2.1.2求曲线的方程(2)(学生学案)

§2.1.2 求曲线的方程学习目标1．学会根据条件，选择适当的坐标系求轨迹方程；2．掌握求轨迹方程的基本方法．学习过程一、课前准备（预习教材理P 35~ P 37，找出疑惑之处）复习1：已知曲线C 的方程为 22y x = ，曲线C 上有点(1,2)A ，A 的坐标是不是22y x = 的解？点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___ ．复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?复习3：求曲线方程的一般步骤是：(1) ；(2) ;(3) ；(4) ；(5) ．二、新课导学※ 学习探究引入：圆心C 的坐标为(6,0)，半径为4r =，求此圆的方程．问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．探究：若4AB =，如何建立坐标系求AB 的垂直平分线的方程．【基础练习】1．已知点A(2，5)、B(3，一1)，则线段AB 的方程是( )．(A)6x+y-17=0(B)6x+y-17=0(x ≥3)(C)6x+y-17=0(x ≤3)(D)6x+y-17=0(2≤x ≤3)2．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是( )． (A) 1=-y x (B) 1=-y x (C)1=-y x (D) 1=±y x ．3.设B A ,两点的坐标分别是()()7,3,1,1--,则线段AB 的垂直平分线的方程为： ．4.已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是()())0,2(,0,2,3,0C B A -,中线)(为原点O AO 所在直线的方程是 ．5.已知方程222=+by ax 的曲线经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛35,0A 和点(),1,1B 求b a ,的值．※ 典型例题例1（直接法）已知一条直线l 和它上方的一个点F ,点F 到l 的距离是2,一条曲线也在直线l 的上方,它上面的每一个点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条直线的方程．例2 （相关点法） 动点M 在曲线x 2+y 2=1上移动，M 和定点B(3，O)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程，并指出点P 的轨迹．例3（定义法）已知直角三角形ABC, C ∠为直角，,求满足条件的点C 的轨迹方程．例4（参数法）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点())3,1(,1,3-B A 为，若点C 满足βα+=，其中R ∈βα,且1=+βα，求点C 的轨迹方程．三、总结提升※ 学习小结1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．※ 知识拓展求曲线方程常用的方法有：直接法、代入法、参数法、定义法、相关点法、待定系数法、向量法等．学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．方程[]2(3412)log (2)30x y x y --+-=的曲线经过点(0,3)A -，(0,4)B ，(4,0)C ，57(,)34D -中的（ ）. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2．已知(1,0)A ，(1,0)B -，动点满足2MA MB -=,则点M 的轨迹方程是（ ）.A ．0(11)y x =-≤≤B ．0(1)y x =≥C ．0(1)y x =≤-D ．0(1)y x =≥3．曲线y =与曲线0y x +=的交点个数一定是（ ）．A ．0个B ．2个C ．4个D ．3个4．若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4O PO A ∙=,则点P 的轨迹方程是 ．5．由方程111x y -+-=确定的曲线所围成的图形的面积是 ． 课后作业1．以O 为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？2．已知点C 的坐标是(2,2)，过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ．设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程．。

2.1.2 求曲线的方程学习目标1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解[解析]几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念.知识点求曲线方程的方法与步骤(1)建立适当的坐标系，用________________表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝________；(3)用______表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为____________；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点________________________．简记为：建系、列式、代换、化简、说明，这五步构成一个有机的整体，每一步都有其特点和相应的作用．类型一轨迹方程求解问题例1设A，B两点的坐标分别是(－1，－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程．反思与感悟求曲线方程一般都要按照5个步骤进行，建系要适当，尽量使点的坐标、线的方程最简．关键步骤是第二步，写出动点的条件集合，即找出等量关系，确定了等量关系式将点的坐标代入就得方程．步骤5可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明．跟踪训练1已知△ABC的两顶点A，B的坐标分别为A(0,0)，B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．类型二求曲线方程的方法例2已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程．反思与感悟求曲线方程的一般方法如下：(1)直接法：就是直接依据题目中给定的条件进行确定方程．(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程．(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法．(4)参数法：将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法．(5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数．跟踪训练2设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a＝(mx，y＋1)，向量b＝(x，y－1)，a⊥b，动点M(x，y)的轨迹为E.求轨迹E的方程．类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M (1,2)的直线与曲线y ＝a x(a ≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a ，求a 的取值范围．反思与感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题．即两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则它们的交点坐标由方程组⎩⎪⎨⎪⎧F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0的解来确定． 跟踪训练3 直线l ：y ＝k (x －5)(k ≠0)与圆O ：x 2＋y 2＝16相交于A ，B 两点，O 为圆心，当k 变化时，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．1．方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的图形分别是()A．前后两者都是一条直线和一个圆B．前后两者都是两点C．前者是一条直线和一个圆，后者是两点D．前者是两点，后者是一条直线和一个圆2．到点(1,2)的距离等于3的动点Q的轨迹方程是()A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝3 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝9C．(x－1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y－2)2＝93．已知A(2,5)，B(3，－1)，则线段AB的方程是()A．6x＋y－17＝0 B．6x＋y－17＝0(x≥3)C．6x＋y－17＝0(x≤3) D．6x＋y－17＝0(2≤x≤3)4．线段AB的长度是2a(a>0)，它的两个端点A和B分别在x轴，y轴上滑动，则AB中点P 的轨迹方程是________________________．5．已知曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，则实数k的取值范围为________________．(1)求解曲线方程时：①第一步在具体问题中有两种情况：a.所研究的问题中已给定了坐标系，直接在给定的坐标系中求方程；b.原题中没有确定的坐标系，需先建立适当的坐标系，选取特殊点为原点．②第二步为求方程最重要的一步，要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住曲线上任意点满足的等量关系，列出几何关系式，但在具体解题的过程中经常不出现这一步(被省略)．③第三步将几何关系式转化为代数中的方程．④化简过程中，注意运算的合理性与准确性，避免增解与漏解，第五步从理论上讲很有必要，但在没有特殊情况的时候，常省略，有特殊情况时则不能省，可以说是对第四步的完善．(2)很多时候在求出曲线方程后，第五步直接省略了，没将特殊情况进行说明，该剔除的没剔除，该补充的没补充，因此出现错误．[答案]精析问题导学知识点(1)有序实数对(x，y)(2){M|p(M)}(3)坐标(4)最简形式(5)都在曲线上题型探究例1解如图所示，设点M(x，y)是线段AB的垂直平分线上的任意一点，也就是点M属于集合P＝{M||MA|＝|MB|}．由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：(x＋1)2＋(y＋1)2＝(x－3)2＋(y－7)2.上式两边平方，并整理得x＋2y－7＝0.①我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程．(1)由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解；(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程①的解，即x1＋2y1－7＝0，x1＝7－2y1.点M1到A，B的距离分别是|M1A|＝(x1＋1)2＋(y1＋1)2＝(8－2y1)2＋(y1＋1)2＝5(y21－6y1＋13)；|M1B|＝(x1－3)2＋(y1－7)2＝(4－2y1)2＋(y1－7)2＝5(y21－6y1＋13).所以|M1A|＝|M1B|，即点M1在线段AB的垂直平分线上．由(1)(2)可知，方程①是线段AB的垂直平分线的方程．跟踪训练1解设G(x，y)为△ABC的重心，顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －6，y ′＝3y . 因为顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上，所以3y ＝(3x －6)2＋3，整理，得y ＝3(x －2)2＋1.故所求轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1.例2 解 方法一 (直接法)如图，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°.设Q (x ，y )，由题意，得|OQ |2＋|QC |2＝|OC |2，即x 2＋y 2＋[x 2＋(y －3)2]＝9，所以x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝94(x ≠0)． 方法二 (定义法)如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上，故Q 点的轨迹方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝94(x ≠0)． 方法三 (代入法或称相关点法)设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )， 由题意，得⎩⎨⎧ x ＝x 12，y ＝y 12即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y . 又因为x 21＋(y 1－3)2＝9，所以4x 2＋4⎝⎛⎭⎫y －322＝9， 即x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝94(x ≠0)． 跟踪训练2 解 因为a ⊥b ，a ＝(mx ，y ＋1)，b ＝(x ，y －1)， 所以a ·b ＝mx 2＋y 2－1＝0，即mx 2＋y 2＝1为所求的轨迹E 的方程．例3 解 当过M 点的直线斜率为零或斜率不存在时， 不可能与曲线有两个公共点．设直线方程为y －2＝k (x －1)(k ≠0)，联立曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝k (x －1)，y ＝a x ，消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0.①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点． ∴Δ＝(2－k )2＋4ka >0.设方程①的两根分别为y 1，y 2，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2－k .又∵y 1＋y 2＝a ，∴k ＝2－a ，代入Δ>0中，得a 2＋4a (2－a )>0，解得0<a <83. 又∵k ≠0，∴2－a ≠0，即a ≠2.∴a 的取值范围是(0,2)∪(2，83)． 跟踪训练3 解 设M (x ，y )，易知直线恒过定点P (5,0)，高中数学选修2-1学案11 再由OM ⊥MP ，得|OP |2＝|OM |2＋|MP |2， ∴x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25，整理得(x －52)2＋y 2＝254. ∵点M 应在圆内，∴所求的轨迹为圆内的部分．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧(x －52)2＋y 2＝254，x 2＋y 2＝16得两曲线交点的横坐标为x ＝165， 故所求轨迹方程为(x －52)2＋y 2＝254(0≤x <165)． 当堂训练1．C 2.C 3.D4．x 2＋y 2＝a 2 5.(－∞，12]。

2.1.2求曲线的方程（2）（教学设计）教学目标：知识目标：1.根据条件，求较复杂的曲线方程.2.求曲线的交点.3.曲线的交点与方程组解的关系. 能力目标:1.进一步提高应用“五步”法求曲线方程的能力.2.会求曲线交点坐标,通过曲线方程讨论曲线性质. 情感目标：1.渗透数形结合思想.2.培养学生的辨证思维.教学重点1.求曲线方程的实质就是找曲线上任意一点坐标(x,y)的关系式f(x,y)=0.2.求曲线交点问题转化为方程组的解的问题.教学难点1. 寻找“几何关系”.2. 转化为“动点坐标”关系.教学方法启发诱导式教学法.启发诱导学生联想新旧知识点的联系，从而发现解决问题的途径.教学过程一、复习回顾：求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M 的坐标(,)x y ;2.写出适合条件P 的几何点集:{}()P M P M =; 3.用坐标表示条件()P M ,列出方程(,)0f x y =; 4.化简方程(,)0f x y =为最简形式;5.证明(查漏除杂).说明：回顾求简单曲线方程的一般步骤,阐明步骤(2)、(3)为关键步骤,说明(5)步不要求书面表达,但思维一定要到位,注意等价性即可. 二、师生互动，新课讲解： （一）、直接法：由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1：(1)求和定圆x 2+y 2=R 2的圆周的距离等于R 的动点P 的轨迹方程；(2)过点A(a ，o)作圆O ∶x 2+y 2=R 2(a ＞R ＞o)的割线，求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析：动点P 的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P 的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．解：（1）设动点P(x ，y)，则有|OP|=2R 或|OP|=0． 即x 2+y 2=4R 2或x 2+y 2=0．故所求动点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4R 2或x 2+y 2=0． （2）设弦的中点为M(x ，y)，连结OM ， 则OM ⊥AM ． ∵kOM ·kAM=-1，其轨迹是以OA 为直径的圆在圆O 内的一段弧(不含端点)．变式训练1：.如图，在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x轴对称且OP →·M N →＝4，求动点P 的轨迹方程。

求曲线的方程教案教案名称：求曲线的方程课时安排：2课时教学目标：1.理解曲线方程的概念，掌握求曲线方程的基本方法。

2.能够根据给定的条件或图形，求出曲线的方程。

3.培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1.曲线方程的概念和求法。

2.如何根据条件或图形确定曲线的方程。

教学难点：1.对曲线方程概念的理解。

2.求曲线方程的方法和技巧。

教学准备：1.教学课件或黑板。

2.练习题。

教学过程：第一课时一、导入（5分钟）1.引导学生回顾已学的直线方程、圆的方程等，为引入曲线方程的概念做铺垫。

2.提问：除了直线和圆，还有哪些常见的曲线？它们有什么特点？二、新课讲解（25分钟）1.讲解曲线方程的概念：曲线方程是描述曲线形状和位置关系的数学表达式。

2.介绍求曲线方程的基本方法：a.直接法：根据曲线的定义或性质，直接列出方程。

b.转换法：将曲线转换为已知类型的曲线，求出方程后再转换回去。

c.几何法：利用几何图形的性质和关系，推导出曲线的方程。

3.示例讲解：a.求抛物线y=ax^2+bx+c的方程。

b.求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的方程。

三、课堂练习（15分钟）1.让学生独立完成练习题，巩固求曲线方程的方法。

2.老师巡回指导，解答学生疑问。

四、总结与拓展（5分钟）1.总结求曲线方程的方法和步骤。

2.提问：在实际问题中，如何确定曲线的类型和方程？第二课时一、复习导入（5分钟）1.复习上节课的内容，让学生回顾求曲线方程的方法。

2.提问：在实际问题中，如何确定曲线的类型和方程？二、新课讲解（25分钟）1.讲解如何根据条件或图形确定曲线的方程：a.观察图形，找出曲线的特点和规律。

b.利用已知条件，列出方程。

c.利用曲线的性质，推导出方程。

2.示例讲解：a.已知抛物线过点(1,2)且焦点为(0,1)，求抛物线的方程。

b.已知椭圆的长轴为10，短轴为6，求椭圆的方程。

三、课堂练习（15分钟）1.让学生独立完成练习题，巩固根据条件或图形求曲线方程的方法。

求曲线的方程教案第一章：曲线与方程的基本概念1.1 曲线的定义引导学生了解曲线的概念，理解曲线是平面内一点运动的轨迹。

举例说明常见的曲线，如直线、圆、椭圆、双曲线等。

1.2 方程的定义解释方程的概念，方程是描述曲线几何性质的数学表达式。

强调方程中的参数和常数对曲线形状和位置的影响。

1.3 曲线与方程的关系解释曲线与方程的相互转化关系，即通过方程可以得到曲线的图像，反之亦然。

举例说明如何从给定的曲线得到对应的方程。

第二章：直线方程2.1 直线的斜率引入斜率的概念，斜率是直线倾斜程度的大小。

解释斜率的计算公式，即斜率k = (y2 y1) / (x2 x1)。

2.2 直线的点斜式方程引导学生理解点斜式方程的形式，y y1 = k(x x1)。

举例说明如何根据直线上两个点和斜率来写出点斜式方程。

2.3 直线的截距式方程解释截距式方程的形式，x/a + y/b = 1。

引导学生如何根据直线的截距a和b来写出截距式方程。

第三章：圆的方程3.1 圆的定义引导学生了解圆的概念，圆是平面上所有与给定点等距的点的集合。

解释圆的半径和圆心的概念。

3.2 圆的标准方程解释圆的标准方程，(x h)²+ (y k)²= r²。

强调圆心坐标(h, k)和半径r对圆的位置和大小的影响。

3.3 圆的参数方程引入圆的参数方程，x = h + rcos(θ)，y = k + rsin(θ)。

解释参数方程中参数θ的含义，θ表示从圆心出发到圆上一点的连线与x轴的夹角。

第四章：椭圆的方程4.1 椭圆的定义引导学生了解椭圆的概念，椭圆是平面上到两个固定点距离之和为常数的点的集合。

解释椭圆的长轴、短轴和焦距的概念。

4.2 椭圆的标准方程解释椭圆的标准方程，x²/a²+ y²/b²= 1。

强调半长轴a、半短轴b和焦距c对椭圆的形状和位置的影响。

4.3 椭圆的参数方程引入椭圆的参数方程，x = a cos(θ)，y = b sin(θ)。

_2.1 曲线与方程曲线与方程在平面直角坐标系中：问题1：直线x＝5上的点到y轴的距离都等于5，对吗？提示：对．问题2：到y轴的距离都等于5的点都在直线x＝5上，对吗？提示：不对，还可能在直线x＝－5上．问题3：到y轴的距离都等于5的点的轨迹是什么？提示：直线x＝±5.曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.求曲线的方程在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(－2,0)．问题1：平面上任一点P(x，y)到A的距离是多少？P A提示：||＝.错误!问题2：平面上到A，B两点距离相等的点(x，y)满足的方程是什么？提示：错误!.错误!＝问题3：到A，B两点距离相等的点的运动轨迹是什么？提示：轨迹是一条直线．1．求曲线的方程的步骤2．解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程．．(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质正确理解曲线与方程的概念(1)定义中两个条件是轨迹性质的体现．条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外(纯粹性)；而条件“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．(2)定义中的两个条件是判断一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据，缺一不可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立．曲线与方程的概念[例1](1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．[思路点拨]按照曲线的方程与方程的曲线的定义进行分析．[精解详析] (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.[一点通](1)这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．(2)判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形．变形过程中一定要注意与原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．另外，变形的方法还有配方法、因式分解法．1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是( )A．方程f(x，y)＝0的曲线是CB．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC．f(x，y)＝0是曲线C的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上解析：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A、C、D都不正确，B正确．答案：B2.方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形是( )A．直线2x－y＝0B．直线2x＋y＋3＝0C．直线2x－y＝0或直线2x＋y＋3＝0D．直线2x＋y＝0和直线2x－y＋3＝0解析：方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0.∴表示两条直线2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0. 答案：C曲线与方程关系的应用[例2] (1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M (m2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值．[思路点拨] 对于(1)，只需判断点P ，Q 的坐标是否满足方程即可；对于(2)，就是把点M 的坐标代入方程，从而得到关于m 的方程，进而求出m 的值．[精解详析] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10， ∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上． (2)∵点M (m 2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m2，y ＝－m 适合上述方程，即(m 2)2＋(－m －1)2＝10.解之得m ＝2或m ＝－185， ∴m 的值为2或－185.[一点通](1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．3．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2,1)( ) A ．在直线l 上，但不在曲线C 上 B ．在直线l 上，也在曲线C 上 C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上 D ．不在直线l 上，但在曲线C 上解析：将M 点的坐标代入直线l 、曲线C 的方程验证可知点M 在直线l 上，也在曲线C 上．答案：B4．如果曲线ax 2＋by 2＝4过A (0，－2)，B (12，3)，则a ＝________，b ＝________.解析：曲线过A (0，－2)，B (12，3)两点，∴A (0，－2)，B (12，3)的坐标就是方程的解．∴⎩⎪⎨⎪⎧4b ＝4，14a ＋3b ＝4，∴b ＝1，a ＝4. 答案：4 15．若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R)，求k 的取值范围． 解：∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2(a ＋12)2＋12.∴k ≤12，∴k 的取值范围是(－∞，12].求曲线的方程[例3] 已知圆C ：中点Q 的轨迹方程． [思路点拨] 关键是寻找Q 点满足的几何条件．可以考虑圆的几何性质，如CQ ⊥OP ，还可考虑Q 是OP 的中点．[精解详析] 法一：(直接法)如图，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°. 设Q (x ，y )，由题意，得 |OQ |2＋|QC |2＝|OC |2， 即x 2＋y 2＋[x 2＋(y －3)2]＝9， 所以x 2＋(y －32)2＝94(去掉原点)．法二：(定义法)如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上，故Q 点的轨迹方程为x 2＋(y －32)2＝94(去掉原点)．法三：(代入法)设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意，得⎩⎨⎧x ＝x12，y＝y12，即⎩⎨⎧x1＝2x ，y1＝2y.又因为x 21＋(y 1－3)2＝9， 所以4x 2＋4(y －32)2＝9，即x 2＋(y －32)2＝94(去掉原点)．[一点通] 求曲线的方程的常用方法及特点直接法动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x ，y 的等式就得到曲线的轨迹方程定义法动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量 代入法动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程待定系数法 根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数6．等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解：设动点C 的坐标为(x ，y )． ∵△ABC 为以A 为顶点的等腰三角形， ∴|AB |＝|AC |， ∴错误!＝错误!，即(x －4)2＋(y －2)2＝10(x ≠3,5)．所以点C 的轨迹方程为(x －4)2＋(y －2)2＝10，它表示以(4,2)为圆心，以10为半径且去掉(3,5)，(5，－1)的圆．7．已知△ABC ，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．解：设△ABC 的重心为G (x ，y )， 顶点C 的坐标为(x 1，y 1)．由重心坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋0＋x13，y ＝0－2＋y13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x1＝3x ＋2，y1＝3y ＋2.代入y 1＝3x 21－1，得 3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1.∴y ＝9x 2＋12x ＋3即为所求轨迹方程．1．求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线为坐标轴建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁．2．求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等．)的(”x ＝－2y 的坐标满足方程M 点“是”上x ＝42y 在曲线M 点“1． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件不一定M 上，但x 4＝2y 在曲线M 点∴可正可负，y 中x 4＝2y ，而0≤x 2＝－y ∵解析：上．x 4＝2y 上时，一定在x 2＝－y 在M 上．反之点x 2＝－y 在 答案：B2．如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是( )中方程B 错；A 为半径的圆，故1为圆心，(0,0)表示的是以1＝2y ＋2x 中方程A 解析：错；B ，故0＝y ＋x ，0＝y －x ，表示两条直线0＝)y ＋x )(y －x (可化为0＝2y －2x 中D 错；C ，此方程只表示第一象限的部分，故>0)x (1x＝y 可化得1＝y lg ＋x lg 中方程C 正确．D 表示两条射线，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，－x ，x<0，＝y 去绝对值得|x |＝y 的方程 答案：D轨迹方程是的P (3,0)连线的中点B ＝1上移动时，它和定点2y ＋2x 在曲线C 3．一动点 ( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(x ＋32)2＋y 2＝1解析：设动点C 的坐标为(x 0，y 0)， P 点坐标为(x ，y )， 则由中点坐标公式可得 x ＝x0＋32，y ＝y0＋02，即x 0＝2x －3，y 0＝2y .又动点C (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案：C4．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0 解析：由两点式，得直线AB 的方程是 y －04－0＝x ＋12＋1， 即4x －3y ＋4＝0，线段AB 的长度|AB |＝错误!＝5. 设C 的坐标为(x ，y )， 则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10， 即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0. 答案：B5．方程x 2＋y 2－3x －2y ＋k ＝0表示的曲线经过原点的充要条件是k ＝________. 解析：若曲线过原点，则(0,0)适合曲线的方程，即有k ＝0. 答案：06．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A ―→·PB ―→＝x 2，则点P 的轨迹方程是 ________． 解析： ＝(－x －2，－y )，＝(3－x ，－y )，则·＝(－x －2)(3－x )＋(－y )2＝x 2，化简得y 2＝x ＋6. 答案：y 2＝x ＋67．求方程(x ＋y －1)x －y －2＝0表示的曲线． 解：(x ＋y －1)x －y －2＝0写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0，或x －y －2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x ≥32，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0，表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)，∴原方程表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)或直线x －y －2＝0.8．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段A B 的中点M 的轨迹方程．解：法一：如图，设点M 的坐标为(x ，y )． ∵M 为线段AB 的中点， ∴A 点坐标是(2x,0)， B 点坐标是(0,2y )．∵l 1，l 2均过点P (2,4)，且l 1⊥l 2， ∴P A ⊥PB .当x ≠1时，k P A ·k PB ＝－1. 而k P A ＝4－02－2x ＝21－x ，k PB ＝4－2y 2－0＝2－y 1，∴21－x ·2－y1＝－1. 整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．当x ＝1时，A ，B 点的坐标分别为(2,0)，(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)， 它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二：设M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点坐标分别是(2x,0)，(0,2y )．连接PM ，如图．∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |. 而|PM |＝错误!， |AB |＝错误!， ∴2错误!＝错误!.化简，得x＋2y－5＝0，即为所求轨迹方程．法三：∵l1⊥l2，OA⊥OB，∴O，A，P，B四点共圆，且该圆的圆心为M.∴|MP|＝|MO|.∴点M的轨迹为线段OP的中垂线．∵k OP＝4－02－0＝2，OP的中点坐标为(1,2)，∴点M的轨迹方程是y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0.11 / 11。

一、教学目标1. 让学生掌握求曲线方程的基本方法。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生对函数与方程的理解，培养学生的逻辑思维能力。

二、教学内容1. 曲线的概念及其分类。

2. 求曲线方程的方法：(1) 直接法：根据曲线的几何性质，直接列出方程。

(2) 参数法：利用参数表示曲线上的点，列出参数方程，再消去参数得到普通方程。

(3) 转换法：通过坐标变换，将曲线转换为易于求解的方程。

3. 常见曲线的方程及其性质。

三、教学重点与难点1. 教学重点：求曲线方程的方法及其应用。

2. 教学难点：参数法求曲线方程，坐标变换法求曲线方程。

四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生思考曲线的方程求解过程。

2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解曲线方程的求解。

3. 开展小组讨论，培养学生的合作能力。

五、教学过程1. 引入：通过实例介绍曲线的概念，引导学生关注曲线的方程。

2. 讲解：讲解求曲线方程的直接法、参数法、转换法。

3. 练习：让学生运用所学方法求解实际问题，巩固知识。

4. 拓展：介绍常见曲线的方程及其性质，提高学生的应用能力。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，布置作业。

六、教学评价1. 评价学生对曲线方程求解方法的掌握程度。

2. 评价学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 评价学生对函数与方程的理解和逻辑思维能力。

七、教学案例1. 案例一：求圆的方程问题：给出圆的直径或圆心坐标，求圆的方程。

2. 案例二：求椭圆的方程问题：给出椭圆的长半轴、短半轴和焦距，求椭圆的方程。

八、教学策略1. 针对不同学生的学习情况，采用差异化教学策略，给予学生个性化的指导。

2. 利用多媒体教学资源，为学生提供丰富的学习材料，提高学生的学习兴趣。

3. 鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的表达能力和思维能力。

九、教学反思1. 反思教学内容：是否全面讲解求曲线方程的方法，是否涵盖常见曲线的方程及其性质。