我的高考数学错题本——第2章 命题与简易逻辑易错题 Word版含解析

--集合与简易逻辑、极限与复数1．已知集合12{|,}10M x x Z N x=∈∈-且，则M 的非空真子集的个数是（ ） A ．30个 B ．32个 C ．62个 D ．64个 2．不等式1ax a x->的解集为M ，且2M ∉，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,)4+∞ B ．1[,)4+∞ C ．1(0,)2D ．1(0,]23．已知2{|40},{|10}P m m M m mx mx x =-<<=--<对一切实数都成立，则下列关系式中成立的是（ ）A ．P M ØB ．M P ØC ．M P =D ．M P =∅ 4．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则1(1)1lim 1(1)1p n qn n→∞+-+-=（ ）A ．0B ．1C ．p qD ．11p q -- 5．设S 为复数集C 的非空子集．若对任意,x y S ∈，都有,,x y x y xy S +-∈， 则称S 为封闭集．下列命题：①集合{|,}S a bi a b i =+为整数，为虚数单位为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集； ④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)6．已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围 ； 若至少有一个元素，则a 的取值范围 ．7．对任意两个集合M N 、，定义：{|}M N x x M x N-=∈∉且，M N M N N M =-- （）（），设2{|,}M y y x x R ==∈，{|3sin ,}N y y x x R ==∈，则M N ＝ ．8．已知数列{}n a 的前n 项和11(1)n n nS ba b =-+-+，其中b 是与n 无关的常数，且01b <<，若lim n n S →∞存在，则lim n n S →∞= ．9．22lim (4)x x x x x →-∞+-- = ．10．如果(,R,0)z a bi a b a =+∈≠且是虚数，则222,,,||,||,,,||,||z z z z z z z z z z 中是虚数的有 个，是实数的有 个，相等的有 组．11．设{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}2|280C x x x =+-=(1)A B A B = ，求a 的值；(2)A B ∅ Ø，且A C =∅ ，求a 的值； (3)A B A C =≠∅ ，求a 的值． 12．已知集合10{|1},{|1}6E x x mF x R x =-≥=∈>+． （1）若3m =，求E F ；（2）若E F R = ,求实数m 的取值范围．13．设R 为全集，集合2{|10,}A x x ax x R =++=∈，{|1,}B y y x x R ==-∈,若R AC B A = ,求实数a 的取值范围．14．设集合22{(,)|10},{(,)|42250}A x y ay x B x y x x y =--==+-+=，{(,)|}C x y y kx b ==+．（1）当0a =时，求A B ；（2）当1a =时，问是否存在正整数k 和b ，使得()()A C B C =∅ ，若存在，求出k 、b 的值；若不存在,说明理由．15．已知不等式2435x x a x -++-≤的解集中的最大解为3，求实数a 的值．16．设2x a -<时，不等式241x -<成立，求正数a 的取值范围．17．设:p 方程2210x mx ++=有两个不相等的正根；:q 方程22(2)3100x m x m +--+=无实根，求使p 或q 为真，p 且q 为假的实数m 的取值范围．18．试判断3a ≥是关于x 的方程210x ax ++=在区间[1,1]-上有解的什么条件？并给出判断理由．19．已知不等式①32x x +>；②22132x x x +≥-+；③2210x mx +-<． （1）若同时满足①、②的x 也满足③，求实数m 的取值范围；（2）若满足③的x 至少满足①、②中的一个，求实数m 的取值范围．20．已知数列{}n a 的各项都是正数，且满足：0111,(4)2n n n a a a a +==-，N n ∈，证明：12n n a a +<<，N n ∈．21．试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当1,N n n >∈*且a 、b 、c 互不相等时，均有：2n n n a c b +>．22．已知函数21()22f x x x =-+，数列{}n a 满足递推关系式：1()(N )n n a f a n +=∈*，且11a =．（1）求2a 、3a 、4a 的值；（2）用数学归纳法证明：当5n ≥时，121n a n <--； （3）证明：当5n ≥时，有111nk kn a =<-∑． 23．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d ≠，由{}n a 中的部分项组成的数列12,,,nb b b a a a ，…，为等比数列，其中11b =，25b =，317b =． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）记123123n n n n n n n T C b C b C b C b =++++ ，求lim4nn n nT b →∞+．24．已知公比为(0)q q <<1的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等比数列2{}na 各项的和为815． （1）求数列{}n a 的首项1a 和公比q ；（2）对给定的(1,2,,)k k n = ，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列，求数列(2)T 的前10项之和；（3）设i b 为数列()i T 的第i 项，12n n S b b b =++ ，求n S ，并求正整数(1)m m >，使得limnmn S n →∞ 存在且不等于零．25．当x →∞时，函数()(,N )nm x f x m n x b =∈*+的极限是否存在？若存在，求出其极限．26．设z 是虚数，1z zω=+是实数，且1ω-<<2．（1）求||z 的值及z 的实部的取值范围；（2）设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数； （3）求2u ω-的最小值．集合与简易逻辑、极限与复数易错题（参考答案）1．C 解：因为121122634=⨯=⨯=⨯，又x Z ∈且1210N x∈-，所以 101,2,3,4,6,12x -=，故{9,8,7,6,4,2}M =-，所以它的非空真子集有62262-=个．故选C ．2．B 解：当0a ≤时，不等式的解集为{|0}x x R x ∈≠且，不符合题意，所以0a >，由不等式1ax a x->得：1ax a x ->或1ax a x -<-，即10x ->或210ax x -<，则有0x <或102x a<<，又2M ∉，所以122a ≤，即有14a ≥，故选B ． 3．A 解：当0m =时，10-<，对一切实数x ，不等式210mx mx --<恒成立；当0m ≠时，要使不等式恒成立，则0m <且240m m ∆=+<，即40m -<<，所以{|40}M m m =-<≤，故选A ． 4．C 解：特殊值法由题意取1,2p q ==，则211(1)1lim lim lim11212(1)1p n n n q n n n n n nn →∞→∞→∞+-==++-+12p q==，可见选C ． 5．①②解：∵集合S 为复数集，而复数集一定为封闭集，∴①是真命题． ②由封闭集定义知②为真命题．③是假命题．如{0}S =符合定义，但是S 为有限集．④是假命题．如S Z =，T 为整数和虚数构成集合，满足S T C ⊆⊆，但T 不是封闭集， 如32,32i i +-都在T 中，但(32)(32)23i i T ++-=∉，所以正确的是①②．6．9|,08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或，9|8a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ 解：当A 中仅有一个元素时，0a =，或980a ∆=-=；当A 中有0个元素时，980a ∆=-<；当A 中有两个元素时，980a ∆=->；所以9|,08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或，9|8a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭． 7．[3,0)(3,)-+∞解：依题意有[0,)M =+∞，[3,3]N =-，所以(3,)M N -=+∞，[3,0)N M -=-，故[3,0)(3,)M N M N N M =--=-+∞ （）（）．8．1 解：因为1111()1(01)(1)(1)n n n n nnS ba b S S b b b -=-+-=--+-<<++， 所以11lim (lim lim )1lim(1)n n n nn n n n S b S S b -→∞→∞→∞→∞=--+-+，得1lim 1lim(1)n n n n S b →∞→∞=-+，则01b <<，故112b <+<，所以lim 1n n S →∞=．9．52-解：22lim (4)x x x x x →-∞+--=225lim4x x x x x x→-∞++-5lim1411x x x→-∞-=++-52=-．10．4，5，3．解：2,,,z z z z 四个为虚数；22||,||,,||,||z z z z z z 五个为实数；2,||||,||z z z z z z z === 三组相等．11．解：(1)因为A B A B = ，所以A B =，又由对应系数相等可得5a =和2196a -=同时成立，即5a =；(2)由于{2,3}B =，{4,2}C =- ，且A B ∅ Ø，A C =∅ ，故只可能3A ∈.此时23100a a --=，即5a =或2a =-，由(1)可知，当5a =时，{2,3}A B ==，此时A C ≠∅ ，与已知矛盾，所以5a =舍去，故2a =-；(3)由于{2,3}B =，{4,2}C =-，且A B A C =≠∅ ，此时只可能2A ∈，即22150a a --=，也即5a =，或3a =-，由(2)可知5a =不合题意，故3a =-．12．解：（1）当3m =时，{|13}{|24}E x x x x x =-≥=≤-≥或，10{|1}{|64}6F x x x x =>=-<<+， {|24}{|64}{|62}E F x x x x x x x =≤-≥-<<=-<≤- 或；（2）因为{|1}E x x m =-≥，当0m ≤时，,E R E F R == ,满足条件；当0m >时，{|11}E x x m x m =≤-≥+或，由E F R = ，{|64}F x x =-<<，得：16140m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩解得03m <≤.综上，实数m 的取值范围为(,3]-∞． 13．解：因为R A C B A = ，所以R A C B ⊆．又[0,)B =+∞，所以(,0)A ⊆-∞．所以方程210x ax ++=或者无实根，或者只有负实数根．所以，0∆<或00a ∆≥⎧⎨-<⎩，即240a -<或2400a a ⎧-≥⎨>⎩，得2a >-．故实数a 的取值范围为(2,)-+∞．14．解：（1）0a =，则{(,)|1,}A x y x y R ==-∈，由方程组2142250x x x y =-⎧⎨+-+=⎩解得：172x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即7{(1,)}2A B =- ． （2）1a =，则A 中的方程为210y x --=.因为A B C 、、都是非空集合，由已知必有A C =∅ 且BC =∅ ，此即方程组21y x y kx b ⎧=+⎨=+⎩和方程组242250x x y y kx b⎧+-+=⎨=+⎩均无解，消去y 整理得222(21)10k x bk x b +-+-=(0)k ≠和242(1)250x k x b +--+=，所以22221(21)4(1)4410bk k b k kb ∆=---=-+<，2224(1)16(52)4(2819)0}k b k k b ∆=---=-+-<，将其看做关于k 的二元一次不等式，从而2316160b ∆=->，444(819)0b ∆=-->，所以21b >且52b <成立.又b N *∈，所以2b =,此时24810k k -+<，且2230k k --<，由此得232322k -+<<，由k N *∈,得1k =，即所求2b =，1k =．15．解：将3x =代入2435x x a x -++-=，得35a -+=，即8a =．当8a =时，原不等式可化为2343x x x -≤-+-，解得0323x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即23x ≤≤，所以8a =满足要求．16．解：因为0a >，所以由2x a -<得22a x a -<<+，由241x -<，得：35x <<或53x -<<-，故2325a a ⎧-≥⎪⎨+≤⎪⎩，解得52a ≤-， 又0a >，所以052a <≤-，又25230a a a ⎧-≥-⎪⎪+≤-⎨⎪>⎪⎩，无解．综上，正数a 的取值范围是{|052}a a <≤-．17．解：令2()21f x x mx =++，则由(0)0f >，且02ba->， 且0∆> ，求得1m <-，∴:(,1)p m ∈-∞-，2:4(2)4(310)023q m m m ∆=---+<⇒-<<，由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 、q 一真一假．①当p 真q 假时，123m m m <-⎧⎨≤-≥⎩或，即2m ≤-；②当p 假q 真时，123m m ≥-⎧⎨-<<⎩即13m -≤<．∴m 的取值范围是2m ≤-或13m -≤<． 答案：(,2][1,3)-∞--18．解：令2()10f x x ax =++=，则方程在区间[1,1]-上有解的充要条件是：240112(1)0(1)0a a f f ⎧-≥⎪⎪-≤-≤⎪⎨⎪-≥⎪≥⎪⎩或(1)(1)0f f -≤，由于第一个不等式的解集是{2,2}-，而第二个不等式的解集是{|22}a a a ≤-≥或，所以关于x 的方程210x ax ++=在区间[1,1]-上有解的充要条件是2a ≥，因为集合{|3}{|2}a a a a ≥≥Ø，故而可得结论：3a ≥是关于x 的方程210x ax ++=在区间[1,1]-上有解的充分不必要条件．19．解：由题意知，解①得13x -<<；解②得01x ≤<或24x <≤．（1）设同时满足①、②的集合[0,1)(2,3)A = ，满足③的集合为B ，因为A B ⊆，所以：(3)0(0)0f f ≤⎧⎨<⎩，所以173m ≤-为所求． （2）(1,3)[0,1)(2,4]B ⊆- ，所以(1,4]B ⊆-，即方程2210x mx +-=的两根在[1,4]-内，所以：0(1)0(4)0144f f m ∆≥⎧⎪-≥⎪⎪⎨≥⎪⎪-<-<⎪⎩，所以3114m -≤≤为所求． 20．证明：用数学归纳法证明①当0n =时，01a =，10013(4)22a a a =-=，所以012a a <<，命题正确②假设当(N )n k k =∈*时，有12k k a a -<<，则当1n k =+时，11111(4)(4)22k k k k k k a a a a a a +---=--- 11112()()()2k k k k k k a a a a a a ---=---+111()(4)2k k k k a a a a --=---，而110,40k k k k a a a a ---<-->，所以10k k a a +-<．又2111(4)[4(2)]222k k k k a a a a +=-=--<，所以当1n k =+时，命题正确由①②知，对一切N n ∈，有12n n a a +<<．21．证明：（1）设a 、b 、c 为等比数列，,(01)ba c bq q q q==>≠且，所以1()2n nnn n n n n n n b a c b q b q b q q+=+=+>．（2）设a 、b 、c 为等差数列，则2b a c =+，猜想()(2N )22n n na c a c n n ++>≥∈*且．下面用数学归纳法证明：①当2n =时，由2222()()a c a c +>+， 所以222()22a c a c ++>．②假设n k =时成立，即()22k k ka c a c ++>，则当1n k =+时，1111111()24k k k k k k a c a c a c +++++++=+++ 111()4k k k k a c a c c a ++>+++1()()4k k a c a c =++ ()()22k a c a c ++> 1()2k a c ++=22．解：（1）由11a =及21122n n n a a a +=-+计算得：232a =，3138a =，4217128a =． （2）证明：（Ⅰ）2512172172171217217391()22(1)22212812812821281282564a =-+=--⨯=-<- ，即当5n =时，结论成立．（Ⅱ）假设结论对(5)n k k =≥成立，即121k a k <--． 因为21133(1)222n n a a +=-+≥，函数213()(1)22f x x =-+在(1,)+∞上递增，则1()(2)1k f a f k <--，所以21113(21)212k a k +<--+-21112212(1)k k k =-+<---， 即当1n k =+时结论也成立． 由（Ⅰ）（Ⅱ）知，不等式121n a n <--对一切5n ≥都成立． （3）因为当5n ≥时，121n a n <--，所以112n n a +<-． 又由21122n n n a a a +=-+，即1(2)22n nn a a a +--=， 即111122n n n a a a +=---，得111122n n n a a a +=---，且11a =．所以111111()22nnk k k k k a a a ==+=---∑∑11111111222n n n a a a ++=-=-<----．23．解：（1）由题意知25117a a a = ，即221111(4)(16)2a d a a d a d d +=+⇒=． 因为0d ≠，所以12a d =，数列{}nb a 的公比511143a a dq a a +===， 所以113nn b a a -= ．① 又111(1)2n n b n b a a b d a +=+-=．② 由①②得111132n n b a a -+=．因为120a d =≠，所以1231n n b -=-． （2）1212n n nn n n T C b C b C b =+++ 10211(231)(231)(231)n n n n n C C C -=++-++- 122122(333)()3n n nn n n n n n C C C C C C =+++-+++ 2[(13)1](21)3n n =+---214233n n =-+ ， 所以1214233lim lim 44231n n n n n n n n n T b -→∞→∞-+=++- 12111()()23234lim13131()()244n nn n n →∞--+==+- ． 24．解：（1）由题设可得1212918151a q a q⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得1323a q =⎧⎪⎨=⎪⎩所以数列{}n a 的首项1a 为3，公比q 为23．（2）由（1）知，123()3n n a -=⨯，所以，(2)T 是首项为22a =，公差2213d a =-=的等差数列，它的前10项之和为10110210931552S =⨯+⨯⨯⨯=，即数列(2)T 的前10项之和为155．（3）因为i b 为数列()i T 的第i 项，()i T 是首项为i a ，公差为21i a -的等差数列， 所以(1)(21)(21)(1)i i i i b a i a i a i =+--=---，所以12n n S b b b =+++ 12335(21)[12(1)]n a a a n a n =++++--+++- ． 令12335(21)n S a a a n a =++++- ．因为12112()(21)n n S qS a a a a n a +-=+++--- ，所以1112(21)(1)21(1)n n a n a a q S q q ++--=--- 245(1845)()3nn =-+，故(1)2(1)45(1845)()232n n n n n n S S n --=-=-+-． 所以12(1)limlim [45(1845)()]32n n m m n n S n n n n n →∞→∞-=-+-因为1m >，且lim n m n S n →∞存在，所以当2m =时，1lim 2n m n S n →∞=-； 当2m >时，lim0n m n S n →∞=，由题设，limnmn S n →∞不等于0． 因此2m >不合题意，舍去，故满足题设的正整数m 的值为2． 25．解：（1）当n m =时1lim ()lim111()x x mf x b x→∞→∞==+ ；（2）当n m <时1()lim ()lim 011()m nx x mx f x bx-→∞→∞==+ ；（3）当n m >时lim ()lim11()n mx x mx f x bx-→∞→∞=+ 不存在． 所以0lim ()1x n m f x n m n m →∞<⎧⎪==⎨⎪>⎩（）（）不存在（）． 26．解：（1）设(R,0)z a bi a b b =+∈≠、且，则221a bi z a bi z a b ω-=+=+++2222()()a b a b i a b a b =++-++，因为ω是实数，所以220b b a b -=+．由0b ≠，得221a b +=，即||1z =，因为||1z =，所以2||1z z z == ，所以12z z z a z ω=+=+=．由已知12ω-<<，即122a -<<，解得112a -<<．（2）证明：11z u z-=+ 1()(1)(1)1()[(1)][(1)]a bi a bi a bi a bi a bi a bi -+--+-==+++++-1bia -=+． 所以u 是纯虚数．（3）22222()21(1)bi b u a a a a ω---=-=-++2211221(1)a a a a a a --=-=+++22(1)31a a=++-+， 因为112a -<<，所以1122a <+<，所以242(1)51a a≤++<+，所以2u ω-的最小值为1．。

我的高考数学错题本 第2章 命题与简易逻辑易错题易错点1 四种命题的结构不明致误【例1】 命题甲：2x ≠或3y ≠；命题乙：5x y +≠，则（ ）A ．甲是乙的充分非必要条件B ．甲是乙的必要非充分条件C ． 甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【错解】盲目的无法判断选D【错因】不知道四个命题之间的转换关系【正解】为了进行判断，首先需要构造两个命题：甲⇒乙、乙⇒甲． 但是，这两个命题都是否定性的命题，正面入手较为困难．考虑到原命题与逆否命题的等价性，可以转化为判断其逆否命题是否正确．“甲⇒乙”，即“2x ≠或3y ≠”⇒“5x y +≠”，其逆否命题为：“5x y +=”⇒“2x =且3y =”显然不正确． 同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．选B ．【纠错训练】【2021高考山东，文5】设m R ∈，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是( )A ．若方程20x x m +-=有实根，则0m >B ．若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤C ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m >D ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D .易错点2充分必要条件颠倒致误对于两个条件A ，B ，如果A=>B 成立，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；如果B=>A 成立，则A 是B 的必要条件，B 是A 的充分条件；如果A<=>B ，则A ，B 互为充分必要条件。

解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。

【例2】命题“对任意实数[1,2]x ∈，关于的不等式20x a -≤恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A ．4a ≥B ．4a ≤C ．3a ≥D ．3a ≤ 【错解】A【错因】充分条件和必要条件颠倒致错，设“对任意实数[1,2]x ∈，关于的不等式20x a -≤恒成立”为真命题对应的的取值为集合A ，选项中的取值范围为集合B ，则B 是A 的必要不充分条件，因此A B ⇒，但B A ⇒【解析】即由“对任意实数x [1,2]∈，关于的不等式20x a -≤恒成立”可推出选项，但由选项推不出“对任意实数x [1,2]∈，关于的不等式20x a -≤恒成立”．因为x [1,2]∈，所以2[1,4]x ∈，20x a -≤恒成立，即2x a ≤， 因此4a ≥；反之亦然．故选C ．【纠错训练】【2021高考安徽，理3】设:12,:21xp x q <<>，则p 是成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由0:22x q >，解得0x >，易知，p 能推出，但不能推出p ，故p 是成立的充分不必要条件，选A ．易错点3 命题的否定和否命题弄混淆【例3】【2021高考湖北，文3】命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【错解】B【错因】误认为命题的否定就是否命题【正解】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故应选C ．【纠错训练】【2021高考浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ）A ．**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B ．**,()n N f n N ∀∈∈或()f n n > C ．**00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > D ．**00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n > 【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D ．易错点4 逻辑联结词理解不准致误【例4】已知命题:p R x ∃∈，2lg x x ->，命题:q R x ∀∈，1x e >，则（ ）A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ∨⌝是假命题 【错解】B【错因】认为p q ∧中，只要有一个为真，则p q ∧为真．【正解】取11000x =，则112lg10001000->，110001e <，故命题p 为真，命题为假，由复合命题的真值表可知命题()p q ∧⌝是真命题，选C ．【纠错训练】【2015北京西城区二模】设命题p ：函数1()x f x e-=在R 上为增函数；命题：函数()cos()f x x π=+为奇函数．则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∨C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∧⌝【解析】由题意可知，命题p 是真命题，()cos()cos f x x x π=+=-为偶函数，∴是假命题，从而可知()p q ∧⌝是真命题，故选D ．易错点5 错把“命题否定”等同于“取补集” 【例5】写出命题“对任意一个实数x ，都有1025x >+”的否定是 ． 【错解】对任意一个实数x ，都有1025x +≤ 【错因】原命题的反面是：存在一个实数，使得1025x +≤或125x +没有意义，而不是简单地把“1025x >+”的范围取补集变成“1025x +≤”. 【解析】原命题的否定是：“存在一个实数x ，使得1025x <+或250x +=”，或“存在一个实数x ，使得250x +≤”．【纠错训练】命题:p 实数满足不等式201x x +≥-，且命题p 是假命题，求实数取值范围【解析】201x x +≥-等价于(1)(2)0x x -+≥且1x ≠，即2x ≤-或1x >，则:2p x ≤-或1x >；:21p x ⌝-<≤．命题是假命题，∴命题p ⌝是真命题，∴实数取值范围21x -<≤.【错题巩固训练】 1．条件“01ab <<”是“1a b <或1a b>”的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）【解析】01ab <<说明,a b 同号，（i ）当 0,0a b >>且01ab <<时，1a b<；(ii)当0,0a b <<且01ab <<时，1a b >.故条件“01ab <<”可以推出“1a b <或1a b>”.当11a b =-=,时，满足1a b <或1a b >，但不满足01ab <<，故条件 “1a b <或1a b>”不可以推出“01ab <<”.因此条件“01ab <<”是“1a b <或1a b>”的充分不必要条件. 2．条件“2ac b =”是“,,a b c 成等比数列”的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）【解析】2ac b =成立，有可能是 0a b c ===，不是等比数列，故答案是必要不充分 3．“3a =”是“直线220ax y +-=和直线3(1)20x a y +--=平行”的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）【解析】直线的法向量满足(,2)//(3,1)a a -，(1)60a a --=，即260a a --=，解得3a =或2-，其中3a =时，直线重合,故答案:既不充分也不必要条件4．若a b c ∈R ,,，写出命题“若0ac <，则20ax bx c ++=有两个不相等的实数根”的逆否命题是【解析】若20ax bx c ++=没有两个不相等的实数根，则0ac ≥5．已知命题:p 21x x m ∀∈+>R ,，命题:q 指数函数(3)xy m =-是增函数．若命题""p q ∨为真，命题""p q ∧为假，则实数m 的取值范围是【解析】命题p 为真时，即2min (1)x m +>，解得1m <.命题为真时，即31m ->，解得2m <.命题为假时，即031m <-<，解得23m <<.命题""p q ∨为真，命题""p q ∧为假，则p 真假或p 假真，即123m m <⎧⎨<<⎩或12m m ⎧⎨<⎩≥，解得12m <≤.6．已知命题:p 函数20.5log (2)y x x a =++的值域是R ，命题:q 指数函数(52)xy a =-是增函数．若命题""p q ∨为真，命题""p q ∧为假，则实数的取值范围是【解析】p 真：函数20.5log (2)y x x a =++的值域是R ，即22t x x a =++中的能取到(0)+∞,的每一个数，则只要保证440a ∆=-≥，解得1a ≤.真：521a ->，解得2a <.假：0521a <-<，解得522a <<.由题意，“p 真假”或“p 假真”，即1522a a ⎧⎪⎨<<⎪⎩≤或12a a >⎧⎨<⎩.解得实数的取值范围是12a <<.。

考点-1集合与简易逻辑集合的概念与性质集合与不等式集合的应用简易逻辑充要条件集合的运算逻辑在集合中的运用集合的工具性真假命题的判断充要条件的应用典型易错题会诊命题角度1 集合的概念与性质1．(典型例题)设全集U=R，集合M=｛x|x＞1｝，P=｛x|x2＞1｝，则下列关系中正确的是 ( )A.M=P B．P⊂MC.M⊂P D．C U IM P=ø[考场错解] D[专家把脉] 忽视集合P中，x＜-1部分．[对症下药] C ∵x2＞1 ∴x＞1或x＜-1．故M⊂P．2．(典型例题)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=｛a+b|a∈P，b∈Q｝，若P ｛0，2，5｝，Q=｛1，2，6｝，则P+Q中元素的个数是（）A．9 B．8C．7 D．6[考场错解] A P中元素与Q中元素之和共有9个．[专家把脉]忽视元素的互异性，即和相等的只能算一个．[对症下药] B P中元素分别与Q中元素相加和分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个．3．(典型例题)设f(n)=2n+1(n∈N)，P=｛l，2，3，4，5｝，Q={3，4，5，6，7},记Pˆ=｛n∈N|f(n) ∈P｝，Qˆ=｛n∈N|f(n) ∈则(PˆI C N Qˆ) Y(QˆI C N Pˆ)等于 ( )A．｛0，3｝ B．｛1，7｝C．｛3，4，5｝ D．｛1，2，6，7｝[考场错解] D P I C N Q=｛6，7｝．Q I C N P=｛1，2｝．故选D．[专家把脉]未理解集合Pˆ的意义.[对症下药] B ∵Pˆ =｛1，3，5｝．Qˆ=｛3，5，7｝．∴PˆI C N Qˆ=｛1｝. PˆI C N Qˆ=｛7｝．故选B．4．(典型例题)设A、B为两个集合，下列四个命题：①A B⇔对任意x∈A,有x ∉B；②A B⇔ A I B=ø;③A B ⇔ A B;④A B⇔存在x∈A, 使得x∉B.其中真命题的序号是_____.[考场错解]∵A B，即A不是B的子集，对于x ∈A，有x∉ B;A I B=ø，故①②④正确．[专家把脉] 对集合的概念理解不清．∵A B ，即A 不是B 的子集，但是A ，B 可以有公共部分，即存在x ∈ A ，使得x ∉ B.不是对任意x ∈A,有x ∉B ，故④正确．“A B ”是“任意x ∈A ，有x ∉B ”的必要非充分条件．②同①.[对症下药] 画出集合A ，B 的文氏图或举例A=｛1，2｝，B=｛2，3，4｝，故①、②均不成立，③A ｛1，2，3｝，B=｛1,2｝,∴A B 但B ⊆A ，故也错.只有④正确，符合集合定义．故填④5．(典型例题Ⅰ)设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误的是 ( )A ．（C I A ）Y B=IB ．(C I A) Y (C I B)=I C ．A I (C I B)=øD ．(C I A)I (C I B)= C I B[考场错解] 因为集合A 与B 的补集的交集为A ，B 的交集的补集．故选D ． [专家把脉] 对集合A ，B ，I 满足A ⊆B ⊆I 的条件，即集合之间包含关系理解不清．[对症下药] 如图是符合题意的韦恩图.从图中可观察A 、C 、D 均正确，只有B 不成立．或运用特例法，如A=｛1，2，3｝，B=｛1，2，3.4｝，I=｛1，2，3，4，5｝．逐个检验只有B 错误．专家会诊1．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x ∈P}，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，充分运用数形结合(数轴，坐标系，文氏图)或特例法解集合与集合的包含关系以及集合的运算问题，直观地解决问题．2．注意空集ø的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ，则有A=ø或A ≠ø 两种可能，此时应分类讨论．考场思维训练1 全集U=R ，集合M={1，2，3，4}，集合N=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤121|x x ，则M I (C U N)等于 ( )A ．{4}B ．{3，4}C ．{2，3，4}D ． {1，2，3，4} 答案：B 解析：由N={},12|,121|+≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤x x N x x 得C U N={}{}4,3)(,12|=⋂∴+N C M x x U φ2 设集合M={x|x=3m+1，m ∈Z}，N=y|y{=3n+2，n ∈Z}，若x 0∈M,y 0∈N ，则x 0y 0与集合M,N 的关系是 ( )A.x 0y 0∈M B ．x 0y 0∉M MM C.x 0y 0∈N D ．x 0y 0∉N 答案：C 解析：∵x o..2)23(32369)23)(13(,23,,130C N n m mn n m mn n m y x n y N y m x M o o o o 故选∈+++=+++=++=∴+=∴∈+=∴∈3 设M={x|x4a ，a ∈R}，N={y|y=3x ，x ∈R}，则 ( ) A ．M ∩N=Ø B ．M=N C. M ⊃N D. M ⊂N答案：B 解析：M={}{}{}B N y y x x M R a x x a 选.0|0|,4|=>=>==∈=4 已知集合A={0，2，3}，B={x|x=ab,a 、b ∈A 且a ≠b}，则B 的子集的个数是 ( )A ．4B ．8C ．16D ．15答案：解析：{},6,0=B Θ它的子集的个数为22=4。

易错点02常用逻辑用语易错点1：混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.命题p 的否定是否定命题所作的判断.而“否命题”是对“若p 则q”形式的命题而言.既要否定条件也要否定结论.易错点2：充分条件、必要条件颠倒致误对于两个条件A 和B.如果A ⇒B 成立.则A 是B 的充分条件.B 是A 的必要条件;如果B ⇒A 成立.则A 是B 的必要条件.B 是A 的充分条件;如果A ⇔B.则A.B 互为充分必要条件.解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性.所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断.易错点3：“或”“且”“非”理解不准致误命题p∨q 真⇒p 真或q 真.命题p∨q 假⇒p 假且q 假(概括为一真即真);命题p∧q 真⇒p 真且q 真.命题p∧q 假⇒p 假或q 假(概括为一假即假);¬p 真⇒p 假.¬p 假⇒p 真(概括为一真一假).求参数取值范围的题目.也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解.通过集合的运算求解.1．“2log (1)0x ”成立的一个必要而不充分条件是（）A．112x B．0x C．10x D．0x 【答案】D 【详解】由2log (1)0x 有011x ，解得10x ，故“2log (1)0x ”成立的一个必要而不充分条件是“0x ”故选：D2．已知条件:12p x ，条件:q x a ，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A． 1, B． ,1 C． 3, D．,3 【答案】A 【详解】:12p x ，解得31x ，:q x a ，因为p 是q 的充分不必要条件，所以3,1,a ，即1a .故选：A3．已知集合 012M ,,， 1,0,1,2N ，则“a M ”是“a N ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】因为M N ,所以“a M ” “a N ”，但“a N ”推不出“a M ”，所以“a M ”是“a N ”的充分不必要条件.故选：A.4．设命题p ：R x ，(x －1)(x +2)>0，则p 为（）A．0R x ， 00120x x B．0R x ，00102x x C．R x ， 120x x D．0R x ，00102x x 或02x 【答案】D 【详解】p 为0x R ， 00120x x ，等价于0x R ，00102x x 或02x .故选：D5．设 0M x R x ，已知命题p ：x M ，11x x；命题q ：x M ，11x x ，则下列命题中为真命题的是（）A．p q B． p q C． p q D．p q 【答案】C 【详解】因为0x ，所以当0x 时，12x x，当且仅当1x x ，即1x 时取等号，当0x 时，11()2x x x x，当且仅当1x x，即1x 时取等号，综上，当0x 时，12x x，所以命题p 错误，p 正确，因为0x ，所以0x ，所以121x x ，当且仅当1x x ，即1x 时取等号，所以q 正确，q 错误，所以p q 为假命题， p q 为假命题， p q 为真命题， p q 为假命题，故选：C1．设命题0:p x R ，2010x ，则命题p 的否定为（）A．x R ，210x B．x R ，210x C．0x R ，2010x D．0x R ，2010x 【答案】B 【详解】利用含有一个量词的命题的否定方法可知，特称命题0:p x R ，2010x 的否定为：x R ，210x .故选：B.2．不等式1133x成立是不等式21x 成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B 【详解】解不等式1133x，得1x ，解不等式21x ，得11x ，又(1,1)(,1) ，所以不等式1133x成立是不等式21x 成立的必要不充分条件.故选：B.3．已知命题:R,ln 1p x x x ：命题q ：若正实数x ，y 满足2x y xy ，则29x y ，则下列命题中为真命题的是（）A．p q B． p qC．p q D．p q 【答案】B 【详解】由ln y x x 且0x ，故1ln y x ，当10e x 时0y ，y 递减；当1ex 时0y ，y 递增，所以11ey ，故p 为假命题；由x ，y 为正实数且2x y xy ，即211y x，故222(2)()52591x y x y x y y x y x ，当且仅当3x y 时等号成立，故q 为真命题；所以p 为真命题、q 为假命题，综上，p q 为假， p q 为真， p q 为假， p q 为假.故选：B4．已知命题p ：1022x x的展开式中，第2项的二项式系数为210C ；命题q ：若a ，b 是两个非零向量，则a b a b 是a b r r的充要条件．下列命题为真命题的是（）A．p q B．p q C．p q D．p q【答案】B 【详解】由1022x x的展开式通项为210203110102C ()()(2)C r r r r r rr T x x x ，所以第2项为117210(2)C T x ，故二项式系数为110C ，p 为假命题；由22a b a b ，可得0a b 且它们为两个非零向量，即a b r r，充分性成立，由两个非零向量a b r r，则222222a b a a b b a b ，222222a b a a b b a b ，故a b a b，必要性也成立，所以q 为真命题.综上，p 为真命题，q 为假命题，所以p q 为假，p q 为真，p q 为假，p q 为假.故选：B5．已知命题4:(0,),sin 4sin p x x x ，命题001:(0,),22x q x ，则下列判断正确的是（）A．p 是真命题B．q 是真命题C．()p q 是真命题D．()p q 是真命题【答案】C 【【详解】因为(0,)x ，0sin 1x ，4sin sin y x x在(0,2]上单调递减，所以4sin 1454sin x x，所以p 为真命题；p 为假命题，故A 错误；当0x 时，0221x ，故q 为假命题，q 为真命题，则()p q 是真命题，()p q 是假命题，所以BD错误，C正确.故选：C1．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】根据“做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标”，即要达成目标必须一点一点积累，所以“积跬步”是“至千里”的必要条件.故选：B2．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ln x＞1，则¬p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）ln x0≤1B．∃x0＞0，使得（x0+1）ln x0≤1C．∃x0＞0，总有（x0+1）ln x0≤1D．∃x0≤0，总有（x0+1）ln x0≤1【答案】B【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∀x＞0，总有（x+1）ln x＞1，则¬p为∃x0＞0，使得（x0+1）ln x0≤1.故选：B.3．下列命题正确的是（）A．命题“若2320x x ，则2x ”的否命题为“若2320x x ，则2x ”B．若给定命题:R p x ，210x x ，则:R p x ，210x x C．已知:12p x ， 12:2log 210x q x ，则p 是q 的充分必要条件D．若p q 为假命题，则p ，q 都为假命题【答案】D 【详解】命题“若2320x x ，则2x ”的否命题为“若2320x x ，则2x ”，A 错；命题:R p x ，210x x 的否定是R x ，210x x ，B 错；易知函数12()2log (2)x f x x 在定义域内是增函数，()11f ，(2)10f ，所以12x 时， 1212log 210x x 满足 122log 210x x ，但 122log 210x x 时，22x 不满足12x ，因此题中应不充分不必要条件，C 错；p q 为假命题，则p ，q 都为假命题，若,p q 中有一个为真，则p q 为真命题，D 正确．故选：D．4．下列四个命题中真命题的个数是（）①“x =1”是“2320x x ”的充分不必要条件；②命题“R x ，sin 1x ”的否定是“R x ，sin 1x ”；③命题p ： 1,x ，lg 0x ，命题q ：R x ，210x x ，则p q 为真命题；④“若2，则为偶函数”的否命题为真命题.A．0B．1C．2D．3【答案】C 【详解】①，则或“”是“或”的充分不必要条件，①为真命题；②根据全称命题的否定判断可知②为真命题；③命题p ：，，命题p 为真命题，，命题q为假命题，则为假命题，③为假命题；④“若，则为偶函数”的否命题为“若，则不是偶函数”若，则为偶函数，④为假命题故选：C．5．“”是“”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】解：令，则，所以在上单调递增，又，所以当时，即，故“”是“”的充分必要条件；故选：A6．已知命题p：，；命题q：，，则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为时，；，，所以p为假命题，q为真命题，为真命题，为假命题，根据复合命题的真假判断可得，，，均为假命题，为真命题．故选：D．7．已知，命题P：，，则（）A．P是假命题，B．P是假命题，C．P是真命题，D．P是真命题，【答案】D【详解】∵，∴∴是定义域上的减函数，∴∴命题P：，，是真命题；∴该命题的否定是.故选：D.8．已知命题，，命题，，则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由指数函数的性质易知显然是真命题，，当且仅当取等号，但是不存在使得等号成立，故为假命题，因此为假，为假，为真，为假，故选：C．9．若“，使得成立”是假命题，则实数可能的值是（）．A．1B．C．3D．【答案】A【详解】因为“，使得成立”是假命题，所以，都有成立是真命题，即，恒成立，，当且仅当，即时取等号，所以，比较可知，只有1满足条件，故选：A.10．已知命题：幂函数在上单调递减；命题：，都有.若为真命题，为假，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】对于命题：因为在上单调递减，所以，即；对于命题：由，得，所以．由为真，为假，可得，一真一假．若假真，则无实数解；若真假，则所以.故选：C．11。