三次样条曲线推导过程

三次样条插值算法原理
三次样条插值算法是一种用于在已知离散数据点上插值的方法。

它使用三次多项式来拟合数据点，并保证拟合的曲线在每个数据点处具有一阶和二阶连续性。

具体原理如下：1.假设有n个已知的数据点(x_i, y_i)，其中i=0,1,...,n-1。

2.在每个相邻的数据点之间插入一个三次多项式p_i(x)，将插值问题转化为求解n个多项式的系数。

3.三次多项式p_i(x)的表达式为
p_i(x)=a_i+b_i(x-x_i)+c_i(x-x_i)^2+d_i(x-x_i)^3，其中a_i, b_i, c_i, d_i为待求系数。

4.要确定这些系数，需要满足以下条件：(1) 在每个数据点处，曲线通过该点：p_i(x_i)=y_i。

(2) 在相邻数据点之间，曲线一阶连续：
p_i(x_i+1)=p_{i+1}(x_i)，即p_i(x_i+1)=p_{i+1}(x_i)，对于1 ≤i ≤n-2。

(3) 在相邻数据点之间，曲线二阶连续：p'_i(x_i+1)=p'_{i+1}(x_i)，即
p'_i(x_i+1)=p'_{i+1}(x_i)，对于1 ≤i ≤n-2。

5.通过求解上述条件，可以得到一系列线性方程组，其中未知数为待求系数。

解出这些系数后，即可得到每个数据段的三次多项式，从而完成插值。

三次样条插值算法的优点是插值曲线的平滑性好，并且对于不符合插值条件的数据点有较好的适应性。

它广泛应用于数据分析、图形绘制等领域。

B 样条函数一到三次的详细推导过程已知第k 个关节的1n +个控制点(0,1,2,,)i P i n =L ，可以定义r 次B 样条函数，其可以表示为,0()()ni i r i Q t PN t ==∑这里,()i r N t 为r 次B 样条函数的基函数，可以由以下递推公式得到1,01()0i i i t t t N t +≤≤⎧=⎨⎩其它1,,11,111()=()()i i r i r i r i r i r i i r i t t t tN t N t N t t t t t ++-+-++++--+--B 样条的阶次对轨迹的性能影响比较大，阶次低光顺性不好，阶次高容易引起振荡，因此选择三次B 样条函数，当阶次3r =时，第i 段轨迹可以表示为一次B 样条函数推导2,1,01,0121()=()()i i i i i i i i i t t t tN t N t N t t t t t +++++--+--11,121221[,]()=[,]ii i i ii i i i i i t t t t t t tN t t t t t t t t +++++++-⎧∈⎪-⎪⎨-⎪∈⎪-⎩如果令11i i t t +-=，且将区间都变化为[0,1]，在区间[1,2]用1t t =+变换上式,1[0,1]()=1[0,1]i tt N t t t ∈⎧⎨-∈⎩0,1i =为了使在000,1111,1(),P P N t P P N ==，故将上式变换为,11[0,1]()=[0,1]i t t N t t t -∈⎧⎨∈⎩ 0,1i =二次B 样条函数推导3,2,11,1231()=()()i i i i i i i i i t t t tN t N t N t t t t t +++++--+--2313,2,01,01,02,021********()=(()())(()())i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t t t t t tN t N t N t N t N t t t t t t t t t t t t t +++++++++++++++++------+++------121231,212221312133233132[,]()=[,][,]i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t t t t t t t t t t t t t N t t t t t t t t t t t t t t t tt t t t t t t +++++++++++++++++++++++⎧--⋅∈⎪--⎪⎪----⋅+⋅∈⎨----⎪⎪--⋅∈⎪--⎩如果令11i i t t +-=，且将区间都变换为[0,1]，在区间[1,2]用1t t =+，在区间[2,3]用2t t =+变换上式，同时为了保证000,2222,2(),P P N t P P N ==，调整顺序得下式22,221(21)[0,1]21()=(221)[0,1]21[0,1]2i t t t N t t t t tt ⎧-+∈⎪⎪⎪-++∈⎨⎪⎪∈⎪⎩0,1,2i =三次B 样条函数推导4,3,21,2341()=()()i i i i i i i i i t t t tN t N t N t t t t t +++++--+--公式过长，分两部分表示，首先第一部分3,2,11,133231()(()())i i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t t N t N t N t t t t t t t t t +++++++----=+----=2,01,032121(()())i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t tN t N t t t t t t t t t +++++++----⋅⋅++----3131,02,03312132(()())i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t tN t N t t t t t t t t t ++++++++++++----⋅+----第二部分44141,21,12,141413142()(()())i i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t tN t N t N t t t t t t t t t +++++++++++++++----=+----=41131,02,041312132(()())i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t tN t N t t t t t t t t t ++++++++++++++----⋅+----+44242,03,041423243(()())i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t tN t N t t t t t t t t t ++++++++++++++----⋅+----由于公式过长，下面按照区间来表示，首先在1[,]i i t t t +∈区间321i i ii i i i i it t t t t t t t t t t t +++---⋅⋅--- 1[,]i i t t t +∈在12[,]i i t t t ++∈区间231322133121i i i i i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ++++++++++++------⋅⋅+⋅⋅+------411413121i i i i i i i i i t t t t t t t t t t t t +++++++++---⋅⋅--- 12[,]i i t t t ++∈在23[,]i i t t t ++∈区间3341333132413132i i i i i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t t t t t tt t t t t t t t t t t t ++++++++++++++++------⋅⋅+⋅⋅+------442414232i i i i i i i i i t t t t t t t t t t t t +++++++++---⋅⋅--- 23[,]i i t t t ++∈在34[,]i i t t t ++∈区间444414243i i i i i i i i i t t t t t tt t t t t t +++++++++---⋅⋅--- 34[,]i i t t t ++∈上面四个区间表达式写在一起可以表示为321231411322133121413121,3333()i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t tt t t t t t t t t t t t N t t t t t t t t t ++++++++++++++++++++++++++++---⋅⋅------------⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅---------=--⋅--3413442132413132414232444414243i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ++++++++++++++++++++++++++++++⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨-------⎪⋅+⋅⋅+⋅⋅⎪-------⎪---⎪⋅⋅⎪---⎩以上是B 样条的一般表达式，我们常用的是均匀B 样条，其一般是在[0,1]区间。

三次样条曲线表达式三次样条曲线是一种常用的插值方法，用于在给定的数据点之间进行平滑插值。

三次样条曲线由一组三次多项式组成，在每个相邻数据点之间使用不同的三次多项式来实现平滑曲线的连接。

这些三次多项式在相邻数据点处具有连续的一阶和二阶导数，以确保曲线的平滑性和连续性。

要表示三次样条曲线的表达式，首先需要确定数据点的坐标和插值方法。

假设我们有n个数据点 (x_0, y_0), (x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)，我们可以使用三次样条插值方法来计算出每个相邻数据点之间的三次多项式表达式。

具体而言，三次样条曲线由n-1个三次多项式组成，每个三次多项式在相邻数据点之间定义。

假设第i个三次多项式在区间[x_{i-1}, x_i] 上的表达式为 S_i(x)，其中 i = 1, 2, ..., n-1。

在每个区间 [x_{i-1}, x_i] 上，三次样条曲线的表达式为：S_i(x) = a_i(x x_i)^3 + b_i(x x_i)^2 + c_i(x x_i) + d_i.其中 a_i, b_i, c_i, d_i 是待定系数。

为了确定这些系数，我们需要满足一些插值条件，例如在每个数据点处函数值相等，以及相邻区间的三次多项式在相邻数据点处的一阶和二阶导数相等。

通过解这些条件，可以得到每个区间上的三次多项式的系数，从而得到整个三次样条曲线的表达式。

最终的三次样条曲线表达式将是所有区间上三次多项式的组合。

总之，三次样条曲线的表达式包括了每个相邻数据点之间的三次多项式表达式，通过满足插值条件来确定每个区间上的系数，从而得到整个曲线的表达式。

这样的表达式能够实现对给定数据点之间的平滑插值，从而得到连续且平滑的曲线。