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同余的性质-人教A版选修4-6 初等数论初步教案教学目标1.了解同余的定义和常见性质2.能够通过同余的性质简化计算3.能够应用同余的性质解决实际问题教学重点1.同余的定义和性质2.同余的应用教学难点1.同余的性质证明2.同余的应用题目解题教学过程导入同学们在学习取模运算时，一定还记得取模运算的定义：对于任意整数a、b和正整数n，称a与b模n同余，当且仅当n|(a-b)，记作a≡b(mod n)。
这个定义中的“≡”是同余符号，n称为模数。
换句话说，a与b模n同余，表示a和b除以n所得的余数相同。
了解同余的性质同余具有如下性质：1.自反性：a≡a(mod n)，即任意整数a在模n下与自己同余。
2.对称性：若a≡b(mod n)，则必有b≡a(mod n)，即两个整数在模n下同余，互相转换不影响同余关系。
3.传递性：若a≡b(mod n)，b≡c(mod n)，则必有a≡c(mod n)，即若两个整数在模n下同余，而它与另一个整数又同余，则三个整数在模n下同余。
4.加法性：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a+c≡b+d(mod n)，即两个同余的整数相加或相减，其结果也与模数取模后同余。
5.乘法性：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则ac≡bd(mod n)，即两个同余的整数相乘，其结果与模数取模后同余。
应用同余的性质同余简化计算同余关系具有加减乘除的性质，可以通过同余简化计算或判断两个数是否同余。
例如：1.计算3^2019的个位数由于3^4≡1(mod 10)，因此32019≡33(mod 10)，即32019的个位数等于33=27的个位数2。
2.判断134和53是否同余由于13≡3(mod 5)，因此134≡34(mod 5)，即134和34在模5下同余。
而5^3≡0(m od 5)，因此134和53不在模5下同余。
同余判定同余关系可用于判断整数是否能整除，或整数的奇偶性等。
数论中的同余关系与应用数论是数学的一个重要分支，研究整数及其性质。
其中，同余关系是数论中的一个重要概念，它在密码学、模运算等领域中有着广泛的应用。
同余关系是指两个数除以同一个数所得的余数相等。
设a、b为整数，m为正整数，则a与b对模m同余，记作a≡b (mod m)。
简单来说，如果两个数除以同一个数所得的余数相等，那么它们满足同余关系。
例如，10除以4和14除以4的余数都为2，所以10≡14 (mod 4)。
同余关系在数论中有许多重要的性质。
首先，同余关系是一种等价关系，满足自反性、对称性和传递性。
即对于任意整数a，有a≡a (mod m)，对于任意整数a、b，若a≡b (mod m)，则b≡a (mod m)，对于任意整数a、b、c，若a≡b (mod m)且b≡c (mod m)，则a≡c (mod m)。
其次，同余关系还满足加法与乘法的性质。
即对于任意整数a1、a2、b1、b2，若a1≡b1 (mod m)且a2≡b2 (mod m)，则a1+a2≡b1+b2 (mod m)，a1a2≡b1b2 (mod m)。
同余关系在密码学中有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是在信息加密中的模运算。
模运算是指将一个数除以另一个数后得到的余数。
在密码学中，常常用模运算来对信息进行加密和解密。
通过选择合适的模数和密钥，可以实现信息的安全传输。
同时，同余关系还应用于素数的判断。
素数是指只能被1和自身整除的正整数。
利用同余关系可以判断一个数是否为素数。
若n为一个正整数，若对于任意小于n的整数a，a的n次方减去a除以n所得的余数等于0，即a^n ≡ a (mod n)，则n有可能是一个素数。
除了密码学和素数判断，同余关系还有许多其他的应用。
例如，在日历计算中，可以利用7的同余关系来确定星期几；在校园卡计算机系统中，可以利用同余关系来进行余额判断和消费记录查询；在电子电路中，可以利用同余关系来确定电压与电流之间的关系。
余数与同余解析六余数和同余1.有余数的除法各部分之间的关系：被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法2.除法算式的特征:余数＜除数3.有关余数问题的性质：性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a 和b的差能被m整除。
性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。
性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。
解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。
1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。
根据被除数﹦商×除法＋余数，算得：0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24；4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。
所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。
一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？这道题可采取经典的余数处理方法------凑。
这个凑，可不是漫无目的的凑。
而是有理有据才行。
1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。
2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。
3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37.4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。
被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数））5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37.6、结果是17+22×37即为答案。
第三章同余§ 1同余的概念及其基本性质定义1设meZ\称之为模。
若用加去除两个整数“与b所得的余数相同，则称"上对模加【可余，记作：a = b (mod /n)；若所得的余数不同，则称w,〃对模加不同余，记作："圭b(mod〃2)。
例如，8 = 1 (mod 7),:所有偶数“三0 (mod 2),所有奇数“ =1 (mod 2)。
同余是整数之间的一种关系，它具有下列性质：R a = a (mod m)；(反身性)2、若"三b (mod加)，贝肪三a (mod m)；(对称性)3、若"三b (mod m), b = c (mod m),贝h 三 c (mod 加);(传递性) 故同余关系是等价关系。
定理1整数对模加同余的充分必要条件是RP a = b + mt,r eZo证明设"=+ b = mq2 + r v 0 < r2 < m,贝l] a = b (mod m) O 打=r2 O a — b = m(q{一⑴)O I (" 一b)°性质1(1)若％三S (mod m)> a2 = b2 (mod m)> 则a x + a2 +b2 (mod /n)；(2)若"+ h = c (mod 〃?)，贝ij a = c-b (mod m)o性质2 若=/?, (mod /??), a2 =b2 (mod m),则"]5 "心(mod m)：特别地，若a = b (mod m),则畑三kb (mod加)。
定理2若比…亞三〃叶・％(mod/),兀三片(mod皿)，j = 1,2,…人则艺比…致坊‘…場三另3时灼)吓…yj (mod/)；特别地,若％三化(mod加),i = OJ2・・・，n，则心* +"心]北1 + - - +u()=b n x n +/>n_|x71'1 + …+ "o (mod 加)。
