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2007年高考数学立体几何参考答案

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参考答案：2．（Ⅰ）由题设A BA C SB SC ====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以2OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥，又SBC △为等腰三角形，故SO BC ⊥，且2SO SA =，从而222OA SO SA +-．所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥．又AO BO O = ．所以SO ⊥平面ABC ．（Ⅱ）解法一：取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知S O O C S A A C ==，，得OM S C A M S C ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥= ，，得AO ⊥平面SBC ．所以AO OM ⊥，又2AM SA =，故sin 3AO AMO AM ∠===．所以二面角A SC B --的余弦值为3． 解法二：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -．设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，． SC 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，111101(101)2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，．00MO SC MA SC ==，∴··．故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>，，<等于二面角A SC B --的平面角．cos 3MO MA MO MA MO MA<>==，··，所以二面角A SC B --的余弦值为33．:(I)连结BE ，则四边形DABE 为正方形，11BE AD A D ∴==，且11BE AD A D ，11A D EB ∴四边形为平行四边形，11D E A B ∴ .1111D E A BD A B A BD ⊄⊂ 平面，平面，11.D E A BD ∴ 平面(II)以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设1DA =，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,2),(1,0,2).D A B C A 1(1,0,2),(1,1,0).DA DB ∴== 设(,,)n x y z = 为平面1A BD 的一个法向量，由1,n DA n DB ⊥⊥ 得200x y x y +=⎧⎨+=⎩，取1z =，则(2,2,1)n =--.C设111(,,)m x y z = 为平面1C BD 的一个法向量，由,m DC m DB ⊥⊥ 得11112200y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11z =,则(1,1,1)m =-.cos ,m n m n m n⋅<>===由于该二面角11A BD C --为锐角，所以所求的二面角11A BD C --5．解法一：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角，又 二面角B AO C --是直二面角，CO BO ∴⊥，又AO BO O = ，CO ∴⊥平面AOB ， 又CO ⊂平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ． （II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥，CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，CE ∴=又12DE AO ==∴在Rt CDE △中，tan CE CDE DE === ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为arctan3． （III ）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ，CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角， 且2tan OC CDO OD OD==． 当OD 最小时，CDO ∠最大，这时，OD AB ⊥，垂足为D ，OA OB OD AB == tan 3CDO = CD ∴与平面AOB 所成角的最大值为arctan3． 解法二：（I ）同解法一．（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(00A ，，(00OA ∴= ，，(CD =-，cos OA CD OACD OA CD ∴<>=，4==． ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为arccos4（III ）同解法一OCADBE6．解:(1)11) (032V x x x =⋅<<即3V x =(0x <<;(2)22)V x x '==-,(0,6)x ∴∈时,0;V '>x ∴∈时,0;V '<6x ∴=时()V x 取得最大值.(3)以E 为空间坐标原点,直线EF 为x 轴,直线EB 为y 轴,直线EP 为z 轴建立空间直角坐标系,则(0,6(3,6A C AC --=;(0,0,6),6)P F PF ∴=-,设异面直线AC与PF 夹角是θ，1cos 7θ∴==7．解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的中点，CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ．又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ．连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角．CHD Rt △中，sin CH θ=； 设CBH ϕ∠=，在BHC Rt △中，sin CH a ϕ=，sin sin 2θϕ=． π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴．即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫⎪⎝⎭，．解法2：（Ⅰ）以CA CB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)000tan 222a a C A a B a D V a θ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，于是，t a n 222a a VD θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，(0)AB a a =-，，．AADBCH V从而2211(0)0002222a a AB CD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥．同理2211(0)tan 0022222a a AB VD a a a a θ⎛⎫=--=-++= ⎪ ⎪⎝⎭ ，，，，··，即AB VD ⊥．又CD VD D = AB ⊥∴平面VCD ．又AB ⊂平面VAB ．∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB VD == ，n n ··．得0tan 022ax ay a a x y θ-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，．可取)θ=n ，又(00)BC a =-，，，于是sin BC BC ϕθ===n n ··， π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法3：（Ⅰ）以点D 为原点，以DC DB ，所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)000000D A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，0tan V a θ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，于是0tan 22DV a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，，002DC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(00)AB = ，．从而(00)AB DC = ，·0002a ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，·，即AB DC ⊥．同理(00)0tan 022AB DV θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，·，即AB DV ⊥． 又DC DV D = ，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB DV == ，··n n，得0tan 0ax θ=⎨=⎪⎩，． 可取(tan 01)θ=，，n，又022BC a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，，于是tan sin 2BC BC θϕθ=== n n ··， π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴，即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫⎪⎝⎭，． 解法4：以CACB CV ，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)022a a C A a B a D ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，．设(00)(0)V t t >，，．（Ⅰ）(00)0(0)22a a CV t CD AB a a ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，，，，，，，，，(0)(00)0000AB CV a a t =-=++= ，，，，··，即AB CV ⊥．22(0)0002222a a a a AB CD a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥．又CV CD C = ，AB ⊥∴平面VCD ．又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，设()x y z =，，n 是平面VAB 的一个非零法向量，则()(0)0()(0)0AB x y z a a ax ay AV x y z a t ax tz ⎧=-=-+=⎪⎨=-=-+=⎪⎩，，，，，，，，，，nn····取z a =，得x y t ==．可取()t t a =，，n ，又(00)C B a = ，，，于是sin CB CB ϕ====··n n ，(0)t ∈+，∵∞，sin ϕ关于t递增．0sin ϕ<<∴，π04ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴．即直线BC 与平面VAB 所成角的取A值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．8．解：解法一：（Ｉ）因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB 平面ABCD AB =，AD AB ⊥，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面1G AB ，又AD ⊂平面12G ADG ，所以平面1G AB ⊥平面12G ADG ．（II ）过点B 作1BH AG ⊥于点H ，连结2G H ．由（I ）的结论可知，BH ⊥平面12G ADG ，所以2BG H ∠是2BG 和平面12G ADG 所成的角．因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB 平面ABCD AB =，1G E AB ⊥，1G E ⊂平面1G AB ，所以1G E ⊥平面ABCD ，故1G E EF ⊥．因为12G G AD <，AD EF =，所以可在EF 上取一点O ，使12EO G G =，又因为12G G AD EO ∥∥，所以四边形12G EOG 是矩形．由题设12AB =，25BC =，8EG =，则17GF =．所以218G O G E ==，217G F =，15OF ==，1210G G EO ==．因为AD ⊥平面1G AB ，12G G AD ∥，所以12G G ⊥平面1G AB ，从而121G G G B ⊥．故222222221126810200BG BE EG GG =++=++=，2BG =又110AG ==，由11BH AG G E AB = 得81248105BH ⨯==．故2248sin 5BH BG H BG ∠===即直线2BG 与平面12G ADG所成的角是arcsin 25解法二：（I ）因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB 平面ABCD AB =，1G E AB ⊥，1G E ⊂平面1G AB ，所以1G E ⊥平面ABCD ，从而1G E AD ⊥．又AB AD ⊥，所以AD ⊥平面1G AB ．因为AD ⊂平面12G ADG ，所以平面1G AB ⊥平面12G ADG ．（II ）由（I ）可知，1G E ⊥平面ABCD ．故可以E 为原点，分别以直线1EB EF EG ，，为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系（如图）。

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2007-2011江苏高考数学__立体几何(老师)

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C B AG H MDE F1B 1A 1D1CN2007-2011江苏高考数学 立体几何 考题评析2007年 立体几何 注：当年全卷共21道题 10道选择题 6道填空题 5道解答题分数5+5+12=22分4．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m nαβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是（ ） A ．①、③； B ．②、④； C ．①、④； D ．②、③ 【解析】②中，m n ，有可能是异面直线；③中，n 有可能在α上，都不对，故选（C ）14．正三棱锥P ABC -的高为2，侧棱与底面ABC 所成角为45︒，则点A 到侧面PBC 的距离是.【解析】如图，∠PBO ＝45°，PO ＝OB ＝2，OD ＝1，BDPB ＝PDAD ＝3，1122AD PO PD AE ⋅=⋅， 得AE . 18．如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==，（1）求证：1,,,E B F D 四点共面；（4分）（2）若点G 在BC 上，23BG =，点M 在1BB 上， GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥面11BCC B ；（4分） （3）用θ表示截面1EBFD 和面11BCC B 所成锐二面角大小，求tan θ．（4分）【解析】本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力． 解法一：（1）如图，在1DD 上取点N ，使1DN =，连结EN ，CN ， 则1AE DN ==，12CF ND ==．∵AE DN ∥，1ND CF ∥，∴四边形ADNE ，1CFD N 都为平行四边形． 从而EN AD ∥，1FD CN ∥．又∵AD BC ∥，∴EN BC ∥， ∴四边形BCNE 是平行四边形，由此推知CN BE ∥，从而1FD BE ∥．∴1E B F D ，，，四点共面．（2）如图，GM BF ⊥，又BM BC ⊥，∴BGM CFB =∠∠，tan tan BM BG BGM BG CFB =⋅=⋅∠∠23132BC BG CF =⋅=⨯=． ∵AE BM ∥，∴ABME 为平行四边形，从而AB EM ∥． 又∵AB ⊥平面11BCC B ，∴EM ⊥平面11BCC B ．1D1A A B C D 1C 1B ME F HG（3）如图，连结EH ．∵MH BF ⊥，EM BF ⊥，∴BF ⊥平面EMH ，得EH BF ⊥． ∴EHM ∠是所求的二面角的平面角，即EHM θ=∠． ∵MBH CFB =∠∠，∴sin sin MH BM MBH BM CFB =⋅=⋅∠∠1BM ===，∴tan EMMHθ== 解法二：（1）建立如图所示的坐标系，则(301)BE =，，，(032)BF =，，，1(333)BD =，，，∴1BD BE BF =+， ∴1BD ，BE ，BF 共面． 又∵它们有公共点B ，∴1E B F D ，，，四点共面．（2）如图，设(00)M z ，，，则2(0)3GM z =-，，， 而(032)BF =，，，由题设得23203GM BF z ⋅=-⨯+⨯=，解得1z =．∵(001)M ，，，(301)E ，，，有(300)ME =，，，又1(003)BB =，，，(030)BC =，，， ∴10ME BB =，0ME BC =，从而1ME BB ⊥，ME BC ⊥． ∴ME ⊥平面11BCC B ．（3）设向量(3)BP x y =，，⊥截面1EBFD ，于是BP BE ⊥，BP BF ⊥．而(301)BE =，，，(032)BF =，，，得330BP BE x =+=，360BP BF y =+=， 解得1x =-，2y =-，∴ (12 3)BP =--，，． 又(300)BA =，，⊥平面11BCC B ，∴BP 和BA 的夹角等于θ或πθ-（θ为锐角）．于是cos 14BP BA BP BAθ==． ∴tan θ=2008年 立体几何 注：从这一年开始 正卷共20道题 14道填空题 6道解答题附加题卷4选2，加2道解答题，共4道题 每题10分 共40分分数14+10＝24分A B C DE F16．如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F ，分别是AB BD ，的中点．求证：（1）直线//EF 面ACD ；（2）平面EFC ⊥面BCD ． 【解析】（1）∵E ，F 分别是AB BD ，的中点．∴EF 是△ABD 的中位线， ∴EF ∥AD ，∵EF ∥⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ， ∴直线EF ∥平面ACD ；（2）∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ， ∴EF ⊥BD ，∵CB =CD ，F 是BD 的中点， ∴CF ⊥BD ；又∵EF ∩CF =F ，∴BD ⊥平面EFC ，∵BD ⊂平面BCD ， ∴平面EFC ⊥平面B C D ．22．【必做题】如图，设动点P 在棱长为1的正方体1111-ABCD A BC D 的对角线1BD上， 记11D PD Bλ=；当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围． 【解析】由题设可知，以DA 、DC 、1DD 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则有(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)D ； 由1(1,1,1)D B =-，得11(,,)D P D B λλλλ==-，∴11(,,)(1,0,1)(1,,1)PA PD D A λλλλλλ=+=--+-=---11(,,)(0,1,1)(,1,1)PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=---； 显然APC ∠不是平角，∴APC ∠为钝角等价于：cos cos ,0PA PC APC PA PC PA PC∠=<>=<，则等价于0PA PC <；即：2(1)()()(1)(1)(1)(31)0λλλλλλλ--+--+-=--<，得113λ<<； ∴λ的取值范围是1(,1)3．2009年 立体几何分数5+5++14=24分8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间 内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 . 【解析】考查类比的方法．体积比为1：8．12．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。

2007年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(13立体几何初步)

2007年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(13立体几何初步)

2007年高考中的“立体几何初步 （一）空间直线和平面”试题汇编大全一、选择题：1. (2007安徽理)设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面α内，“l ⊥α”是l ⊥m 且“l ⊥n ”的（ A ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件(C)充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件2.(2007安徽文)把边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角,折成直二面角后,在A ,B ,C ,D 四点所在的球面上,B 与D 两点之间的球面距离为（ C ） (A)22π(B)π(C)2π (D)3π3.(2007安徽理)半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（ C ） （A ）)33arccos(-（B ）)36arccos(- （C ）)31arccos(- （D ）)41arccos(-4.（2007福建文)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、BC 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ B ）A.45° B .60° C.90° D.120°5（2007福建文、理)已知m 、n 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ D ）AB C D6.(2007广东文)若,,l m n 是互不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ D ）【解析】逐一判除,易得答案(D).7.（2007湖北文）在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G =λ （0≤λ≤1），则点G 到平面D 1EF 的距离为（ D ） A.3B.22C.32λ D.558.（2007湖北理）平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m ＇和n ＇，给出下列四个命题：①m ＇⊥n ＇⇒m ⊥n; ②m ⊥n ⇒ m ＇⊥n ＇③m ＇与n ＇相交⇒m 与n 相交或重合； ④m ＇与n ＇平行⇒m 与n 平行或重合. 其中不正确的命题个数是（ D ）A.1B.2C.3 D .49．（2007湖南文）如图1，在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11AB C 、B 的中点，则以下结论中不成立的是( D )A ．1EF BB 与垂直 B . EF BD 与垂直 C. EF 与CD 异面 D . EF 11与AC 异面 10．（2007湖南理）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ D ） A．2B ．1C．12+D11．（2007江苏）已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：（C ）①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③12．（2007辽宁文、理）若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题．．．是（ B ） A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥C ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥D ．若m αγ=，n βγ=，m n ∥，则αβ∥13.（2007陕西文、理）已知P 为平面a 外一点，直线l ⊂a,点Q ∈l ,记点P 到平面a 的距离为a,点P 到直线l 的距离为b ，点P 、Q 之间的距离为c ，则（ Ａ ）（A ）c b a ≤≤ （B ）c b a ≤≤ (C)b c a ≤≤ (D)a c b ≤≤14.（2007四川文、理）如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是（ D ） (A ）BD ∥平面CB 1D 1 (B)AC 1⊥BD(C)AC 1⊥平面CB 1D 1 (D)异面直线AD 与CB 所成的角为60°15（2007四川文）如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是（ D ）A.23B.364 C. 473- D.3212-16.（2007四川理）如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是（ D ）（A ）32 （B ）364 （C ）4173 （D ）321217.（2007天津文、理）设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是图1（ D ）A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥18.（2007浙江文、理）若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则（ B ）(A)过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行 (B )过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直 (C)过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交 (D)过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面19.（2007福建理)顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD －A’B’C’D’中，AB ＝1，AA’＝，则A 、C 两点间的球面距离为（ B ）ABCD20.(2007重庆文)垂直于同一平面的两条直线（ A ） （A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交 （D ）异面21.（2007重庆理）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ C ）A ．5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分22.(2007海南、宁夏文、理)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ B ）Ａ．34000cm 3Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cmＤ．34000cm23．(2007海南、宁夏文)已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC，AC =，则球的体积与三棱锥体积之比是（ D ）Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．3πＤ．4π24．(2007海南、宁夏理)一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =（ B ）2:22:225．（2007江西文）四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD ＝2，AB ＝3，在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是（Ｃ ）正视图侧视图俯视图A ．6π B ．3π C ．32πD ．65π26．（2007江西理）如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的 垂线，垂足为点H ．则以下命题中，错误．．的命题是（ D ） A ．点H 是△A 1BD 的垂心 B ．AH 垂直平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45°27. （2007全国Ⅰ文、理）如图，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ， 则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为（ Ｄ ） （A ）51 （B ）52 （C ）53 （D ）5428（2007全国Ⅱ理）已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长与底面 边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于（ A ） (A)46(B) 410 (C)22 (D) 2329.（2007全国Ⅱ文）已知正三棱锥的侧棱长为底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ A ）(A)63 (B)43 (C)22 (D)23 30．（2007山东文、理）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ D ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④31（2007陕西文）Rt △ABC 的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC 的距离是（ Ｄ ） （A ）5 （B ）6 （C ）10 （D ）1232.（2007陕西理）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ Ｂ ）（A ）433 (B)33 (C) 43 (D) 12333.（2007四川文、理）设球O 的半径是1，A 、B 、C 是球面上三点，已知A①正方形②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥到B 、C 两点的球面距离都是2π，且二面角B-OA-C 的大小是3π，则从A 点沿球面经B 、C 两点再回到A 点的最短距离是（ C ）(A)67π (B)45π (C)34π (D)23π二、填空题： 1．（2007江西文）如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线， 垂足为点H ．则以下命题中，错误．．的命题是A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直平面CB 1D 1C ．二面角C —B 1D 1—C 1的正切值为2 D ．点H 到平面A 1B 1C 1D 1的距离为43 其中真命题的代号是 A ，B ，C ．(写出所有真命题的代号)2.（2007上海理）在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个 相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异 面直线的充分条件： 21//s s ，并且1t 与2t 相交（//1t 2t ，并且1s 与2s 相交） ．3.（2007浙江文、理）已知点O 在二面角α－AB －β的棱上，点P 在α内，且∠POB ＝45°．若对于β内异于0的任意一点Q ，都有∠POQ ≥45°，则二面角α－AB －β的大小是__900__．4.(2007安徽理)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 ①③④⑤ （写出所有正确结论的编号．．）. ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体.5.（2007湖南文）棱长为1的正方形1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是 3π ；设E 、F 分别是该正方形的棱11AA 、DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的6．（2007江苏）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A 到侧面PBC 的距离是7．（2007辽宁文、理）的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面1CCB1B1AA上，则此球的体积为 π34 ．8.（2007全国Ⅰ文）正四棱锥S-ABCD 的底面边长和各测棱长都为2，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为4π39.（2007全国Ⅰ理）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为10.（2007全国Ⅱ文、理）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上。

2007年高考文科数学试题及参考答案(湖北卷)

2007年高考文科数学试题及参考答案(湖北卷)

1、以刚性原子球堆积模型，计算以下结构的致密度分别为：（1）简立方，π/6（2（3（4）六角密积，6（5）金刚石结构，162、布拉菲格子的基矢选择不是唯一的，例如由原子排列在下方格子上而构成的一个二维晶格，如下图所示，有三种可能的基矢选择方法。

说明这三种选取的都是二维布拉菲格子的因体物理学原胞。

3、（1）六角密积结构的晶格常数有两个，a 和c ，试证明对理想六角密积结构有1.633c a == （2）镁金属具有六角密积结构，晶体中两个原子之间最近距离为3.20 Å，试求其体密度（单位体积中的原子个数）。

1、 已知三斜晶系中，三个基矢123,,a a a 与某晶面法线夹角α，β，γ，求该晶面的晶面指数。

2、 对于六角密积结构，固体物理学中原胞的基矢为：12322a a i j a a i j a ck=+=-+= 求其倒格子的基矢。

3、布拉菲格子的基矢选择不是唯一的，例如由原子排列在下方格子上而构成的一个二维晶格，如下图所示，有三种可能的基矢选择方法：（1） 说明这三种选取的都是二维布拉菲格子的因体物理学原胞（上次已做，不用再做）；（2） 求这三种基矢所对应的倒格子基矢；（3） 这三种倒格子基矢所对应的倒格子是否唯一的，何故？4、证明面心立方的倒格子是体心立方。

1、(a) 从体心立方结构铁的(110)平面来的X射线反射的布拉格解为22°，X射线的波长λ=1.54 Ǻ，试计算铁的立方晶胞边长；(b) 从体心立方结构铁的(111)平面来的反射的布拉格角是多少？(c)已知铁的原子量是55.8，试计算铁的密度。

2、求体心立方结构的几何结构因子和X射线衍射的消光条件（只针对简单格子）。

3、求六角密积结构的几何结构因子和X射线衍射的消光条件（只针对简单格子）。

2007年高考“10 立体几何 ”题 (2)

2007年高考“10 立体几何 ”题 (2)

2007年高考“立体几何”题1．(全国Ⅰ) 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45解：如图，连接BC 1，A 1C 1，∠A 1BC 1是异面直线1A B 与1AD所成的角，设AB=a ，AA 1=2a ，∴ A 1B=C 1B=5a ，A 1C 1=2a ，∠A 1BC 1的余弦值为45，选D 。

一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知 正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．解：一个等腰直角三角形DEF 的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知 正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形 的斜边EF 上的中线DG=3. ∴ 斜边EF 的长为23。

1A AB1B1A1D1C CDC 1A CFA四棱锥S ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知45ABC=∠，2AB=，BC=SA SB==（Ⅰ）证明SA BC⊥；（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小．解法一：（Ⅰ）作SO BC⊥，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA SB=，所以AO BO=，又45ABC=∠，故AOB△为等腰直角三角形，AO BO⊥，由三垂线定理，得SA BC⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC⊥，依题设AD BC∥，故SA AD⊥，由AD BC==，SA=AO=得1SO=，SD=．SAB△的面积211122S AB SA⎛=-=⎝连结DB，得DAB△的面积21sin13522S AB AD==设D到平面SAB的距离为h，由于D SAB S ABDV V--=，得121133h S SO S=，解得h=DBCASODBCAS设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin 11h SD α===． 所以，直线SD 与平面SBC所成的我为． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥．如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C ，，(001)S ，，(2，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直． 所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =．D22cos 11OG DS OG DSα==，sin 11β=，所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin．2．(全国II) 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于（ ） ABC．2D 解：已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，取A 1C 1的中点D 1，连接BD 1，AD 1，∠B 1AD1是AB 1与侧面ACC 1A 1所成的角，11sin 4B AD ∠==，选A 。