3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式整体设计一、教学分析“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α=β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”.在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改精神.二、教学目标1．知识与技能：通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2．过程与方法：通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神.三、重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.四、课时安排1课时五、教学设想（一）导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sinα=53,α∈(2,π),求sin2α，cos2α的值.学生会很容易看出：sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式.（二）推进新课、新知探究、提出问题①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？③在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos 2( )-sin 2( ).⑦思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sinα吗？cos2α=2cosα吗？tan2α=2tanα？活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉.（S 2α）;cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsi 2α-sin 2α(C 2α); tan(α+β)=)(tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan 22ααααβαβαT -=⇒-+ 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合sin 2α+cos 2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠21kπ+4π和α≠kπ+2π(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ+2π,k ∈Z 时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a 是4a 的二倍,3α是23a 的二倍,3a 是6a 的二倍，2π-α是4π-2a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如:sin 2a =2sin 4a cos 4a ,cos 3a =cos 26a -sin 26a 等等. 问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4a cos 4a =2(2sin 4a cos 4a )=2sin 2a ,40tan 140tan 22-=tan80°，cos 22α-sin 22α=cos4α，tan2α=2tanα(1-tan 2α)等等. 问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.若sin2α=2sinα,则2sinαcosα=2sinα,即sinα=0或cosα=1,此时α=kπ(k ∈Z ).若cos2α=2cosα,则2cos 2α-2cosα-1=0,即cosα=231-(cosα=231+舍去). 若tan2α=2tanα,则aa 2tan 1tan 2-=2tanα,∴tanα=0,即α=kπ(k ∈Z ). 解答：①—⑧（略）（三）应用示例思路1例1 已知sin2α=135,4π<α<2π,求sin4α,cos4α,tan4α的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.解:由4π<α<2π,得2π<2α<π. 又∵sin2α=135, ∴cos2α=a 2sin 12--=1312)135(12-=--. 于是sin 4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α=2×135×(1312-)=169120-; cos4α=cos[2×(2α)]=1-2sin 22α=1-2×(135)2=129119; tan4α=a a 4cos 4sin =(-169120)×119169=119120-. 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.变式训练1.不查表,求值解:原式=2615cos 15sin 215sin )15cos 15(sin 222=++=+点评：本题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力.2.(2007年高考海南卷,9) 若22)4sin(2cos -=-πa a,则cosα+sinα的值为 A.27- B.21- C.21 D.27 答案:C3.(2007年高考重庆卷,6) 下列各式中,值为23的是( ) A.2sin15°-cos15° B.cos 215°-sin 215° C.2sin 215°-1 D.sin 215°+cos2答案:B例2 证明θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+=tanθ. 活动：先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解.教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等.对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发.点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励.强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它.证明:方法一:左=)1cos 21(cos sin 2)cos 211(cos sin 2)2cos 1(2sin )2cos 1(2sin 22-++-++=+-+θθθθθθθθθθ =θθθθθθ22cos cos sin cos 1cos sin +-+ =θθθθθθ22cos cos sin sin cos sin ++ )cos (sin cos )sin (cos sin θθθθθθ++=tanθ=右. 所以,原式成立.方法二:左=θθθθθθθθθθθθθθ22222222222cos 22sin sin 22sin sin cos 2sin cos sin cos sin sin cos sin ++=-+++-+++=)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2θθθθθθ++=tanθ=右. 方法三:左=)sin (cos )cos sin 2cos (sin )sin (cos )cos sin 2cos (sin 2cos )2sin 1(2cos )2sin 1(22222222θθθθθθθθθθθθθθθθ-+∙++--∙++=++-+ =)sin )(cos sin (cos )cos (sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 22θθθθθθθθθθθθ-+++-+-+ =)sin cos cos )(sin cos (sin )cos sin cos )(sin cos (sin θθθθθθθθθθθθ-+++-+++ =θθθθθθcos 2)cos (sin sin 2)cos (sin ∙+∙+=tanθ=右. 点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点.在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是.思路2例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题.本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式.教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式.并点拨学生结合诱导公式思考.学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°,40°,60°,80°余弦的积,其中60°是特殊角,很容易发现40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考虑逆用二倍角公式.解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20° =20sin 2280cos 40cos 20cos 20sin 233∙∙ =.16120sin 1620sin 20sin 16160sin == 点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律.例2 在△ABC 中,cosA=54,tanB=2,求tan(2A+2B)的值. 活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性,同时也是和与差公式的应用问题.教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题,会带来一些隐含的条件,如A+B+C=π,0<A<π,0<B<π,0<C<π,就是其中的一个隐含条件.可先让学生讨论探究，教师适时点拨.学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系.由于对2A+2B 与A,B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路,所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别.不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预.在学生自己尝试解决问题后,教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结.基础较好的班级还可以把求tan(2A+2B)的值改为求tan2C 的值.解：方法一:在△ABC 中,由cosA=54,0<A<π,得 sinA=.53)54(1cos 122=-=-A 所以tanA=A A cos sin =53×45=43, tan2A=724)43(1432tan 1tan 222=-⨯=-A A 又tanB=2,所以tan2B=.342122tan 1tan 222-=-⨯=-B B 于是tan(2A+2B)=.17744)34(7241347242tan 2tan 12tan 2tan =-⨯--=-+B A B A 方法二:在△ABC 中,由cosA=54,0<A<π,得 sinA=.53)54(1cos 122=-=-A 所以tanA==A A cos sin 53×45=43.又tanB=2, 所以tan(A+B)=2112431243tan tan 1tan tan -=⨯-+=-+B A B A 于是tan(2A+2B)=tan[2(A+B)] =.11744)211(1)211(2)(tan 1)tan(222=---⨯=+-+B A B A 点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用,本质上没有区别,其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考,以拓展学生的视野.变式训练 化简：.4sin 4cos 14sin 4cos 1aa a a +-++ 解：原式＝aa a a a a 2cos 2sin 22sin 22cos 2sin 22cos 222++ =)2cos 2(sin 2sin 2)2sin 2(cos 2cos 2a a a a a a ++=cot2α.（四）知能训练(2007年高考四川卷,17) 已知cosα=71,cos(α-β)=1413,且0<β<α<2π, (1)求tan2α的值;(2)求β.解:(1)由cosα=71,0<α<2π,得sinα=a 2cos 1-=.734)71(12=- ∴tanα=a a cos sin =17734⨯=43.于是tan2α=.4738tan 1342tan 1tan 222-=-⨯--aa a (2)由0<α<β<2π,得0<α-β<2π. 又∵cos(α-β)=1413,∴sin(α-β)=.1433)1413(1)(cos 122=-=--βa 由β=α-(α-β),得cosβ=cos ［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=71×1413+1433734⨯=21. ∴β=3π. 点评:本题主要考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值求角以及计算能力.（五）课题小结1.先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.。
