第11讲 镜像法

镜像的成像规律在我们的日常生活中，镜子是一个常见的物品。

当我们站在镜子前，会看到一个与自己相似但又左右相反的影像，这就是镜像。

那么，镜像的成像到底遵循着怎样的规律呢？让我们一起来探究一下。

首先，我们要明白镜像的形成是基于光的反射原理。

当光线照射到镜子表面时，会发生反射，这些反射光线进入我们的眼睛，我们就看到了镜子中的像。

在平面镜成像中，有几个重要的规律。

第一，像是虚像。

什么是虚像呢？就是说这个像并不是由实际光线汇聚而成的，而是我们的眼睛“认为”光线是从那个位置射过来的。

你用手去“抓”镜子里的像，肯定是抓不到的，这就说明了像是虚的。

第二，像与物体的大小相等。

不管你离镜子远还是近，镜子里的你看起来和真实的你在大小上是一样的。

想象一下，一个身高 18 米的人站在镜子前，镜子里的像也是 18 米高。

第三，像与物体到平面镜的距离相等。

假如你距离镜子 2 米，那么镜子里的像距离镜子也是 2 米。

这就好像是镜子在中间，把你和你的像对称地分开了。

第四，像与物体的连线与平面镜垂直。

简单来说，就是你和你的像之间的连线，如果延长的话，会和镜子所在的平面成 90 度角。

这些规律在我们的生活中有很多实际的应用。

比如，在服装店里，试衣镜让我们能够看到自己穿上新衣服的效果，就是基于像与物体大小相等、距离相等这些规律。

还有，牙医在检查牙齿时，会使用小平面镜，也是利用了平面镜成像的原理，能够更清楚地看到牙齿的情况。

除了平面镜成像，还有凸面镜和凹面镜成像。

凸面镜能使平行光线发散，因此它所成的像是缩小的虚像。

在道路的拐弯处，我们常常能看到凸面镜，就是为了让司机能够看到更大范围的路况，保证行车安全。

凹面镜则能使平行光线会聚，它可以成实像也可以成虚像。

比如手电筒里的反射面就是凹面镜，能够把灯泡发出的光会聚起来，照得更远更亮。

我们再来深入探讨一下平面镜成像的特点。

当物体在平面镜前移动时，像也会随之移动，而且移动的方向是相反的。

比如，你向左移动，像就会向右移动。

镜像法原理镜像法，又称镜像原理，是物理学中的一种重要原理，它在光学、电磁学、流体力学等领域都有着广泛的应用。

镜像法的基本原理是通过假想一个镜像，来简化问题的求解，从而使得问题的求解变得更加容易和直观。

镜像法的应用可以大大简化问题的求解过程，提高问题的解决效率。

下面我们将详细介绍镜像法的原理及其在不同领域的应用。

首先，我们来介绍镜像法在光学中的应用。

在光学中，镜像法被广泛应用于光学成像问题的求解。

例如，在平面镜成像问题中，我们可以通过假想一个虚拟的物体，将实际物体和虚拟物体关于镜面的位置进行对称，从而得到虚拟物体的像的位置。

这样一来，我们就可以利用镜像法来简化平面镜成像问题的求解过程，大大提高问题的求解效率。

其次，镜像法在电磁学中也有着重要的应用。

在电磁学中，镜像法被广泛应用于求解导体表面的电场分布问题。

通过假想一个虚拟的镜像电荷，将实际电荷和虚拟电荷关于导体表面进行对称，从而得到虚拟电荷在导体表面的电场分布。

这样一来，我们就可以利用镜像法来简化导体表面的电场分布问题的求解过程，提高问题的解决效率。

此外，镜像法还在流体力学中有着重要的应用。

在流体力学中，镜像法被广泛应用于求解流体与固体边界的流动问题。

通过假想一个虚拟的镜像流体，将实际流体和虚拟流体关于固体边界进行对称，从而得到虚拟流体在固体边界的流动情况。

这样一来，我们就可以利用镜像法来简化流体与固体边界的流动问题的求解过程，提高问题的解决效率。

总的来说，镜像法是一种非常重要的物理原理，它在光学、电磁学、流体力学等领域都有着广泛的应用。

通过假想一个镜像，镜像法可以简化问题的求解过程，提高问题的解决效率。

因此，掌握镜像法的原理及其在不同领域的应用对于物理学和工程学领域的学习和研究都具有着重要的意义。

希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解镜像法的原理及其应用。

/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。

例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。

一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。

然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。

这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。

可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。

在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。

(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。

(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。

4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。

如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。

待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。

在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。

点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。

根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。

§18 镜像法一、镜像法1. 定义:就是解静电场问题得一种间接方法,它巧妙地应用唯一性定理,使某些瞧来棘手得问题很容易地得到解决。

该方法就是把实际上分区均匀媒质瞧成就是均匀得,对于研究得场域用闭合边界处虚设得简单得电荷分布,代替实际边界上复杂得电荷分布来进行计算。

即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足得泊松方程,而就是在不改变求解区域电荷分布及边界条件得前提条件下,用假想得简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地取代导体面域（电介质分界面）上复杂得感应（半极化）电荷对电位得贡献,从而使问题得求解过程大为简化。

2. 应用镜像法应主意得问题应主意适用得区域,不要弄错。

在所求电场区域内:①不能引入镜像电荷;②不能改变它得边界条件;③不能改变电介质得分布情况; ④在研究区域外引入镜像电荷,与原给定得电荷一起产生得电荷满足所求解（讨论）得边界条件;⑤其求得得解只有在所确定得区域内正确且有意义。

3. 镜像法得求解范围应用于电场与电位得求解;也可应用于计算静电力;确定感应电荷得分布等。

二、镜像法应用解决得问题一般就是边界为平面与球面得情况1. 设与一个无限大导电平板（置于地面）相距远处有一点电荷,周围介质得介电常数为,求解其中得电场。

解:在电介质中得场,除点电荷所引起得场外,还应考虑无限大导电平板上得感应电荷得作用,但其分布不知（未知）,因此无法直接求解。

用镜像法求解该问题。

对于区域,除所在点外,都有以无限远处为参考点在边界上有: 即边界条件未变。

由唯一性定理有对于大场不存在推广到线电荷得情况,对于无限长线电荷也适合上述方法求解。

例115 、P54求空气中一个点电荷在地面上引起得感应电荷分布情况。

解:用镜像法求解P点:感应电荷密度, （大地）点电荷例1-16 P55解:用镜像法,如图所示,边界条件2. 镜像法应用于求解两种不同介质中置于点电荷或电荷时得电场问题。

解:应用镜像法求解区域如图b,如图c 设中电位为,中电位为满足条件:在中除所在点外,有,在中在两种媒质分界面上应有, 由有与两个镜像电荷来代替边界得极化电荷若q 为得线电荷则有:3. 点电荷对金属面得镜像问题点电荷与接地金属球得问题①与得电场中,求电位为零得等位面。

§18 镜像法一、镜像法1.定义:就是解静电场问题得一种间接方法,它巧妙地应用唯一性定理,使某些瞧来棘手得问题很容易地得到解决。

该方法就是把实际上分区均匀媒质瞧成就是均匀得,对于研究得场域用闭合边界处虚设得简单得电荷分布,代替实际边界上复杂得电荷分布来进行计算。

即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足得泊松方程,而就是在不改变求解区域电荷分布及边界条件得前提条件下,用假想得简单电荷分布(称为镜像电荷)来等效地取代导体面域(电介质分界面)上复杂得感应(半极化)电荷对电位得贡献,从而使问题得求解过程大为简化。

2.应用镜像法应主意得问题应主意适用得区域,不要弄错。

在所求电场区域内:①不能引入镜像电荷;②不能改变它得边界条件;③不能改变电介质得分布情况;④在研究区域外引入镜像电荷,与原给定得电荷一起产生得电荷满足所求解(讨论)得边界条件;⑤其求得得解只有在所确定得区域内正确且有意义。

3.镜像法得求解范围应用于电场与电位得求解;也可应用于计算静电力;确定感应电荷得分布等。

二、镜像法应用解决得问题一般就是边界为平面与球面得情况1.设与一个无限大导电平板(置于地面)相距远处有一点电荷,周围介质得介电常数为,求解其中得电场。

解:在电介质中得场,除点电荷所引起得场外,还应考虑无限大导电平板上得感应电荷得作用,但其分布不知(未知),因此无法直接求解。

用镜像法求解该问题。

对于区域,除所在点外,都有以无限远处为参考点在边界上有: 即边界条件未变。

由唯一性定理有对于大场不存在推广到线电荷得情况,对于无限长线电荷也适合上述方法求解。

例115、P54求空气中一个点电荷在地面上引起得感应电荷分布情况。

解:用镜像法求解P点:,感应电荷密度, (大地)点电荷例1-16P55解:用镜像法,如图所示,边界条件2.镜像法应用于求解两种不同介质中置于点电荷或电荷时得电场问题。

解:应用镜像法求解区域如图b,如图c设中电位为,中电位为满足条件:在中除所在点外,有,在中在两种媒质分界面上应有,由有与两个镜像电荷来代替边界得极化电荷若q为得线电荷则有:3.点电荷对金属面得镜像问题点电荷与接地金属球得问题①与得电场中,求电位为零得等位面。

镜像法的原理
镜像法是一种解决物体光学性质问题的常用方法。

其核心原理是将物体与其像的位置互换，从而简化光路的计算和分析。

具体来说，对于一个光学系统，我们可以将其物体位置和像位置对应起来，然后对于物体的每一点，在其对应的像位置上构造一个虚拟点，这些虚拟点便是镜像点。

如此一来，我们便可以将原问题转化为在镜面上做出影像的问题，从而简化光路的计算。

需要注意的是，镜像法只适用于单一的镜面，对于复杂的光学系统，还需要结合其他的光学原理进行分析。

同时，镜像法也只适用于反射光学，对于折射光学仍需要采用其他的方法。

总之，镜像法作为解决物体光学性质问题的常用方法，可以帮助我们更加简便地理解光学系统的行为和规律。

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镜像法在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。

如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法—镜象法来求解这类问题。

镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。

适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。

镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。

根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。

下面我们举例说明。

1导体平面的镜像例.1 在无限大的接地导电平面上方h 处有一个点电荷q ，如图3.2.1所示，求导电平板上方空间的电位分布。

解 建立直角坐标系。

此电场问题的待求场区为0z >；场区的源是电量为q 位于(0,0,)P h 点的点电荷，边界为xy 面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为xy 面上电位为零。

导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。

现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷q 和q -，分别位于(0,0,)P h 和点(0,0,)P h '-，使得xy 面的电位为零，如图3.2.2。

这种情况，对于0z >的空间区域，电荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况0z >区域的电位是相同的。

也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。

对比这两种情况，对0z >区域的场来说，后一种情况位于(0,0,)P h '-点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。

由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。

镜像法思路用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。

保持求解区域中场方程和边界条件不变。

使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。

使用范围界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。

步骤确定镜像电荷的大小和位置。

去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。

求解边界上的感应电荷。

求解电场力。

平面镜像 1点电荷对平面的镜像(a) 无限大接地导体平面上方有（b）用镜像电荷-q 代替导体平面点电荷q上方的感应电荷图4.4.1 点电荷的平面镜像在无限大接地导体平面（YOZ 平面）上方有一点电荷q，距离导体平面的高度为h。

用位于导体平面下方h 处的镜像电荷-q 代替导体平面上的感应电荷，边界条件维持不变，即YOZ 平面为零电位面。

去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体下方区域场。

电位：(4.4.2.1)电场强度：(4.4.2.2)其中，感应电荷：=>(4.4.2.3)电场力：(4.4.2.4)图4.4.2 点电荷的平面镜像图4.4.3 单导线的平面镜像无限长单导线对平面的镜像与地面平行的极长的单导线，半径为a，离地高度为h。

用位于地面下方h 处的镜像单导线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。

将地面取消而代之以镜像单导线（所带电荷的电荷密度为）电位：(4.4.2.5)对地电容：(4.4.2.6平面镜像 2无限长均匀双线传输线对平面的镜像与地面平行的均匀双线传输线，半径为a，离地高度为h，导线间距离为d，导线一带正电荷+ ，导线二带负电荷- 。

用位于地面下方h 处的镜像双导线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。

图 4.4.4 无限长均匀传输线对地面的镜像将地面取消而代之以镜像双导线。

求解电位：(4.4.2.8)(4.4.2.9)度电容：平行导位长线间单(4.4.2.10)其中小天线的镜像与地面的小天线，长度为l ，离地高度为h 。