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= r2 (mod m) △(z2) = (z2)2(mod m)=(m·a2+r)2(mod m) = ((a2)2m2+2ma2+r2) (mod m)
= r2 (mod m) 所以，△(z1)≡△(z2)(mod m), 即△(z1)R△(z2)。
一、同余关系Biblioteka 代数A上的同余关系定义: 设～是代数A=<S , * , △>的载体S上的等价关系，对一切元素a、
从上述表中可以看出cRd, b*c=d, b*d = a, 但是d与a不等价，即b*c与 b*d不等价，所以R不是关于运算*的同余关系。
一、同余关系
定理1：等价关系～关于二元运算*是一个同余关系当且仅当对 任意a、b、c、d∈S, a～b和c～d 时有ac～bd。
证明： 必要性： 设～是关于运算*的同余关系,并对任意a、b、c、d∈S,假设 a～b和c～d。a～b蕴含着ac～bc,而c～d蕴含着bc～bd。根据～ 的传递性, 得出ac～bd。 充分性： ～是一等价关系, 假设对任意a、b、c、d∈S,当a～b和c～d 时,ac～bd。因为c～c,故如果a～b,那么ac～bc。类似地,ca～cb。
a
a*c
a
b
b*c
b
△a c
△b
一、同余关系
例1：给定代数A=<I, ·>，I：整数集合，运算·为普通乘法运算，R为I 上的模k相等(k∈I+)关系, 即xRy当且仅当x≡y(mod k)，现在证明R是 关于运算·的同余关系。
证明： (a)容易看出R是I上的等价关系； (b)下面只需证明对任意a,b,c∈I，若aRb,则(a·c)R(b·c)和(c·a)R(c·b)。
证明： (a)容易看出R是I上的等价关系, (b)因此只需证明对任意z1, z2∈I，若z1Rz2, 则△(z1)R△(z2)。 若z1Rz2, 即z1≡z2(mod m),设z1=m·a1+r, z2=m·a2+r(0≼r≼m-1, a1,a2∈I), △(z1) = (z1)2(mod m)= (m·a1+r)2(mod m) = ((a1)2m2+2ma1+r2) (mod m)
离散数学（二）
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同余关系和商代数
主要内容:
11 同余关系 2 商代数 3 商代数和同态象的关系
重点和难点 :
重点: 同余关系
难点: 商代数和同态象的关系
一、同余关系
关于运算的同余关系：
设～是代数A=<S, *, △>的载体S上的等价关系,任取a,b,c∈S， (1) 当a～b时, 若有ac～bc和ca～cb, 那么我们说等价关系～在运算*
一、同余关系
定理2：设h是从A=<S, *, △>到A′=<S′, *′, △′>的一个同态。如果在A上定 义二元关系R: aRb⇔h(a)=h(b)(a、b∈S),则R是代数A上的同余关系。
证明：②再证该等价关系R是A上的同余关系。
对任意a、b、c、d∈S， i）如果aRb，则h(a)=h(b), ∴ △′h(a)= △′h(b),
设aRb, 即存在n∈I使得a-b=kn。于是(a·c)-(b·c)=tn, 因此(a·c)R(b·c) 。又乘法是可交换, 有(c·a)R(c·b) 。所以, R是关于·的同余关系。
一、同余关系
例2：给定代数A=<I, △>，I：整数集合，I上的一元运算△定义为： z∈I, △(z) = z2(mod m)(m>0)，I上的模m相等关系R为: z1Rz2 当且仅当 z1≡z2(mod m)，问：R是关于运算△的同余关系吗？
所以～关于运算*是一同余关系。
一、同余关系
自然等价关系: h是 A到A′的任一个同态, h：S→S′可诱导出一个S上的自然等价关系, 这 一关系定义如下: a、b∈S, a~b当且仅当h(a) = h(b)。
定理2: 设h是从A=<S, *, △>到A′=<S′, *′, △′>的一个同态。如果在 A上定 义二元关系R: aRb⇔h(a)=h(b)(a、b∈S),则R是代数A上的同余关系。
下具有置换性质，或者说等价关系～在运算*下仍能保持，称～ 是关于运算*的同余关系； (2) 当a～b时, 若有△a～△b, 那么我们说等价关系～在运算△下具 有置换性质, 或者说等价关系～在运算△下仍能保持，称~是关 于运算△的同余关系。
一、同余关系
同余关系定义: 设R为代数A=<S, *, △>的载体S上的等价关系, 如果在代 数运算*下仍能保持, 则称R是关于运算*的同余关系。
∵h为同态 ∴ h(a*c)=h(a)*′h(c)，h(b*d) = h(b)*′h(d)
∴ h(a*c)= h(b*d)，
∴ (a*c)R(b*d)，即R是关于运算*的同余关系。
二、商代数
回忆：设R是非空集合S上的等价关系,称划分{[a]R｜a∈S}为S关于R 的商集，记为S/R。即S/R={[a]R｜a∈S}。
∵h为同态 ∴ h(△a)=△′h(a)，h(△b)=△′h(b) ∴ h(△a)= h(△b),
由定理2可以看出，一 个同态可以诱导出一 个同余关系； 反过来， 可以证明一个同余关 系也可以导出一个同 态。
∴△aR△b，即R是关于运算△的同余关系；
ii）如果aRb，cRd，则h(a)=h(b),h(c)=h(d), ∴ h(a)*′h(c)= h(b)*′h(d)，
b、c∈S (1) 若a～b, 则ac～bc 和 ca～cb , (2) 若a～b, 则△a～△b ,
都满足, 则～称为代数A上的同余关系。～的等价类叫做关系～的 同余类。
注意：S上的等价关系～是代数A的同余关系当且仅当～关于A 的每一运算是同余的。
一、同余关系
例3：A={a,b,c,d}, 运算表(a)为在A上定义的*运算，表(b)为A 上的等价关系R，判断R是不是关于运算*的同余关系。
证明：①先证R是等价关系。对任意a、b∈S， ∵ h(a)=h(a), ∴aRa， ∴R自反； ∵若aRb, 则h(a)=h(b),有h(b)=h(a), ∴bRa，∴R对称； ∵若aRb, bRc, 则有h(a)=h(b),h(b)=h(c), ∴ h(a)=h(c), ∴aRc,∴R传递。 综上所述，R是等价关系。 ②再证该等价关系R是A上的同余关系。[证明见下页] 由①和②知R是A上的同余关系。
