第六章习题与复习题(二次型)----高等代数

习 题 六A 组1．填空题（1）已知向量[]TT(1,2,3),(4,,6),,7t =-=-=a b a b ，则t = ． 解72． （2）设04=x ，A 为正交矩阵，则0=Ax ． 解 4．（3）设P 为n 阶可逆矩阵，12130000,00n a a a -⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭A B =P A P，则B 的特征值为 ．解 33312,,,na a a ． （4）已知3阶方阵A 的特征值分别为1,1,2-，则矩阵322=-B A A 的特征值是 ，=B ．解 1,3,0;0--．（5）如果n 阶矩阵A 的元素全为1，那么A 的n 个特征值是 ． 解 ,0,0,,0n ．（6）矩阵022222222--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭的非零特征值是 ． 解 4．（7）设010100001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，1-=B P AP ，其中P 为三阶可逆矩阵, 则200422-=B A ． 解 300030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭．（8） 设()33ija ⨯=A 是实正交矩阵，且111=a ，T (1,0,0)=b ，则线性方程组Ax =b 的解是 ．解 T (1,0,0)．（9）二次型22121212(,)24f x x x x x x =+-的矩阵是 ．解 1222-⎛⎫ ⎪-⎝⎭．（10）二次型222123112213233(,,)2222f x x x x x x x x x x x x =-+-++的秩是 ． 解 2．（11）二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 ． 解 2．（12）二次型T f =x Ax 是正定的充分必要条件是实对称矩阵A 的特征值都是 ． 解 正数． 2．选择题（1）已知[]1,2,,1===a b a b ，则向量a 与b 的夹角为 ． （A ）0； （B ）4π； （C ）3π； （D ）2π． 解 （C ）．（2）n 阶方阵A 的两个不同的特征值所对应的特征向量 ． （A ）线性相关； （B ）线性无关； （C ）正交； （D ）内积为1． 解 （B ）．（3）设P 为三阶可逆矩阵，123894765⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，123,,λλλ是1-=B P AP 的三个特征值，则123λλλ++的值为 ．（A ）1； （B ）10； （C ）15； （D ）19． 解 （C ）．（4）设P 为可逆矩阵，λ=≠Ax x 0，11--=B P A P ，则矩阵B 的特征值和特征向量分别是 ．（A ）λ和x ； （B ）1λ-和x ； （C ）1λ-和1-P x ； （D ）λ和Px ．解 （C ）．（5）设A 是n 阶实对陈矩阵，P 是n 阶可逆矩阵．已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵()T1-P AP属于特征值λ的特征向量是 ．（A ）1-P α； （B ）TP α； （C ）P α； （D ）()T1-Pα．解 （B ）．（6）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα，则1α，12()+A αα线性无关的充分必要条件是 ．（A ）01≠λ； （B ）02≠λ； （C ）01=λ； （D ）02=λ． 解 （B ）．（7）设A ，B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则下列命题正确的是 ． （A ）λλ-=-E A E B ； （B ）A 与B 有相同的特征值与特征向量； （C ）A 与B 都相似于一个对角矩阵； （D ）对任意常数t ，t -E A 与t -E B 相似．解 （D ）．（8）n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角矩阵相似的 ． （A ）充分必要条件； （B ）充分非必要条件；（C ）必要非充分条件； （D ）既非充分也非必要条件． 解 （B ）．（9）设矩阵001010100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，已知矩阵A 相似于B ，则(2)R -A E 与()R -A E 之和等于 ．（A ）2； （B ）3； （C ）4； （D ）5． 解 （C ）．（10）设1111111111111111⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭A =，400000000000000⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭B =，则A 与B ． （A ）合同且相似； （B ）合同但不相似； （Ｃ）不合同但相似； （Ｄ）不合同且不相似． 解 （A ）．（11）二次型222123123121323(,,)()444f x x x a x x x x x x x x x =+++++经正交变换=x Py 可以化成标准形216f y =，则a 的值是 ．（A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）无法确定． 解 （B ）．3．利用Schimidt 正交化方法将下列向量组规范正交化． （1） TTT123(1,2,1),(1,3,1),(4,1,0)=-=-=-a a a ； 解 先正交化T 11(1,2,1)==-b a ，[][]12T 22111,5(1,1,1),3=-=-b a b a b b b ，[][][][]1323T 33121122,,(2,0,2),,=--=b a b a b a b b b b b b ， 再单位化得T T 1212122,1),1,1,1),==-==-b b e e bb T 3330,1)==b e b ． （2） 矩阵111011101110-⎛⎫⎪-⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的列向量组． 解 先正交化，111011⎛⎫⎪ ⎪==⎪- ⎪ ⎪⎝⎭b a ， [][]1222111111103,21012,33111⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b a b a b b b ，[][][][]13233312112211111033,,2211123,,31550114--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭b a b a b a b b b b b b ．再单位化得1212121103,1211⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎪⎪====⎪⎪-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭b b e e b b ，3331334-⎛⎫ ⎪⎪==⎪⎪⎪⎝⎭b e b ． 4．设向量T 1(1,1,1)=a ，求非零向量2a ，3a ，使得1a ，2a ，3a 是正交向量组．解 根据题意，2a ，3a 应满足方程T10=x a ，即0x y z ++=．解得基础解系为T1(1,1,0)=-ξ和T 2(1,0,1)=-ξ．正交化得到T21(1,1,0),==-a ξ [][]22T 32122,1(1,1,2),2=-=--ξa a ξξa a ． 5．求下列矩阵的特征值和特征向量．（1）1124-⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）110430102-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （3）123213336⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．解 （1）特征多项式为11(3)(2)24λλλλ--=---，得到特征值为122,3λλ==．对于12λ=，解齐次线性方程组11110220x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系11⎛⎫⎪-⎝⎭，对应的特征向量可取1111,01k k ⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭p ．对于23λ=，解齐次线性方程组11210210x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系12-⎛⎫⎪⎝⎭，对应的特征向量可取2221,02k k -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭p ．（2）特征多项式为2110430(2)(1)12λλλλλλ---=--=---A E ， 得到特征值为值1231,2λλλ===．对于121λλ==，解齐次线性方程组123210042001010x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 得基础解系121⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，对应的特征向量可取11112,01k k ⎛⎫⎪=≠ ⎪ ⎪-⎝⎭p ．对于32λ=，解齐次线性方程组123310*********x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，对应的特征向量可取2220001k k ⎛⎫⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭p ．（3）特征多项式为(1)(9)λλλλ-=+-A E ，得到特征值为1230,1,9λλλ==-=．对于10λ=，解齐次线性方程组(0)-=A E x 0，得基础解系1111-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，特征向量为1111,01k k -⎛⎫ ⎪-≠ ⎪ ⎪⎝⎭．对于21λ=-，解齐次线性方程组()+=A E x 0，得基础解系2110-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，特征向量为2211,00k k -⎛⎫ ⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭． 对于39λ=，解齐次线性方程组(9)-=A E x 0，得基础解系3112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，特征向量为3311,02k k ⎛⎫ ⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭．6．设3111-⎛⎫=⎪⎝⎭A ，234()16842ϕ=++++A E A A A A ，求()ϕA 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为231(2)11λλλλ---==--A E ，得到A 的特征值为122λλ==．对于122λλ==，解齐次线性方程组110110x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得特征向量11⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ．因为2是A 的特征值，所以(2)80ϕ=是()ϕA 的特征值，11k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ为()ϕA 的全部特征向量()0k ≠．7．证明（1）若n 阶方阵A 满足2=A A ，则A 的特征值为0或1；（2）若n 阶方阵A 满足k=A E ，则A 的特征值λ满足1kλ=．证明 （1）设≠x 0满足λ=Ax x ，λ是A 的特征值，则22λ=A x x ， 故22λλ===x Ax A x x ，得(1)λλ-=x 0，因为≠x 0，所以0λ=或1λ=．（2）设≠x 0满足λ=Ax x ，则k k λ===x A x Ex x ．因此(1)kλ-=x 0，而≠x 0，故1k λ=．8．设11111a a b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 与000010002⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Λ相似，求a ，b ．解 由于A 的特征值与Λ的特征值相同，也是0，1，2，因此()20120,20,b a ab ⎧=--=⨯⨯=⎪⎨-==⎪⎩A A E 得0a b ==．9．设方阵12422421x --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A 与54y ⎛⎫⎪=⎪ ⎪-⎝⎭Λ相似，求,x y ．解 由A 与Λ相似可知，A 的特征值为1235,,4y λλλ===-，于是1154,52442429360,425x y x x ++=+-⎧⎪--⎪⎨+=-+-=-=⎪⎪--⎩A E 得4x =，5y =．10．设A 与B 均为n 阶方阵，0≠A ，证明AB 与BA 相似．证明 由0≠A 知1-A 存在，于是11()()--==A AB A A A BA BA ，因此AB 与BA 相似．11．若A 与B 相似，C 与D 相似，则分块矩阵⎛⎫ ⎪⎝⎭A 00C 与⎛⎫⎪⎝⎭B00D 相似． 证明 由条件可知，存在可逆矩阵1P ，2P ，使得111122,--==P AP B P CP D ，于是111111111111222222------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭P 0P 0B 0A 0P AP 0P A 0P 00P 0P 0D 0C 0P CP 0P C 0P 11122-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P0P 0A 00P 0P 0C ， 所以⎛⎫ ⎪⎝⎭A 00C 与⎛⎫⎪⎝⎭B 00D 相似．12．已知3阶矩阵A 与三维向量x ，使得向量组x ，Ax ，2A x 线性无关，且满足3232=-A x Ax A x ．（1）记()2,,P =x Ax A x ，求三阶矩阵B ，使1-=A PBP ； （2）计算行列式+A E ．解 （1）设123123123a a a b b b c c c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭B =，则由=AP PB 得 ()()123232123123a a a ,,,,b b b c c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Ax A x A x x Ax A x ． 上式可写为2111a b c Ax =x +Ax +A x ， 22222a b c A x =x +Ax +A x ， 32333a b c A x =x +Ax +A x ．将3232=-A x Ax A x 代入得2233332a b c -Ax A x =x +Ax +A x ．由于x ，Ax ，2A x 线性无关，故1110,1a c b ===； 2220,1a b c ===； 3330,3,2a b c ===-，从而000103012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭B =．（2）由（1）知A 与B 相似，故+A E 与+B E 相似，从而1001134011+=+==--A E B E ．13．求下列矩阵多项式．（1）设3223-⎛⎫=⎪-⎝⎭A ，求109()5ϕ=-A A A ；（2）212122221⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求1098()65ϕ=-+A A A A ．解 （1）由(1)(5)0λλλ-=--=A E 得特征值为121,5λλ==．对于11λ=，解方程组()-=A E x 0得特征向量111⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ，取111⎛⎫= ⎪⎝⎭p ．对于25λ=，解方程组(5)-=A E x 0得特征向量211-⎛⎫=⎪⎝⎭ξ，取211-⎛⎫= ⎪⎝⎭p ． 令1211(,)11-⎛⎫==⎪⎝⎭P p p ，则115-⎛⎫== ⎪⎝⎭P AP Λ，于是9999199911111151511,11511221515--⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A P P Λ 10101010110101515121515-⎛⎫+-== ⎪-+⎝⎭A P P Λ，10911()5211ϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭A A A ．（2）由(1)(5)(1)0λλλλ-=-+--=A E 求得特征值1231,1,5λλλ=-==．对于11λ=-，解方程组()+=A E x 0，得1112⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p ．对于21λ=，解方程组()-=A E x 0，得2110⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于15λ=，解方程组(5)-=A E x 0，得3111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．因此，123111(,,)111201⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭P p p p ，且1115--⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭P AP Λ， 888888188888888111(1)112251515111111330152515632015222151525-⎛⎫⎛⎫--+-+-+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==--=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A P P Λ， 10988888888888888888888()65()(5)2515151123121152515112132315152522022425151522411525152243151525448ϕ=-+=--⎛⎫+-+-+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=-++-+- ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪-+-++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫+-+-+-⎛⎫⎪ =-++-+- ⎪ ⎪-+-++--⎝⎝⎭A A A A A A E A E 1122112.224⎪⎪⎪⎭-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭14．求一个正交相似变换矩阵，把下列对称矩阵化为对角矩阵．（1）220212020-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ； （2）222254245-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭A =． 解 （1）由(1)(4)(2)0λλλλ-=--+=A E ，得到A 的特征值为1232,1,4λλλ=-==，对于12λ=-，解齐次线性方程组(2)+=A E x 0得特征向量1122⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得111232⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于21λ=，解齐次线性方程组()-=A E x 0得特征向量2212⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得221231⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于34λ=，解齐次线性方程组(4)-=A E x 0得特征向量3221⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得121231⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭p ．写出正交矩阵12212123221⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭P ，则1214--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ． （2）由2(1)(10)0λλλ-=--=A E ，得到A 的特征值为12310,1λλλ===．对于110λ=，解齐次线性方程组(10)-=A E x 0得特征向量1122⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得111232⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p ．对于221λλ==时，解齐次线性方程组()-=A E x 0得特征向量23221,221-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ．123,,ξξξ是正交向量组，将23,ξξ单位化得2322111,23321-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．取正交矩阵12212123221-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭P ，则有11011-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ．15．设三阶实对称矩阵A 的特征值为6,3,3，与特征值6对应的特征向量为T 1(1,1,1)=p ，求矩阵A ． 解 设123,,p p p 分别是对应于特征值6,3,3的特征向量，则23,p p 应与1p 正交，即满足方程1230++=x x x ，解得23111,001--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ，于是123111(,,)110101--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P p p p ，1633-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，因此，1641131413114-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A P P ．16．设A ，B 为同阶方阵，（1）如果A ，B 相似，试证A ，B 的特征多项式相等；（2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立； （3）当A ，B 均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立． 解 （1）若A ，B 相似，则存在可逆矩阵P ，使1-=P AP B ，故()()11111.λλλλλλ------=-=-=-=-=-E B P EP P AP P E A PP E A P P E A P E A（2）令0100⎛⎫⎪⎝⎭A =，0000⎛⎫ ⎪⎝⎭B =，则2λλλ-=-=E A E B ，但A 与B 不相似．否则由1-=P AP B =0得A =0，矛盾．（3）A ，B 均为实对称矩阵时, A ，B 均相似于对角阵. 若A ，B 的特征多项式相等，则特征值相等，记为12,,,n λλλ ，有A 相似于1n λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，B 也相似于1n λλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ ，存在可逆矩阵P ，Q 使得111n λλ--⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P AP =Q BQ ，于是()()111---=PQ A PQ B ，由1-PQ 可逆知A ，B 相似． 17．设三阶实对称矩阵A 的秩为2，126λλ==是A 的二重特征值．若T 1(1,1,0)=α,T 2(2,1,1)=α,T 3(1,2,3)=--α, 都是A 的属于特征值6的特征向量．（1）求A 的另一特征值和对应的特征向量；（2）求矩阵A ．解 （１）因为126λλ==是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个．由题设知T 1(1,1,0)=α，T 2(2,1,1)=α为A 的属于特征值6的线性无关特征向量．又A 的秩为2，于是||0=A ，所以A 的另一特征值30λ=．设30λ=所对应的特征向量为T 123(,,)x x x =α，则有T 10=αα，T 20=αα，即121230,20.x x x x x +=⎧⎨++=⎩解得基础解系为T (1,1,1)=-α，故A 的属于特征值30λ=全部特征向量为T (1,1,1)k k =-α，其中k 为任意不为零的常数．(２) 令矩阵12(,,)=P ααα，则1660-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，所以 1011612164221126111624233300110224111333-⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪==-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭A P P ．18．用矩阵表示下列二次型．（1）222(,,)2846f x y z x y z xy yz =+--+；（2）22221234123412131424(,,,)532468f x x x x x x x x x x x x x x x x =+-++-++．解 （1）120(,,)(,,)223038x f x y z x y z y z -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭． （2）1212343451231304(,,,)20103401x x f x x x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 19．用正交变换法将下列二次型化为标准型．（1）22212312313(,,)2628f x x x x x x x x =+++； （2）22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++；（3）2222123412341214(,,,)22f x x x x x x x x x x x x =++++-233422x x x x -+．解 （1）二次型的矩阵为204060402⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，由0λ-=A E 求得A 的特征值为1232,6λλλ=-==．对于12λ=-，解(2)+=A E x 0得特征向量1101⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p ．对于236λλ==，解(6)-=A E x 0得特征向量23011,001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．123,,p p p 是正交的，单位化后并写成正交矩阵10100101⎛⎫⎪=⎪⎪-⎭P ． 令=x Py ，这一正交变换把原二次型化为标准形222123266f y y y =-++．（2）二次型的矩阵为200032023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，由(2)(1)(5)0λλλλ-=---=A E 求得A 的特征值为1231,2,5λλλ===．对于11λ=，解方程组()-=A E x 0得特征向量1011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得1011⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭p ． 对于22λ=，解方程组(2)-=A E x 0得特征向量2100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得2100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于35λ=，解方程组(5)-=A E x 0得特征向量3011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得3011⎛⎫⎪=⎪⎪⎭p ．于是正交矩阵123010(,,)00⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎝P p p p ，在正交变换=x Py 下，22212325f y y y =++． （3）二次型的矩阵为1101111001111011-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A ． 由2(1)(1)(3)0λλλλ-=+--=A E 得A 的特征值12341,1,3λλλλ=-===．对于11λ=-，解方程组()+=A E x 0得特征向量11111⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得1111121⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于231λλ==，解方程组()-=A E x 0得A 的特征向量231001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，23,ξξ是正交的，只需单位化得231001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭p p ． 对于43λ=，解方程组(3)-=A E x 0得特征向量41111-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得4111121-⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭p ．写出正交矩阵11022110221102211022⎛⎫-⎪ ⎪ --= ⎪- ⎪ ⎪ ⎝P ， 在正交变换=x Py 下，222212343f y y y y =-+++． 20．用配方法化下列二次型为标准形，并写出变换矩阵．222123123121323(,,)2224f x x x x x x x x x x x x =+++++．解222222123123233123(,,)()(),f x x x x x x x x x y y y =++++-=+-其中，112322333,,,y x x x y x x y x =++⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 即 11222333,,,x y y x y y x y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 故所用的变换矩阵为110011001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭． 21．判定下列二次型的正定性．（1）2221231231223(,,)56444f x x x x x x x x x x =++--；（2）222123123121323(,,)10282428f x x x x x x x x x x x x =++++-．解 （1） 二次型的矩阵为520262024-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ， 因为 525250,260,26284026024-->=>--=>--，所以f 正定．（2） 二次型的矩阵为10412421412141⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，因为 10412104100,0,421404212141>>-<-，所以f 非正定，也非负定．22．确定t 的取值范围，使得下列的二次型为正定．（1）222123123121323(,,)5422f x x x x x tx x x x x x x =+++--； （2）222123123121323(,,)5224f x x x tx x x tx x x x x x =++--+．解 （1）二次型的矩阵为52121111t -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ．要使f 正定，就要求A 的顺序主子式都大于零，即 50>，521021=>，5212112011t t--=->--， 得2t >．即当2t >时，f 是正定的．（2）二次型的矩阵为112125t t t--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ．要使f 正定，就要求A 的顺序主子式都大于零，即 0t >，(1)01t tt t t -=->-，21125510125t t tt t ---=-+->-，t <<t <<时，f 是正定的． 23．设A 是可逆实矩阵，证明T A A 是正定矩阵.证明 由T T T ()=A A A A 知，T A A 是对称矩阵．对任意的≠x 0，有≠Ax 0，所以()()()2TT T 0==>x A A x Ax Ax Ax ，从而T A A 是正定矩阵．24．设A 是三阶实对称矩阵，已知A 的秩()2R =A ，且满足条件22+A A =0, （1）求A 的全部特征值；（2）当k 为何值时，矩阵k A+E 为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵．解 （1）设λ为A 的一个特征值，对应的特征向量为α，则()λ=≠A 0ααα，22λ=A αα，于是()()2222λλ+=+AA αα．由条件22+A A =0得()22λλ+=0α．又≠0α，所以220λλ+=，即2λ=-或0λ=．因为实对称矩阵A 必可对角化，又()2R =A ，所以A 与对角矩阵220-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似．因此，矩阵A 的全部特征值为1232,0.λλλ==-=（2）矩阵k A+E 仍为实对称矩阵，由（1）知k A +E 的全部特征值为2,2,.k k k -+-+于是，当2k >时，k A+E 的全部特征值大于零，从而矩阵k A+E 为正定矩阵．B 组1．已知向量T (1,,1)k =a 是矩阵211121112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的逆矩阵1-A 的特征向量，求常数k 的值．解 设1-A 的特征向量T (1,,1)k =a 对应的特征值为λ，则有1λ-=A a a ，λ=a Aa ，即1211112111121k k λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得2k =-或1．2．若矩阵22082006a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使1.-=P AP Λ解 矩阵A 的特征多项式为2222082(6)(2)16(6)(2)06a λλλλλλλλ--⎡⎤-=---=---=-+⎣⎦-E A ， 故A 的特征值为.2,6321-===λλλ由于A 相似于对角矩阵Λ，故621==λλ应有两个线性无关的特征向量，即3(6)2R --=E A ，于是有(6)1R -=E A ．由42021068400000000a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭E A知0a =．因此，对应于621==λλ的两个线性无关的特征向量可取为1001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ， 2120⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ．当23-=λ时，4202102840001008000--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭E A ，解方程组12320,0,x x x +=⎧⎨=⎩得对应于23-=λ的特征向量3120⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ．令011022100⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P ，则P 可逆，并有1-=P AP Λ．3．设矩阵1322010232,101,223001-*⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A PB P A P ，求2+B E 的特征值和特征向量．解 计算出1011100001--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ， 522252225*--⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A1700254223-*⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪--⎝⎭B P A P ， 9002274225⎛⎫ ⎪+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭B E ．由22(3)(9)0λλλ+-=--=B E E 得2+B E 的特征值为1239,3λλλ===．对于129λλ==，由()λ-=A E x 0求得对应的线性无关特征向量为12121,001--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．因此，对应于129λλ==的全部特征向量为1122k k +p p ，12,k k 不同时为零．对于33λ=，由()λ-=A E x 0求得特征向量为3011⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．因此，对应于33λ=的全部特征向量为33k p ，3k 不为零．4．设,A B 相似，且111200242,0203300a b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ， （1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1-=P AP B ．解 （1）由于,A B 相似，所以,A B 有相同的特征值，即1232,b λλλ===．由于2是A 的二重特征值，所以2是2(2)(3)3(1)0a a λλλλ⎡⎤-=--++-=⎣⎦A E 的二重根，解得5a =．由22(2)(812)(2)(6)λλλλλλ-=--+=--A E 得到36b λ==．（2）对于122λλ==，解方程组(2)-=A E x 0得基础解系12111,001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．对于36λ=，解方程组(6)-=A E x 0得基础解系3123⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭p ．令123111(,,)102013⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭P p p p ，有1-=P AP B ．5．已知111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p 是矩阵2125312a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的一个特征向量， （1）求,a b 的值和特征向量p 对应的特征值； （2）问A 是否可对角化？说明理由．解 （1）由2121()531121a bλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=-= ⎪⎪ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭A E p 0得2120,530,120.a b λλλ---=⎧⎪+--=⎨⎪-+++=⎩解得3,0,1a b λ=-==-．（2）因为212533102-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，所以3(1)λλ-=-+A E ，1λ=-是三重根．但()2R +=A E ，从而1λ=-对应的线性无关的特征向量只有一个，故A 不能对角化．6．设矩阵21112111a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 可逆，向量11b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α是矩阵*A 的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵．试求a ,b 和λ的值．解 矩阵*A 属于特征值λ的特征向量为α，由于矩阵A 可逆，故*A 可逆.于是0≠λ，0≠A ，且*λ=A αα．两边同时左乘矩阵A ，得*λ=AA A αα，λ=AA αα，即211111211111b b a λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ． 由此，得方程组3,22,1.b b b a b λλλ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪++=⎪⎩AA A 由第一、二个方程解得1=b ，或2-=b ．由第一、三个方程解得2a =．由于 21112132411a a==-=A ，故特征向量α所对应的特征值433b bλ==++A ．所以，当1=b 时1=λ； 当2-=b 时4λ=．7．设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化．解 A 的特征多项式为21232(2)01431431515110(2)143(2)(8183).15a a a a λλλλλλλλλλλλλλ------=-=--------=--=--++---E A当2=λ是特征方程的二重根时，则有,03181622=++-a 解得2a =-．当2a =-时，A 的特征值为2,2,6, 矩阵2-E A 123123123-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的秩为1，故2=λ对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化．若2=λ不是特征方程的二重根，则a 31882++-λλ为完全平方，从而18316a +=，解得23a =-．当32-=a 时，A 的特征值为2,4,4，矩阵32341032113⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎝⎭E A =的秩为2，故4=λ对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A 不可相似对角化．8．设n 阶矩阵111b b b b b b ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭A ，（1）求A 的特征值和特征向量；（2）求可逆矩阵P , 使得1-P AP 为对角矩阵． 解 （1）① 当0≠b 时，[][]111||1(1)(1)1n b b b b n b b b b λλλλλλ--------==-------- E A ．得A 的特征值为11(1)n b λ=+-，21n b λλ===- ． 对于11(1)n b λ=+-，1(1)(1)11(1)1(1)1(1)11(1)11111111111111111111111100000000n bb b n b n b b n b b n b n n n n n n n λ------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭-----⎛⎫⎛ ⎪ -------- ⎪ ⎪ →→ ⎪ -------- ⎪ ⎪⎝⎭⎝E A 11111001000101.00001100000000n n n n n ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪→→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可解得T1(1,1,1,,1)= ξ，所以A 的属于1λ的全部特征向量为T1(1,1,1,,1)k k = ξ，其中k 为任意不为零的常数．对于21b λ=-，有2111000000b b b b b b b b b λ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭E A ．可解得T 2(1,1,0,,0)=- ξ，T 3(1,0,1,,0)=- ξ， ，T (1,0,0,,1)n =- ξ．故A 的属于2λ的全部特征向量为2233n n k k k +++ ξξξ，其中n k k k ,,,32 是不全为零的常数．②当0=b 时，100010||(1)001n λλλλλ---==-- E A ．因此特征值为11n λλ=== ，任意非零列向量均为特征向量．（2）①当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令12(,,,)n = P ξξξ，则11(1)11n b b b -+-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭P AP ． ②当0=b 时，=A E ，对任意可逆矩阵P , 均有1-=P AP E ．9．设A 为三阶矩阵，123,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足1123=++A αααα，2232=+A ααα，32323=+A ααα．（1）求矩阵B , 使得()()123123,,,,=A B αααααα；（2）求矩阵A 的特征值；（3）求可逆矩阵P , 使得1-P AP 为对角矩阵．解 （1）由123123100(,,)(,,)122113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A αααααα可知，100122113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ．（2）因为123,,ααα是线性无关的三维列向量，可知矩阵()123,,=C ααα可逆，所以1-=C AC B ，即矩阵A 与B 相似，由此可得矩阵A 与B 有相同的特征值．由2100122(1)(4)0113λλλλλλ--=---=--=---E B ， 得矩阵B 的特征值，也即矩阵A 的特征值1231,4λλλ===．（3）对应于121==λλ，解齐次线性方程组()-E B x =0，得基础解系T 1(1,1,0)=-ξ，T 2(2,0,1)=-ξ．对应于43=λ，解齐次线性方程组()4-E B x =0，得基础解系()T30,1,1=ξ．令矩阵()123120,,101011--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭Q ξξξ，则 1100010004-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q BQ ．因 ()()1111----==Q BQ Q C ACQ CQ A CQ ，记矩阵()()123121323120,,101,2,011--⎛⎫⎪===-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭P CQ ααααααααα，P 即为所求的可逆矩阵．10．设实对称矩阵111111aa a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵，并计算-A E ．解 由2(1)(2)0a a λλλ-=----+=A E ，得到A 的特征值1231,2a a λλλ==+=-．对于121a λλ==+，由()λ-=A E x 0，求得两个线性无关的特征向量12111,001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．对于32a λ=-，由()λ-=A E x 0，求得对应的特征向量3111-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．令123111(,,)101011-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P p p p ，则1112a a a -+⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ．并且，1112(3)a a ----=-=-=-=-A E P P PP P E P E ΛΛΛ．11．设11111,1112a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A β，线性方程组=Ax β有解但不惟一，（1）求a 的值；（2）求正交矩阵Q ，使得T Q AQ 是对角矩阵．解 （1）因为线性方程组=Ax β有解但不惟一，所以21111(1)(2)011aa a a a ==--+=A ．当1a =时，()()R R ≠A A β，方程组无解．当2a =-时，()()R R =A A β，方程组有解但不惟一．因此，2a =-．（2）可计算出112121211-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，于是由(3)(3)0λλλλ-=-+=A E ，得到13λ=，23λ=-，30λ=．由()λ-=A E x 0求得对应的特征向量分别为1231110,2,1111⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭p p p ．单位化后（已是正交的）得到正交矩阵0⎛ =⎝Q ． 于是，T330⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭Q AQ ． 12．已知二次型222123232332(0)f x x x ax x a =+++>可以通过正交变换化成标准形22212325f y y y =++，求参数a 及所用的正交变换． 解 二次型的矩阵为2000303a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ．由题意知A 的特征值为1231,2,5λλλ===．将11λ=代入22(2)(69)0a λλλλ-=--+-=A E ，0a >，得2a =．于是200032023⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ．对于11λ=，解方程组()-=A E x 0得特征向量1011⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得1011⎛⎫⎪=⎪⎪-⎭p ． 对于22λ=，解方程组(2)-=A E x 0得特征向量2100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，取2100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于35λ=，解方程组(5)-=A E x 0得特征向量3011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得3011⎛⎫⎪=⎪⎪⎭p ．故所用的正交变换矩阵为01000⎛⎫⎪ ⎪ =⎝P ． 13．判断二次型12111n n i i i i i f x x x-+===+∑∑是否正定．解 二次型的矩阵为110000211102210100021000102110001221000012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ． 计算得到A 的任意k 阶顺序主子式1(1)02kk k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭A ，因此，二次型是正定的． 14．设二次型22212313222(0)f ax x x bx x b =+-+>，其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12-．（1）求,a b 的值；（2）利用正交变换把二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．解 （1）二次型对应的矩阵为002002a b b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ．设A 的特征值为123,,λλλ，则 123221a λλλ++=+-=，21230020421202a ba b b λλλ==--=--． 解得1,2a b ==．（2）由102020202⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，得2(2)(3)λλλ-=--+A E ，于是A 的特征值为1232,3λλλ===-． 对于122λλ==，由(2)-=A E x 0，求得两个线性无关的特征向量12200,110⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．对于33λ=-，由(3)+=A E x 0，求得特征向量3102⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p ．由于123,,p p p 已是正交，单位化后得到正交矩阵0100⎫⎪⎪=⎪ ⎪Q ．于是有T223⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭Q AQ ．在正交变换=x Qy 下，有 222123223f y y y =+-． 15．证明二次型T f =x Ax 在1=x 时的最大（小）值为矩阵A 的最大（小）特征值． 证明 设存在正交变换=x Py ，将T f =x Ax 化为标准形2221122n n f y y y λλλ=+++ ．不妨设1λ是A 的特征值中的最大值，则2222221122112()n n n f y y y y y y λλλλ=+++≤+++ ．由于正交变换不改变向量的长度，而1=x ，所以1=y ，故22222211221121()n n n f y y y y y y λλλλλ=+++≤+++= ．并且，f 可以达到上限1λ，只要取121,0n y y y ==== 即可．故二次型T f =x Ax 在1=x 时的最大值为矩阵A 的最大特征值．最小值的情形同理可证．16．设U 为可逆矩阵，T=A U U ，证明Tf =x Ax 是正定二次型．证明 设≠x 0，由U 为可逆矩阵知≠Ux 0，于是2T T T T ()0f ====>x Ax x U Ux Ux Ux Ux，故Tf =x Ax 是正定二次型．17．设对称矩阵A 为正定矩阵，证明存在可逆矩阵U ，使得T=A U U ．证明 若A 为正定阵，则存在正交矩阵P ，使得121n λλλ-⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ P AP Λ， 其中，每个0i λ>．而T⎫⎪ ⎪⎪=⎪⎪⎝QQ Λ， 1T T T ()()-===A P P PQQ P PQ PQ Λ．令()T=U PQ ，则T =A U U ．而,P Q 均可逆，所以U 可逆．18．设,A B 都是n 阶正定矩阵，证明+A B 也是n 阶正定矩阵． 证明 由于T T ,==A A B B ，所以T T T ()+=+=+A B A B A B ，即+A B 是对称矩阵．又,A B 都是n 阶正定矩阵，即对任意的非零向量x ，有T T 0,0>>x Ax x Bx ，因此T T T ()0+=+>x A B x x Ax x Bx ，故+A B 是n 阶正定矩阵．19．设12,p p 分别是矩阵A 的属于特征值12,λλ的特征向量，且12λλ≠，试证12+p p 不可能是A 的特征向量．证明 由条件有111222,λλ==Ap p Ap p ．设12+p p 是A 的某个特征值0λ的特征向量，则12012()()λ+=+A p p p p ．另一方面，12121122()λλ+=+=+A p p Ap Ap p p ．因此，101202()()λλλλ-+-=p p 0．由于12,p p 线性无关，故102λλλ==，矛盾．故12+p p 不可能是A 的特征向量．20． 已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2． （1）求a 的值；（2）求正交变换=x Qy ，把),,(321x x x f 化成标准形； （3）求方程123(,,)0f x x x =的解. 解 （1）二次型对应矩阵为110110002a a a a -+⎛⎫ ⎪=+- ⎪ ⎪⎝⎭A ．由二次型的秩为2知，1101100002a a a a-+=+-=A ，得0a =． （2）这里110110002⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，可求出其特征值为0,2321===λλλ．由(2)-=E A x 0，求得特征向量12101,001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα．由(0)-=E A x 0，求得特征向量3110⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α．由于12,αα已经正交，直接将12,αα，3α单位化，得1231011,0,1010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪===-⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭ηηη． 令()123,,=Q ηηη，即为所求的正交变换矩阵．由=x Qy ，可化原二次型为标准形2212312(,,)22f x x x y y =+． （3）由),,(321x x x f ==+222122y y 0，得1230,0,y y y k ===（k 为任意常数）．从而所求解为 ()12330,,00c k c k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x Qy ηηηη，其中c 为任意常数．21．设A 是n 阶实对称矩阵，且2=A A ，证明存在正交矩阵P 使得1r-⎛⎫=⎪⎝⎭E P AP 0．证明 根据定理，对于n 阶实对称矩阵，存在正交矩阵1P 使得12111n λλλ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，其中12,,,n λλλ 是A 的n 个特征值．由于2=A A ，故A 的特征值满足2λλ=，即0,1λ=．设()R r =A ，则12,,,n λλλ 这n 个数中有r 个1，n r -个0．调整12,,,n λλλ 的顺序使得前r 个数为1，后n r -个为0，相应地调整1P 的列，得到P ，P 仍为正交矩阵，且1r-⎛⎫= ⎪⎝⎭E P AP 0． 22．设A 是n 阶实对称矩阵，且2=A E ，证明存在正交矩阵P 使得1rn r --⎛⎫= ⎪-⎝⎭E P AP E ． 证明 根据定理，对于n 阶实对称矩阵，存在正交矩阵1P 使得12111n λλλ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，其中12,,,n λλλ 是A 的n 个特征值．由于2=A E ，故A 的特征值满足21λ=，即1,1λ=-．设()R r =A ，则12,,,n λλλ 这n 个数中有r 个1，n r -个1-．调整12,,,n λλλ 的顺序使得前r 个数为1，后n r -个为1-，相应地，调整1P 的列得到P ，P 仍为正交矩阵，且1rn r --⎛⎫= ⎪-⎝⎭E P AP E ． 23．设A 是一个n 阶实对称矩阵，若对于任一n 维列向量都有T 0=x Ax ，则=A 0．证明 设T f =x Ax ，取T(0,,0,1,0,,0)i = x （i x 的第i 个坐标为1，其余都是0），则有 T 0i i ii f a ===x Ax ， 1,2,,i n = ．再取(,)T (0,,0,1,0,,0,1,0,,0)i j = x （(,)i j x 的第,i j 个坐标为1，其余都是0，i j ≠），则有 (,)T (,)0()2i j i j ii jj ij f a a a ===++x Ax ，所以0ij a =．综合可得=A 0．24． 设T ⎛⎫= ⎪⎝⎭AC D C B 为正定矩阵，其中A ,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵． （1）计算T P DP ，其中1m n -⎛⎫-= ⎪⎝⎭E A C P O E ； （2）利用（1）的结果判断矩阵T 1--B C A C 是否为正定矩阵，并证明你的结论．解 （1）由T 1m T n -⎛⎫= ⎪-⎝⎭E O P C A E ，有 1T1T T 1m m T n n ---⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭E O A C A O E A C P DP =C A E C B O B C A C O E ． （2）矩阵T 1--B C A C 是正定矩阵．由（1）的结果可知，矩阵D 合同于矩阵T 1-⎛⎫ ⎪-⎝⎭A O M =OBC A C ． 由D 为正定矩阵可知，矩阵M 为正定矩阵．因矩阵M 为对称矩阵，故T 1--B C A C 为对称矩阵．对T (0,0,,0)= x 及任意的T 12(,,,)n y y y =≠ y 0，有()T TT T 1T 1,()0--⎛⎫⎛⎫=-> ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭A 0x x y y B C A C y 0B C A C y ，故T 1--B C A C 为正定矩阵．。

第六章 二次型1. 用矩阵记号表示下列二次型：(1);4427),,(222yz xz xy z y x z y x f ----+=(2)22312121321542),,(x x x x x x x x x f -++=； (3)),,,(4321x x x x f .46242423241312124232221x x x x x x x x x x x x x x -+-+-+++=解：(1)()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=z y x z yxz y x f 722211211),,( (2) ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321321321002052/222/21),,(x x x x x x x x x f(3) ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=4321432143211001231223111211),,,(x x x x x x x x x x x x f 2. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：),,(321x x x f 322322214332x x x x x +++=.解：0)5)(1)(2(32023002=---=---=-λλλλλλλE A 得11=λ，22=λ，53=λ当11=λ时，特征向量为T）（11-01=ξ 当22=λ时，特征向量为T ）（0012=ξ 当53=λ时，特征向量为T）（1103=ξ取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2102121021-010P ， 则利用正交变换Py x =，二次型可化为标准型 23222152y y y f ++= 3. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：23322231212132128244),,(x x x x x x x x x x x x f -+-+-=. 解：0)7()2(2-4242-22212=+--=-----=-λλλλλλE A 得=1λ22=λ，73-=λ当=1λ22=λ，时，特征向量为T ）（1021=ξ，T ）（012-2=ξ，通过施密特正交化得到T ）（10251e 1=，Te ）（452-5312= 当73-=λ时，特征向量为T）（11-213-=ξ，单位化得T ）（22131e 3--= 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32534513253503153252P ， 则利用正交变换Py x =，二次型可化为标准型 232221722y y y f -+= 4. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：),,,(4321x x x x f 43324121242322212222x x x x x x x x x x x x +--++++=．解：0)3)(1()1(11011110011110112=-+-=--------=-λλλλλλλλE A得121==λλ，13-=λ，34=λ当121==λλ时，特征向量为T ）（01011=ξ，T）（10102=ξ 当13-=λ时，特征向量为T ）（11113--=ξ 当34=λ时，特征向量为T ）（11114--=ξ 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=21211021210121211021211P ，则利用正交变换Py x =，二次型可化为标准型 24232221y 3+-+=y y y f5. 二次型)0(a 2332),,(32232221321>+++=a x x x x x x x x f 通过正交变换可化为标准形23222132152),,(y y y y y y f ++=，求参数a 及所用的正交变换矩阵. 解：二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3030002a a A特征值为11=λ，22=λ，53=λ，得10=A ，故10)9(22=-=a A ，又0>a ，得2=a . 当11=λ时，特征向量为T）（11-01=ξ 当22=λ时，特征向量为T ）（0012=ξ 当53=λ时，特征向量为T）（1103=ξ取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2102121021-010P ，用正交变换Py x =，二次型标准型为 23222152y y y f ++=6. 用配方法化),,(321x x x f 32312321222x x x x x x +++=为规范形，写出所用变换的矩阵． 解：),,(321x x x f 2322223132312321))222x x x x x x x x x x x ++-+=+++=（（由⎪⎩⎪⎨⎧=+==+33222131y x x y x y x x 得⎪⎩⎪⎨⎧+-==-+=323223211y y x y x y y y x ，取⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110010111C ，C 可逆， 由变换Cy x =得二次型的规范型为),,(321x x x f 232221y y y +-=7. 判别下列二次型的正定性：(1)),,(321x x x f 312123222122462x x x x x x x ++---=；(2)424131212423222162421993x x x x x x x x x x x x f -++-+++=4312x x -.解：（1）负定 （2）正定8. 二次型323121242322214321222)(),,,(x x x x x x x x x x t x x x x f -+++++=，t 取何值时是正定二次型？解： 二次型矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1000011011011t t t ，二次型正定即要求所有顺序主子式 0)2()1(100011011011,0)2()1(111111,0111,0222>-+=-->-+=-->-=>=t t tt t t t tt t t t t t t 可得2t >时此二次型正定.9. 已知A 为n 阶方阵，E A -是正定矩阵，证明A 为正定矩阵.证明：因为E A -是正定矩阵，所以()E A E A E A T T-=-=-，所以 A A T=，即A 为对称矩阵.设λ为A 的任意一个特征值，则1-λ是E A -的一个特征值，因为E A -为正定矩阵，所以01>-λ，从而0>λ，因此A 为正定矩阵.10. 设C 为可逆矩阵，A C C T=，证明x x A T=f 为正定二次型．.证明：)()(TCx Cx Cx C x f TTT===x x A令y x =C ，因为C 可逆，对任意0≠x ，有0≠y ， 从而0)()(>==y y Cx Cx f TT，为正定二次型。

第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii iij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。

实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。

规范二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只1，-1，0，称为二次型的规范型。

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。

第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii i ij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。

实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。

规二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规型。

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …12 …n 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。

第六章 二次型1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T1111=B C A C ，因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T2222=B C A C .令 12⎛⎫=⎪⎝⎭C C C ，则C 可逆，于是有 TT 1111111T2222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B C A C C AC B C A C C A C 1T 2⎛⎫= ⎪⎝⎭A C C A 即 12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同.2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称证：由A 对称，故T=A A .因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T=B C AC ，于是T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B即B 为对称矩阵.3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使BP P AP P T T 与均为对角阵.证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使E AM M =T记T1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使T 11diag(,,)n D μμ==Q B QT 11,,.n μμ=B M BM 其中为的特征值令P=MQ ，则有D BP PE AP P ==T T ,,A B 同时合同对角阵.4．设二次型2111()mi in n i f ax a x ==++∑，令()ij m n a ⨯=A ，则二次型f 的秩等于()r A .证：方法一 将二次型f 写成如下形式：2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑设A i = 1(,,,,)i ij in a a a ),,1(m i =则 1111111jn i ij in i m mj mj m a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A于是 1T T T TT 11(,,,,)mi m i i i i m =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑A A A A A A A A A A故 2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑=1211[(,,)]i m j n ij i in a x x x a a =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑=11111[(,,)(,,)]i m j n ij i ij in j i in n a x x x x a a a a x a x =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑=1T11(,,)()mj n i i j i n x x x x x x =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑A A=X T(A TA )X因为A A T为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵． 显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ．方法二 设11,1,,i i in n y a x a x i n =++=. 记T 1(,,)m y y =Y ，于是=Y AX ，其中T 1(,,)n x x =X ，则222T T T 11()m i m i f y y y ===++==∑Y Y X A A X .因为A A T为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵． 显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ． 5．设A 为实对称可逆阵，Tf x x =A 为实二次型，则A 为正交阵⇔可用正交变换将f 化成规范形.证：⇒设i λ是A 的任意的特征值，因为A 是实对称可逆矩阵，所以i λ是实数，且0,1,,i i n λ≠=.因为A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵P ，在正交变换=X PY 下，f 化为标准形，即T T T T T1()diag(,,,,)i n f λλλ====X AX Y P AP Y Y DY Y Y22211i i n n y y y λλλ=++++ （*）因为A 是正交矩阵，显然T1diag(,,,,)i n λλλ==D P AP 也是正交矩阵，由D 为对角实矩阵，故21i λ=即知i λ只能是1+或1-，这表明（*）恰为规范形.⇐因为A 为实对称可逆矩阵，故二次型f 的秩为n . 设在正交变换=X QY 下二次型f 化成规范形，于是T T()f ==X AX Y Q AQ Y 222211r r n y y y y +=++---T =Y DY其中r 为f 的正惯性指数，diag(1,,1,1,,1)=--D .显然D 是正交矩阵，由T =D Q AQ ，故T=A QDQ ，且有T T ==A A AA E ，故A是正交矩阵.6．设A 为实对称阵，||0<A ，则存在非零列向量ξ，使T0<ξAξ. 证：方法一因为A 为实对称阵，所以可逆矩阵P ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ==P AP D其中(1,,)i i n λ=是A 的特征值，由||0<A ，故至少存在一个特征值k λ，使0k λ<，取010⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξP ，则有T T0(0,,1,,0)10⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭ξAξP AP 1(0,,1,0,0)kn λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭010⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0k λ=< 方法二（反证法）若∀≠X 0，都有T0≥X AX ，由A 为实对称阵，则A 为半正定矩阵，故||0≥A 与||0<A 矛盾.7．设n 元实二次型AX X T =f ，证明f 在条件122221=+++n x x x 下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．解：设f n 是λλλ,,,21 的特征值，则存在正交变换=X PY ，使2222211T T T )(n n y y y f λλλ+++=== Y AP P Y AX X设k λ是n λλλ,,,21 中最大者，当122221T =+++=n x x x X X 时，有122221T T T T =+++===n y y y Y Y PY P Y X X因此k n k n n y y y y y y f λλλλλ≤+++≤+++=)( 222212222211这说明在22221n x x x +++ =1的条件下f 的最大值不超过k λ．设 TT 10)0.,0,1,0,,0(),,,,( ==n k y y y Y 则 10T0=Y Yk n n k k y y y y f λλλλλ=+++++=22222211令00PY X =，则1T 00T0==Y Y X X并且k f λ===0T T 00T00)()(Y AP P Y AX X X这说明f 在0X 达到k λ，即f 在122221=+++n x x x 条件下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．8．设A 正定，P 可逆，则T P AP 正定.证：因为A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使T=A Q Q ， 于是 TTTT()==P AP P Q QP QP QP ，显然QP 为可逆矩阵，且T T T T ()()==P AP QP QP P AP ，即T P AP 是实对称阵，故T P AP 正定.9．设A 为实对称矩阵，则A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵B ，使AB +A B T 正定． 证：先证必要性取1-=B A ，因为A 为实对称矩阵，则2E A A E A B AB =+=+-T 1T )(当然A B AB T+是正定矩阵． 再证充分性，用反证法．若A 不是可逆阵，则r （A ）<n ，于是存在00,≠=X AX 使00因为A 是实对称矩阵，B 是实矩阵，于是有0 )()()(0T T00T 00T T 0=+=+AX B X BX AX X A B AB X这与AB T+AB B A 是正定矩阵矛盾．10．设A 为正定阵，则2*13-++A A A 仍为正定阵.证：因为A 是正定阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值全大于零，易见2*1,,-A A A全是实对称矩阵，且它们的特征值全大于零，故2*1,,-A A A 全是正定矩阵，2*13-++A A A 为实对称阵. 对∀≠X 0，有T 2*1T 2T *T 1(3)0--++=++>X A A A X X A X X A X X A X即 2*13-++A A A 的正定矩阵.11．设A 正定，B 为半正定，则+A B 正定.证：显然,A B 为实对称阵，故+A B 为实对称阵. 对∀≠X 0，T0>X AX ，T 0≥X BX ，因T ()0+>X A B X ，故+A B 为正定矩阵.12．设n 阶实对称阵,A B 的特征值全大于0，A 的特征向量都是B 的特征向量，则AB 正定.证：设,A B 的特征值分别为,(1,,)i i i n λμ=.由题设知0,0,1,,i i i n λμ>>=.因为A 是实对称矩阵，所以存在正交矩阵1(,,,,)i n =P P P P ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ=P AP即 ,i i i i λ=AP P P 为A 的特征向量，1,,i n =. 由已知条件i P 也是B 的特征向量，故1,,,i i ii i n μ==BP P因此 ()i i i i i i μλμ==ABP A P P ，这说明i i λμ是AB 的特征值，且0i i λμ>，1,,i n =.又因为 T 111diag(,,,,),i i n n λμλμλμ-==ABP P P P .故 11diag(,,,,)i i n n λμλμλμ=AB P P ，显然AB 为实对称阵，因此AB 为正定矩阵. 13．设n n ij a ⨯=)(A 为正定矩阵，n b b b ,,,21 为非零实数，记()ij i j n n a b b ⨯=B则方阵B 为正定矩阵．证：方法一 因为A 是正定矩阵，故A 为对称矩阵，即ji ij a a =，所以i j ji j i ij b b a b b a =，这说明B 是对称矩阵，显然211112*********222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B =1111110000n n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 对任给的n 维向量1(,,)T 0n x x =≠X ，因n b b b ,,,21 为非零实数，所以),,(11n n x b x b T 0≠，又因为A 是正定矩阵，因此有1111110000TT n n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭X BX X X =),,(11n n x b x b 1111n n nn a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭11n n b x b x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0> 即B 是正定矩阵． 方法二 记211112121122121222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭B则因为A 是实对称矩阵，显然B 是实对称矩阵，B 的k 阶顺序主子阵k B 可由A 的阶顺序主子阵分别左，右相乘对角阵100n b b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭而得到，即=k B 1111110000k k k kk k a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 计算k B 的行列式，有012>=∏=k k A B ni i b故由正定矩阵的等价命题知结论正确．14．设A 为正定矩阵，B 为实反对称矩阵，则0>+B A .证：因为M 是n 阶实矩阵，所以它的特征值若是复数，则必然以共轭复数形式成对出现；将M 的特征值及特征向量写成复数形式，进一步可以证明对于n 阶实矩阵M ，如果对任意非零列向量X ，均有0T >MX X可推出M 的特征值(或者其实部)大于零． 由于M 的行列式等于它的特征值之积，故必有0>M ．因为A 是正定矩阵，B 是反对称矩阵，显然对任意的 非零向量X ，均有,0)(T >+X B A X而A +B 显然是实矩阵，故0>+B A .15．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n ⨯m 矩阵，则r (B TAB )=r (B )．证：考虑线性方程组T00==BX B ABX 与，显然线性方程组0=BXT 0=B ABX 的解一定是的解．考虑线性方程组T0=B ABX ，若0X 是线性方程组T 0=B ABX 的任一解，因此有0T 0=B ABX ．上式两端左乘有T0XT 00()()0=BX A BX因为A 是正定矩阵，因此必有00=BX ，故线性方程组0=BX 与 T0=B ABX 是同解方程组，所以必有r (B T AB )= r (B ).16．设A 为实对称阵，则存在实数k ，使||0k +>A E . 证：因为A 为实对称阵，则存在正交矩阵P ，使11diag(,,,,)i i λλλ-=P AP .其中i λ为A 的特征值，且为实数，1,,2i =. 于是11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E PP 1()ni i k λ==+∏取1max{||1}i i nk λ≤≤=+，则1()0nii k λ=+>∏，故 ||0k +>A E .17．设A 为n 阶正定阵，则对任意实数0k >，均有||nk k +>A E . 证：因为A 为正定矩阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值0,1,,i i n λ>=. 则存在正交矩阵P ，使1111,iin n λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P AP A P P 于是对任意0k >，有11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E PP 1()n i i k λ==+∏1ni k =>∏n k =.18．设A 为半正定阵，则对任意实数0k >，均有||0k +>A E . 证：因为A 为半正定矩阵，故A 为实对称矩阵，且A 的特征值0i λ≥，1,,i n =. 则存在正交矩阵P ，使11diag(,,,,)i n λλλ-=P AP ，11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P于是对任意0k >，有11||||diag(,,,,)||i n k k k k λλλ-+=+++A E P P 1()ni i k λ==+∏n k ≥0>.19．A 为n 阶实矩阵，λ为正实数，记Tλ=+B E A A ，则B 正定.证：T T T T()λλ=+=+=B E A A E A A B ，故B 是实对称矩阵. 对∀≠X 0，有(,)0,(,)0>≥X X AX AX ，因此有TTT()λ=+X BX X E A A X T T Tλ=+X X X A AX (,)(,)λ=+X X AX AX 0>故 Tλ=+B E A A 为正定矩阵.20．A 是m ⨯n 实矩阵，若A A T 是正定矩阵的充分必要条件为A 是列满秩矩阵． 证：先证必要性方法一设A A T 是正定矩阵，故00∀≠X ，有0)()()(0T 00T T 0>=AX AX X A A X由此00≠AX ，即线性方程组0=AX 仅有零解，所以r (A )=n ，即A 是列满秩矩阵．方法二因为A A T是正定矩阵，故r(A A T)=n ，由于n r r n ≤≤≤)()(T A A A所以r (A )=n ． 即A 是列满秩矩阵．再证充分性：因A 是列满秩矩阵，故线性方程组仅有零解，0∀≠X ，X 为实向量，有0≠AX ．因此0),()()()(T T T >==AX AX AX AX X A A X显然A A T 是实对称矩阵，所以A A T 是正定矩阵．21．设A 为n 阶实对称阵，且满足2640-+=A A E ，则A 为正定阵.证：设λ为A 的任意特征值，ξ为A 的属于特征值λ的特征向量，故≠ξ0，则22,λλ==A ξξA ξξ由 2640-+=A A E 有 264-+=A ξAξξ02(64)λλ-+=ξ0由 ≠ξ0，故 2640λλ-+=.30λ=>.因为A 为实对称矩阵，故A 为正定阵.22．设三阶实对称阵A 的特征值为1,2,3，其中1,2对应的特征向量分别为T T 12(1,0,0),(0,1,1)==ξξ，求一正交变换=X PY ，将二次型Tf =X AX 化成标准形.解：设T3123(,,)x x x =ξ为A 的属于特征值3的特征向量，由于A 是实对称矩阵，故123,,ξξξ满足正交条件12312310000110x x x x x x ⋅+⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩ 解之可取3(0,1,1)=-ξ，将其单位化有T T T123(1,0,0),,===P P P令123100(,,)0⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪⎪⎝P P P P.则在正交变换=X PY下，将f化成标准形为T T T222123()23f y y y===++X AX Y P AP Y23．设1222424aa-⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭A二次型Tf=X AX经正交变换=X PY化成标准形239f y=，求所作的正交变换.解：由f的标准形为239f y=，故A的特征值为1230,9λλλ===.故2122||24(9)24aaλλλλλλ---=--=----E A令0λ=，则12224024aa----=---解之4a=-.由此122244244-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭A对于12λλ==有1221220244000244000---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A可得A的两个正交的特征向量12222,112-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ对于39λ=，可得A 的特征向量为122⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭将特征向量单位化得1232211112,1,2333122-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P P P则1232211(,,)2123122-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P P P P 为正交矩阵， 正交变换=X PY 为22112123122-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭X Y .注：因特征向量选择的不同，正交矩阵P 不惟一.24．已知二次型22212312132(1)22f x x k x kx x x x =++-++正定，求k .解：二次型的表示矩阵1120101kk k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A由A 正定，应有A 的各阶顺序主子式全大于0. 故 102||0k k A ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即2220(2)0k k k k ⎧-<⎪⎨-->⎪⎩. 解之 10k -<<.25．试问：三元方程2221231213231233332220x x x x x x x x x x x x +++++---=，在三维空间中代表何种几何曲面.解：记222123121323123333222f x x x x x x x x x x x x =+++++---则 111232233311(,,)131(1,1,1)113x x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+--- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设 311131113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .则2||(2)(5)λλλ-=--E A . 故A 的特征值为1232,5λλλ===.对于122λλ==，求得特征向量为12111,001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ.由Schmidt 正交化得1212111,201⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ββ.对于35λ=得特征向量3111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，标准化得123,,0⎛⎛ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P 令123(,,)0⎛ ==⎝P P P P则在正交变换=X PY 下2221233225f y y y =++于是0f =为2221233225(1020y y y ++-= 为椭球面.26．求出二次型222123123123(2)(2)(2)f x x x x x x x x x =-+++-+++-的标准形及相应的可逆线性变换.解：将括号展开，合并同类项有2221231213234442f x x x x x x x x x =++--+2221231213234424x x x x x x x x x +++-+-2221231213234244x x x x x x x x x ++++--222123121323666666x x x x x x x x x =++---2221231213236()x x x x x x x x x =++---2221232323113336[()]22442x x x x x x x =--++-22123231196()()222x x x x x =--+- 令 1123223331122y x x x y x x y x⎧=--⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩即 11223311122011001y x y x y x ⎛⎫--⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭则可逆变换为1122331112011001x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭在此可逆线性变换下f 的标准形为2212962f y y =+. 27．用初等变换和配方法分别将二次型（1）222112412142432442f x x x x x x x x x =--++-+ （2）2122313262f x x x x x x =-+化成标准形和规范形，并分别写出所作的合同变换和可逆变换. 解：先用配方法求解（1）2221112142424(44)322f x x x x x x x x x =-+--++2221242424(22)66x x x x x x x =--+++-222124244(22)(3)3x x x x x x =--++--令 11242243344223y x x x y x x y x y x =-+⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即 11242243344243x y y y x y y x y x y =++⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩令 1204010300100001⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形22211243f y y y =-+-若再令11223344z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即11223344y z y zy z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令111⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎝Q 则原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形2221124f y y y =-+-.（2）先线性变换11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩原二次型化成22212132313232()6622f y y y y y y y y y y =--+++221213232248y y y y y y =--+2221322332()282y y y y y y =--+-222132332()2(2)6y y y y y =---+令113223332z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即113223332y z z y z z y z =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩. 令1110110001⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P ，2101012001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭P则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P z 化成标准形2222123226f z z z =-+若再令112233w w w ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 即11223322z w z w z w ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩令22⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P Qw 化成规范形2222123f w w w =-+.用初等变换法求解（1）设1202230100002102--⎛⎫⎪- ⎪=⎪⎪ ⎪-⎝⎭A41202100023010100()0000001021020001--⎛⎫⎪- ⎪=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A E 2121221021000010321000000001023020001r r c c +⨯+⨯--⎛⎫⎪- ⎪−−−→⎪⎪⎪--⎝⎭4141(2)(2)10001000010321000000001003062001r r c c +-⨯+-⨯-⎛⎫⎪- ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭42423310001000010021000000001000034301r r c c +⨯+⨯-⎛⎫ ⎪⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭331000100001002100000000100001033r c -⎛⎫⎪⎪ ⎪→- ⎝⎭令 T11000210000104301⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ，T21000210000100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=P则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211233f y y y =-+-. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2221124f z z z =-+-.（2）设011103130⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A3011100()103010130001⎛⎫⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭A E 3232(1)(1)010100103010036011r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫⎪−−−−→- ⎪ ⎪--⎝⎭ 313133010100100010006311r r c c +⨯+⨯⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭1212210100100010006311r r c c ++⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭21211()21()2200110111000222006311r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭112233,,,10000100001266r c r c r c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→- ⎪ - ⎝⎭令 T111011022311⎛⎫ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭P ，T200⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎝P 则原二次型2f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22221231262f y y y =-+ 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2222123f z z z =-+28．用三种不同方法化下列二次型为标准形和规范形.（1）2221122332343f x x x x x =+++（2）222221234121423342222f x x x x x x x x x x x x =++++--+解：先用配方法求解（1）222112233423()33f x x x x x =+++22212332523()33x x x x =+++ 令 112233323y x y x x y x =⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩ 即 112233323x y x y y x y =⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩令 1002013001⎛⎫⎪⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P则二次型1f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形 22211235233f y y y =++ 若再令1122333z z z y ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 即1122335y z y z y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩ 令35⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形2221123f z z z =++.（2）22222112142342334(22)22f x x x x x x x x x x x x =+-+++-+ 221243233424()222x x x x x x x x x x =+-+-++ 2222124324244()()(2)3x x x x x x x x x =+-+-+--+令 11242243234442y x x x y x x y x x x y x =+-⎧⎪=-⎪⎨=-++⎪⎪=⎩ 即 11242243234442x y y y x y y x y y y x y =--⎧⎪=+⎪⎨=++⎪⎪=⎩令 110101020*******--⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型2f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形2222212343f y y y y =-++若再令11223344z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即112233443y z y zy z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令111⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎝Q 原二次型2f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形222221234f z z z z =-++.用初等变换法求解（1）设200032023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A3200100()032010023001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭A E 32322()32()320010003001052000133r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭112310000010000010155r c r c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪→ ⎪ - ⎝⎭令TT1200100010,0020130⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎪ - ⎪ ⎝⎭⎝P P 则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211235233f y y y =++. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2221123f z z z =++.（2）设1101111001111011-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A 41101100011100100()0111001010110001-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A E 2121(1)(1)10011000001111000111001011110001r r c c +-⨯+-⨯-⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭414110001000001111000111001001101001r r c c ++⎛⎫⎪-- ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 323210001000001111000112111001201001r r c c ++⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−→ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭343410001000000111000032011101201001r r c c ++⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 3232(2)(2)10001000000111000030211101001001r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪- ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭242410001000020101010030211101001001r r c c ++⎛⎫⎪ ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 42421()21()210001000020001010030211111100010222r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭223344100010000100000010333300010r cr cr c⎛⎫⎪→ ⎪-⎪-⎝令T1100001012111111022⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪⎪-⎪⎝⎭PT210000022⎛⎫⎪=-⎝⎭P则原二次型2f可经可逆线性变换1=x P y化成标准形2222212341232f y y y y=++-.2f可经可逆线性变换2=x P z化成规范形222221234f z z z z=++-用正交变换法求解（1）1f的矩阵为200032023⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A，由200||032(1)(2)(5)023λλλλλλλ--=--=-----E A，知A的特征值为1,2,5.对11λ=，解123100002200220xxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，取111⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭T，单位化1⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎝P，对22λ=，解123000001200210xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得1231xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取21⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P，对35λ=解123300002200220xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取311⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭T，单位化得322⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭P，令0102222⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭P，则P为正交阵，经正交变换=X PY，原二次型f化为T22212325f y y y==++X AX.（2）2f的矩阵为1101111001111011-⎛⎫⎪-⎪=⎪-⎪⎪-⎝⎭A由11011110||01111011λλλλλ-----=----E A2(1)(3)(1)λλλ=+--知A的特征值为1,3,1,1-.对11λ=-，解12342101012100,0121010120xxxx--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭得12341111xxkxx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪-⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，取11111⎛⎫⎪- ⎪=⎪-⎪⎪⎝⎭T单位化得112121212⎛⎫⎪⎪⎪-⎪= ⎪⎪-⎪⎪⎪⎝⎭P，对23λ=，解12342101012100,0121010120xxxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭得12341111xxkxx-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭.取 21111-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T 单位化得 212121212⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P . 对341λλ==，解12340101010100,010*******x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得 12123410011001x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭取 341001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T ， 再令340202,002⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭P P 令11022110222110222110222⎛⎫- ⎪ --⎪= ⎪- ⎪ ⎝⎭P ，则P 为正交阵，经正交变换=X PY ， 原二次型f 化为T 222212343f y y y y ==-+++X AX .29．判断下列二次型正定，负定还是不定.（1）2221223121326422f x x x x x x x =---++解：二次型1f 的矩阵为211160104-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭AA 的各阶顺序全子式2112120,110,1603801614---<=>-=-<--. 所以二次型1f 是负定二次型.（2）22222123412131424343919242612f x x x x x x x x x x x x x x =+++-++--解：二次型2f 的矩阵为11211303209613619-⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1110,2013->=>-，1121306029--=>，11211303240209613619---=>--- 所以二次型2f 是正定二次型.（3）222231234131423147644f x x x x x x x x x x =+++++-解：二次型3f 的矩阵为10320120321402007⎛⎫⎪- ⎪=⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1010,1001>=>，103012103214-=>-，1320120330321402007-=-<-. 所以二次型3f 是不定二次型.30．求一可逆线性变换=X CY ，把二次型2221123121325424f x x x x x x x =++--化成规范形2221123f y y y =++，同时也把二次型22221231313233322242f x x x x x x x x x =++--- 化成标准形2222112233f k y k y k y =++.解：记T1f =X AX ，其中212150204--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A31213121121220021290115022040121001112010*********r r r r c c c c ++++⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭A E 323229292009002160091101292019001r r c c ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123123343410001000156610363004r r r c c c ⨯⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪−−−→⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭取5661036004⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪3 ⎪ ⎪⎝⎭P ，则T =P AP E 记 T2f =X BX，其中3012032122⎛⎫- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭B则T150036601210032061225133006644⎛⎫⎫⎪⎪⎛⎫-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B P BP5066104636113100234⎛⎫⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭314413444142⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪⎭2311113442⎛⎫== ⎪⎭B 其中231132⎛⎫ = ⎪⎭B 显然12,B B 都是实对称矩阵，它们的特征值为14倍的关系，特征向量相同.231||13λλλ---=--EB 30(3)14)1(3)04)4λλλλλ---=----2(4)0λλ=-=则2B 的特征值为230,4λλλ===，故1B 的特征值为0,1,1. 以下求2B 的特征向量.对于10λ=，求得11⎛ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α，单位化后11212⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪γ 对于234λλ==，求得2311,001⎛⎫⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα由Schmidt 标准正交化后得23121,20⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭γγ令123112211(,,)220⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪Q γγγ. 则Q 为正交矩阵，且有T T T 10()11⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭Q B Q Q P BP Q令511662*********304⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭CPQ 23130⎫⎪⎪=⎪⎪⎭于是 TTT==Q P APQ Q EQ E即 T=C AC ET 011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C BC在可逆线性变换=X CY 下2221123f y y y =++22223f y y =+.（注：经验算本题所得C 是正确的，需要注意的是C 并不惟一）31．求一可逆线性变换=X PY ，将二次型f 化成二次型g .2221231213232938410f x x x x x x x x x =+++--222123121323236448g y y y y y y y y y =++--+解：Tf =X AX ，242495253-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ， T g =Y BY ，222234246--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B 将,A B 分别作合同变换如下：21313221323122242200200495011010253011000100121121010010011001001001r r r r r r c c c c c c -++-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E 在可逆线性变换1=X C Z 下22122f z z =+ 其中 1121011001--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C 21313221323122220020023401201024602400100111111010010012001001001r r r r r r c c c c c c ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B E 在可逆线性变换2=YC Z 下22122g z z =+.其中 2111012001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭C由 12-=Z C Y 得1112-==X C Z C C Y令 1112121111136011012003001001001-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P C C 在可逆线性变换=X PY 下22122f g z z ==+.32．A 是正定矩阵，AB 是实对称矩阵，则AB 是正定矩阵的充分必要条件是B 的特征值全大于零．证：先证必要性．设λ 为B 的任一特征值，对应的特征向量为,,0≠X X 则 且有X BX λ=用A X T 左乘上式有AX X X AB X T T )(λ=因为AB ，A 都是正定矩阵，故0,0)(T T >>AX X X AB X于是0>λ，即B 的特征值全大于零．再证充分性．因为A 是正定矩阵，所以A 合同于单位矩阵，故存在可逆矩阵P ，使E AP P =T （1）由AB 是对称矩阵，知P AB P )(T也是实对称矩阵，因此存在正交矩阵Q ，使),,,,diag(])([1T T n i μμμ ==D Q P AB P Q （2）即有),,,,diag()()(1TT n i μμμ ==D PQ B A P Q （3）其中n i μμμ,,,,1 是P AB P )(T的特征值． 在（1）的两端左乘TQ ，右乘Q 有E PQ A P Q E Q AP P Q ==))(()(T T T T 即这说明)()(TTPQ A P Q 与互逆，也就是说1T T )()(-=PQ A P Q将上式代入（3），说明矩阵B 与对角阵D 相似，故它们的特征值相等；由条件知B 的特征值全大于零，因此对角阵D 的特征值也全大于零． 由（2）知AB 与D 合同，因此AB 的特征值全大于零．33．设,A B 为n 阶实正定阵，证明：存在可逆阵P ，使T =P AP E 且T 12diag(,,,)n λλλ=P BP ，其中120n λλλ≥≥≥>为||0λ-=A B 的n 个实根.证：因A 正定，故存在可逆矩阵1P ，使T 11=P AP E因B 正定，故存在可逆矩阵2P ，使T 22=B P P于是T T T T 1112212121()()==P BP P P P P P P P P易见T11P BP 为正定矩阵，不妨设它的特征值为120n λλλ≥≥≥>.则 TTT11111||||λλ-=-E P BP P AP P BP T11||||||λ=-P A B P 故 T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B 即 120n λλλ≥≥≥>为||0λ-=A B 的几个实根.由 T11P BP 为正定阵，知其为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q ，使 T T 1112()diag(,,,)n λλλ=Q P BP Q 令 1=P PQ ，则 TT 12,diag(,,,)n λλλ==P AP E P BP34．设A 为n 阶实正定阵，B 为n 阶实半正定阵，则||||+≥A B A . 证：因为A 是n 阶正定矩阵，所以存在n 阶可逆矩阵C ，使得T =C AC E . 因为B 是n 阶半正定阵，则TC BC 仍是实对称半正定阵，故存在正交阵Q ，使得1T T T 1()()diag(,,,,)i n D -===Q C BC Q Q C BC Q λλλ其中 0,1,,i i n λ≥=为T C BC 的特征值，且有T T ()=Q C AC Q E令=P CQ ，则P 为可逆矩阵，于是T T ,==P AP E P BP DT T T ()+=+=+P A B P P AP P BP E D上式两端取行列式，得T1||||||||(1)1ni i λ=+=+=+≥∏P A B P E D ||||||T =P A P因 T||||0=>P P ， 故 ||||+≥A B A .35．设,A B 均为实正定阵，证明：方程||0λ-=A B 的根全大于0.证：由33题知T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B . 其中T11P BP 为正交矩阵，它的特征值0i λ>，1,,i n =，故||0λ-=A B 的根全大于0.36．设A 为n 阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B ，使2B A =． 证：因为A 是正定矩阵，所以是实对称矩阵，于是存在正交矩阵P ，使12-1T n λλλ⎛⎫ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP P AP D 其中n λλλ,,,21 为A 的n 个特征值，它们全大于零．令),,,2,1(n i i i ==λδ 则21111222222n n n n δλδδλδδδλδδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D而 1122T T n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A PDP P P 1122T T n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P P 令 B =12Tn δδδ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P P显然B 为正定矩阵，且2B A =．37．设A 为n 阶可逆实方阵，证明：A 可表示为一个正定阵与一正交阵的乘积．证：因为A 是n 阶可逆实方阵，故TA A 是正定矩阵，所以存在n 阶正定矩阵B ，使T 2=A A B .于是有1T 11T T 11T 21()()()()------===AB AB B A AB B B B E这说明1-AB 是正交阵. 令 1-=ABQ则 =A QB ，其中Q 是正交矩阵，B 是正定矩阵.38．A 、B 为n 阶正定矩阵，则AB 也为n 阶正定矩阵的充分必要条件是：AB =BA ，即A 与B 可交换．证：方法一 先证必要性．由于A 、B 、AB 都是正定矩阵，所以知它们都是对称矩阵，因此有AB AB B B A A ===T T T )(,,于是BA A B AB AB ===T T T )(即A 与B 可交换．再证充分性． 由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．因为,A B 是正定矩阵，故它们皆为实对称矩阵，且有可逆矩阵P 、Q ，使Q Q B P P A T T ,==于是Q PQ P AB T T =上式左乘Q ，右乘1-Q 得)()()(T T T T T 1PQ PQ PQ QP Q AB Q ==-这说明AB 与对称矩阵)()(TTT PQ PQ 相似；因为P TQ 是可逆矩阵，故矩阵)()(TTT PQ PQ 是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零． 综合上述知AB 正定． 方法二必要性同方法一，以下证明充分性． 由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．由于A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使A=Q T Q于是T T T T 1()λλλ--=-=-E AB E Q QB E Q QBQ QT T 1T T T 1T T T 1T()()()()λλλ---=-=-=-Q E Q Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQT 00λλ-=⇔-=E AB E QBQ这说明AB 与TQBQ 有相同的特征值．因为B 是正定矩阵，易见TQBQ 也是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零．综合上述知AB 正定．39．设A 、B 为实对称矩阵，且A 为正定矩阵，证明：AB 的特征值全是实数． 证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=， 于是有T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ即T||0||0λλ-=⇔-=E AB E QBQ .因为B 是实对称矩阵，所以TQBQ 也是实对称矩阵，因此它的特征值都是实数，故AB 的特征值也都是实数．40．设A 是正定矩阵，B 是实反对称矩阵，则AB 的特征值的实部为零． 证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ因为B 是实反对称矩阵，所以TQBQ 也是实反对称矩阵，因此它的特征值实部为零，故AB 的特征值实部也为零．41．设A 是正定矩阵，B 是半正定的实对称矩阵，则AB 的特征值是非负的实数． 证：由于A 是正定的，所以1-A 也是正定的，于是存在可逆矩阵P ，使得P P A T 1=-，因此1T T T 11T T 111T 11T 111T 1()()()()()λλλλλλλλ-------------=-=-=-=-=-=-=-E AB A A B A P P B A P E P BP PA P P E P BP A A E P BP E P BP E P BP即0)(01T 1=-⇔=---BP P E AB E λλ.由于B 是半正定的实对称矩阵，故1T1)(--BPP 是半正定的实对称矩阵，因此0)(1T 1=---BP P E λ的根是非负实数．于是0=-AB E λ的根也是非负实数，即AB的特征值是非负的实数．42．求证实二次型∑∑==++=n r ns sr n xx s r krs x x f 111)(),,( 的秩和符号差与k 无关．证：二次型的矩阵为22334(1)2344652(2)3465963(3)(1)2(2)3(3)22k k k nk n k k k nk n k k k nk n nk n nk n nk n n k n +++++⎛⎫ ⎪+++++ ⎪+++++= ⎪⎪⎪+++++++⎝⎭A。