数学2

高三数学模拟考试(2)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.1.已知全集}7,5,3,1{},5,4,2{},7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，则=⋂)(B C A U ． 2．已知复数()34z i i =-⋅，则||z = .3．双曲线1222=-y x 的离心率是 . 4.若命题“R x ∈∃，有02≤--m mx x ”是假命题，则实数m 的取值范围是 ． 5.已知βα,的终边在第一象限，则“βα>”是“βαsin sin >”的 条件．（填：充分条件，必要条件，充要条件，既不必要也不充分条件） 6．在大小相同的4个球中，红球2个，白球2个. 若从中任意选取2个球，则所选的2个球恰好不同色的概率是 .7．在样本容量为120的频率分布直方图中，共有11个小长方形， 若正中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形面积的和的13， 则正中间一组的频数为 . 8．执行如图算法流程图,若输入3a =,12b =,则输出的值为 . 9．已知ΔABC 的三个内角A B C ,,所对边的长分别为a b c ,,，向量()a b c a -+=,，),(b c a -=，若n m ⊥，则∠C 等于 .10．在等比数列{}n a 中，已知1232a a a ++=，3458a a a ++=，则456a a a ++= . 11．函数()sin 3,[0,]f x x x x π=-∈的单调增区间为 . 12.若关于x 的不等式2(50)lg 0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值集合 是 __ ．开始结束输入a ,ba ＞b输出aa ←a ×bYN 第8题13. 设函数211*3224()n n y x x n N --=-⨯+⨯∈的图象在x 轴上截得的线段长为n d ，记数列{}n d 的前n 项和为n S ，若存在正整数n ，使得()22log 160m n n S -+≥成立，则实数m 的最小值为 .14．已知函数32|2|(1)()ln (1)x x x x f x x x ⎧--+<=⎨≥⎩，若命题“t R ∃∈，且0t ≠，使得()kf t t ≥”是假命题，则正实数k 的取值范围是 . 二、解答题：本大题共6小题，计90分.15. （本题满分14分）设a 为实数，给出命题p ：关于x 的不等式a x ≥-|1|)21(的解集为φ，命题q ：函数]89)2(lg[)(2+-+=x a ax x f 的定义域为R ，若命题“q p ∨”为真，“q p ∧”为假，求实数a 的取值范围.16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA PD ⊥，E 、F 分别为PC 、BD 上的点.（1）如果13DF PE DB PC ==，求证：直线EF ∥平面PAD ； （2）如果12DF PE DB PC ==，求证：直线EF ⊥平面PDC .PABCDFE第16题17(本题满分14分)数列{}n a 中，112,n n a a a cn +==+ (c 是常数，n=1,2,3,…)，且123,,a a a 成公比不为1的等比数列. (1)求c 的值； (2)求{}n a 的通项公式.18. (本小题满分16分)如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD ，其中,,AB CD DA 都是线段，曲线段BC 是抛物线的一部分，且点B 是该抛物线的顶点，BA 所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量，AB =2米，3AD =米，AB AD ⊥，点C 到,AD AB 的距离,CH CR 的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形AEFG （其中点F 在曲线段BC 或线段CD 上，点E 在线段AD 上，点G 在线段AB 上）. 设BG 的长为x 米，矩形AEFG 的面积为S 平方米.（1）将S 表示为x 的函数；（2）当x 为多少米时，S 取得最大值，最大值是多少？A B CD E F G R 第18题 H19. (本小题满分16分)已知椭圆E ：22184x y +=的左焦点为F ，左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心，圆C 恰好经过坐标原点O ，设G 是圆C 上任意一点.(1)求圆C 的方程；(2)若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长；(3)在平面上是否存在定点P ， 使得12GF GP =？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.20．(本小题满分16分) 已知函数2()8ln f x x x =-，2()14g x x x =-+. （1）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 与()g x 在区间)1,(+a a 上均为增函数,求a 的取值范围； （3）若方程()()f x g x m =+有唯一解,试求实数m 的值.高三数学模拟考试答题纸一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，1. 2. 3. 4. 5.6. 7. 8. 9. 10.11. _______ 12. _______ 13. 14.二、解答题：本大题共6小题，共90分，南外仙林分校2015届文科保送高三数学模拟考试答案 2014-11-14一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1已知全集}7,5,3,1{},5,4,2{},7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，则=⋂)(B C A U ▲ ．1{2，4，5}2．已知复数()34z i i =-⋅，则||z = ▲ .2.53．双曲线1222=-y x 的离心率是 ▲ .3.24.若命题“R x ∈∃，有02≤--m mx x ”是假命题，则实数m 的取值范围是 ▲ ．4. [-4，0]．5.已知βα,的终边在第一象限，则“βα>”是“βαsin sin >”的 ▲ 条件．（填：充分条件，必要条件，充要条件，既不必要也不充分条件）5.既不必要也不充分条件．6．在大小相同的4个球中，红球2个，白球2个. 若从中任意选取2个球，则所选的2个球恰好不同色的概率是 ▲ . 6.237．在样本容量为120的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若正中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形面积的和的13，则正中间一组的频数为 ▲ . 7.308．执行如图算法框图,若输入3a =,12b =,则输出的值为 ▲ .8.389．已知ΔABC 的三个内角A B C ,,所对边的长分别为a b c ,,，向量()a b c a -+=,，),(b c a -=，若n m ⊥，则∠C 等于 ▲ .9.π3第6题10．在等比数列{}n a 中，已知1232a a a ++=，3458a a a ++=，则456a a a ++= ▲ . 10.16±11．函数()sin ,[0,]f x x x x π=-∈的单调增区间为 ▲ .11. 5[0,]6π（也可以写成5(0,)6π） 12.若关于x 的不等式2(50)lg0aax x-≥对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值集合是 ____▲ ．12. {5} 13. 设函数211*3224()n n y x x n N --=-⨯+⨯∈的图象在x 轴上截得的线段长为n d ，记数列{}n d 的前n 项和为n S ，若存在正整数n ，使得()22log 160m n n S -+≥成立，则实数m 的最小值为▲ .13.29（原题13）14．已知函数32|2|(1)()ln (1)x x x x f x x x ⎧--+<=⎨≥⎩，若命题“t R ∃∈，且0t ≠，使得()kf t t ≥”是假命题，则正实数k 的取值范围是 ▲ . 14. [1,)e （原题(1/e,1】）二、解答题：本大题共6小题，计80分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15. （本题满分12分） 设a 为实数，给出命题p ：关于x 的不等式a x ≥-|1|)21(的解集为φ，命题q ：函数]89)2(lg[)(2+-+=x a ax x f 的定义域为R ，若命题“q p ∨”为真，“q p ∧”为假，求实数a 的取值范围.解 由题意得①② 2x + 98＞0不合，舍去；9分 12分16．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA PD ⊥，E 、F 分别为PC 、BD 的中点.（1）求证：直线EF ∥平面PAD ； （2）求证：直线EF ⊥平面PDC .16．证明：（1）作EQ//CD,FG//CD 分别交PD,AD 于Q,G ，连GQ,Z 则可以证明 GQ //EF…3分而GQ ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ,∴直线EF ∥平面PAD …………6分（2）因为面PAD ⊥面ABCD ,面PAD I 面ABCD AD =,CD ⊂面ABCD ,且CD AD ⊥, 所以CD ⊥平面PAD ,CD PA ∴⊥………………………8分又PA PD ⊥，CD PD D =I ，且CD 、PD ⊂面PDC ,所以PA ⊥面PDC …10分 而EF ∥PA ,所以直线EF ⊥平面PDC ……………12分17(本题满分12分)数列{}n a 中，112,n n a a a cn +==+ (c 是常数，n=1,2,3,…)， 且123,,a a a 成公比不为1的等比数列. (1)求c 的值；(2)求{}n a 的通项公式.17解：(1)a 1=2，a 2=2+c ，a 3=2+3c ，因为a 1,a 2,a 3成等比数列，所以(2+c)2=2(2+3c)，解得c=0或c=2. 当c=0时，a 1=a 2=a 3，不合题意，舍去，故c=2. …………6分(2)当n ≥2时，由于a 2-a 1=c ，a 3-a 2=2c ，…，a n -a n-1=(n-1)c ，PA B C D FE 第16题所以a n -a 1=[1+2+…+(n-1)]c=n(n -1)c2. 又a 1=2，c=2， 所以a n =2+n(n-1)=n 2-n+2(n=2,3,…)，又当n=1时，上式也成立， 故a n =n 2-n+2(n=1,2,3,…). ……12分18. (本小题满分14分)如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD ，其中,,AB CD DA 都是线段，曲线段BC 是抛物线的一部分，且点B 是该抛物线的顶点，BA 所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量，AB =2米，3AD =米，AB AD ⊥，点C 到,AD AB 的距离,CH CR 的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形AEFG （其中点F 在曲线段BC 或线段CD 上，点E 在线段AD 上，点G 在线段AB 上）. 设BG 的长为x 米，矩形AEFG 的面积为S 平方米.（1）将S 表示为x 的函数；（2）当x 为多少米时，S 取得最大值，最大值是多少？18．解：（1）以点B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴， 建立平面直角坐标系.设曲线段BC 所在抛物线的方程为22(0)y px p =>， 将点(1,1)C 代入，得21p =， 即曲线段BC的方程为1)y x =≤≤. …………3分又由点(1,1),(2,3)C D 得线段CD 的方程 为21(12)y x x =-≤≤. 而2GA x =-，所以),01,(21)(2),1 2.x x S x x x ⎧-<≤⎪=⎨--<<⎪⎩ (6)分（2）①当01x <≤时，因为1322)2S x x x =-=-，所以112232S x x -'=-=0S '=，得23x =， ……8分当2(0,)3x ∈时，0S '>，所以S 递增；当2(,1)3x ∈时，0S '<，所以S 递减，所以当23x =时，max S =；…………10分②当12x <<时，因为259(21)(2)2()48S x x x =--=--+，所以当54x =时，max 98S =； …………12分ABC DEFG R第18题H综上，因为989>，所以当54x =米时，max 98S =平方米. …………14分 （说明：本题也可以按其它方式建系，如以点A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，仿此给分）19. (本小题满分15分)已知椭圆E ：22184x y +=的左焦点为F ，左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心，圆C 恰好经过坐标原点O ，设G 是圆C 上任意一点.(1)求圆C 的方程；(2)若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长；(3)在平面上是否存在定点P ， 使得12GF GP =？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.20．(本小题满分15分) 已知函数2()8ln f x x x =-，2()14g x x x =-+. （1）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 与()g x 在区间)1,(+a a 上均为增函数,求a 的取值范围； （3）若方程()()f x g x m =+有唯一解,试求实数m 的值.20．(1)因为8()2f x x x'=-,所以切线的斜率(1)6k f '==-……………………2分 又(1)1f =,故所求切线方程为16(1)y x -=--,即67y x =-+……………………4分(2)因为2(2)(2)()x x f x x+-'=,又x>0,所以当x>2时,()0f x '>；当0<x<2时, ()0f x '<.即()f x 在(2,)+∞上递增,在(0,2)上递减…………………………………6分又2()(7)49g x x =--+,所以()g x 在(,7)-∞上递增,在(7,)+∞上递减……………7分欲()f x 与()g x 在区间(),1a a +上均为增函数,则217a a ≥⎧⎨+≤⎩,解得26a ≤≤……10分(3) 原方程等价于228ln 14x x x m --=,令2()28ln 14h x x x x =--,则原方程即为()h x m =. 因为当0>x 时原方程有唯一解,所以函数()y h x =与y m =的图象在y 轴右侧有唯一的交点…………………12分又82(4)(21)()414x x h x x x x-+'=--=,且x>0,所以当x>4时,()0h x '>；当0<x<4时,()0h x '<，即()h x 在(4,)+∞上递增,在(0,4)上递减.故h(x)在x=4处取得最小值………………………………………14分从而当0>x 时原方程有唯一解的充要条件是(4)16ln 224m h ==--……15分南外仙林分校2015届文科保送高三数学模拟考试（二）答案 2014-11-14一、填空题：1{2，4，5} 2.5 3.2 4. [-4，0]． 5.既不必要也不充分条件． 6.237.30 8.38 9. π3 10.16± 11.5[0,]6π（也5(0,)6π） 12. {5} 13.29 14. [1,)e98＞0不合，舍去；9分 12分GQ //EF …3分而GQ ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ,∴直线EF ∥平面PAD …………6分 （2）因面PAD ⊥ABCD ,面PAD I 面ABCD AD =,CD ⊂面ABCD ,且CD AD ⊥,所以CD ⊥平面PAD ,CD PA ∴⊥………………………8分又PA PD ⊥，CD PD D =I ，且CD 、PD ⊂面PDC,所以PA ⊥面PDC …10分 而EF ∥PA ,所以直线EF ⊥平面PDC ……………12分17解：(1)a 1=2，a 2=2+c ，a 3=2+3c ，因为a 1,a 2,a 3成等比数列，所以(2+c)2=2(2+3c)，解得c=0或c=2. 当c=0时，a 1=a 2=a 3，不合题意，舍去，故c=2. …………6分(2)当n ≥2时，由于a 2-a 1=c ，a 3-a 2=2c ，…，a n -a n-1=(n-1)c ， 所以a n -a 1=[1+2+…+(n-1)]c=n(n -1)c2. 又a 1=2，c=2， 所以a n =2+n(n-1)=n 2-n+2(n=2,3,…)，又当n=1时，上式也成立，故a n =n 2-n+2(n=1,2,3,…). ……12分18．解：（1）以点B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系. 设曲线段BC 所在抛物线的方程为22(0)y px p =>，将点(1,1)C 代入，得21p =， 即曲线段BC 的方程为1)y x =≤≤. …………3分又由点(1,1),(2,3)C D 得线段CD 的方程 为21(12)y x x =-≤≤. 而2GA x =-，所以),01,(21)(2),1 2.x x S x x x ⎧-<≤⎪=⎨--<<⎪⎩ …………6分（2）①当01x <≤时，因为1322)2S x x x =-=-，所以112232S xx -'=-=0S '=，得23x =， ……8分 当2(0,)3x ∈时，0S '>，所以S 递增；当2(,1)3x ∈时，0S '<，所以S 递减，所以当23x =时，max 9S =；……10分②当12x <<时，因为259(21)(2)2()48S x x x =--=--+，所以当54x =时，max 98S =； …………12分综上，因为989>，所以当54x =米时，max 98S =平方米. …………14分20．(1)因为8()2f x x x'=-,所以切线的斜率(1)6k f '==-……………………2分 又(1)1f =,故所求切线方程为16(1)y x -=--,即67y x =-+……………………4分(2)因为2(2)(2)()x x f x x+-'=,又x>0,所以当x>2时,()0f x '>；当0<x<2时, ()0f x '<.即()f x 在(2,)+∞上递增,在(0,2)上递减…………………………………6分又2()(7)49g x x =--+,所以()g x 在(,7)-∞上递增,在(7,)+∞上递减…………7分欲()f x 与()g x 在区间(),1a a +上均为增函数,则217a a ≥⎧⎨+≤⎩,解得26a ≤≤……10分(3) 原方程等价于228ln 14x x x m --=,令2()28ln 14h x x x x =--,则原方程即为()h x m =. 因为当0>x 时原方程有唯一解,所以函数()y h x =与y m =的图象在y 轴右侧有唯一的交点…………………12分又82(4)(21)()414x x h x x x x-+'=--=,且x>0,所以当x>4时,()0h x '>；当0<x<4时,()0h x '<，即()h x 在(4,)+∞上递增,在(0,4)上递减.故h(x)在x=4处取得最小值………………………………………14分从而当0>x 时原方程有唯一解的充要条件是(4)16ln 224m h ==--……15分。