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相互独立事件的定义：如果事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
若A，B是两个相互独立事件，则A与，与，与B都是相互独立事件。
相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生，记做A·B，P（A·B）＝P（A）·P（B）。
若A1，A2，…A n相互独立，则n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1·A2·…·A n）＝P（A1）·P（A2）·…·P （A n）。
相互独立事件同时发生的概率计算：（1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；（2）（2）正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算。
相互独立事件的定义相互独立是设A，B是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立。
设A，B是试验E的两个事件，若P(A)>0，可以定义P(B∣A)。
一般A的发生对B发生的概率是有影响的，所以条件概率P(B∣A)≠P(B)。
1特殊事件必然事件记作Ω，样本空间Ω也是其自身的一个子集，Ω也是一个“随机”事件，每次试验中必定有Ω中的一个样本点出现，必然发生。
不可能事件记作Φ，空集Φ也是样本空间的一个子集，Φ也是一个特殊的“随机”事件，不包含任何样本点，不可能发生。
事件关系事件A是事件B的子事件，事件A发生必然导致事件B发生，事件A的样本点都是事件B的样本点，记作A⊂B。
若A⊂B且B⊂A，那么A=B，称A和B为相等事件，事件A与事件B含有相同的样本点。
和事件发生，即事件A发生或事件B发生，事件A与事件B至少一个发生，由事件A与事件B所有样本点组成，记作A∪B。
积事件发生，即事件A和事件B同时发生，由事件A与事件B的公共样本点组成，记作AB或A∩B。
相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件之间的发生互不影响，但可能会同时发生。
2.2.2 事件的相互独立性一、知识复习问题一：1）条件概率定义及公式2）什么是相互独立事件？3）若A，B独立，则A、A，B，B关系如何？4）什么是互斥事件？对立事件？二、知识学习问题二：互斥事件与独立事件的区分：互斥事件与独立事件的区分：（1）互斥事件：一次试验中的两个事件，不可能同时发生。
（2）相互独立事件：两个试验中的各一个事件，一个事件是否发生对另一个事件是否发生没有影响。
这两个事件可以同时发生，也可同时不发生。
问题三：两相互独立事件同时发生的概率：例题1某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；（注：指定号码为中奖号码）(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．例1解答提示： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A）U（B）表示．由于事件A与B互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P (A）十P（B）=P（A）P（）+ P（）P（B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A）U （B）表示．由于事件 AB , A和 B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P（A）+ P（ B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：（1）人都射中目标的概率；（2）人中恰有人射中目标的概率；（3）人至少有人射中目标的概率；（4）人至多有人射中目标的概率？例2解答提示：记“甲射击次，击中目标”为事件，“乙射击次，击中目标”为事件，则与，与，与，与为相互独立事件，（1）人都射中的概率为：，∴人都射中目标的概率是．（2）“人各射击次，恰有人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件发生）根据题意，事件与互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：∴人中恰有人射中目标的概率是．（3））：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是，∴“两人至少有1人击中目标”的概率为．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，故所求概率为：．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率解：分别记这段时间内开关，，能够闭合为事件，，．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是．答：在这段时间内线路正常工作的概率是．例3 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？例3解答提示：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A、B、C，则P（A）=0.9，P（B）=0.8，P（C）=0.85，P=[1-P（A）]•[1-P（B）]•[1-P（C）]=（1-0.9）×（1-0.8）×（1-0.85）=0.003答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003．（Ⅱ）P=[1-P（A）]•P（B）•P（C）+P（A）•[1-P（B）]•P（C）+P（A）•P（B）•[1-P（C）]=（1-0.9）×0.8×0.85+0.9×（1-0.8）×0.85+0.9×0.8×（1-0.85）=0.329．答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329．例4三个元件T 1、T 2、T 3正常工作的概率分别为,43,43,21将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路.（Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由.11例4解答提示：记“三个元件T 1、T 2、T 3正常工作”分别为事件A 1、A 2、A 3，则.43)(,43)(,21)(321===A P A P A P（Ⅰ）不发生故障的事件为（A 2+A 3）A 1.（2分） ∴不发生故障的概率为321521]41411[)()]()(1[)4)(()(])[(1321311321=⨯⨯-=⋅⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P 分（Ⅱ）如图，∴把T 2或T 3放在T 1的位置才能使电路中不发生故障的概率最大． 此时不发生故障的概率最大.证明如下： 图1中发生故障事件为（A 1+A 2）·A 3 ∴不发生故障概率为3221)()]()(1[)()(])[(3213213212=⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P )11(12分P P >∴。
相互独立事件的概念相互独立事件是概率论中一个重要的概念，它指的是两个或多个事件之间没有任何关联，即一个事件的发生与另一个事件的发生无关。
在实际生活中，我们经常会遇到一些相互独立的事件，例如抛硬币的结果（正面或反面）、投掷骰子的结果（1到6之间的数字）等等。
首先，我们来介绍一下事件的概念。
事件是指一个可能发生或未发生的事情，可以是一个具体的结果，也可以是多个结果的集合。
例如，抛硬币的结果可以是正面或反面，投掷一个骰子的结果可以是1到6之间的任意一个数字。
在概率论中，我们使用概率来描述事件发生的可能性。
概率的取值范围为0到1之间，表示事件发生的可能性大小。
对于相互独立事件来说，它们之间的概率是独立的，一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。
假设有两个相互独立的事件A和B，它们的概率分别为P(A)和P(B)。
那么同时发生事件A和事件B的概率可以用乘法法则表示为P(A ∩ B) = P(A) × P(B)。
这个公式说明了两个相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
举个例子来说明相互独立事件的概念。
假设有一个装有10个红球和10个蓝球的袋子，从中随机抽取两个球，每次抽取后都将球放回袋中。
我们定义事件A为第一次抽取得到红球，事件B为第二次抽取得到红球。
由于每次抽取都是独立的，所以事件A和事件B是相互独立的。
事件A的概率为抽取得到红球的概率，即P(A) = 10/20 = 1/2。
事件B的概率也是1/2，因为每次抽取都是独立的，所以第二次抽取得到红球的概率仍然是10/20 = 1/2。
根据乘法法则，事件A和事件B同时发生的概率为P(A ∩ B)= P(A) × P(B) = 1/2 × 1/2 = 1/4。
也就是说，在两次抽取中同时得到红球的概率为1/4。
除了乘法法则之外，我们还可以使用加法法则来计算相互独立事件的概率。
当两个事件A和B不同时发生时，它们的概率之和等于它们各自的概率之和，即P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
相互独立事件的集合关系
互斥事件交集为空，那么相互独立事件呢？有交集的事件一定是相互独立事件吗？
如果相互独立事件没有明确的集合关系，那么它们之间就没有集合图像吗？
我来帮他解答
互斥事件交集为空，那么相互独立事件呢？
独立事件的交集一般不为空,除非某一事件的概率为空.
你画一个正方形□,□内为全体事件,以面积的大小表示事件的多少.
再画一横线,变成了日,日的上面的框内为事件A,
然后画一竖线,变成了田.田的左侧两个框内为事件B,
此时,左上方为事件AB,
AB为独立事件.
因为无论你如何上下移动横线,事件AB的面积除以事件A的面积始终等于事件B的面积除以全体事件的面积.
同样,无论如何移动竖线,事件AB的面积除以事件B的面积始终等于事件A的面积除以全体事件的面积.
当你把竖线换成斜线结果就不同了,或者当你把□形换成○形结果也会不同的.你试试,此时的AB就不是独立事件了.
相互独立事件可以这样理解:
在事件A的概率为P(A),事件B的概率为P(B),事件AB的概率为P(AB),则
P(AB)/P(A)=P(B),就是说在发生了A的事件中发生了B的概率的大小(这是条件概率)和所有事件中发生B的概率是相同的.
在不发生事件A的概率为P(A非),事件B的概率为P(B),不发生事件A发生B的概率为P(A非B),则
P(A非B)/P(A非)=P(B),就是说在不发生A的事件中发生了B的概率的大小(这是条件概率)和所有事件中发生B的概率是相同的.
换句话说,是否发生A与发生B的概率无关.
当然将所有的A换成B,将B换成A,上边的说法仍然成立.
有交集的事件一定是相互独立事件吗？
不是的.前面说的将竖线变成斜线后的关系就是反例,我举一个实例:
事件A:今天西安城区平均温度高于30°,
事件B:明天西安城区平均温度高于30°.
今天明天连续两天温度高于30°的情况有吗?我想是有的.
如果今天西安城区平均温度高于30°,那么明天西安城区平均温度高于30°的可能性我觉得会更高一些,于是这两个事件就不是独立事件了.
如果相互独立事件没有明确的集合关系，那么它们之间就没有集合图像吗？
我想前面的两个你清楚了,后面的这个就不用我说了吧.
当A1A2A3……An相互独立P（A1A2A3……An）=P(A1)*P(A2)*P(A3)*P(A4)*……*P(An)
解读独立事件的概率和条件概率
1.理解独立事件的本质:一个事件是否发生对另一个事件是否发生不产生联系，事件的相互独立性的概念可以推广到n个事件之间的相互独立.条件概率具有概率的一般性质，即概率值都在[o，1」内，若事件B，C互斥，则尸(BUC}A)-P(B}A)+P(C IA)等.
2.
学会分析事件之间的关系，一个实际问题中往往涉及多个事件，正确理解这些事件之间
的相互关系是解决问题的核心.一般的思路是先把所要解决的随机事件分成若干个互斥事件的和，再把这些互斥事件中的每一个事件分成若干个相互独立事件的乘积，把所要求的随机事件的概率计算转化为已知的一些事件的概率之积、之和的计算.侧，甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球.甲袋装有2个红球，2个白球;乙袋装有2个红球，n个白球.从甲、乙两袋中各取2个球. (l)若n一3，求取到的4个球全是红球的概率; (2)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为3一子，求n.4’一_.分析:第(l)问是两个相互独立事件同时发生的概率;第(2)问可以转化为其对立事件进而求解.解:(1)记“取到的4个球全是红球”为事件A，则点评:把复杂问题简单化是解决数学问题的一...... (本文共计1页) [继
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