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授课时间十一周第 2 次课更广泛的同态映射定义定义设V1=<S1,∘, ∙ >和V2=<S2,*, ◊>是代数系统，其中∘和*是二元运算. f: S1→S2, 且∀x,y∈S1f (x ∘y) = f(x) *f(y) , f (x ∙ y) = f(x) ◊f(y)则称f 为V1到V2 的同态映射，简称同态.设V1=<S1, ∘,∙, ∆>和V2=<S2,*, ◊, ∇>是代数系统，其中∘和*是二元运算. ∆ 和∇是一元运算，f: S1→S2, 且∀x,y∈S1f (x∘y)=f(x)*f(y), f (x∙y)=f(x)◊f(y), f (∆ x)=∇f(x)则称f 为V1到V2 的同态映射，简称同态.例V1=<Z,+>，V2=<Zn,⊕ >，Zn={0,1, … , n-1}, ⊕是模n 加. 令f：Z→Zn，f(x) = (x)mod n则f 是V1到V2 的同态.∀x, y∈Z有f(x+y) = (x+y)mod n= (x)mod n ⊕ (y)mod n= f(x) ⊕ f(y)例V1=<R,+>，V2=<R＋, ∙ >f ：R → R＋, f(x)=ex例题例1 V=<R*,⋅>, 判断下面的哪些函数是V 的自同态？(1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2(4) f(x)=1/x (5) f(x)= -x (6) f(x)=x+1解(2) , (5), (6) 不是自同态.(1) 是同态，f(x⋅y) = |x⋅y| = |x| ⋅|y| = f(x) ⋅f(y)(3) 是同态，f(x⋅y) = (x⋅y)2 = x2 ⋅y2 = f(x) ⋅f(y)(4) 是同态，f(x⋅y) = 1/(x⋅y) =1/x ⋅1/y = f(x) ⋅f(y)特殊同态映射的分类f 为V1=<S1,∘>到V2=<S2,*>的同态，则1. < f (S1),*>是V1在f下的同态像，2.同态映射f如果是单射，则称为单同态；3.如果f是满射，则称为满同态，记作V1~V2；4. 如果f是双射，则称为同构，也称代数系统V1 同构于V2，记作V1≅V2 .5. 对于代数系统V，它到自身的同态称为自同态.类似地可以定义单自同态、满自同态和自同构.同态映射的实例例2 设V=<Z,+>，∀a∈Z，令fa：Z→Z，fa(x)=ax那么fa是V的自同态.因为∀x,y∈Z，有fa(x+y) = a(x+y) = ax+ay = fa(x)+fa(y)当a = 0 时称f0为零同态；当a=±1时，称fa为自同构；除此之外其他的fa 都是单自同态.例3 设V1=<Q,+>, V2= <Q*,⋅>，其中Q*= Q-{0}，令f ：Q→Q*, f(x)=ex那么f 是V1到V2的同态映射，因为∀x, y∈Q有f(x+y) = ex+y = ex⋅ey = f(x) ⋅ f(y).不难看出f 是单同态.例4 V1=<Z,+>，V2=<Zn,⊕ >，Zn={0,1, … , n-1}, ⊕是模n 加. 令f：Z→Zn，f(x) = (x)mod n则f 是V1到V2 的满同态. ∀x, y∈Z有f(x+y) = (x+y)mod n= (x)mod n ⊕ (y)mod n= f(x) ⊕ f(y)同态映射的实例（续）例5 设V=<Zn,⊕>，可以证明恰有n 个G 的自同态，fp：Zn→Zn,fp (x) = (px)mod n，p = 0,1, … , n-1例如n = 6, 那么f0为零同态,同态像是<{ 0, ⊕} > ；f1与f5为同构；f2 与f4的同态像是<{ 0, 2, 4 }, ⊕ > ；f3 的同态像是<{ 0, 3, ⊕} > .定义：设V1=<S1,∘,k1>和V2=<S2,*,k2 >是代数系统，其中∘和*是二元运算. k1是S1的代数常数，k2是S2的代数常数，f: S1→S2, 如果满足（1）∀x,y∈S1, f (x∘y) = f(x) *f( y),（2）f(k1)＝k2则称f 为V1到V2 的同态例V1=<Z,+,0>，V2=<Zn,⊕,0 >，Zn={0,1, … , n-1}, ⊕是模n 加. 令f：Z→Zn，f(x) = (x)mod n∀x, y∈Z有f(x+y) = (x+y)mod n= (x)mod n ⊕ (y)mod n= f(x) ⊕ f(y)同时，f(0)= 0同态映射保持运算的算律设V1,V2是代数系统. o,∗是V1上的二元运算，o’,∗’是V2上对应的二元运算，如果f：V1→V2是同态，那么(1)若o运算是可交换的（可结合、幂等的），则o’运算也是可交换的（可结合、幂等的）.(2) 若o运算对∗运算是可分配的，则o’运算对∗’运算也是可分配的；若o 和∗运算是可吸收的，则o’和∗’运算也是可吸收的。
同构及同态在代数中的应用论文同构及同态在代数中的应用摘要：在近世代数的主要内容是研究所谓代数系统，即带有运算的集合，而在近世代数中同态与同构又是其一等重要的概念，在近世代数中有重要的作用。
在不同的代数系统中同态成为同构的条件不同，本文给出了同态成为同构的条件，论述了同构在不同代数系统上的一些应用，从中说明了同态与同构的重要性。
关键词：同态；同构；群；环1 代数系统的同态与同构1.1同态映射及同态的定义一个A到A的映射φ，叫做一个对于代数运算和来说的，A到A 的同态映射，假如，在φ之下，不管a和b是A的哪两个元，只要→→，b ba a就有a b a b→定义1：假如对于代数运算和来说，就有一个A到A的满射的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算和来说，A与A同态。
定义2: 我们说，一个A与A间的一一映射φ是一个对于代数运算与来说的，A与A间的同构映射（简称同构），假如在φ之下，不管a，b是A的哪两个元，只要→a a→，b b就有a b a b→1.2同态与同构的联系1）从定义上看2）一个无限集可以与它的子集同态或同构，但一个有限集只能与它的子集同态而不能同构关于代数系统的同态有以下定理：定理1 :假定，对于代数运算和来说，A与A同态。
那么，（1）若适合结合律，也适合结合律；（2）若适合交换律，也适合交换律。
定理2:假定，?，⊕都是集合A 的代数运算，?，⊕都是集合A 的代数运算，并且存在一个A 到A 的满射φ，使得A 与A 对于代数运算?，?来说同态，对于代数运算⊕，⊕来说也同态。
那么，（1）若?，⊕适合第一分配律，?，⊕也适合第一分配律；(2)若?，⊕适合第二分配律，?，⊕也适合第二分配律。
2群的同态与同构2.1群的同态与同构定义定义3：给定群(),G 和群(),G ?称集G 到集G 的一个映射φ：G G →是群G 到群G 的一个同态映射（简称同态），如果对任意a ，b ∈G ，有()()()a b a b φφφ=? 当φ是单（满）射时，称φ为单（满）同态；当φ是一一映射时，称φ为G 与G 间的同构映射（简称同构，记为G G ?）；当φ是群G 到群G 得一个同态时，令ker φ={x G ∈|()x e φ'=，e '是G 的单位元}，称之为φ的核。
400浅谈代数系统上的同态与同构何东东(陕西理工学院数学与计算机科学学院数教专业11级1班，陕西 汉中 723000)指导教师:郑红梅[摘要] 同态与同构是代数学中最重要,最基本的概念之一.本文通过总结同态与同构在各个代数系统上的一些应用,说明它们在代数学中的重要性.[关键词] 半群;群;环;格;同态;同构1 预备知识同态、同构是代数学中的重要概念,它们是研究群、环等代数系统的重要手段.同态是保持代数系统结构的映射,同态是同构的推广.同态与同构是代数学中最重要,最基本的概念之一.本文通过总结同态与同构在各个代数系统上的一些应用,说明它们在代数学中的重要性.下面首先对同态与同构的相关概念进行简单介绍.定义1.1]1[设集合A 到A 各有代数运算 和 ,且ϕ是A 到A 的一个映射.如果ϕ保持运算，即对A 中任意元素a ,b ,在ϕ之下由a a →,b b →总可得b a b a →,亦即b a b a =或)()()(b a b a ϕϕϕ =,则称ϕ为代数系统A 到A 的一个同态映射,若ϕ又是满射,则称ϕ为同态满射.如果A 到A 存在同态满射,则简称A 与A 同态,记为A A ~.定义 1.2]1[设ϕ是A 到A 的一个(关于代数运算 及 )同态满射.如果ϕ又是单射(即ϕ是双射),则称ϕ是A 到A 的一个同构映射.如果A 到A 存在同构映射,就说A 与A 同构,记为A A ≅.否则,即若A 到A 不存在任何同构映射,则称A 与A 不同构.A 到自身的同态映射,称为A 的自同态映射,简称A 的自同态.同样,A 到自身的同构映射,叫做A 的自同构映射,简称A 的自同构.定义1.3]2[设(S ,≤)是序列集,S T ⊆.如果存在S u ∈,使得)(T t u t ∈∀≤,则称u 为T 的一个上界.如果T 的一个上界u 具有如下的性质:对于T 的任一上界u ',都有u u '≤,则称u 为T 的一个最小上界,记为lub T .如果存在S l ∈使得)(T t T l ∈∀≤,则称l 为T 的一个下界.如果T 的一个下界l 具有以下性质：对于T 的任一个下界l ',都有l l ≤',则称l 为T 的一个最大下界,记为glb T .S 的上界和下界(如果存在,显然唯一)分别称为幺元和零元,记为1和0.由偏序的反对称性可知:偏序集中任意指定的两个元素的最小上界和最大下界有唯一性(如果它们存在).设），（≤L 是一个偏序集,如果L 中的任意两个元素都有最小上界和最大下界,则称），（≤L 是一个格.只含有有限多个元素的格称为有限格,否则称为无限格.定义 1.4]2[设R 是幺环,M 是一个交换群,如果映射(称R 在M 上的作用)M M R →⨯,ax x a ),(.满足下列条件:(1);,,,)(M y x R a ay ax y x a ∈∈∀+=+(2);,,,)(M x R b a bx ax x b a ∈∈∀+=+(3);,,),()(M x R b a bx a x ab ∈∈∀=(4),,1M x x x ∈∀=则称M 为环R 上的一个左模,或左R 模.如果将(3)改为;,,),()(R b a M x ax b x ab ∈∈∀=其余条件不变,则称M 为环R 上的一个右模,或右R 模.理论上讲,右模和左模没有本质的区别.如果M 为环R 上的一个右模,令R '为R 的反同构的环,则M 构成R '上的左模,当然,若R 是交换环,则R 上的左模和右模没有区别.定理1.1]3[设代数系统),( A 和)( ，A 同态，则（1）若 适合结合律, 也适合结合律;（2）若 适合交换律, 也适合交换律.定理 1.2]3[设⊗,⊕为集合A 的代数运算,⊗,⊕为集合A 的代数运算,且存在A 到A 的满射φ,使得A 与A 对于代数运算⊗,⊗来说同态,对于代数运算⊕,⊕来说也同态,那么（1）若⊗,⊕适合第一分配律,⊗,⊕也适合左分配律;（2）若⊗,⊕适合右分配律,⊗,⊕也适合右分配律. 2 主要内容下面将分别讨论群,环,格,模上同态同构在其中的应用以及比较它们在同态同构中的不同.2.1 群同态与同构定义2.1.1]4[设G 是一个非空集合, 是它的一个代数运算,如果满足以下条件:(1)结合律成立,即对G 中任意元素c b a ,,都有)()(c b a c b a =;(2)G 中有元素e ,叫做G 的左单位元,它对G 中每一个元素a 都有a a e = ;(3)对G 中每一个元素a ,在G 中都有元素1-a ,叫做a 的左逆元,使e a a =- 1;则称G 对代数运算 为一个群.定义 2.1.2]4[设G 和1G 是群,映射1:G G →ϕ称为由G 到1G 的群同态,如果ϕ保持群运算,即∀G b a ∈,,都有)()()(b a ab ϕϕϕ=.如果ϕ为单(满)射,则称ϕ为单(满)同态.定义 2.1.3]4[既单又满的同态称为同构.如果存在由G 到1G 的一个同构,则称G 同构于1G ,也说G 和1G 是同构的,记为1G G ≅.群G 到自身的同态及同构具有重要的意义,称之为群G 的自同态和自同构.)(End G 表示G 的全体自同态构成的集合,)(Aut G 表示G 的全体自同构构成的集合.对于映射的乘法,)(End G 构成一个有幺元的半群,而)(Aut G 构成一个群,称为G 的自同构群.定义2.1.4]4[像通常的映射一样,)(G ϕ称为ϕ的像,记为ϕim .又将1e 的原像称为ϕ的核,记为ϕker ,即})(|{ker 1e a G a =∈=ϕϕ.定理2.1.1]4[设1:G G →ϕ是群同态.则ϕϕim G ≅ker /.证明 记H =ϕker ,定义映射,im /:ϕψ→H G ).(a aH ϕ验证ψ是良定义的,即)(aH ψ与陪集代表a 的选取无关.如果bH aH =,即aH b ∈,则存在H h ∈使得ah b =.故)()()()()()()(aH a h a ah b bH ψϕϕϕϕϕψ=====,即ψ良定义.下面证明ψ是群同构，也就是证明ψ是单射,并且ψ也是满射. )()()()()()()))(((bH aH b a ab abH bH aH ψψϕϕϕψψ====,所以ψ是群同态.又设1)(e aH =ψ(1G 的幺元),即1)(e a =ϕ,故H a ∈,即)/(的幺元H G H aH =,所以ψ是单射.最后设ϕim g ∈,则存在G a ∈使得g a =)(ϕ.于是g a aH ==)()(ϕψ,这说明ψ必是满射.所以ψ同构.定理 2.1.2]3[设G 是一个群,G 是一个代数运算(也称为乘法)的集合.如果G G ~,那么G 也是一个群. 证明 因为G G ~,G 是群,其乘法满足结合律,故由定理1.1得,G 的乘法也满足结合律.设e 是群G 的单位元,a 是G 的任一元素,又设ϕ是G 到G 的满同态,且在ϕ之下e e →，a a → 于是a a e =,但是a ea =,故a a e = ,即e 是G 的单位元.又设1-a →1-a,则a a a a 11--→.但是e a a =-1,故e a a =-1,即1-a 是a 的逆元.因此,G 也是一个群. 本定理的意义在于,要验证一个集合G 对所指的代数运算作成群时,可找到一个已知群,并通过同态来实现.定理 2.1.3]4[设ϕ是群G 到群G 的一个同态映射(不一定是满射),则群G 的单位元的像是群G 的单位元,G 的元素a 的逆元的像是a 的像的逆元,即11--=a a 或11)()(--=a a ϕϕ.应该注意,如果集合G 与G 各有一个代数运算,且G G ~,则当G 为群时,G 却不一定是群.例 1 令G ={全体正负奇数},代数运算为数的普通乘法;又}1,1{-=G 关于数的普通乘法作成群,令ϕ:正奇数1→,负奇数-1→.则易知ϕ是G 到G 的一个同态满射,故G G ~.G 是群,但G 却不是群.当然,若G 与G 为各有一个代数运算的代数系统,且G G ≅,则当G 与G 中有一个是群时,另一个必然是群.例2 设G 是一个群,N 是G 的正规子群.令G a aN a f ∈∀=,)(.显然f 是群G 到商群N G 的满同态,这个满同态称为群G 到商群N G 的自然同态.定理2.1.4]4[设是G 到G 的同态映射(不一定是满映射),则1）当G H ≤时,有G H ≤)(ϕ且H ～)(H ϕ;2）当G H ≤时,有ϕG H ≤)(-1ϕ,且在ϕ之下诱导出)(-1H ϕ到H 的一个同态映射.证明 1）任取a ,b ）（H ϕ∈且在ϕ之下令a a →,b b →.其中H b a ∈,.由于G H ≤,故H ab ∈,且b a ab →. 从而)(H b a ϕ∈,即）（H ϕ对G 的乘法封闭,且 )(~H H ϕ.但H 是子群,从而)(H ϕ也是群且是G 的子群.2）当G H ≤时,由于)(-1H ϕ显然非空,任取)(,1H b a -∈ϕ,且在ϕ之下令a a →,b b →则11--→b a ab ,其中,H b a ∈，.而G H ≤,故H b a ∈-1,从而1-b a )(-1H ϕ→,即G H ≤)(-1ϕ且显然ϕ诱导出)(-1H ϕ到H 的一个同态映射.定理2.1.5]3[群G 到群G 的同态映射ϕ是单射的充要条件,群G 的单位元e 的逆象只有e .证明 必要性显然,下证充分性.设ϕ是群G 到群G 的任一同态映射,且在ϕ之下e 的逆象只有e .又设在ϕ之下a a →,b b →,当b a ≠时,必有b a ≠:又若b a =,则由于e b a ab =→--11,故b a e ab ==-,1,矛盾.因此,ϕ是单射.定理 2.1.6]3[设f 是群G 到G '的一个满同态.若N 是G 的正规子群,则)(N f 是G '的正规子群.证明 设N 是G 的正规子群,可得,)(N f 是G '的子群.对于任意的)(N f n ∈'和任意的G a '∈',去N n ∈和G a ∈,使得n n f '=)(,a a f '=)(. 于是,有 )()())()(()()(111N f ana f a f n f a f a n a ∈=='''---,所以)(N f 是G '的正规子群.性质1]4[任何群G 与自身同构;证明 首先,对于任何群G ,单位变换G I 就是G 到自身的一个同构,因此G G ≅.所以性质成立.性质2]4[若群1G 与群2G 同构,则群2G 与群1G 同构;证明 1G 和2G 是两个群,并且1G 2G ≅,我们有b a b a f f ''=''-))((1,b a b f f a f f b fa f f ''=''=''----))(())(())()((1111,从而)()()(111b f a f b a f''=''---.因此1-f 是群2G 到群1G 的同构,从而12G G ≅,所以性质成立. 性质3]4[若群1G 与群2G 同构,群2G 与群3G 同构,则群1G 与群3G 同构;证明 假设1G ,2G 和3G 都是群,并且21G G ≅,32G G ≅,不妨设f 是群1G 到2G 的同构,g 是群2G 到3G 的同构.容易验证,gf 是群1G 到3G 的同构,因此31G G ≅,所以性质成立.定理2.1.7]2[设G 是一个群,N 是G 的正规子群.（1） 若H 是G 的子群,则 N HN N H H )()(≅ .（2） 若H 是G 的正规子群且H N ⊆,则H G N H H G ≅)()(.推论2.1.8]4[设1:G G →ϕ是群同态,则ϕϕim G ≅ker /. 定理2.1.9]4[(Cayley 定理)任何一个群都与某个变换群同构.证明 设G 是群.对与每一个G a ∈,定义G 的变换a σ如下： G x ax x a ∈∀=,)(σ.显而易见,a σ是G 的一一变换. 令{}G a G a ∈='σ.下面我们来阐明G '是G 上的一个变换群. 事实上,显然,我们有G I e G '∈=σ.此外对于任意的a σ,G b '∈σ,我们有)())((x abx x ab b a σσσ==,)())((11x I x x aa x G a a ===--σσ, )())((11x I x ax a x G a a ===--σσ,G x ∈∀,从而,G ab b a '∈=σσσ,G a a a a I ==--σσσσ11,所以,G '是G 上的一个变换群.现在考察由下式定义的G 到G '的映射fa a f σ=)(,G a ∈∀.显而易见,f 是满射.对于任意的G b a ∈,我们有b a b f a f σσ=⇒=)()( b a e e b a =⇒=⇒)()(σσ.因此f 是单射,从而,f 是双射.此外,我们有)()()(b f a f ab f b a ab ===σσσ,G b a ∈∀,.所以f 是G 到G '的同构,从而G G '≅.推论2.1.10]4[任何一个有限群都与某个置换群同构.2.2 环同态与同构由于环是有加,乘两种运算的代数系统,因此,定义同态映射时必须同时保持加,乘的同态性.定义2.2.1]5[设R 是一个环,S 是有加法和乘法的两种运算的代数系统,称R 到S 中的一个映射σ是环R 到S 中的一个同态映射,如果 )()()(b a b a σσσ+=+,)()()(b a ab σσσ=.若R 到R '上有一个同态映射,则称R 到R '同态,记为R ～R '.定义 2.2.2]5[如果σ是环R 到R '的一个同态映射,并且σ又是双射时,则称σ为环R 到R '的一个同构映射,当R 与R '之间存在同构映射时,称环R 与R '同构,记为R R ≅,特别的,当R R =时,称σ为环的一个自同构.定理2.2.1]5[设R 是一个环，S 是一个有加法和乘法的运算系统,若σ是R 到S 中的同态映射,则)(R R σ='也是一个环;)0(σ为R '的零元0';)()(a a σσ-=-;若R 有幺元而R '不止有一个元素,则R '有幺元且,σ（1）就是R '的壹1'；若R a ∈可逆,则)(a σ在R '中可逆而且)(1-a σ就是1)(-a σ.设σ是R 到R '上的同态映射,R '的零0'的逆映像)0(1'-σ叫σ的核. 定理2.2.2]5[(环同态基本定理)设R 和R 是两个环,且R R ~.则1）这个同态的核N ,即零元的全体逆像,是R 的一个理想;2）R N R ≅/证明 设ϕ是环R 到环R 的一个同态满射.1)易知,核N 首先是环R 的一个子加群;其次,设R r N a ∈∈,,则r r a →→,0.于是在ϕ之下有00,00=→=→r ar r ra ,故N ar ra ∈,,即N 是R 的理想.2)令)(:a N a ϕσ→+,则由群同态基本定理知,作为加群,σ是N R /到R 的一个同构映射.又由于N ab N b N a +=++))((,而)()()(b a ab ϕϕϕ=,因此σ是N R /到环R 的一个同构映射,从而R N R ≅/.此定理表明,在同构意义下,每个环能而且只能与商环同态.推论2.2.3]6[设1:R R →ϕ是环同态,则1ker /R R ≅ϕ.定理 2.2.4]6[同态映射σ的核N 是R 的理想,设a '是R '的任意元素,则a '的逆映像})({)(1a a R a a '=∈='-σσ是N 的一个剩余类. 证明 因为σ是R 的加法群到R '的加法群上面的一个同态映射,所以σ的核)0(1'=-σN 是R的一个子群,且a '的逆映象)(1a '-σ是模N 的一个剩余类.现在再证N 做成理想.即证：若N a ∈，R x ∈,则N ax ∈,N xa ∈,事实上,0)()()('==x a ax σσσ,故N ax ∈,同样可证N xa ∈.对于R 的任意理想N ,是否有一个环R '而且有R 到R '的一个同态映射σ使N 刚好就是σ的核呢?答案也是肯定的.由群中已证的结果,模N 的所有剩余类按照剩余类的加法作成一个加法群,就是R 对于N 的商群N R ,规定N a a +=)(σ,即N a a +→:σ这样规定的σ便是群R 到群N R 上的一个同态映射,其核为N .规定剩余类的乘法,以使σ成为环R 到系统N R 上的同态映射.设A ,B 是N 的两个剩余类,任取A a ∈，B b ∈,规定包含ab 的剩余类N ab C +=为A 与B 的积,而AB C =,))((N b N a N ab ++=+.若另取A a ∈',B b ∈',则包含a 'b '的剩余类和包含ab 的剩余类是一样的,可见上面的乘法规定由A ，B 完全确定,与b a ,的选择无关.由σ的定义,N a a +=)(σ,N b b +=)(σ,N ab ab +=)(σ.但由上面的剩余类乘法的定义,))((N b N a N ab ++=+,故)()()(b a ab σσσ=.所以,σ是环R 到运算系统N R 上的一个同态映射.因此,N R 是一个环,于是有：定理 2.2.5]7[按照上述剩余类的加法和乘法,R 对于理想N 的所有剩余类的集合N R 是一个环,规定N a a +=)(σ,则σ是R 到N R 上的一个同态映射,其核为N .N R 叫做R 对于N 的剩余环,前面定理所说的加法和乘法的同态性,其实是说剩余环N R 中的加法和乘法运算可由剩余类中的任意元素来确定,剩余类的运算与其中元素的特殊选择无关.剩余环N R 有了这加法和乘法两种运算,就与环R 同态.定理 2.2.6]7[(第一同构定理)设R 是环,是R 的理想,则在自然同态I R R /:→π,I r r + .下,(1)R 的包含I 的子环与I R /的子环一一对应.(2)在此对应下,理想对应理想.(3)若J 是R 的理想且I J ⊇,则)/)(/(/I J I R J R ≅.定理 2.2.7]7[(第二同构定理)设R 是环,I 是R 的理想,S 是R 的子环,则(1)I S ⋂是S 的理想.(2))(/)(I S S I S I ⋂≅+.定理 2.2.8]8[若σ是环R 到R '上的一个同态映射,其核为N ,则R '与N R 同构：R '≅N R . 证明 设a '是R '的任意元素,则)(-1a 'σ是N 的一个剩余类A .规定R '的a '和这个N R 的A 对应.这样,我们规定了R '到N R 上的一个一对一映射τ,τ：N R R /→',a ' A .下面证明τ是同构,即证明：若R b a '∈'',,则)()()(b a b a '+'='+'τττ,)()()(b a b a ''=''τττ.事实上,若A a =')(σ,B b =')(τ,即N a A a +=='-)(1τ,N b B b +=='-)(1σ,其中,A a ∈B b ∈,则因b a b a '+'=+)(σ,b a ab ''=)(σ,故N b a b a ++='+'-)(1σ,N ab b a +=''-)(1σ,B A b a +='+'-)(1σ,AB b a =''-)(1σ.于是)()()(b a B A b a '+'=+=''ττσ,)()()(b a AB b a ''==''τττ.故τ是R '到N R 上的一个同构对应.定理 2.2.9]8[设环R 同态于R '：R R '~于是R 与N 间的子环与R '的子环一一对应,大环对应大环,小环对应小环,理想对应理想.2.3 其他代数系统上的同态与同构定义 2.3.1]9[(模同态与同构)设M 和T 都是R 模,T M →:ϕ是映射.如果ϕ满足下述两个条件:(1)M y x y x y x ∈∀+=+,),()()(ϕϕϕ.(2)M x R a x a ax ∈∈∀=,),()(ϕϕ.则称ϕ为M 到T 的一个R 模同态.如果ϕ又是单(满)射,则称ϕ为R 模的单(满)同态.定义 2.3.2]9[如果,ϕ既单又满,则称ϕ为模同构.此时,也称为M 和T 是同构的,记作T M ≅,由M 到T 的所有R 模同态构成的集合记为),(Hom T M R ;如果M T =,记),(Hom T M R 为)(End M R ,其元素称为M 的自同态.定义 2.3.3]10[(格同态与同构)设21:L L f →,1,L y x ∈∀有)()()(y f x f y x f ∧=∧，)()()(y f x f y x f ∨=∨则称f 为1L 到2L 的同态.如果f 是双射的,就称f 是1L <，1∨，>∧1到>∧∨<222,,L 的格同构,也称格>≤<11,L 和>≤<22,L 同构. 定理2.3.4]9[(同态基本定理)设T M →:ϕ是模同态.ϕϕim ker /→M ,)(x x ϕ是模同构,其中ϕker +=x x 是x 所代表的陪集.定理2.3.5]9[(第一同构定理)设N 为M 的子模,N M M /:→π是典范同态,则在π下的包含N 的子模与N M /一一对应,对于M 的包含N 的子模H ,有同构 )//()/(/N H N M H M →,)/()(N H x H x ++π .定理2.3.6]9[(第二同构定理)设H 和N 为M 的子模,则有同构)(/)(N H H N N H ⋂→+,)()(N H h N n h ⋂+++ ),(N n H h ∈∈∀.可以想象:环上的模的性质依赖与环的性质.环的性质越丰富,其上的模的结构就越简单.定理2.3.7]10[f 是格1L 到2L 的同态,则1,L b a ∈,)()(b f a f b a ≤⇒≤.证明 b a ≤)()()()()()()(b f a f a f b f a f a f b a f a b a ≤⇒=∧⇒=∧⇒=∧⇒.注意 )()(b f a f ≤不一定推出b a ≤.定理3.2.8]10[f 为双射.f 为格1L 到2L 的同构当且仅当)()(,,1b f a f b a L b a ≤⇔≤∈∀. 证明 必要性:)()(b f a f b a ≤⇒≤显然成立,若)()(b f a f ≤成立,则)()()(a f b f a f =∧,因为f 是同构,有)()(a f b a f =∧,由单射性a b a =∧,所以b a ≤.充分性:只须证明f 是同态映射,即：)()()(b a f b f a f ∧=∧,)()()(b a f b f a f ∨=∨.b a b b a a ∨≤∨≤,)()(),()(a f b f b a f a f ≤∨≤⇒)()()(b a f b f a f ∨≤∨⇒,2)()(L b f a f ∈∨))()()((1b f a f d f L d ∨=∈∃⇒,d b d a d f b f d f a f ≤≤⇒≤≤,)()(),()()()()(b f a f b a f d b a ∨≤∨⇒≤∨⇒)()()(b a f b f a f ∨=∨∴同理)()()(b a f b f a f ∧=∧.3 小结同态只保持两个代数系统的部分性质,而同构却能使两个代数系统的结构完全相同.但同态关系比同构易建立.虽然同态比起同构有其不足，但它的确是比同构应用更广泛也更灵活的一种研究代数系统的有效方法.在我们学习的过程中应该加强它们之间的联系与区别，这对于技术人员,工程人员,高等理工科院校本科生,研究生是必不可少的基础数学知识,有着重要的学习意义以及应用价值.参考文献[1].杨子胥.近世代数[M].北京:高等教育出版社.2011.21-107.[2].赵春来,徐明曜.抽象代数Ⅰ[M].北京:北京大学出版社.2008.143-153.[3].张禾瑞.近世代数基础（修订本)[M].高等教育出版社.1978.31-48.[4] 崔亚琼.浅谈同构在代数中的应用[J].大同职业技术学院学报,2005,1(19):75-76.[5].杨子胥.近世代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社.2003.81-105.[6].张禾瑞,郝炳新.近世代数基础[M].高等教育出版社.1988.30-42.[7].刘绍学.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社.1999.45-52.[8] 杨树生.代数系统的同态与同构[J].内蒙古民族大学学报,2004,6(19):1-2.[9] J.M.Howie:An Introduction to semigroup theory[M].London:Published for the London Mathematical Society by Academic prees Inc,1975.1-156.[10] 崔亚琼.浅谈同构在代数中的应用[J].大同职业技术学院学报,2005,1(19):75-76.A Tentative Discussion on the Homomorphism and Isomorphism of the Algebraic SystemDongdong He(Grade11,Class1, Major in Mathematics Education Speciality, School of Mathematics and ComputerScience, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000,Shaanxi)Tutor: Hongmei ZhengAbstract : One of the most important and elementary concept in algebra is homomorphism and isomorphism.The application of the homomorphism and isomorphism on several algebraic systems is summarized in this paper,which shows the importance on the algebra.Key words: Semigroup; Group; Ring; Lattic; Homomorphism; Isomorphism。
同态和同构的关系
在数学中，同态和同构是两个重要的概念，它们描述了两个代数结构之间的关系。
1.同态（Homomorphism）：同态是指将一个代数结构映射到另一个代数结构的映射，保持运算结构的性质。
如果存在两个代数结构A 和B，以及一个映射f：A→B，对于A中的任意元素a和b，满足f(a*b)=f(a)*f(b)，其中"*"表示A和B上的运算，而"="表示两个代数结构中的相等关系。
简而言之，同态保持了代数结构中的运算规则。
2.同构（Isomorphism）：同构是指两个代数结构之间存在一种双射关系，使得双射保持了运算结构和元素之间的关系。
如果存在两个代数结构A和B，以及一个映射f：A→B，满足以下条件：-f是一个双射，即对于A中的每个元素a，都存在唯一的元素b 在B中与之对应；
-对于A中的任意两个元素a1和a2，满足a1*a2=a3，则f(a1)*f(a2)=f(a3)；
-对于B中的任意元素b1和b2，满足b1*b2=b3，则存在A中的元素a1和a2，使得f(a1)=b1，f(a2)=b2，f(a1*a2)=b3。
简而言之，同构保持了代数结构中的运算规则和元素之间的一一对应关系。
因此，可以将同构看作是一种更严格的同态关系。
如果两个代数结构之间存在一个同构映射，那么它们在结构和性质上是完全相同的，只是元素的表示不同而已。
需要注意的是，在数学中，同态和同构的概念不仅仅适用于代数结构，还可以应用于其他领域，如拓扑学、图论等。
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代数系统的同态在数学中，代数系统是研究代数结构的一个分支，它包括了代数运算和相应的集合。
同态是代数系统中的一个重要概念，它描述了两个代数结构之间的映射关系。
本文将介绍代数系统的同态以及其在数学中的应用。
我们来了解一下代数系统。
代数系统是由一个非空集合和在该集合上定义的一个或多个运算组成。
常见的代数系统包括群、环、域等。
群是代数系统中最简单的一种结构，它是一个集合，其中定义了一个二元运算，并满足封闭性、结合律、单位元和逆元的条件。
环是一个集合，其中定义了两个二元运算，并满足封闭性、结合律、单位元和分配律的条件。
域是一个集合，其中定义了两个二元运算，并满足封闭性、结合律、单位元、逆元和分配律的条件。
接下来，我们来了解同态的概念。
同态是两个代数系统之间的映射，它保持代数运算的结构。
具体地说，设有两个代数系统A和B，它们的运算分别为*和∘。
如果存在一个映射f，使得对于A中的任意元素a和b，有f(a * b) = f(a) ∘ f(b)，那么我们称f是一个从A到B的同态。
换句话说，同态将A中的运算映射到B中的运算，且保持运算结构不变。
同态在数学中有着广泛的应用。
首先，同态可以帮助我们研究不同代数系统之间的关系。
通过同态，我们可以将一个复杂的代数系统映射到一个简单的代数系统中，从而简化问题的研究。
例如，我们可以将一个环映射到一个域中，这样我们就可以利用域的性质来研究环的性质。
同态可以用于证明代数系统之间的性质。
通过同态，我们可以将一个代数系统的性质转化为另一个代数系统的性质，从而简化证明过程。
例如，我们可以通过同态将一个群的性质转化为一个矩阵代数的性质，这样就可以利用矩阵的性质来证明群的性质。
同态还可以用于构造新的代数系统。
通过同态，我们可以将一个代数系统映射到另一个代数系统中，从而构造出新的代数系统。
例如，我们可以通过同态将一个环映射到一个域中，从而构造出一个新的域。
同态还可以用于解决实际问题。
通过同态，我们可以将一个实际问题映射到一个代数问题中，从而利用代数的方法来解决实际问题。
本科毕业论文论文题目：浅谈同态与同构姓名：刘永刚学号：2007051108 系（部）：数学系专业：数学与应用数学班级：2007级1班指导教师：李秀平完成时间： 2011 年 04 月摘要近世代数的主要研究内容是所谓的代数系统，即带有运算的集合.近世代数在数学的其他分支和自然科学的许多部门里都有重要的应用，在近世代数中，同态与同构是一个较为初等但又极为重要的概念，它们是相互联系又有所不同的.同态是保持代数系统结构的映射，是同构的推广.在不同的代数系统中同态成为同构的条件不同，这里阐述了同态成为同构的条件，论述了同态及同构在不同代数系统上的一些应用，从中说明了同态与同构的重要性.关键词：同态；同构；群；环AbstractThe main research contents of modern algebra is so-called algebraic system,namely the set with operations.Modern algebra has important applications in other branchs of mathematics and many departments of natural science.Homomorphism and isomorphism are of great importance and are more elementary and they are related and different as well. Homomorphism is a shine upon which keeps the structure of the system of algegbra,and a extender of isomorphism. We first introduce the concepts of homomorphism and isomorphism and analyze the difference and relation of homomorphism and isomorphism. The condition on which homomorphism becomes isomorphism is given and we show some applications of homomorphism and isomorphism in different algebra systems, which illustrates the importance of homomorphism and isomorphism. Keywords: Homomorphism; Isomorphism; Group; RingAbstractThe main research contents of modern algebra is so-called algebraic system,namely the set with operations.Modern algebra has important applications in other branchs of mathematics and many departments of natural science.Homomorphism and isomorphism are concepts of great importance and are more elementary.However,theyare related and different as well.Homomorphism is a shine upon which keeps the structure of the system of algegbra,and a extender of isomorphism.The conditions which homomorphism becomes isomorphism vary with algebra systems.The essay shows these conditions,and expounds some applications of homomorphism and isomorphism in different algebra systems,which illustrates the importance of homomorphism and isomorphism.Keywords:homomorpheism;isomorphism;guoup;ring目录前言 (1)1 代数系统的同态与同构的定义 (1)1.1同态映射及同态的定义 (1)1.2 同构的定义 (1)1.3 同态与同构的区别与联系 (1)2 群的同态与同构 (2)2.1 群的同态与同构的定义 (2)2.2 同态与同构在群中的应用 (2)3 环的同态与同构 (4)3.1环的同态与同构的定义 (4)3.2同态与同构在环上的应用 (5)结论 (6)谢辞 (8)参考文献 (9)前 言为了深入研究代数系统的结构，须将同类型的代数系统加以比较，以得到这种体系更为本质的性质，使得将这种类型的代数系统分类成为可能，分类的目的就是减少研究对象，即通过对少数特殊代数系的研究，把结果移植到与其有相同或相似结构的对象中.同态与同构就是实现这种分类的主要途径，也是代数学的最基本的研究工具.1 代数系统的同态与同构的定义1.1 同态映射及同态的定义定义1 一个A 到A 的映射φ，叫做一个对于代数运算 和 来说的，A 到A 的同态映射，假如，在φ之下，不管a 和b 是A 的哪两个元，只要a a →，b b →就有 a b a b →定义 2 假如对于代数运算 和 来说，有一个A 到A 的满射的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算 和 来说，A 与A 同态.1.2 同构的定义定义3 我们说，一个A 与A 间的一一映射φ是一个对于代数运算 与 来说的，A 与A 间的同构映射（简称同构），假如在φ之下，不管a ，b 是A 的哪两个元，只要a a →，b b →就有 a b a b →假如在A 与A 之间，对于代数运算 与 来说，存在一个同构映射，我们说，对于代数运算 与 来说，A 与A 同构，并且用符号A A ≅来表示.1.3同态与同构的区别与联系1）从定义上看集合A 与A 同态是指A 到A 的一个满射，若这个映射同时又是单射，则称A 与A 同构.2）一个无限集可以与它的子集同态或同构，但一个有限集只能与它的子集同态而不能同构，如：例1 建立实数集R 到正实数集R +的映射，:2x x σ ，R 的运算为数的加法，R +的运算为数的乘法，因为2,2,222x y x y x y x y x y ++=⋅ ，因此该映射是R 到正实数集R +的一个同态映射，由于该映射是一一映射，因而也是一个同构映射.关于代数系统的同态有以下定理定理1 假定对于代数运算 和 来说，A 与A 同态.那么，（1）若 适合结合律， 也适合结合律；（2）若 适合交换律， 也适合交换律.定理2 假定⊗，⊕都是集合A 的代数运算，⊗，⊕都是集合A 的代数运算，并且存在一个A 到A 的满射φ，使得A 与A 对于代数运算⊗，⊗来说同态，对于代数运算⊕，⊕来说也同态.那么，（1）若⊗，⊕适合第一分配律，⊗，⊕也适合第一分配律；(2)若⊗，⊕适合第二分配律，⊗，⊕也适合第二分配律.2 群的同态与同构2.1群的同态与同构的定义定义4 给定群(),G 和群(),G ⨯，称群G 到群G 的一个映射φ：G G →是群G 到群G 的一个同态映射（简称同态），如果对任意a ，b ∈G ，有()()()a b a b φφφ=⨯当φ是单（满）射时，称φ为单（满）同态；当φ是一一映射时，称φ为G 与G 间的同构映射（简称同构，记为G G ≅）；当φ是群G 到群G 的一个同态时，令ker φ={x G ∈|()x e φ=，e 是G 的单位元}称ker φ为φ的核.2.2同态与同构在群中的应用群的同构是一个等价关系，彼此同构的群具有完全相同的性质.通过对群的比较,从而揭示出两个群的某些共同性质,以至区别二者的不同.在群论中，主要研究本质上不同的群之间的关系.对于同构的群G 与G ,我们认为G 与G 是代数相同的,对于近世代数所研究的问题来说,除了符号与名称上的区别之外,二者没有实质的差异.如：循环群的结构定理：设)(a G =是由生成元a 生成的循环群，如果∞=||a ，那么Z G ≅.如果n a =||，那么n Z G ≅.用代数同构观点看，循环群只有二个.一个是整数加群Z ，另一个是模n 的剩余类加群n Z .设()G a =是循环群，若a 是无限阶元素，则G 与整数加群同构；若a 的阶是一个有限整数n ，那么G 与模n 剩余类加群同构.所以循环群的存在问题，数量问题，构造问题已彻底解决.定理3 设G 为群，G 为一个带有乘法运算的非空集合，若存在:G G φ→为满同态映射，则G 也是一个群.（该定理提供了一个借助已知群判定群的方法）定理4 设φ是群G 到群G 的一个同态满射.(1)若e 是G 的单位元，则()e φ是G 的单位元；(2)G 的元a 的逆元a 1-的象是a 的象的逆元，即11()[()]a a φφ--=；(3)a 的象的阶整除a 的阶.定理5 设G 为群，而N 是G 的任一个不变子群，那么必有群同态满射:G G N φ→， 其中：x G ∀∈，()x xN φ=.群G 的每个商群都为G 的同态象.而且通过N 将这个同态关系表现出来.于是由同态象的意义（传递性）知：G 的每个商群N G 都会在某些方面有些象G ，进而，可由商群N G 的某些性质去推测群G 的一些性质.一般来说，商群要比G 简单些（因为N G 是G 的元素以N 作陪集而形成的群）.定理5的重要性还在于它具有某些完备性——G 的每一个同态象就是G 的商群（在同构下）定理6：设G 与G 是同态的群：G G ϕ~且ker()N ϕ=，那么，G N G ≅.按代数的观点，同构的群就是同样的群，因此，定理6表明，群G 只能与它的商群同态，或者说，G 的任何一个同态象G 必与G 的某个（且能够肯定的指明是哪个）商群一样.注意 上述的定理5和定理6习惯统称为群的同态基本定理（FHT ）.群G 与商群具有密切的联系，群的同态基本定理恰恰揭示这个内在联系.该定理确立了不变子群与商群在群的理论中的重要地位.该定理揭示了“同态象”的实质.以上是以子群和商群为基本语言，用群同态映射为纽带建立了一套同态理论.群G 的同态象G 可以设想是G 的一个“粗略”的模型；忽略了G 中的某些元素间的差异而又维持了其中的运算关系.关于两个群G 和G ，我们有（ⅰ）G 到G 有单同态意味着在同构的意义下就是的一个子群；（ⅱ）G 到G 有满同态，则意味着G 就是G 的商群（在同构下）.定理7 设:G G φ→是群同态满射,于是有下列结果(1) 若H 是G 的子群，则H 的像()H φ是G 的子群.(2) 若H 是G 的不变子群，则H 的像()H φ是G 的不变子群.(3) 若H 是G 的子群，则()1H φ-是G 的子群.(4) 若H 是G 的不变子群，则()1H φ-是G 的不变子群.3 环的同态与同构3.1环的同态与同构的定义定义5 设φ是环{}⋅+,,R 到环{}⋅+,,R 的映射.如果φ满足: ()()(),a b a b φφφ+=+ ()()()a b a b φφφ⋅=⋅则称ϕ是一个环同态映射.其中.,R b a ∈∀这里的乘法运算可省略不写，即()()()ab a b φφφ=.定义6 设R 和R 为环，映射:R R φ→为环同态，是指对每个,a b R ∈，()()()a b a b φφφ+=+；()()()ab a b φφφ=如果φ是一一对应，则φ叫做环R 和R 间的同构映射，称R 和R 同构，记作R R ≅.3.2同态与同构在环上的应用定理8 若存在一个R 到R 的满射，使得R 与R 对于一对加法以及一对乘法来说都同态，那么R 也是一个环.定理9 设R 和R 是两个环，并且R 与R 同态.那么，R 的零元的象是R 的零元，R 的元a 的负元的象是a 的象的负元.并且，若R 是交换环，那么R 也是交换环；若R 有单位元1，那么R 也有单位元1，而且，1是1的象.显然环同态满射能传递许多代数性质,但也有一些是无法传递过去的.如可知6:Z Z φ→是环同态满射,其中: ()[]n n φ=.显然Z 是整环.Z 中没有零因子,但在6Z 中,[]2和[]3、[]4都是零因子.再如2显然不是Z 中的零因子,但()[]22φ=却是6Z 中的零因子.设R 和R 是同态的两个环，若R 无零因子，则R 可能有零因子.这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子.再如例3 设(){},|,R a b a b Z =∀∈，在R 中定义运算:()()()11221212,,,a b a b a a b b +=++ ()()().,,,21212211b b a a b a b a =可以验证: R 是一个环.现作一个映射::R Z φ→,其中, (),a b a φ=可以验证,ϕ是一个环同态满射.由于()0,0是R 中的零元,当0≠a 且0≠b 时.有()()()R b a ⇒=0,0,00,中有零因子.而显然Z 中没有零因子.这表明:零因子的象可能不是零因子. 总结看，若:R R φ→是环同态满射，则（1）若R 是交换环，则R 也是交换环，但若R 是交换环，R 未必是交换环.如1120:,,,,00a b a f S S a b d R d d ⎛⎫⎛⎫→∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是环同态，2S 是交换环，1S 却不是交换环. （2）若R 有单位元的环，则R 也是单位元的环，且11 ，但若R 是有单位元的环，则R 未必也是单位元的环，如42340:,0000a b a f S S ⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是环同态，4S 有单位元1000⎛⎫ ⎪⎝⎭，但3S 没有单位元.环同态满射尚不能保证传递环的全部代数性质.如果ϕ是环同构时,其结果则不同了. 定理10 若R 和R 都是环,且R R ϕ≅,那么ϕ不仅能传递所有的代数性质,而且R 是整环(除环,域)当且仅当R 是整环(除环,域).引理 设环同态:R R φ→，则φ是单同态的充要条件是{}ker 0φ=.由引理可得定理11 设R ，R 是环，:R R φ→是满同态，则φ是同构映射的充要条件是{}ker 0φ=. 定义7 设:R R φ→是一个环同态,那么R 中零元的完全原象 1(0){|()0}a R a φφ-=∈=叫作φ的核,通常记1(0)ker φφ-=. 例如建立映射{}:,ker m Z Z km k Z φφ→=∈定理12.设:R R φ→是一个环同态满射,令ker I φ=那么(ⅰ) ker I φ=是R 的理想 (ⅱ)R I R ≅定理13 设R 是一个环而I 是R 的理想,那么必有环同态I R R →:ϕ.使得ϕ是满同态且模ker I ϕ=.称这样的ϕ为环的自然同态.注意 上述定理12和定理13通称为环的同态基本定理.同时表明:环R 的任何商环I R 都是R 的同态象.而环R 的任何同态象实质上只能是R 的一个商环.结 论以上分析总结了同态与同构在群论、环论中的应用，通过总结可以发现同态与同构在理论研究中的重要作用，表现在以下几个方面：1）便于代数系统的分类研究各种代数体系就是要解决这些代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题.如果这些问题都得到完满的解答就算达到了目的.研究群时，需要明白共有多少个不同的群，每个群的结构如何，结构相同的群如何对待等.对群进行比较时,采用的主要工具就是同态和同构. 群的同构是一个等价关系，彼此同构的群具有完全相同的性质.通过对群的比较,从而揭示出两个群的某些共同性质,以至区别二者的异同.在群论中，主要研究本质上不同的群之间的关系，所以同构在群的研究中是具有重要意义的基本观念,同时也是一个实践性很强的基本方法.对于同构的群G 与G ,我们认为G 与G 是代数相同的,因为这是对于近世代数所研究的问题来说,除了符号与名称上的区别之外,二者没有实质的差异.再如：循环群的结构定理指出：用代数同构观点，循环群只有二个.一个是整数加群Z，另一个是模n的剩余类加群Z.这就给循环群的研究带来了极大的方便.n因此按近世代数的观点：彼此同构的群只是在表达元素的符号与运算方法的符号及名称中有区别.于是，只要掌握了当中的任何一个，那么另一个也就能完全把握住了，而这些区别对于我们讨论，研究问题的宗旨——群的代数性质来说是无关紧要的.一般地，设ϕ:ϕ-:G→G也是群的同构映射.而且在群之间的G→G是群同构映射,那么ϕ的逆映射1同构“≅”作为关系时，“≅”必是一个等价关系.基于这样的认识，群论的基本课题就是把群按同构关系分类；对每一个同构的群类确定它的代数结构.如所有含三个元素的群都是同构的，都是循环群，因此我们说三阶群只有一个.而四阶群只有两个：一个是循环群，一个是非循环群.2）便于代数结构之间的比较如前面定理3和定理8，设G与G同态，若G是群（环），则G也是群（环）.又如定理7，群G与群G同态，若H是G的子群（不变子群），那么H也是G的子群（不变子群），反之也成立.再如定理11，设R与R是同构的两个环，若R是整环（除环，域），那么R也是整环（除环，域）.3）代数集合自身的性质如前面定理1，设A与A同态，若 适合结合律（交换律）， 也适合结合律（交换律）.又如定理2，设A与A同态，若⊗，⊕适合第一（二）分配律，⊗，⊕也适合第一（二）分配律.谢辞整个论文的完成首先要感谢指导老师李秀平老师，是她给我的论文指明方向，并不辞辛苦的耐心改正.特别是李老师体谅我参加了工作，从不要求因为论文的事情而耽误工作，并多次主动联系我指导论文，李老师的重视和关心我真的难以回报.当然也要感谢身边的同学和朋友，感谢他们提出的意见和想法.是这些人让我的论文更加充实，更加真实，更加完善，因此在此对所有帮助指导我的人致以深深的谢意.参考文献[1] 张禾瑞.近世代数基础[M]．北京：高等教育出版社，1978．5．[2] 朱平天，李伯葓，邹园．近世代数[M]．北京：科学出版社，2001．1．[3] 胡冠章，王殿军．应用近世代数[M]．北京：清华大学出版社，2006．7．[4] 丘维声．抽象代数基础[M]．北京：高等教育出版社，2003．8．[5] 韩士安，林磊．近世代数[M]．北京：科学出版社，2004．2．[6] 石生明．近世代数初步[M]．北京：高等教育出版社，2006．2．[7] 杨子胥．近世代数[M]．北京：高等教育出版社，2003．12．[8] 杨树生．代数系统的同构与同态[J]．内蒙古民族大学学报，2004．12．[9] 吴双全，刘霞．代数中的同余关系以及同构在代数中的应用[J]．呼伦贝尔学院学报，2010．2．[10] 郭世乐．环同态保持的一些性质[J]．吉林化工学院学报，2005．6．。
