【习题】第二章一阶微分方程的初等解法

第二章一阶微分方程的初等解法x2-1已知f(x) f(t)dt 1, x0,试求函数f (x)的一般表达式。

0 x解 对方程f(x) f (t)dt 1，两边关于x 求导得xf (x) f (t)dt f 2(x)0，f (X)丄 f(x) f 2(x) 0，分离变量，可求得代入原方程可得 C 0,从而f(x)的一般表达式为f (x)评注：本题中常数的确定不能直接通过所给积分方程得到, 确定。

解由导数的定义可得x(t s) x(t)x (t) lims 0s2|im x(s) x (t)x(s) s 0[1 x(t)x(s)]slim 丄辿型 s 01 x(t)x(s) s显然可得x(0)0，故分离变量，再积分可得x(t)[1 2x (t)] !i 叫x(s) x(0)sx (0) [1 x 2(t)]f(x)、2(x C)'12x 。

而是需将通解代回原方程来2-2求具有性质x(t S) x(t) x(s) 1 x(t)x(s)的函数x(t)，已知x (0)存在。

x(t) tan[x(O)t C],再由x(0) 0,知C 0,从而x(t) ta n[x(0)t]。

评注：本题是函数方程的求解问题，利用导数定义建立微分关系，转化为求解常微分方程的初值问题。

2-3 若M(x,y)x N(x,y)y 0，证明齐次方程M (x, y)dx N(x,y)dy 0 有积分因1xM(x,y) yN(x, y)证方法1用凑微分法求积分因子。

我们有恒等式M (x, y)dx N (x, y)dy1 dx dv2{(M(x，y)x N(x，v)v)U 寺(M(x，v)x鱼din (xy)，x y空翌din仝，x y y所以原方程变为-{( M (x, y)x N (x, y)y)d ln(xy) (M (x, y)x N (x, y)y)d ln —} 0。

2 y1 1 M (x, y)x N(x, y)y「x-d ln(xy) d in 0，2 2 M(x,y)x N(x,y)y y由于M(x,y)xN(x, y)y为零次齐次函数，故它可表成仝的某一函数，记为f (上)，M (x,y)x N(x, y)y y yI XMX" N(x,y)y % 巧F(in^)，M(x,y)x N(x,y)y y yN(x，y)y)(¥3)}y用(x,y)1M(x,y)x乘上式两边，得N(x,y)y1(M) y(七)y2 [卫(xM(xM yN) yyN)原方程进一步可改写成1d In xy 21 x x -F(ln )d In0,2 y y它为一个恰当方程，表明1(x, y)为齐次方程的积分因子。

方法2化为分离变量方程求积分因子。

设M (x, y), N (x, y)是m 次齐次函数，则令 y ux ， dy xdu udx ，有M(x,y) M (x, xu) x m M (1,u), N(x, y) N(x,xu) x m N(1,u),将其代入原方程 M (x, y)dx N(x, y)dy 0中，得x m {[ M (1,u) N(1,u)u]dx xN(1,u)du} 0，可以看出上方程为可分离变量的方程，只要给上式乘以积分因子方程就可变量分离，即化为恰当方程，因此，齐次方程的积分因子是(x,y)1xM (x,y) yN(x,y) °方法3用定义求积分因子。

匚型丄巴即可。

为此，我们计算1MN矿扃[yN 匚 yM - NM]，(x,y)________ 1 ________ m 1x [M (1,u)uN(1,u)]1xM (x, y) yN(x, y)由积分因子的定义，只需证明二元函数(x, y)1 xM (x, y) yN(x, y)满足N(N) ( ) xM yN xx除了可以化为变量可分离方程以外， 我们还可以采用本例中所得到的结果， 很快寻找出一个1[N(xM yN)…■・、2 [(xM yN)N](xMyN) xx1NM[xMxNNM ]，(xM yN)2xx(M) (N)yxx(NM x MN x )y(NM y MN y )(xMyN)2N(x,y)显然g x (-)x g y (-)x2x1 -g x yg 1 N2 (M x N N X M), l(M y N MN y ), N 22xy 因而 (M) yN)N 2马g N 2-gx x2(xM gN)N 2(』上 x (xM)g xgN)2是齐次方程的积分因子。

评注：注意求积分因子方法的正确运用，对于齐次方程M (x, y)dx N (x, y)dy 0，积分因子(x,y)1xM(x,y) yN(x, y)将其转化为恰当方程来求解。

2-4解方程dy------------dx xy x y 解由题得dx3 3dy xy x y ，这是以x 为未知函数和以y 为自变量的迫努利方程，则有3dx x dy2故 z y 2 1 Ce y ,从而原方程的解为而空dy2yz 的解为z采用常数变易法，令z C(y)dz dyCeC(y)e2yz y2y 2e y22y 3,dz 3代入2zy 2y 中得dy2e y C ,x 2(1 Cey2) 1。

评注：在微分方程中，变量 x 与y 具有同等的地位，对同一个方程，既可以就y 求解,也可以就x 进行求解，如果方程鱼 f (x,y)就y 求解比较困难，可以尝试将原方程变化dxdx 1为，然后就x 进行求解，有时会取得意想不到的效果,dy f (x,y)参见典型习题2-15,4)，和 2-16，4 )。

2-5试导出方程 M(x, y)dx N(x,y)dy 0分别具有形为 (x y)和(xy)的积分因子的充要条件。

解根据判别准则(定理 2.1)， (x y)是方程M (x, y)dx N(x, y)dy 0的积分因子的充要条件是[业 y)M(x, y)] [ y)N(x, y)]M N y x yN xM评注：利用对称形式的微分方程的系数容易判断方程是否具有特殊形式的积分因子,而给出求积分因子的思路。

2-6设f(x, y)及丄连续，试证方程dy f(x, y)dx 0为线性方程的充要条件是它有 y则有M (Xy)( M yN) xN (i(xxy)Myy)y)(- MN 、 N d (j(x y) Md u(xy) M (X)y xd(x y)d(x y)M N yxd (x y) 1N M d(x y) (x y)f(x y),因此方程具有形如(x y)的积分因子的充要条件是f(x y)。

(xy)是方程 M (x, y)dxN (x, y)dy 0的积分因子的充要条件是 ((4xy)M)( "y)N)M^xy)(-y N (j(xy)(i(xy)-)N Mxxy(xy)(7) (yN XM )證，M N y x yN xMd (xy) d(xy)1 (xy)g(xy),因此方程具有形如(xy)的积分因子的充要条件是g(xy)。

仅依赖于x的积分因子。

证必要性。

若方程dy f(x, y)dx 0为线性方程，则方程可写为dy (P(x)y Q(x))dx 0,令M (P(x)y Q(x)) ,N 1，M N由题有卫连续，」x P(x)，y NP(x)dx由定理2-2的结论1方程有积分因子e ，仅依赖于x。

充分性。

设方程dy f (x, y)dx 0有仅依赖于x的积分因子(x)，即(x)dy (x) f (x, y)dx 0为恰当方程，有((x)f(x, y)) d (x)y dx(x)- f(x,y)) d (x) y dxf(x, y) 1 d (x)y (x) dx上式右端仅为x的函数，令其为P(x)，积分上式，得f(x,y) P(x)y Q(x)，故该方程为线性方程。

评注：一阶线性方程一般用常数变易法求解，此例给出了线性方程的又一种求解方法，即积分因子法。

2-7 设函数f(u),g(u)连续、可微且f(u) g(u)，试证方程yf (xy)dx xg(xy)dy 0I l 1有积分因子(xy[ f (xy) g (xy)])。

证 方法1用积分因子定义证明。

令 M yf(xy), Nxg(xy)(M p) (N 小yxf (fg) (f g )f g (f g) (f g )g 0(fg)22，(f g)2故该方程有积分因子(xy[ f(xy) g(xy)])。

方法2利用变量代换方法证明。

令u xy , du ydx xdy ，代入方程消掉一个变量x ，有恰当方程。

评注：求积分因子时，注意整体变量代换。

2-8假设方程证由于f (u)(du ~dy) yug(u)dy 0， yf (u)du — (f (u) yg(u))dy 0，这是分离变量方程，只要给两端乘以因子1[u( f (u) g(u))]就可分离变量，从而变为所以原方程的积分因子为[xy( f (xy)1g(xy))]。

M(x,y)dx N (x, y)dy 0中的函数满足关系 —y-Nf (x) Mg(y)，其中 xf (x), g(y)分别为x 和y 的连续函数，试证方程M (x,y)dxN(x, y)dy 0有积分因子exp( f (x)dx g(y)dy)。

(M )y(N ) x[M y e f (x)dx g(y)dyf (x)dx g( y)dyMg(y)e ]f (x)dx g(y)dy [N x ef (x) dxg (y)dye (M yf (x)dx g(y)dyNf (x)e]-x Mg(y) Nf(x)) 0故exp( f(x)dx g(y)dy)是方程M (x, y)dx N(x, y)dy 0 的积分因子。

评注：给出了积分因子的一种构造方法。

2-9设p(x, y)是方程M(x,y)dx N(x, y)dy 0的积分因子，从而可得可微函数U(x,y)，使得dU K Mdx Ndy)。

试证7(x, y)也是方程的积分因子的充要条件是7<x, y) 口(U )，其中柚)是t的可微函数。

证必要性。

若~t(x,y)也是方程的积分因子，则存在可微函数U~(x, y),使得dJ 7(Mdx Ndy)，即有~ 〜(1 (1dU 1Mdx Ndy) 上1Mdx Ndy) -dU ,1 〜dU dU则U -dU，即U是U的函数，当然竺也是U的函数，且记为竺©(U)，由于积1 dU dU分因子的可微性，(KU)是可微函数。

由dU -dU，则1(x,y) i (U)。

充分性。

证明—X, y) 1 (U )是积分因子。

为此将其乘以方程两端得-(U )(Mdx Ndy) 0,MU )[ 1 Mdx Ndy)] 0 ,MU )dU 0 ,d «U)dU 0。