数学建模实例——扫雪

除雪问题摘要：本文是针对除雪机清扫路面问题进行建模与求解分析，具体分析了降雪速度的变化对积雪厚度的直接影响及对除雪机除雪速度造成的间接影响。

模型Ⅰ：分为三种情况1、降雪的速度始终为降雪的最大速度即v=10^-3m/s；2、降雪的速度开始为最大速度v=10^-3m/s，之后降雪速度以线性关系递减；3、降雪速度先从0开始以线性关系递增至最大速度v=10^-3m/s，再以线性关系递减至0。

模型II：通过建立降雪速度和积雪厚度的微分方程模型，得出降雪时间与积雪厚度的函数关系，进而求得除雪机无法工作时的降雪强度系数。

关键词：降雪强度系数降雪速度积雪厚度除雪速度微分方程问题重述：冬天，一台除雪机负责清除10km长的一条公路上的积雪。

一般当公路面积雪达0.5米时，除雪机就开始工作。

如果开始除雪后降雪仍然继续，随着路面积雪的加厚，除雪机工作的速度将逐渐降低。

当积雪达1.5m时除雪机将不能行动，被迫中止工作。

显然降雪速度的大小直接影响着除雪机的工作。

那么，在雪天，除雪机是否能顺利完成10公里长的路面的除雪工作？当降雪多大时除雪机将无法继续进行工作？我们可以了解到的情况和有关数据如下：（1）除雪机开始工作后降雪开始持续一个小时。

（2）降雪速度可能随时间变化，最大时积雪的增加量是0.1cm/s。

（3）积雪厚度达到1.5m时除雪机将无法进行工作。

（4）除雪机在无雪的路面上行驶的速度是10m/s。

问题分析：对该问题的分析有，首先是考虑降雪的速度是多少，降雪的快慢影响着积雪厚度。

当雪达到一定的厚度时除雪机将无法正常工作，积雪厚度也影响着除雪的进度。

由此可知除雪的进度是受多方面因素影响，通过找出降雪速度和积雪厚度的关系，除雪进度和积雪厚度的关系进行更进一步的分析。

问题假设：1、总共下了一小时的雪。

2、下雪的速度是变化的，但下得最大时地面上雪深度的增加量为0.1cm/s。

3、当雪的深度达到1.5m时除雪机将无法工作。

4、在没有雪的路面上，除雪机的行驶速度为10m/s。

数学建模中的图论方法一、引言我们知道，数学建模竞赛中有问题A和问题B。

一般而言，问题A是连续系统中的问题，问题B是离散系统中的问题。

由于我们在大学数学教育内容中，连续系统方面的知识的比例较大，而离散数学比例较小。

因此很多人有这样的感觉，A题入手快，而B题不好下手。

另外，在有限元素的离散系统中，相应的数学模型又可以划分为两类，一类是存在有效算法的所谓P类问题，即多项式时间内可以解决的问题。

但是这类问题在MCM中非常少见，事实上，由于竞赛是开卷的，参考相关文献，使用现成的算法解决一个P类问题，不能显示参赛者的建模及解决实际问题能力之大小；还有一类所谓的NP问题，这种问题每一个都尚未建立有效的算法，也许真的就不可能有有效算法来解决。

命题往往以这种NPC问题为数学背景，找一个具体的实际模型来考验参赛者。

这样增加了建立数学模型的难度。

但是这也并不是说无法求解。

一般来说，由于问题是具体的实例，我们可以找到特殊的解法，或者可以给出一个近似解。

图论作为离散数学的一个重要分支，在工程技术、自然科学和经济管理中的许多方面都能提供有力的数学模型来解决实际问题，所以吸引了很多研究人员去研究图论中的方法和算法。

应该说，我们对图论中的经典例子或多或少还是有一些了解的，比如，哥尼斯堡七桥问题、中国邮递员问题、四色定理等等。

图论方法已经成为数学模型中的重要方法。

许多难题由于归结为图论问题被巧妙地解决。

而且，从历年的数学建模竞赛看，出现图论模型的频率极大，比如：AMCM90B－扫雪问题；AMCM91B－寻找最优Steiner树；AMCM92B－紧急修复系统的研制(最小生成树)AMCM94B－计算机传输数据的最小时间(边染色问题)CMCM93B－足球队排名(特征向量法)CMCM94B－锁具装箱问题(最大独立顶点集、最小覆盖等用来证明最优性)CMCM98B－灾情巡视路线(最优回路)等等。

这里面都直接或是间接用到图论方面的知识。

要说明的是，这里图论只是解决问题的一种方法，而不是唯一的方法。

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问雪堆全部融化需要多少小时? 15.(目标规划)某厂生产甲乙两种产品,这两种产品都需要在 ABC 三种不同的设备上加工,有 关数据见下表.
设备
每吨产品的加工台时 甲 乙 4 4 8 30
总有限台时
A B C 利润(元/吨)
3 5 9 32
36 40 76
工厂在安排生产计划时,有以下要求: (1) 根据市场信息,甲产品的销售量有下降的趋势 ,故考虑甲产品的产量不大于乙产品的产
xi 0 , i 1 , 2 , , 8
x1 10, x2 50, x4 30 ，其余为 0，
min z 90 ，
余料 16m 。
（4—100，6—50，余 10） 3. (指派问题)有一份说明书要译成英文,日文,德文和俄文四种文字,规定一人只能译一种 文字,一种文字也只能由一人来译,四人翻译所需时间如下,如何安排可使所花费的总时 间最少? 英 甲 乙 丙 丁 2 10 9 7 日 15 4 14 8 德 13 14 16 11 俄 4 15 13 9
i 1 j 1
x
i 1
4
3
ij
b j ( j 1, 2, 3, 4)
ai ( i 1, 2, 3)
x
j 1
ij
xij 0, i 1, 2, 3; j 1, 2, 3,4
5.(动态投资)某地区在今后三年内有四种投资机会: (1) 在三年内每年年初投资,年底可获利 20%,并可将本金收回; (2) 在第一年年初投资,第二年年底可获利 50%,并可将本金收回,但该项投资不得超过 2 万 元; (3) 在第二年年初投资,第三年年底收回本金,并可获利 60%,但该项投资不得超过 1.5 万元; (4) 在第三年年初投资,于该年年底收回本金,且可获利 40%,但该项投资不得超过 1 万元. 现在该地区准备拿出 3 万元资金,问如何制订投资计划,可使到第三年年底本利和最大? 6.(风险组合投资)市场上有 n 种资产(如股票,债券等) si (i=1,2,…n),某公司有数额为 M 的 一笔相当大的资金可用作一个时期的投资 . 设购买 si 的平均收益率为 ri , 风险损失率为

铲雪机工作的微分方程模型摘要本文是关于冬天一台铲雪机工作的数学模型，针对2种模型进行分析求解，模型Ⅰ:假设降雪速度始终随着时间的变化而均匀减小，即降雪速度也是匀减速的；模型Ⅱ：降雪速度开始最大s1.0，并且以这个速度保持一段时间，设该过程为降雪总时间R/cm的一半，而降雪的后一半时间降雪速度是匀减速的，模型Ⅱ是对模型Ⅰ的改进，但求解方法相同。

通过建立微分方程模型进行求解，得到关于铲雪机无法进行工作时的降雪强度达到的值。

关键字铲雪机工作数学模型降雪速度工作速度降雪强度系数一、问题提出，问题分析冬天，一台铲雪机负责清除m 410长的一条公路上的积雪。

一般当公路面积雪达m 5.0时，铲雪机就开始工作。

如果开始铲雪后降雪仍然继续。

随着路面积雪的加厚，铲雪机工作的速度将逐渐降低。

当积雪过深时铲雪机将不能行动，被迫中止工作。

显然降雪的大小直接影响着铲雪机的工作。

那么，在雪天，铲雪机是否能顺利完成m 410长的路面的除雪工作？当降雪多大时铲雪机将无法继续进行工作？我们可以了解到的情况和有关数据如下：（1）铲雪机开始工作后降雪开始持续一个小时。

（2）降雪速度可能随时间变化，最大时积雪的增加量是s cm /1.0。

（3）积雪厚度达到m 5.1时铲雪机将无法进行工作。

（4）铲雪机在无雪的路面上行驶的速度是s m /10。

在铲雪机清除m 410长公路上的积雪过程中，可能会由于降雪过大使得一部分公路上的积雪厚度达到m 5.1，这样铲雪机就无法进行工作，因此降雪的大小直接影响着铲雪机的工作，铲雪机是否能顺利完成m 410长的路面的除雪工作，取决于降雪速度的大小；由于随着路面积雪的加厚，铲雪机工作的速度将逐渐降低，积雪厚度达到m 5.1时铲雪机将无法进行工作，因此存在一个降雪量（主要指路面积雪厚度）的平衡点，当降雪量达到这个平衡点时，铲雪机将无法继续进行工作。

二、问题的假设关于降雪、铲雪机工作等作如下假设:1．铲雪机一次性能将路面上的积雪清楚干净，即铲雪机的铲雪工作 宽度和路面宽度相同；2．铲雪机工作过程中不出现其他故障（除了由于积雪过厚而无法进行正常工作）。