2020年中考数学必考专题高分考点—最值问题(学生版)

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题10 二次函数与线段关系及最值定值问题【类型综述】图形运动的过程中,求两条线段之间的函数关系,是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系,常见的情况有两种,一是勾股定理,二是比例关系．还有一种不常见的,就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题,在两种类型的题目中比较常用． 一是由平行线产生的对于线段成比例,二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系,再代入数值或表示数的字母,最后整理、变形,根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系,难点是有的整理、变形比较繁琐,容易出错．【方法揭秘】由勾股定理产生的函数关系,在两种类型的题目中比较常用．类型一,已知“边角边”,至少一边是动态的,求角的对边．如图1,已知点A 的坐标为(3, 4),点B 是x 轴正半轴上的一个动点,设OB ＝x ,AB ＝y ,那么我们在直角三角形ABH 中用勾股定理,就可以得到y 关于x 的函数关系式．类型二,图形的翻折．已知矩形OABC 在坐标平面内如图2所示,AB ＝5,点O 沿直线EF 翻折后,点O 的对应点D 落在AB 边上,设AD ＝x ,OE ＝y ,那么在直角三角形AED 中用勾股定理就可以得到y 关于x 的函数关系式．图1 图2【典例分析】【例1】如图①,矩形ABCD 中,2,5,1AB BC BP ===,090MPN ∠=,将MPN ∠绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转,PM 交边AB （或AD ）于点E ,PN 交边AD （或CD ）于点F .当PN 旋转至PC 处时,MPN ∠的旋转随即停止.（1）特殊情形：如图②,发现当PM 过点A 时,PN 也恰好过点D ,此时ABP ∆是否与PCD ∆相似？并说明理由；（2）类比探究：如图③,在旋转过程中,PEPF的值是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由； （3）拓展延伸：设AE t =时,EPF ∆的面积为S ,试用含t 的代数式表示S ；①在旋转过程中,若1t =时,求对应的EPF ∆的面积； ②在旋转过程中,当EPF ∆的面积为4.2时,求对应的t 的值.【例2】如图1,在矩形ABCD 中,AB ＝8,AD ＝10,E 是CD 边上一点,连接AE ,将矩形ABCD 沿AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上点F 处,延长AE 交BC 的延长线于点G ． （1）求线段CE 的长；（2）如图2,M ,N 分别是线段AG ,DG 上的动点（与端点不重合）,且∠DMN ＝∠DAM ,设AM ＝x ,DN ＝y ． ①写出y 关于x 的函数解析式,并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ,使△DMN 是等腰三角形？若存在,请求出x 的值；若不存在,请说明理由．【例3】抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧）,与y 轴交于点(0,4)C -.已知(2,0)A -,抛物线的对称轴l 交x 轴于点(1,0)D . （1）求出,,a b c 的值；（2）如图1,连接BC ,点P 是线段BC 下方抛物线上的动点,连接,PB PC .点,M N 分别在y 轴,对称轴l 上,且MN y ⊥轴.连接,AM PN .当PBC ∆的面积最大时,请求出点P 的坐标及此时AM MN NP ++的最小值；（3）如图2,连接AC ,把AOC ∆按照直线y x =对折,对折后的三角形记为A OC ∆'',把A OC ∆''沿着直线BC 的方向平行移动,移动后三角形的记为A O C ∆''''',连接DA '',DC '',在移动过程中,是否存在DA C ∆''''为等腰三角形的情形？若存在,直接写出点C ''的坐标；若不存在,请说明理由.【例4】如图在锐角△ABC 中,BC ＝6,高AD ＝4,两动点M 、N 分别在AB 、AC 上滑动(不包含端点),且MN ∥BC,以MN 为边长向下作正方形MPQN,设MN ＝x,正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为y ． (1)如图(1),当正方形MPQN 的边P 恰好落在BC 边上时,求x 的值；(2)如图(2),当PQ 落△ABC 外部时,求出y 与x 的函数关系式(写出x 的取值范围)并求出x 为何值时y 最大,最大是多少？【例5】如图,抛物线y＝12-x2+mx+m（m＞0）的顶点为A,交y轴于点C．（1）求出点A的坐标（用含m的式子表示）；（2）若直线y＝﹣x＋n经过点A,与抛物线交于另一点B,证明：AB的长是定值；（3）连接AC,延长AC交x轴于点D,作直线AD关于x轴对称的直线,与抛物线分别交于E、F两点．若∠ECF＝90°,求m的值．【例6】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B 点的坐标为（3,0）,与y轴交于点C（0,﹣3）．（1）求二次函数解析式；（2）若点Q为抛物线上一点,且S△ABQ＝12S△ACQ,求点Q的坐标；（3）若直线l：y＝mx+n与抛物线有两个交点M,N（M在N的左边）,P为抛物线上一动点（不与M,N重合）．过P作PH平行于y轴交直线l于点H,若HM HNHP⋅＝5,求m的值．【变式训练】1．如图,抛物线y ＝ax 2+4x +c （a ≠0）与反比例函数y ＝5x的图象相交于点B ,且点B 的横坐标为5,抛物线与y 轴交于点C （0,6）,A 是抛物线的顶点,P 和Q 分别是x 轴和y 轴上的两个动点,则AQ +QP +PB 的最小值为_____．2．如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上,顶点 C 的坐标为（4,3）,D 是抛物线 y =﹣x 2+6x 上一点,且在x 轴上方,则△BCD 面积的最大值为__________3．己知抛物线2114y x =+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x 轴的距离始终相等,如图,点M 的坐标为(3,3),P 是抛物线2114y x =+上一个动点,则△PMF 周长的最小值是__________.4．如图,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC =16cm ,AD 为BC 边上的高,动点P 从点A 出发,沿A →D 方向以2/s 的速度向点D 运动,过P 点作PE ∥BC 交AC 于点E ,过E 点作EF ⊥BC 于点F ,设△ABP 的面积为S 1,四边形PDFE 的面积为S 2,则点P 在运动过程中,S 1+S 2的最大值为______．5．在平面直角坐标系中,已知()A 2,4、()P 1,0,B 为y 轴上的动点,以AB 为边构造ABC V ,使点C 在x 轴上,BAC 90.M ∠=o 为BC 的中点,则PM 的最小值为______．6．如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x 2+4x 与x 轴交于点A,点M 是x 轴上方抛物线上一点,过点M 作MP ⊥x 轴于点P,以MP 为对角线作矩形MNPQ,连结NQ,则对角线NQ 的最大值为_________．7．如图,在平面直角坐标系中,过A （－1,0）、B （3,0）两点的抛物线交y 轴于点C,其顶点为点D,设△ACD 的面积为S 1,△ABC 的面积为S 2．小芳经探究发现：S 1︰S 2是一个定值．这个定值为________．8．如图,在平面直角坐标系中,有二次函数23333y x x =--+,顶点为H ,与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧）,易证点H 、B 关于直线3:33l y x =+对称,且A 在直线l 上．过点B 作直线//BK AH 交直线l 于K 点,M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点,连接HN 、NM 、MK ,则HN NM MK ++的最小值为________9．如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与直线1y x =+相交于(1,0)A -,(4,)B m 两点,且抛物线经过点(5,0)C（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上的一个动点（不与点A 点B 重合）,过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ,交直线AB 于点E ．当2PE ED =时,求P 点坐标；（3）如图所示,设抛物线与y 轴交于点F ,在抛物线的第一象限内,是否存在一点Q ,使得四边形OFQC 的面积最大？若存在,请求出点Q 的坐标；若不存在,说明理由．10．如图,在矩形ABCD 中,AB=18,AD=12,点M 是边AB 的中点,连结DM,DM 与AC 交于点G ,点E,F 分别是CD 与DG 上的点,连结EF,(1)求证：CG=2AG .(2)若DE=6,当以E,F,D 为顶点的三角形与△CDG 相似时,求EF 的长.(3)若点E 从点D 出发,以每秒2个单位的速度向点C 运动,点F 从点G 出发,以每秒1个单位的速度向点D 运动.当一个点到达,另一个随即停止运动.在整个运动过程中,求四边形CEFG 的面积的最小值.11．如图①,抛物线y=a(x 2+2x-3)(a≠0)与x 轴交于点A 和点B,与y 轴交于点C,且OC=OB.(1)直接写出点B 的坐标是( , ),并求抛物线的解析式；(2)设点D 是抛物线的顶点,抛物线的对称轴是直线l,连接BD,线段OC 上的点E 关于直线l 的对称点E'恰好在线段BD 上,求点E 的坐标；(3)若点F 为抛物线第二象限图象上的一个动点,连接BF,CF,当△BCF 的面积是△ABC 面积的一半时,求此时点F 的坐标.12．如图,抛物线y ＝﹣x 2+mx +2与x 轴交于点A ,B ,与y 轴交于点C ,点A 的坐标为（1,0） （1）求抛物线的解析式（2）在抛物线的对称轴l 上找一点P ,使PA +PC 的值最小,求出点P 的坐标 （3）在第二象限内的抛物线上,是否存在点M ,使△MBC 的面积是△ABC 面积的12？若存在,求出点M 的坐标,若不存在,请说明理由．13．如图,抛物线212y x mx n =++交x 轴于A 、B 两点,直线y=kx+b 经过点A,与这条抛物线的对称轴交于点M （1,2）,且点M 与抛物线的顶点N 关于x 轴对称．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设题中的抛物线与直线的另一交点为C,已知P（x,y）为线段AC上一点,过点P作PQ⊥x轴,交抛物线于点Q．求线段PQ的最大值及此时P坐标；（3）在（2）的条件下,求△AQC面积的最大值．14．如图,抛物线y＝﹣12x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA＝2,OC＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）点D（2,2）是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．（3）连接AD并延长,过抛物线上一点Q（Q不与A重合）作QN⊥x轴,垂足为N,与射线交于点M,使得QM＝3MN,若存在,请直接写出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．15．如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=- x2 + 4x上,且横坐标为1,点B与点A关于抛物线的对称轴对称,直线AB与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E的坐标为(1,1).(1)求线段AB 的长.(2)点P 为线段AB ．上方抛物线上的任意一点,过点P 作AB 的垂线交AB 于点H,点F 为y 轴上一点,当∆PBE 的面积最大时,求PH + HF + 12FO 的最小值. (3)在(2)中,PH+HF+12方FO 取得最小值时,将∆CFH 绕点C 顺时针旋转60°后得到∆CF'H',过点F'作CF'的垂线与直线AB 交于点Q,点R 为抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点S,使以点D,Q,R,S 为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点S 的坐标,若不存在,请说明理由.16．已知,二次函数24y x x c =-+的图像与x 轴的一个交点为O(0,0),点P （m,0）是x 轴正半轴上的一个动点.（1）如图1,求二次函数的图像与x 轴另一个交点的坐标； （2）如图2,过点P 作x 轴的垂线交直线33y x =与点C,交二次函数图像于点D, ①当PD=2PC 时,求m 的值；如图3,已知A （3,-3）在二次函数图像上,连结AP,求12AP OP +的最小值；(3如图4,在第（2）小题的基础上,作直线OD,作点C关于直线OD的对称点C’,当C’落在坐标轴上时,请直接写出m的值.17．如图1,已知抛物线y =ax2+bx +c 经过A(-3,0),B (1,0 ),C (0,3 )三点,其顶点为D,对称轴是直线l , l 与x 轴交于点H .（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点,求∆PBC 周长的最小值；（3）如图2,若 E 是线段AD 上的一个动点（E 与A, D 不重合）,过 E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点 F ,交x 轴于点G ,设点 E 的横坐标为m ,四边形AODF 的面积为S 。

专题02 瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造【引例】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点，考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ 是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=12 AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．1．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，6BC =，点D 是以点A 为圆心、4为半径的圆上一点，连接BD ，点M 为BD 中点，则线段CM 长度的最大值为( )A ．7B ．8C ．6D ．52．如图，点A 是双曲线4y x=在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt ABC ∆，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为( )A ．14y x =-B ．12y x =-C ．4y x =-D ．2y x=- 3．如图，一次函数2y x =与反比例函数(0)k y k x=>的图象交于A ，B 两点，点P 在以(2,0)C -为圆心，1为半径的C 上，Q 是AP 的中点，已知OQ 长的最大值为32，则k 的值为( )A ．4932B ．2518C ．3225D ．984．如图，AB 是O 的直径，4AB =，C 为半圆AB 的中点，P 为弧AC 上一动点，连接PC 并延长，作⊥于点Q，若点P从点A运动到点C，则点Q运动的路径长为()BQ PCA B．πC D．45．在Rt ABCBC=，D是以点A为圆心，2为半径的圆上一点，连接BD，AC=，3∠=︒，4∆中，90ACBM为BD的中点，则线段CM长度的最大值为()A．7B．3.5C．4.5D．36．如图，线段AB为O的直径，点C在AB的延长线上，4AB=，2BC=，点P是O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt PCD∠=︒，连接OD，则OD长的最大值为()DCP∆，且使60A B．C．1D．4。

专题12二次函数与线段和（将军饮马型）最值问题二次函数与将军饮马问题必备的基础模型有：模型1：当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小．作点B 关于直线l 的对称点B '，连接AB '交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为AB ' 模型2：当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点，PA PB -的最大值为AB 模型3：当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为AB '模型4：点P 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得△PCD 周长最小．lABll ABllABlB分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P ′、P ″，连接P ′P ″，交OA 、OB 于点C 、D ，点C 、D 即为所求．△PCD 周长的最小值为P ′P ″模型5：点P 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得PD ＋CD 最小．作点P 关于OB 的对称点P ′，过P ′作P ′C ⊥OA 交OB ，PD ＋CD 的最小值为P ′C【例1】（2022•黑龙江）如图，已知抛物线y ＝（x ﹣2）（x +a ）（a ＞0）与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线过点M （﹣2，﹣2），求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE 的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H ，使CH +EH 的值最小，直接写出点H 的坐标．【例2】（2022•甘肃）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝（x +3）（x ﹣a ）与x 轴交于A ，B （4，0）两点，点C 在y 轴上，且OC ＝OB ，D ，E 分别是线段AC ，AB 上的动点（点D ，E 不与点A ，B ，C 重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接DE 并延长交抛物线于点P ，当DE ⊥x 轴，且AE ＝1时，求DP 的长；（3）连接BD ．POADCP'POA①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；②如图3，连接CE，当CD＝AE时，求BD+CE的最小值．【例3】．（2022•达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式；（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【例4】．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A （﹣1，0）和点B．（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，①求点P的坐标；②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．【例5】（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．（1）求此抛物线的解析式；（2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标；（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当P A﹣PB的值最大时，求P的坐标以及P A﹣PB的最大值．1．（2022•滨城区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0），经过点A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC＝S△ABC时，求N点的坐标；（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．2．（2022•淮北模拟）已知抛物线l1：y＝ax2+bx﹣2和直线l2：y＝﹣x﹣均与x轴相交于点A，抛物线l1与x轴的另一个交点为点B（3，0）．（1）求a，b的值；（2）将抛物线l1向右平移h个单位长度，使其顶点C落在直线l2上，求h的值；（3）设抛物线l1和直线l2的另一个交点为点D，点P为抛物线上一个动点，且点P在线段AD的下方（点P不与点A，D重合），过点P分别作x轴和y轴的平行线，交直线l2于点M，N，记W＝PM+PN，求W的最大值．3．（2022•南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是6．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q．①当△POQ与△P AQ的面积之比为1：3时，求m的值；②如图2，当点P在x轴下方的抛物线上时，过点B（3，3）的直线AB与直线PQ交于点C，求PC+CQ的最大值．4．（2022•成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴，x轴分别相交于A（0，2），B（2，0），C（4，0）三点，点D是二次函数图象的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）点P为抛物线上异于点B的一点，连接AC，若S△ACP＝S△ACB，求点P的坐标；（3）M是第四象限内一动点，且∠AMB＝45°，连接MD，MC，求2MD+MC的最小值．5．（2022•成都模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于点A，B（A在B的左边），且经过点C（﹣2，3），P为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；（2）平面内一动点H自点C出发，先到达x轴上的某点M，再到达y轴上某点N，最后运动到点P，求使点H运动的总路径最短的点M，点N的坐标，并求出这个最短总路径的长；（3）如图2，过点C的直线l与抛物线有唯一的公共点，将直线l向下平移交抛物线于D，E两点，连BD交y轴正半轴于F，连BE交y轴负半轴于G，试判断|OF﹣OG|是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．6．（2022•沈阳模拟）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的“衍生直线”为y＝﹣ax+b，有一个顶点在抛物线上，另一个顶点在“衍生直线”上的三角形为该抛物线的“衍生三角形”．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与其“衍生直线”交于A，D两点（点A在点D的左侧），与x轴正半轴相交于点B，与y轴正半轴相交于点C，点P为抛物线的顶点．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为；B的坐标为；D的坐标为．（2）如图1，动点E在线段AB上，连接DE，DB，将△BDE以DE所在直线为对称轴翻折，点B的对称点为F，若三角形△DEF为该抛物线的“衍生三角形”，且F不在抛物线上，求点F坐标．（3）抛物线的“衍生直线”上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝，连接PM，CN，当PM+MN+CN最短时，请直接写出此时点N的坐标．7．（2022•沈阳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+（a≠0）经过点A（3，2）和点B（4，﹣），且与y轴交于点C．（1）分别求抛物线和直线BC的解析式；（2）在x轴上有一动点G，抛物线上有一动点H，是否存在以O，A，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+P A的最小值．8．（2022•沈河区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B（点B在A的右侧），与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AP，与y轴交于点D，连接BD，当△BOD≌△COA时，求点P的坐标；（3）连接OP，与线段BC交于点E，点Q是x轴正半轴上一点，且CE＝BQ，当OE+CQ的值最小时，请直接写出点Q的坐标．9．（2022•邵阳县模拟）如图，直线l：y＝﹣3x﹣6与x轴、y轴分别相交于点A、C；经过点A、C的抛物线C：与x轴的另一个交点为点B，其顶点为点D，对称轴与x轴相交于点E．（1）求抛物线C的对称轴．（2）将直线l向右平移得到直线l1．①如图①，直线l1与抛物线C的对称轴DE相交于点P，要使PB+PC的值最小，求直线l1的解析式．②如图②，直线l1与直线BC相交于点F，直线l1上是否存在点M，使得以点A、C、F、M为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2021•越秀区校级二模）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴是直线x＝与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，求出点M的坐标；（3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2022•立山区一模）已知点A（﹣2，0），B（3，0），抛物线y＝ax2+bx+4过A，B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段AC上一动点（不与C点重合），作PQ⊥BC交抛物线于点Q，PH⊥x轴于点H．①连结CQ，BQ，PB，当四边形PCQB的面积为时，求P点的坐标；②直接写出PH+PQ的取值范围．12．（2021•招远市一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．（4）设点M的坐标为（3，m），直接写出使MN+MD的和最小时m的值．13．（2021•桓台县二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），点M为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点M作y轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的平行线，交CM于点D，点H为OC上的任一点，将线段HB绕点H逆时针旋转90°到HP．求∠PCD的度数；（3）在（2）的条件下，将点H改为y轴上的一动点，连接OP，BP，求OP+BP的最小值．14．（2021•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．①求DF+HF的最大值；②连接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．15．（2020•朝阳）如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点C坐标为（0，4）．（1）求抛物线表达式；（2）在抛物线上是否存在点P，使∠ABP＝∠BCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接写出△GHQ周长的最小值．16．（2021•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G 到直线y＝﹣2的距离总相等．①证明上述结论并求出点F的坐标；②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．17．（2020•滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ 周长的最小值及点Q的坐标．18．（2018•贺州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA＝3，OB＝1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），P A、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．19．（2018•烟台）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y ＝kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2018•湘潭）如图，点P为抛物线y＝x2上一动点．（1）若抛物线y＝x2是由抛物线y＝（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．。

2020中考常见最值问题总结归纳微专题一：单线段最值+单动点型WORKINGPLAN微专题一：单线段最值+单动点型类型一：动点轨迹--直线型考法指导动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

（1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值（2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。

【典例精析】例题1．（2020·全国初三单元测试）如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【答案】【详解】 ABCD 为矩形，AB DC ∴=又=PAB PCD S S∴点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上，连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +====故答案为：【针对训练】1．（2018·湖北中考真题）如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ）A．4 B．2 C ．1 D ．2【答案】C【详解】连接OC ，作PE ⊥AB 于E，MH ⊥AB 于H，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC=BC=2，∠A=∠B=45°， ∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB，OC 平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt △AOP 和△COQ 中A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴Rt △AOP ≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，∴∴PE+QF=2，CQ+BQ，=2BC=2 ∵M 点为PQ 的中点，∴MH 为梯形PEFQ 的中位线，∴MH=12，PE+QF，=12， 即点M 到AB 的距离为12， 而CO=1，∴点M 的运动路线为△ABC 的中位线，∴当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长=12AB=1， 故选C，2．（2017·江苏中考真题）如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______，【答案】【详解】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt，ABC′中，易知AB=BC′=6，，ABC′=90°，，EE′=AC故答案为：3．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：∵∵ABC是等边三角形，∵AB=BC=AC，∵A=∵B=60°，由旋转的性质得：∵ACB=∵DCE=60°，CD=CE，∵∵ACD=∵BCE，∵∵ACD∵∵BCE（SAS），∵AD=BE．（2）如图2，过点A作AF∵EB交EB延长线于点F．∵∵ACD∵∵BCE，∵∵CBE=∵A=60°，∵点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，∵∵ACB=∵CBE=60°，∵AC∵EF，∵AF∵BE，∵AF∵AC，在Rt∵ACF中，，∵CD=CF=类型二：动点轨迹--圆或圆弧型考法指导动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

隐形圆问题一、确定动点轨迹是圆【例题1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A，且OA=OB，∠APB=90°，l不过点C，则AB的最小值为【举一反三】1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN,连接A’C，则A’C长度的最小值是第1题第2题2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6，BC=8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是3、如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.当PB=6时，在直线l变化过程中，则△ACB’面积的最大值是.4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC=8，P、Q分別是直线BC、AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是二、定边对直角知识回顾:直径所对的圆周角是直角构造思路:一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.图形释义:若AB是一条定线段，且∠APB-90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆【例题1】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PC的最小值为【举一反三】1、如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是2、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC，则线段CP长的最小值是3、如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5，AC＝4.D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC＝12，AB＝10，点D是AC上的一个动点，以AD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为5、如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分別从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB＝4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理:同圆或等圆中，同弧或等弧所対的圆周角都相.定边必不可少，而直角则可一般为定角.例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆.当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下面分别作对应的轨迹圆若∠P＝30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心若∠P＝45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.【例题1】如图，等边△ABC边长为2，E、F分別是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为【举一反三】1、如图，△ABC为等边三角形，AB=3，若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为2、在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是3、如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB(异于A、B)上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是。

2020年初三数学下册中考专题复习二次函数面积最值问题1．如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N 从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点．（1）求A、A′、C三点的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．3．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．4．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．6．如图，二次函数y＝﹣x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点（1）求m的值及C点坐标；（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4，），点D是抛物线A、B两点间部分上的一个动点（不与点A、B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S 取最大值时的点C的坐标．8．如图A（0，3），B（3，0），C（1，0）分别是抛物线：y＝ax2+bx+c（a≠0）上的三点，点P为抛物线上一动点．（1）求此抛物线的解析式．（2）当△PAB是以AB为一直角边的直角三角形时，求此时点P的坐标．（3）若点P在抛物线上A、B两点之间移动时，是否存在一个位置，使△PAB的面积最大？若存在，请求此时点P的坐标．若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．点P为直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）当t为何值时，△PAE的面积最大？并求出最大面积；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C （0，﹣3）（1）求出该抛物线的函数关系式及对称轴（2）点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3）．当△PCB的面积的最大值时，求点P的坐标（3）在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求P点的坐标．11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于C（0，3），直线y＝+m经过点C，与抛物线的另一交点为点D，点P是直线CD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线解析式并求出点D的坐标；（2）连接PD，△CDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△CPE是等腰三角形时，请直接写出m的值．12．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣8．点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D，交x轴于点F．（1）求该抛物线的解析式；（2）求sin∠ACE的值；（3）连接PA、PB（如图2所示），设△PAB的面积为S，点P的横坐标为x，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．13．如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A．经过点A的一条直线l解析式为：y＝﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E；PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小．若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y＝x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y＝x﹣2与y轴的交点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC为直角三角形；（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E （0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x＝1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为；抛物线的解析式为．（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1，P为抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）当点P的纵坐标为2时，求点P的横坐标；（3）当点P在运动过程中，求四边形PABC面积最大时的值及此时点P的坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．18．如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程．（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由．（3）在抛物线上BC之间是否存在一点D，使得△DBC的面积最大？若存在请求出点D 的坐标和△DBC的面积；若不存在，请说明理由．19．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，与y轴交于C点，对称轴x＝﹣，点N（n，0）是线段AB上的一个动点（N与A、B两点不重合），请回答下列问题：（1）求出抛物线的解析式，并写出C点的坐标；（2）试求出当n为何值时，△ANC恰能构成是等腰三角形．（3）如图2，过N作NF∥BC，与AC相交于D点，连结CN，请问在N点的运动过程中，△CDN的面积是否存在最大值；若存在，试求出该最大面积，若不存在，请说明理由．20．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C（0，3）．该抛物线与直线相交于C，D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M，N．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）连结PC，PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；（3）连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ 与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．详细答案一．解答题（共20小题）1．【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，解得：b＝﹣4，c＝3，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或x＝3，∴B（3，0），∴BC＝3，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP＝CB时，PC＝3，∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②当BP＝BC时，OP＝OB＝3，∴P3（0，﹣3）；③当PB＝PC时，∵OC＝OB＝3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）；（3）如图2，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，∴S△MNB＝×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1．2．【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，则C（﹣1，0），A ′（3，0）；当x＝0时，y＝3，则A（0，3）；（2）∵四边形ABOC为平行四边形，∴AB∥OC，AB＝OC，而C（﹣1，0），A（0，3），∴B（1，3）＝×3×1＝，∴OB＝＝，S△AOB又∵平行四边形ABOC旋转90°得平行四边形A′B′OC′，∴∠ACO＝∠OC′D，OC′＝OC＝1，又∵∠ACO＝∠ABO，∴∠ABO＝∠OC′D．又∵∠C′OD＝∠AOB，∴△C′OD∽△BOA，∴＝（）2＝（）2＝，＝×＝；∴S△C′OD（3）设M点的坐标为（m，﹣m2+2m+3），0＜m＜3，作MN∥y轴交直线AA′于N，易得直线AA′的解析式为y＝﹣x+3，则N（m，﹣m+3），∵MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴S△AMA′＝S△ANM+S△MNA′＝MN•3＝（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，S△AMA'的值最大，最大值为，此时M点坐标为（）．3．【解答】解：（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x＝﹣＝2…①，抛物线过是A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3，把B点坐标代入上式得：9＝25a+5b﹣3…②，联立①、②解得：a＝，b＝﹣，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，当x＝2时，y＝﹣，即顶点D的坐标为（2，﹣）；（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB＝13，①当AB＝AC时，设点C坐标（m，0），则：（m）2+（﹣3）2＝132，解得：m＝±4，即点C坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；②当AB＝BC时，设点C坐标（m，0），则：（5﹣m）2+92＝132，解得：m＝5，即：点C坐标为（5，0）或（5﹣2，0），③当AC＝BC时，设点C坐标（m，0），则：点C为AB的垂直平分线于x轴的交点，则点C坐标为（，0），故：存在，点C的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）或（5，0）或（5﹣2，0）或（，0）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H，设：AB所在的直线过点A（0，﹣3），则设直线AB的表达式为y＝kx﹣3，把点B坐标代入上式，9＝5k﹣3，则k＝，故函数的表达式为：y＝x﹣3，设：点P坐标为（m，m2﹣m﹣3），则点H坐标为（m，m﹣3），S△P AB＝•PH•x B＝（﹣m2+12m），取得最大值为：，当m＝2.5时，S△P AB答：△PAB的面积最大值为．4．【解答】解：（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4，故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x；（2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3，故点C（3，3），作点C关于C2对称轴的对称点C′（1，3），连接AC′交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小为：线段AC′的长度＝3，此时点P（2，2）；（3）直线OC的表达式为：y＝x，过点M作y轴的平行线交OC于点H，设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x），＝MH×x C＝（﹣x2+4x﹣x）＝﹣x2+x，则S△MOC∵﹣＜0，故x＝，最大值为．故当点M（，）时，S△MOC5．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；（3）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y＝x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF＝（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，＝S△PFC+S△PFB＝PF•OE+PF•BE＝PF•（OE+BE）＝PF•OB＝（﹣t2+4t）∴S△PBC×4＝﹣2（t﹣2）2+8，最大值为8，此时t2﹣3t﹣4＝﹣6，∴当t＝2时，S△PBC∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．6．【解答】解：（1）将B（4，0）代入y＝﹣x2+3x+m，解得，m＝4，∴二次函数解析式为y＝﹣x2+3x+4，令x＝0，得y＝4，∴C（0，4），（2）存在，理由：∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC面积最大，∴，∴x2﹣4x+b＝0，∴△＝16﹣4b＝0，∴b＝4，∴，∴M（2，6），（3）①如图，∵点P在抛物线上，∴设P（m，﹣m2+3m+4），当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，∵B（4，0），C（0，4）∴线段BC的垂直平分线的解析式为y＝x，∴m＝﹣m2+3m+4，∴m＝1±，∴P（1+，1+）或P（1﹣，1﹣），②如图，设点P（t，﹣t2+3t+4），过点P作y轴的平行线l，过点C作l的垂线，∵点D在直线BC上，∴D（t，﹣t+4），∵PD＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，BE+CF＝4，＝2S△PCB＝2（S△PCD+S△PBD）＝2（PD×CF+PD×BE）＝4PD＝﹣4t2+16t，∴S四边形PBQC∵0＜t＜4，＝16∴当t＝2时，S四边形PBQC最大7．【解答】解：（1）∵由题意得解得：，∴y＝﹣x2+2x+．（2）设直线AB为：y＝kx+b．则，解得直线AB的解析式为y＝+．如图所示：记CD与x轴的交点坐标为E．过点B作BF⊥DC，垂足为F．设D（m，﹣m2+2m+）则C（m，m+）．∵CD＝（﹣m2+2m+）﹣（m+）＝m2+m+2，∴S＝AE•DC+CD•BF＝CD（AE+BF）＝DC＝m2+m+5．∴S＝m2+m+5．∵﹣＜0，∴当m＝时，S有最大值．∴当m＝时，m+＝×+＝．∴点C（，）．8．【解答】解：（1）将A（0，3），B（3，0），C（1，0）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．（2）设点P的坐标为（m，m2﹣4m+3）．∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（3，0），∴AP2＝（m﹣0）2+（m2﹣4m+3﹣3）2＝m4﹣8m3+17m2，BP2＝（m﹣3）2+（m2﹣4m+3）2＝m4﹣8m3+23m2﹣30m+18，AB2＝（3﹣0）2+（0﹣3）2＝18．分两种情况考虑：①当∠BAP＝90°时，AB2+AP2＝BP2，即18+m4﹣8m3+17m2＝m4﹣8m3+23m2﹣30m+18，整理，得：m2﹣5m＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝5，∴点P的坐标为（5，8）；②当∠ABP＝90°时，AB2+BP2＝AP2，即18+m4﹣8m3+23m2﹣30m+18＝m4﹣8m3+17m2，整理，得：m2﹣5m+6＝0，解得：m3＝2，m3＝3（舍去），∴点P的坐标为（2，﹣1）．综上所述：当△PAB是以AB为一直角边的直角三角形时，点P的坐标为（5，8）或（2，﹣1）．（3）存在，如图过点P作PD∥y轴交直线AB于点D．设直线AB的解析式为y＝kx+d（k≠0），将A（0，3），B（3，0）代入y＝kx+d，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．设点P的坐标为（n，n2﹣4n+3）（0＜n＜3），则点D的坐标为（n，﹣n+3），∴PD＝（﹣n+3）﹣（n2﹣4n+3）＝﹣n2+3n，＝OB•PD＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+．∴S△P AB∵﹣＜0，取得最大值，此时最大值为，∴当n＝时，S△P AB∴当△PAB的面积取最大值时，点P的坐标为（，﹣）．9．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴抛物线对称轴为x＝1，∴E（3，0），设直线AE的解析式为y＝kx+3，∴3k+3＝0，解得，k＝﹣1，∴直线AE的解析式为y＝﹣x+3，如图1，作PM∥y轴，交直线AE于点M，设P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，∴＝＝，∴t＝时，△PAE的面积最大，最大值是．（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE＝90°或∠APE＝90°，①当∠PAE＝90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴∠PAG＝∠APG＝45°，∴PG＝AG，∴t＝﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t＝0，解得t＝1或t＝0（舍去），②当∠APE＝90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则PK＝﹣t2+2t+3，AQ＝t，KE＝3﹣t，PQ＝﹣t2+2t+3﹣3＝﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE＝∠APQ+∠PAQ＝90°，∴∠PAQ＝∠KPE，且∠PKE＝∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴，∴，即t2﹣t﹣1＝0，解得：t＝或t＝＜0（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．10．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），∴﹣3＝a（0+1）（0﹣3），∴a＝1∴设抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，对称轴为直线x＝1；（2）设P（t，t2﹣2t﹣3），S△PCB＝S△POC+S△POB﹣S△BOC＝×3t+×3×|t2﹣2t﹣3|﹣＝∵a＝＜0，∴函数有最大值，当t＝时，面积最大，∴P（）（3）设Q（1，n）），①当PQ、PC为平行四边形的对角线时，P（4，n+3），∴42﹣2×4﹣3＝n+3，n＝2，∴P（4，5）；②当CQ、BP为平行四边形的对角线时，P（﹣2，n﹣3），∴（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣3＝n﹣3，n＝8，∴P（﹣2，5）；综上所述，以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，P点的坐标（4，5），（﹣2，5）．11．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；把C（0，3）代入y＝﹣x+m，解得m＝3，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3，解方程组，解得或，∴D点坐标为（，）；（2）存在．设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），∴PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m，＝••（﹣m2+m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∴S△PCD当m＝时，△CDP的面积存在最大值，最大值为；（3）当PC＝PE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2＝（﹣m2+m）2，解得m＝0（舍去）或m＝；当CP＝CE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2＝m2+（﹣m+3﹣3）2，解得m＝0（舍去）或m＝（舍去）或m＝；当EC＝EP时，m2+（﹣m+3﹣3）2＝（﹣m2+m）2，解得m＝（舍去）或m ＝，综上所述，m的值为或或．12．【解答】解：（1）当x＝﹣8时，y＝x﹣＝﹣，则B（﹣8，﹣），当y＝0时，x﹣＝0，解得x＝2，则A（2，0），把B（﹣8，﹣），A（2，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣x+；（2）当x＝0时，y＝x﹣＝﹣，则G（0，﹣），在Rt△AOG中，∵OG＝，OA＝2，∴AG＝＝，∴sin∠AGO＝＝＝，∵PC⊥x轴，∴PC∥OG，∴∠ACE＝∠AGO，∴sin∠ACE＝；（3）设P（x，﹣x2﹣x+），则C（x，x﹣），∴PC＝﹣x2﹣x+﹣（x﹣）＝﹣x2﹣x+4，∴S＝•（2+8）•（﹣x2﹣x+4）＝﹣x2﹣x+20＝﹣（x+3）2+，当x＝﹣3时，S的最大值为．13．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a＝2，解得：a＝﹣．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+．（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．把x＝0代入y＝﹣x+4得：y＝4，∴A（0，4）．将y＝0代入得：0＝﹣x+4，解得x＝8，∴B（8，0）．∴OA＝4，OB＝8．∵M（﹣1，2），A（0，4），∴MG＝1，AG＝2．∴tan∠MAG＝tan∠ABO＝．∴∠MAG＝∠ABO．∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠MAG+∠OAB＝90°，即∠MAB＝90°．∴l是⊙M的切线．（3）∵∠PFE+∠FPE＝90°，∠FBD+∠PFE＝90°，∴∠FPE＝∠FBD．∴tan∠FPE＝．∴PF：PE：EF＝：2：1．∴△PEF的面积＝PE•EF＝×PF•PF＝PF2．∴当PF最小时，△PEF的面积最小．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+），则F（x，﹣x+4）．∴PF＝（﹣x+4）﹣（﹣x2﹣x+）＝﹣x+4+x2+x﹣＝x2﹣x+＝（x﹣）2+．∴当x＝时，PF有最小值，PF的最小值为．∴P（，）．∴△PEF的面积的最小值为＝×（）2＝．14．【解答】（1）解：∵直线y＝x﹣2交x轴、y轴于B、C两点，∴B（4，0），C（0，﹣2），∵y＝ax2﹣x+c过B、C两点，∴，解得，∴y＝x2﹣x﹣2．（2）证明：如图1，连接AC，∵y＝x2﹣x﹣2与x负半轴交于A点，∴A（﹣1，0），在Rt△AOC中，∵AO＝1，OC＝2，∴AC＝，在Rt△BOC中，∵BO＝4，OC＝2，∴BC＝2，∵AB＝AO+BO＝1+4＝5，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC为直角三角形．（3）解：△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为，理由如下：①一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，如图2，此时△AGF∽△ACB∽△FEB．设GC＝x，AG＝﹣x，∵，∴，∴GF＝2﹣2x，∴S＝GC•GF＝x•（2）＝﹣2x2+2x＝﹣2[（x﹣）2﹣]＝﹣2（x﹣）2+，即当x＝时，S最大，为．②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点，如图3，此时△CDE∽△CAB∽△GAD，设GD＝x，∵，∴，∴AD＝x，∴CD＝CA﹣AD＝﹣x，∵，∴，∴DE＝5﹣x，∴S＝GD•DE＝x•（5﹣x）＝﹣x2+5x＝﹣[（x﹣1）2﹣1]＝﹣（x﹣1）2+，即x＝1时，S最大，为．综上所述，△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为．15．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，∴点A坐标为（1，4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3﹣1）2+4＝0，解得a＝﹣1．故抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；（2）依题意有：OC＝3，OE＝4，∴CE＝＝＝5，当∠QPC＝90°时，∵cos∠QCP＝＝，∴＝，解得t＝；当∠PQC＝90°时，∵cos∠QCP＝＝，∴＝，解得t＝．∴当t＝或t＝时，△PCQ为直角三角形；（3）∵A（1，4），C（3，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得．故直线AC的解析式为y＝﹣2x+6．∵P（1，4﹣t），将y＝4﹣t代入y＝﹣2x+6中，得x＝1+，∴Q点的横坐标为1+，将x＝1+代入y＝﹣（x﹣1）2+4中，得y＝4﹣．∴Q点的纵坐标为4﹣，∴QF＝（4﹣）﹣（4﹣t）＝t﹣，＝S△AFQ+S△CFQ∴S△ACQ＝FQ•AG+FQ•DG＝FQ（AG+DG）＝FQ•AD＝×2（t﹣）＝﹣+t＝﹣（t2+4﹣4t﹣4）＝﹣（t﹣2）2+1，∴当t＝2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．16．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A和点B（1，0），与y 轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1，∴A（﹣3，0），∴解得：，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴顶点坐标为（﹣1，4）．（2）设点P（x，2）即y＝﹣x2﹣2x+3＝2，解得x1＝﹣1或x2＝﹣﹣1，∴点P（﹣1，2）或（﹣﹣1，2）．（3）设点P（x，y），则y＝﹣x2﹣2x+3，＝S△OBC+S△OAP+S△OPC，∵S四边形BCP A∴＝，∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，四边形PABC的面积有最大值，所以点P（﹣，）．17．【解答】解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2﹣1，∵抛物线经过点A（0，3），∴3＝a（0﹣4）2﹣1，；∴抛物线为；（2）相交．证明：连接CE，则CE⊥BD，当时，x1＝2，x2＝6．A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x＝4，∴OB＝2，AB＝＝，BC＝4，∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBC＝90°，∴△AOB∽△BEC，∴＝，即＝，解得CE＝，∵＞2，故抛物线的对称轴l与⊙C相交．（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为；设P点的坐标为（m，），则Q点的坐标为（m，）；∴PQ＝﹣m+3﹣（m2﹣2m+3）＝﹣m2+m．＝S△P AQ+S△PCQ＝×（﹣m2+m）×6∵S△P AC＝﹣（m﹣3）2+；∴当m＝3时，△PAC的面积最大为；此时，P点的坐标为（3，）．18．【解答】解：（1）∵B点的坐标为B（8，0），∴﹣16+8b+4＝0，解得b＝，∴抛物线的解析式为y═﹣+x+4，对称轴方程为x＝﹣＝3；（2）∵由（1）知，抛物线的对称轴方程为x＝3，B（8，0）∴A（﹣2，0），C（0，4），∴OA＝2，OC＝4，OB＝8，∴tan∠ACO＝tan∠CBO＝，∴∠ACO＝∠CBO．∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB．（3）设BC解析式为y＝kx+b，把（8，0），（0，4）分别代入解析式得，，解得，解得y＝﹣x+4，作DH⊥x轴，交BC于H．设D（t，﹣t2+t+4），H（t，﹣t+4），S△BCD＝DH•OB＝×（﹣t2+t+4+t﹣4）×8＝﹣t2+8t＝﹣（t2﹣8t+42﹣16）＝﹣（t﹣4）2+16，当t＝4时，△DBC的最大面积为16，此时D点坐标为（4，6）．19．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，不妨设抛物线的解析式为y＝﹣（x+4）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣x+2．∴C（0，2）．（2）分两种情形：①当AN＝AC时，如图1中，∵AC＝＝2，∴n﹣（﹣4）＝2，∴n＝2﹣4．②当NA＝NC时，如图2中，在Rt△NOC中，OC＝2，∵NC＝NA＝n﹣（﹣4）＝n+4，ON＝n，∴n2+22＝（n+）2，解得n＝﹣．综上所述，当n＝2﹣4或﹣时，△ANC是等腰三角形．（3）如图3中，由题意可知：直线BC的解析式为y＝﹣2x+2，直线AC的解析式为y＝x+2，设N（n，0），易知N在线段OB上时，△CDN的面积较小，不妨设n＜0，∵ND∥BC，设ND的解析式为y＝﹣2x+b，代入（n，0）可得b＝2n，∴ND的解析式为y＝﹣2x+2n，由，可得点D的纵坐标：y D＝（8+2n），＝S△AOC﹣S△ADN﹣S△CON∴S△CDN＝[2×4﹣2|n|﹣（8+2n）（n+4）＝﹣（n+）2+，∵﹣＜0，∴当n＝﹣时，△DCN的面积最大，最大值为．20．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、点B（5，0）和点C（0，3），因为与y轴相较于点C，所以c＝3．∴，解得，∴该抛物线对应的函数解析式为y＝x2﹣x+3；（2）∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，∴可设P（t，t2﹣t+3）（1＜t＜5），∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，∴M（t，0），N（t，t+3），∴PN＝t+3﹣（t2﹣t+3）＝﹣（t﹣）2+直线CD与抛物线解析式可得，解得或，∴C（0，3），D（7，），分别过C、D作直线PN的垂线，垂足分别为E、F，如图1，则CE＝t，DF＝7﹣t，＝S△PCN+S△PDN＝PN•CE+PN•DF＝PN＝[﹣（t﹣）2+]＝﹣（t ∴S△PCD﹣）2+，∴当t＝时，△PCD的面积有最大值，最大值为；（3）存在．∵∠CQN＝∠PMB＝90°，∴当△CNQ与△PBM相似时，有或两种情况，∵CQ⊥PM，垂足为Q，∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，t+3），∴CQ＝t，NQ＝t+3﹣3＝t，∴，∵P（t，t2﹣t+3），M（t，0），B（5，0），∴BM＝5﹣t，PM＝0﹣（t2﹣t+3）＝﹣t2+t﹣3，当时，则PM＝BM，即﹣t2+t﹣3＝（5﹣t），解得t＝2或t＝5（舍去），此时P（2，﹣）；当时，则BM＝PM，即5﹣t＝（﹣t2+t﹣3），解得t＝或t＝5（舍去），此时P（，﹣）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2，﹣）或（，﹣）．。

2020年中考数学复习专题最值问题（费马点问题）突破与提升策略问题：在△ABC内找一点P，使得P A+PB+PC最小．APB C【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．其实理论还是上面的理论，本题难点在于有3条线段，我们需要对这三条线段作一些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！若点P满足∠P AB=∠BPC=∠CP A=120°，则P A+PB+PC值最小，P点称为该三角形的费马点．接下来讨论3个问题：（1）如何作三角形的费马点？（2）为什么是这个点？（3）费马点怎么考？一.如何作费马点问题要从初一学到的全等说起：（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）（4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠P AB=∠BPC=∠CP A =120°．EB ACAB CDE在图三的模型里有结论：（1）∠BPD =60°；（2）连接AP ，AP 平分∠DPE ． 有这两个结论便足以说明∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是∠BAC <120°，若120BAC∠≥︒ ,这个图就不是这个图了，会长成这个样子：此时CD 与BE 交点P 点还是我们的费马点吗？显然这时候就不是了，显然P 点到A 、B 、C 距离之和大于A 点到A 、B 、C 距离之和．所以咧？是的，你想得没错，此时三角形的费马点就是A 点！当然这种情况不会考的，就不多说了．二.为什么是这个点为什么P点满足∠P AB=∠BPC=∠CP A=120°，P A+PB+PC值就会最小呢？归根结底，还是要重组这里3条线段：P A、PB、PC的位置，而重组的方法是构造旋转！在上图3中，如下有△ADC≌△ABE，可得：CD=BE．类似的手拉手，在图4中有3组，可得：AF=BE=CD．E更巧的是，其长度便是我们要求的P A+PB+PC的最小值，这一点是可以猜想得到的，毕竟最小值这个结果，应该也是个特别的值！接下来才是真正的证明：考虑到∠APB=120°，∴∠APE=60°，则可以AP为边，在PE边取点Q使得PQ=AP，则△APQ是等边三角形．△APQ、△ACE均为等边三角形，且共顶点A，故△APC≌△AQE，PC=QE．以上两步分别转化P A=PQ，PC=QE，故P A+PB+PC=PB+PQ+QE=BE．没有对比就没有差别，我们换个P 点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ ，同样有△APC ≌△AQE ，转化P A =PQ ，PC =QE ，显然，P A +PB +PC =PB +PQ +QE >BE ．还剩下第3个问题！如果说费马点以前还算是课外的拓展内容，那现在，已经有人把它搬上了中考舞台！三.费马点怎么考？问题背景：如图1，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：P A +PC =PE ．问题解决：如图2，在△MNG 中，MN =6，∠M =75°，MG=点O 是△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值是______．NG图2图1ABCD EP【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！如图，以MG为边作等边△MGH，连接NH，则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）HGNM过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点，根据∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°，∴△MHQ是等腰直角三角形，∴MQ=HQ=4，∴NH==464QHGNM【练习】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求P A+PB+PC的最小值．C【分析】如图，以AD为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为P A+PB+PC的最小值．至于点P的位置？这不重要！AB CD如何求BD ？考虑到△ABC 和△ACD 都是特殊的三角形，过点D 作DH ⊥BA 交BA 的延长线于H 点，根据勾股定理，222BD BH DH =+即可得出结果．HDCB A【练习】如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．ABCDME【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段． 分别以AD 、AM 为边构造等边△ADF 、等边△AMG ，连接FG ，易证△AMD ≌△AGF ，∴MD =GF ∴ME +MA +MD =ME +EG +GF过F 作FH ⊥BC 交BC 于H 点，线段FH 的长即为所求的最小值．HFGE MDCBA。

2020中考常见最值问题总结归纳微专题一：单线段最值+单动点型WORKING PLAN微专题一：单线段最值+单动点型类型一：动点轨迹--直线型考法指导动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

（1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值（2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定 ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。

【典例精析】例题1．（全国初三单元测试）如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【详解】ABCD为矩形，∴=AB DCS S又=PAB PCD∴点P到AB的距离与到CD的距离相等，即点P线段AD垂直平分线MN上，+的值最小，连接AC，交MN与点P，此时PC PD+====且PC PD AC故【针对训练】1．（湖北中考真题试卷）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P 为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C 时，点M所经过的路线长为（）A B C．1D．2C【详解】连接OC ，作PE ⊥AB 于E，MH ⊥AB 于H，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC=BC=2，∠A=∠B=45°， ∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB，OC 平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt △AOP 和△COQ 中A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴Rt △AOP ≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，∴PE=2AP=2CQ，QF=2BQ， ∴PE+QF=2，CQ+BQ，=2∵M 点为PQ 的中点，∴MH 为梯形PEFQ 的中位线，∴MH=12，PE+QF，=12，即点M到AB的距离为1 2，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=12AB=1，故选C，2．（2017·江苏中考真题试卷）如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB 方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______，【详解】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt，ABC′中，易知AB=BC′=6，，ABC′=90°，，EE′=AC故3．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．（1）见解析；（2）【详解】解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：∵∵ABC是等边三角形，∵AB=BC=AC，∵A=∵B=60°，由旋转的性质得：∵ACB=∵DCE=60°，CD=CE，∵∵ACD=∵BCE，∵∵ACD∵∵BCE（SAS），∵AD=BE．（2）如图2，过点A作AF∵EB交EB延长线于点F．∵∵ACD∵∵BCE，∵∵CBE=∵A=60°，∵点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，∵∵ACB=∵CBE=60°，∵AC∵EF，∵AF∵BE，∵AF∵AC，在Rt∵ACF中，，∵CD=CF=类型二：动点轨迹--圆或圆弧型考法指导动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

【中考数学二轮核心考点讲解】第03讲最值问题专题最值的种类你是否都提前总结过？1. 垂线段最值类型：2. 点与点之间，线段最短类型；3. 轴对称最值类型（也称将军饮马型）；4. 二次函数最值类型；5. 辅助圆中最值类型；6. 费马点最值类型；7. 胡不归最值类型；8. 阿波罗尼斯圆最值类型.【例题1】（2019•鸡西）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为．【分析】本题属于“将军饮马最值类型”【解析】如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．∵四边形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，∵S△P AB＝S△PCD，∴×4×x＝××4×（6﹣x），∴x＝2，∴AM＝2，DM＝EM＝4，在Rt△ECD中，EC＝＝4，∵PM垂直平分线段DE，∴PD＝PE，∴PC+PD＝PC+PE≥EC，∴PD+PC ≥4，∴PD+PC的最小值为4．【例题2】在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分BAE∠，90ACE∠=︒，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为AE AB DE=+；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分BAE∠，EC平分AED∠，若120ACE∠=︒，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），8BD=，2AB=，8DE=，若135ACE=︒，求线段AE长度的最大值．【分析】本题属于“两点之间，线段最短类型”【解析】（1）AE AB DE=+；理由：在AE上取一点F，使AF AB=．易得=AE AF EF AB DE=++（2）猜想：12AE AB DE BD=++．证明：在AE上取点F，使AF AB=，连结CF，在AE上取点G，使EG ED=，连结CG．CQ是BD边的中点，12CB CD BD∴==．ACQ平分BAE∠，BAC FAC∴∠=∠．在ACB∆和ACF∆中，AB AFBAC FACAC AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACB ACF SAS∴∆≅∆，CF CB∴=，BCA FCA∴∠=∠．同理可证：CD CG=，DCE GCE∴∠=∠．CB CD=Q，CG CF∴=120ACE∠=︒Q，18012060BCA DCE∴∠+∠=︒-︒=︒．60FCA GCE∴∠+∠=︒．60FCG∴∠=︒．FGC∴∆是等边三角形．12FG FC BD ∴==． AE AF EG FG =++Q ．12AE AB DE BD ∴=++．（3）作B 关于AC 的对称点F ，D 关于EC 的对称点G ，连接AF ，FC ，CG ，EG ，FG ． C Q 是BD 边的中点，12CB CD BD ∴==．()ACB ACF SAS ∆≅∆Q ，CF CB ∴=，BCA FCA ∴∠=∠．同理可证：CD CG =，DCE GCE ∴∠=∠ CB CD =Q ，CG CF ∴= 135ACE ∠=︒Q ，18013545BCA DCE ∴∠+∠=︒-︒=︒． 45FCA GCE ∴∠+∠=︒． 90FCG ∴∠=︒．FGC ∴∆是等腰直角三角形．12FC BD ∴=．8BD =Q ， 4FC ∴=， 42FG ∴=． 42AE AB DE =++Q ． 2AB =Q ，8DE =，1042AE AF FG EG ∴++=+…．∴当A 、F 、G 、E 共线时AE 的值最大2，最大值为1042+．故答案为：1042+． 【例题3】（2019•普洱一模）已知菱形ABCD 中，AB ＝5，∠B ＝60°，⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为3，点E 、F 分别为⊙A 、⊙B 上的动点，点P 为DC 边上的动点，则PE +PF 的最小值为 5 ．【分析】本题属于“轴对称最值类型”【解析】当P 与C 重合时，F 点在BC 上，E 点在AC 上，此时PE +PF 的值最小； 连接AC ，∵菱形ABCD ，AB ＝5，∠B ＝60°， ∴AC ＝5，∵⊙A 的半径为2， ∴EC ＝3，∵⊙B 的半径为3， ∴FC ＝2， ∴PE +PF ＝5；故答案为5；【例题4】（2019•玉林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】本题属于“圆中常规最值类型”【解析】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5∵∠OPB＝90°，∴OP∥AC∵点O是AB的三等分点，∴OB＝×5＝，＝＝，∴OP＝，∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∴OD∥BC，∴＝＝，∴OD＝1，∴MN最小值为OP﹣OF＝﹣1＝，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值＝+1＝，∴MN长的最大值与最小值的和是6．故选：B．【例题5】如图，四边形的两条对角线AC、BD相交所成的锐角为60︒，当8+=时，四边形ABCDAC BD的面积的最大值是．【分析】本题属于“二次函数最值类型”【解析】ACQ与BD所成的锐角为60︒，∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD 的面积1sin602S AC BD =⨯⨯︒， 设AC x =，则8BD x =-， 所以2133(8)(4)43224S x x x =-⨯=--+， 所以当4x =，S 有最大值43． 故答案为：43．【例题6】（2019•上虞区一模）如图，已知ABC ∆，DEF ∆均为等腰直角三角形，102EF =，顶点D ，E 分别在边AB ，AC 上滑动．则在滑动过程中，点A ，F 间距离的最大值为 ．【分析】本题属于“辅助圆最值类型”【解析】DEF ∆均为等腰直角三角形，102EF =，10DE DF ∴==，ABC ∆Q 是等腰直角三角形，以ED 为直角作等腰直角三角形EDM ，以M 为圆心，AM 为半径作圆， 随着D 、E 点运动，A 始终在圆M 上， 当A 、M 、F 三点共线时，AF 最大； AM EM =Q ， 52AM ∴=，45DEF MED ∠=∠=︒Q ， 90MEF ∴∠=︒， 510MF ∴=， 52510AF ∴=+，故答案为52510+．【例题7】（2019•武汉）问题背景：如图1，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：P A +PC ＝PE ．问题解决：如图2，在△MNG 中，MN ＝6，∠M ＝75°，MG ＝．点O 是△MNG 内一点，则点O 到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．【分析】本题属于“费马点最值类型”【解析】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，BG＝DP，∴GC＝PE，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴AP＝GP，∴P A+PC＝GP+PC＝GC＝PE∴P A+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为2【例题8】如图，在ACEe经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．∆中，CA CE∠=︒，OCAE=，30（1）试说明CE是Oe的切线；（2）若ACEe的直径AB；∆中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示O（3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当12CD OD +的最小值为6时，求O e 的直径AB 的长．【分析】本题属于“胡不归最值类型” 【解析】（1）连接OC ，如图1， CA CE =Q ，30CAE ∠=︒，30E CAE ∴∠=∠=︒，260COE A ∠=∠=︒， 90OCE ∴∠=︒，CE ∴是O e 的切线；（2）过点C 作CH AB ⊥于H ，连接OC ，如图2， 由题可得CH h =．在Rt OHC ∆中，sin CH OC COH =∠g ， 3sin 60h OC OC ∴=︒=g ， 233OC h ∴==，432AB OC h ∴==； （3）作OF 平分AOC ∠，交O e 于F ，连接AF 、CF 、DF ，如图3， 则11(18060)6022AOF COF AOC ∠=∠=∠=︒-︒=︒．OA OF OC ==Q ，AOF ∴∆、COF ∆是等边三角形， AF AO OC FC ∴===， ∴四边形AOCF 是菱形，∴根据对称性可得DF DO =． 过点D 作DH OC ⊥于H ，OA OC =Q ，30OCA OAC ∴∠=∠=︒， 1sin sin302DH DC DCH DC DC ∴=∠=︒=g g ， ∴12CD OD DH FD +=+． 根据垂线段最短可得：当F 、D 、H 三点共线时，DH FD +（即1)2CD OD +最小，此时3sin 6FH OF FOH OF =∠==g ， 则43OF =，283AB OF ==．∴当12CD OD +的最小值为6时，O e 的直径AB 的长为83．【例题9】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 已知平面上两点A 、B ，则所有符合(0PAk k PB=>且1)k ≠的点P 会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆． 阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标中，在x 轴，y 轴上分别有点(,0)C m ，(0,)D n ，点P 是平面内一动点，且OP r =，设OPk OD=，求PC kPD +的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得0::M OP OP OD k ==；第二步：证明kPD PM =；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值． 下面是该题的解答过程（部分）:解：在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==， 又POD MOP ∠=∠Q ，~POM DOP ∴∆∆…… 任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，D 为ABC ∆内一动点，满足2CD =，利用（1）中的结论，请直接写出23AD BD +的最小值．【分析】本题属于“阿波罗尼斯圆最值类型”【解析】解（1）在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==， 又POD MOP ∠=∠Q ， ~POM DOP ∴∆∆． :MP PD k ∴=， MP kPD ∴=，PC kPD PC MP ∴+=+，当PC kPD +取最小值时，PC MP +有最小值， 即C ，P ，M 三点共线时有最小值，利用勾股定理得2222222()CM OC OM m kr m k r =+++．（2）4AC m==Q，23CDBC=，在CB上取一点M，使得2433CM CD==，∴23AD BD+的最小值为2244104()3+=．1．（2019•乐山）如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是（）A．3 B．C．D．4【解析】连接BP，如图，当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），∵Q是线段P A的中点，∴OQ为△ABP的中位线，∴OQ＝BP，当BP最大时，OQ最大，而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，∵BC＝＝5，∴BP′＝5+2＝7，∴线段OQ的最大值是．故选：C．2．（2019•泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．【解析】如图：当点F与点C重合时，点P在P 1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°∴∠DP2P1＝90°∴∠DP1P2＝45°∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2∴BP1＝2∴PB的最小值是2故选：D．3．（2019•黄石）如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时＝（）A．B．C．D．【解析】如图，设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD＝a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，tan∠ABD＝＝，∴BD＝AC＝＝2a，∠ABD＝60°，∴△ABE、△CDE都是等边三角形，∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝a．∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，∴BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA＝a．在△BGM中，∵∠BMG＝90°，∠GBM＝30°，BG＝2，∴GM＝BG＝1，BM＝GM＝，∴DM＝BD﹣BM＝2a﹣．∵矩形ABCD中，BC∥AD，∴△ADM∽△GBM，∴＝，即＝，∴a＝2，∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝2，AD＝BC＝6，BD＝AC＝4．易证∠BAF＝∠F AC＝∠CAD＝∠ADB＝∠BDF＝∠CDF＝30°，∴△ADF是等边三角形，∵AC平分∠DAF，∴AC垂直平分DF，∴CF＝CD＝2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．如图，建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（3，2），B′（3，﹣2），E（0，），易求直线B′E的解析式为y＝﹣x+，∴H（1，0），∴BH＝＝4，∴＝＝．故选：B．4．（2019•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b 的最大值是（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．0【解析】连接AC，则四边形ABOC是矩形，∴∠A＝∠ABO＝90°，又∵MN⊥MC，∴∠CMN＝90°，∴∠AMC＝∠MNB，∴△AMC∽△NBM，∴，设BN＝y，AM＝x．则MB＝3﹣x，ON＝2﹣y，∴，即：y＝x2+x∴当x＝﹣＝﹣时，y最大＝×（）2+＝，∵直线y＝kx+b与y轴交于N（0，b）当BN最大，此时ON最小，点N（0，b）越往上，b的值最大，∴ON＝OB﹣BN＝2﹣＝，此时，N（0，）b的最大值为．故选：A．5．如图，正三角形ABC的边长为3+，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和EFPH，使得D、E、F 在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，这两个正方形面积和的最小值是，最大值是99﹣54．【解析】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，AB＝3+，在Rt△ADN中，AD＝DN＝m，在Rt△BPF中，BF＝PF＝n，∵AD+DE+EF+BF＝AB，∴m+m+n+n＝3+，∴m+n＝3，∴n＝3﹣m，∴S＝m2+n2＝m2+（3﹣m）2＝2（m﹣）2+当点M落在BC上，则正方形DEMN的边长最小，正方形EFPH的边长最大，如图，在Rt△ADN中，AD＝DN，AN＝DN，∴DN+DN＝3+，解得DN＝3﹣3，在Rt△BPF中，BF＝PF，∴（3﹣3）+3﹣3+EF+PF＝3+，解得PF＝6﹣9，∴6﹣3≤m≤3﹣3，∴当m＝时，S最小，S的最小值为；当m＝3﹣3时，S最大，S的最大值＝2（3﹣3﹣）2+＝99﹣54．故答案为；99﹣54．6．如图，平面直角坐标系中，A、B在x轴上，A（2，0）、B（8，0），点C为y轴上一动点，当∠ACB最大时，C点坐标为（0，4）或（0，﹣4）．【解析】当过A、B两点的⊙P与y轴正半轴相切于C时，∠ACB最大时，作PH⊥AB于H，连结PC、P A，如图，∵A（2，0）、B（8，0），∴OA＝2，AB＝6，∵PH⊥AB，∴AH＝BH＝3，∴OH＝OA+AH＝5，∵⊙P与y轴相切，∴PC⊥y轴，∴四边形PHOC为矩形，∴OC＝PH，PC＝OH＝5，在Rt△P AH中，∵AH＝3，P A＝5，∴PH＝＝4，∴OC＝4，∴C点坐标为（0，4），当⊙P与y轴的负半轴相切时，C点坐标为（0，﹣4）．故答案为（0，4）或（0，﹣4）．7．（2019•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM．则线段OM长度的最小值是（用含k的代数式表示）．【解析】如图，因为反比例函数关于直线y＝x对称，观察图象可知：当线段AB与直线y＝x垂直时，垂足为M，此时AM＝BM，OM的值最小，∵M为线段AB的中点，∴OA＝OB，∵点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴点A与点B关于直线y＝x对称，∵AB＝4，∴可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），∴（m+4）（﹣4）＝k，整理得k＝m2+4m，∴A（m，m+4），B（m+4，m），∴M（m+2，m+2），∴OM＝＝＝，∴OM的最小值为．故答案为．8．（2019•凉山州）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为4．【解析】∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ．又∠B＝∠C＝90°，∴△BPE∽△CQP．∴．设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x．∴，化简得y＝﹣（x2﹣12x），整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，所以当x＝6时，y有最大值为4．故答案为4．9．（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N 分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．【解析】∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB，∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°．∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴AB′＝＝＝5，∴MN最大＝．故答案为：．10．（2019•乐山）如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y＝x﹣2于点Q，连结OP，OQ．当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是3．【解析】∵PQ⊥x轴，∴设P（x，），则Q（x，x﹣2），∴PQ＝﹣x+2，∴S△POQ＝（﹣+2）•x＝﹣（x﹣2）2+3，∵﹣＜0，∴△POQ面积有最大值，最大值是3，故答案为3．11．（2019•宿迁）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．【解析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝故答案为．12．（2019•北仑区模拟）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边BC上的一个动点，EG＝EF，且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值为2．【解析】取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，此时CE的长就是GB+GC的最小值；∵MN∥AD，∴HM＝AE，∵HB⊥HM，AB＝4，∠A＝60°，∴MB＝2，∠HMB＝60°，∴HM＝1，∴AE'＝2，∴E点与E'点重合，∵∠AEB＝∠MHB＝90°，∴∠CBE＝90°，在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝4，∴EC＝2，故答案为2；13．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．【解析】∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×CD＝．故答案为：．14．（2019•广元）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC ＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是6+3．【解析】过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC的距离最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，∴OP＝OA＝6，∴OM＝OA＝×6＝3，∴PM＝OP+OM＝6+3，∴则点P到AC距离的最大值是6+3，故答案为：6+3．15．（2019•眉山）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4．⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为2．【解析】连接OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，∴AB＝OA＝8，∴OP＝＝4，∴PQ＝＝2．故答案为2．16．（2019•通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是﹣1．【解析】过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，∵AM＝AD，AD＝CD＝3∴AM＝1，MD＝2∵CD∥AB，∴∠HDM＝∠A＝60°∴HD＝MD＝1，HM＝HD＝∴CH＝4∴MC＝＝∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，∴AM＝A'M＝1，∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1故答案为：﹣117（2019•营口）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD＝DC＝2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为8．【解析】过点A作AM⊥BC于M，∵BD＝DC＝2，∴DC＝4，∴BC＝BD+DC＝2+4＝6，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，∵AM⊥BC，∴BM＝BC＝×6＝3，∴DM＝BM﹣BD＝3﹣2＝1，在Rt△ABM中，AM＝＝＝3，当点E在DA延长线上时，AE＝DE﹣AD．此时AE取最小值，在Rt△ADM中，AD＝＝＝2，∴在Rt△ADG中，AG＝＝＝8；故答案为：8．18．（2019•舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC ＝12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为（24﹣12）cm；连接BD，则△ABD的面积最大值为（24+36﹣12）cm2．【解析】∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°∴BC＝4cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F'∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM∴CD'平分∠ACM即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值＝ED﹣CD＝（12﹣6）cm∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长＝2×（12﹣6）＝（24﹣12）cm如图，连接BD'，AD'，∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C∴S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24+（12﹣4）×D'N当E'D'⊥AC时，S△AD'B有最大值，∴S△AD'B最大值＝24+（12﹣4）×6＝（24+36﹣12）cm2．故答案为：（24﹣12），（24+36﹣12）19．（2019•十堰）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A 旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝6．【解析】作DH⊥AE于H，如图，∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，在Rt△ABF中，BF＝＝3，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝3，∴S△ADE＝AE•DH＝×3×4＝6．故答案为6．20．（2019•黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD ＝120°，则CD的最大值是14．【解析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′为等边三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，∴CD的最大值为14，故答案为14．21．（2019•嘉兴）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．【解析】连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB＝AB＝×1＝，即CD的最大值为，故答案为：．22．（2019•连云港）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P 是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是3．【解析】方法1、解：如图，过点A作AG⊥BD于G，∵BD是矩形的对角线，∴∠BAD＝90°，∴BD＝＝5，∵AB•AD＝BD•AG，∴AG＝，∵BD是⊙C的切线，∴⊙C的半径为过点P作PE⊥BD于E，∴∠AGT＝∠PET，∵∠ATG＝∠PTE，∴△AGT∽△PET，∴，∴＝×PE∵＝＝1+，要最大，则PE最大，∵点P是⊙C上的动点，BD是⊙C的切线，∴PE最大为⊙C的直径，即：PE最大＝，∴最大值为1+＝3，故答案为3．方法2、解：如图，过点P作PE∥BD交AB的延长线于E，∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB，∴，∵AB＝4，∴AE＝AB+BE＝4+BE，∴，∴BE最大时，最大，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，过点C作CH⊥BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，∵BD是⊙C的切线，∴∠GME＝90°，在Rt△BCD中，BD＝＝5，∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC，∴△BHC∽△BCD，∴，∴，∴BH＝，CH＝，∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA，∴△BHG∽△BAD，∴＝，∴，∴HG＝，BG＝，在Rt△GME中，GM＝EG•sin∠AEP＝EG×＝EG，而BE＝GE﹣BG＝GE﹣，∴GE最大时，BE最大，∴GM最大时，BE最大，∵GM＝HG+HM＝+HM，即：HM最大时，BE最大，延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，∴GP'＝HP'+HG＝，过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F，∴BE最大时，点E落在点F处，即：BE最大＝BF，在Rt△GP'F中，FG＝＝＝＝，∴BF＝FG﹣BG＝8，∴最大值为1+＝3，故答案为：3．23．（2019•无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD 为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为8．【解析】过点C 作CG ⊥BA 于点G ，作EH ⊥AB 于点H ，作AM ⊥BC 于点M ． ∵AB ＝AC ＝5，BC ＝4， ∴BM ＝CM ＝2， 易证△AMB ∽△CGB ， ∴，即∴GB ＝8，设BD ＝x ，则DG ＝8﹣x ， 易证△EDH ≌△DCG （AAS ）， ∴EH ＝DG ＝8﹣x ， ∴S △BDE ＝＝＝，当x ＝4时，△BDE 面积的最大值为8． 故答案为8． 24．（2019秋•嘉兴期末）一副三角板(ABC ∆与)DEF ∆如图放置，点D 在AB 边上滑动，DE 交AC 于点G ，DF 交BC 于点H ，且在滑动过程中始终保持DG DH =，若2AC =，则BDH ∆面积的最大值是( )A ．3B ．33C ．32D ．33【解析】如图，作HM AB ⊥于M ， 2AC =Q ，30B ∠=︒，23AB ∴=， 90EDF ∠=︒Q ，90ADG MDH ∴∠+∠=︒， 90ADG AGD ∠+∠=︒Q ， AGD MDH ∴∠=∠，DG DH =Q ，90A DMH ∠=∠=︒，()ADG MHD AAS ∴∆≅∆，AD HM ∴=，设AD x =，则23BD x =-，211113(23)(3)22222BDH S BD MH BD AD x x x ∆∴===-=--+g g ， BDH ∴∆面积的最大值是32，故选：C ．25．如图，已知矩形ABCD ，4AB =，6BC =，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA MD ME ++的最小值为 433+ ．【解析】将AMD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到△AM D ''，由性质的性质可知：MD M D =''，ADD ∆'和AMM ∆'均为等边三角形， AM MM ∴='，MA MD ME D M MM ME ∴++='+'+， D M ∴'、MM '、ME 共线时最短， 由于点E 也为动点，∴当D E BC '⊥时最短，此时易求得433D E DG GE '=+=+，MA MD ME ∴++的最小值为433+．26．（2012•金牛区校级二模）如图，在△AOB 中，OA ＝OB ＝8，∠AOB ＝90°，矩形CDEF 的顶点C 、D 、F 分别在边AO 、OB 、AB 上，若tan CDO ＝，则矩形CDEF 面积的最大值s ＝．【解析】设CD ＝x ，CF ＝y ．过F 作FH ⊥AO 于H ．在 Rt △COD 中， ∵，∴．∴．∵∠FCH +∠OCD ＝90°，∴∠FCH ＝∠CDO ． ∴．∴．∵△AHF 是等腰直角三角形，∴．∴AO ＝AH +HC +CO ． ∴．∴．易知，∴当x ＝5时，矩形CDEF 面积的最大值为．故答案为：． 27．（2019•雁塔区校级一模）问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB BC =，3AD CD ==，90BAD BCD ∠=∠=︒，60ADC ∠=︒，则四边形ABCD 的面积为 33 ； 问题探究：（2）如图2，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，135ABC ∠=︒，22AB =，3BC =，在AD 、CD 上分别找一点E 、F ，使得BEF ∆的周长最小，并求出BEF ∆的最小周长； 问题解决： （3）如图3，在四边形ABCD 中，2AB BC ==，10CD =，150ABC ∠=︒，90BCD ∠=︒，则在四边形ABCD 中（包含其边沿）是否存在一点E ，使得30AEC ∠=︒，且使四边形ABCE 的面积最大．若存在，找出点E 的位置，并求出四边形ABCE 的最大面积；若不存在，请说明理由．【解析】（1）AB BC =Q ，3AD CD ==，90BAD BCD ∠=∠=︒ ()ABD CBD SAS ∴∆≅∆ADB CDB ∴∠=∠，且60ADC ∠=︒30ADB CDB ∴∠=∠=︒，且90BAD BCD ∠=∠=︒ 3AB BC ∴==∴四边形ABCD 的面积1233332=⨯⨯⨯=故答案为：33（2）如图，作点B 关于AD 的对称点M ，作点B 关于CD 的对称点N ，连接MN ，交AD 于点E ，交CD 于点F ，过点M 作MG BC ⊥，交CB 的延长线于点G ， Q 点B ，点M 关于AD 对称BE EM ∴=，22AB AM ==，42BM ∴=Q 点B ，点N 关于CD 对称BF FN ∴=，3BC CN ==BEF ∴∆的周长BE BF EF NF EF EM MN =++=++= 135ABC ∠=︒Q ，45GBM ∴∠=︒，且GM BG ⊥， 45GBM GMB ∴∠=∠=︒BG GM ∴=，且222BG GM BM +=， 4BG GM ∴==，43310GN BG BC CN ∴=++=++=，∴在Rt GMN ∆中，2210016229MN GM GN =+=+=BEF ∴∆的最小周长为229（3）作ABC ∆的外接圆，交CD 于点E ，连接AC ，AE ，过点A 作AM CD ⊥于点M ，作BN AM ⊥于点N ， Q 四边形ABCE 是圆内接四边形 180ABC AEC ∴∠+∠=︒ 30AEC ∴∠=︒，BN AM ⊥Q ，AM CD ⊥，90BCD ∠=︒， ∴四边形BCMN 是矩形2BC MN ∴==，BN CM =，90CBN ∠=︒， 150ABC ∠=︒Q ，60ABN ∴∠=︒，且BN AM ⊥ 30BAN ∴∠=︒， 112BN AB ∴==，33AN BN == 32AM ∴=+，1CM =30AEC ∠=︒Q ，AM CE ⊥，2234AE AM ∴==+，3323ME AM ==+ 423CE CM ME AE ∴=+=+=∴点E 在AC 垂直平分线上，ABC ACE ABCE S S S ∆∆=+Q 四边形，且ABC S ∆是定值，AC 长度是定值，点E 在ABC ∆的外接圆上，∴当点E 在AC 的垂直平分线上时，ABCE S 四边形最大()()()232331223184322AMEABCE ABCM S S S ∆++∴=+=⨯++⨯+=+四边形四边形 28．（2010•滨州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD 是等腰梯形，A 、B 在x 轴上，D 在y 轴上，//AB CD ，17AD BC ==，5AB =，3CD =，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点．（1）求b 、c ；（2）设M 是x 轴上方抛物线上的一动点，它到x 轴与y 轴的距离之和为d ，求d 的最大值；（3）当（2）中M 点运动到使d 取最大值时，此时记点M 为N ，设线段AC 与y 轴交于点E ，F 为线段EC 上一动点，求F 到N 点与到y 轴的距离之和的最小值，并求此时F 点的坐标．【解析】（1）易得(1A -，0)(4B ，0)， 把1x =-，0y =；4x =，0y =分别代入2y x bx c =-++， 得101640b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得34b c =⎧⎨=⎩．（3分）（2）设M 点坐标为2(,34)a a a -++，2||34d a a a =-++．①当10a -<…时，2224(1)5d a a a =-++=--+， 所以，当0a =时，d 取最大值，值为4； ②当04a <<时，2244(2)8d a a a =-++=--+所以，当2a =时，d 取最大值，最大值为8； 综合①、②得，d 的最大值为8．（不讨论a 的取值情况得出正确结果的得2分）（3）N 点的坐标为(2,6)，过A 作y 轴的平行线AH ，过F 作FG y ⊥轴交AH 于点Q ，过F 作FK x ⊥轴于K ， 45CAB ∠=︒Q ，AC 平分HAB ∠， FQ FK ∴=1FN FG FN FK ∴+=+-，所以，当N 、F 、K 在一条直线上时，1FN FG FN FK +=+-最小，最小值为5． 易求直线AC 的函数关系式为1y x =+，把2x =代入1y x =+得3y =， 所以F 点的坐标为(2,3)．29．（2019•淮安）如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝100°，D 是BC 的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD 上任取一点P ，连接PB ．将线段PB 绕点P 按逆时针方向旋转80°，点B 的对应点是点E ，连接BE ，得到△BPE ．小明发现，随着点P 在线段AD 上位置的变化，点E 的位置也在变化，点E 可能在直线AD 的左侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧． 请你帮助小明继续探究，并解答下列问题： （1）当点E 在直线AD 上时，如图②所示． ①∠BEP ＝ 50 °；②连接CE ，直线CE 与直线AB 的位置关系是 EC ∥AB ．（2）请在图③中画出△BPE ，使点E 在直线AD 的右侧，连接CE ．试判断直线CE 与直线AB 的位置关系，并说明理由．（3）当点P 在线段AD 上运动时，求AE 的最小值．【解析】（1）①如图②中， ∵∠BPE ＝80°，PB ＝PE ， ∴∠PEB ＝∠PBE ＝50°， ②结论：AB ∥EC ．理由：∵AB ＝AC ，BD ＝DC ， ∴AD ⊥BC ， ∴∠BDE ＝90°， ∴∠EBD ＝90°﹣50°＝40°， ∵AE 垂直平分线段BC ， ∴EB ＝EC ，∴∠ECB ＝∠EBC ＝40°， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝100°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝40°， ∴∠ABC ＝∠ECB ， ∴AB ∥EC ．故答案为50，AB ∥EC ．（2）如图③中，以P 为圆心，PB 为半径作⊙P ． ∵AD 垂直平分线段BC ， ∴PB ＝PC ，∴∠BCE ＝∠BPE ＝40°， ∵∠ABC ＝40°， ∴AB ∥EC ．（3）如图④中，作AH⊥CE于H，∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值＝AB＝3．。

专题04特殊平行四边形中全等相似与最值问题通用的解题思路:一、四边形与全等相似1.三角形与全等之六大全等模型:(1)一线三等角模型锐角一线三等角(2)手拉手模型(3)半角模型(4)倍长中线模型模型(6)雨伞等模型(5)平行线中等模型2.三角形与相似之四大相似模型:(1)A字模型(3)手拉手模型(2)8字模型(4)一线三等角模型B 二、四边形线段最值问题囹 1 C B D 02B （1）将军饮马模型两定一动模型一定两动模型两线段相减的最大值模型（三点共线）• B（2）费马点模型：将边以A 为顶点逆时针旋转60。

，得到AQE,连接P0则^APQ 为等边三角形,PA=PQ O1. （2023-r 东深圳•中考真题）（1）如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 边上一点，连接BE,①若= 过C 作CFLBE 交BE 于点、F ,求证：AABE^AFCB ；②若S 矩形倔8 = 2。

时，则BECF=(2)如图，在菱形ABCD 中，cosA = |,过。

作CE1AB 交A8的延长线于点E,过E 作EF _LAD 交AD 于点、F ,若S 菱形*d =24时，求EF BC 的值.(3)如图，在平行四边形ABCD 中，匕4 = 60。

，AB = 6, AD=5,点E 在CD 上，且CE = 2,点F 为BC 上一点，连接时，过E 作EGLEF 交平行四边形ABCD 的边于点G,若EF ・EG = 70时，请直接写出AG 的长.D,E E a C C A B AB备用图2.（2022广东广州•中考真题）如图，在菱形ABCQ中，0BAD=120°,AB=6,连接8Q.⑴求BQ的长；⑵点E为线段BQ上一动点（不与点B,。

重合），点E在边AQ上，且BE二也DF,①当CE±AB时，求四边形的面积；②当四边形的面积取得最小值时，CE+右CT的值是否也最小？如果是，求CE+也CF的最小值；如果不是，请说明理由.题型一特殊平行四边形中全等相似计算1.（2024-P东汕头•一模）（1）如图1,在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接8E,①若BE=BC,过。