当前位置：文档之家 › 2015年高考数学总复习教案：2.7指数函数、对数函数及幂函数(1)

2015年高考数学总复习教案：2.7指数函数、对数函数及幂函数(1)

  • 格式：doc
  • 大小：547.23 KB
  • 文档页数：7

第二章 函数与导数第7课时 指数函数、对数函数及幂函数(1) (对应学生用书(文)、(理)20～21页),1. (必修1P63习题2改编)用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)： (1)3a2＝________；(2)a a a ＝________；(3) ⎝⎛⎭⎫3a 2·ab3＝________． 答案：(1) a 23 (2) a 78 (3) a 76b 322. (必修1P80习题6改编)计算：(lg5)2＋lg2×lg50＝________． 答案：1解析：原式＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5)＝lg5(lg2＋lg5)＋lg2＝1.3. (必修1P80习题12改编)已知lg6＝a ，lg12＝b ，则用a 、b 表示lg24＝________． 答案：2b －a解析：lg24＝lg 1446＝2lg12－lg6＝2b －a.4. (必修1P63习题6改编)若a ＋a －1＝3，则a 32－a －32＝______． 答案：±4解析：a 32－a －32＝(a 12－a －12)(a ＋a －1＋1)．∵ (a 12－a －12)2＝a ＋a －1－2＝1，∴ (a 12－a －12)＝±1，∴ 原式＝(±1)×(3＋1)＝±4.5. 已知实数a 、b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，下列五个关系式：① 0＜b ＜a ；② a ＜b ＜0；③ 0＜a ＜b ；④ b ＜a ＜0；⑤ a ＝b. 其中所有不可能成立的关系式为________．(填序号) 答案：③④解析：条件中的等式⇔2a=3b ⇔alg2=blg3．若a ≠0，则lg 2lg3b a =∈（0，1）．（1）当a ＞0时，有a ＞b ＞0，即关系式①成立，而③不可能成立； （2）当a ＜0时，则b ＜0，b ＞a ，即关系式②成立，而④不可能成立； 若a=0，则b=0，故关系式⑤可能成立．1. 根式(1) 根式的概念① n an ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （n 为奇数），|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a≥0），－a （a<0）（n 为偶数）； ② (n a)n ＝a(注意a 必须使na 有意义)． 2. 有理指数幂(1) 分数指数幂的表示① 正数的正分数指数幂是a mn ＝nam(a>0，m 、n ∈N*，n>1)； ② 正数的负分数指数幂是a －m n ＝1a m n＝1n am (a>0，m 、n ∈N*，n>1)；③ 0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义．(2) 有理指数幂的运算性质 ① asat ＝as ＋t(a>0，t 、s ∈Q)； ② (as)t ＝ast(a>0，t 、s ∈Q)； ③ (ab)t ＝atbt(a>0，b ＞0，t ∈Q)． 3. 对数的概念 (1) 对数的定义如果ab ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作logaN ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2) 几种常见对数4. 对数的性质与运算法则 (1) 对数的性质 ① alogaN ＝N ；② logaaN ＝N(a>0且a≠1)． (2) 对数的重要公式① 换底公式：logbN ＝logaN logab (a 、b 均大于零且不等于1)；② logab ＝1logba . (3) 对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ① loga(MN)＝logaM ＋logaN ； ② loga MN ＝logaM －logaN ； ③ logaMn ＝nlogaM(n ∈R)； ④ logamMn ＝nm logaM. [备课札记]题型1 指数幂的运算例1 化简下列各式(其中各字母均为正数)： (1) 1.5－13×⎝⎛⎭⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6－⎝⎛⎭⎫2323； (2) （a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b5；(3) a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a. 解：(1) 原式＝⎝⎛⎭⎫2313＋234×214＋22×33－⎝⎛⎭⎫2313＝2＋108＝110. (2) 原式＝a －13·b 12·a －12·b 13a 16·b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a .(3) 原式＝a 13（a －8b ）（2b 13）2＋2b 13a 13＋（a 13）2×a 13a 13－2b 13×a 13＝a 13（a －8b ）a －8b ×a 13×a 13＝a.备选变式（教师专享） 化简下列各式：(1) 12523＋⎝⎛⎭⎫12－2＋34313－⎝⎛⎭⎫127－13；(2) 56a 13·b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12. 解：(1)33；(2)－5ab4ab2. 题型2 对数的运算 例2 求下列各式的值． (1) log535＋2log 122－log5150－log514；(2) log2125×log318×log519.解：(1) 原式＝log535×5014＋2log 12212＝log553－1＝2.(2) 原式＝lg 125lg2×lg 18lg3×lg 19lg5＝－2lg5lg2×－3lg2lg3×－2lg3lg5＝－12. 变式训练(1) 计算：lg 12－lg 58＋lg12.5－log89·log278； (2) 已知log189＝a ，18b ＝5，用a 、b 表示log3645.解：(1) 原式＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1258×12.5－lg9lg8·lg8lg27＝1－2lg33lg3＝13. (2) 由题意，得b ＝log185，故log3645＝log1845log1836＝log189＋log185log18324－log189＝a ＋b 2－a .题型3 指数与对数的混合运算例3 已知实数x 、y 、z 满足3x ＝4y ＝6z ＞1. (1) 求证：2x ＋1y ＝2z ；(2) 试比较3x 、4y 、6z 的大小．(1) 证明：令k ＝3x ＝4y ＝6z ＞1，则x ＝log3k ，y ＝log4k ，z ＝log6k ，于是1x ＝logk3，1y ＝logk4，1z ＝logk6，从而2x ＋1y ＝2logk3＋logk4＝logk32＋logk4＝logk36＝2logk6，等式成立．(2) 解：由于k ＞1，故x 、y 、z ＞0. 3x 4y ＝3log3k 4log4k ＝3lgklg34lgk lg4＝3lg44lg3＝lg43lg34＝lg64lg81＜1；4y 6z ＝2log4k 3log6k ＝2lgklg43lgk lg6＝2lg63lg4＝lg62lg43＝lg36lg64＜1，故3x ＜4y ＜6z.备选变式（教师专享）若xlog34＝1，求23x －2－3x2x ＋2－x 的值．解：由xlog34＝1，知4x ＝3， ∴23x －2－3x 2x ＋2－x＝()2x －2－x ()22x ＋2－2x ＋12x ＋2－x＝（22x －1）（22x ＋2－2x ＋1）22x ＋1＝（3－1）⎝⎛⎭⎫3＋13＋13＋1＝136.1. (2013·四川)计算：lg 5＋lg 20＝________． 答案：1解析：lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg10＝1.2. (2013·长春调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f （x ＋1），则f(2＋log23)＝________．答案：124解析：由3<2＋log23<4，得3＋log23>4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝⎝⎛⎭⎫123＋log23＝⎝⎛⎭⎫12log224＝124.3. (2013·新课标)已知a ＝log36，b ＝log510，c ＝log714，则a 、b 、c 的大小关系为________．答案：a>b>c解析：a ＝log36＝1＋log32，b ＝1＋log52，c ＝1＋log72，由于log32>log52>log72，所以a>b>c. 4. (2013·温州二模)已知2a ＝3b ＝6c ，若a ＋bc ∈(k ，k ＋1)，则整数k 的值是________．答案：4解析：设2a ＝3b ＝6c ＝t ，则a ＝log2t ，b ＝log3t ，c ＝log6t ，所以a ＋b c ＝log2t log6t ＋log3t log6t ＝logt6logt2＋logt6logt3＝log26＋log36＝2＋log23＋log32.因为2<log23＋log32<3，所以4<a ＋b c <5，即整数k 的值是4.1. 设a ＝lge ，b ＝(lge)2，c ＝lg e ，则a 、b 、c 的大小关系是________． 答案：a ＞c ＞b解析：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0，知a>b.又c ＝lge ，作商比较知c>b ，故a>c>b. 2. 已知三数x ＋log272，x ＋log92，x ＋log32成等比数列，则公比为________． 答案：3 解析：∵ 三数x ＋log272，x ＋log92，x ＋log32成等比数列，∴ (x ＋log92)2＝(x ＋log272)(x ＋log32)，即⎝⎛⎭⎫x ＋12log322＝⎝⎛⎭⎫x ＋13log32(x ＋log32)，解得x ＝－14log32，∴ 公比q ＝x ＋log32x ＋12log32＝3.3. 设a ＞1，若对任意的x ∈[a ，2a]，都有y ∈[a ，a2]满足方程logax ＋logay ＝3，则a 的取值范围是________． 答案：a≥2 解析：∵ a ＞1，x ∈[a ，2a]， ∴ logax ∈[1，1＋loga2]． 又由y ∈[a ，a2]，得 logay ∈[1，2]， ∵ logay ＝3－logax ， ∴ 3－logax ∈[1，2]， ∴ logax ∈[1，2]，∴ 1＋loga2≤2，loga2≤1，即a≥2.4. 已知m 、n 为正整数，a ＞0且a≠1，且logam ＋loga ⎝⎛⎭⎫1＋1m ＋loga⎝⎛⎭⎫1＋1m ＋1＋…＋loga ⎝⎛⎭⎫1＋1m ＋n －1＝logam ＋logan ，求m 、n 的值．解：左边＝logam ＋loga⎝⎛⎭⎫m ＋1m ＋loga ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m ＋1＋…＋loga ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n m ＋n －1＝loga ⎝ ⎛⎭⎪⎫m·m ＋1m ·m ＋2m ＋1·…·m ＋n m ＋n －1 ＝loga(m ＋n)，∴ 已知等式可化为loga(m ＋n)＝logam ＋logan ＝logamn. 比较真数得m ＋n ＝mn ，即(m －1)(n －1)＝1.∵ m 、n 为正整数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝1，n －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.1. 根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．2. 对数运算法则是在化同底的情况下进行的，在对含有字母的对数式化简时必须保证恒等变形．3. 在解决指数、对数问题时，指数式与对数式的互化起着重要作用．请使用课时训练（B）第7课时（见活页）.[备课札记]。

合集下载

幂函数指数函数对数函数复习课教学设计

幂函数指数函数对数函数复习课教学设计

2）图像过定点：
3）当 时，
当 时，
4）在定义域上单调
3）当 时，
当 时，
4）在定义域上单调
二、典型例题
题型一比较下列各数的大小
1、 ，
2、 ， ，
3、 ， ，
题型二利用函数单调性求字母取值范围
1、已知 ，求实数 的取值范围
2、已知 ，则实数 的取值范围
题型三求下列函数的值域
1、 ，
2、
三、课堂小结：
《幂函数指数函数对数函数复习课》教学设计
教学内容分析
基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)是高中数学的基础，是刻画现实世界变化规律的重要模型。根据我所任教的学生的实际情况，本节课是学生在已掌握了指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质的基础上，运用所学函数知识来解决一些实际问题，培养学生数学应用意识。
教学目标
（一）知识目标
1.掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象和性质，并应用性质解决简单问题。
2.通过指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，渗透数形结合、分类讨论、等价转化等思想。
（二）能力目标
1．培养学生观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力。
2．培养学生数形结合、辩证思维和动手实践的能力。
3．培养学生应用函数思想方法解决实际问题的能力。
（三）价值目标
1．培养学生积极学习、刻苦钻研的学习毅力等良好的意志品质。
2．培养学生观察分析、抽象概括能力、数形结合、归纳总结能力和实践与探索能力。
3．学会理论联系实际，学以致用，在解决实际问题的过程中，逐步理解、认识函数思想方法，了解数学的应用。
教学重点：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质。
当 时，在 上，函数单调；
当 时，在 上，函数单调；
高三数学第二章函数+导数高考一轮复习教案2.7 指数式与对数式 教案

高三数学第二章函数+导数高考一轮复习教案2.7 指数式与对数式 教案

2.7指数式与对数式教学目标：1.理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质；2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质．教学重点：运用指数、对数的运算性质进行求值、化简、证明，指数及对数方程的解法 （一） 主要知识：1.n 次方根的定义及性质：n 为奇数时，a a n n =，n 为偶数时，a a n n=.2.分数指数幂与根式的互化：nm n ma a=m na-=(0a >,,*m n N ∈，且1n >)零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义.3.指数的运算性质：r s r s a a a +=，()rr r ab a b =（其中,0a b >，,r s R ∈） 4.指数式与对数式的互化：log b a a N N b =⇔=．N a N a =log ，log N a a N =. 5.对数的运算法则：如果0,1,0,0a a N M >≠>>有log ()log log a a a MN M N =+； log log log a a a MM N N =-；log log n a a M n M =；1log log a a M n=6.换底公式及换底性质：()1 log log log m a m NN a=(0a >,1a ≠，0m > , 1m ≠,0N >)()2ab ba log 1log =，()3c c b a b a log log log =⋅， ()4b nmb a m a n log log =7.指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()1()()log f x a ab f x b =⇔=；log ()()ba f xb f x a =⇔=（定义法）()2()()()()f x g x a a f x g x =⇔=；log ()log ()a a f x g x =⇔ ()()0f x g x =>（同底法） ()3()()f x g x a b =⇔()log ()log m m f x a g x b = (两边取对数法)()4log ()log ()a b f x g x =⇔1log ()log ()log a a a f x g x b=(换底法)()52loglog 0aa A x B x C ++=（()20x xA aBa C ++=）（设log a t x =或xt a =）（换元法）（二）主要方法：1.重视指数式与对数式的互化；3.不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；4.运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提．5.指数方程和对数方程按照不同类型的对应方法解决.（三）典例分析：问题1．计算：()1 )0,0(3224>>⋅-b a ab b a ；()2()()31212332140.1a b ---⎛⎫⋅⎪⎝⎭()3121316324(12427162(8)--+-+-()43948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+；()52(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；问题2．()1已知11223xx-+=，求22332223x x x x--+-+-的值；()2= .A 3 .B 4 .C 6 .D 9()3已知n y m x a a ==log ,log，求log a ⎝；问题3．已知35a b c ==，且112ab+=，求c 的值．问题4．()1（00上海春）方程()()()333log 31log 1log 3x x x -=-++ 的解是()2（02上海）方程()3log 12321x x -⋅=+的解x =问题5．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值．（四）巩固练习：1.已知234x-=，则x =2.求551log 272log 2325+的值.3.设,518,9log 18==b a ，求45log 36.4. 若3128x y ==，则11x y-=5.（06成都市诊断）lg83lg5+的值为 .A 3- .B 1- .C 1 .D 3（五）课后作业：1.方程()3lg lg 2lg 2+=+x x 的解是2.方程()()51log 1log 422=+++x x 的解是3.设151121)31(log )31(log --+=x ，则x 属于区间.A ()2,1-- .B ()1,2 .C ()3,2-- .D ()2,34.若239103x x +=⋅，那么21x +的值为.A 1.B 2 .C 5 .D 1或55.已知()2lg 2lg lg x y x y -=+，则yx 的值为.A 1.B 4 .C 1或4.D 41或4 6.如果方程()2lg lg7lg5lg lg7lg50x x ++⋅+⋅=的两根为α、β，则αβ的值是 .A lg 7lg 5⋅.B lg35.C 35 .D 3517.64log 32= ；5361log log 6log 23x ⋅⋅=，则x =若2a =，12log 3=8.532+的值为.A 2 .B .C 9 .D 39.21(5)2x f x -=-，则(125)f =10.已知：1a b >>，10log log 3a b b a +=log log a b b a -的值为11.求值或化简：(1)142log 2112log 487log 222--+=)2(11lg9lg 240212361lg 27lg 35+-+-+=11.若3log 41x =，求332222x xxx--++的值12.已知log 2a x =，log 1b x =，log 4c x =，则log abc x =.A 47.B 27 .C 72 .D 7413.设12x <-=.A.B.C .D14.已知：234x-=，则x = 112333812849-⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15.设0a >=.A.B.C.D16.函数3()og f x l x =，则()19log 2f --的值是.A 2 .B 2 .C 22.D 3og l17.552log 10log 0.25+=18.2b =，则有.A a b > .B a b < .C a b = .D a b ≤（六）走向高考：1.（04全国Ⅲ文）解方程012242=--+x x2.（07上海文）方程9131=-x 的解是3. （07上海）方程 96370x x -•-=的解是4.（07上海春）若1x 、2x 为方程11122xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的两个实数解，则12x x +=5.（07湖南文）若0a >，2349a =，则23log a =6.（05广东）函数xex f -=11)(的定义域是7. (05全国Ⅱ) 设函数11()2x x f x +--=，求使()f x ≥x 取值范围．8.（04湖北文）若111a b<<，则下列结论中不正确的是 .A log log 1a b b a ⋅= .B log log 2a b b a +>.C 2(log )1b a < .D log log log log a b a b b a b a +>+9.（04北京）方程()lg 42lg 2lg3x x +=+的解是10.（06辽宁文）方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为11.（06上海文）方程233log (10)1log x x -=+的解是。

2015届高考数学总复习第二章函数与导数第8课时指数函数、对数函数及幂函数教学案(含最新模拟、试题改编)

2015届高考数学总复习第二章函数与导数第8课时指数函数、对数函数及幂函数教学案(含最新模拟、试题改编)

第二章 函数与导数第8课时 指数函数、对数函数及幂函数(2)第三章 (对应学生用书(文)、(理)22～23页)1. (必修1P 110复习9改编)函数y ＝a x －3＋3恒过定点________． 答案：(3，4)解析：当x ＝3时，f(3)＝a 3－3＋3＝4，∴ f(x)必过定点(3，4)．2. (必修1P 110复习3改编)函数y ＝8－16x 的定义域是________．答案：⎝⎛⎦⎤－∞，34 解析：由8－16x ≥0，所以24x ≤23，即4x ≤3，定义域是⎝⎛⎦⎤－∞，34. 3. (必修1P 67练习3)函数f(x)＝(a 2－1)x 是R 上的减函数，则a 的取值范围是________________．答案：(－2，－1)∪(1，2)解析：由0＜a 2－1＜1，得1＜a 2＜2，所以1＜|a|＜2，即－2＜a ＜－1或1＜a ＜ 2.4. (必修1P 71习题13改编)已知函数f(x)＝a ＋14x ＋1是奇函数，则常数a ＝________.答案：－12解析：由f(－x)＋f(x)＝0，得a ＝－12.5. (原创)函数y ＝1＋⎝⎛⎭⎫45|x －1|的值域为__________. 答案：(1，2]解析：设y′＝⎝⎛⎭⎫45u ，u ＝|x －1|. 由于u ≥0且y′＝⎝⎛⎭⎫45u 是减函数， 故0<⎝⎛⎭⎫45|x －1|≤1，则1＜y ≤2.1. 指数函数定义一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R．2. 指数函数的图象与性质[备课札记]题型1 指数型函数的定义域、值域例1 已知x ∈[－3，2]，求f(x)＝14x －12x ＋1的最小值与最大值．解：f(x)＝14x －12x ＋1＝4－x －2－x ＋1＝2－2x －2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫2－x －122＋34.∵ x ∈[－3，2], ∴ 14≤2－x ≤8.则当2－x ＝12，即x ＝1时，f(x)有最小值34；当2－x ＝8，即x ＝－3时，f(x)有最大值57.备选变式（教师专享）已知9x－10×3x＋9≤0，求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4⎝⎛⎭⎫12x ＋2的最大值和最小值．解：由9x －10·3x ＋9≤0，得(3x －1)(3x －9)≤0， 解得1≤3x ≤9，∴ 0≤x ≤2.令(12)x ＝t ，则14≤t ≤1，y ＝4t 2－4t ＋2＝4(t －12)2＋1， 当t ＝12即x ＝1时，y min ＝1；当t ＝1即x ＝0时，y max ＝2.题型2 指数型函数的图象例2 已知函数f(x)＝|2x －1－1|. (1) 作出函数y ＝f(x)的图象；(2) 若a<c ，且f(a)>f(c)，求证：2a ＋2c <4.(1) 解：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－1，x ≥1，1－2x －1，x<1，其图象如图所示．(2) 证明：由图知，f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.若c ≤1，则2a <2，2c ≤2，所以2a ＋2c <4；若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a －1>2c －1－1，即2c －1＋2a －1<2，所以2a ＋2c <4. 综上知，总有2a ＋2c <4. 备选变式（教师专享）画出函数y ＝||3x －1的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程||3x－1＝k 无解？有一个解？有两个解？解：.由图知，当k<0时，方程无解；当k ＝0或k ≥1时，方程有一个解；当0<k<1时，方程有两个解．题型3 指数函数的综合运用例3 已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3(a>0且a ≠1)．(1) 求函数f(x)的定义域； (2) 讨论函数f(x)的奇偶性；(3) 求a 的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立． 解：(1) 由于a x －1≠0，则a x ≠1，所以x ≠0， 所以函数f(x)的定义域为{x|x ∈R ，且x ≠0}． (2) 对于定义域内任意的x ，有f(－x)＝(1a x －1＋12)(－x)3＝－⎝⎛⎭⎫a x 1－a x ＋12x 3＝－⎝⎛⎭⎫－1－1a x －1＋12x 3＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(3) ① 当a>1时，对x>0，所以a x >1，即a x －1>0，所以1a x－1＋12>0. 又x>0时，x 3>0，所以x 3⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立． 综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立． ② 当0<a<1时，f(x)＝（a x ＋1）x 32（a x －1），当x>0时，0<a x <1，此时f(x)<0，不满足题意；当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意． 综上可知，所求a 的取值范围是a>1. 变式训练设a ＞0，f(x)＝3x a ＋a3x 是R 上的偶函数．(1) 求a 的值；(2) 判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性； (3) 求函数的值域．解：(1) 因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)， 于是3a ＋a 3＝13a ＋3a ，即9＋a 23a ＝9a 2＋13a .因为a ＞0，故a ＝1.(2) 设x 2＞x 1≥0，f(x 1)－f(x 2)＝(3x 2－3x 1)(13x 2＋x 1－1)．因为3x 为增函数，且x 2＞x 1，故3x 2－3x 1＞0.因为x 2＞0，x 1≥0，故x 2＋x 1＞0，于是13x 2＋x 1＜1，即13x 2＋x 1－1＜0，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数．(3) 因为函数为偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，故f(0)＝2为函数的最小值，于是函数的值域为[2，＋∞)．1. (2013·西安一检)函数y ＝a x －1a(a>0，a ≠1)的图象可能是________．(填序号)答案：④解析：当a>1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距0<1－1a <1，故①②不正确；当0<a<1时，y ＝a x －1a 为减函数，且在y 轴上的截距1－1a<0，故④正确．2. (2013·温州二模)以下函数中满足f(x ＋1)>f(x)＋1的是________．(填序号)① f(x)＝lnx ；② f(x)＝e x ；③ f(x)＝e x －x ；④ f(x)＝e x ＋x. 答案：④解析：若f(x)＝e x ＋x ，则f(x ＋1)＝e x ＋1＋x ＋1＝e ·e x ＋x ＋1>e x ＋x ＋1＝f(x)＋1. 3. (2013·天津)设函数f(x)＝e x ＋x －2，g(x)＝lnx ＋x 2－3.若实数a 、b 满足f(a)＝0，g(b)＝0，则g(a)、f(b)、0三个数的大小关系为________．答案：g(a)<0<f(b) 解析：易知f(x)是增函数，g(x)在(0，＋∞)上也是增函数，由于f(a)＝0，而f(0)＝－1<0，f(1)＝e －1>0，所以0<a<1；又g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，所以1<b<2，所以f(b)>0，g(a)<0，故g(a)<0<f(b)．4. (2013·湖南)设函数f(x)＝a x ＋b x －c x ，其中c>a>0，c>b>0.(1) 记集合M ＝{(a ，b ，c)|a 、b 、c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b}，则(a ，b ，c)∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为________．(2) 若a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(填序号) ① x ∈(－∞，1)，f(x)>0；② x ∈R ，使a x 、b x 、c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③ 若△ABC 为钝角三角形，则x ∈(1，2)，使f(x)＝0. 答案：(1) {x|0<x ≤1} (2) ①②③解析：(1) 因为c>a>0，c>b>0，a ＝b 且a 、b 、c 不能构成一个三角形的三条边长， 所以0<2a ≤c ，所以ca ≥2.令f(x)＝0，得2a x＝c x，即⎝⎛⎭⎫c a x＝2，即x ＝log c a2，1x ＝log 2ca ≥1，所以0<x ≤1.(2) 由a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，知a ＋b>c ， 因为c>a>0，c>b>0，所以0<a c <1，0<bc <1，当x ∈(－∞，1)时，f(x)＝a x＋b x－c x＝c x⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x －1>c x ⎝⎛⎭⎫a c ＋b c －1＝c x ·a ＋b －c c >0，①正确；令a ＝2，b ＝3，c ＝4，则a 、b 、c 可以构成三角形，而a 2＝4，b 2＝9，c 2＝16不能构成三角形，②正确；由c>a ，c>b ，且△ABC 为钝角三角形，则a 2＋b 2－c 2<0.因为f(1)＝a ＋b －c>0，f(2)＝a 2＋b 2－c 2<0，所以f(x)在(1，2)上存在零点，③正确．1. 已知函数f(x)＝a －12x －1是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则f(x)的值域是________．答案：⎣⎡⎭⎫－32，－12∪⎝⎛⎦⎤12，32 解析：因为f(x)是奇函数，f(－1)＋f(1)＝0，解得a ＝－12，所以f(x)＝－12－12x －1，易知f(x)在(－∞，－1]上为增函数，在[1，＋∞)上也是增函数．当x ∈[1，＋∞)时，f(x)∈⎣⎡⎭⎫－32，－12.又f(x)是奇函数，所以f(x)的值域是⎣⎡⎭⎫－32，－12∪⎝⎛⎦⎤12，32. 2. 已知f(x)＝(e x －1)2＋(e －x －1)2，则f(x)的最小值为________．答案：－2解析：将f(x)展开重新配方得f(x)＝(e x ＋e －x )2－2(e x ＋e －x )－2，令t ＝e x ＋e －x ， 则g(t)＝t 2－2t －2＝(t －1)2－3，t ∈ [2，＋∞)， 所以，最小值为－2.3. 设函数y ＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）>K.取函数f(x)＝2－|x|.当K ＝12时，函数f K (x)的单调递增区间为________．答案：(－∞，－1)解析：函数f(x)＝2－|x|＝⎝⎛⎭⎫12|x|，作图易知f(x)≤K ＝12x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故在(－∞，－1)上是单调递增的．4. 若函数f(x)＝a x (a>1)的定义域和值域均为[m ，n]，求实数a 的取值范围．解：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝m ，a n ＝n ，即方程a x ＝x 有两个不同的解，设f(x)＝a x －x ，f ′(x)＝a x lna －1，令f′(x)＝0，得x ＝log a 1lna＝－log a lna ，分析得f(－log a lna)<0即可，∴ 1<a<e 1e .1. 指数函数是中学数学中基本初等函数之一，是高考必考内容．本部分知识在高考中主要考查指数函数的定义域、值域、图象以及主要性质(单调性)．2. 将指数函数y ＝a x (a>0，a ≠1)的图象进行平移、翻折，可作出y －y 0＝f(x －x 0)，y ＝|f(x)|，y ＝f(|x|)等函数的图象，要善于灵活应用这类函数图象变换画图和解题．3. 对可转化为a 2x ＋b·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助于换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．请使用课时训练（A ）第8课时（见活页）.[备课札记]。

高中优秀教案高一数学教案：《幂函数》

高中优秀教案高一数学教案：《幂函数》

高一数学教案：《幂函数》高一数学教案：《幂函数》一．教材分析幂函数是继指数函数和对数函数后讨论的又一基本函数。

通过本节课的学习，同学将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性讨论一个函数的意识，因而本节课更是一个对同学讨论函数的方法和力量的综合检测。

二．学情分析同学通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步把握了如何去讨论一类函数的方法，即由几个特别的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。

三．教学目标1．学问目标（1）通过实例，了解幂函数的概念；（2）会画简洁幂函数的图象，并能依据图象得出这些函数的性质；（3）了解幂函数随幂指数转变的性质改变状况。

2．力量目标在探究幂函数性质的活动中，培育同学观查和归纳力量，培育同学数形结合的意识和思想。

3．情感目标通过师生、生生彼此之间的商量、互动，培育同学合作、沟通、探究的意识品质，同时让同学在探究、解决问题过程中，获得学习的成就感。

四．教学重点常见的幂函数的图象和性质。

五．教学难点画幂函数的图象引导同学概括出幂函数性质。

六．教学用具多媒体七．教学过程（一）创设情境（多媒体投影）问题一：下列问题中的函数各有什么特征？（1）假如张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付p＝w元．这里p是w的函数．（2）假如正方形的边长为a，那么正方形的面积为s＝a2．这里s是a的函数．（3）假如立方体的边长为a，那么立方体的体积为v＝a3．这里v是a的函数．（4）假如一个正方形场地的面积为s，那么这个正方形的边长为a＝．这里a是s的函数．（5）假如某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为v＝t-1（km／s）．这里v是t的函数．由同学商量、总结，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝，v＝t-1都是自变量的若干次幂的形式．问题二：这五个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？这时，同学观查可能有些困难，老师提示，可以用x表示自变量，用y表示函数值，上述函数式变成：y＝xa的函数，其中x是自变量，a是实常数．由此揭示课题：今日这节课，我们就来讨论：2.3幂函数（二）、建立模型定义：一般地，函数y＝xa叫作幂函数，其中x 是自变量，a是实常数。