电磁场与电磁波课件之镜像法要点只是课件

电磁场与电磁波课件之镜像法要 点
电场线与等位面的分布电偶极
z
子的上半部分完全相同。
由此可见，电场线处处垂直
于导体平面，而零电位面与导体 表面吻合。
电场线
等位线
电荷守恒：当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表面将
产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及
导体表面上的感应可电见荷，。上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷
1
E (0,0,z)ez40[(z1)2(z1)2]
将z1 1.6代7入m，得
E (0 ,0 ,z1)e z4 1 6 0 0 [(1 .61 7 1 )2(1 .61 7 1 )2] e z1 .8 8 14V 0/m
当 z时1， 轴z上的电场强度
E (0,0,z) e z4 1 0 6 0[(z 11 )2(z 11 )2]
E
eR
ρl 2πε0R
O
z l (0,0,3)
2π30 ε0 2 12 9 0 32(e x
222 32e z
3) O 2232 (0,0,3)
l
30109 2πε013(ex2ez3)
x
R y P(2,5,0)
R
x
E
eR
ρl 2πε0R
3 0 1 9 0 2 3
2π0ε2232(ex
任一点电位函数为
r
a
d
1[
q
q
]
4 π 0ε r 2 d 2 2 rc d θ os r 2 d 2 2 r d cθ os
导体球接地 0 ra
1[
q
q
] 0
4 π 0ε a 2 d 2 2 ac d θ oa s 2 d 2 2 a d cθ os
( a 2 d 2 ) q 2 ( a 2 d 2 ) q 2 2 a c θ ( d o q 2 d s q 2 ) 0
l l , z h
z
l h
x
在 z 的0上半空间中，电位函数为
z
l h
(x,y,z)2 l lnx x2 2 ((z z h h))2 2 (z0)
h
l
x
3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像
y A d1 q
d2 o
B x
q d 1 d 1 q
d2
d2 q d1
d2
d2 d 1 q
可看作是把导体平面撤去，整个空间均匀，由４个点电荷所引起的。
代替导体表面上异性的感应电荷的作用。
根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量。
半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上 半空间中，源及边界条件未变。
例 求空气中一个点电荷 在q地面引起的感应电荷分布情况。
解: 设点电荷 离q地面高度为h
EpEE 方向指向地面
导体球面将产生感应电荷，导体球外
a
的电位应由点电荷 和感应电荷共同产生。
这类问题可用镜像法求解。
把导体球面移去，用一个镜像电荷来 等效球面上的感应电荷。
为了不改变球面上的电荷分布，镜像 电荷必须放置在导体球面内。
由于对称性镜像电荷应位于球心与点 电荷 的q连线上。
r
a
d
设镜像电荷 ，q 与球心距离为 。d
有 (a2d2)q2(a2d2)q20 dq2dq20
解得 q a q d
d a 2 , q q dd（舍去） d
由惟一性定理，球外的电位函数为
q[
1
a
]
4 π0εr2 d 2 2 rc dθ od sr2 (a 2/d )2 2 r(a 2/d )cθ o(s r a)
球面上的感应电荷面密度为
2232ez
) 2232
32π0ε011093(ex2ez3)
Eez
301096 2πε013
P点处的感应电荷面密度则为
S enD(2,5,0)
ez(ez 0E)
1810 0 92.2 nC /m2 2π13
二. 导体球面的镜像
1. 点电荷对接地导体球面的镜像
设点电荷 q位于一个半径为 a的接地导体球外，与球心距离为 d。
镜像电荷应放置在球外，且在球心与点电荷 q的连线的延长线上。
q(d2a2)
ρS ε0 n ra 4a(a2d22adcoθ)s3/2
导体球面上的总感应电荷为
qin S ρSdSq(d4 2 aa2)0 20 (a2a d2 2s2 iθ a nd cdo θ θ)3s /d 2
aq d
当点电荷 q位于接地导体球内，与球心距离为 d（d a）。
例 线电荷密度为 l 3的0n无C 限/m 长直导线位于无限大导体平板（ 处）的
上z方0 处，沿 轴方z向3。m试求该导y体板上的点 处的感应电荷密P度(2。,5,0)
解: 去掉导体平板，在 z3m处放置
z l
y
(0,0,3)
线电荷密度为 l30nC /m 的镜像线
电荷替代其作用。
P点电场强度为 EpEE
Ep 24q0r2 cos 20(hq2 hxEp2(h2qxh2)3/2
整个地面上感应电荷的总量
SpdS 02(h 2 qxh 2)3/22xdx
qh[(h2
1 x2)1/2
] 0
q
例 真空中，电量为 1的C点电荷位于点 P处(0，,0,1) 平面x是O一y个无限大的 接地导体板。⑴求 轴上电位z 为 的点的坐10标4V；⑵计算该点的电场强度。
解: ⑴ 根据镜像法可知上半空间的电位
q
1
1
40{ [x 2 y 2 (z h )2 ]1 2 [x 2 y 2 (z h )2 ]1 2}
由 (0,0,z)4 1 0 6 0[z1 1z1 1]14 0
可解得
z1 1.67m z2 0.45m
⑵ 当 z时1， 轴z 上的电场强度
1 0 6 1
将 z2 0.代4入5m ，得
E (0 ,0 ,z2) e z4 1 6 0 0 [(0 .41 5 1 )2 (0 .41 5 1 )2] e z3 .1 1 44V 0 /m
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
沿 y轴方向的无限长直线电荷位于无限大接地导体平面的上方
其镜像电荷仍是无限长线电荷
半无限大导体平面形成劈形边界。但是仅当这种导体劈的夹角等
于 的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边 界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如，夹角为 π的导电劈
3 需引入 5 个镜像电荷。
q /3
q
/3
若两导体平面相交成角, 只要 ， n为整数
n 就可用镜像法求解，其镜像电荷数为有限的，为 (2n个1)