微分方程(1)
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在我们所能见到的微分方程中，最简单的微分方程是一阶微分方程。 即：
㑯 或者，我们可以写成：
㑯
在微分方程的求解中，最根本的方法就是分离变量，通过对单个变量求积分，得到我们最终 的结果。 如：
一阶微分方程含有一个常数，所以 一般来说，如果一个微分方程能够写成
的形式，我们都能够用这种方法求解。 再如：
是原微分方程的通解。 㑯
,我们设其对应齐次
即：
t
h
t
所以，非齐次的通解显然是正确的。 比如求解方程：
t
h
h 先求对应齐次方程的通解：
化简：
h
⺁
即： 令： 则有
代入原非齐次线性方程： h
两端积分，得：
代入齐次线性方程的解中：
求解一阶微分方程的核心是分离变量，期间可能用到的最重要的方法是常数变易法。
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(常用大写的 C 表示常数)
ht 如果我们遇到了比较复杂的一阶微分方程，比如这样的
h h 那么，我们就需要更为细致的观察了。在等号右端的式子中，每一项的次数都相同，都是二 次，我们成这样的方程为齐次方程。对于齐次方程的求解，我们通常会将方程化为
的形式。通过引入新的变量，将方程化为可用分离变量求解的方程。 引入新的未知数 u(u 是 x 的函数)：
，则称之为非齐次方程。
在求解非齐次的方程中，我们先令
；进而得到：
，就称之为齐次方程，如果，
t
⺁
这样的方程称之为对应于非齐次线性方程的齐次线性方程，对于这样的方程，我们进行分离 变量，得：
ht 两端积分后求得：
解的：
ht
ht
这是齐次线性方程的通解。 下面我们来介绍解微分方程中的第二个重要的方法，常数变易法。我们将通解中的 C 换成 x 的未知数 ,即：
可进行转化：
代入方程易得：
h 分离变量，两端积分得：
h 求出答案后，以 代替 u，得到齐次方程的通解。 比如求解方程：
h 化简成我们需要的形式：
h 令：
则有：
代入原方程中： h
化简： 分离变量： 将 y/代入：
h h
在一阶方程中，我们还可能遇到这样形式的方程：
t
h
这样的方程称之为一阶线性微分方程。其中，如果，
微分方程 1
高等数学中的微分方程是比较基本的微分方程，其来源于生活物理中的含有导数方程式的求 解。在一些问题中，我们可以通过含有导数的方程列写出一些关系式，通过这些关系式，我 们能够解出要寻找的方程。这样的方程就叫做微分方程。 所以，微分方程，就是表示未知函数及其导数与自变量关系的方程。 例如：
⺁ 微分方程的中，未知函数的最高阶导数称为微分方程的阶，上面的方程就可以称为二阶微分 方程。满足微分方程的未知函数成为微分方程的解。由于函数中常数项的求导等于零，所以 微分方程的解一般有无数个，其中的每一个解都称为微分方程的一个特解。 那么，如果我们想用一个通式表示微分方程的所有解，就要满足微分方程的的阶数与微分方 程解中任意常数的个数相同。 但是，由于我们实际的例子中，解只有一个，不同的函数是我们没有办法确定实际情况，得 到想要的答案，所以我们必须再无数的解中找到我们需要的解。所以，我们需要确定未知的 常数。这就用到了我们早已熟悉的待定系数法。在待定系数法中，我们通过给定初始条件的 带入确定函数中的常数。而这样的初始条件，在微分方程中被称为初值条件。
ht
易得
带入非齐次方程：
ht
h t ht
即：Βιβλιοθήκη hththtt
ht
h
ht
h
两端积分可得：
h
t
代入原齐次线性方程的通解中，易得：
ht
ht
h
t
仔细观察发现，第一项是对应齐次方程的通解，第二项是非齐次方程的一个特解，由此可知， 一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解的和。
这是由解的结构所决定的，对于一个非齐次线性方程 t 线性方程的通解为 ，其本身的一个特解为 ，则有：
㑯 或者，我们可以写成：
㑯
在微分方程的求解中，最根本的方法就是分离变量，通过对单个变量求积分，得到我们最终 的结果。 如：
一阶微分方程含有一个常数，所以 一般来说，如果一个微分方程能够写成
的形式，我们都能够用这种方法求解。 再如：
是原微分方程的通解。 㑯
,我们设其对应齐次
即：
t
h
t
所以，非齐次的通解显然是正确的。 比如求解方程：
t
h
h 先求对应齐次方程的通解：
化简：
h
⺁
即： 令： 则有
代入原非齐次线性方程： h
两端积分，得：
代入齐次线性方程的解中：
求解一阶微分方程的核心是分离变量，期间可能用到的最重要的方法是常数变易法。
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(常用大写的 C 表示常数)
ht 如果我们遇到了比较复杂的一阶微分方程，比如这样的
h h 那么，我们就需要更为细致的观察了。在等号右端的式子中，每一项的次数都相同，都是二 次，我们成这样的方程为齐次方程。对于齐次方程的求解，我们通常会将方程化为
的形式。通过引入新的变量，将方程化为可用分离变量求解的方程。 引入新的未知数 u(u 是 x 的函数)：
，则称之为非齐次方程。
在求解非齐次的方程中，我们先令
；进而得到：
，就称之为齐次方程，如果，
t
⺁
这样的方程称之为对应于非齐次线性方程的齐次线性方程，对于这样的方程，我们进行分离 变量，得：
ht 两端积分后求得：
解的：
ht
ht
这是齐次线性方程的通解。 下面我们来介绍解微分方程中的第二个重要的方法，常数变易法。我们将通解中的 C 换成 x 的未知数 ,即：
可进行转化：
代入方程易得：
h 分离变量，两端积分得：
h 求出答案后，以 代替 u，得到齐次方程的通解。 比如求解方程：
h 化简成我们需要的形式：
h 令：
则有：
代入原方程中： h
化简： 分离变量： 将 y/代入：
h h
在一阶方程中，我们还可能遇到这样形式的方程：
t
h
这样的方程称之为一阶线性微分方程。其中，如果，
微分方程 1
高等数学中的微分方程是比较基本的微分方程，其来源于生活物理中的含有导数方程式的求 解。在一些问题中，我们可以通过含有导数的方程列写出一些关系式，通过这些关系式，我 们能够解出要寻找的方程。这样的方程就叫做微分方程。 所以，微分方程，就是表示未知函数及其导数与自变量关系的方程。 例如：
⺁ 微分方程的中，未知函数的最高阶导数称为微分方程的阶，上面的方程就可以称为二阶微分 方程。满足微分方程的未知函数成为微分方程的解。由于函数中常数项的求导等于零，所以 微分方程的解一般有无数个，其中的每一个解都称为微分方程的一个特解。 那么，如果我们想用一个通式表示微分方程的所有解，就要满足微分方程的的阶数与微分方 程解中任意常数的个数相同。 但是，由于我们实际的例子中，解只有一个，不同的函数是我们没有办法确定实际情况，得 到想要的答案，所以我们必须再无数的解中找到我们需要的解。所以，我们需要确定未知的 常数。这就用到了我们早已熟悉的待定系数法。在待定系数法中，我们通过给定初始条件的 带入确定函数中的常数。而这样的初始条件，在微分方程中被称为初值条件。
ht
易得
带入非齐次方程：
ht
h t ht
即：Βιβλιοθήκη hththtt
ht
h
ht
h
两端积分可得：
h
t
代入原齐次线性方程的通解中，易得：
ht
ht
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仔细观察发现，第一项是对应齐次方程的通解，第二项是非齐次方程的一个特解，由此可知， 一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解的和。
这是由解的结构所决定的，对于一个非齐次线性方程 t 线性方程的通解为 ，其本身的一个特解为 ，则有：
