高考数学大二轮专题复习 第二编 专题整合突破 专题二 函数与导数 第一讲 函数的图象与性质适考素能特

感悟高考
1．高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及 分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或 第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求 值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．
2．此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导 数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大．
函数 y＝ln (1－x)的定义域为{x|1－x>0}，则 B＝{x|x<1}，
所以 A∩B＝{x|－4≤x<1}，故选 C.
2x，x≤1， (2)已知函数 f(x)＝2－f(x－2)，x>1， 则 f(2 022)＝
A．14
B．12
C．0
D．1
【解析】∵函数 f(x)＝22x－，f(xx≤－12，)，x>1， ，
7．(2022·全国乙卷)若 f(x)＝ln a＋1－1 x＋b 是奇函数，则 a＝__－__12___， b＝___l_n_2__．
【解析】 因为函数 f(x)＝ln a＋1－1 x＋b 为奇函数，所以其定义域 关于原点对称．
由 a＋1－1 x≠0 可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，
所以 x＝a＋a 1＝－1，解得 a＝－12， 即函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)， 再由 f(0)＝0 可得，b＝ln 2. 即 f(x)＝ln －21＋1－1 x＋ln 2＝ln 11－＋xx， 在定义域内满足 f(－x)＝－f(x)，符合题意．
2．(2021·全国甲卷)设函数 f(x)的定义域为 R，f(x＋1)为奇函数，f(x
＋2)为偶函数，当 x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若 f(0)＋f(3)＝6，则 f92＝

年全国高考数学第二轮复习-专题二-函数与导数第讲－导数及其应用－理
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专题二 函数与导数第3讲 导数及其应用
真题试做
１.(20１2·课标全国高考,理12)设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y＝ｌn(2ｘ)上,则|PQ|的最小值为( ）．
（１）求a的值；
(２)求函数f(x)的极值.
6.(2012·山东高考,理22)已知函数f（x)= （k为常数，e=２.7１8 28…是自然对数的底数)，曲线y=f(ｘ）在点(１，f(1))处的切线与x轴平行.
(１)求k的值;
（2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(ｘ)=(x2+x）f′(x）,其中f′(x)为ｆ(x）的导函数，证明：对任意x>0,ｇ(x)＜1＋e-2．
(３）在（2)的条件下，是否存在实数ｂ，使得函数ｇ(x)＝bx的图象与函数f(ｘ)的图象恰有3个交点?若存在，请求出实数b的取值范围;若不存在，试说明理由.
规律方法利用导数研究函数极值的一般步骤:（１)确定函数的定义域；(2)求函数f（x)的导数ｆ′(x);(3)①若求极值,则先求出方程ｆ′(x)＝0的根,再检验f′(x）在方程根左右边ｆ′(x)的符号，求出极值.当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内.②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x）＝０根的大小或存在情况，从而求解．
(1)当a=2时,求函数ｆ(x)的单调递增区间；
(2）若函数ｆ(x)在(-1,1）上单调递增,求a的取值范围.
规律方法利用导数研究函数单调性的一般步骤:
(１）确定函数的定义域;

第1讲 函数的图象与性质[考情考向·高考导航]1．高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．2．对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题．3．对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．[真题体验]1．(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：B [y ＝ln x 过点(1,0)，(1,0)关于x ＝1的对称点是(1,0)，而只有B 选项过此点，故选B.]2．(2019·全国Ⅱ卷)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x－1，则当x <0时，f (x )＝( )A ．e －x－1 B ．e －x＋1 C ．－e －x －1D ．－e －x＋1解析：D [当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝e －x－1， 又∵f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝e －x－1， 即f (x )＝－e －x＋1.]3．(2018·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝e x－e －xx2的图象大致为( ) 解析：B [∵f (－x )＝e －x －e x －x 2＝－e x －e －xx 2＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数，排除选项A ；又∵f (1)＝e －1e>1，排除选项C 、D ，故选B.]4．(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)解析：D [画出函数f (x )的图象如图，①当2x ＜0，x ＋1≥0时f (x ＋1)＜f (2x )成立，∴－1≤x ＜0.②当2x ≤0，x ＋1≤0时，要使f (x ＋1)＜f (2x )成立，只需x ＋1＞2x ，∴x ≤－1.由①②知满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是(－∞，0)．][主干整合]1．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．函数的性质 (1)单调性对于函数y ＝f (x )定义域内某一区间D 上的任意x 1，x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0(＜0)⇔y ＝f (x )在D 上是增(减)函数；对于函数y ＝f (x )定义域内某一区间D 上的任意x 1，x 2，f x 1－f x 2x 1－x 2＞0(＜0)⇔y＝f (x )在D 上是增(减)函数．(2)奇偶性对于定义域(关于原点对称)内的任意x ，f (x )＋f (－x )＝0⇔y ＝f (x )是奇函数； 对于定义域(关于原点对称)内的任意x ，f (x )－f (－x )＝0⇔y ＝f (x )是偶函数． (3)周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a (a ≠0)；②若满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a (a ≠0)； ③若满足f (x ＋a )＝1f x，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a (a ≠0)； ④若函数满足f (x ＋a )＝－1f x，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a (a ≠0)．(4)对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a .②若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．③若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．热点一 函数及其表示[题组突破]1．(2020·苏州模拟)函数f (x )的定义域是[0,3]，则函数y ＝f 2x －1lg 2－x的定义域是____________________．解析：因为函数f (x )的定义域是[0,3]，所以由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x －1≤3，2－x ＞0，lg 2－x ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ≤2，x ＜2，x ≠1.即12≤x ＜2且x ≠1， 即函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ＜2且x ≠1. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ＜2且x ≠12．(2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．解析：因为f (x ＋4)＝f (x )，函数的周期为4，所以y ＝sin(2x ＋4)，f (15)＝f (－1)，f (－1)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，∴f (f (15))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22. 答案：223．(2017·课标全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1的x的取值范围是________．解析：由题意：g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋32，x ≤02x＋x ＋12，0＜x ≤122＋12x －1，x ＞12，函数g (x )在区间(－∞，0]，⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞三段区间内均单调递增，且：g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝1,20＋0＋12＞1，(2＋1)×20－1＞1，据此x 的取值范围是：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞4．(多选题)在下列四组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1B ．f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x <－1C ．f (x )＝1，g (x )＝(x ＋1)0D ．f (x )＝x2x，g (x )＝x x2解析：BD [本题考查判断两个函数是否相同．对于A ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一函数；对于B ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为R ，f (x )与g (x )的定义域相同，f (x )＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x <－1，对应关系相同，则f (x )与g (x )是同一函数；对于C ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一函数；对于D ，函数f (x )＝x2x＝1(x >0)，g (x )＝x x2＝1(x >0)的定义域与对应法则均相同，是同一函数．故选BD.]函数及其表示问题的注意点1．求函数的定义域时，要全面地列出不等式组，不可遗漏，并且要注意所列不等式中是否包含等号．2．对于分段函数解方程或不等式的问题，要注意在所应用函数解析式对应的自变量的范围这个大前提，要在这个前提条件下解决问题．热点二 函数的图象及其应用[例1] (1)(2019·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( ) [解析] D [∵f (－x )＝sin －x －xcos －x ＋－x 2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A.当x ＝π时，f (π)＝π－1＋π2＞0，排除B ，C.故选D.](2)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A ．{x |－1＜x ≤0} B ．{x |－1≤x ≤1} C ．{x |－1＜x ≤1} D ．{x |－1＜x ≤2} [解析]C [令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．]识图、用图的方法技巧(1)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围，变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．如例1(1)(2)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．如例1(2)(1)(2019·南昌三模)函数f (x )＝x e －x －e x4x 2－1的部分图象大致是( ) 解析：B [因为函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，f (－x )＝－xe x－e－x4x 2－1＝x e －x －e x 4x 2－1＝f (x )，所以f (x )为偶函数， 所以f (x )的图象关于y 轴对称，故排除A ，令f (x )＝0，即x e －x －e x4x 2－1＝0，解得x ＝0， 所以函数f (x )只有一个零点，故排除D ， 当x ＝1时，f (1)＝1e－e 3＜0，故排除C ，综上所述，只有B 符合．](2)(2019·德州三模)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．解析：f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图中实线所示．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4.故当x ＝4时，f (x )取最大值，又f (4)＝6，所以f (x )的最大值为6.答案：6热点三 函数的性质及其应用数学 抽象 素养数学抽象——抽象函数与函数的“三性”函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性.确定函数的单调性、奇偶性、对称性等[例2] (1)(2019·唐山调研)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称[解析] C [由题意知，f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误；又f ′(x )＝1x －12－x ＝21－xx 2－x (0＜x ＜2)，在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减，A 、B 错误．故选C.](2)(2019·大同三模)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ [解析] A [f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )＞f (2x －1)⇔f (|x |)＞f (|2x －1|)⇒|x |＞|2x －1|⇒13＜x ＜1.]函数性质的综合应用[例3] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50[解析] C [f (x )是奇函数，图象关于原点对称，又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )关于x ＝1对称，故知f (x )是周期函数，周期T ＝4. 又∵f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (4)＝f (－2)＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0＋(－2)＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.](2)(2019·武汉三模)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫1－2e x ＋1，则( ) A ．f (－3)＜f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (－3)＜f (2) C ．f (2)＜f (－3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 D ．f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (－3) [解析] D [因为f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x )＝f (x ＋2)，即函数的周期是2， 当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2e x ＋1＝x ·e x－1e x ＋1，则f (－x )＝－x ·e －x－1e －x ＋1＝－x ·1－e x1＋e x＝x ·e x－1e x ＋1＝f (x )，则函数f (x )为偶函数，当0≤x ＜1时，函数y ＝x 为增函数，y ＝1－2e x ＋1也为增函数，则函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2e x ＋1＝x ·e x－1e x ＋1在0≤x ＜1为增函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (1)，f (2)＝f (0)，则f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f (1)，即f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (－3)．]函数三个性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性． (3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．(1)(2019·贵阳调研)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________.解析：∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R 上偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6. 答案：6(2)(2019·青岛三模)已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R )在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断：①f (5)＝0；②f (x )在[1,2]上是减函数；③函数y ＝f (x )没有最小值；④函数f (x )在x ＝0处取得最大值；⑤f (x )的图象关于直线x ＝1对称．其中正确的序号是________．解析：因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以函数y ＝f (x )(x ∈R )关于点(1,0)对称，且周期为4，画出满足条件的图象，结合图象可知①②④正确．答案：①②④限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2020·湖北部分重点中学起点考试)已知函数f (x )＝(e x ＋e －x)ln 1－x 1＋x －1，若f (a )＝1，则f (－a )＝( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：D [解法一 由题意，f (a )＋f (－a )＝(e a ＋e －a )ln 1－a 1＋a －1＋(e a ＋e －a)ln 1＋a 1－a －1＝(e a ＋e －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1－a 1＋a ＋ln 1＋a 1－a －2＝－2，所以f (－a )＝－2－f (a )＝－3，故选D.解法二 令g (x )＝f (x )＋1＝(e x ＋e －x )ln 1－x 1＋x ，则g (－x )＝(e －x ＋e x )ln 1＋x 1－x＝－(e x＋e－x)ln 1－x1＋x＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以f (－a )＝g (－a )－1＝－g (a )－1＝－f (a )－2＝－3，故选D.]2．(2020·唐山摸底)设函数f (x )＝x (e x ＋e －x)，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：A [通解 由已知可知，f (－x )＝(－x )(e －x＋e x )＝－x (e x ＋e －x)＝－f (x )，故f (x )为奇函数．f ′(x )＝e x ＋e －x ＋x (e x －e －x )，当x ＞0时，e x ＞e －x ，所以x (e x －e －x )＞0，又e x＋e －x＞0，所以f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，故选A.优解 根据题意知f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．又f (1)＜f (2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，故选A.]3．(2019·合肥调研)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x ≥0，g x ，x ＜0，则g (f (－7))＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：D [函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x ≥0，g x ，x ＜0，设x ＜0，则－x ＞0，则f (－x )＝log 2(－x ＋1)， 因为f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x ＋1)， 所以g (x )＝－log 2(－x ＋1)(x ＜0)， 所以f (－7)＝g (－7)＝－log 2(7＋1)＝－3， 所以g (－3)＝－log 2(3＋1)＝－2.]4．(2020·大连模拟)若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0； (2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ；④f (x )＝ln(x 2＋1＋x )． 以上四个函数中，“优美函数”的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：B [由条件(1)，得f (x )是奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的减函数． 对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f (x )在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.]5．(2020·辽宁五校协作体联考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≥0时，f (x )＝(－x ＋a ＋1)log 2(x ＋2)＋x ＋m ，其中a ，m 是常数，且a ＞0.若f (0)＋f (a )＝1，则f (m －3)＝( )A ．1B ．－1C ．6D ．－6解析：C [由题意知f (0)＝a ＋1＋m ＝0，所以a ＋m ＝－1，又f (a )＝log 2(a ＋2)＋a ＋m ，f (0)＋f (a )＝1，所以log 2(a ＋2)＝2，解得a ＝2，所以m ＝－3.于是，当x ≥0时，f (x )＝(3－x)log2(x＋2)＋x－3.故f(m－3)＝f(－6)＝－f(6)＝－(－3log28＋3)＝6.故选C.] 6．(组合型选择题)函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的图象分别如图(1)(2)所示：给出下列四个命题：①方程f(g(x))＝0有且仅有6个根；②方程g(f(x))＝0有且仅有3个根；③方程f(f(x))＝0有且仅有5个根；④方程g(f(g))＝0有且仅有4个根；其中正确命题的个数是( )A．4 B．3C．2 D．1解析：B [由图象可得－2≤g(x)≤2，－2≤f(x)≤2.对于①，观察f(x)的图象，可知满足方程f(g(x))＝0的g(x)有三个不同的值，一个值在－2或－1之间，一个值为0，一个值在1与2之间．再观察g(x)的图象，由图象知，g(x)的值在－2与－1之间时对应了2个x值，g(x)＝0时对应了2个x值，g(x)的值在1与2之间时对应了2个x值，故方程f(g(x))＝0有且仅有6个根，故①正确．对于②，观察g(x)的图象，可知满足g(f(x))＝0的f(x)有两个不同的值，一个值处于－2与－1之间，另一个值处于0与1之间．观察f(x)的图象，知f(x)的值在－2与－1之间时对应了1个x值，f(x)的值在0与1之间时对应了3个x值，所以方程g(f(x))＝0有且仅有4个根，故②不正确．对于③，观察f(x)的图象，可知满足方程f(f(x))＝0的f(x)有3个不同的值，一个值在－2与－1之间，一个值为0，一个值在1与2之间．再观察f(x)的图象，由图象知f(x)的值在－2与－1之间时对应了1个x值，f(x)＝0时对应了3个x值，f(x)的值在1与2之间时对应了1个x值，故方程f(f(x))＝0有且仅有5个根，故③正确．对于④，观察g(x)的图象，可知满足方程g(g(x))＝0的g(x)有2个不同的值，一个值在－2与－1之间，一个值在0与1之间．再观察g(x)的图象，由图象可知g(x)的值在－2与－1之间时对应了2个x值，g(x)的值在0与1之间时对应了2个x值，故方程g(g(x))＝0有且仅有4个根，故④正确．综上所述，正确命题的个数是3.故选B.]7．(2019·广州二模)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2 022)的值为( ) A．2 018 B．－2 018C．0 D．4解析：C [依题意得，函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0对称，因此函数y ＝f (x )是偶函数，且f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，即f (2)＝f (2)＋f (2)，所以f (2)＝0，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数y ＝f (x )是以4为周期的函数，f (2 022)＝f (4×505＋2)＝f (2)＝0.]8．(2019·苏州调研)函数y ＝sin 2x1－cos x 的部分图象大致为( )解析：C [令f (x )＝sin 2x1－cos x，∵f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，∴排除选项A ，D.由1－cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z )， 故函数f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin －2x 1－cos －x ＝－sin 2x1－cos x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，∴排除选项B.故选C.] 9．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)．当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x ＋b |的图象为( )解析：B [因为x ∈(0,4)，所以x ＋1＞1，所以f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2 x ＋1×9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＝2时取等号，且f (x )的最小值为1，所以a ＝2，b＝1，所以g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|，其图象关于直线x ＝－1对称，又g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，所以B.]10．(2020·河北衡水中学模拟)已知函数f (x )＝22 019x＋1＋sin x ，其中f ′(x )为函数f (x )的导数，则f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)等于( )A ．2B ．2 019C ．2 018D ．0解析：A [由题意得f (x )＋f (－x )＝2， ∴f (2 018)＋f (－2 018)＝2，由f (x )＋f (－x )＝2可得f (x )－1＋f (－x )－1＝0， ∴y ＝f (x )－1为奇函数， ∴y ＝f (x )－1的导函数为偶函数，即y ＝f ′(x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，∴f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝0，∴f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝2.故选A.]11．(2019·定州二模)已知a ＞0，设函数f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2 017B ．2 019C ．4 040D ．4 036解析：D [由题意得f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x ＋1＝2 019－22 019x＋1. 因为y ＝2 019x＋1在[－a ，a ]上是单调递增的， 所以f (x )＝2 019－22 019x＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，所以M ＝f (a )，N ＝f (－a )， 所以M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 038－22 019a ＋1－22 019－a＋1＝4 036.] 12．(2019·贵阳监测)已知函数f (x )＝2xx －1，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的图象关于点(1,2)中心对称 B ．函数f (x )在(－∞，1)上是增函数C ．函数f (x )的图象上存在不同的两点A 、B ，使得直线AB ∥x 轴D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称 解析：A [因为f (x )＝2x x －1＝2x －1＋2x －1＝2x －1＋2，所以该函数图象可以由y ＝2x的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f (x )的图象关于点(1,2)中心对称，A 正确，D 错误；易知函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，故B 错误；易知函数f (x )的图象是由y ＝2x的图象平移得到的，所以不存在不同的两点A 、B ，使得直线AB ∥x 轴，C 错误．故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2020·安徽江淮十校联考)函数f (x )＝log 13(x 2＋2)＋13|x |＋1，若f (2x ＋1)≥f (x )，则实数x 的取值范围是____________．解析：易知f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴|2x ＋1|≤|x |，解得－1≤x ≤－13，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－1314．(2019·北京卷)设函数f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)．若f (x )为奇函数，则a ＝____________；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是____________．解析：若函数f (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，e －x ＋a e x ＝－(e x ＋a e －x)恒成立，即(a ＋1)(e x ＋e －x )＝0恒成立，欲(a ＋1)(e x ＋e －x)＝0对任意的x 恒成立．需a ＋1＝0，即a ＝－1时，所以a ＝－1.若函数f (x )＝e x ＋a e －x 是R 上的增函数，则f ′(x )＝e x －a e －x ≥0恒成立，a ≤e 2x，a ≤0. 即实数a 的取值范围是(－∞，0]． 答案：－1 (－∞，0]15．(2020·湖北省八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x 2＋a ln x ＋b ，x ＞0，e x ＋12，x ≤0，若f (e 2)＝f (1)，f (e)＝43f (0)，则函数f (x )的值域为________________．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＋b ＝b ，1＋a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，∴当x ＞0时，f (x )＝(ln x )2－2ln x ＋3＝(ln x －1)2＋2≥2；当x ≤0时，12＜e x ＋12≤e 0＋12＝32，则函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32∪[2，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32∪[2，＋∞)16．(2020·辽宁五校联考)如果定义在R 上的函数f (x )满足：对任意的x 1≠x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)≥x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称f (x )为“H 函数”，给出下列函数：①y ＝－x 3＋x ＋1；②y ＝3x －2(sin x －cos x )③y ＝1－e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x x ≥1，0x ＜1；⑤y ＝xx 2＋1.其中是“H 函数”的是________．(写出所有满足条件的函数的序号)解析：因为x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)≥x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，所以f (x 1)(x 1－x 2)－f (x 2)(x 1－x 2)≥0，即[f (x 1)－f (x 2)](x 1－x 2)≥0，分析可得，若函数f (x )为“H 函数”，则函数f (x )为增函数或常函数．对于①，y ＝－x 3＋x ＋1，则y ′＝－3x 2＋1，所以y ＝－x 3＋x ＋1既不是R 上的增函数也不是常函数，故其不是“H 函数”；对于②，y ＝3x －2(sin x －cos x )，则y ′＝3－2(cos x ＋sin x )＝3－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＞0，所以y ＝3x －2(sin x －cos x )是R 上的增函数，故其是“H 函数”；对于③，y ＝1－e x是R 上的减函数，故其不是“H 函数”；对于④，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x x ≥1，0x ＜1，当x ＜1时，是常函数，当x ≥1时，是增函数，且当x ＝1时，ln x＝0，故其是“H函数”；对于⑤，y＝xx2＋1，当x≠0时，y＝1x＋1x，不是R上的增函数也不是常函数，故其不是“H函数”．所以满足条件的函数的序号是②④.答案：②④。

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专题一函数与导数、不等式第1讲函数、函数与方程及函数的应用练习理一、填空题1。

（2016·南通调研）函数f(x)＝ln x＋错误!的定义域为________.解析要使函数f（x)＝ln x＋错误!有意义，则错误!解得0＜x≤1，即函数定义域是(0，1］.答案（0，1］2。

(2011·江苏卷)函数f(x)＝log5（2x＋1)的单调增区间是________.解析函数f(x)的定义域为错误!，令t＝2x＋1(t＞0）。

因为y＝log5t在t∈（0，＋∞)上为增函数，t＝2x＋1在错误!上为增函数,所以函数y＝log5（2x＋1）的单调增区间为错误!.答案错误!3.(2016·苏州调研）函数f(x)＝{2x，x≤0，，－x2＋1，x＞0的值域为________。

解析当x≤0时，y＝2x∈(0，1］；当x＞0时,y＝－x2＋1∈（－∞，1）.综上, 该函数的值域为(－∞,1]。

答案(－∞，1]4。

（2016·江苏卷)定义在区间［0，3π］上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________.解析在区间［0，3π]上分别作出y＝sin 2x和y＝cos x的简图如下:由图象可得两图象有7个交点。