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1.3整式(专题突破)·浙江数学3年中考2年模拟

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２ ０ １ ２ ２ ０ １ ０年全国中考真题演练 ～
·台湾） 若（ ， 则｜ ．（ ２ ０ １ １ ７ 狓－ 犪）＝４ ９ 狓－ 犫 狓＋９ 犪＋ 犫 ｜之值为 ８ 何？ （ ） ． （ · 江苏连云港 ） 下列各式计算正确的是 （ ） １ ．２ ０ １ ２ ． Ａ． ２ ２ ２ ３ ５ １ ８ Ｂ ． ２ ４ ） Ａ．（ 犪＋ １ ＝ 犪 ＋ １ Ｂ ． 犪 ＋ 犪 ＝ 犪 ８ ２ ６ ２ ２ Ｃ． ３ ９ Ｄ． ４ ５ Ｃ． 犪÷ 犪＝ 犪 Ｄ． ３ 犪－ ２ 犪＝ １ （ · 江西 ） 下列运算正确的是 （ （ · 四川广安 ） 下列运算正确的是 （ ） ９ ． ２ ０ １ １ ． ） ２ ．２ ０ １ ２ ． ２· ３ ５ ２· ３ ５ Ａ． 犪＋ 犫 ＝ 犪 犫 Ｂ ． 犪 犪＝ 犪 Ａ． ３ 犪－ 犪＝ ３ Ｂ ． 犪 犪＝ 犪 ２ ２ ２ １ ５ ３ ５ ３ ３ ６ · ） 犪＋ ２ 犪 犫 犫 ＝（ 犪＋ 犫 Ｄ． ３ 犪－ ２ 犪＝ １ Ｃ． 犪 ÷ 犪＝ 犪 Ｄ．（ 犪 ）＝ 犪 Ｃ． ２ ， ２） ４ 的值等于（ （ · 湖南邵阳 ） 如果 那么 （ · 福建泉州 ） （ ） １ ０ ． ２ ０ １ １ ×３ 犪 犫 ＝３ 犪 犫 □ □ 内应填代数 ３ ．２ ０ １ ２ 犪 ． ４ ４ 式是 （ ） ． Ａ． ２ 犪 Ｂ ． ４ 犪 ８ ６ Ａ． 犪 犫 Ｂ ． ３ 犪 犫 Ｃ． 犪 Ｄ． 犪 ３ 的结果是（ （ · 河北 ） 计算 （ ） ） Ｃ． 犪 Ｄ． ３ 犪 ４ ．２ ０ １ ２ 犪 犫 ． ３ ３ ·山东聊城） 下列运算不正确的是（ １ ．（ ２ ０ １ １ ． Ａ． 犪 犫 Ｂ ． 犪 犫 ） １ ３ ３ ５ ５ ５ ２） ３ ６ Ｃ． 犪 犫 Ｄ． ３ 犪 犫 Ａ． 犪 ＋犪 ＝ ２ 犪 Ｂ ．（ － ２ 犪 ＝－ ２ 犪 ４ ３ ２ 分解因式正确的是（ ２· － ３ ２） ２ ·湖北恩施） ５ ．（ ２ ０ １ ２ 犪 犫 － ６ 犪 犫 ＋ ９ 犪 犫 ． Ｃ． ２ 犪 犪 １＝ ２ 犪 Ｄ．（ ２ 犪 － 犪 ÷ 犪 ＝ ２ 犪－ １ ） ２ （ ２ ２ （ ） ） （ ） ·内蒙古乌兰察布） 下列运算正确的是（ Ａ． 犪犫犪 － ６ 犪＋ ９ Ｂ ． 犪犫犪＋ ３ 犪－ ３ ２ ．（ ２ ０ １ １ ． ） １ ２ ２ ２ （ ２ ２· ３ ５ ２ （ ） ） Ｃ． 犫 犪 － ３ Ｄ． 犪 犫犪－ ３ Ａ． 犪 犪＝ 犪 Ｂ ． 犪＋ 犪＝ 犪 ２） ３ ５ ２（ ２ ·安徽） 下列多项式中， 能因式分解的是（ ） ６ ．（ ２ ０ １ ２ ． Ｃ．（ 犪 ＝ 犪 Ｄ． 犪 犪＋ １ ＝ 犪 ＋ １ ） ２ ２ ３ ２ （ ·上海） 计算（ ） 的结果是（ ） Ａ． 犿＋ 狀 Ｂ ． 犿 －犿＋ １ １ ３ ． ２ ０ １ ０ 犪 ． ２ ２ ５ ６ Ｃ． 犿 － 狀 Ｄ． 犿 － ２ 犿＋ １ Ａ． 犪 Ｂ ． 犪 ８ ９ ·台湾） 化简５ （ ） （ 后， 可得下列哪一个 ７ ．（ ２ ０ １ １ ２ 狓－ ３ － ４ ３ － ２ 狓） Ｃ． 犪 Ｄ． 犪 ２ ３ 的结果是（ 结果？（ ·四川泸州） 化简（ ． １ ４ ．（ ２ ０ １ ０ － ３ 狓） ２ 狓 ． ） ） ５ ５ Ａ． ２ 狓－ ２ ７ Ｂ ． ８ 狓－ １ ５ Ａ．－ ６ 狓 Ｂ ．－ ３ 狓 ５ ５ Ｃ． １ ２ 狓－ １ ５ Ｄ． １ ８ 狓－ ２ ７ Ｃ． ２ 狓 Ｄ． ６ 狓
一、选择题
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爱因斯坦与相对论 爱因斯坦曾经使用通俗的语言给人们解释过他的狭义相对论． 有一次， 一群学生围着爱因斯坦， 请他给相对论作解 释， 爱因斯坦考虑了一下， 风趣地说： “ 我打个比方， 比如你坐在火炉上烤和坐在公园柳荫下与女郎谈情说爱， 那么， 同样 的时候你觉得哪个更长？ ” 学生回答： “ 当然觉得坐在火炉上的时间长． ” 爱因斯坦听罢哈哈大笑， 说： “ 这就是相对论的内 容． ” 这个故事形象地说明时间和空间的相对性．
·安徽） 下列运算正确的是（ １ ５ ．（ ２ ０ １ ０ ． ） ２· ３ ４ ４ ４ Ａ． 犪 犪＝ 犪 Ｂ ．（ － 犪） ＝ 犪
·湖南益阳） 观察下列算式： ９ ．（ ２ ０ １ １ １ ２ ； １ × ３ － ２＝ ３ － ４ ＝－ １ ① ２ ３ ５ ２） ３ ５ ２ ； Ｃ． 犪 ＋ 犪 ＝ 犪 Ｄ．（ 犪 ＝ 犪 ２ × ４ － ３ ＝ ８ － ９ ＝－ １ ② ２ ； 二、填空题 ３ × ５ － ４＝ １ ５ － １ ６ ＝－ １ ③ ２ ２ …… ·内蒙古赤峰） 整式 犃 与 犿 －２ １ ６ ．（ ２ ０ １ ２ 犿 狀＋ 狀 的和是 （ 犿＋ ２， （ ） 请你按以上规律写出第④个算式； １ ） 则 狀 犃＝ ． ２ ２ （ ） ２ 把这个规律用含字母的式子表示出来． ·山东济宁） 若代数式狓 － ， １ ７ ．（ ２ ０ １ １ ６ 狓＋ 犫可化为（ 狓－ 犪）－ １ （ ） 你认为（ ） 式一定成立吗？并说明理由． ３ ２ 则犫 － 犪 的值是 ． 三、解答题 ２ （ · 江苏盐城 ） 化简 ： （ ） （ ） １ ８ ．２ ０ １ ２ 犪－ 犫 ＋ 犫２ 犪＋ 犫．
一、选择题
南北朝时候的数学家— — —祖冲之 祖冲之的主要成就在数学、 天文历法和机械制造三个领域， 此外历史记载祖冲之精通音律， 擅长下棋， 还写有小说《 述异
记》 祖冲之在数学上的杰出成就是关于圆周率的计算， 他采用刘徽割圆术分割到１ 又用刘徽圆周率不等式得祖冲 ． ２ ２ ８ ８边形， 之著名的圆周率不等式： 祖冲之的这一结果精确到小数点后第 位 直到一千多年后才由１ ３ ． １ ４ １ ５ ９ ２ ６ ３ ． １ ４ １ ５ ９ ２ ７ ． ７ ， ５世 ＜ π ＜ 纪的阿拉伯数学家阿尔·卡西以１ 有些外国数学史家建议把π叫做“ 祖率” ７位算 整式的乘除运算 乘法公式， 因式分解
２ ０ １ ２ ２ ０ １ ０年浙江省中考真题演练 ～
·宁波） 下列运算正确的是（ ．（ ２ ０ １ ０ ． ） ７ ２ ２ ２ ２ · （ ） Ａ． 狓 狓 ＝ 狓 Ｂ ． 狓 ＝ 狓 狔 狔 · 衢州 ） 衢州市是国家优秀旅游城市， 吸引了众多的海 １ ．（ ２ ０ １ ２ ２） ３ ６ ２ ２ ４ Ｃ．（ 狓 ＝ 狓 Ｄ． 狓 ＋ 狓 ＝ 狓 内外游客． 据衢州市 ２ ０ １ １ 年国民经济和社会发展统计报显 （ ·衢州） 如图， 边长为（ ） 的正方形纸片剪出一个边 ．２ ０ １ ０ 犿＋ ３ 示， 全年旅游总收入达１ 将１ ２ １ ． ０ ４亿元． ２ １ ． ０ ４亿元用科学记 ８ 长为 的正方形之后 ， 剩余部分又剪拼成一个矩形 （ 不重叠 犿 数法可表示为（ ． ） ） ， 若拼成的矩形一边长为 ， 则另一边长是 （ 无缝隙 ３ ． ） ９ 元 １ ０元 Ａ． １ ２ ． １ ０ ４ × １ ０ Ｂ ． １ ２ ． １ ０ ４ × １ ０ １ ０元 １ １元 Ｃ． １ ． ２ １ ０ ４ × １ ０ Ｄ． １ ． ２ １ ０ ４ × １ ０ （ · 丽水 、 金华 ） 计算 ·（ ） 的结果是 （ ２ ．２ ０ １ ２ ３ 犪 ２ 犫 ． ） Ａ． ３ 犪 犫 Ｂ ． ６ 犪 Ｃ． ６ 犪 犫 Ｄ． ５ 犪 犫 （ 第 ８题 ） ·绍兴 ） 据科学家估计， 地球年龄大约是４ ３ ．（ ２ ０ １ ２ ６ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ Ａ． ２ 犿 ＋ ３ Ｂ ． ２ 犿＋ ６ 年， 这个数用科学记数法表示为（ ． ） 犿＋ ３ Ｄ． 犿＋ ６ Ｃ． ８ ８ Ａ． ４ ． ６ × １ ０ Ｂ ． ４ ６ × １ ０ ·宁波） 据《 中国经济周刊 》 报道， 上海世博会第四轮环 ９ ．（ ２ ０ １ ０ ９ １ ０ Ｃ． ４ ． ６ × １ ０ Ｄ． ０ ． ４ ６ × １ ０ 保活动投资总金额高达 ８ 其中 ８ ２ ０ 亿元， ２ ０ 亿用科学记数法 表示为（ ） ·宁波） 下列计算正确的是（ ４ ．（ ２ ０ １ １ ． ） ． ２） ３ ６ ２ ２ ４ １ １ １ ０ Ａ．（ 犪 ＝ 犪 Ｂ ． 犪 ＋ 犪 ＝ 犪 ０ ． ８ ２ × １ ０ Ｂ ． ８ ． ２ × １ ０ Ａ． ９ ８ ·（ Ｃ．（ ３ 犪） ２ 犪） ＝ ６ 犪 Ｄ． ３ 犪－ 犪＝ ３ Ｃ． ８ ． ２ × １ ０ Ｄ． ８ ２ × １ ０ · 金华、 丽水 ） 下列各式能用完全平方公式进行分解因 二、填空题 ５ ．（ ２ ０ １ １ 式的是（ ． ） ·温州） 化简： （ ） ０ ．（ ２ ０ １ ２ ２ 犪＋ １ － 犪＝ ． １ ２ ２ ２ Ａ． 狓 ＋ １ Ｂ ． 狓 ＋ ２ 狓－ １ ·丽水、 金华） 分解因式： １ ．（ ２ ０ １ ２ ２ 狓 － ８ ＝ ． １ ２ ２ ２ １ 狓＋ 狓＋ １ Ｄ． 狓＋ ４ 狓＋ ４ Ｃ． （ · 温州 ） 分解因式 ： ２ ．２ ０ １ １ 犪－ １ ＝ ． ·湖州） 化简犪＋ ， 正确的结果是（ ·宁波） 因式分解： ．（ ２ ０ １ ０ ２ 犫 － 犫 ． ６ ） １ ３ ．（ ２ ０ １ １ 狓 狔－ 狔＝ ． ·杭州） 当狓＝７ 时， 代数式 （ ） （ ） ） Ａ． 犪－ 犫 Ｂ ．－ ２ 犫 ４ ．（ ２ ０ １ １ ２ 狓＋５ 狓＋１ －（ 狓－３ １ （ ） 的值为 Ｃ． 犪＋ 犫 Ｄ． 犪＋ ２ 狓＋ １ ．
１ ． ３ 整 式
内容清单 单项式、 多项式、 整式的概念 单项式的系数、 次数， 多 项 式 的 次 数、 项及项数的概 念， 多项式按某个字母进行升幂或降幂排列 合并同类项的法则和去括号、 添括号法则 能力要求 能用字母表示实际意义， 正确解释代数式的含义． 会利用概念判断整式、 单项式、 多项式． 会说出单项式系数、 次数、 多项式项数以及按幂排列 问题． 能掌握同类项概念， 能进行同类项合并， 能区分去括 号与添加括号法则的差异． 能区分幂的乘方、 积的乘方、 同底数幂相乘的差异． 能利用乘法公式简化整式乘除， 会利用乘法公式进行 因式分解的运算．

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专题02整式的运算与因式分解(讲练)-2023年中考一轮复习讲练测(浙江专用)(解析版)

专题02整式的运算与因式分解(讲练)-2023年中考一轮复习讲练测(浙江专用)(解析版)

2023年中考数学总复习一轮讲练测（浙江专用）第一单元数与式专题02整式的运算与因式分解（讲练）1、能并用代数式表示，会求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．2、掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；掌握同类项的有关应用．3、掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．4、同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力．5、了解整式乘法的有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算以及化简求值问题．6、会推导平方差公式和完全平方公式，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法进行因式分解.7.会用提取公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）．a a×= )1．（2022•嘉兴）计算2(2a D．3aA．a B．3a C．2【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可解决问题．【解答】解：原式123a a +==．故选：D ．2．（2022•台州）下列运算正确的是( )A ．235a a a ×=B ．238()a a =C ．2323()a b a b =D ．632a a a ¸=【分析】根据同底数的幂的乘除，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断．【解答】解：235a a a ×=，故A 正确，符合题意；236()a a =，故B 错误，不符合题意；2363()a b a b =，故C 错误，不符合题意；633a a a ¸=，故D 错误，不符合题意；故选：A ．3．（2022春•余杭区期中）已知92515x y ==，那么代数式(1)(1)3x y xy --++的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】先关键已知条件得到2x y xy +=，在整体代入到整理后的代数式即可．【解答】解：92515x y ==Q ，915xy y \=，2515xy x =，215(925)(35)x y xy xy +\=´=´，2x y xy \+=，(1)(1)3x y xy --++()13xy x y xy =-++++2()4xy x y =-++4=．故选：A ．4．（2022•金华模拟）把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，第3个数字是21，¼，则第10个数字是( )A ．378B ．372C ．482D ．389【分析】观察根据排列的规律得到第1个数字为0，第2个数字为0加6个数即为6，第3个数字为从6开始加15个数得到21，第4个数字为从21开始加24个数即45，¼，由此得到后面加的数比前一个加的数多9，由此得到第n 个数字为06(691)(692)(693)(694)..[69(2)](2)n n +++´++´++´++´+++´->，然后得到结论．【解答】解：Q 第1个数字为0，第2个数字为066+=，第3个数字为06152106(691)++==+++´第4个数字为0615244506(691)(692)+++==+++´++´，第5个数字为061524337806(691)(692)(693)++++==+++´++´++´，¼¼，第n 个数字数字为06(691)(692)(693)(694)..[69(2)](2)n n +++´++´++´++´+++´->，\第10个数字数字为06(691)(692)(693)(694)..[69(102)]378+++´++´++´++´+++´-=，故选：A ．5．（2021•鄞州区模拟）如图，在矩形ABCD 中，将两种直角边长分别为a 和()b a b >的等腰直角三角形按设图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张等腰直角三角形纸片均有重叠部分），矩形未被这两张等腰直角三角形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ．当8AD =，10AB =时，12S S -的值为( )A ．9a b +-B ．7a b +-C ．6a b +-D ．5a b +-【分析】延长PG 交AD 于点E ，过G 作GH AD ^于H ，延长IK 交CD 于点N ，过K 作KL CD ^于L ，先根据题意表示出EF 、GH 、MN 和KL 的长度，进而表示出1S 和2S ，再计算12S S -即可得出答案．【解答】解：如图，延长PG 交AD 于点E ，过G 作GH AD ^于H ，延长IK 交CD 于点N ，过K 作KL CD ^于L ，45DQF DFQ AEP APE Ð=Ð=Ð=Ð=°Q ，GEF \D 为等腰直角三角形，GH AD ^Q ，EH HF GH \==，8AD =Q ，10AB =，8EF a b \=+-，1(8)2GH a b =+-，同理：10MN a b =+-，1(10)2KL a b =+-，2211111810(8)(8)2222S a b a b a b \=´--++-´+-22211180(8)224a b a b =--++-，2221111810(10)(10)2222S a b a b a b =´--++-´+-22211180(10)224a b a b =--++-，12S S \-22222211111180(8)[80(10)]224224a b a b a b a b =--++----++-22222211111180(8)80(10)224224a b a b a b a b =--++--++-+-2211(8)(10)44a b a b =+--+-1[(8)(10)][(8)(10)]4a b a b a b a b =+-++-+--+-1(2218)24a b =+-´12(9)24a b =´+-´9a b =+-，故选：A ．6．（2022•富阳区二模）计算423a a a +-的结果等于 3a ．【分析】根据合并同类项的法则计算即可．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．【解答】解：423a a a+-(423)a=+-3a =．故答案为：3a ．7．（2022•椒江区二模）若2230x x --=，则2366x x --=　3　．【分析】根据题意得：223x x -=，整体代入求值即可．【解答】解：2230x x --=Q ，223x x \-=，\原式23(2)6x x =--336=´-96=-3=．故答案为：3．8．（2022•余杭区一模）已知2()64a b +=，2234a b +=，则ab 的值为 15　．【分析】利用完全平方公式进行计算，即可得出答案．【解答】解：2()64a b +=Q ，22264a b ab \++=，2234a b +=Q ，34264ab \+=，15ab \=，故答案为：15．9．（2022•镇海区校级模拟）对正整数n ，记12n n ´´¼´=！若1M =！2´！6´¼´！，则M 的正因数中共有完全立方数为 10　个．【分析】先把M 分解成1252235=´´的形式，然后分别讨论122，53，25，含有的立方数约数，最后求解．【解答】解：1M =！2´！3´！4´！5´！6´！1252235=´´，Q 一个完全立方数(n n 属于)M 应该具有的形式为323x n =35y 3(z x ，y ，z 均为自然数），且312x …，35y …，32z …，故这样的n 有52110´´=个，故答案为10．10．（2022•丽水二模）如图1，将一个边长为10的正方形纸片剪去两个全等小长方形，得到图2，再将剪下的两个小长方形拼成一个长方形（图3)，若图3的长方形周长为30，则b 的值为 54　．【分析】根据图形给出的已知条件列出算式，进行整式加减即可得结论．【解答】解：观察图形可得：图3的长方形的周长302(10)2(103)b b =-+-，解得54b =．故答案为：54．11．（2022•温州校级模拟）计算：（1011(1)(2cos602p --++-°；化简：（2）(2)(2)(1)x x x x -++-．【分析】（1）根据实数的混合运算法则，先计算算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、特殊角余弦值，再计算加减．（2）根据整式的混合运算法则，先计算乘法，再计算加法．【解答】解：（1011(1)()2cos602p -++-°131222=-+-´3121=-+-3=．（2）(2)(2)(1)x x x x -++-224x x x =-+-4x =-．12．（2022•萧山区二模）化简：2(2)(1)(1)x x x +-+-．方方的解答如下：222(2)(1)(1)413x x x x x +-+-=+--=．方方的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．【分析】利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．【解答】解：方方的解答不正确，正确的解答过程如下：2(2)(1)(1)x x x +-+-2244(1)x x x =++--22441x x x =++-+45x =+．13．（2022•永嘉县三模）（10|3|(2)3--+-´．（2）化简：1()(23)(28)2m n m n m m n -+-+．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先利用多项式乘多项式、单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项．【解答】解：（1）原式2316=+--2=-；（2）原式22223234m mn mn n m mn=+----2233m mn n =--．14．（2021•余杭区模拟）给出三个多项式：①2232a ab b +-，②23b ab -，③26ab b +．请任请选择两个多项式进行加法运算，并把结果分解因式．【分析】任选两式利用整式的加减运算合并同类项，再利用公式法分解因式即可．【解答】解：①+②得：22222323()()a ab b b ab a b a b a b +-+-=-=+-．①+③得：22222232644(2)a ab b ab b a ab b a b +-++=++=+．②+③得：2223672(72).b ab ab b b ab b b a -++=-=-15．（2019•拱墅区校级模拟）已知a ，b 互为相反数，（1）计算：a b +，22a b -，33a b +，44a b -，¼¼的值．（2）用数学式子写出（1）中的规律，并证明．【分析】（1）用平方差公式计算22a b -、44a b -，用降次的方法将33a b +化为22()()a b a ab b +-+的形式求解；（2）总结代数式的规律为1(1)0n n n a b ++-=，然后分n 为奇偶数讨论证明即可．【解答】（1）a b =-Q ，0a b \+=，22()()0a b a b a b -=+-=，3322()()0a b a b a ab b +=+-+=，44222222()()()()()0a b a b a b a b a b a b -=-+=+-+=¼（2）通过上面的计算可得：1(1)0n n n a b ++-=证明：①当n 为奇数时，1(1)n n n n n a b a b ++-=+，Q 由杨辉三角知n n a b +总可以表示为()a b +乘以一个整式的积的形式，0n n a b \+=，②当n 为偶数时，设2n m =，m 为整数，1(1)n n n n na b a b ++-=-22m ma b =-22()()m m a b =-()()m m m m a b a b =-+而()()m m m m a b a b -+也是最终总可以表示为()a b +和一个整式的乘积，\若a b =-，1(1)0n n n a b ++-=成立．1.整式的概念及整式的加减（2）单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．（2）多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．（3）整式：单项式和多项式统称为整式．（4）同类项以及合并同类项法则：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．2.整式的乘除（1）幂的运算性质：(1)同底数幂相乘：a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 都是整数，a ≠0)．(2)幂的乘方：(a m )n ＝a mn (m ，n 都是整数，a ≠0)．(3)积的乘方：(ab )n ＝a n ·b n (n 是整数，a ≠0，b ≠0)．(4)同底数幂相除：a m ÷a n ＝a m －n (m ，n 都是整数，a ≠0)．（2）整式乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．单项式乘多项式：m(a＋b)＝ma＋mb．多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd．（3）乘法公式：①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2．（4）整式除法：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．3.因式分解（1）因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．因式分解与整式的乘法是互逆变形．（2）因式分解的基本方法：①提取公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．②公式法：运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2．（3）因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．②如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；如果项数较多，要分组分解．③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式．④意题中因式分解要求的范围，如在有理数范围内分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x2－3)；在实数范围内分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x x，题目不作说明的，一般是指在有理数范围内分解因式．考点一整式及其加减运算例1．（2022秋•金东区期中）先化简，再求值．（1）（3a2﹣7a）+2（a2﹣3a+2），其中a＝1．（2）3xy2+（3x2y﹣2xy2）﹣4（xy2﹣x2y），其中x＝﹣4，y＝1．【分析】（1）先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答；（2）先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（1）（3a2﹣7a）+2（a2﹣3a+2）＝3a2﹣7a+2a2﹣6a+4＝5a2﹣13a+4，当a＝1时，原式＝5×12﹣13×1+4＝5﹣13+4＝﹣4；（2）3xy2+（3x2y﹣2xy2）﹣4（xy2﹣x2y）＝3xy2+3x2y﹣2xy2﹣4xy2+4x2y＝﹣3xy2+7x2y，当x＝﹣4，y＝1时，原式＝﹣3×（﹣4）×12+7×（﹣4）2×1＝12×1+7×16×1＝12+112＝124．【变式训练】1．（2022秋•西湖区校级期中）下列说法正确的是（ ）A．a是代数式，1不是代数式B．―3πa2b10的系数―3π10，次数是4C．xy的系数是0D．a、b两数差的平方与a、b两数的积的4倍的和表示为（a﹣b）2+4ab【分析】根据代数式、单项式、多项式的概念及单项式的次数、系数的定义解答．【解答】解：A、a是代数式，1也是代数式，原说法错误，故此选项不符合题意；B、单项式―3πa2b10的系数是―3π10，次数是3，原说法错误，故此选项不符合题意；C、xy的系数是1，原说法错误，故此选项不符合题意；D、a、b两数差的平方与a、b两数的积的4倍的和表示为（a﹣b）2+4ab，原说法正确，故此选项符合题意．故选：D．2．（2022秋•拱墅区期中）代数式a﹣2（4b﹣1）去括号后得（ ）A．a﹣8b﹣1B．a﹣8b+1C．a﹣8b﹣2D．a﹣8b+2【分析】直接利用去括号法则化简判断得出答案．【解答】解：a﹣2（4b﹣1）＝a﹣8b+2，故选：D．3．（2022秋•金东区期中）已知﹣5x m y3和9x2y n是同类项，则m﹣n的值是（ ）A．﹣1B．﹣5C．1D．5【分析】根据同类项的定义，求出m、n的值，再代入计算即可．【解答】解：因为﹣5x m y3和9x2y n是同类项，所以m＝2，n＝3，所以m﹣n＝2﹣3＝﹣1，故选：A．4．（2022秋•西湖区校级期中）化简：（1）3m2﹣2n2+2（m2﹣n2）（2）xy+2y2+（x2﹣3xy﹣2y2）﹣2（x2﹣xy）【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；（2）先去括号，再合并同类项即可．【解答】解：（1）3m2﹣2n2+2（m2﹣n2）＝3m2﹣2n2+2m2﹣2n2＝5m2﹣4n2；（2）xy+2y2+（x2﹣3xy﹣2y2）﹣2（x2﹣xy）＝xy+2y2+x2﹣3xy﹣2y2﹣2x2+2xy＝﹣x2．5．（2022秋•拱墅区期中）求值：（1）当a＝﹣2时，求4a2﹣3a﹣（2a2+a﹣1）+2（2﹣a2﹣4a）的值；（2）当|x﹣1|+（y+2）2＝0时，求―12x3y2―94xy+12x3y2+114xy﹣x3y﹣5+x3y的值．【分析】（1）首先利用去括号法则去括号，注意括号前面是负号时，去掉括号和负号后，括号里的每一项都要改变符号，再合并同类项，最后把a的值代入计算即可．（2）根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后将代数式化简再代值计算．【解答】解：（1）4a2﹣3a﹣（2a2+a﹣1）+2（2﹣a2﹣4a）＝4a2﹣3a﹣2a2﹣a+1+4﹣2a2﹣8a＝﹣12a+5，将a＝﹣2代入得：原式＝﹣12×（﹣2）+5＝29；（2）∵|x﹣1|+（y+2）2＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，∴x＝1，y＝﹣2，―12x3y2―94xy+12x3y2+114xy﹣x3y﹣5+x3y=12xy﹣5，当x＝1，y＝﹣2时，原式=12×1×（﹣2）﹣5＝﹣1﹣5＝﹣6．考点二、幂的运算例2．（2022秋•江北区校级期中）（1）若10x＝3，10y＝2，求代数式103x+4y的值．（2）已知：3m+2n﹣6＝0，求8m•4n的值．【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案；（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案．【解答】解：（1）∵10x＝3，10y＝2，∴代数式103x+4y＝（10x）3×（10y）4＝33×24＝432；（2）∵3m+2n﹣6＝0，∴3m+2n＝6，∴8m•4n＝23m•22n＝23m+2n＝26＝64．【变式训练】1．（2022春•拱墅区期末）下列运算正确的是（ ）A．a•a2＝a2B．2a+3b＝5abC．a6﹣a2＝a4D．（﹣2a2）3＝﹣8a6【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、a•a2＝a3，故A不符合题意；B、2a与3b不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；C、a6与﹣a2不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；D、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故D符合题意；故选：D．2．（2022春•鹿城区校级期中）(―3)2021×(―13)2022的值为（ ）A．1B．﹣1C．―13D．﹣3【分析】利用积的乘方的法则进行求解即可．【解答】解：(―3)2021×(―13)2022＝（﹣3）2021×（―13）2021×（―13）＝[（﹣3）×（―13）]2021×（―13）＝12021×（―1 3）＝1×（―1 3）=―1 3．故选：C．3．（2022春•海曙区校级期中）已知10x＝2，10y＝3，则102x+3y等于（ ）A．36B．72C．108D．24【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．【解答】解：当10x＝2，10y＝3时，102x+3y＝102x×103y＝（10x）2×（10y）3＝22×33＝4×27＝108．故选：C．4．（2022•金华校级开学）已知a2n＝4，b4n＝36，则a n•b2n的值为　±12　．【分析】根据积的乘方运算以及幂的乘方运算即可求出答案．【解答】解：当a2n＝4，b4n＝36时，∴（a n）2＝4，（b2n）2＝36，∴a n＝±2，b2n＝±6∴a n b2n＝（±2）×（±6）＝±12，故答案为：±12．5．（2022春•嵊州市期末）已知10a＝20，100b＝50，则12a+b+12的值是　2　．【分析】利用幂的乘方的法则对已知条件进行整理，再代入所求的式子进行运算即可．【解答】解：∵10a＝20，100b＝50，∴10a＝20，102b＝50，∴10a×102b＝20×50，10a+2b＝103，∴a+2b＝3，∴原式=12（a+2b）+12=32+12＝2．故答案为：2．考点三、整式的乘除及化简求值例3．（2022春•江干区校级期中）（1）填空：①x2•x3+x4•x＝　2x5　；②（3x2y）2÷（﹣9x4y）＝　﹣y　．（2）先化简，再求值：（2x+1）（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1），其中x＝2．【分析】（1）①先算同底数的幂相乘，再分别同类项；②先算积的乘方和幂的乘方，再算单项式的除法；（2）先展开，再分别同类项，化简后将x ＝2代入即可．【解答】解：（1）①x 2•x 3+x 4•x ＝x 5+x 5＝2x 5；②（3x 2y ）2÷（﹣9x 4y ）＝9x 4y 2÷（﹣9x 4y ）＝﹣y ，故答案为：①2x 5；②﹣y ；（2）原式＝2x 2﹣4x +x ﹣2﹣（x 2﹣1）＝2x 2﹣4x +x ﹣2﹣x 2+1＝x 2﹣3x ﹣1，当x ＝2时，原式＝22﹣3×2﹣1＝4﹣6﹣1＝﹣3．【变式训练】1．（2022秋•西湖区校级期中）下列计算正确的是( )A ．2233a a -=B ．22(3)(3)9ab a b a b -++=-C ．2(1)(2)2a a a a +-=+-D ．236(2)8a a -=-【分析】根据合并同类项法则、平方差公式、多项式乘多项式法则及积的乘方与幂的乘方逐一计算即可．【解答】解：A ．22232a a a -=，此选项计算错误；B ．22(3)(3)9a b a b b a -++=-，此选项计算错误；C ．2(1)(2)2a a a a +-=--，此选项计算错误；D ．236(2)8a a -=-，此选项计算正确；故选：D ．2．（2022春•杭州期中）已知0(2)a =-，1(2)b -=-，则a 与b 的大小关系为( )A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a b…【分析】直接利用零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：0(2)1a =-=Q ，11(2)2b -=-=-，a b \>．故选：A ．二．填空题（共2小题）3．（2022春•嵊州市期中）已知23a =，86b =，232a b -的值为 1.5　．【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方公式进行转化，再整体代入计算便可．【解答】解：232322(2)(2)3896 1.5a b a b b -=¸=¸=¸=，故答案为：1.5．4．（2022•永康市模拟）现有A ，B ，C 三种型号的纸片若干张，大小如图所示．从中取出一些纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，在各种拼法中，B 型纸片最多用了 7　张．【分析】根据各种卡片的面积，张数与面积之间的关系列出方程，根据方程的正整数解得出答案．【解答】解：设拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，需要A ，B ，C 三种型号的纸片a 张、b 张、c 张，由题意得，469115a b c ++=´，即55496a cb --=，又a Q 、b 、c 为正整数，若使b 最大，则a 、c 最小，\当1a =，1c =时，b 最大，7b =，拼图如图所示：故答案为：7．三．解答题（共2小题）5．（2022•鹿城区校级三模）（1）计算：02|2|20222--；（2）化简：2(21)4(3)a a a ---．【分析】（1）利用绝对值的定义、零指数幂、算术平方根、乘方运算法则计算即可；（2）利用完全平方公式，合并同类项，化简整理多项式．【解答】解：（1）原式2314=-+-4=-；（2）原式22441412a a a a=-+-+81a =+．6．（2022•义乌市模拟）化简并计算：2(12)(21)(21)(32)(12)x x x x x --+--+-，其中12x =．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x 的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：2(12)(21)(21)(32)(12)x x x x x --+--+-22214441344x x x x x =-+-+-++241x =-，当12x =时，原式214()12=´-1414=´-11=-0=．考点四、乘法公式及应用例4．（2022春•兰溪市期中）已知：x +y ＝6，xy ＝3．求下列各式的值：（1）x 2+4xy +y 2（2）x 4+y 4【分析】（1）利用完全平方公式变形可得答案；（2）首先求出x 2+y 2＝30，再根据完全平方公式变形可得答案．【解答】解：（1）∵x +y ＝6，xy ＝3，∴x 2+4xy +y 2＝x 2+2xy +y 2+2xy＝（x +y ）2+2xy＝36+6＝42；（2）∵x +y ＝6，xy ＝3，∴x 2+y 2＝（x +y ）2﹣2xy ＝36﹣6＝30，∴x 4+y 4＝（x 2+y 2）2﹣2x 2y 2＝900﹣2×9＝900﹣18＝882．【变式训练】1．（2022•长兴县开学）已知：a+b＝5，a﹣b＝1，则a2﹣b2＝（ ）A．5B．4C．3D．2【分析】把所求式子变形为（a+b）（a﹣b），再整体代入即可．【解答】解：∵a+b＝5，a﹣b＝1，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝5×1＝5，故选：A．2．（2022春•南浔区期末）若多项式9x2+mx+1是完全平方式，则符合条件的所有m的值为（ ）A．±6B．﹣6C．6D．±18【分析】根据完全平方公式的结构特征进行计算即可．【解答】解：原式＝（3x）2+mx+12＝（3x±1）2，所以m＝2×3×1＝6或m＝2×3×（﹣1）＝﹣6，因此m＝±6，故选：A．3．（2022春•绍兴期末）如图，有甲、乙、丙三种纸片各若干张，其中甲、乙分别站边长为a、b的正方形，丙是长为b、宽为a的长方形．若同时用甲、乙、丙纸片分别为4张、9张、12张拼成正方形，则拼成的正方形的边长为（ ）A．a+2b B．a+3b C．2a+3b D．3a+2b【分析】先求出拼成后的正方形的面积，然后根据正方形的面积即可求出正方形的边长．【解答】解：由题意可知拼成的正方形面积为：4a2+12ab+9b2，2a+3b，故选：C．4．（2022春•鹿城区校级期中）如果a﹣b＝4，ab＝1，则（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝　79　．【分析】利用平方差公式计算（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝（2a+2b）2﹣1＝4（a2+2ab+b2）﹣1，由已知得（a﹣b）2＝16，再由ab＝1得出a2+b2＝18，代入求值的代数式计算即可．【解答】解：∵a﹣b＝4，∴（a﹣b）2＝16，∴a2﹣2ab+b2＝16，∵ab＝1，∴a2+b2＝16+2ab＝18，∴（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝（2a+2b）2﹣1＝4（a2+2ab+b2）﹣1＝4（18+2）﹣1＝79．5．（2022•金华模拟）以下小明化简代数式（a+b）2﹣2（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2的过程：解：原式＝a2+b2﹣2（a2﹣b2）+a2﹣b2①＝a2+b2﹣2a2﹣2b2+a2﹣b2②＝﹣2b2③（1）解答过程中哪几步错误？原因是什么？（2）写出正确解答过程．【分析】（1）观察小明解答过程，找出出错的步骤即可；（2）写出正确的解答过程即可．【解答】解：（1）解答过程中第①步错，完全平方公式运用出错；第②步错，去括号出错；（2）原式＝a2+2ab+b2﹣2（a2﹣b2）+a2﹣2ab+b2＝a2+2ab+b2﹣2a2+2b2+a2﹣2ab+b2＝4b2．6．（2022春•上虞区期末）图1是一个长为2b，宽为2a的长方形，沿虚线平均分成四块，然后按图2拼成一个正方形．解答下列问题．（1）图2中阴影部分的面积可表示为　（b﹣a）2　；对于（b﹣a）2，（b+a）2，ab，这三者间的等量关系为　（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab　．（2）利用（1）中所得到的结论计算：若x+y＝﹣3，xy=―74，则x﹣y＝　±4　．（3）观察图3，从图中你能得到怎样的一个代数恒等式？再根据你所得到的这个代数恒等式探究：若m2+4mn+3n2＝0（n≠0），试求mn的值．【分析】（1）根据拼图以及各部分面积之间的关系可得答案；（2）由（1）的关系式进行计算即可；（3）由面积之间的关系可得（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2；由m2+4mn+3n2＝0可得（m+n）（m+3n）＝0，即m+n＝0或m+3n＝0，进而求出答案．【解答】解：（1）阴影部分是边长为b﹣a的正方形，因此面积为（b﹣a）2，根据拼图以及面积之间的关系可得，（b﹣a）2，（b+a）2，ab，这三者间的等量关系为（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab，故答案为：（b﹣a）2；（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab；（2）由（1）可得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝9+7＝16，∴x﹣y＝±4，故答案为：±4；（3）整个长方形是长为a+3b，宽为a+b，因此面积为（a+3b）（a+b），整个长方形的面积也可看作8个部分的面积和，即a2+4ab+3b2，因此有（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2；∵m2+4mn+3n2＝0（n≠0），即（m+n）（m+3n）＝0，∴m+n＝0或m+3n＝0，∴mn=―1或mn=―3．考点五、因式分解例5．（2022春•新昌县期末）将下列每个多项式与因式分解适用的方法连线：【分析】（1）原式提公因式可分解因式；（2）原式利用完全平方公式分解即可；（3）原式利用平方差公式分解即可；（4）原式利用完全平方公式分解即可；（5）原式提公因式可分解因式．【解答】解：①2a2﹣2a＝2a（a﹣1），提公因式法；②b2+6b+9＝（b+3）2，运用完全平方公式；③4﹣c2＝（2+c）（2﹣c），运用平方差公式；④4x2﹣12x+9＝（2x﹣3）2，运用完全平方公式；⑤2（a﹣b）2﹣a+b＝（a﹣b）（2a﹣2b﹣1），提公因式法；【变式训练】1．（2022春•杭州期中）因式分解：a2﹣9＝　（a+3）（a﹣3）　；a2b﹣6ab+9b＝　b（a﹣3）2　．【分析】根据因式分解的方法依次进行因式分解即可．【解答】解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）；a2b﹣6ab+9b＝b（a2﹣6a+9）＝b（a﹣3）2，故答案为：（a+3）（a﹣3），b（a﹣3）2．2．（2022春•柯桥区期末）计算：20232﹣20222＝　4045　．【分析】根据平方差公式进行因式分解便可简便运算．【解答】解：原式＝（2023+2022）×（2023﹣2022）＝4045．故答案为：4045．3．（2022春•丽水期末）已知正数a，b，c，满足a﹣b＝b﹣c＝1，ab+ac+bc＝4．（1）a﹣c＝　2　；（2）如图是三张叠放的正方形纸片，其边长分别为c，c+1，c+2，若这三张正方形纸片的面积之和为S，则S的值为　7　．【分析】（1）由等式a﹣b＝b﹣c＝1，得出a比b大1，b比c大1，由此得出a比c大2．（2）根据a﹣b＝b﹣c＝1，得出a＝c+2，b＝c+1，将其代入ab+ac+bc＝4得出3c2+6c﹣2＝0，通过计算3张正方形纸片的面积和S，化简后得出S＝3c2+6c+5，用整体代入法把3c2+6c＝2代入得出S的值．【解答】解：（1）∵a﹣b＝b﹣c＝1，∴b＝c+1，∵a﹣b＝1，∴a﹣（c+1）＝1得出a﹣c＝2．故答案为：2．（2）由（1）知，a＝c+2，b＝c+1，把a＝c+2，b＝c+1代入ab+ac+bc＝4得，（c+2）（c+1）+（c+2）c+（c+1）c＝4，c2+2c+c+2+c2+2c+c2+c＝4，3c2+6c﹣2＝0，这三张正方形纸片的面积之和S＝c2+（c+1）2+（c+2）2＝c2+（c2+2c+1）+（c2+4c+4）＝3c2+6c+5，把3c2+6c＝2代入，S＝2+5＝7．故答案为：7．4．（2022•长兴县开学）分解因式：（1）ab﹣2b；（2）（a﹣b）2﹣6（a﹣b）+9．【分析】（1）运用提公因式法进行因式分解．（2）逆用完全平方公式进行因式分解．【解答】解：（1）ab﹣2b＝b（a﹣2）．（2）（a﹣b）2﹣6（a﹣b）+9＝（a﹣b﹣3）2．5．（2022春•杭州期中）给出三个多项式：①a2+3ab﹣2b2，②b2﹣3ab，③ab+6b2．（1）请任选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解；（2）当a＝4，b＝﹣7时，求第（1）问所得的代数式的值．【分析】（1）选择①③，相加得a2+4ab+4b2然后运用公式法因式分解即可；（2）将a＝4，b＝﹣7代入（1）计算即可．【解答】解：（1）选择①③（答案不唯一），a2+3ab﹣2b2+ab+6b2．＝a2+4ab+4b2＝（a+2b）2；（2）当a＝4，b＝﹣7，原式＝（4﹣14）2＝100．考点六、数字与图形的变化规律例6．（2022秋•上城区校级期中）完成下列填空：（1）已知a1=11×2×3+12=23，a2=12×3×4+13=38，a3=13×4×5+14=415，……，依据上述规律，则a99＝　199×100×101+199　＝　999800　．（2）有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来（排在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形．如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是　3n+1　；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是　3n+2　．（3）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：a1=12―(1+12)；第2个数：a2=13―(1+12)(1+(1)23)(1+(1)34)；第3个数：a3=14―(1+12)(1+(1)23)(1+(1)34)(1+(1)45)(1+(1)56)；……则第n个数为：　1n1―（1+12）（1+(1)23）（1+(1)34） (1)(1)2n―12n）　．【分析】（1）通过观察可得a n=1n(n1)(n2)+1n1=nn21，再运用此规律运算即可；（2）通过观察发现平行四边形与三角形交替出现，则当n是奇数时，组成图形的周长为3n+5，当n是偶数时，组成图形的周长为3n+4；（3）通过观察得到一般规律即可．【解答】解：（1）∵a1=11×2×3+12=23，a2=12×3×4+13=38，a3=13×4×5+14=415，……，∴a n=1n(n1)(n2)+1n1=nn21，∴a99=199×100×101+199=999921=999800，故答案为：199×100×101+199，999800；（2）当所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，拼成一个平行四边形，∵四边形与三角形的边长都是2，∴平行四边形的边长分别为8和2，∴组成的大平行四边形的周长是2×（8+2）＝20，当n是奇数时，组成图形的周长为3n+5，当n是偶数时，组成图形的周长为3n+4，故答案为：20，3n+5，3n+4；（3）∵第1个数：a1=12―(1+12)；第2个数：a2=13―(1+12)(1+(1)23)(1+(1)34)；第3个数：a3=14―(1+12)(1+(1)23)(1+(1)34)(1+(1)45)(1+(1)56)；……∴第n个数：a n=1n1―（1+12）（1+(1)23）（1+(1)34） (1)(1)2n―12n），故答案为：1n1―（1+12）（1+(1)23）（1+(1)34） (1)(1)2n―12n）．【变式训练】1．（2022秋•上城区校级期中）观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，试利用上述规律判断算式7+72+73+74+…+72020结果的末位数字是（ ）A．0B．1C．3D．7【分析】观察所给等式发现规律末位数字为：7，9，3，1，7，9，3，…，每4个数一组循环，进而可得算式7+72+73+74+…+72020结果的末位数字．【解答】解：观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，发现规律：末位数字为：7，9，3，1，7，9，3，…，每4个数一组循环，所以2020÷4＝505，而7+9+3+1＝20，20×505＝10100，所以算式7+72+73+74+…+72020结果的末位数字是0，故选：A．2．（2021•柯城区开学）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是（ ）A．71B．70C．65D．59【分析】观察图形可知，第1个图形共有圆点5+2个；第2个图形共有圆点5+2+3个；第3个图形共有圆点5+2+3+4个；第4个图形共有圆点5+2+3+4+5个；…；则第n个图形共有圆点5+2+3+4+…+n+（n+1）个；由此代入n＝10求得答案即可．【解答】解：根据图中圆点排列，当n＝1时，圆点个数5+2；当n＝2时，圆点个数5+2+3；当n＝3时，圆点个数5+2+3+4；当n＝4时，圆点个数5+2+3+4+5，…∴当n＝10时，圆点个数5+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11＝4+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）＝4+12×11×（11+1）＝70．故选：B．3．（2021秋•滨江区期末）将1，2，4按如图方式进行排列，记（m，n）为该图形中第m行从左往右第n 个数，例如图中圆圈中的“2”可以用（3，4）表示．若a＝（2021，9），b＝（5，7），则﹣a b＝（ ）A．﹣1B．﹣4C．﹣16D．4【分析】根据题意计算出a和b的值，再代入代数式可得答案．【解答】解：由题意可得，前1行的数字个数总数是1＝12，前2行的数字个数总数是4＝22，前3行的数字个数总数是9＝32，…，所以前n行的数字个数总数是n2，当n＝2020时，n2＝20202＝4080400，即a是第4080400+9＝4080409个数字，4080409÷3＝1360136……1，∴a＝1，当n＝4时，n2＝42＝16，即b是第16+7＝23个数字，23÷3＝7……2，∴b＝2，∴﹣a b＝﹣12＝﹣1．故选：A．4．（2022秋•瑞安市期中）如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．﹣2a6b﹣9c…（1）可求得a＝　6　，第2022个格子中的数为　﹣9　；（2）求前2022个格子中所填整数之和S的值；（3）若前m个格子中所填整数之和S＝﹣2022，求m的值．（直接写出答案即可）【分析】（1）根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a的值，再根据第9个数是﹣9，可得b＝﹣9，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2022除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解；（2）可先计算出这三个数的和，再照规律计算．（3）由于是三个数重复出现，因此可用前三个数的重复多次计算出结果．【解答】解：（1）设第三个数为x，第四个数为y，由题意得：a+x+y＝x+y+6，∴a＝6，∵﹣2+a+x＝a+x+y，∴y＝﹣2．根据表格可以看出，数据的规律为每三个数是一个循环，∴x＝b＝﹣9．∵2022÷3＝674，∴第2022个格子中的数与第三个格子中的数相同为：﹣9．故答案为：6，﹣9；（2）S＝674×（﹣2+6﹣9）＝﹣3370；（3）∵﹣9+6﹣2＝5，（﹣2022）÷（﹣5）＝404 (2)∴前404组数据之和为﹣2020，∵404×3＝1212，∴前1213个格子中所填整数之和S＝﹣2022，∴m＝1213．5．（2022秋•西湖区校级期中）观察算式：①1×3+1＝4＝22；②2×4+1＝9＝32；③3×5+1＝16＝42；④4×6+1＝25＝52．根据你发现的规律解决下列问题：（1）写出第5个算式：　5×7+1＝36＝62　；（2）写出第n个算式：　n（n+2）+1＝（n+1）2　；（3）计算：（1+11×3）×（1+12×4）×（1+15×7）× (1)198×100×（1+199×101）．【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；（2）分析所给的等式的形式进行总结即可；（3）利用所给的等式的形式，把所求的式子进行整理，从而可求解．【解答】解：（1）由题意得：第5个算式为：5×7+1＝36＝62，故答案为：5×7+1＝36＝62；（2）由题意得：第n个算式为：n（n+2）+1＝（n+1）2，故答案为：n（n+2）+1＝（n+1）2；（3）（1+11×3）×（1+12×4）×（1+15×7）× (1)198×100×（1+199×101）=1×311×3×2×412×4×5×715×7×⋯×98×100198×100×99×101199×101=221×3×322×4×625×7×⋯×99298×100×100299×101=21×23×32×34×65×67×⋯×9998×99100×10099×100101=32×65×100101=180 101．。

1.1实数(专题突破)·浙江数学3年中考2年模拟

1.1实数(专题突破)·浙江数学3年中考2年模拟


２ ０ １ ２ ２ ０ １ ０年浙江省中考真题演练 ～
一、选择题
·湖州） １ ．（ ２ ０ １ ２ － ２的绝对值等于（ ． ） Ａ． ２ Ｂ ．－ ２ １ Ｃ． Ｄ．± ２ ２ ·杭州） 计算（ ） ） 的结果是（ ．（ ２ ０ １ ２ ２ － ３ ＋（ － １ ． ２ ） Ａ．－ ２ Ｂ ． ０ Ｃ． １ Ｄ． ２ ·衢州） 下列四个数中， 最小的数是（ ３ ．（ ２ ０ １ ２ ． ） Ａ． ２ Ｂ ．－ ０ ７ × １ ０ Ｂ ． ４ ． ０ ７ × １ ０ １ １元 １ Ｃ． ４ ． ０ ７ × １ ０ Ｄ． ４ ． ０ ７ × １ ０２元 １ ·天津） 据某域名统计机构公布的数据显示， 截止 ２ ２ ．（ ２ ０ １ ２ ０ １ ２ 年５月２ 我国“ ” 域名注册量约为５ 居全球 １日， 犖 犈 犜 ６ ０ ０ ０ ０ 个， 第三位， 用科学记数法表示为（ ． ） ５ ４ Ａ． ５ ６ ０ × １ ０ Ｂ ． ５ ６ × １ ０ ５ ６ Ｃ． ５ ． ６ × １ ０ Ｄ． ０ ． ５ ６ × １ ０ Ａ．－ ２ Ｂ ．－ ０ ． １ ·北京） 首届中国 （ 北京 ） 国际服务贸易交易会 （ 京交 １ ３ ．（ ２ ０ １ ２ Ｃ． ０ Ｄ． － １ ｜ ｜ 会） 于２ 本届京交会期间签订项目成交 ０ １ ２年６月１日闭幕， ·山西） 计算－ ４ ．（ ２ ０ １ ２ ２ － ５的结果是（ ． ） 总金额为６ 美元， 将６ ０ １ １ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０１ １ ００ ０ ００ ０ ０ 用科学记 Ａ．－ ７ Ｂ ．－ ３ 数法表示为（ ． ） Ｃ． ３ Ｄ． ７ ９ ９ Ａ． ６ ． ０ １ １ × １ ０ Ｂ ． ６ ０ ． １ １ × １ ０ ·四川南充） 计算２ ） 的结果是（ ５ ．（ ２ ０ １ ２ －（ － ３ ． ） １ ０ １ １ Ｃ． ６ ． ０ １ １ × １ ０ Ｄ． ０ ． ６ ０ １ １ × １ ０ Ａ． ５ Ｂ２ ０ １ ２ １ Ｃ．－ １ Ｄ．－ ５ 襄阳 ” ， 能搜索到与之相关的结果个数约有 ， 这个数 ２ ３ ６０ ０ ０ ·山东济宁） 在数轴上到原点距离等于２的点所表示的 ６ ．（ ２ ０ １ ２ ） 用科学记数法表示为（ ． 数是（ ． ） ３ ３ Ａ． ２ ． ３ ６ × １ ０ Ｂ ． ２ ３ ６ × １ ０ Ａ．－ ２ Ｂ ． ２ ５ ６ Ｃ． ２ ． ３ ６ × １ ０ Ｄ． ２ ． ３ ６ × １ ０ Ｃ．± ２ Ｄ．不能确定 ·湖南衡阳） ·四川乐山） 规定收入为正， 支出为负， 收入５ ．（ ２ ０ １ ２ ２ ０ １ ２年我省各级政府将总投入 ５ ９ ４ 亿元 ７ ．（ ２ ０ １ ２ ０ ０ 元记作 １ ５ 元 ， 那么支出 元记作 （ ） 教育经费用于教育强省战略 ， 将 亿用科学记数法 （ 保留 ５ ０ ０ ２ ３ ７ ５ ９ ４ ． 表示为（ 两个有效数字） Ａ．－ ５ ０ ０元 Ｂ ．－ ２ ３ ７元 ． ） １ ０ １ ０ Ｃ． ２ ３ ７元 Ｄ． ５ ０ ０元 Ａ． ５ ． ９ ４ × １ ０ Ｂ ． ５ ． ９ × １ ０ １ １ １ （ · 陕西 ） 如果零上 记作 ， 那么零下 可记作 ８ ．２ ０ １ ２ ５℃ ＋ ５℃ ７℃ Ｃ． ５ ． ９ × １ ０ Ｄ． ６ ． ０ × １ ００ （ ． ） １ －１等于（ ２ ２ ·湖北鄂州） 计算－ ） １ ６ ．（ ２ ０ １ １ ２ ＋（ － ２ － － ． ） ２ Ａ．－ ７℃ Ｂ ．＋ ７℃ Ａ． ２ Ｂ ．－ ２ Ｃ．＋ １ ２℃ Ｄ．－ １ ２℃ ２ 的值为（ ·广西玉林） 计算２ Ｃ． ６ Ｄ． １ ０ ９ ．（ ２ ０ １ ２ ． ） 小明家冰箱冷冻室温度为 －５℃， 调高 １ ．（ ２ ０ １ １· 四川乐山 ） ７ Ａ． １ Ｂ ． ２ 后的温度为 （ ） ４℃ ． Ｃ． ４ Ｄ． ８ ·安徽） 下面的数中， 与－ Ａ． ４℃ Ｂ ． ９℃ １ ０ ．（ ２ ０ １ ２ ３和为０的数是（ ． ） Ｃ．－ １℃ Ｄ．－ ９℃ Ａ． ３ Ｂ ．－ ３
专题 整式的乘除(全章)(提升练)-2023-2024学年七年级数学下册专项突破讲与练(北师大版)

专题 整式的乘除(全章)(提升练)-2023-2024学年七年级数学下册专项突破讲与练(北师大版)

专题1.35整式的乘除（全章直通中考）（提升练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）以下4组图形及相应的代数恒等式：①()2222a b a ab b +=++②()2222a b a ab b -=-+③22()()a b a b a b +-=-④22()()4a b a b ab-=+-其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023·江西·统考中考真题）计算：（a+1）2﹣a 2=．12．（2020·广西·中考真题）计算：ab •（a +1）＝．13．（2019·浙江衢州·统考中考真题）已知实数m ，n 满足13m n m n -=⎧⎨+=⎩，则代数式22m n -的值为.14．（2022·江苏泰州·统考中考真题）已知22222,2,()a m mn b mn n c m n m n =-=-=-≠用“＜”表示a b c 、、的大小关系为.15．（2020·湖北宜昌·中考真题）数学讲究记忆方法．如计算()25a 时若忘记了法则，可以借助()25555510a a a a a +=⨯==，得到正确答案．你计算()5237a a a -⨯的结果是．16．（2012·山东菏泽·中考真题）将4个数,,,a b c a 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a bc d，定义a b ad bc c d=-，上述记号就叫做2阶行列式．若11811x xx x +-=-+，则x =．17．（2012·辽宁阜新·中考真题）如图1，在边长为a 的大正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2．这个拼成的长方形的长为30，宽为20．则图2中Ⅱ部分的面积是．18．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开)7,10三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·江苏盐城·统考中考真题）先化简，再求值：()()()2333a b a b a b +++-，其中2a =，1b =-.20．（8分）（2022·广西·统考中考真题）先化简，再求值()()()22x y x y xy xy x +-+-÷，其中11,2x y ==．22．（10分）（2022·河北·统考中考真题）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，()()22212110++-=为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m ，n ，请论证“发现”中的结论正确．（2）一个“勾股和数”M 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，记()9c dG M +=，()()()103a cb d P M -+-=．当()G M ，()P M 均是整数时，求出所有满足条件的M ．24．（12分）（2023·河北·统考中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(1)a >．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为12,S S ．（1）请用含a 的式子分别表示12,S S ；当2a =时，求12S S +的值；（2）比较1S 与2S 的大小，并说明理由．参考答案：1．B【分析】分别利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则分别计算即可．解：235a a a ⋅=，故选项A 不符合题意；532a a a ÷=，故选项B 符合题意；23a a +无法合并同类项，故选项C 不符合题意；5051a a a -=-，故选项D 不符合题意．故选B ．【点拨】本题主要考查合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．D【分析】根据科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析即可解答．解：A.12119.4610109.4610⨯÷=⨯，故该选项错误，不符合题意；B.12129.46100.46910⨯-≠⨯，故该选项错误，不符合题意；C.129.4610⨯是一个13位数，故该选项错误，不符合题意；D.129.4610⨯是一个13位数,正确，符合题意．故选D ．【点拨】本题主要考查了科学记数法、同底数幂乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答本题的关键．3．A【分析】根据幂的乘方法、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法以及合并同类项逐项判断即可．解：A ．()23236a a a ⨯==，故A 选项计算正确，符合题意；B ．62624a a a a -÷==，故B 选项计算错误，不合题意；C ．34347a a a a +==⋅，故C 选项计算错误，不合题意；D ．2a 与a -不是同类项，所以不能合并，故D 选项计算错误，不合题意．故选：A ．【点拨】本题主要考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算以及整式的加减运算等知识点，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．4．D【分析】根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则进行计算即可．解：∵325a a a ⋅=，故A 不符合题意；∵4=3ab ab ab -，故B 不符合题意；∵()22211a a a ++=+，故C 不符合题意；∵()236a a -=，故D 符合题意；故选：D ．【点拨】本题考查同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则，熟练掌握相关法则是解题的关键．5．B【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方法则逐项判断即可得．解：A 、2a a a -=，则此项错误，不符合题意；B 、325a a a ⋅=，则此项正确，符合题意；C 、()222ab a b =，则此项错误，不符合题意；D 、()428=a a ，则此项错误，不符合题意；故选：B ．【点拨】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．6．A【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可．解：∵()()2221x x x +--=∴225x x -=∴222432(2)313x x x x -+=-+=故选：A ．【点拨】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键．7．D【分析】直接利用积的乘方运算法则以及整式的除法运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．③（b ﹣c ）÷a ＝b÷a ﹣c÷a （a≠0），正确；④a÷（b+c ）＝a÷b+a÷c （a≠0），错误，无法分解计算．故选C ．【点拨】本题考查的是去括号，熟练掌握乘法分配律，除法分配律是解题的关键.10．D【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，故选：D ．【点拨】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积．11．2a+1解：【分析】原式利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可得到结果．解：（a+1）2﹣a 2=a 2+2a+1﹣a 2=2a+1，故答案为2a+1.【点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及合并同类项的法则是解题的关键.12．a 2b +ab ．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案.解：原式＝a 2b +ab ，故答案为：a 2b +ab .【点拨】此题考查整式的乘法运算法则：单项式乘以多项式，等于单项式分别乘以多项式的每一项的和.13．3【分析】先利用平方差公式因式分解，再将m +n 、m -n 的值代入、计算即可得出答案．解：∵1m n -=，3m n +=，∴22()()313m n m n m n -=+-=⨯=.故答案为3【点拨】本题考查平方差公式，解题关键是根据平方差公式解答．解得：=2x ．【点拨】本题考查了新定义，整式的混合运算，解一元一次方程，理解新定义是关键．17．100．解：由题意，得图2中Ⅱ部分长为b ，宽为a －b ，∴a+b=30{a b=20-，解得a=25{b=5．∴图2中Ⅱ部分的面积是()()a b b=2555=100-⋅-⋅．18．()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点拨】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．19．226a ab +，4-【分析】根据完全平方公式和平方差公式展开后化简，最后代入求值即可．解：()()()2333a b a b a b +++-2222699a ab b a b =+++-226a ab=+当2a =，1b =-时，原式()2226214=⨯+⨯⨯-=-．【点拨】本题考查整式混合运算的化简求值，解题的关键是根据完全平方公式和平方差公式展开．20．x 2-2y ，0【分析】首先运用平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式计算，最后合并同类项，即可化简，然为整数，【点拨】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解题的关键．。

2023年中考数学一轮复习满分突破专题04 整式的乘除-【题型方法解密】

2023年中考数学一轮复习满分突破专题04 整式的乘除-【题型方法解密】

专题04 整式的乘除【热考题型】【知识要点】 知识点一 幂的运算同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

n m n m a a a +=·（其中m 、n 为正整数） 【注意事项】1）当底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，再根据指数的奇偶来确定结果的正负，并且化简到底。

2）不能疏忽指数为1的情况。

例：a ·a 2＝a1＋2＝a 33）乘数a 可能是有理数、单项式或多项式。

4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。

5）逆用公式：n m n m a a a ·=+（m,n 都是正整数） 【扩展】三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即p n m p n m a a a a ++=··（m ，n ，p 都是正整数） 考查题型一 同底数幂的乘法典例1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）计算a 2·a （ ） A ．aB ．3aC ．2a 2D ．a 3变式1-1．（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ） A ．810B ．1210C ．1610D ．2410变式1-2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若42222m ⨯=，则m 的值为（ ）A ．8B ．6C ．5D ．2变式1-3．（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为1210a ⨯，则a 的值是（ ） A ．0.11 B ．1.1 C ．11 D ．11000易错点总结：幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.mnn m a a =)((其中m ，n 都是正整数).【注意事项】1）负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。