高二数学《合情推理(类比推理)》学案

掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

●教学重点：归纳推理及方法的总结。

●教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。

●教具准备：与教材内容相关的资料。

●课时安排：1课时●教学过程：一.问题情境(1)原理初探①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。

④思考：整个过程对你有什么启发？⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

归纳推理的发展过程(2)皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠—“歌德巴赫猜想”。

链接:世界近代三大数学难题之一。

哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。

1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。

如6＝3＋3，12＝5＋7等等。

公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

(b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想。

欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。

从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。

2.1.1合情推理（第2课时）类比推理学案（含答案）第2课时类比推理学习目标1.了解类比推理的含义.特征，能利用类比进行简单的推理.2.能正确区别归纳推理与类比推理的不同点，了解合情推理的合理性知识点一类比推理思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征1火星也是绕太阳公转.绕轴自转的行星；2有大气层，在一年中也有季节更替；3火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等由此，科学家猜想火星上也可能有生命存在他们使用了什么样的推理答案类比推理梳理1类比推理的定义根据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法2类比推理的思维过程大致如图3特征由特殊到特殊的推理知识点二合情推理思考1归纳推理与类比推理有何区别与联系答案区别归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理联系在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假思考2归纳推理和类比推理的结论一定正确吗答案不一定正确梳理1合情推理的含义合情推理是根据已有的事实.正确的结论.实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理2合情推理的过程1由合情推理得出的结论一定是正确的2合情推理必须有前提有结论3类比推理不能猜想类型一数列中的类比推理例1设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列，类比以上结论有设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列答案解析由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列下面证明该结论的正确性设等比数列bn的公比为q，首项为b1，则T4bq6，T8bq127bq28，T12bq1211bq66，T16bq1215bq120，bq22，bq38，bq54，即2T4，2，故T4，，，成等比数列反思与感悟已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论其中d，q分别是公差和公比，m，n，p，rN*等差数列等比数列定义anan1dn2anan1qn2通项公式ana1n1dana1qn1性质若mnpr，则amanapar若mnpr，则amanapar跟踪训练1若数列annN*是等差数列，则有数列bnnN*也是等差数列；类比上述性质，相应地若数列cnnN*是等比数列，且cn0，则有数列dn______________nN*也是等比数列答案解析数列annN*是等差数列，则有数列bnnN*也是等差数列类比猜想若数列cnnN*是各项均为正数的等比数列，则当dnnN*时，数列dn也是等比数列类型二几何中的类比推理例2如图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想解如题图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类似地，如图所示，在四面体PDEF中，PDFPDEEDF90.设S1，S2，S3和S分别表示PDF，PDE，EDF和PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2SSS成立反思与感悟1类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目.位置关系.度量等方面入手由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论2中学阶段常见的类比知识点等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下平面图形空间图形点直线直线平面边长面积面积体积三角形四面体线线角面面角跟踪训练2在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为，，cos2cos21，则在立体几何中，给出类比猜想解在长方形ABCD中，cos2cos2221.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为，，，则cos2cos2cos21.类型三合情推理的应用例3我们已经学过了等差数列，思考一下有没有等和数列呢1类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；2探索等和数列an的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明；3在等和数列an中，如果a1a，a2b，求它的前n项和Sn.解1如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列2由1知anan1an1an2，所以an2an.所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等3当n为奇数时，令n2k1，kN*，则SnS2k1S2k2a2k1abaabaab；当n为偶数时，令n2k，kN*，则SnS2kkabab所以它的前n项和Sn反思与感悟定义类比应用问题是常考查的题型，通过对某种概念的定义及性质的理解，类比出其他相似概念的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能力，其解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性跟踪训练3定义“等积数列”在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积已知数列an是等积数列，且a12，公积为6，求这个数列的前n项和Sn.解由定义，得an前n项和Sn1由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则“mnnm”类比得到“abba”；“mntmtnt”类比得到“abcacbc”；“t0，mtntmn”类比得到“c0，acbcab”；“|mn||m||n|”类比得到“|ab||a||b|”以上类比得到的正确结论的序号是________答案2下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是________填序号三角形；梯形；平行四边形；矩形答案解析因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行3在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为________答案18解析设两个正四面体的体积分别为V1，V2，则V1V2S1h1S2h2S1h1S2h218.4已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则类似结论为________________答案a1a2a929解析等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a1a2a929.5三角形的面积为Sabcr，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得到四面体的体积为_____________________________________答案S1S2S3S4rS1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为内切球的半径解析ABC的内心为O，连结OA，OB，OC，将ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c.类比设四面体ABCD的内切球球心为O，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以VS1S2S3S4r.1在进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误2提高所得结论的准确性的常用技巧1类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些2这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性3这些共同相似属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面.。

2.1.1合情推理1．归纳推理(1)概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类事物的□02全部对象都具有这些特征的推理，或由□03个别事实概括出□04一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由□05部分到□06整体、由□07个别到□08一般的推理．(3)一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些□09相同性质；第二步，从已知的□10相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．2．类比推理(1)概念：由两类对象具有某些□11类似特征和其中一类对象的某些□12已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由□13特殊到□14特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的□15相似性或□16一致性；第二步，用一类事物的□17性质去推测另一类事物的□18性质，得出一个明确的命题(猜想)．3．合情推理(1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过□19观察、□20分析、□21比较、□22联想，再进行□23归纳、□24类比，然后提出□25猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用. ()(3)归纳推理是由个别到一般的推理．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n2＋a n(n∈N*)，则可归纳猜想{a n}的通项公式为__________________．(2)数列5,9,17,33，x，…中的x等于________．(3)等差数列{a n}中有2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{b n}中类似的结论是__________．答案(1)a n＝2n＋1(n∈N*)(2)65(3)b2n＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N*)探究1 数列中的归纳推理例1已知数列{a n}的首项a1＝1，且a n＋1＝a n1＋a n(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解] 当n ＝1时，a 1＝1， 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12，当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13，当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14，…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列{a n }的通项公式是a n ＝1n .[解法探究] 此题有没有其他解法呢？ [解] 因为a n ＋1＝a n 1＋a n ，即1a n ＋1＝1a n ＋1，所以1a n ＋1－1a n＝1，又a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，公差为1的等差数列．所以1a n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝1n . 拓展提升在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前n 项和公式，归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能．【跟踪训练1】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为________．答案2n n ＋1解析 因为a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝4a 2，所以a 2＝13，所以S 2＝13×4＝43，同理，可得S3＝64，S4＝85，归纳可得，S n＝2nn＋1.探究2 几何中的归纳推理例2定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中(1)，(2)，(3)，(4)，那么图中的(a)，(b)所对应的运算结果可能是()A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D[解析]从运算图形中，归纳出“*”表示什么运算，A，B，C，D分别表示什么图形，即可研究(a)，(b)所对应的运算结果．依题意，运算“*”表示图形叠加，由4个运算图形归纳得出：A是一条竖直线段，B是一个正方形，C是一条水平线段，D是一个圆．所以(a)中的图形应为B*D，(b)中的图形应为A*C.故选B.[答案] B拓展提升归纳推理在几何中应用的关键在几何中随点、线、面等元素的增加，探究相应的线段、交点、区域部分等的增加情况常用归纳推理解决，寻找递推关系是解决该类问题的关键．【跟踪训练2】设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n>4时，f(n)＝________(用含n的数学表达式表示)．答案512(n－2)(n＋1)解析 由图可知，f (4)＝5，当n >4时，可得递推式f (n )－f (n －1)＝n －1.由f (n )－f (n －1)＝n －1，得f (n －1)－f (n －2)＝n －2，…，f (4)－f (3)＝3，叠加可得， f (n )－f (3)＝12(n ＋2)(n －3)．又f (3)＝2，所以f (n )＝12(n ＋2)(n －3)＋2， 化简、整理，得f (n )＝12(n －2)(n ＋1)． 探究3 数列中的类比推理例3 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．[解析] 等比数列类比等差数列时，其中积类比和，除法类比减法，于是可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．[答案] T 8T 4 T 12T 8拓展提升类比推理的一般模式为：A 类事物具有性质a ，b ，c ，d ，B 类事物具有性质a ′，b ′，c ′(a ，b ，c 分别与a ′，b ′，c ′相似或相同)，所以B 类事物可能具有性质d ′(d 与d ′相似或相同)．【跟踪训练3】 若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有通项满足b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn(n ∈N*)的数列也是等差数列．类比上述性质，相应地有，若数列{c n }(n ∈N *)是等比数列，且c n >0，则通项满足d n ＝________(n ∈N *)的数列也是等比数列．答案nc 1c 2c 3…c n解析 由等差数列、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性，等差数列与等比数列类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比．由此猜想d n ＝nc 1c 2c 3…c n .探究4 几何中的类比推理例4 平面几何里有“设直角三角形ABC 的两直角边分别为a ，b ，斜边上的高为h ，则1a 2＋1b 2＝1h 2”，拓展到空间，研究三棱锥的侧棱长与底面上的高间的关系可以得出的正确结论是：“设三棱锥A －BCD 的三条侧棱两两垂直，其长分别为a ，b ，c ，平面BCD 上的高为h ，则________”．[解析] 如图所示，设A 在底面的射影为O ，连接BO 并延长交CD 于E .连接AE ，由AB ⊥AC ，AB ⊥AD 得AB ⊥平面ACD .∴AB ⊥AE .设AE ＝h 1，在Rt △ABE 中，由已知可得1a 2＋1h 21＝1h 2.又易证CD ⊥平面ABE ，∴CD ⊥AE .在Rt △ACD 中有1h 21＝1b 2＋1c 2，∴1a 2＋1b 2＋1c 2＝1h 2.[答案] 1a 2＋1b 2＋1c 2＝1h 2 拓展提升解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：平面图形 点 直线 边长 面积 三角形 线线角 空间图形 直线平面面积体积四面体面面角【跟踪训练4】 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB ，AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB 2＋AC 2＝BC 2.若三棱锥A －BCD 的三个侧面ABC ，ACD ，ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为________．答案 S 2△BCD ＝S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB解析 在直角三角形中，根据勾股定理，两个直角边的平方和是斜边的平方，类比到三个侧面两两垂直的三棱锥中，有三个两两垂直的侧面面积的平方和等于第四个面的面积的平方．合情推理主要包括归纳推理与类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．但是，归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠.1．如下图所示的是一串黑白相间排列的珠子，按这种规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大答案 A解析 由图可知，三白二黑周而复始相继排列．因为36÷5＝7余1，所以第36颗珠子的颜色与第一颗珠子的颜色相同，即为白色．2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2答案 C解析观察可知，每多一条金鱼，需要多出6根火柴，而第一条金鱼用了6＋2＝8根火柴棒，所以金鱼火柴棒根数的通项公式为6n＋2.故选C.3．请仔细观察，运用合情推理，写在下面横线上的数最可能的是1,1,2,3,5，________，13.答案8解析从第三项起，每一项是它前两项的和，根据这个规律，应填写的数字是8.4．在平面内与圆心距离相等的两弦的长相等，类似地，在空间内与________．答案球心距离相等的两截面的面积相等解析由圆可类比球，圆的弦可类比球的截面圆．5．已知数列{a n}满足a n＋1＝12－a n(n∈N*)，a1＝0，试通过计算a2，a3，a4，a5的值，猜测{a n}的通项公式．解由a n＋1＝12－a n和a1＝0，得a2＝12－0＝12，a3＝12－12＝23，a4＝12－23＝34，a5＝12－34＝45.观察以上5项，猜测{a n}的通项公式为a n＝n－1n.A级：基础巩固练一、选择题1．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n －2nD ．a n ＝3n －1＋2n －3答案 A解析 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，猜想a n ＝3n －1. 2．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13， f (1)＝2，则f (2019)等于( ) A ．13 B ．2 C.132 D.213 答案 C解析 ∵f (x )·f (x ＋2)＝13，f (1)＝2， ∴f (3)＝13f (1)＝132，f (5)＝13f (3)＝2， f (7)＝13f (5)＝132，f (9)＝13f (7)＝2，…，∴f (2019)＝132.选C.3．下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形答案 C解析 类比空间中的平行六面体，平面中有平行四边形． 4．下面使用类比推理，得出正确结论的是( )A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc”C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”D．“(ab)n＝a n b n”类比出“(a＋b)n＝a n＋b n”答案 C解析A中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成0，其结论不成立；B中，乘法满足对加法的分配律，但乘法不满足对乘法的分配律；C是正确的；D中，令n＝2显然不成立．5．在平面直角坐标系内，方程xa＋yb＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为()A.xa＋yb＋zc＝1 B.xab＋ybc＋zca＝1C.xyab＋yzbc＋zxca＝1 D．ax＋by＋cz＝1答案 A解析因为在平面直角坐标系中，方程xa＋yb＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴、y轴上的截距分别为a，b”，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为xa ＋yb＋zc＝1.6．在数学解题中，常会碰到形如“x＋y1－xy”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足a si nπ5＋b cosπ5a cosπ5－b si nπ5＝t an8π15，则ba＝()A．4 B.15 C．2 D. 3 答案 D解析将已知式变形，则有a si n π5＋b cosπ5a cos π5－b si nπ5＝a t anπ5＋ba－b t anπ5＝t anπ5＋ba1－ba t anπ5＝t an8π15，类比正切的和角公式，即t an(α＋β)＝t an α＋t an β1－t an αt an β，可知只有当b a ＝t an π3＝3时，上式成立．二、填空题7．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.答案 a ＋b <210(a >0，b >0且a ≠b ，a ＋b ＝20)解析 观察题目所给的不等式，归纳可得出两根号下的两数之和为20.8．等差数列{a n }中，a n >0，公差d>0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系：________.答案 b 4＋b 8>b 5＋b 7解析 在等差数列{a n }中，a n >0，公差d>0，∴{a n }是各项均为正数的递增数列，∵4＋6＝3＋7，且a 4·a 6>a 3·a 7，∴在等比数列{b n }中，b n >0，q >1，则{b n }为各项均为正数的递增数列． 又∵4＋8＝5＋7，∴b 4＋b 8>b 5＋b 7.9．观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2n π2n ＋1－2＝________. 答案 43n (n ＋1)解析 每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和，因此答案为43n (n ＋1)． 三、解答题 10．已知数列{a n }的第一项a 1＝1，且a n ＋1＝a n 1＋2a n(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5；(2)归纳猜想这个数列的通项公式．解 (1)当n ＝1时，a 1＝1，由a n ＋1＝a n 1＋2a n(n ∈N *)，得a 2＝13， a 3＝a 21＋2a 2＝15，a 4＝a 31＋2a 3＝17，a 5＝a 41＋2a 4＝19. (2)由a 1＝1＝11，a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19，可归纳猜想a n ＝12n －1(n ∈N *)． B 级：能力提升练11．过△ABC 边AB 上任一点O 分别作OA 1∥AC ，OB 1∥BC ，与BC ，AC 分别交于点A 1，B 1，则OA 1AC ＋OB 1BC 为定值1.试写出类比到空间的结论．解 如图1所示，这个命题的正确性很容易由相似三角形的性质推出，也不难用“面积法”证得定值为1，类比到空间，则有：如图2所示，过四面体VABC 的面ABC 上任一点O ，分别作OA 1∥VA ，OB 1∥VB ，OC 1∥VC ，其中A 1，B 1，C 1分别是所作直线与侧面的交点，则OA 1VA ＋OB 1VB ＋OC 1VC 为定值1.12．我们知道12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，…n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，左右两边分别相加，得n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n，所以1＋2＋3＋…＋(n－1)＝n(n－1)2.类比上述推理方案写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．解记S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，S k(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋n k(k∈N*)．已知13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，…n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.将左右两边分别相加，得S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.由此知S2(n)＝n3＋3n2＋2n－3S1(n)3＝2n3＋3n2＋n6＝n(n＋1)(2n＋1)6.。

《合情推理》导学案一、学习目标1、了解合情推理的含义和两种基本形式——归纳推理和类比推理。

2、掌握归纳推理和类比推理的特点及应用，能运用它们进行简单的推理。

3、体会合情推理在数学发现和生活中的作用，培养创新意识和逻辑思维能力。

二、学习重难点1、重点（1）归纳推理和类比推理的概念和特点。

（2）运用归纳推理和类比推理解决问题。

2、难点（1）如何从具体问题中抽象出合情推理的模式。

（2）提高合情推理的准确性和可靠性。

三、知识链接1、推理的定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。

2、推理的结构：推理通常由前提和结论两部分组成。

前提是已知的判断，结论是根据前提推导出的新判断。

四、学习过程（一）自主学习1、归纳推理（1）概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。

（2）特点：归纳推理是从特殊到一般的推理过程。

（3）例如：①观察下列等式：1 ＝ 11 ＋ 3 ＝ 41 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 91 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＝ 16……通过观察上述等式，我们可以发现从 1 开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方，即 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋ 2n 1 ＝ n²。

②考察金、银、铜、铁都能导电，而金、银、铜、铁都是金属，从而得出“金属都能导电”的结论。

2、类比推理（1）概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。

（2）特点：类比推理是从特殊到特殊的推理过程。

（3）例如：①平面内，三角形的内角和是 180°，空间中，四面体的内角和是360°，因为三角形是平面图形，四面体是空间图形，且它们在形状上有一定的相似性，所以可以通过类比得出四面体的内角和。

②在平面直角坐标系中，以点(x, y)为圆心，r 为半径的圆的方程为(x a)²＋（y b)²＝ r²，类比到空间直角坐标系中，以点(x, y, z)为球心，r 为半径的球的方程为(x a)²＋（y b)²＋（z c)²＝ r²。

高中数学合情推理教案主题：合情推理年级：高中时间：2个课时教学目标：1. 理解合情推理的概念和重要性。

2. 掌握合情推理在数学中的应用方法。

3. 提高学生的逻辑思维和推理能力。

教学重点：1. 合情推理的概念和原理。

2. 合情推理在解决数学问题中的应用。

教学难点：1. 学生在实际问题中如何运用合情推理。

2. 如何培养学生的逻辑思维和推理能力。

教学准备：1. 教师准备教学课件、讲义等教学辅助工具。

2. 学生准备笔记本、铅笔等学习工具。

教学步骤：第一步：导入（10分钟）1. 引入合情推理的概念，让学生思考什么是合情推理。

2. 以生活中的实际例子，让学生体会合情推理的重要性。

第二步：讲解合情推理（20分钟）1. 讲解合情推理的定义和原理。

2. 分析数学中常见的合情推理方法，如分类、比较等。

第三步：练习（30分钟）1. 给学生提供一些数学问题，让他们根据合情推理的方法来解决。

2. 指导学生如何运用合情推理思维来解题。

第四步：讨论与总结（20分钟）1. 小组间展示解题思路和结果，让学生互相交流、讨论。

2. 教师总结本节课学习的重点和难点，引导学生复习巩固。

第五步：作业布置（5分钟）1. 布置相关阅读作业，让学生进一步了解合情推理的应用领域。

2. 提醒学生及时复习和总结本节课学习内容。

教学反思：通过本节课的教学，学生对合情推理的概念有了更清晰的理解，能够在解决数学问题中灵活运用合情推理的方法。

但是，在练习环节中有些学生还存在一定的困难，需要在今后的教学中加强练习和引导，帮助他们提高逻辑思维和推理能力。

1． 什么叫类比推理？2． 类比推理的思维过程是什么？例1．（G.Polya ）波利亚的类比：类比加法与乘法，并列出它们类似的性质。

探究：由上述例题，你联想到减法该与何种运算类比？说说你的结论和想法？你能继续引申说出其他代数运算间的类比吗？数学应用：等差数列可以与___________类比？请你说出它们之间类比的得到的一些正确的结论。

例2：几何上的类比：试将平面上的圆与空间中的球进行类比。

分析一：为何是圆和球进行类比？该类比是合情合理吗？写出原因.1.若数列{a n }是等差数列，则有数列na a ab n n +++= 21也为等差数列；类比上述性质， 相应地，若数列{C n }是等比数列，且C n >0，则有数列d n =__________________也是等比数列.2.已知命题“若数列{a n }为等差数列，且,a a m =b a n =（m<n ，m,n ∈N *），则mn am bn a n m --=+” 现已知数列{b n }（b n >0，n ∈N *）为等比数列，且,a b m =b b n =（m<n ，m,n ∈N *），类比上述结论，则可得到b m+n =_____________3.通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为22R ”.猜想关于球的相应命题为____________________________________4.先解答（1），再通过类比解答（2）（1）已知正三角形的边长为a ，求它们的内切圆的半径r ；（2）已知正四面体的棱长为a ，求它的内切球的半径。

5．命题p ：“若实数数列{a n }是等比数列，满足)(1042a a a =64，则数列{a n }的前11项的积为定值”。

由于印刷问题，括号处的数模糊不清，已知命题P 是真命题，则可推得括号处的数为__________________类比上述真命题，将本题改编成以等差数列为背景的一个题。

第二课时 合情推理——类比推理一、教学目标1、知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；（2）能利用类比进行简单的推理；（3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。

2、方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

3、情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的基本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。

培养分析问题的能力、学会解决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。

二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：归纳推理的概念：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。

我们将这种推理方式称为归纳推理。

注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。

①归纳推理的要点：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子方法归纳。

（二）、引入新课：据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦•惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等。

又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯作出推理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。

惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。

（三）、例题探析例1：已知：“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？解：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面。

2.1.1 合情推理—类比推理导学案（2）教学目标1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识类比推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2、类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

教学重点、难点教学重点了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

教学难点用类比进行推理，做出猜想。

教学过程一、复习引入1、什么叫推理?推理由哪几部分组成?2、合情推理的主要形式有和.3、归纳推理是从事实中概括出结论的一种推理模式二、问题情境情境1：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子。

他的思路是这样的：茅草是齿形的，茅草能割破手，需要一种能割断木头的，它也可以是齿形的。

这个推理过程是归纳推理吗？______________情境2、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇。

三、学生活动1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯；2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇；3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征：1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；2)有大气层,在一年中也有季节变更；3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等。

科学家猜想：火星上也可能有生命存在。

4)利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理.四、数学建构1、类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)。

2、类比推理的几个特点：（1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果；（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性； （3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠,但它却有发现的功能. 表一：利用平面向量的性质类比得空间向量的性质 1122-=-(,)a b a a b =1(,λλλa a a ⋅=+11a b a b a ⇔=,λa b a ⊥⇔a b a b ⑦21||=+a a -=--1223(,a b a b a =1(,λλλa a a ⋅=+11a b a b a ⇔=,λa b ⊥⇔a b a b ⑦21||=+a a 表二：在形状上和概念上，都有类似的地方，即具有完美的对称性都是到定点的距离等于定长的点的集合。

高二数学科学案§2.1.1 合情推理（2）——类比推理、合情推理【学习目标】1.结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识类比推理在数学发现中的作用【学习难点】利用归纳法进行间接的类比推理【问题导学】预读教材第71—77页有关内容回答下列问题：1.试将平面上的圆与空间的球进行类比，填写教材表格提示：圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合球的定义：对应的类比圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积2.什么是类比推理？其基本步骤是什么？3.类比推理的特点以及类比的原则是什么？4.类比推理的结论一定正确吗？5.什么叫做合情推理，用框图的形式将合情推理的过程写出来。

并叙述合情推理在数学中的作用。

【实践演练】用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.【基础练习】1.下列说法中正确的是（）.A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是类比推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2.下面使用类比推理正确的是（）.A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()bc ac c b a -=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“cb c a c b a +=+ （c≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）3.三角形的面积为()c b a r c b a S ,,,21⋅++=为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）A 、abc V 31=B 、Sh V 31= C 、()r S S S S V 432131+++= （4321,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）D 、)(,)(31为四面体的高h h ac bc ab V ++=. 4.判断下列推理那些是合情推理，那些是不合情推理：（1）c b b a //,//，则c a //； （2）c b c a ⊥⊥,，则c a ⊥（3）三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，五边形的内角和为540°；（4）今天星期日，七天之后也是星期日5.在等差数列{}n a 中，若010=a 有等式n n a a a a a a -+++=+++192121 ()*,19N n n ∈<成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有什么等式成立？ 注意阅读导学方案中的“点拨”体会推理的特征。

合情推理教学案（二）班级姓名学号面批时间课前预习案【学习目标】1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.【自学导引】1.类比推理：根据不同事物之间具有某些（或）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理。

2.类比推理是从到的过程。

3.类比推理的一般步骤是：（1）、（2） .【预习自测】根据下表利用圆的性质类比球的有关性质.圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的弦长相等，上面哪些性质，类比的结论是正确的，哪些是错误的？课内探究案例1 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.变式：把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立：1 如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交。

2 如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行。

【当堂检测】在三角形中有下面的性质：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边；(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；(4)三角形的面积，（为三角形的三边长，为三角形的内切圆半径)．请类比写出四面体的有关性质．课后拓展案A 组1.下列说法中正确的是（ ）.A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2. 下面使用类比推理正确的是（ ）.A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c+=+ （c≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ） B 组在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55……中的x 的值是 .C 组. 一同学在电脑中打出如下若干个圆若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有 个黑圆.。

高二数学必修二合情推理导学案【学习目标】1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.【课前准备】（预习教材P 70~ P77，找出疑惑之处）在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是 的思维过程.【问题探究】探究任务一：考察下列示例中的推理问题：因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角和是180(52)︒⨯-……所以n 边形的内角和是新知1：从以上事例可一发现： 叫做合情推理。

归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。

探究任务二：问题1：在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？新知2 归纳推理就是根据一些事物的 ,推出该类事物的 的推理归纳是 的过程 例子:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,50=13+37, ……, 100=3+97，猜想： . 归纳推理的一般步骤1 。

2 。

※ 典型例题例1用推理的形式表示等差数列1,3,5,7……2n -1，……的前n 项和S n 的归纳过程。

例2设2()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。

练1. 观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？【当堂检测】1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；①从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2. 已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ ）. A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+3.111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>猜测当2n ≥时，有__________________________.4 已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n= (1)2n n +，观察下列立方和： 13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，…… 试归纳出上述求和的一般公式。

合情推理－类比推理教学目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．教学重点，难点了解合情推理的含义，能利用类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．教学过程一．问题情境据传春秋时期的鲁国的公输班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发，发明了锯子，它的思维过程是怎样的呢？二．学生活动思维过程为：齿形草能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，他们在功能上是类似的；因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该有齿的．三．建构数学1．类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其它方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．2．类比推理的思维过程：四．数学运用1．例题：例1．试根据等式的性质猜想不等式的性质．解：等式与不等式有不少相似的属性，例如：等式 不等式（1）a b a c b c =⇒+=+−−−→猜想a b a c b c ⇒++＞＞， （2）a b ac bc =⇒=−−−→猜想a b ac bc >⇒>， （3）22a b a b =⇒=−−−→猜想22a b a b >⇒>．例2．试将平面上的圆与空间中的球进行类比． 解：圆与球在它们的生成，形状，定义等方面都具有相似的属性．据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系：弦←−→截面圆 直径←−→大圆 周长←−→表面积 圆面积←−→球体积 等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质（如下表所示）：五．回顾小结：1．类比推理的概念；2．类比推理的思维过程．。

导学案 合情推理学习目标：1、了解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理；2、了解合情推理在数学研究中的作用.重点：理解推理的概念.知识要点1、推理：根据一个或几个 得到一个判断，这种思维方式就是推理.它由两部分构成， 叫前提， 叫结论.2、推理一般分为 推理和 推理.3、合情推理：前提为真时，结论 为真.数学中常用的合情推理有： 推理和 推理.4、归纳推理：（1）定义：根据一类事物的 具有某种性质，推出这类事物的 都具有这种性质的推理，叫归纳推理（简称 ）；（2）归纳推理是从______到 的过程；（3）归纳推理的一般步骤：（i ） ；（ii ） .5、类比推理：（1）定义：根据 不同事物之间具有某些 （或 ）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫类比推理（简称 ）；（2）类比推理是从 到 ，从 到 的过程；（3）类比推理的一般步骤：（i ） ；（ii ） . 预习检测1、由数列1，10，100，1000，……，猜测该数列的第n 项可能是 （ ）A 、10nB 、110n -C 、110n +D 、210n -2、下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适 （ ）A 、三角形B 、梯形C 、平行四边形D 、矩形典型例题例1、用推理的形式表示等差数列1，3，5，…，(21)n -，…，的前n 项和n S 的归纳过程.例2、设2()41f n n n =++，n N +∈，计算(1)f ，(2)f ，(3)f ，(4)f ，…，(10)f 的值，同时作出归纳推理，并用40=n 验证猜想是否正确.变式1、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =-，12(2)n n nS a n S ++=≥，计算1S ，2S ，3S ，4S ，并猜想n S .例3、找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质.（1）圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦； （2）与圆心距离相等的两弦相等；（3）圆的周长C d π=（d 为直径）； （4）圆的面积2S r π=.变式2、试通过类比,写出在空间中的类似结论.（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交；（2）如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；（3）平面内直角三角形的勾股定理.课堂练习1、根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有__________个点.2、数列}{n a 的通项公式22)55(+-=n n a n ，计算=1a ____，=2a ____，=3a ____，=4a ____，…，由此归纳猜想：对任意n N +∈，n a =_____，并用5=n 验证猜想是否正确.3、在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为_______．5、已知数列{}n a 的第一项11a =，11n n na a a +=+，试归纳出这个数列的通向公式.。

合情推理【学习目标】：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行推理【学习重点】合情推理的含义，能利用归纳和类比进行推理【学习难点】：归纳推理的方法，提高数学思维能力1.推理的定义： 推理的构成： ，推理的分类： ，2.合情推理定义：分类⎩⎨⎧类比推理归纳推理:3.归纳推理的特点：类比推理的特点：【自主测评】1.下列说法正确的是（ ）A 由合情推理得出的结论一定是正确的B 合情推理必须有前提和结论C 合情推理不能猜想D 合情推理得出的结论无法判定正误2.将全体正整数排成一个三角形数阵，如12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15。

， 根据以上规律，数阵中等n （3≥n ）行的从左到右的第3个数是 。

3.半径为r 的圆的面积S(r )=2r π，周长C ()r =r π2。

若将r 看做()+∞,0上的变量，则()/2r π=r π2()1，()1式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R 的球，若将R 看做()+∞,0上的变量，请你写出类似于（1）式的式子 ，这个式子可用语言叙述为。

4.由“等腰三角形 的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似性质是【合作探究】例1 已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,...,1+2+3+4+...+n=()21+n n ,观察下列立方和 ,54321,4321,321,21,1333333333333333++++++++++...试归纳出上述求和的一般公式例2.根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律，试猜想第n 个图中有多少个点。

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【达标检测】1、,1cos cos cos 326cos cos 5cos 20cos 165cos ,1cos 8cos 84cos cos 3cos 43cos ,1cos 22cos ,cos cos 246352432-++=+-=+-=-=-==θθθθθθθθθθθθθθθθθθn m则m+n=（ ）2.已知结论“在等边ABC ∆中，若D 是BC 的中点，G 是ABC ∆的重心，则2=GD AG”把这个结论推广到空间，“在正四面体ABCD 中，若M 是BCD ∆的三边中线的交点，O 为正四面体ABCD 外接球的球心，则()=OM AO”3.已知数列{}n a 满足133,011+-==+n n n a aa a ，则()=20a4、已知数列{}n a 的前n 项和(),221,32,1≥=++-=n a S S a Sn n nn 计算4321,,,S S S S 的值，并猜想n S 的表达式。