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自主园地 备考套餐加固训练 练透考点1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1中点，则直线CE 垂直于( )A ．ACB ．BDC ．A 1DD ．A 1A解析：以A 为原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A (0,0,0)，C (1,1,0)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，A 1(0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1， ∴CE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，－12，1，AC →＝(1,1,0)，BD →＝(－1,1,0)，A 1D →＝(0,1，－1)，A 1A →＝(0,0，－1)．显然CE →·BD →＝12－12＋0＝0， ∴CE →⊥BD →，即CE ⊥BD . 答案：B2．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线NO 、AM 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直解析：建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，M (0,0,1)，O (1,1,0)，N (2,1,2)，NO →＝(－1,0，－2)，AM →＝(－2,0,1)，NO →·AM →＝0，则直线NO 、AM 的位置关系是异面垂直．答案：C3．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：∵正方体棱长为a ，A M ＝AN ＝2a， ∴MB →＝23A 1B →，CN →＝23CA →，∴MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23A 1B →＋BC →＋23CA →＝ 23(A 1B 1→＋B 1B →)＋BC →＋23(CD →＋DA →)＝23B 1B →＋13B 1C 1→.又∵CD →是平面B 1BCC 1的法向量，且MN →·CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23B 1B →＋13B 1C 1→·CD →＝0， ∴MN →⊥CD →， ∴MN ∥平面B 1BCC 1. 答案：B4．如图，已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1.求证：(1)BC 1⊥AB 1； (2)BC 1∥平面CA 1D .证明：如图，以C 1点为原点，C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．(1)由于BC 1→＝(0，－2，－2)， AB 1→＝(－2,2，－2)， 所以BC 1→·AB 1→＝0－4＋4＝0， 因此BC 1→⊥AB 1→，故BC 1⊥AB 1.(2)连接A 1C ，取A 1C 的中点E ，连接DE ，由于E (1,0,1)，所以ED →＝(0,1,1)， 又BC 1→＝(0，－2，－2)，所以ED →＝－12BC 1→，又ED 和BC 1不共线， 所以ED ∥BC 1，又DE ⊂平面CA 1D ， BC 1⊄平面CA 1D ，故BC 1∥平面CA 1D .。
第七章第六节1．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数解析：选B至少有一个的否定是一个也没有，即a，b，c都不是偶数.2．在△ABC中，sin A sin C＜cos A cos C，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选C由sin A sin C＜cos A cos C得，cos A cos C－sin A sin C＞0，即cos(A＋C)＞0，所以A＋C是锐角，从而B＞π2，故△ABC必是钝角三角形.3．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做恒和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n}是恒和数列，且a1＝2，公和为5，这个数列的前n项和为S n，则S21的值为()A．42B．52C．53D．63解析：选B由恒和数列的定义，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)．所以S21＝3×10＋2×11＝52.4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac ＜3a”索的因应是()A．a－b＞0B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0解析：选C b2－ac＜3a⇔b2－ac＜3a2⇔(a＋c)2－ac＜3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇔－2a 2＋ac ＋c 2＜0⇔2a 2－ac －c 2＞0⇔(a －c )(2a ＋c )＞0⇔(a －c )(a －b )＞0.故选C.5．若a 、b 、c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b 与a ＜b 及a ＝b 中至少有一个成立；③ a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由已知得①②正确，③中，a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可能同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，所以③不正确．故选C.6．“a ＝14”是“对任意正数x ，均有x ＋a x≥1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若a ＝14时，则x ＋a x ＝x ＋14x≥2 x ·14x ＝1，当且仅当x ＝14x ，即x ＝12时等号成立；反之由x ＋a x ≥2a ≥1得a ≥14.故“a ＝14”是“对任意正数x ，均有x ＋a x≥1”的充分不必要条件．故选A.7．(2014·海口调研)设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________． 解析：a ＜b 将a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，由6＜7知a 2＜b 2，从而a ＜b .8．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是______．解析：a ≥0，b ≥0且a ≠b a a ＋b b ＞a b ＋b a ，即(a －b )2(a ＋b )＞0，需满足a ≥0，b ≥0且a ≠b .9．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，则三边a ，b ，c 应满足________．解析：b 2＋c 2＜a 2由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＜0，所以b 2＋c 2－a 2＜0，故b 2＋c 2＜a 2.10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)解析：③ 对于①若a ＝12，b ＝23，则a ＋b ＞1，但a ＜1，b ＜1，故①推不出； 对②若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；对④若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出；对⑤若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1，用反证法，假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.11．已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 证明：∵m ＞0，∴1＋m ＞0， ∴要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m ， 即证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，又(a －b )2≥0显然成立， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 12．(2014·青岛质检)已知a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，满足sin B ＋sin Csin A ＝2－cos B －cos C cos A，函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，2π3上单调递减．(1)求证：b ＋c ＝2a ；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π9＝cos A ，求证：△ABC 为等边三角形．证明：(1)∵sin B ＋sin C sin A ＝2－cos B －cos C cos A. ∴sin B cos A ＋sin C cos A ＝2sin A －cos B sin A －cos C sin A ，∴sin B cos A ＋cos B sin A ＋sin C cos A ＋cos C sin A ＝2sin A ，∴sin(A ＋B )＋sin(A ＋C )＝2sin A ，∴sin C ＋sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＋c ＝2a .(2) 由题意知2πω＝4π3，解得ω＝32， ∵f ⎝⎛⎭⎫π9＝sin π6＝12＝cos A ，A ∈(0，π)，∴A ＝π3. 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∵b ＋c ＝2a ，∴b 2＋c 2－⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝bc ，整理得b 2＋c 2－2bc ＝0，∴b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形.1．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( )A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列解析：选B 由已知条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ， ②y 2＝bc ， ③由②③得⎩⎨⎧ a ＝x 2b ，c ＝y 2b .代入①，得x 2b ＋y 2b＝2b ，即x 2＋y 2＝2b 2.故x 2，b 2，y 2成等差数列．选B.2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围为( )A ．[1,4]B ．[2,3]C ．[2,5]D ．[3，＋∞)解析：选B 由题意知a ≥2，所以二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋5的图象的对称轴为x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，∴(6－2a )－(5－a 2)≤4，解得－1≤a ≤3.又a ≥2，∴2≤a ≤3.故选B.3．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)．给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26.其中正确结论的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选A (1)由f (1,1)＝1和f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2得f (1,2)＝f (1,1＋1)＝f (1,1)＋2＝1＋2＝3，f (1,3)＝f (1,2)＋2＝5，f (1,4)＝f (1,3)＋2＝7，f (1,5)＝f (1,4)＋2＝9；故正确．(2)由f (1,1)＝1和f (m ＋1,1)＝2f (m,1)得f(2,1)＝f(1＋1,1)＝2f(1,1)＝2，f(3,1)＝2f(2,1)＝4，f(4,1)＝2f(3,1)＝8，f(5,1)＝2f(4,1)＝16，故正确．(3)由f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2得f(5,6)＝f(5,5)＋2，而f(5,5)＝f(5,4)＋2，f(5,4)＝f(5,3)＋2，f(5,3)＝f(5,2)＋2，f(5,2)＝f(5,1)＋2＝16＋2＝18，则f(5,6)＝26.故正确．因此(1)、(2)、(3)都正确，故选A.4．已知点A n(n，a n)为函数y＝x2＋1图象上的点，B n(n，b n)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设c n＝a n－b n，则c n与c n＋1的大小关系为________．解析：c n＋1＜c n由条件得c n＝a n－b n＝n2＋1－n＝1n2＋1＋n，所以c n随n的增大而减小．所以c n＋1＜c n.5．对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．试判断g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说明理由．解：g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函数，证明如下：因为x∈[0,1]，所以2x≥1,2x－1≥0，即对任意x∈[0,1]，总有g(x)≥0，满足条件①.g(1)＝21－1＝2－1＝1，满足条件②.当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，g(x1＋x2)＝2x1＋x2－1，g(x1)＋g(x2)＝2x1－1＋2x2－1，于是g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝(2x1＋x2－1)－(2x1－1＋2x2－1)＝2x1·2x2－2x1－2x2＋1＝(2x1－1)(2x2－1)．由于x1≥0，x2≥0，所以2x1－1≥0,2x2－1≥0，于是g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]≥0，因此g(x1＋x2)≥g(x1)＋g(x2)，满足条件③；故函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函数．。
