (－π3)＝f (0)，求函数f (x )在[π4，11π24]上的最大值和最小值．[解析] f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a2sin2x －cos2x ， 由f (－π3)＝f (0)得－32·a 2＋12＝－1，解得a ＝2 3.∴f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)，当x ∈[π4，π3]时，2x －π6∈[π3，π2]，f (x )为增函数．当x ∈[π3，11π24]时，2x －π6∈[π2，3π4]，f (x )为减函数．∴f (x )在[π4，11π24]上的最大值为f (π3)＝2，又f (π4)＝3，f (11π24)＝2，∴f (x )的最小值为f (11π24)＝ 2.18．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．[解析] 如图所示∵cos(B ＋C )＝－cos A ， 1＋2cos(B ＋C )＝0∴1－2cos A ＝0，即cos A ＝12，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A∵a ＝3，b ＝2，∴3＝2＋c 2－2×2×c ×12，即c 2－2c －1＝0， ∵c >0，∴c ＝2＋62，设BC 边长的高为h ，S △ABC ＝12bc sin A ＝12·a ·h ，即2×2＋62·32＝3·h∴h ＝2＋234＝1＋32，即BC 边上的高为1＋32.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin(x ＋π4)sin(x －π4)．(1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈[π12，π2]，求f (x )的取值范围．[解析] (1)f (x )＝sin x ＋cos x sin x ·sin 2x －2(22sin x ＋22cos x )(22sin x －22cos x )＝sin 2x ＋cos x sin x －sin 2x ＋cos 2x ＝sin x cos x ＋cos 2x f (α)＝cos 2α＋sin αcos α1＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝35.(2)由(1)f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos2x 2＋sin2x 2＝22sin(2x ＋π4)＋12， π12≤x ≤π2⇒5π12≤2x ＋π4≤5π4 ⇒－22≤sin(2x ＋π4)≤1⇒0≤f (x )≤2＋12， ∴f (x )∈[0，2＋12]． 20．(本小满分12分)(2014·重庆一诊)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值； (2)若∠ABC 为锐角，求实数m 的取值范围．[解析] (1)∵向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )， ∴AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，由三点共线知3(1－m )＝2－m ，解得m ＝12.(2)由题设知BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m )， ∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0， 解得m >－34.又由(1)可知，当m ＝12时，A ，B ，C 三点共线，故m ∈(－34，12)∪(12，＋∞)． 21．(本小满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值．[解析] (1)由题意可知，12ab sin C ＝34·2ab cos C ， ∴tan C ＝3，又∵0< C <π.∴C ＝π3. (2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(π－C －A )＝sin A ＋sin(2π3－A ) ＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin(A ＋π6)≤ 3. 当且仅当A ＋π6＝π2，即A ＝π3， 即当△ABC 为正三角形时取等号，∴sin A ＋sin B 的最大值是 3.22．(本小满分14分)(2014·浙江五校二模)已知向量m ＝1，sin ωx ＋π3，n ＝⎝⎛⎭⎫2，2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(其中ω为正常数)． (1)若ω＝1，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，求m ∥n 时tan x 的值；(2)设f (x )＝m ·n －2，若函数f (x )的图像的相邻两个对称中心的距离为π2，求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值． [解析] (1)m ∥n 时，sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， sin x cos π6－cos x sin π6＝sin x cos π3＋cos x sin π3，则32sin x －12cos x ＝12sin x ＋32cos x . ∴3－12sin x ＝3＋12cos x ，所以tan x ＝3＋13－1＝2＋ 3. (2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－π2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. (或f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 ＝2⎝⎛⎭⎫32sin ωx －12cos ωx ⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝2⎝⎛⎭⎫34sin 2ωx －34cos 2ωx ＋12sin ωx cos ωx ＝－32sin2ωx ＋12sin2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3.) ∵函数f (x )的图像的相邻两个对称中心的距离为π2， ∴f (x )的最小正周期为π，又ω为正常数，∴2π2ω＝π，解得ω＝1.故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3. 故当x ＝－π3时，f (x )取最小值－32.。

三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与 θ终边同样 (α的终边在 θ终边所在的射线上 )? α＝ θ＋ 2k π(k ∈ Z )，注意： 相等的角的终边必定同样，终边同样的角不必定相等．随意角的三角函数的定义：设α是随意一个角， P(x ， y)是 α的终边上的随意一点 (异于原点 ) ，它与原点的距离是 r ＝ x 2＋y 2>0，那么 sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝ y(x ≠ 0)，三角函数值只与角r r x 的大小相关，而与终边上点P 的地点没关．[问题 1] 已知角 α的终边经过点 P(3，－ 4)，则 sin α＋ cos α的值为 ________．答案 －152．同角三角函数的基本关系式及引诱公式 (1) 平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝ 1.sin α (2) 商数关系： tan α＝.cos α(3) 引诱公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限－ απ－ απ＋ α2π－ απ－ α2sin －sin α sin α －sin α － sin α cos α cos cos α － cos α－ cos αcos αsin α9π 7π [问题 2] cos ＋ tan － ＋ sin 21 π的值为 ___________________________ ．46答案22－333．三角函数的图象与性质 (1) 五点法作图；π(2) 对称轴： y ＝sin x ， x ＝ k π＋ 2， k ∈Z ；y ＝ cos x ， x ＝ k π，k ∈ Z ；π k π 对称中心： y ＝ sin x ，( k π，0) ，k ∈ Z ；y ＝ cos x ， k π＋ ， 0 ，k ∈ Z ； y ＝tan x ，，0 ，k ∈ Z .22(3) 单一区间：y ＝ sin x 的增区间： π π－ ＋2k π， ＋ 2k π ( k ∈Z )，2 2 π 3π＋ 2k π，＋ 2k π(k ∈ Z )；减区间： 22y ＝ cos x 的增区间： [－ π＋ 2k π，2k π] (k ∈ Z )， 减区间： [2k π， π＋ 2k π] k(∈ Z )；π πy ＝ tan x 的增区间： － ＋ k π， ＋ k π (k ∈ Z )．22(4) 周期性与奇偶性：y ＝ sin x 的最小正周期为 2π，为奇函数； y ＝ cos x 的最小正周期为 2π，为偶函数； y ＝ tan x 的 最小正周期为 π，为奇函数．易错警告： 求 y ＝ Asin( ωx＋ φ)的单一区间时，简单出现以下错误：(1) 不注意 ω的符号，把单一性弄反，或把区间左右的值弄反；(2) 忘记写＋ 2k π，或＋ k π等，忘记写 k ∈ Z ；π (3) 书写单一区间时，错把弧度和角度混在一同．如[0,90 ]°应写为0，2 .[问题 3]函数 y ＝ sin － 2x ＋ π的递减区间是 ________．3π 5 答案k π－ 12， k π＋ 12π(k ∈ Z )4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式令α＝βsin(α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β――→sin 2α＝2sin αcos α.令 α＝βcos(α±β)＝ cos αcos β?sin αsin β――→ cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α＝ 2cos 2α－ 1＝ 1－2sin 2α.tan(α±β)＝ tan α±tan β1?tan .αtan β21＋ cos 2α21－ cos 2α2tan αcos α＝2， sin α＝， tan 2α＝2 .21－ tan α在三角的恒等变形中，注意常有的拆角、拼角技巧，如：α＝ (α＋ β)－β， 2α＝ (α＋ β)＋ (α－β)，1α＝ 2[( α＋ β)＋ (α－ β)] ．π π π πα＋ ＝ (α＋ β)－ β－ ， α＝ α＋ － .44443π3 π 12 π[问题 4] 已知 α，β∈ 4 ，π， sin( α＋ β)＝－ 5， sin β－ 4 ＝13，则 cos α＋4 ＝ ________.答案－ 56655．解三角形(1) 正弦定理： a ＝ b ＝ c＝ 2R( R 为三角形外接圆的半径 )．注意： ①正弦定理的一些变 sin A sinB sin C式： (ⅰ )a ∶ b ∶ c ＝ sin A ∶ sin B ∶sin C ；(ⅱ )sin A ＝ a ，sin B ＝ b ，sin C ＝ c；(ⅲ )a ＝ 2Rsin A ，2R 2R 2Rb ＝ 2Rsin B ，c ＝ 2Rsin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要联合详细状况进行弃取．在△ABC 中 A>B? sin A>sin B.222(2) 余弦定理： a 2＝ b 2＋c 2－2bccos A ，cos A ＝ b ＋ c － a 等，常采用余弦定理判定三角形的形状．2bc[问题 5]在△ ABC 中， a ＝ 3， b ＝ 2， A ＝ 60°，则 B ＝ ________.答案45°6．向量的平行与垂直设 a ＝ (x 1， y 1)， b ＝ (x 2， y 2)，且 b ≠0，则 a ∥ b ? b ＝ λa ? x 1y 2－x 2y 1＝ 0.a ⊥b (a ≠ 0)? a ·b ＝ 0? x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0.0 当作与随意愿量平行，特别在书写时要注意，不然有质的不一样．[问题 6]以下四个命题：①若 |a |＝0，则 a ＝ 0；②若 |a |＝ |b |，则 a ＝ b 或 a ＝－ b ；③若 a ∥b ，则 |a |＝ |b |；④若 a ＝ 0，则－ a ＝ 0.此中正确命题是 ________．答案 ④7．向量的数目积 |a |2＝ a 2＝ a ·a ，a ·b ＝ |a||b |cos θ＝ x 1x 2＋ y 1 y 2，cos θ＝ a ·b ＝x 1x 2 ＋y 1 y 2 ，|a||b |x 12＋ y 12 x 22＋ y 22a ·b ＝ x 1x 2＋ y1y 2a 在b 上的投影＝ |a |cos 〈 a ， b 〉＝ |b|x 22＋ y 22 .注意 ：〈a ， b 〉为锐角 ? a ·b >0 且 a 、 b 不一样向；〈 a ， b 〉为直角 ? a ·b ＝ 0 且 a 、 b ≠0；〈 a ， b 〉为钝角 ? a ·b <0 且 a 、 b 不反向．易错警告： 投影不是 “影 ”，投影是一个实数，能够是正数、负数或零．[问题 7]已知 |a |＝ 3， |b |＝ 5，且 a ·b ＝ 12，则向量 a 在向量 b 上的投影为 ________．12答案58．当 a ·b ＝ 0 时，不必定获得 a ⊥ b ，当 a ⊥ b 时， a ·b ＝ 0；a ·b ＝ c ·b ，不可以获得 a ＝c ，消去律不建立； ( a ·b )c 与 a ( b ·c )不必定相等， (a ·b )c 与 c 平行，而 a ( b ·c )与 a 平行．[问题 8]以下各命题：①若 a ·b ＝ 0，则 a 、b 中起码有一个为＝ c ；③对随意愿量 a 、 b 、 c ，有 (a ·b ) c ≠a (b ·c )；④对任一直量0；②若 a ≠0， a ·b ＝a ·c ，则22a ，有 a ＝ |a | .此中正确命题是b________．答案④9．几个向量常用结论：→ → →① PA ＋ PB ＋ PC ＝ 0? P 为 △ ABC 的重心；→→ → → →→② PA ·PB ＝PB ·PC ＝ PC ·PA? P 为 △ABC 的垂心；→→ABAC③向量 λ( → ＋ → ) ( λ≠ 0)所在直线过 △ ABC 的心里；|AB| |AC|→ → →④ |PA|＝ |PB|＝ |PC|? P 为 △ ABC 的外心．易错点 1 图象变换方向或变换量掌握禁止致误例 1 要获得 y ＝ sin(－ 3x)的图象， 需将 y ＝ 22(cos 3x －sin 3x)的图象向 ______平移 ______ 个单位 (写出此中的一种特例即可 )．错解 右π π或右1242π 找准失分点 y ＝ 2 (cos 3x － sin 3x)＝ sin 4－ 3x＝ sin － 3 x － π .12π题目要求是由 y ＝ sin － 3x ＋ 4 → y ＝ sin(－ 3x)．ππ右移 平移方向和平移量都错了；右移平移方向错了．412正解y ＝2π－ 3x2 (cos 3x －sin 3x)＝sin 4π＝ sin － 3 x － 12 ，ππ 2要由 y ＝ sin － 3 x － 12 获得 y ＝ sin( －3x)只要对 x 加上 12即可，因此是对 y＝2 (cos 3x － sin 3x)π 向左平移 12个单位．答案左π12易错点 2忽略隐含条件的发掘致误例 2ππ已知 cos α＝ 1， sin(α＋ β)＝ 5 3， 0< α< ， 0<β<，求 cos β.71422错解由ππ0<α<， 0<β< ，得 0<α＋β<π，2 211则 cos(α＋β)＝ ± .141 π4 3由 cos α＝ 7，0< α<2，得 sin α＝ 7.71 1 故 cos β＝ cos[(α＋ β)－ α]＝ cos(α＋β)cos α＋sin( α＋ β)·sin α＝或 .98 2找准失分点由 0<α＋ β<π，且 sin( α＋ β)＝ 5 33，14<2 π 2π 1 1∴ 0<α＋ β< 或<α＋ β<π，又 cos α＝ < ，337 2π π 2π 11∴ <α< ，即 α＋ β∈，π， ∴ cos(α＋ β)＝－14.323正解π 1 <cosπ 1，∵ 0< α< 且 cos α＝＝273 2π π π∴ <α< ，又 0<β< ，322π< 3，∴ <α＋ β<π，又 sin( α＋ β)＝5 3314 22π∴ 3 <α＋ β<π. ∴ cos(α＋ β)＝－1－ sin 2α＋ β ＝－1114，24 3sin α＝ 1－ cos α＝ 7 .∴ cos β＝ cos[(α＋ β)－ α]1＝ cos(α＋ β)cos α＋ sin( α＋ β)sin α＝2.易错点 3 忽略向量共线致误例 3已知 a ＝(2,1) ， b ＝ (λ， 1)， λ∈ R ，a 与 b 的夹角为 θ.若 θ为锐角，则 λ的取值范围是__________．错解∵ cos θ＝a ·b＝2λ＋ 1.2|a| |b ·| 5· λ＋ 1因 θ为锐角，有 cos θ>0 ，2λ＋ 1∴2 >0? 2λ＋ 1>0，5· λ＋ 1得 λ>－1， λ的取值范围是 －1，＋∞ .22找准失分点 θ为锐角，故 0<cos θ<1，错解中没有清除 cos θ＝ 1 即共线且同向的状况．正解由 θ为锐角，有 0<cos θ<1.又 ∵ cos θ＝ a ·b ＝ 2λ＋ 1 ，|a| |b ·| 25· λ＋ 1∴ 0<2λ＋ 12≠1，5· λ＋ 12λ＋1>0 ，λ>－ 1，∴2＋ 1 ，解得22λ＋ 1≠5· λλ≠ 2.∴ λ的取值范围是 λ|λ>－ 12且 λ≠2.1答案λ|λ>－ 且λ≠21． (2014 ·纲领全国 )已知角 α的终边经过点 (－ 4,3)，则 cos α＝ ()4 3 A. 5B. 534C ．－ 5D ．－5答案 D分析 由于角 α的终边经过点x 4 (－4,3)，所以 x ＝－ 4， y ＝ 3， r ＝ 5，所以 cos α＝＝－ .r52． (2014 ·纲领全国 )设 a ＝sin 33 ，°b ＝ cos 55 ，°c ＝ tan 35 ，°则 ( )A ．a>b>cB ． b>c>aC ． c>b>aD ． c>a>b答案 C分析∵ a ＝ sin 33 ，°b ＝ cos 55 °＝ sin 35 ，°c ＝ tan 35 °＝sin 35 °cos 35 ，°又 0<cos 35 °<1， ∴ c>b>a.4π3．已知 sin θ＋ cos θ＝ 3 (0< θ< 4)，则 sin θ－ cos θ的值为 ()2 2 1 1A. 3B ．－ 3C.3 D ．－ 3答案B分析∵ sin θ＋ cos θ＝ 4， ∴ (sin θ＋ cos θ)2＝ 1＋ sin 2θ＝ 16， ∴ sin 2θ＝ 7，3 9 9π 又 0<θ< ， ∴ sin θ<cos θ.4∴ sin θ－ cos θ＝－θ－ cos θ 22＝－ 1－ sin 2θ＝－ 3 .4．已知 a ， b 是单位向量， a ·b ＝ 0，若向量 c 知足 |c － a － b |＝ 1，则 |c |的取值范围是( )A ．[ 2－1， 2＋1]B ．[ 2－1， 2＋2]C．[1，2＋ 1]D．[1，2＋2]答案A分析∵ a·b＝0，且a， b 是单位向量，∴ |a|＝ |b|＝ 1.又∵ |c－a－b|2＝c2－ 2c·(a＋b)＋ 2a·b＋a2＋b2＝1，∴2c·(a＋b)＝c2＋ 1.∵ |a|＝ |b|＝ 1 且a·b＝ 0，∴|a＋b|＝2，∴c2＋1＝2 2|c|cosθ(θ是 c 与 a＋ b 的夹角)．又－ 1≤cos θ≤1，∴ 0<c2＋ 1≤2 2|c|，∴c2－2 2|c|＋1≤0，∴2－ 1≤|c|≤ 2＋ 1.5.函数 f(x)＝ Asin(2x＋φ)(A，φ∈R)的部分图象如下图，那么f(0) 等于 ()A ．－1B．－ 1 2C．－3D．－ 3 2答案B分析由题图可知，函数的最大值为2，所以 A＝ 2.又由于函数经过点ππ， 2 ，则 2sin2×＋φ＝ 2，33ππ即 2×＋φ＝＋ 2kπ， k∈Z，32π得φ＝－＋2kπ，k∈ Z.6f(0) ＝ 2sin φ＝ 2sin π－＋ 2kπ＝－ 1. 66．在△ ABC 中，角 A， B， C 所对边的长分别为a，b， c，若 a2＋ b2＝ 2c2，则 cos C 的最小值为 ()3211A. 2B. 2C.2D．－2答案Ca2＋ b2－ c2c2分析∵ cos C＝2ab＝2ab，又∵ a2＋ b2≥2ab，∴2ab≤2c2.11∴ cos C≥ .∴ cos C 的最小值为 .22→ →π7． (2014 ·山东 )在△ ABC 中，已知 AB·AC＝ tan A，当 A＝6时，△ ABC 的面积为 ________．1 答案6π分析已知 A ＝ 6，→ → π π 由题意得 |AB||AC|cos＝ tan，66→ →2|AB||AC|＝ 3，所以 △ABC 的面积1 → → π 12 1 1S ＝ |AB||AC |sin＝××＝.26 2 3 2 68． (2014 ·江苏 )已知函数 y ＝ cos x 与 y ＝ sin(2x ＋ φ)(0 ≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为点，则 φ的值是 ________．答案π6分析由题意，得π π sin 2×＋ φ ＝cos，33由于π0≤φ<π，所以 φ＝ .6π π9．已知函数 f(x)＝Asin( ω＋ φ)，x ∈ R (此中 A>0，ω>0，－ 2<φ<2)， 其部分图象如下图．若横坐标分别为－1,1,5 的三点 M ，N ， P 都在函数 f(x)的图象上，记∠ MNP ＝ θ，则 cos 2θ的值是 ________ ．π3的交答案 －725分析由图可知， A ＝ 1， f(x)的最小正周期 T ＝ 8，2ππ所以 T ＝ ω ＝ 8，即 ω＝ .4πππ又 f(1) ＝sin( ＋ φ)＝ 1，且－ <φ< ，4 2 2 π π 3π所以－ <φ＋ < ，4 4 4 π π π即 φ＋ ＝ ，所以 φ＝ .424π所以 f(x)＝sin(x ＋ 1)．4由于 f(－ 1)＝ 0， f(1) ＝ 1， f(5)＝－ 1，所以 M(－ 1,0)，N(1,1)， P(5，－ 1)．→ → → →所以 NM ＝ (－ 2，－ 1)，NP ＝ (4，－ 2)， NM ·NP ＝－ 6，→ →5，|NM |＝ 5， |NP|＝ 2→ →则 cos ∠ MNP ＝NM·NP＝－ 3， →→ 5|NM| ·|NP|3即 cos θ＝－ 5.于是 cos 2θ＝ 2cos2θ－ 1＝－ 257.π23， x ∈ R . 10． (2014 天·津 )已知函数 f(x)＝ cos x ·sin(x ＋ 3)－ 3cos x ＋ 4 (1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求 f(x)在闭区间 [－ π π， 4 ]上的最大值和最小值．41sin x ＋3 23 解 (1)由已知，有 f(x)＝cos x ·(2cos x)－3cos x ＋421 3 23＝ sin x ·cos x －2cos x ＋421 3 (1＋ cos 2x)＋ 3＝ sin 2x －4441 3 cos 2x＝ sin 2x －441π＝ sin(2x － )．23所以 f(x)的最小正周期T ＝ 2π＝ π.2(2) 由于 f(x)在区间 [－ π π[－ π π，－ ] 上是减函数，在区间12 ， ] 上是增函数， 4 124 π 1 π 1 ， f( π 1 f(－ ) ＝－ ， f(－ 12)＝－ 2 )＝ ，4 4 4 4所以，函数 f(x)在闭区间 π π1 ，最小值为－ 1 [－ ， ] 上的最大值为 4.4 42。

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 9 课时 三角函数的综合应用π1. 若函数 f(x) ＝cos ω xcos 2 －ωx (ω>0)的最小正周期为 π ，则 ω＝ ________．答案： 1分析： 因为 f(x) ＝ cos ωxcos π ＝12π ＝ 1. ＝2 － ωx 2sin2ωx ，因此 T ＝ 2ωπ2. 在△ ABC 中，若∠ B ＝ 4 ， b ＝2a ，则∠ C ＝ ________.7π答案：12分析： 依据正弦定理可得a ＝b ，即 a＝ 2a，解得 sinA ＝ 1sinA sinB sinAπ 2.因为 b ＝ 2a>a ，所sin 4π7π以 A<B ，因此 A ＝ 6 ，因此 C ＝π－A － B ＝ 12 .3. 已知 tanx － 1 ＝ 3，则 tan2x ＝________． tanx 2答案：－43分析： 由 tanx －1＝ 3，可得 tanx ＝－ 2，因此 tan2x ＝2tanx ＝－ 4tanx 21－ tan 2x31－ tan 2x3.4. 已知向量 a ＝ sin α ＋π， 1 ， b ＝ (4， 4cos α － 3)，若 a ⊥b ，则 sin α＋ 4π ＝63 ________．1答案：－4π＋ 4cos α－ 3＝ 2 3sin α＋6cos α－ 3＝ 4 3sin α＋π分析： a ·b ＝ 4sin α＋－ 3＝0，63π14ππ1因此 sinα＋ 3＝4.因此 sin α＋ 3 ＝－ sinα＋ 3＝－4.π5. 设函数 f(x) ＝ cos(ωx＋ φ)－ 3sin( ωx＋ φ) ω >1， |φ |< 2 ，且其图象相邻的两条对称轴为 x 1＝ 0， x 2 ＝π，则 φ＝ ________．2π答案：－3分析：由已知条件， 得 f(x) ＝ 2cos(ωx＋ φ＋ π T π 2π3)，由题意得 2＝ 2 ，∴ T ＝π.∴ T ＝ ω ，∴ ω ＝2.∵ f(0) ＝ 2cos φ＋ π f(0) ＝ 2 或－ 2.， x ＝ 0 为 f(x) 的对称轴，∴3π π∵ |φ|<2 ，∴ φ＝－3 .π－ x ，直线 x ＝ m 与 f(x) ， g(x) 的图象分别交于6. 已知函数 f(x) ＝ 2sinx ， g(x)＝ 2sin 2M 、N 两点，则 |MN| 的最大值为 ________．答案：2 2分析： 结构函数 F(x) ＝ 2sinx － 2cosx ＝ 2 2sinπ，故最大值为 2 2.x － 4ππ πππ7. 已知 f(x) ＝ sin ωx＋ 3 ( ω >0)， f 6 ＝ f 3 ，且 f(x) 在区间6 ， 3 有最小值，无最大值，则 ω＝ ________．答案：143π π＋ ππ π πx ＝ 62分析： 由题意知直线 3＝ 4为函数的一条对称轴，且ω× 4 ＋ 3 ＝ 2k π－2 (k ∈ Z )，10 ∴ ω＝8k － 3 (k ∈ Z )． ①π π 2π又 3－ 6 ≤ ω(ω >0)，∴ 0<ω≤ 12. ②14由 ①② 得 k ＝ 1，∴ ω＝ 3 .π对 x ∈ R 恒建立，且8. 已知函数 f(x) ＝ sin(2x ＋ φ)，此中 φ 为实数． f(x) ≤ f 6πf 2 >f( π )，则 f(x) 的单一递加区间是 ________．答案： π 2π(k ∈ Z )k π＋6 ， k π＋ 3x ∈R ，有 f(x) ≤ f ππ＝ sin＝ ±1，分析： 由 π知，当 x ＝ 时 f(x) 取最值，∴ fπ66 63 ＋ φ∴ π π π 5ππ 3 ＋ φ＝ ± ＋ 2k π(k ∈ Z )，∴ φ＝ ＋ 2k π或 φ＝－ 6 ＋ 2k π(k ∈ Z ) ．∵ f >f( π)，∴ sin( π2 6 25π5π ＋φ)>sin(2 π＋φ)，∴ － sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴ φ取－ 6 ＋ 2k π(k ∈ Z )．不如取 φ＝－ 6 ，则5π π 5π πf(x) ＝ sin 2x － 6 .令－ 2 ＋ 2k π≤ 2x － ≤2 ＋ 2k π(k ∈ Z )，∴ 6 (k ∈ Z )，∴ π 2π 6 ＋ k π≤x ≤ 3＋ k π(k ∈ Z )．∴ f(x) 的单一递加区间为9. 在△ ABC 中，内角 A 、 B 、 C 所对的边长分别是 a 、 b 、 c.π，且△ ABC 的面积为 3，求 a ， b 的值；(1) 若 c ＝ 2，C ＝ 3π 4π3＋ 2k π≤ 2x ≤ 3 ＋ 2k π π2π ＋ k π， ＋ k π (k ∈ Z )．6 3(2) 若 sinC ＋ sin(B －A) ＝ sin2A ，试判断△ ABC 的形状．π 解： (1) ∵ c ＝ 2， C ＝ 3 ，∴ 由余弦定理 c 2＝ a 2＋ b 2－2abcosC ，得 a 2＋ b 2－ ab ＝ 4. ∵ △ABC 的面积为 3，1 ∴ 2absinC ＝ 3， ab ＝ 4.。