下载文档原格式
实验三 电力系统暂态稳定分析电力系统暂态稳定计算实际上就是求解发电机转子运动方程的初值问题，从而得出δ-t 和ω-t 的关系曲线。
每台发电机的转子运动方程是两个一阶非线性的常微分方程。
因此，首先介绍常微分方程的初值问题的数值解法。
一、常微分方程的初值问题 （一）问题及求解公式的构造方法我们讨论形如式（3-1）的一阶微分方程的初值问题⎩⎨⎧=≤≤='00)(),,()(y x y bx a y x f x y （3-1） 设初值问题（3-1）的解为)(x y ，为了求其数值解而采取离散化方法，在求解区间[b a ,]上取一组节点b x x x x x a n i i =<<<<<<=+ 110称i i i x x h -=+1（1,,1,0-=n i ）为步长。
在等步长的情况下，步长为nab h -=用i y 表示在节点i x 处解的准确值)(i x y 的近似值。
设法构造序列{}i y 所满足的一个方程（称为差分方程）),,(1h y x h y y i i i i ϕ⋅+=+ （3-2）作为求解公式，这是一个递推公式，从（0x ，0y ）出发，采用步进方式，自左相右逐步算出)(x y 在所有节点i x 上的近似值i y （n i ,,2,1 =）。
在公式（3-2）中，为求1+i y 只用到前面一步的值i y ，这种方法称为单步法。
在公式（3-2）中的1+i y 由i y 明显表示出，称为显式公式。
而形如（3-3）),,,(11h y y x h y y i i i i i ++⋅+=ψ （3-3）的公式称为隐式公式，因为其右端ψ中还包括1+i y 。
如果由公式求1+i y 时，不止用到前一个节点的值，则称为多步法。
由式（3-1）可得dy =dx y x f ),( （3-4）两边在[i x ，1+i x ]上积分，得⎰++=+1))(,()()(1i ix x i i dx x y x f x y x y （3-5）由此可以看出，如果想构造求解公式，就要对右端的积分项作某种数值处理。
电力系统暂态稳定性分析的数学模型及其求解方法电力系统暂态稳定性是电力系统运行中一个重要的问题，它涉及到了电力系统的可靠性和安全性。
在电力系统中，由于各种原因（如电力故障、突发负荷变化等），系统会发生暂态扰动，这会对系统的稳定性产生影响。
因此，对电力系统的暂态稳定性进行分析和求解具有重要的实际意义。
一、电力系统暂态稳定性的数学模型电力系统暂态稳定性的数学模型是对电力系统进行描述和分析的基础。
其核心是用一组偏微分方程描述电力系统的动态行为。
通常，电力系统暂态稳定性的数学模型可以分为两个方面，即电力系统的动态方程和控制方程。
1. 电力系统的动态方程电力系统的动态方程描述了电力系统各个元件（包括发电机、负荷等）的动态行为。
其中，最重要的是发电机的动态方程，其模型可以采用不同的形式，如压敏调压器模型、电压控制器模型等。
此外，还需要考虑负荷、传输线和变压器的动态方程等。
2. 电力系统的控制方程电力系统的控制方程是为了描述系统中各种控制装置的动态行为。
常见的控制方程包括励磁控制方程、电压和功率控制方程等。
这些方程描述了控制装置对电力系统的调控作用，能够稳定系统的运行。
二、电力系统暂态稳定性的求解方法为了求解电力系统的暂态稳定性问题，需要采用一些数值计算方法。
以下介绍几种常用的求解方法。
1. 时域法时域法是一种基于系统动态方程的求解方法。
它通过数值积分的方式，迭代求解系统的动态响应。
这种方法适用于电力系统的小扰动和中等扰动情况，可以得到系统的暂态过程。
2. 频域法频域法是一种基于系统频域响应的求解方法。
它可以通过系统的频率响应特性来分析系统的暂态稳定性。
常见的频域法有等效系统法、阻抗法等。
这些方法适用于长时间尺度上的电力系统分析。
3. 优化算法优化算法是一种基于优化理论的求解方法。
它通过优化问题的数学模型，寻找系统的最优运行条件，以提高电力系统的暂态稳定性。
常见的优化算法有遗传算法、粒子群算法等。
4. 强化学习算法强化学习算法是一种基于智能系统的求解方法。
微分方程电流暂态解和稳态解
微分方程在电路分析中是一个非常重要的工具。
它可以用来描
述电路中电流和电压的变化，从而帮助我们理解电路的行为。
在电
路中，我们经常需要分析电流的暂态解和稳态解，这对于设计和分
析电路至关重要。
首先，让我们来看看电流的暂态解。
在电路中，暂态解描述的
是电路中电流和电压随时间的变化。
这种变化通常是由电路中的电容、电感和电阻等元件引起的。
通过微分方程，我们可以建立描述
这些元件之间关系的方程，然后求解这些方程，得到电流随时间的
变化。
这对于分析电路在开关、脉冲等外部条件下的响应非常有用。
其次，让我们来看看电流的稳态解。
稳态解描述的是电路中电
流和电压在长时间内的稳定行为。
在稳态下，电路中的电流和电压
通常不再随时间变化，而是达到了稳定的状态。
通过微分方程，我
们可以建立描述电路稳态行为的方程，然后求解这些方程，得到电
路中电流和电压的稳定状态。
这对于设计和分析稳定工作的电路非
常重要。
总之，微分方程在电路分析中发挥着重要作用，可以帮助我们
理解电路中电流和电压的暂态和稳态行为。
通过对微分方程的求解，我们可以得到电路中电流和电压随时间的变化，以及稳定状态下的
行为，从而更好地设计和分析电路。
电路的暂态分析电路的暂态分析指的是对电路在瞬间输入或变化时的瞬态响应进行分析。
在电路设计、故障诊断等领域都有着广泛的应用。
本文将从理论模型、暂态响应的特点以及常见的分析方法三个方面来介绍电路的暂态分析。
理论模型在进行电路的暂态分析前，需要先建立电路的理论模型。
这包括对电路的电学特性进行建模以及对电路元件的特性进行分析。
电学特性模型电路的电学特性主要包括电阻、电容、电感等基本元件的特性。
其中，电阻和电容的特性模型比较简单，可以用欧姆定律和电容充放电公式进行描述。
而对于电感元件，需要利用基尔霍夫电压定律以及利用长度为l的线圈的感性L和匝数n之间的关系公式来进行描述。
在建立电路理论模型时，还需要考虑电源特性以及信号源电压的特性。
其中，电源特性可以用理想电压源或者理想电流源进行模拟；而对于实际应用中的非理想电源，需要通过实验或者仿真获取其精确的电源特性。
元件特性分析在进行电路暂态分析时，还需要考虑不同元件的特性。
例如，对于电容元件，如果其充放电速度过快，可能会导致电容器击穿或者损坏。
而对于电感元件，由于其自身存在的电感作用，可能会对电路的瞬态响应产生影响。
因此，在电路模型建立时，需要充分考虑每个元件的特性，以便更准确地描述和分析电路。
暂态响应的特点对于电路来说，其暂态响应有着以下几个特点：瞬时响应在电路遭受瞬间输入或变化时，电路会出现瞬时响应。
在瞬间输入或变化后，电路各元件的电压和电流瞬间变化，并在一定时间内达到最终稳定状态。
频率响应与频率响应不同的是，瞬态响应表示电路在瞬间输入或变化后的响应。
在瞬间输入或变化后，电路会出现瞬变，一般在几个时间常数内达到最终稳态。
这个过程可以看做是一个低通滤波器，对于高频信号的衰减比较快。
强迫响应强迫响应是指电路的强制响应，是由于电路中有源元件的作用产生的响应。
强迫响应是由电路中的输入信号和有源元件共同确定的。
常见的分析方法在进行电路暂态响应的分析时，有多种方法可供选择。
始资料：3机9节点系统图：图1支路参数：发电机参数表216.5kv3注：表中所有时间常数的单位为“S”，阻尼系数D及所有电阻、电抗均为“表幺值”。
正常运行情况下的系统潮流表：消去负荷节点的分析电路图：81.消去系统的负荷节点 计算负荷的等值阻抗：因为 2U U U zl IS SU•••===所以22,5,6,8*U U Li Li zl i i P j QS Li===-负荷对应的导纳为：21,5,6,8LiP jQyl i i ZL iU -===令用于系统潮流计算的节点导纳矩阵为Y。
暂态稳定分析中，负荷采用恒阻抗模型，将相应节点的负荷导纳值并入系统中，即修改系统中5,6,8号节点的自导纳值为：,5,6,8iiii lii yyy =+=如此,便可得到消去系统负荷节点后的节点导纳矩阵'NNY.2.系统的初值计算系统暂态稳定分析过程中需要求解微分方程，因此需要计算系统初值。
暂态稳定分析中，需用到系统运行状态变量x 和运行变量y 。
在本次系统暂态稳定分析中，发电机采用经典模型、负荷为恒阻抗模型、网络用节点导纳矩阵描述；因此，',t U x y P E θδω⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦据原始资料可知，y已知，故需要据系统原始资料求解x 。
求各发电机暂态电动势： 电路图为如下：U•由简单系统潮流计算公式得：'Q X d U U ∆= ; 'P X dU Uδ=所以''()U U j U E E δδ••=∠=+∆+用直角坐标可表示为：''x y Ux U Uy U E E δ⎡⎤∆⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中1'1'()()*()*;()()*()*;111d d U diag Q diag diag I U diag P diag diag I I U X U X δ--∆==⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故可得'''''arctan()x yy xj E EE E EEδ•=+==在暂态稳定分析计算过程中，认为系统发电机的调速系统可维持原动机的输入功率不变。
即有tem P P= ，02fωπ=3.暂态稳定分析的网络方程暂态稳定计算过程中的网络代数方程与系统潮流计算时的网络代数方程有所区别，前者是由消去系统网络负荷节点的网络代数方程和发电机方程组合而成的。
用于暂态稳定分析的代数方程可以描述为：'0G GY E I-= （1）其中'E 为发电机的暂态电动势，GY为消去负荷节点和考虑发电机内节点，并消去网络中联络节点后的节点导纳矩阵，GI为发电机实际注入电流。
列写发电机方程：暂态稳定计算中，考虑励磁系统具有维持发电机暂态电抗qX后的暂态电动势'qE保持不x变的能力，并令'q qX X=,即发电机采用经典模型。
发电机用'qE表示时，按固定在发电机转子上的d,q 轴坐标来建立发电机电压平衡方程式有:''''0U E E I X q Gd dGq U I X Gq dGd ==+=-⎧⎨⎩写成矩阵形式为：'''00U E X I q dGq Gq U X I dGq Gd -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦系统潮流计算的代数方程中各节点的电压电流等相量均是以某一同步旋转轴的坐标系为基准的，今假设此坐标轴为直角坐标轴x-y 。
因此，为了便于发电机方程与网络方程的联立求解，需要将发电机d-q 坐标系下的电压平衡方程转化为x-y 坐标轴下的电压平衡方程。
同时，在暂态稳定计算过程中，可以假设系统同步旋转轴和x 轴重合，故在发电机经典模型下可以将发电机q 轴与x 轴间的夹角认为是发电机的绝对功率角δ。
坐标间的转换关系，可参照如下相量图 。
由上图可以得知故有cos sin sin cos cos sin sin cos U U Gx Gq U U Gy Gq I I Gx Gq I I Gy Gq δδδδδδδδ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦cos sin sin cos U U Gq Gx U U Gd Gy δδδδ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦因此'''0cos sin cos sin 0cos sin sin cos sin cos 0sin cos U X I dGq Gq q U X I dGq Gq E δδδδδδδδδδδδ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 因此'''''1100cos sin 1sin cos 1000I Gx d d Gx q I Gy Gy d d X X X X U E U δδδδ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦''000I Gx xxx Gxx Gxq I Gy y y y Gy y Gy C U C U B B E E C UC UB B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇒=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中 ''''sin cos 11,,,x y x y ddddC C B B XXXXδδ--====所以'''G GG GN G U I Y E Y =- (2)在直角坐标系下的表达式为''''''000U I Gx Gx Gx GG GNU I Gy Gy Gy GGGNE E B BB B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-- 其中''''''''11,,,GGGG GN GN GG GN ddj j YB Y B B B XX===-=-所以''GGGNY Y=消去负荷节点后的系统网络方程为NNU I Y= （3）其中,U I 分别为系统的节点电压和节点注入电流。
联立方程（1）（2）得：''''GG GG NN GN U IU Y E I Y Y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩ 在方程（2）中，由于已消去了网络中的负荷节点，因此可知仅仅只有连接发电机的节点才会有注入电流，且满足G I I =.因此可以将上述方程组改写为：'0GG GN NGNN I U Y Y E Y Y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（4）其中'E 是各发电机暂态电动势组成的列向量，U 是网络中各节点电压组成的列向量。
GGGNNGNN Y Y Y Y⎡⎤⎢⎥⎣⎦是一个（3+9）⨯（3+9）的矩阵。
GG Y 是3⨯3, GN Y 是3⨯9, NG Y 是9⨯3,且有()TNGGN YY =，NNY是9⨯9.各分块矩阵的求解如下：'''123111(,,)GG d d d diag j j j X X X Y = ;'1'2'3100000000100000000100000000d GNd d j j j X YX X⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦可知'GG GG Y Y =；GN Y 与'GG Y 的非零元素相同，只是矩阵的阶数不同。
'NN NN GG Y Y Y =+即NNY可由系统潮流计算的节点导纳矩阵Y变换而来，变换过程中只需修改对应负荷和发电机节点的自导纳值，即在系统负荷节点处并入负荷的等值导纳值，在发电机节点并入发电机的内阻抗值。
处理暂态计算过程中的网络代数方程（3）如下：''0E U I YY GG GN U Y E Y NG NN ⎧⋅+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⋅⎩（5）（6）结合（4）、（5）消去变量U 可得：'''11()NG GG G GN NN GG GN NN NG G GE E I Y E Y Y Y Y Y Y Y ---=-=所以'1()NG GG GN NN GI E Y Y Y Y --= （7）所以比较（1）、（7）可得1G GG GN NN NG G jB Y Y Y Y Y -=-=+ (8)4.微分-代数方程电力系统暂态稳定数值计算过程实际上是求解系统的微分-代数方程，再据求解结果判断系统在受到大干扰后，能否保持系统的稳定运行。
据本次暂态稳定分析建立的数学模型可知，系统微分方程仅包括发电机转子的运动方程。
列写3机9节点系统暂态计算过程中的微分-代数方程如下：发电机转子运动方程为：0(1)J t emd dtd T dt P P δωωω⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（9） 其中δ为发电机绝对功率角，2fπω=为同步角速度，式中各时间量的单位s ，其它物理量均为表幺值。
方程（9）中系统角加速度用有名值表示时10)(J em t d dt d P T P dtδωωω-⎧=∆⎪⎪⎨∆⎪=-⎪⎩ (10) 将方程（7）和（10）联立可得系统暂态计算的微分-代数方程组，即10'1)((0)J em t NG GG GN NN G d dt d P T P dt I E Y Y Y Y δωωω--⎧=∆⎪⎪∆⎪=-⎨⎪⎪--=⎪⎩（11） 上述微分-代数方程组可采用交替法求解。
暂态计算过程中，求解系统代数方程是为了求出每台发电机的电磁功率，进而可以利用数值积分法求解发电机转子运动方程，从而得出每台发电机的绝对功率角以及发电机间的功角差，最后据求解结果对系统的稳定性进行判断。
因此，在电力系统经典模型下，可以通过对系统代数方程的推导并结合发电机电磁功率计算公式，直接求出发电机的电磁功率，而不需要重复求解系统代数方程中的每一个变量，这样不仅利于优化暂态计算程序而且提高了暂态计算的求解速度。
发电机的电磁功率的计算：*'emi Gi i iijQ S P iE δ=+=∠所以'*)Re(emi i iE i P iδ=∠ （12）据系统代数方程（7）得3'13**'1,1,2,3(13)ij j i j j ij j i jj Y i i E i Y E δδ===∠=⇒=∠-∑∑将（13）代入方程（12）中得33*11321'''')()Re(Re('''(cos sin )())emi ijijij ij jj j j ij ij j j iE E P i i ij G G E E B E i j ij ii ij i j E G Y B E δδδδδ===≠=∠∠-=⋅∠=++∑∑-⋅∑式中11j G Y B ij ij ij j Z R X ijij ij=+==+, 令()()22()()j 221sin sin 1sin sin 1cos cos X B ii ii arctg arctg ii G R iiii X ij Bii arctg arctg i G R ij ij G Y ii ii ii ii Z iiG Y ij ij ij ijZ ijB Y ij ij ij ijZ ijππαππααααααα-=-=-=-=--===-=-==所以可得发电机电磁功率为32'''sin sin ),1,2,3(()1i P Y E E Y E emi ii i j ij ii ij ij i j j iδαα=+⋅-=∑=≠ （14）将（14）代入方程组（11）中，因此可得系统的微分-代数方程如下：312'''sin sin ))((()01d ii dt d i P Y E E Y E ii i j ij ii ij ti ij i dt T jj j iδωωδωαα⎧=∆⎪⎪⎪∆⎨=--⋅-∑⎪=⎪⎪≠⎩(15) 可知，系统暂态计算就是求解微分方程组（15）。
