九年级数学全册解题技巧专题圆中辅助线的作法练习

解题技巧专题：圆中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一 遇弦过圆心作弦的垂线或连半径1．如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD ＝2，tan ∠OAB ＝12，则AB 的长是( ) A ．4 B .23 C ．8 D .43第1题图 第2题图2．如图，已知⊙O 的半径OD 与弦AB 互相垂直，垂足为点C ，若AB ＝16cm ，CD ＝6cm ，⊙O 的半径为________．◆类型二 遇直径添加直径所对的圆周角3．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D ，E 都是⊙O 上的点，则∠ACE ＋∠BDE 等于( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°第3题图 第4题图4．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 是直径，∠B ＝40°，则∠ACD 的度数是________．5．如图，△ABC 的顶点均在⊙O 上，AD 为⊙O 的直径，AE ⊥BC 于E.求证：∠BAD ＝∠EAC.◆类型三 遇切线连接圆心和切点6．已知⊙O 的半径为1，圆心O 到直线l 的距离为2，过l 上任一点A 作⊙O 的切线，切点为B ，则线段AB 长度的最小值为( )A ．1B . 2C . 3D ．27．如图，从⊙O 外一点A 引圆的切线AB ，切点为B ，连接AO 并延长交圆于点C ，连接BC.若∠A ＝26°，则∠ACB 的度数为________．8．★如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于N.(1)求证：∠ADC ＝∠ABD ；(2)求证：AD 2＝AM·AB ；(3)若AM ＝185，sin ∠ABD ＝35，求线段BN 的长．参考答案与解析1．C 2.253cm 3.C 4.50° 5．证明：连接BD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴∠BAD ＋∠D ＝90°.∵AE 是△ABC 的高，∴∠AEC ＝90°，∴∠EAC ＋∠ACB ＝90°.∵∠D ＝∠ACB ，∴∠BAD ＝∠EAC .6．C 7.32°8．(1)证明：连接OD .∵CD 是⊙O 的切线，∴∠ADC ＋∠ADO ＝90°.又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠ADO ＋∠ODB ＝90°，∴∠ADC ＝∠ODB .又∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠ABD ，∴∠ADC ＝∠ABD .(2)证明：由(1)得∠ADC ＝∠ABD ，∠ADB ＝90°.又∵AM ⊥MN ，∴∠AMN ＝∠ADB ＝90°，∴△ADM ∽△ABD ，∴AD AB ＝AM AD，∴AD 2＝AM ·AB . (3)解：由(1)知∠ADC ＝∠ABD ，∴sin ∠ADC ＝sin ∠ABD ＝35，∴AM AD ＝35.又∵AM ＝185，∴AD ＝6，∴AB ＝AD sin ∠ABD＝10.在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD ＝AB 2－AD 2＝8.∵∠BND ＝∠BDA ＝90°，∴∠BDN ＋∠MDA ＝90°，∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠BDN ＝∠BAD ，∴△DBN ∽△ABD ，∴BN BD ＝DB AB ，∴BN ＝BD 2AB ＝325.。

与圆有关的协助线的做法一、造直角三角形法1.组成Rt△,常连结半径例1.过⊙O内一点M,最长弦AB=26cm,最短弦CD=10cm,求AM长;2.遇有直径,常作直径上的圆周角例是⊙O的直径,AC切⊙O于A,CB交⊙O于D,过D作⊙O的切线,交AC于E.求证:CE=AE;3.遇有切线,常作过切点的半径例3.割线AB交⊙O于C、D,且AC=BD,AE切⊙O于E,BF切⊙O于F.求证:∠OAE=∠OBF;4.遇有公切线,常结构Rt△(斜边长为圆心距,向来角边为两半径的差,另向来角边为公切线长)例4.小⊙O1与大⊙O2外切于点A,外公切线BC、DE分别和⊙O1、⊙O2切于点B、C和D、E，并订交于P，∠P=60°。

求证：⊙O1与⊙O2的半径之比为1：3；5．正多边形有关计算常结构Rt△例5.⊙O的半径为6,求其内接正方形ABCD与内接正六边形AEFCGH的公共局部的面积.二、欲用垂径定理常作弦的垂线段例是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F.(1)求证:EC=DF;(2)假定AE=2,CD=BF=6,求⊙O的面积;三、变换割线与弦订交的角，常组成圆的内接四边形例是⊙O直径,弦CD⊥AB,M是上一点,AM延伸线交DC延伸线于F.求证:∠F=∠ACM;四、切线的综合运用1．过圆上的点，常 _________________例8.如图，：⊙O1与⊙O2外切于P，AC是过P点的割线交⊙O1于A，交⊙O2于C，过点O1的直线AB⊥BC于B.求证：BC与⊙O2相切.1/2例9.如图，AB是⊙O的直径，AE均分∠BAF交⊙O于E，过E点作直线与AF垂直交AF延伸线于D点，且交AB于C 点．求证：CD与⊙O相切于点E．2.两个条件都没有,常___________________例10.如图，AB是半圆的直径，AM⊥MN，BN⊥MN，假如AM+BN＝AB，求证:直线MN与半圆相切；例11.等腰△ABC中,AB=AC,以底边中点D为圆心的圆切AB边于E点.求证:AC与⊙D相切;例12．菱形ABCD两对角线交于点O，⊙O与AB相切。

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第 8 题图
第 9 题图
9．如图，AB 切⊙O 于点 B，OA＝2 3
ห้องสมุดไป่ตู้
，∠BAO＝60°，弦 BC∥OA，则B︵C的长为
_________(结果保留 π)．
答案：
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点 E.
(1)求证：BE＝CE；
(2)若∠B＝70°，求D︵E的度数；
(3)若 BD＝2，BE＝3，求 AC 的长．
第 3 题图
第 4 题图
4．如图，一个宽为 2cm 的刻度尺在圆
形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相
切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读
数恰好是“2”和“10”(单位：cm)，那么该光
盘的直径是________cm.
◆类型二 遇直径添加直径所对的圆
周角
5．(2016·玉林中考)如图，CD 是⊙O
的直径，已知∠1＝30°，则∠2 的度数为
（）
A．30° B．45° C．60° D．70°
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◆类型三 遇切线连接圆心和切点 8． 如 图 ， 已 知 △ABC， AB＝ BC， 以
________cm.
第 5 题图 第 6 题图
6． 如 图 ， ⊙O 是 △ABC 的 外 接 圆 ，
∠B＝60°，AC＝8，则⊙O 的直径 AD 的长
度为（ ）
8 3 16 3
A．16 B．4 C. D.
3
3
7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以
AC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D，交 BC 于

解题技巧专题：圆中辅助线的作法——形成思维定式，快速解题◆类型一遇弦加弦心距或半径1．如图，已知⊙O的半径为10，弦AB＝12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（）A．5 B．7 C．9 D．11第1题图第2题图2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（）A．4 3 B．6 3 C．2 3 D．83．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC.若∠CAB＝22.5°，CD＝8cm，则⊙O的半径为________cm.第3题图第4题图4．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位：cm)，那么该光盘的直径是________cm.◆类型二遇直径添加直径所对的圆周角5．(2016·玉林中考)如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．70°第5题图第6题图6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，AC＝8，则⊙O的直径AD的长度为（）A．16 B．4 C.833 D.16337．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.(1)求证：BE＝CE；(2)若∠B＝70°，求DE︵的度数；(3)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．◆类型三遇切线连接圆心和切点8．如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是（）A．3 B．4 C.256 D.258第8题图第9题图9．如图，AB切⊙O于点B，OA＝23，∠BAO＝60°，弦BC∥OA，则BC︵的长为_________(结果保留π)．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为_______．答案：初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30 菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等34 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的36 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。