2015中考数学与函数有关的压轴题(解答题一)

2015中考数学压轴题精编(含参考答案与试题解析共300页)（共120题，共两部分：前一部分为试题+参考答案与试题解析，后一部分为纯试题汇编）第一部分1．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．，），解得，），时，线段最大且为，）作，AN= MN=AN=OM=ON+MN==3则：，（与点，）关于对称轴，x=时，y=x+2=，（，）或（，2．（2015•酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．t﹣，y=x x+4=，，）代入得解得y=﹣y==）t﹣t+4，﹣t+4﹣﹣（t+4tNG+OC=×t﹣，t=面积的最大值为t=，得：y=t t+4=，﹣3．（2015•荆门）如图，在矩形ABCD中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC 以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．==3m=（﹣a（﹣，y=x x，t=；的中点横坐标为中点横坐标为=y=的中点横坐标为，线段==y=+，﹣）4．（2015•南昌）如图，已知二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）和二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．（1）函数y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值为3，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是﹣1＜x＜1．（2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）．（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程﹣a（x+1）2+1=0的解．，，5．（2015•铜仁市）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．MNB=BC=3PC=3OP=OC+PC=3+3OC=3 3+3）或（）或（﹣×6．（2015•资阳）已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x2相交于B、C两点．（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，设B（m．n）（m＜0），过点E（0．﹣1）的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．x+1），则D（x，x2），表示出DM，分类讨论列方程求解；RFS=，故得方程组：解之，得x+1，﹣x﹣﹣x+1x当﹣x+1x，当﹣x+1x）或，）或（）或（，∠7．（2015•苏州）如图，已知二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC （1）∠ABC的度数为45°；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在着点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．，∴（），，），）（）（）=，PQ=（（m（），，＜，（﹣轴垂直，则=m，PQ=）﹣m（），，，＜，，，）时，8．（2015•重庆）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D．（1）求直线BC的解析式；（2）点E（m，0），F（m+2，0）为x轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线于点E′，F′，交BC于点M，N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使|RF′﹣RE′|的值最大，请求出R点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值；（3）如图2，已知x轴上一点P（，0），现以P为顶点，2为边长在x轴上方作等边三角形QPG，使GP⊥x轴，现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P到达点A时停止，记平移后的△QPG为△Q′P′G′．设△Q′P′G′与△ADC的重叠部分面积为s．当Q′到x轴的距离与点Q′到直线AW的距离相等时，求s的值．，则﹣x+3=0x x+3﹣，）解得：x+6，﹣m+3m+4﹣m+3﹣（﹣m+4）﹣m﹣（﹣）mm+m﹣m ﹣，，﹣，，，，，RN=，AN==S=，RM=﹣AM=，AP×S=9．（2015•益阳）已知抛物线E1：y=x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．，，x=（舍去）的坐标为（）与（=，==．10．（2015•桂林）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．（1）直接写出抛物线的解析式：y=﹣x2+3x+8；（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．﹣﹣t；CD=﹣的距离为：﹣得：xx，得：﹣xS=•﹣t﹣，=，，﹣x+5﹣﹣﹣﹣x，与，解得：，，﹣）=，EG=，即：DM=OM=，MN==，）x+b，），x+，x+，与﹣，解得：，（，，﹣）或（，11．（2015•遂宁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC 围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．得出（，（，根据（，得出（，再，解得：x x+3AC=，CN==，=，，﹣，）时，则=3+）=时，则﹣）=，=）=）t=，=）=），﹣t12．（2015•呼和浩特）已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．（1）求抛物线的解析式，并写出y＜0时，对应x的取值范围；（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x 轴于点B，DC⊥x轴于点C．①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；②设动点A的坐标为（a，b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．＜=点坐标为（，﹣，其中＜时，点坐标为（，﹣时，﹣，时，点坐标为（，﹣＜﹣时，点坐标为（，﹣13．（2015•重庆）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．FG=GN=1+有最大值周长的最大值为OP=，则），），，﹣，），解得FG=GN=）），x=时，有最大值，1+×周长的最大值为）分别代入得，解得OP=，﹣，﹣）向上平移，，）），﹣，，﹣）14．（2015•济宁）如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．的坐标为（﹣，，m+4，﹣m+4m﹣m+8=（，根据AEO=×===4，（xy=，得，的坐标为（﹣，=，=，=，m+4，﹣PM=﹣（﹣m m﹣（取得最小值）AEO=×=，﹣的距离最小，其最小距离为．15．（2015•徐州）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．（1）∠OBA=90°．（2）求抛物线的函数表达式．（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？的位置就一个，令=16y=．x x，﹣p（﹣p+y=点纵坐标为QE=••×3+×p+）﹣（p p解得y=，y=6+P点纵坐标为QE=••×3+•=15+p，=16±16．（2015•乌鲁木齐）抛物线y=x2﹣x+2与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，+的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．得到，即，求得x x+2，即x+2=0，即，时，时，y=﹣17．（2015•吉林）如图①，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x2的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）．（1）当m=﹣1，n=4时，k=3，b=4；当m=﹣2，n=3时，k=1，b=6；（2）根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．①当m=﹣3，n＞3时，求的值（用含n的代数式表示）；②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为n=﹣2m；当四边形AOED为正方形时，m=﹣1，n=2．，然后根据三角形面积公式可计算出，解得；，解得；得；，则，==18．（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．y=y=x+3程组，解方程组即可求出点）联立两解析式可得：，解得：，或的坐标为（，）×4++4﹣）﹣××=4+﹣；y=x+b4=y=x+3，解得，，）19．（2015•天水）在平面直角坐标系中，已知y=﹣x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．方向滑动距离﹣方向滑动距离=x（（，得或=2．20．（2015•连云港）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？，MN=a，a y=）代入得，解得x+4x+4=；的坐标为（﹣，，MN=a +4=ax=，MN+3PM=a21．（2015•南充）已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x=1．（1）求抛物线解析式．（2）直线y=kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点M与N的坐标．（3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．，得﹣=1）由，，解得y=﹣x=（=向左平移，平移到向左平移，平移到（﹣向左平移时，周长=CP=，向左平移，，+22．（2015•福州）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m 与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是2，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°；（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．PH=PM6DQ6a=3，得出===得，=，OB=OB=SPM．6﹣3a=3。

2015年中考压轴题1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－32x 2+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5． （1）求b 、c 的值（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形； （3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由． 解：（1）∵抛物线y =－32x 2+b x +c 经过点A （0，－4）， ∴c =－4 ……1分又由题意可知，x 1、x 2是方程－32x 2+b x +c =0的两个根， ∴x 1+x 2=23b ， x 1x 2=－23c =6 ·········································································· 2分 由已知得（x 2-x 1）2=25 又（x 2-x 1）2=（x 2+x 1）2－4x 1x 2=49b 2－24 ∴ 49b 2－24=25 解得b =±314···················································································································· 3分 当b =314时，抛物线与x 轴的交点在x 轴的正半轴上，不合题意，舍去． ∴b =－314． ··················································································································· 4分 （2）∵四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形，根据菱形性质，点D 必在抛物线的对称轴上， 5分又∵y =－32x 2－314x －4=－32（x +27）2+625····································· 6分 ∴抛物线的顶点（－27，625）即为所求的点D ． ·········································· 7分（3）∵四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为（－6，0），根据菱形的性质，点P 必是直线x =-3与抛物线y =－32x 2-314x -4的交点， ·································································· 8分 ∴当x =－3时，y =－32×（－3）2－314×（－3）－4=4，∴在抛物线上存在一点P （－3，4），使得四边形BPOH 为菱形． ··················· 9分x四边形BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形BPOH 为正方形，点P 的坐标只能是（－3，3）， 这一点不在抛物线上． ··································································································· 10分2、已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线x x y 1252+=上. （1）求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）当a =1时，求△ABC 的面积；（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.解：（1）由5x x 122+=0， ····················································································· （1分）得01=x ，5122-=x ． ························································································· （2分） ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（512-，0）． ·········································· （3分）（2）当a =1时，得A （1，17）、B （2，44）、C （3，81）， ································· （4分） 分别过点A 、B 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则有ABC S ∆=S ADFC 梯形 -ADEB S 梯形 -BEFC S 梯形 ························································ （5分） =22)8117(⨯+-21)4417(⨯+-21)8144(⨯+ ······································· （6分）=5（个单位面积） ·············································································· （7分）（3）如：)(3123y y y -=． ················································································ （8分）事实上，)3(12)3(523a a y ⨯+⨯= =45a 2+36a ． 3（12y y -）=3[5×（2a ）2+12×2a -（5a 2+12a ）] =45a 2+36a ． ·············· （9分） ∴)(3123y y y -=． ··························································································· （10分）3、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）点E 在y 轴上····································································································· 1分 理由如下：连接AO ，如图所示，在Rt ABO △中，1AB =，BO ，2AO ∴=1sin 2AOB ∴∠=，30AOB ∴∠= 由题意可知：60AOE ∠= 306090BOE AOB AOE ∴∠=∠+∠=+=点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上．3分（2）过点D 作DM x ⊥轴于点M1OD =，30DOM ∠=∴在Rt DOM △中，12DM =，2OM =点D 在第一象限，∴点D的坐标为122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ·································································································· 5分 由（1）知2EO AO ==，点E 在y 轴的正半轴上 ∴点E 的坐标为(02)，∴点A的坐标为( ···································································································· 6分 抛物线2y ax bx c =++经过点E ， 2c ∴=由题意，将(A ，12D ⎫⎪⎪⎝⎭，代入22y ax bx =++中得32131242a a ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩解得89a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求抛物线表达式为：28299y x x =--+ ····························································· 9分 （3）存在符合条件的点P ，点Q ． ················································································ 10分 理由如下：矩形ABOC 的面积3AB BO ==∴以O B P Q ，，，为顶点的平行四边形面积为由题意可知OB 为此平行四边形一边， 又3OB = OB ∴边上的高为2 ········· 11分依题意设点P 的坐标为(2)m ，点P在抛物线28299y x x =--+上282299m m ∴--+= 解得，10m =，28m =-1(02)P ∴，，228P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB ∴∥，PQ OB == ∴当点1P 的坐标为(02)，时，点Q的坐标分别为1(Q，2Q ； 当点2P的坐标为28⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭点Q 的坐标分别为32Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，42Q ⎫⎪⎪⎝⎭． ············································4、如图，在平面直角坐标系中，直线y =与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．(10)A ∴-，，(0C ································································································· 1分 点A C ，都在抛物线上， 0a c c ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ a c ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为2y x x =······························································ 3分 ∴顶点1F ⎛ ⎝⎭， ······································································································· 4分 （2）存在 ························································································································· 5分 1(0P ······················································································································· 7分 x2(2P ······················································································································9分（3）存在 ·······················································································································10分理由：解法一：延长BC到点B'，使B C BC'=，连接B F'交直线AC于点M，则点M就是所求的点．·····························································································11分过点B'作B H AB'⊥于点H．B点在抛物线233y x x=-(30)B∴，在Rt BOC△中，tan OBC∠=，30OBC∴∠=，BC=在Rt BB H'△中，12B H BB''==6BH H'=，3OH∴=，(3B'∴--，····················································12分设直线B F'的解析式为y kx b=+3k bk b⎧-=-+⎪∴⎨=+⎪⎩解得6kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y x∴=········································································································13分yy x⎧=⎪∴⎨=⎪⎩解得37xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩37M⎛∴-⎝⎭，∴在直线AC上存在点M，使得MBF△的周长最小，此时37M⎛⎝⎭，． ···14分5、如图，已知半径为1的1O与x轴交于A B，两点，OM为1O的切线，切点为M，圆心1O的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c=-++的图象经过A B，两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM的函数解析式；（3）线段OM上是否存在一点P，使得以P O A，，为顶点的三角形与x1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）圆心1O 的坐标为(20)，，1O 半径为1，(10)A ∴，，(30)B ，……1分 二次函数2y x bx c =-++的图象经过点A B ，，∴可得方程组10930b c b c -++=⎧⎨-++=⎩······················································································· 2分 解得：43b c =⎧⎨=-⎩∴二次函数解析式为243y x x =-+- ················································· 3分 （2）过点M 作MF x ⊥轴，垂足为F ． ····································································· 4分OM 是1O 的切线，M 为切点，1O M OM ∴⊥（圆的切线垂直于经过切点的半径）．在1Rt OO M △中，1111sin 2O M O OM OO ∠== 1O OM ∠为锐角，130OOM ∴∠= ······························ 5分1cos3022OM OO ∴==⨯= 在Rt MOF △中，3cos30322OF OM ===．1sin 3032MF OM ===．∴点M 坐标为322⎛ ⎝⎭， ··································· 6分设切线OM 的函数解析式为(0)ykx k =≠32k =，k ∴=······ 7分∴切线OM 的函数解析式为y x =·········································································· 8分 （3）存在． ······················································································································ 9分①过点A 作1AP x ⊥轴，与OM 交于点1P ．可得11Rt Rt APO MOO △∽△ 113tan tan 303P A OA AOP =∠==，113P ⎛∴ ⎝⎭，················································ 10分 ②过点A 作2AP OM ⊥，垂足为2P ，过2P 点作2P H OA ⊥，垂足为H ． 可得21Rt Rt APO O MO △∽△ 在2Rt OP A △中，1OA =，23cos302OP OA ∴==，在2Rt OP H △中，223cos 224OH OPAOP =∠==，2221sin 224P H OP AOP =∠==，2344P ⎛∴ ⎝⎭， ·········································· 11分 ∴符合条件的P 点坐标有13⎛ ⎝⎭，，344⎛ ⎝⎭， ··························································· 12分6、如图，将AOB △置于平面直角坐标系中，其中点O 为坐标原点，点A 的坐标为(30)，，60ABO ∠=． （1）若AOB △的外接圆与y 轴交于点D ，求D 点坐标．（2）若点C 的坐标为(10)-，，试猜想过D C ，的直线与AOB △的外接圆的位置关系，并加以说明． （3）二次函数的图象经过点O 和A 且顶点在圆上，求此函数的解析式．解：（1）连结AD ，则∠ADO ＝∠B ＝600在Rt △ADO 中，∠ADO ＝600所以OD ＝OA ÷3＝3÷3＝3 所以D 点的坐标是（0，3）（2）猜想是CD 与圆相切∵ ∠AOD 是直角，所以AD 是圆的直径又∵ Tan ∠CDO=CO/OD=1/3=3, ∠CDO ＝300∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=Rt ∠ 即CD ⊥AD ∴ CD 切外接圆于点D（3）依题意可设二次函数的解析式为 ：y=α（x －0）(x －3)由此得顶点坐标的横坐标为：x=a a 23-=23; 即顶点在OA 的垂直平分线上，作OA 的垂直平分线EF ，则得∠EFA ＝21∠B ＝300得到EF ＝3EA ＝323可得一个顶点坐标为（23，323）同理可得另一个顶点坐标为（23，321-） 分别将两顶点代入y=α（x －0）(x －3)可解得α的值分别为332-，932则得到二次函数的解析式是y=332-x(x －3)或y=932 x(x －3)7、如图1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，5OA =，4OC =．（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D E ，两点的坐标； （2）如图2，若AE 上有一动点P （不与A E ，重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（05t <<），过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N ．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A M E ，，三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．解：（1）依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴，∴在Rt ABE △中，5AE AO ==，4AB =．3BE∴==．2CE ∴=．E ∴点坐标为（2，4）． ········································································································· 2分在Rt DCE △中，222DC CE DE +=， 又DE OD =．222(4)2OD OD ∴-+= ． 解得：52CD =． D ∴点坐标为502⎛⎫⎪⎝⎭， ············································································································· 3分（2）如图①PM ED ∥，APM AED ∴△∽△．PM APED AE∴=，又知AP t =，52ED =，5AE =5522t tPM ∴=⨯=， 又5PE t =-．而显然四边形PMNE 为矩形．215(5)222PMNE t S PM PE t t t ∴==⨯-=-+矩形 ······························································· 5分21525228PMNES t ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭四边形，又5052<<∴当52t =时，PMNE S 矩形有最大值258． ··············································································· 6分 （3）（i ）若以AE 为等腰三角形的底，则ME MA =（如图①） 在Rt AED △中，ME MA =，PM AE ⊥，P ∴为AE 的中点，1522t AP AE ∴===．又PM ED ∥，M ∴为AD 的中点． 过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ，则MF 是OAD △的中位线，。

2015年广东中考数学压轴模拟题及答案1．观察规律并填空（1﹣）=•=；（1﹣）（1﹣）=•••==（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••=•=；（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••••=•=；…（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）= ．（用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥2）2．（9分）（2014年云南省）为了解本校九年级学生期末数学考试情况，销量在九年级随机抽取了一部分学生的期末数学成绩为样本，分为A、B（89～80分）、C（79～60分）、D （59～0分）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图，请你根据统计图解答以下问题：（1）这次随机抽取的学生共有多少人？（2）请补全条形统计图；（3）这个学校九年级共有学生1200人，若分数为80分（含80分）以上为优秀，请估计这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有多少？3. 如图所示，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴、y 轴分别相交于A （•-1，0）、B（3，0）、C （0，3）三点，其顶点为D ．〔注：抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为（2b a -，244ac b a-）〕．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积.4．在平面直角坐标系Oxy 中，抛物线k x x y +-=42（k 是常数）与x 轴相交于A 、B 两点（B 在A 的右边），与y 轴相交于C 点． ⑴求k 的取值范围；⑵若OBC ∆是等腰直角三角形，求k 的值．图9；O xyAB CP D10图5．如图9，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，将矩形沿AE 翻折后，点B 恰好与CD 边上的点F 重合．已知5=AB ，3=AD ． ⑴求BE ； ⑵求EAF ∠tan ．6．如图10，抛物线4212--=x x y 与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，P 是线段AB 上一动点（端点除外），过P 作AC PD //，交BC 于点D ，连接CP ． ⑴直接写出A 、B 、C 的坐标；⑵求PCD ∆面积的最大值，并判断当PCD ∆ 的面积取最大值时，以PA 、PD 为邻边的平行 四边形是否为菱形．答案：1. 分析：由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的（1﹣）和（1+）相乘得出结果．解：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=••••••…=．故答案为：．点评：此题考查算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．2. 分析：（1）抽查人数可由C等所占的比例为50%，根据总数=某等人数÷比例来计算；（2）可由总数减去A、C、D的人数求得B等的人数，再补全条形统计图；（3）用样本估计总体．用总人数1200乘以样本中测试成绩等级在80分（含80分）以上的学生所占百分比即可．解：（1）20÷50%=40（人），答：这次随机抽取的学生共有40人；（2）B等级人数：40﹣5﹣20﹣4=11（人）条形统计图如下：（3）1200××100%=480（人），这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有480人．点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．3.解：（1）由题意，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩ 解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩.∴抛物线的解析式为 y ＝－x 2＋2x ＋3．（2）由（1）可知 y ＝－（x －1）2＋4 ∴顶点D 的坐标为（1，4） 设其对称轴与x 轴的交点为E.∵S △AOC ＝12AO ·OC ＝12×1×3＝32， S 梯形OEDC ＝12（OC ＋DE ）×OE ＝12×（3＋4）×1＝72，S △DEB ＝12EB ·DE ＝12×2×4＝4，∴S 四边形ABCD ＝S △AOC ＋S 梯形OEDC ＋S △DEB ＝32＋72＋4＝9．4．⑴依题意，04)4(2>--k ……1分解不等式得，4<k ……2分⑵依题意，) , 0(k C ……3分，从而)0 , |(|k B ……5分0||4||2=+-k k k ……6分0>k 时，032=-k k ，解得3=k ；0<k 时，052=+k k ，解得5-=k ……9分（注：正确求得3=k 、5-=k 中任何一个给2分，全对给3分）．5．⑴（方法一）依题意，5==AB AF ，422=-=AD AF DF ……2分在CEF Rt ∆中，1=-=DF CD CF ，AFD DAF CFE ∠-=∠=∠090 (3)分，DAF CFE ∠=∠cos cos ……4分，所以AFADEF CF =……5分 解得35=⨯=AD AF CF EF ，所以35==EF BE ……7分 （方法二）依题意，5==AB AF ，422=-=AD AF DF ……2分 设x BE =，在CEF Rt ∆中，1=-=DF CD CF ，x BE EF ==，x CE -=3 ……3分，222)3(1x x -+=……5分，解得35==x BE ……7分 ⑵EAB EAF ∠=∠tan tan ……8分，31==AB BE ……9分．6．⑴)0 , 4(A 、)0 , 2(-B 、)4 , 0(-C ……2分（对1-2个给1分，全对2分）⑵设)0 , (x P （42<<-x ）， 因为AC PD //，所以AB BP AC PD =……3分，解得)2(322+=x PD ……4分 C 到PD 的距离（即P 到AC 的距离）)4(2245sin 0x PA d -=⨯=……5分 PCD ∆的面积383231)4)(2(31212++-=-+=⨯⨯=x x x x d PD S ……6分3)1(312+--=x S ，PCD ∆面积的最大值为3……7分PCD ∆的面积取最大值时，1=x ，34=-=x PA ，22)2(322=+=x PD ……8分因为PD PA ≠，所以以PA 、PD 为邻边的平行四边形不是菱形……9分．。

（08深圳中考题）、如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝31． （1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.（2009年烟台市）如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C点，且经过点(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ． （1） 求抛物线对应的函数表达式；图 9yxO E D CB A GABCD Oxy图 10（2） 经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P AC N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B D，重合），经过A B E ，，三点的圆交直线BC 于点F ，试判断AEF △的形状，并说明理由；（4） 当E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．OBxyA MC13- （第26题图）兴学教育——中考命题专家 中考（初三复习）数学资料兴学教育第 3 页 共 24 页（2009•临沂）如图，抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，-2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．图5图6如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限． ①当线段34PQ AB时，求tan ∠CED 的值； ②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．思路点拨1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．2．第（3）题的关键是求点E 的坐标，反复用到数形结合，注意y 轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．3．根据C 、D 的坐标，可以知道直角三角形CDE 是等腰直角三角形，这样写点E 的坐标就简单了．满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C (0，－3)，得4n =-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A (－1，0)，B (3，0)．设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，代入点B (3，0)和点C (0，－3)，得30,3.k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．（3）①因为AB ＝4，所以334PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点F 的坐标为70,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==．进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）． 过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=-=，所以tan ∠CED 23DH EH ==． ②1(12,2)P --，265(1,)22P --．兴学教育——中考命题专家 中考（初三复习）数学资料兴学教育第 5 页 共 24 页图2 图3 图4考点伸展第（3）题②求点P 的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE 的顶点E 的坐标，再求出CE 的中点F 的坐标，把点F 的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x 的较小的一个值就是点P 的横坐标．（2010•河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （-4，0），B （0，-4），C （2，0）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S 、求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点点Q 是直线y=-x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．解：（1）设抛物线的解析式为y=a （x+4）（x-2），①如图1，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，∴Q的横坐标等于P的横坐标，又∵直线的解析式为y=-x，则Q（x，-x）．兴学教育——中考命题专家 中考（初三复习）数学资料兴学教育第 7 页 共 24 页②如图2，当BO 为对角线时，知A 与P 应该重合，OP=4．四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=4，Q 横坐标为4，代入y=-x 得出Q 为（4，-4）． 故满足题意的Q 点的坐标有四个，分别是（-4，4），（4，-4），（2013•眉山）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在x 轴上，点C 、D 在y 轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c （a ≠0）经过A 、B 、C 三点，直线AD 与抛物线交于另一点M ． （1）求这条抛物线的解析式；（2）P 为抛物线上一动点，E 为直线AD 上一动点，是否存在点P ，使以点A 、P 、E 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．．∴抛物线的解析式为：y=x2+2x-3．（2）存在．△APE 为等腰直角三角形，有三种可能的情形： ①以点A 为直角顶点．如解答图，过点A 作直线AD 的垂线，与抛物线交于点P ，与y 轴交于点F ． ∵OA=OD=1，则△AOD 为等腰直角三角形，∵PA⊥AD，则△OAF 为等腰直角三角形，∴OF=1，F （0，-1）．设直线PA 的解析式为y=kx+b ，将点A （1，0），F （0，-1）的坐标代入得：解得k=1，b=-1， ∴y=x -1．将y=x-1代入抛物线解析式y=x2+2x-3得，x2+2x-3=x-1，整理得：x2+x-2=0，解得x=-2或x=1，当x=-2时，y=x-1=-3，∴P（-2，-3）；②以点P为直角顶点．此时∠PAE=45°，因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上．过点A与y轴平行的直线，只有点A一个交点，故此种情形不存在；因此点P只能在x轴上，而抛物线与x轴交点只有点A、点B，故点P与点B重合．∴P（-3，0）；③以点E为直角顶点．此时∠EAP=45°，由②可知，此时点P只能与点B重合，点E位于直线AD与对称轴的交点上，即P（-3，0）；综上所述，存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形．点P 的坐标为（-2，-3）或（-3，0）．（2010•宜宾）将直角边长为6的等腰Rt△A O C放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（-3，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接A P，当△A PE的面积最大时，求点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△A G C的面积与（2）中△A PE 的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．兴学教育——中考命题专家 中考（初三复习）数学资料兴学教育第 9 页 共 24 页解：（1）如图，∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点A （0，6）， ∴c=6．（1分） ∵抛物线的图象又经过点（-3，0）和（6，0），（2012•从化市一模）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3a 经过A（-1，0）、B（0，3）两点，与x轴交于另一点C，顶点为D．（1）求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；（2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；（3）如图（2）P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标．（1）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4 ∴D（1，4）兴学教育——中考命题专家 中考（初三复习）数学资料兴学教育第 11 页 共 24 页204．（四川省遂宁市）如图，二次函数的图象经过点D (0，397)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6． （1）求该二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA ＋PD 最小，求出点P 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．（1）设二次函数的解析式为：y=a （x-h ）2+k（2）∵点A 、B 关于直线x=4对称 ∴PA=PB∴PA+PD=PB+PD≥DB∴当点P 在线段DB 上时PA+PD 取得最小值 ∴DB 与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x 轴交于点M∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∵∠PBM=∠DBO ∴△BPM∽△BDOCD O BAyx兴学教育——中考命题专家 中考（初三复习）数学资料兴学教育第 13 页 共 24 页207．（四川省内江市）如图所示，已知点A (－1，0)，B (3，0)，C (0，t )，且t ＞0，tan ∠BAC ＝3，抛物线经过A 、B 、C 三点，点P (2，m )是抛物线与直线l ：y ＝k (x ＋1)的一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）对于动点Q (1，n )，求PQ ＋QB 的最小值；（3）若动点M 在直线l 上方的抛物线上运动，求△AMP 的边AP 上的高h 的最大值．（3）过点P作PN⊥x轴于点N，过点M作MK⊥x轴于点K，设点M的坐标为（x，-x2+2x+3），兴学教育——中考命题专家 中考（初三复习）数学资料兴学教育第 15 页 共 24 页（广东省深圳市）已知：Rt △ABC 的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA ＜OB ），直角顶点C 落在y 轴正半轴上（如图1）．（1）求线段OA 、OB 的长和经过点A 、B 、C 的抛物线的关系式．（2）如图2，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点（其中m ＞0，n ＞0），连接DP 交BC 于点E ．①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出．．．．此时点E 的坐标．②又连接CD 、CP （如图3），△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由．（1）ABxyABxyOP D E图2C图3C（注：只回答有最大面积，而没有说明理由的，不给分；点P 的坐标，或最大面积计算错误的，扣（1分）；其他解法只要合理，酌情给分．）1.（2008年四川省宜宾市）已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.（1） 求该抛物线的解析式；（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a bac a b 44,22）兴学教育——中考命题专家 中考（初三复习）数学资料兴学教育第 17 页 共 24 页满分解答：1. 解：（ 1）由已知得：310c b c =⎧⎨--+=⎩解得c=3,b =2∴抛物线的线的解析式为223y x x =-++(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4） 所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称，所以E(3,0) 设对称轴与x 轴的交点为F 所以四边形ABDE 的面积=ABO DFE BOFD S S S ∆∆++梯形=111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅ =11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9 （3）相似. 如图，BD=2222112BG DG +=+=BE=22223332BO OE +=+= DE=22222425DF EF +=+= 所以2220BD BE +=, 220DE =即： 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形所以90AOB DBE ∠=∠=︒,且22AO BO BD BE ==, 所以AOB DBE ∆∆..(2008年辽宁省十二市)如图16，在平面直角坐标系中，直线33y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线223(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．yxD EABFOG17. 解：（1）直线33y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．(10)A ∴-，，(03)C -， ··························································································· 1分 点A C ，都在抛物线上，23033a c c ⎧=++⎪∴⎨⎪-=⎩ 333a c ⎧=⎪∴⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为2323333y x x =-- ·························································· 3分 ∴顶点4313F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ································································································ 4分 （2）存在 ················································································································ 5分 1(03)P -， ·············································································································· 7分 2(23)P -， ·············································································································· 9分 （3）存在 ·············································································································· 10分 理由：解法一：延长BC 到点B '，使B C BC '=，连接B F '交直线AC 于点M ，则点M 就是所求的点．····················································································· 11分 过点B '作B H AB '⊥于点H ．A O xyBFC图16兴学教育——中考命题专家 中考（初三复习）数学资料兴学教育第 19 页 共 24 页B 点在抛物线2323333y x x =--上，(30)B ∴，在Rt BOC △中，3tan 3OBC ∠=， 30OBC ∴∠=，23BC =，在Rt BB H '△中，1232B H BB ''==，36BH B H '==，3OH ∴=，(323)B '∴--， ·················································· 12分 设直线B F '的解析式为y kx b =+233433k b k b ⎧-=-+⎪∴⎨-=+⎪⎩ 解得36332k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩33362y x ∴=- ···································· 13分 3333362y x y x ⎧=--⎪∴⎨=-⎪⎩ 解得371037x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 310377M ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时310377M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，． ····· 14分 解法二：过点F 作AC 的垂线交y 轴于点H ，则点H 为点F 关于直线AC 的对称点．连接BH 交AC 于点M ，则点M 即为所求． ················································· 11分 过点F 作FG y ⊥轴于点G ，则OB FG ∥，BC FH ∥．90BOC FGH ∴∠=∠=，BCO FHG ∠=∠ HFG CBO ∴∠=∠A O xyBFC图9HBM AO xyBF C 图10H MG同方法一可求得(30)B ，． 在Rt BOC △中，3tan 3OBC ∠=，30OBC ∴∠=，可求得33GH GC ==， GF ∴为线段CH 的垂直平分线，可证得CFH △为等边三角形，AC ∴垂直平分FH ．即点H 为点F 关于AC 的对称点．5303H ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，··············································· 12分 设直线BH 的解析式为y kx b =+，由题意得03533k b b =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 解得539533k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩553393y ∴=- ··············································· 13分 55339333y x y x ⎧=-⎪∴⎨⎪=--⎩ 解得371037x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩310377M ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时310377M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，． ······················································ 1 ∴在直19.(2008年四川省巴中市) 已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？兴学教育——中考命题专家 中考（初三复习）数学资料兴学教育第 21 页 共 24 页19. 解：（1）在2334y x =-+中，令0y = 23304x ∴-+= 12x ∴=，22x =- (20)A ∴-，，(20)B ， ··················································· 1分又点B 在34y x b =-+上 302b ∴=-+ 32b = BC ∴的解析式为3342y x =-+ ················································································ 2分 （2）由23343342y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得11194x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 2220x y =⎧⎨=⎩ ······················································· 4分 914C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，(20)B ， 4AB ∴=，94CD = ································································································ 5分 1994242ABC S ∴=⨯⨯=△ ··························································································· 6分 xyA B CE M D P N O（3）过点N 作NP MB ⊥于点PEO MB ⊥NP EO ∴∥BNP BEO ∴△∽△ ································································································· 7分 BN NP BE EO∴= ··········································································································· 8分 由直线3342y x =-+可得：302E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴在BEO △中，2BO =，32EO =，则52BE = 25322t NP ∴=，65NP t ∴= ························································································· 9分 16(4)25S t t ∴=- 2312(04)55S t t t =-+<< ······················································································ 10分 2312(2)55S t =--+ ······························································································· 11分 此抛物线开口向下，∴当2t =时，125S =最大 ∴当点M 运动2秒时，MNB △的面积达到最大，最大为125． （2010•内江）如图，抛物线y=mx2-2mx-3m （m ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．（1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A 、B 两点的坐标；（2）经探究可知，△BCM 与△ABC 的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使△BCM 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由兴学教育——中考命题专家 中考（初三复习）数学资料 兴学教育第 23 页 共 24 页 满分解答：（1）∴A 、B 两点的坐标为（-1，0）、（3，0）．（4分）（3）存在使△BCM 为直角三角形的抛物线； 《3题图》 过点C 作CN ⊥DM 于点N ，则△CMN 为Rt △，CN=OD=1，DN=OC=3m ， ∴MN=DM-DN=m ．∴CM 2=CN 2+MN 2=1+m 2；在Rt △OBC 中，BC 2=OB 2+OC 2=9+9m 2，在Rt △BDM 中，BM 2=BD 2+DM 2=4+16m 2；①如果△BCM 是Rt △，且∠BMC=90°，那么CM 2+BM 2=BC 2， 即1+m 2+4+16m 2=9+9m 2，②如果△BCM 是Rt △，且∠BCM=90°，那么BC 2+CM 2=BM 2， 即9+9m 2+1+m 2=4+16m 2，解得m=±1，∵m ＞0，∴m=1；∴存在抛物线y=x 2-2x-3，使得△BCM 是Rt △；③如果△BCM 是Rt △，且∠CBM=90°，那么BC 2+BM 2=CM 2，。