南航戴华《矩阵论》第五章Hermite矩阵与正定矩阵30页PPT

1 13
3 3 3
1
2
0
1
3 3
3
1 3
2 3
1
1 3
向量 A第一组基下的坐标为
x1
7 3
,
x2
4 3
,
x3
1, 3
x4
2 3
利用坐标变换公式可以求得 A 在第二组基下的坐标为
y1 y2 y3 y4
123
3
1
3
1 3
1 3 2 3
0 0 0
1 1
13 3 1 3
x1 1
例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的
定义下也构成线性空间：
a b : ab, a, b R
k a : ak , a, k R
例 5 R 表示实数域 R 上的全体无限序列组成的
的集合。即
R
[a1,
a2, a3,]
ai F, i 1,2,3,
在 R 中定义加法与数乘：
[a1, a2, a3,] [b1, b2, b3,] [a1 b1, a2 b2, a3 b3, ] k[a1, a2, a3,] [ka1, ka2, ka3,] 则 R 为实数域 R上的一个线性空间。
i a1i1 a2i2 anin
a1i
1,2,
,
n
a2i
,
i 1, 2,
,n
ani
将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
a11 a12
a1n
1, 2,
,
n
1
,2
,n
a21
a22
a2
n
an1 a2
ann
称 n 阶方阵
记为Ｐ

第五章部分习题参考答案#2. Find determinant divisors and elementary divisors of each of the following matrices.(a) 1000100015432λλλλ-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪+⎝⎭ (b)001010100000λλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Solution（a ） 100010()0015432A λλλλλ-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪+⎝⎭det (())A λ4322345λλλλ=++++100det 10101λλ-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭. Hence, the determinant divisors are 123()()()1D D D λλλ===,4324()2345D λλλλλ=++++. Invariant divisor are 123()()()1d d d λλλ===,4324()2345d λλλλλ=++++Unfortunately, it is not easy to factorize 4324()2345d λλλλλ=++++ by hand. With the help of Maple or Matlab, we can see that ()A λ has four distinct linear elementary divisors. (b) 44()D λλ=, 123()()()1D D D λλλ===. There is a unique elementary divisor 4λ #3. Let11a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , a a B a εε⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ be n n ⨯ matrices, where 0ε≠. Show that A and B are similar.Proof The Smith normal forms of both I A λ- and I B λ-are11()n a λ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. A and B have the same set of elementary divisors. Hence they are similar to each other. #4. Let11a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , 11a a B a ε⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭be n n ⨯ matrices, where 0ε≠. Show that A and B are NOT similar. ProofThe determinant of I A λ- is ()n a λ- . The determinant of I B λ- is ()n a λε--. A and B have distinct characteristic polynomials. Hence, they are not similar.#11. How many possible Jordan forms are there for a 66⨯ complex matrix with characteristic polynomial 42(2)(1)x x +-?Solution The possibilities for the sets of elementary divisors are { 42(2),(1)x x +-}, {4(2),(1),(1)x x x +--}{32(2),(2),(1)x x x ++-}, {3(2),(2),(1),(1)x x x x ++--} {222(2),(2),(1)x x x ++-}, {22(2),(2),(1),(1)x x x x ++--},{22(2),(2),(2),(1)x x x x +++-}, {2(2),(2),(2),(1),(1)x x x x x +++--}{2(2),(2),(2),(2),(1)x x x x x ++++-}, {(2),(2),(2),(2),(1),(1)x x x x x x ++++--}. For each set of elementary divisors, there is a Jordan canonical form up to similarity. There are 10 Jordan canonical forms up to similarity.#12. Classify up to similarity all 33⨯ complex matrices A such that 3A I =. Solution An annihilating polynomial of A is 321(1)()()x x x x ωω-=---, where ω A is diagonalizable.The possibilities for the minimal polynomial of A are1x -, x ω-, 2x ω-;(1x -)(x ω-), (x ω-)(2x ω-), (1x -)(2x ω-);2(1)()()x x x ωω---Up to similarity, all 33⨯ complex matrices A are100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 000000ωωω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 222000000ωωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 10001000ω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 1000000ωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 22000000ωωω⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭, 2000000ωωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;221000000ωω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,210001000ω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭21000000ωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭#14. If N is a nilpotent (幂零的) 33⨯ matrix over C , prove that 21128A I N N =+- satisfies2A I N =+, i.e., A is a square root of I N +. Use the binomial series for 1/2(1)t + to obtain asimilar formula for a square root of I N +, where N is any nilpotent n n ⨯ matrix over C .Use the result above to prove that if c is a non-zero complex number and N is a nilpotent complex matrix, then cI N +has a square root. Now use the Jordan form to prove that every non-singular complex n n ⨯ matrix has a square root.Solution If N is an n n ⨯ matrix and k N O =, then k x is an annihilating polynomial for N . The minimal polynomial of N must be of the form p x , where p n ≤ and p k ≤ since the minimal polynomial of a matrix divides its characteristic polynomial. Thus, n N O =.(1) If N is a nilpotent 33⨯ matrix, then 3N O =. By straightforward computation, we can verify that 2A I N =+.(2) If N is an n n ⨯ nilpotent matrix, n N O =.1/22111111(1)(1)((1)1)122222(1)122!(1)!n n t t t t n -----++=+++++- 1/22111111(1)(1)((1)1)122222()22!(1)!n n I N I N N N n -----++=++++-(3) Since1N c is a nilpotent matrix, 1I N c + has a square root 1/21()I N c+. cI N + has a square root 1/21/21()c I N c+.(4) Suppose that 12121()0()000()r d d d r J J P AP J J λλλ-⎛⎫ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. Then each ()k d k J λ has asquare root 1/2()k d k J λ since ()k d k J λ is of the form k I N λ+, where 0k λ≠ because A is nonsingular and N is nilpotent.Let 121/211/2211/2()000()000()r d d d r J J B P P J λλλ-⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪⎪⎝⎭, then 2B A =. Hence, A has a squareroot.#20. Prove that the minimal polynomial of a matrix is equal to the characteristic polynomial if andonly if the elementary divisors are relatively prime in pairs.Proof Suppose that a Jordan canonical form of A is1212()000()000()r d d d r J J J J λλλ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(where 12,,,r λλλ are not necessarily distinct. Each ()i d i J λ is a Jordan block.)The minimal polynomial of A is the same as that of J . The characteristic polynomial of A is the same as that of J . The elementary divisors of A are 11()d λλ-, , ()rd r λλ-The minimal polynomial of ()i d i J λ is ()i d i λλ-. The minimal polynomial of J is the least common multiple (最小公倍式) of 11()d λλ-, , ()rd r λλ-. The characteristicpolynomial of J is 1212()()()()rd d d r p λλλλλλλ=--- .The least common divisor of 11()d λλ-, , ()rd r λλ- is equal to the product of11()d λλ-, , ()r d r λλ- if and only if ()j dj λλ-and ()k d k λλ-are relatively prime forj k ≠. Thus the minimal polynomial of a matrix is equal to the characteristic polynomial ifand only if the elementary divisors are relatively prime in pairs.。

组 Ax 的一个基础解系， 为 Ax b 的一
个特解。
.
15
.
16
向量的线性相关性：
线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、 线性相关、线性无关、秩等定义和结论都可以推 广到一般线性空间。
.
17
.
18
.
19
.
20
.
21
证明：取k1 ，k2 ，k3∈R， 令 k11+k22+k33
k 1 1 00 0 k2 1 11 0 k3 1 01 0 0 00 0 则有k1-k2=0, k2 +k3=0
( B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ) ( E 1 1 ,E 1 2 ,E 2 1 ,E 2 2 ) C 2
.
38
从而 ( B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ) ( E 1 1 ,E 1 2 ,E 2 1 ,E 2 2 ) C 2
(A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4)C 1 1 C 2
.
32
由题， 在基 1,2,3下的坐标为 x(3,2,4)T
而且，基 1,2,3 到基 1,2,3的过渡矩阵为
1 2 4
所以
P
0
1
4
0 0 1
1 2 4 3 2 3
y P1x 0
1
4 2
1
8
0 0 1. 4 4
33
例1.3.5 已知矩阵空间 R 2 2 的两组基：
1 0
（a,bR）都有a+bi=(1,i)( a ),所以(a,b) T即为k的坐
标。
b
.
30
例 1.3.2 实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1

(3) A的n 个特征值均为非负数； （ 4）存 n阶 在可逆 P使 矩 P 得 H 阵 AP I0r 0 0,其中
rran (Ak);
(5 )存在 r的 秩 Q 矩 使 为 A 阵 得 Q H Q ;
（ 6 ）n 存 阶 H在 e矩 rm S 使 阵 A i t得 S e 2 .
.
18
推论5.2.2 设A是n阶Herm非it负 e 定矩阵，为其
称形如（5.1.12）的二次型为Hermite二次型的
标准形。
.
9
定理5.1.7 对Hermite二次型 f (x) = xHAx，存在酉 线性变换x = Uy（其中U是酉矩阵）使得Hermite 二次型f (x)变成标准形
1 y 1 y 1 2 y 2 y 2 n y n y n
其 1,中 2, ,n 是 He矩 rm A 的 阵 ite 特征
A C 0 (A C 0 ).
定理5.3.2 设A,B均为n 阶Hermite矩阵，且A≥0, B>0， 则
(1)BA的充分必要条 (AB 件 1)是 1; (2)BA的充分必要条 (AB 件 1)是 1.
定理5.3.3 设A是n 阶Hermite矩阵, 则
定义5.2.2 设 A,BCnn,如果存 和 在非 复零 数
xCn使得
A x Bx (5 .2 .5 )
则称λ为广义特征值问题 AxB的x特征值，非零
向量 x 称为对应于特征值的特征向量。
定理5.2.7 设A,B 均为n 阶Hermite矩阵 ，且B>0， 则存在非奇异矩阵 P 使得
P H A d P (i 1 , a ,n ) g P ,H B I P
.
14
5.2 Hermite正定（非负定）矩阵

特征向量
对于一个给定的矩阵A，如果存在一 个非零向量x，使得Ax = λx成立，则 称x为矩阵A的对应于特征值λ的特征 向量。
特征值与特征向量的计算
定义法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax = λx来计算特征值和特征向量。
幂法
通过计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向量，即通过计算A^n x来逼近Ax = λx的解。
04
矩阵分解
矩阵的三角分解
总结词
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方 法。
VS
详细描述
三角分解也称为LU分解，它将一个矩阵A 分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩 阵U的乘积，即A = LU。这种分解对于解 决线性方程组和计算行列式值等数学问题 非常有用。
矩阵的QR分解
谱分解法
将矩阵A进行谱分解，即A = Σλi Pi，其中Σ为对角矩阵，λi为特征值，Pi为特征向量所构 成的特征矩阵。通过谱分解可以方便地计算出矩阵A的特征值和特征向量。
特征值与特征向量的性质
特征值的唯一性
一个矩阵的特征值是唯一的，但对应于同一特征值的特征向量不一定唯一。
特征向量的正交性
对应于不同特征值的特征向量是正交的，即如果λ1≠λ2，那么对应于λ1和λ2的特征向量x1和x2是正交 的。
总结词
矩阵的加法、数乘、乘法运算规则
详细描述
矩阵的加法运算规则是对应行和列的元素相加，数乘运算规则是对应元素乘以一 个常数，乘法运算规则是按照一定的规则对应元素相乘。
矩阵的逆与行列式
总结词
矩阵的逆、行列式的定义与性质
详细描述
矩阵的逆是一个特殊的矩阵，与原矩阵相乘为单位矩阵，行列式反映了矩阵的某些重要性质。

0
1
0
0
2
1
0
0 0 0 0 3 1 1
3c2 c3 3c2 c4
1 0
0 0
2 1
0 0
0 1 3 3
0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0
0
1
3
3
2
1
0
0 0 0 0 3 1 1
c2 c3
1
0
2
0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
13/72
到此知 A秩为2， 行、列变换矩阵分别为：
0.8 0.2
Q
( 1 ,
2,3
)
0.4 0.4
0.4 0.4
0.2 0.8
5 2 1
R
QT
A
0
2
1
0 0 2
0
2 2 2 2
0
37/72
Gram-Schmidt方法实质上是一个投影类方法，
它将 C m 正交投影到空间 span(1,2, , j1 )。 在标准Gram-Schmidt方法中，1,2, ,n 是逐 步计算出来，需要计算 时j ，才用到 ，j 以 前不需要改动 值j 。
71/72
• 存放矩阵Ak只需要存放k个奇异值，k个m维向 量ui和n维向量vj全部分量，共计k（m+n+1）个 元素。
• 假如m=n=1000，存放原矩阵A需要存放 1000×1000个元素。取k=100时，图象已经非 常清楚了，这时存放量是100（+1）=00个数。
39/72
第二步，对 An1 [2, , n] ，当 2 时，
存在Householder 矩阵 H2 ，使得

《矩阵论》复习提纲与习题选讲Chapter1 线性空间和内积空间内容总结：z 线性空间的定义、基和维数；z 一个向量在一组基下的坐标；z 线性子空间的定义与判断；z 子空间的交z 内积的定义；z 内积空间的定义；z 向量的长度、距离和正交的概念；z Gram-Schmidt 标准正交化过程；z 标准正交基。

习题选讲：1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。

（1） 求的维数；并写出的一组基；求在所取基下的坐标；3]x [R 3]x [R 221x x ++ （2） 在中定义3]x [R ， ∫−=11)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基；3][x R （3）求与之间的距离；221x x ++2x 2x 1+−（4）证明：是的子空间；2][x R 3]x [R （5）写出2[][]3R x R x ∩的维数和一组基；二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。

（1） 求22R ×的维数，并写出其一组基；（2） 在(1)所取基下的坐标； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−3111（3） 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。

证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基；（4） 在W 中定义内积， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈求出W 的一组标准正交基；（5）求与之间的距离； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1221 （6）设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。

证明：V 也是22R ×的子空间；并写出V 的维数和一组基；（7）写出子空间的一组基和维数。

的矩阵叫做复矩阵, (1)式也简记为
A = (aij)m×n 或 A = (aij) ,
m×n 矩阵 A 也记作 Am×n .
-
16
2) 方阵 列矩阵 行矩阵
对 (1) 式, 当 m = n 时, A 称为 n 阶方阵. 当 m = 1 时, A 称为行矩阵. 当 n = 1 时, A 称为列矩阵.
n
cij aikbkj
k 1
( i = 1,2, … , s ; j = 1, 2, … , m),
AB 称为 A 与 B 的积. 设 k 为实数, 定义 kA = (kaij)
则称 kA 为 A 与数 k 的乘积.
-
22
矩阵乘法的定义源于二个线性变换的复合运算
yy21 aa1211xx11 aa1222xx22 aa1233xx33
是成立的, 即
|AB| = |A||B | = |B||A| = |BA| .
-
34
3. 若 AB = AC 能推出 B = C 吗? 答 不能. 因为矩阵的乘法不满足消去律.
例如
A 1 00 0 ,B 0 01 0 ,C 0 00 0 ,
则 AB = AC , 但 B C.
A11 A21
A*
A12
A22
A1n
A2n
An1
An2
,
Ann
叫做方阵 A 的伴随矩阵. 伴随矩阵具有重要性质: AA* = A*A =|A|E.
-
32
思考
1. 任何两个矩阵 A、B 都能进行加(减), 相乘 运算吗?
答 不是. (1) 只有当 A,B 为同型矩阵时, 才能 进行加(减)运算. (2) 只有当第一个矩阵 A 的列数与 第二个矩阵 B 的行数相同时, A 与 B 才能相乘, 这 时 AB 才存在.

0 2
1
0
0 1
1 0 0
1 2y
y
x1 2z1 z1
x2
2z2 z2
0 2
1 0
0
1
A
1
2
y
y
2( x2 2z2
2z2 )
x1 2z1 z1
x2 2z2
z2
A
A
1 2
y
y
2(1 2 y)
2y
( A A)H
1 2y
2(1
2
y)
y
2
y
2
2(1 2 y) y y
设 A (aij )nn Rnn（n阶实矩阵），则
Im i
n(n 1)
2
max
1i , jn
cij
例1 估计下面矩阵的特征值的界：
0 0.2 0.1 1 0
A
0.2
0
0.2
2 0.3i
解：
0.1 0.2 0 3 0.3i
B 1 ( A AT ) 0,C 1 ( A AT ) A
4个盖尔圆中只有 G4 是孤立的， G1,G2 ,G3 是连通
的，故结论成立。
定义1 （严格对角占优矩阵）
设 A (aij )，若C满n足n
n
aii aij , i 1, 2, n j 1 ji
则称 A 为（行）对角占优矩阵，若不等式严格成立， 则称 为A（行）严格对角占优矩阵；若 为A行T （严格）对角占优矩阵，则称 A列（严格）对角占
5
A
1 5
2( x2
2z2 )
x1 2z1
x2
2
z2
2 5 2z2
z1

1.几种常用的矩阵范数
A (aij ) Cnn ,
n
A
1

max
1 jn
i1
|
aij
|;
nn
1
n
A


max
1in
| aij
j 1
|;
1
A ( F
| aij2 |)2 (tr( AH A))2 .
i1 j1
UA A AU .
F
F
F
三、向量与矩阵的极限
2.线性空间v中有限个向量的线性相关性.
3.线性空间的基与维数.
dim(V ) n.
4. 基变换公式.
(1,2, ,n ) (1,2, ,n )P.
X PY.
5.子空间:对加法封闭，对数乘封闭.
L(1,2, ,s ) span1,2, ,s;
A (aij ) Rmn,
1,2, ,n ,
(1)
A Pdiag(1,2 , ,n )P1
(1,2 ,
,n )diag(1,2,
,n )



1T

T 2





T n


111T

2
2

T 2

n
n

T n
1G 12G 2 nGn
k
(2) A i Ai i 1
3.正交补空间
V1 V2 , V1 V2 V
4.内积空间的同构.
(x y) (x) ( y); (x) (x); ( (x), ( y)) (x, y).

J
k
P
1
ak
k0
J1kPP 1Fra bibliotekakJ
k s
k0
f (J1)
P
P
1
f
(
J
s
)
f (Ji )
ak
J
k i
k 0
ik
ak
k0
C1 k1 ki
L
ik
O
mi 1 k (mi 1)
C k i
M
C1 k1 ki ik
ak ik
k0
akCk1
k 1 i
二、矩阵函数值的计算
1、利用相似对角化:
设P1AP diag(1, 2, , n ) D
f ( A)
ck
Ak
ck
( PDP 1 )k
P
ck
Dk
P
1
k0
k0
k0
ck
k0
1k
P
P 1
ck
k0
nk
f (1)
P
P
1
f
(n
)
同理
f ( At) Pdiag( f (1t), f (2t), , f (nt)).
0.1 0.7 k
r( A)
A
0.9
1
k 0
0.3
0.6
1
0.1 0.7 0.9
0.7 1
E
0.3
0.6
0.3
0.4
1
1 10
9 3
7
4
1 0.15
0.4
0.3
0.7
0.9
例：A 1,求 kAk-1

1.线性空间、维数、基与坐标第一章线性空间与内积空间(1)线性空间V 中存在加法和数乘运算，且加法和数乘运算满足8个条件；(2)线性空间V 中线性无关向量的最大个数n 称为V 的维数,记为dim (V ) = n ;V 中任意n 个线性无关向量称为V 的一组基；(3)如果是线性空间V 中的n 个线性无关向量,且V 中任一向量都可由其线性表示,则是V 的一组基且dim (V ) = n ；n ααα,,,21 n ααα,,,21(4)设是线性空间V 的一组基,是V 的n 个向量,则存在n 阶方阵T ,使得n εεε,,,21 n ',,','21εεε ,),,,()',,','(2121T n n εεεεεε =当且仅当T 可逆时,也是V 的一组基；n ',,','21εεε.2211n n x x x εεεα+++= (5)设是线性空间V 的基,则向量α在这组基下的坐标是如下线性组合的系数向量:n εεε,,,21 T n x x x ),,,(212.线性子空间(1)设V 是线性空间,W 是V 的非空子集，则W 是V 的子空间的充分必要条件是;,,,P W k W k ∈+⇒∈∀∈∀βααβα(3)设与是线性空间V 的两组向量,则的充分必要条件是与等价；s ααα,,,21 t βββ,,,21 ),,,(),,,(2121t s L L βββααα =s ααα,,,21 t βββ,,,21 (2)设是线性空间V 的一组向量，则W 是V 的子空间；s ααα,,,21 },P |{),,(221121∈+++==i s s s k k k k L W αααααα);,,,(rank )),,,dim(L(42121s s αααααα =）（(5)设V 1, V 2是线性空间V 的两个子空间，则V 1∩V 2和V 1 +V 2也是V 的子空间；(6)如果V 1和V 2是线性空间V 的有限维子空间,则).(dim )(dim )(dim )(dim 212121V V V V V V ∩++=+3.直和的判别法(1)V 1 + V 2中任意向量的分解式唯一；};0{21=V V ∩(3)).dim()dim()dim(2121V V V V +=+(4)(2)V 1+ V 2中零向量的表法唯一；4.内积空间(1)内积是一种代数运算,满足共轭对称性,左侧可加性和齐次性以及非负性;;),(:Cauchy )2(βαβα≤不等式;:)3(βαβα+≤+三角不等式(4)线性无关的充分必要条件是Gram 矩阵非奇异；m ααα,,,21 ()mm i j m G ×=),(),,,(21ααααα (5)线性无关向量组一定可以标准正交化.5.标准正交基的性质(1)有限维内积空间V 的标准正交基一定存在；(2)有限维内积空间V 的任意一组标准正交向量可扩充为V 的一组标准正交基；(3)设是内积空间V 的一组标准正交基,且则n εεε,,,21 ,,1111n n n n y y x x εεβεεα++=++= .),(1∑===ni i i Hy x x y βα6.常见内积空间;),(,)1(1∑====ni i i Hn y x x y y x C V 内积；内积dx x g x f g f b a C V ba )()(),(],,[)2(∫==).(tr ),(,)3(A B B A C V Hn m ==×内积第二章线性映射与线性变换1.线性变换的定义设V 是数域P 的线性空间，A是V 到自身的一个映射，如果则称A是V 的线性变换.P ,),()(,),()()(∈∈∀=∈∀+=+kVkk VαααβαβαβαAA AAA2.线性变换的性质. ,, ,,的线性变换也是则的线性变换，是如果VkP kVAABB ABA+∈(1)设是线性空间V 的一组基,A 是V 的线性变换，则n εεε,,,21 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n n n n n a a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε 22112222112212211111)()()(A A A 3.线性变换的矩阵表示;),,,(),,,(2121A n n εεεεεε =A 即(2)n 维线性空间的线性变换与n 阶矩阵一一对应；(3)同一个线性变换在不同基下的矩阵一定相似.4.线性变换的值域与核设A 是n 维线性空间V 的线性变换，是V 的一组基，A 在这组基下的矩阵是A ，则n εεε,,,21 （1）A 的核为};0)(|{)Ker(=∈=ααA A V };|)({)(V R ∈=ααA A （2）A 的值域为));(,),(),(()(321n L R εεεA A A A =）（（4）dim(R (A )) = rank( A );（5）dim(R (A )) + dim(Ker(A )) = n .5.矩阵A 可对角化的充分必要条件（1）A 有n 个线性无关的特征向量；（2）设A 的全部互异特征值为，则r λλλ,,,21 ;)dim()dim()dim(21n V V V r =+++λλλ （3）A 的每一个特征值的几何重数等于代数重数；（4）A 的初等因子都是一次式；（5）A 的最小多项式m (λ) 没有重零点.6.酉变换和酉矩阵设A 是n 维酉空间V 的线性变换，则下列命题等价：(1)A 是酉变换，即；),())(),((βαβα=A A ,)()2(αα=A ;V ∈∀α的一组标准正交基，则是如果V n εεε,,,)3(21 )(,),(),(21n εεεA A A 的一组标准正交基；也是V (4)A 在V 的标准正交基下的矩阵是酉矩阵．（1）存在数字矩阵P 与Q ，使得;)(Q B I P A I −=−λλ（2）它们的特征矩阵λI -A 和λI -B 相抵；（4）它们有相同的行列式因子；1.数字矩阵A 与B 相似的条件第三章λ矩阵与矩阵的Jordan 标准形（5）它们有相同的初等因子.（3）它们有相同的不变因子；2. 矩阵的最小多项式（1）矩阵A 的最小多项式m (λ) 能整除A 的任一化零多项式；（2）矩阵A 的最小多项式能整除特征多项式f (λ)；（3）是A 的特征值的充分必要条件是；0λ0)(0=λm （4）相似的矩阵具有相同的最小多项式；（5）矩阵A 的最小多项式为其最后一个不变因子.3.矩阵的不变因子、行列式因子和初等因子的求法（1）化λI -A 为Smith 标准形：)),(,),(),(diag(21λλλλn d d d A I ≅−则是A 的n 个不变因子；)(,),(),(21λλλn d d d ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),()()()(),()()(),()(2121211λλλλλλλλλn n d d d D d d D d D （2）令则是A 的n 个行列式因子；)(,),(),(21λλλn D D D（3）将矩阵A 的不变因子进行标准分解，则全体一次因式的方幂)(,),(),(21λλλn d d d sn s n n )(,,)(,)(2121λλλλλλ−−− 即为A 的全部初等因子.4.Jordan 标准形的求法（1）求矩阵A 的初等因子;)(,,)(,)(2121sn s n n λλλλλλ−−− ).,,,(diag 21s J J J J =（3）A 的Jordan 标准形为（2）对A 的每个初等因子构造Jordan 块：in i )(λλ−;1001i i n n i i i i J ×⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=λλλ第四章矩阵的因子分解1.满秩分解设m ×n 矩阵A 的秩为r≥1，则存在m ×r 列满秩矩阵B和r ×n 行满秩矩阵C,使得A = BC.2.三角分解（1）LU分解：设A 的各阶顺序主子式非零，则存在唯一的单位下三角矩阵L 和上三角矩阵U,使得A = LU.3.QR 分解（1）设A 是n 阶非奇异实矩阵，则存在酉矩阵Q 和非奇异上三角矩阵R ，使得A = QR ；（2）LDU 分解：设A 的各阶顺序主子式非零，则存在唯一的单位下三角矩阵L ，单位上三角矩阵U 和对角矩阵D = diag(d 1,d 2,…,d n )，使得A = LDU ,并且.,,2,)()(,1111n k A A d a d k k k =ΔΔ==−（2）设A 是m ×n 列满秩矩阵，则存在m ×n 列正交规范矩阵Q 和n 阶非奇异上三角矩阵R ，使得A = QR ；4.Schur 定理(正交分解)（1）设A 是n 阶复矩阵，则存在n 阶酉矩阵U 和n阶上三角矩阵R ,使得U H AU = R ；.,行满秩矩阵是列正交规范矩阵是其中n r R r m Q ××（3）设A 是矩阵且，则A 有分解式：n m ×,QR A =0)(rank >=r A （2）设A 是n 阶实矩阵，则存在n 阶正交矩阵Q 和n 阶块上三角矩阵R ,使得Q T AQ = R .5.奇异值分解.,,),,,(diag 11的正奇异值是且其中A r r σσσσ =Σ设A 是m ×n 实（复）矩阵，且rank (A ) = r ，则存在m 阶正交（酉）矩阵V 和n 阶正交（酉）矩阵U ，使得,000000⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Σ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Σ=AU V AU V H T6.正规矩阵的性质（1）n 阶矩阵A 酉相似于对角矩阵的充分必要条件为A 是正规矩阵；（2）设A, B 均为n 阶正规矩阵且AB =BA，则存在n 阶酉矩阵U，使得U H AU与U H BU同时为对角矩阵；（3）若A是正规矩阵，则A 的属于不同特征值的特征向量正交；（4）若A是正规矩阵，则A 的奇异值是A 的特征值的模.第五章Hermite矩阵与正定矩阵1.Hermite矩阵的性质(1) 如果A 是Hermite矩阵，则对正整数k，A k也是Hermite矩阵；(2) 如果A 是可逆Hermite矩阵，则A-1是Hermite矩阵；(3) 若A, B 是Hermite矩阵，则AB 是Hermite矩阵的充分必要条件是AB = BA；(4) 若A 是Hermite矩阵，则对任意方阵S，S H AS 也是Hermite矩阵；（5）设A 为n 阶Hermite 矩阵，则A 的所有特征值全是实数；（6）设A 为n 阶Hermite 矩阵，则A 的属于不同特征值的特征向量互相正交；（7）A 为n 阶Hermite 矩阵的充分必要条件是存在酉矩阵U 使得),,,,(diag 21n H AU U λλλ =Λ=.,,,21均为实数其中n λλλ2. Hermite 矩阵正定的判别方法(1) A 的n 个特征值均为正数；(2) 存在n 阶可逆矩阵P ,使得P HAP = I ；(3) 存在n 阶可逆矩阵Q ,使得A = Q H Q ；(4) 存在n 阶可逆Hermite 矩阵S ,使得A = S 2；（5）A 的顺序主子式均为正数，即;,,1,0)(n k A k =>Δ（6）A 的所有主子式全大于零.3.正定矩阵的性质则其特征值为阶正定矩阵是设,,,,,21n n A λλλ 是正定矩阵；1)1(−A ;0,)2(>×AQ Q m n Q H 则列满秩矩阵是任一如果;,,2,1,)tr(;0)3(n i A A i =>>λ(4) 设A ,B 均为n 阶Hermite 矩阵，且B > 0，则存在可逆矩阵P ,使得.),,,,(diag 21I BP P AP P Hn H ==λλλ4. Hermite 矩阵半正定的判别方法(1)A 的n 个特征值均为非负数；;0002⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=r H I AP P P n 使得阶可逆矩阵）存在（;)3(Q Q A Q r H=使得的矩阵存在秩为;,Hermite 42S A S n r =使得矩阵阶的）存在秩为（(5)A 的所有主子式均非负.5.矩阵不等式;0)1(≥−⇔≥B A B A ;,)2(Bx x Ax x C x B A H H n ≥∈∀⇔≥有都有阶可逆矩阵对任意P n B A B A ⇔>≥)()4();(BP P AP P BP P AP P H H H H >≥则设),,,(diag ),,,(diag )3(11n n b b B a a A ==);,,2,1)(()(n i b a b a B A B A i i i i =>≥⇔>≥(5)设A , B 均为n 阶Hermite 矩阵且A ≥0, B >0，则;1)(1≤⇔≥−AB A B ρ;1)(1<⇔>−AB A B ρ(6)设A 是n 阶Hermite 矩阵,则;)()(max min I A A I A λλ≤≤(8)设A , B 均为n 阶Hermite 矩阵,且AB = BA ,则;022B A B A ≥⇒≥≥;022B A B A >⇒>>.0,0,0)10(≥=≥≥AC CA AC C A 则且设;0,0,0)9(>=>>AC CA AC C A 则且设(7)设A 是Hermite 非负定矩阵，则A ≤tr(A ) I ；第六章范数与极限1.向量范数;2)2(21122⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−∑=ni ix x 范数;1)1(11∑==−ni i x x 范数;max )3(1i ni x x ≤≤∞=−∞范数.1,)4(11>⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−∑=p x xp pni pi p范数2.矩阵范数;||max 1)1(111∑=≤≤=−mi ij nj a A 范数;)]([2)2(21max 2A A A Hλ=−范数;||max )3(111Hnj ij mi Aa A ==−∞∑=≤≤∞范数().)(||)4(2121112A A tr a A F H m i nj ij F=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−∑∑==范数3.矩阵范数与向量范数的联系，则且设∞=∈×,2,1p CA nm .max 1p x p Ax A p==;)1(p ppB AAB≤;)2(22B A AB F ≤.)3(2F FB A AB≤4.矩阵范数的相容性则且设,,,2,1,,F p CB CA kn nm ∞=∈∈××;)3(p pppA UAVAVUA===;)1(p pTpHA AA==;)2(222A A A H=5.矩阵范数的性质.)4(122∞≤A A A 则是酉矩阵和设,,2,,F p V U CA nm =∈×6.矩阵的谱半径;)(,,)1(A A CC A nn nn ≤⋅∈××ρ有上的任一相容矩阵范数则对设;)(,,0,)2(ερε+≤⋅>∀∈××A A CCA nn nn 使得上存在相容矩阵范数在则设.,)(,)3(R A CR A CA nn nn <⋅<∈××使得存在相容矩阵范数上的充分必要条件是在则设ρ7.矩阵序列与矩阵级数;0lim lim lim )1()()()(=−⇔=⇔=∞→∞→∞→A Aa a A Ak k ij k ijk k k ;,;,发散则如果绝对收敛则如果的收敛半径为设级数∑∑∑∞=∞=∞=><0)(,)()2(k kk k kkk kk A c R A A cR A R z c ρρ;0lim 1)()3(0=⇔<⇔∞→∞=∑kk k kA A Aρ收敛矩阵幂级数.,1,)4(1可逆则的相容矩阵范数且上是，是非奇异矩阵设E A E A CCE CA nn nn nn +<⋅∈∈−×××1.加号逆的定义;1A AGA =）（;2G GAG =）（;)(3AG AG T=）（.)(4GA GA T=）（设A ∈R m ×n ,则G =A +的充分必要条件是:第八章广义逆矩阵2.加号逆在方程组中的应用;)1(b b AA b Ax ==+相容的充要条件是方程组则其通解是相容若,)2(b Ax =是则其最小二乘解的通式不相容若,)4(b Ax =;,)3(是其极小范数解则相容若b A x b Ax +==;,)(nR y y A A I b A x ∈∀−+=++;,)(nR y y A A I b A x ∈∀−+=++.,)5(b A x b Ax +==则其极小最小二乘解是不相容若3.加号逆在矩阵方程中的应用;C B CB AA =++(1)矩阵方程AXB = C 有解的充分必要条件是.,Y AYBB A Y CB A X ∀−+=++++(2)如果AXB = C 有解，则其通解是4.加号逆的计算;)(,)1(1TT A A A A A −+=则列满秩若;)(,)2(1−+=T T AA A A A 则行满秩若(3)设A 的满秩分解为A = BC ,则.)()(11TTT TB B B CC C B C A −−+++==。

第五章部分习题参考答案Exercise 2Find determinant divisors and elementary divisors of each of the following matrices.(a) 1000100016733λλλλ-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪--+⎝⎭ (b)001010100000λλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ Solution（a ） 100010()0016733A λλλλλ-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪--+⎝⎭det (())A λ432323376(1)(46)λλλλλλλλ=+--+=-++-222(1)(56)(1)(2)(3)λλλλλλ=-++=-++There is a 3x3 submatrix whose determinant is100det 10101λλ-⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭. Hence, the determinant divisors are 123()()()1D D D λλλ===,4324()3376D λλλλλ=+--+. Invariant divisor are 123()()()1d d d λλλ===,4324()3376d λλλλλ=+--+ The elementary divisors of ()A λ are 2(1)λ-, 2λ+, 3λ+(b) 44()D λλ=, 123()()()1D D D λλλ===. There is a unique elementary divisor 4λExercise 3Let11a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , a a B a εε⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭be n n ⨯ matrices, where 0ε≠. Show that A and B are similar.Proof The Smith normal forms of both I A λ- and I B λ-are11()n a λ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭.A andB have the same set of elementary divisors. Hence they are similar to each other.Exercise 4Let11a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , 11a a B a ε⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭be n n ⨯ matrices, where 0ε≠. Show that A and B are NOT similar.ProofThe determinant of I A λ- is ()n a λ- . The determinant of I B λ- is ()n a λε--. A and B have distinct characteristic polynomials. Hence, they are not similar.Exercise 6For each of the following matrices, find the Jordan Canonical Form J and matrix P such that 1P AP J -=(a) 040140122-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭(b)134478677-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭Solution(a)40140122I A λλλλ⎛⎫ ⎪-=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭Determinant divisors are 33()det()(2)D I A λλλ=-=+, 2()det()(2)D I A λλλ=-=+,1()1D λ= Invariant divisors are 23()(2)d λλ=+, 2()(2)d λλ=+, 1()1d λ= Elementary divisors are 2(2)λ+, (2)λ+A Jordan canonical form is 210020002-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. Let123(,,)p p p P =, then1121233222p p p p p p p A A A =-=-=-Solving (2)x 0A I +=, that is, 123240012001200x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, we obtain that {1p ,3p } form abasis for (2)((0,0,1),(2,1,0))T T N I A Span -= . Let 1(2,1,0)(0,0,1),p T T a b =+ To obtain 2p , we solve the system212(2)p p a A I a b ⎛⎫⎪-== ⎪ ⎪⎝⎭, that is,1232402120120y a y a y b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. This system is consistent only if a b =. Let 1a b ==. Then 1(2,1,1)p T =, We solve the system above for vector2(1,0,0)p T =. Take 3(0,0,1)p T =.210100101P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(b) 134478677I A λλλλ--⎛⎫ ⎪-=-+- ⎪ ⎪--⎝⎭23()det()(1)(3)D I A λλλλ=-=+-, 2()1D λ= , 1()1D λ=Invariant divisors are 23()(1)(3)d λλλ=+-, 2()1d λ=, 1()1d λ= Elementary divisors are 2(1)λ+, (3)λ-A Jordan canonical form is 110010003-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭. Let123(,,)p p p P =, then11212333p p p p p p p A A A =-=-= 3(1,2,2)p T =, 1(1,2,1)p T =, 2(1,1,0)p T =--111212102P -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭Exercise 8Show that if p A I = for some positive integer p , then A is similar to a diagonal matrix over the complex number field.Proof Since p A I =, 1p x - is an annihilating polynomial. The minimal polynomial ()m x of A must divide 1p x -. Since the polynomial 1p x - has only single roots(单根)，()m x has only single roots. Therefore, by Theorem 5.2.7 (see lecture notes p124), matrix A is diagonalizable.Exercise 9Prove that if an n n ⨯ matrix satisfies 256A A I -=then A is diagonalizable.Proof Since 256A A I -=, 256x x -- is an annihilating polynomial of A . . The minimal polynomial ()m x of A must divide 256x x --. Since 256(6)(1)x x x x --=-+, the minimal polynomial must be a product of distinct linear factors. By Theorem 5.2.7 (see lecture notes p124), matrix A is diagonalizable.Exercise 10Show that if A is nonsingular, then 1A - can be written as a polynomial of A .Proof Let 1110()n n n p x c c c λλλ--=++++ be the characteristic polynomial of A . The constant term of ()p x must not be zero since A is nonsingular. By Cayley-Hamilton Theorem,()p A O =. That is, 1110n n n A c A c A c I O --++++= . Thus,1121101()n n n A A c A c I c ----=-+++ , which is a polynomial of A .Exercise 11How many possible Jordan forms are there for a 66⨯ complex matrix with characteristic polynomial 42(2)(1)x x +-?Solution The possibilities for the sets of elementary divisors are { 42(2),(1)x x +-}, {4(2),(1),(1)x x x +--}{32(2),(2),(1)x x x ++-}, {3(2),(2),(1),(1)x x x x ++--} {222(2),(2),(1)x x x ++-}, {22(2),(2),(1),(1)x x x x ++--},{22(2),(2),(2),(1)x x x x +++-}, {2(2),(2),(2),(1),(1)x x x x x +++--}{2(2),(2),(2),(2),(1)x x x x x ++++-}, {(2),(2),(2),(2),(1),(1)x x x x x x ++++--}. For each set of elementary divisors, there is a Jordan canonical form up to similarity. There are 10 Jordan canonical forms up to similarity.Exercise 12Classify up to similarity all 33⨯ complex matrices A such that 3A I =.Solution An annihilating polynomial of A is 321(1)()()x x x x ωω-=---, where ω= A is diagonalizable.The possibilities for the minimal polynomial of A are1x -, x ω-, 2x ω-;(1x -)(x ω-), (x ω-)(2x ω-), (1x -)(2x ω-);2(1)()()x x x ωω---Up to similarity, all 33⨯ complex matrices A are100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 000000ωωω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 222000000ωωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 10001000ω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 1000000ωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 22000000ωωω⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭, 2000000ωωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;221000000ωω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,210001000ω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭21000000ωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Exercise 14If N is a nilpotent (幂零的) 33⨯ matrix over C , prove that 21128A I N N =+- satisfies2A I N =+, i.e., A is a square root of I N +. Use the binomial series for 1/2(1)t + to obtain asimilar formula for a square root of I N +, where N is any nilpotent n n ⨯ matrix over C .Use the result above to prove that if c is a non-zero complex number and N is a nilpotent complex matrix, then cI N +has a square root. Now use the Jordan form to prove that every non-singular complex n n ⨯ matrix has a square root.Solution If N is an n n ⨯ matrix and k N O =, then k x is an annihilating polynomial for N . The minimal polynomial of N must be of the form p x , where p n ≤ and p k ≤ since the minimal polynomial of a matrix divides its characteristic polynomial. Thus, n N O =.(1) If N is a nilpotent 33⨯ matrix, then 3N O =. By straightforward computation, we canverify that 2A I N =+.(2) If N is an n n ⨯ nilpotent matrix, n N O =.1/22111111(1)(1)((1)1)122222(1)122!(1)!n n t t t t n -----++=+++++- 1/22111111(1)(1)((1)1)122222()22!(1)!n n I N I N N N n -----++=++++-(3) Since1N c is a nilpotent matrix, 1I N c + has a square root 1/21()I N c+. cI N + has a square root 1/21/21()c I N c+.(4) Suppose that 12121()00()000()r d d d r J J P AP J J λλλ-⎛⎫ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. Then each ()k d k J λ has asquare root 1/2()k d k J λ since ()kd k J λ is of the form k I N λ+, where 0k λ≠ because A is nonsingular and N is nilpotent.Let 121/211/2211/2()000()000()r d d d r J J B P P J λλλ-⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪⎪⎝⎭, then 2B A =. Hence, A has a squareroot.Exercise 20Prove that the minimal polynomial of a matrix is equal to the characteristic polynomial if andonly if the elementary divisors are relatively prime in pairs.Proof Suppose that a Jordan canonical form of A is1212()000()000()r d d d r J J J J λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭(where 12,,,r λλλ are not necessarily distinct. Each ()id i J λ is a Jordan block.)The minimal polynomial of A is the same as that of J . The characteristic polynomial of A is the same as that of J . The elementary divisors of A are 11()d λλ-, , ()rd r λλ-The minimal polynomial of ()id i J λ is ()id i λλ-. The minimal polynomial of J is theleast common multiple (最小公倍式) of 11()d λλ-, , ()rd r λλ-. The characteristicpolynomial of J is 1212()()()()rd d d r p λλλλλλλ=--- .The least common divisor of 11()d λλ-, , ()rd r λλ- is equal to the product of11()d λλ-, , ()r d r λλ- if and only if ()j dj λλ-and ()k d k λλ-are relatively prime for j k ≠. Thus the minimal polynomial of a matrix is equal to the characteristic polynomial ifand only if the elementary divisors are relatively prime in pairs.。

（1）奇异方阵；
（2）非方矩阵.
事实上， Penrose（彭罗司）广义逆矩阵涵盖了以 上两种情况．
15 October 2020
河北科技大学
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矩阵论
对于满秩方阵 A，A1存在，且 AA1 A1A I ， 故当然有
AA-1A A
A-1AA-1 A-1
( AA-1)* AA-1
上述四个等式又依次称为 Penrose 方程（1）， （2）， （3）， （4）．
15 October 2020
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矩阵论
定义 对矩阵 A mn，若矩阵G nm满足 Penrose 方程中的第i, j, ,l 个方程，则称G 为 A的{i, j, ,l} 逆，记作： A{i, j, ,l}，其全体记作： A{i, j, , l}．
{i, j, , l}逆共有C41 C42 C43 C44 15类，但实际上 常用的为如下 5 类：A{1}，A{1,2}， A{1,3}， A{1,4}， A{1, 2, 3, 4}．
15 October 2020
河北科技大学
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矩阵论
(i) A{1}：矩阵的{1}逆是最基本的广义逆矩阵，通 常记为 A，它与相容线性方程组 AX b的解有密切 联系； (ii) A{1,2}：矩阵的{1,2}逆称为自反广义逆矩阵，此 时，矩阵 A和G 的地位完全一样，他们互为{1,2}逆；
15 October 2020
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矩阵论
定义 设 A mn，若存在G nm，使得 (1) AGA A，
则称G为 A的（一般）广义逆矩阵，简称 g 逆或减号 逆，记作： A，其全体记作： A{1}.

第五章
特征值与二次型
第五章主要内容
第一节 向量的内积 第二节 方阵的特征值与特征向量 第三节 相似矩阵 第四节 化二次型为标准型 第五节 正定二次型
第一节 向量的内积
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x = x2 ， y = y2
....
xn
yn
令 [x，y] = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn， 则 [x，y] 称为向量x与 y 的 内积
(2) [x, y] = (-2) 3 1(-6) 0 8 3 4 = 0
若x, y, z为n维实向量, 为实数,内积的性质为：
(i) [ x, y] = [ y, x],
(ii) [ x, y] = [ x, y],
(iii) [ x y, z] = [x, z] [ y, z]. (iiii) [ x, x] 0,当且仅当x = 0时, [ x, x] = 0.
(1)式也可写成 (A- E) x = 0 (2)
a11 - a12
a1n
行列式 f ( ) = A - E = a21 a22 -
a2n
an1
an2
称为方阵 A 的特征多项式.
ann -
方程 f ( ) = A - E = 0是以为未知数的一元
n次方程,称为n 阶矩阵A的特征方程。
显然, A 的特征值就是特征方程的解.特征方程在复 数范围内恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算), 因此,n 阶方阵有 n 个特征值.
1
1
正交，试求一个非零向量a3，使a1, a2 , a3两两正交。
解记
A=
α1' a2'
=

i 1, 2, , s; j 1, 2, , r
4、转置与共轭转置
A11 A12
设
A
A21
A22
As1 As2
A1r
A2r
,
则AT
A1T1 A1T2
A2T1 A2T2
Asr
A1Tr A2Tr
AsT1 AsT2
AsTr
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AH
A1H1 A1H2
A2H1 A2H2
ei
e
H j
E ei , ej , k
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Remark
det E u, v, det In uvH det 1 vHu
1 vHu (由n Im AB m In BA 得到）
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四、其他特殊矩阵
1幂零矩阵：Ak 0, k : 某正整数; 2幂等矩阵：A2 A; 3实对称正定矩阵：
1、加法，减法
若A
aij
,B
mn
bij
,则
mn
A B aij bij mn
2、数乘
若A
aij
, C,
mn
则 A
aij
mn
3、乘法
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若A
aij
,B
mr
bij
,则
rn
AB cij mn , 其中cij ai1b1 j ai2b2 j
定义2
设A Cnn , 若A满足 AH A AAH I ,
则称A为酉矩阵.
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三、初等矩阵 1、定义 定义3
单位矩阵I经一次初等变换而得到的矩阵称为 初等矩阵.
有以下三类初等矩阵：

证
有f
xT
A因x为A0,为作正x定，C所y,以则对f 任意yTx(CT0A, C ) y,
由x
0及C可逆,
得y
C
1
x
0,
从而
f xT Ax yT (C T AC ) y 0,
即C TAC是正定的。
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Ex.12 证明：若实对称矩阵A = ( aij ) 为正定矩阵， 则 aii > 0 ( i =1, 2, …, n ).
注意：对于二次型，除了有正定和负定以外， 还有半正定和半负定及不定二次型等概念。
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判别矩阵正定的方法
根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A 的正定性有两种方法。
一是求出A 的所有特征值。若A 的特征值均为 正数，则A 是正定的；若A 的特征值均为负数，则A 为负定的。
二是计算A 的各阶主子式。若A 的各阶主子式 均大于零，则A 是正定的；若A 的各阶主子式中， 奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A 为负定的。
问取何值时, f为正定二次型.
1 1
解 f 的矩阵是 A 4 2 ,
1 2 4
A 的各阶主子式为：
a11
0,
a11 a21
a12 1
a22
4 2 0,
4
A 4( 1)( 2) 0,
解得 2 1时,二次型为正定的.
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Ex.11 判别二次型 f x12 2 x1 x2 4 x1 x3 x32
限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是
不变的。
它的定秩理是1r1，( 惯有性两定个理实的) 可设逆有变实换二x次型Cyf与 xxTAPx,z,