苏教版数学高二-《新学案》 选修1-1教学案 1.3.2含有一个量词的命题的否定

3.2.3常见函数的导数教学过程一、问题情境前面我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念,那么,如何求函数的导数呢?二、数学建构问题1回顾前面所学内容,能否归纳出求导数的一般步骤?解给定函数y=f(x),计算=,当Δx→0时,→A(x),则f'(x)=A(x).问题2根据求导数的一般步骤,求下列函数的导数.①f(x)=kx+b(k,b为常数).解因为===k,当Δx→0时,→k,所以f'(x)=k.特别地,当k=0时,有f'(x)=0;当k=1,b=0时,有f'(x)=1.②f(x)=x2.解因为===2x+Δx,当Δx→0时,→2x,所以f'(x)=2x.③f(x)=x3.解因为===3x2+3x(Δx)+(Δx)2,当Δx→0时,→3x2,所以f'(x)=3x2.④f(x)=.解因为===,当Δx→0时,→-,所以f'(x)=-.⑤f(x)=.解因为===,当Δx→0时,→,所以f'(x)= .问题3你能根据问题2中的①~⑤发现什么结论?几个常用函数的导数:(kx+b)'=k(k,b为常数);C'=0(C为常数);x'=1;(x2)'=2x;(x3)'=3x2;'=-;()'=.对于基本初等函数,有下面的求导公式(教师直接给出):(xα)'=αxα-1(α为常数);(a x)'=a x lna(a>0,且a≠1);(lo x)'=log a e=(a>0,且a≠1);(e x)'=e x;(ln x)'= ;(sinx)'=cosx;(cosx)'=-sinx.三、数学运用【例1】求曲线y=cosx在点处切线的方程.(见学生用书P52)利用基本初等函数的求导公式求出在该点处的切线斜率,再利用点斜式求出切线方程.解y'=-sinx,所以在点处切线的斜率k=-sin=-,即切线方程为x+2y-π-1=0.求一些常见函数的导数可直接利用公式.变式求曲线y=在点处的切线的方程.y'=-,故点处的切线斜率为-,则切线方程为y-=-(x-2),即x+4y-4=0.【例2】若直线y=4x+b是函数y=x2图象上的一条切线,求b及切点坐标.(见学生用书P52) 设出切点坐标,利用导数的几何意义解题.解设切点坐标为(x0,).由f'(x0)=2x0=4,得x0=2,所以切点坐标为(2,4),故b=-4.本题应抓住切点的双重性:点既在曲线上也在切线上.变式若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,求a的值.解设切点坐标为(x 0,a).由f'(x0)=3a=3,得a=1.又因为点(x0,a)满足切线方程,所以a=3x 0+1,将a=1代入,解得x0=-,则a=4.【例3】在函数y=2x的图象上求一点,使过此点的切线平行于直线xln4-y+3=0.(见学生用书P52) 利用常见函数的求导公式及导数的几何意义求出切线的斜率,再利用两平行直线之间斜率相等建构等式.解设切点坐标为(x 0,),由f'(x0)=ln2=ln4,得x0=1,即该点坐标为(1,2).过一点有切线,但该点不一定是切点;但本题有其特殊性,切线只可能与曲线有一个交点,所以对于本题,这个点即为切点.变式在抛物线y=x2上求一点P,使点P到直线x-y-1=0的距离最短,并求出这个最短距离.解设切点P的坐标为(x 0,).由f'(x0)=2x0=1,得x0=,则曲线在点P处切线方程为4x-4y-1=0,所以它与已知直线的距离d==,所以点P的坐标为,d=.四、课堂练习1. 已知四个命题:①曲线y=x3在原点处没有切线;②若函数f(x)=,则f'(x)=0;③速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数;④函数y=x5的导数值恒非负.其中正确的命题是③④.(填序号)提示根据导数的概念及常见函数的导数公式解答.2. 设f(x)=sinx,则f'(x)=cosx,f'= .提示利用常见函数的导数公式求解.3. 若质点的运动方程是S=(S的单位为m,t的单位为s),则质点在t=3时的速度为-m/s.提示速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数,所以v(t)=-4t-5,则质点在t=3时的瞬时速度为-m/s.五、课堂小结1. 熟记常见函数导数公式.2. 灵活应用导数解决相关问题.。

1.3.2含有一个量词的命题的否定（一） 问题引入1．思考1：对于下列命题，试判断其是存在性命题还是全称命题．（1）所有的人都喝水；（2）存在有理数x ，使022=-x ；（3）对所有的实数a ，都有0||≥a ．2．思考2：我们学过命题的的非（否定），你能写出这三个命题的否定吗？3．思考3：这三个命题和它们的否定在形式上有什么变化？（二） 学生活动命题（1）的否定_______________________________________________________；命题（2）的否定_______________________________________________________；命题（3）的否定_______________________________________________________．从形式上发现：全称命题的否定都变成___________，存在性命题的否定都变成_________.（三） 知识建构1.一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，全称命题p ：“)(,x p M x ∈∀”， 它的否定⌝p ：_________________________．2.一般地，对于含有一个量词的存在性命题的否定，存在性命题p ：“)(,x p M x ∈∃”， 它的否定⌝p ：__________________________．（四）学习交流、问题探讨例1．写出下列命题的否定：(1) 所有人都晨练； 章节与课题 含有一个量词的命题的否定 课时安排 1课时使用人 使用日期或周次本课时学习目标或学习任务 1.通过生活和数学中的实例，理解对含有一个量词的命题的否定的意义； 2.能正确地对含有一个量词的命题的否定；3.进一步提高用全称量词与存在量词准确，简洁地叙述数学内容的能力． 本课时重点难点或学习建议对含有一个量词的命题进行否定，准确地应用全称量词与存在量词． 本课时教学资源的使用 导学案学 习 过 程(2) 2,10x R x x ∀∈++>；(3) 平行四边形的对边相等；(4)2,10x R x x ∃∈-+=．变式1：写出下列命题的否定，并判断真假：（1） 所有的菱形都是正方形；（2）21,04x R x x ∀∈-+≥；（3） 2,220x R x x ∃∈++≤；（4）至少有一个实数x ，使310x +=.例2．已知命题“⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃2,0πx ，cos 23sin 21x x k +=+”为假命题，求实数k 的范围．（五）练习检测与提升1.写出下列命题的否定,并判断其真假：（1）211,132x Q x x ∀∈++是有理数；（2）,sin()sin sin R αβαβαβ∃∈+=+，使；（3）,,x y Z ∃∈使3x-4y=20；（4） {}110210x x ∀∈-+>，，，．2.若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<使得”是假命题，则实数a 的取值范围是 ．（六）课后作业1.写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假：①所有的有理数是实数；②有的三角形是直角三角形；③每个二次函数的图象都与y 轴相交；④2,20x R x x ∀∈->.2.已知命题p :2,230x R ax x ∀∈++>，如果命题p ⌝是真命题，求实数a 的取值范围．。

3.2.4函数的和、差、积、商的导数教学过程一、问题情境1. 分别求下列函数的导数.(1) y=x2;(2) y=x;(3) y=x2+x.你能从以上计算结果中发现什么结论?解前两个函数的和(即第三个函数)的导数,等于这两个函数导数的和.2. 你能证明上述结论吗?解因为==2x+Δx+1,当Δx→0时,→2x+1,所以y'=2x+1.3. 两个函数的差的导数,等于这两个函数导数的差吗?从具体函数入手,利用导数的定义求出两个函数和的导数,在此基础上,作出猜想,给出两个函数和、差的求导法则,学生容易理解.两个函数的和的求导法则的推导,不要求学生掌握,可指导学生课外探究.二、数学建构问题1已知f'(x),g'(x),则解一般地,函数和的求导法则:'=f'(x)+g'(x).即两个函数的和的导数,等于这两个函数的导数的和.问题2可以怎么验证大家呈现的结论是否正确呢?问题4已知f'(x),g'(x),则',等于什么?函数的和(差)的求导法则两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即'=f'(x)±g'(x).函数的积的求导法则两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).函数的商的求导法则两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即=(g(x)≠0).对法则的理解:(1) 法则适用于两个可导函数的和、差、积、商;两个不可导函数的和、差、积、商不一定不可导.(2) '=Cf'(x)(C为常数).(3) 求导法则的证明不作要求.三、数学运用【例1】(教材第83页例2)求下列函数的导数:(1) f(x)=x2+sinx;(2) g(x)=x3-x2-6x+2. (见学生用书P53)先由学生写出解题过程,让其他学生点评.教师在学生的交流中,了解学生的思维过程,投影学生的解题过程,纠正出现的错误,同时强调书写格式的规范.解(1) f'(x)=(x2+sinx)'=(x2)'+(sinx)'=2x+cosx.(2) g'(x)==3x2-3x-6.根据函数的和(差)求导法则的一般步骤:先用求导法则转化为求基本函数的导数,再用导数公式进行运算.变式求y=2x3-3x2+5x-4的导数.解y'=(2x3-2x2+5x-4)'=6x2-6x+5.【例2】(教材第83页例3)求下列函数的导数:(1) h(x)=xsinx;(2) S(t)=. (见学生用书P54)解(1) h'(x)=(xsinx)'=x'sinx+x(sinx)'=sinx+xcosx.(2) S'(t)====.例2中的第(2)题还有其他解法:S'(t)==1-.例2第二种解法可由学生的探究活动产生,教师作适当的点拨.归纳根据函数的积商的求导法则求导的一般步骤,同时注意说明解法不唯一.要求学生正确运用公式.变式1用两种方法求y=(2x2+3)(3x-2)的导数.解法一y'=(2x2+3)'(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)'=4x(3x-2)+(2x2+3)·3=18x2-8x+9.解法二y=6x3-4x2+9x-6,y'=18x2-8x+9.变式2求y=的导数.解y'===.变式3求y=xlnx的导数.解y'=x' ln x+x(ln x)'=ln x+1.变式4求y=在点x=3处的导数.解y'====,所以y'===-.【例3】已知函数f(x)的导数是f'(x),则函数2的导数为2f'(x).这个结论对吗?(见学生用书P54)2看作f(x)·f(x),再利用函数积的求导法则求解{'=f'(x)f(x)+f(x)f'(x)=2f(x)f'(x)≠2f'(x),所以上述结论错误.本题的实质是复合函数的求导,有兴趣的同学可以研究一下复合函数求导的规律.四、课堂练习1. 函数y=x2cosx的导数y'=2xcosx-x2sinx.2. 函数y=的导数y'=.3. 若曲线y=2ax2+1过点(,3),则此曲线在该点的切线方程是4x-y-1=0.4. 若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则a=1,b=1.五、课堂小结1. 函数的和、差、积、商的求导法则.2. 法则适用于两个可导函数的和、差、积、商;两个不可导函数和、差、积、商不一定不可导.3. 求导法则的证明不作要求.。

3.3.2极大值与极小值(2)教学过程一、问题情境引例已知f(x)=x3-3x2-9x+11.(1) 写出函数f(x)的单调区间;(2) 讨论函数f(x)的极值.解f'(x)=3(x+1)(x-3).令f'(x)=0,得x1=-1,x2=3.列表:x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)f'(x) + 0 - 0 +f(x) ↗极大值f(-1) ↘极小值f(3)↗(1) 单调减区间为(-1,3),单调增区间为(-∞,-1),(3,+∞).(2) 极大值为f(-1)=16,极小值为f(3)=-16.二、数学建构问题1你能作出函数f(x)=x3-3x2-9x+11的草图吗?问题2你能从图上看出函数的哪些性质?问题3你能对引例进行变式,得到新的问题吗?三、数学运用【例1】已知f(x)=x3-3x2-9x+11,函数g(x)=f(x)+a,根据下列条件分别求出实数a的取值范围:(1) 有一个交点;(2) 恰有两个交点;(3) 有三个交点. (见学生用书P59)通过图象理解三次函数与x轴交点的情况.解f'(x)=3(x+1)(x-3).令f'(x)=0,得x1=-1,x2=3.列表:x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)f'(x) + 0 —0 +高中数学f(x) ↗极大值f(-1) ↘极小值f(3)↗极大值为f(-1)=16,极小值为f(3)=-16.(1) 曲线y=g(x)与x轴仅有一个交点,即g(x)极小值>0或g(x)极大值<0,所以-16+a>0或16+a<0,即a>16或a<-16.(2) 曲线y=g(x)与x轴恰有两个交点,即g(x)极小值=0或g(x)极大值=0,所以-16+a=0或16+a=0,即a=±16.(3) 曲线y=g(x)与x轴有三个交点,即g(x)极小值<0且g(x)极大值>0,所以-16+a<0且16+a>0,即-16<a<16.有效利用图形语言,并注意解题的规范性.【例2】已知函数f(x)=x 3-3x2-9x+11,根据下列条件分别求实数t的取值范围.(1) f(x)在区间(t,t+2)上单调递减;(2) f(x)在区间(t,t+2)上单调递增. (见学生用书P60)先由学生口答,教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的解题过程,纠正出现的错误.解(1) 由引例知所以-1≤t≤1.(2) 由引例知t≥3或t+2≤-1,即t≤-3或t≥3.若函数f(x)=x3-3x2-9x+11在区间(t,t+2)上不单调,你能否求出实数t的取值范围?【例3】已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m≠0.(1) 求m与n的关系表达式;(2) 求f(x)的单调区间.解(1) f'(x)=3mx2-6(m+1)x+n,由f'(1)=0得n=3m+6.(2) 由(1)得f'(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1).当m>0时,单调增区间为(-∞,1)和,单调减区间为.当m<0时,单调增区间为,单调减区间为和(1,+∞).此题是逆向思维题,已知极值求参数的值,解题时充分利用f'(x)=0,同时注意单调性对极值的限制.用导数解决函数的单调性和极值问题,具有一般性,解题时强调解题的规范性.【例4】探究函数g(x)=-ax(x>0)的单调性和极值.解g'(x)=-a,x>0.当a≤0时,g'(x)>0,单调递增区间为(0,+∞),函数无极值.当a>0时,令g'(x)>0,即-a>0,解得0<x<;令g'(x)<0,即-a<0,解得x>.单调增区间为,高中数学单调减区间为,函数极大值为f=.四、课堂练习1. 设a∈R,若函数y=e x+ax(x∈R)有大于0的极值点,则实数a的取值范围为(-∞,-1).2. 若函数f(x)=-x3+ax2+1(a∈R)在(-2,3)内有两个不同的极值点,求实数a的取值范围.解f'(x)=-3x2+2ax.由题意知f'(x)在(-2,3)上有两个不同的实数解,解得a∈(-3,0)∪.五、课堂小结1. 用导数处理函数极值中的参数讨论问题,主要有两类运用:一是对导数等于0的根的讨论;二是单调区间的判断的问题.2. 注意领会分类讨论的思想、数形结合的思想、函数与方程的思想在解题中的灵活运用.高中数学。

1.3.1量词教学过程一、问题情境在日常生活和学习中,我们经常遇到这样的命题:(1)所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护;(2)对于任意实数x,都有x2≥0;(3)存在有理数x,使x2-2=0.二、数学建构问题1上述命题与以前学过的命题有何不同?问题2能说出上面3句话中的含义吗?解命题(1):只要是“中国公民”,其合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护.命题(2):对每一个实数x,必有x2≥0,即没有使x2≥0不成立的实数x存在.命题(3):至少可以找到一个有理数x,使x2-2=0成立.1.全称量词“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词,通常用符号“∀x”表示“对任意x”.2.存在量词“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词,通常用符号“∃x”表示“存在x”.3.全称命题与存在性命题(1)含有全称量词的命题称为全称命题,含有存在量词的命题称为存在性命题.(2)全称命题与存在性命题的一般形式:全称命题:∀x∈M,p(x);存在性命题:∃x∈M,p(x).其中M为给定的集合,p(x)是一个关于x的命题.三、数学运用【例1】判断下列命题是全称命题还是存在性命题:(1)有一个实数a,a不能取对数;(2)所有不等式的解集A,都有A⊆R;(3)三角函数都是周期函数;(4)有的向量方向不定;(5)自然数的平方是正数. (见学生用书P9)引导学生说出每一个命题中的量词,再结合全称命题和存在性命题的定义得到答案.解(1)存在性命题;(2)全称命题;(3)全称命题;(4)存在性命题;(5)全称命题.(1) 判断一个语句是全称命题还是存在性命题,应先判断它是否为命题;(2) 判断命题是全称命题还是存在性命题,主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词,要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词(如“对顶角相等”),这时我们就要根据命题的意义去判断.【例2】(教材第14页例1)判断下列命题的真假:(1)∃x∈R,x2>x;(2)∀x∈R,x2>x;(3)∃x∈Q,x2-8=0;(4)∀x∈R,x2+2>0. (见学生用书P10)师生共同分析,找出判断全称命题和存在性命题真假的一般方法.解(1) 因为当x=2时,x2>x成立,所以“∃x∈R,x2>x”是真命题.(2)因为当x=0时,x2>x不成立,所以“∀x∈R,x2>x”是假命题.(3)因为使x2-8=0成立的数只有x=2与x=-2,但它们都不是有理数,所以“∃x∈Q,x2-8=0”是假命题.(4)因为对于任意实数x,都有x2+2>0成立,所以“∀x∈R,x2+2>0”是真命题.(1) 要判定一个存在性命题为真命题,只要在给定的集合中,找到一个元素x,使命题p(x)为真命题,否则命题为假命题.(2) 要判定一个全称命题为真命题,必须对给定的集合的每一个元素x,p(x)都为真命题;但要判定一个全称命题为假命题,只要在给定的集合内找出一个x0,p(x0)为假命题.【例3】用量词符号“∀”“∃”表达下列命题:(1)实数都能写成小数形式;(2)凸n边形的外角和等于2π;(3)任一个实数乘以-1都等于它的相反数;(4)存在实数x,使得x3>x2;(5)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.先找到命题中的全称量词或存在量词.解(1)∀x∈R,x能写成小数形式;(2)∀x∈{x|x是凸n边形},x的外角和等于2π;(3)∀x∈R,x·(-1)=-x;(4)∃x∈R,x3>x2;(5)∀α∈{角},sin2α+cos2α=1.正确认识存在量词和全称量词的符号表示.四、课堂练习1.判断下列命题是全称命题还是存在性命题:(1)所有能被2整除的整数都是偶数;(2)有的函数是偶函数;(3)圆周上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径;(4)三角形有且仅有一个外接圆.解(1) 全称命题;(2)存在性命题;(3)全称命题;(4)全称命题.2.指出下列命题中的量词,并判断命题的真假.(1)任意一个正方形都是矩形;(2)所有的一元二次方程都有实数根;(3)至少存在一个锐角α,使得sinα=.解(1)任意;真命题.(2)所有;假命题.(3)存在;真命题.五、课堂小结1.全称命题和存在性命题的含义.2.判断全称命题和存在性命题真假的方法.。

2019-2020学年苏教版数学精品资料年级高二学科数学选修1-1/2-1总课题 1.3全称量词与存在量词总课时分课题 1.3全称量词与存在量词分课时主备人审核人上课时间预习导读(文)阅读选修1-1第13--14页，然后做教学案，完成前三项。

(理)阅读选修2-1第14--15页，然后做教学案，完成前三项。

学习目标1.理解全称量词与存在量词的意义；2.能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和存在性命题的真假.一、问题情景1.观察以下命题：（1）所有中国人民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护；（2）对任意实数x ，都有02x；（3）存在有理数x ，都有022x；上述命题有何不同？2.对于下列命题：（1）所有的人都喝水；（2）存在有理数x ，使022x；（3）对所有实数 a ，都有0||a 。

对上述命题进行否定，能发现什么规律？二、建构数学1.“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号表示“对任意x ”。

“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号表示“存在x ”。

2.含有全称量词的命题成为全称命题，含有存在量词的命题成为存在性命题。

它们的一般形式为：全称命题：存在性命题：其中，M 为给定的集合，)(x p 是一个关于x 的命题。

3.⑴要判定全称命题“x ∈M,p(x) ”是真命题，需要对集合M 中每个元素x, 证明p(x)成立；如果在集合M 中找到一个元素0x ,使得p(0x )不成立，那么这个全称命题就是假命题⑵要判定存在性命题“x ∈M, p(x)”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素0x ,使p(0x )成立即可，如果在集合M 中，使p(x)成立的元素x 不存在，则存在性命题是假命题4.对含有全称量词的命题进行否定，全称量词变为存在量词；对含有存在量词的命题进行否定，存在量词变为全称量词。

一般地，我们有：“)(,x p M x ”的否定为“)(,x p M x”的否定为5.正面词语= > <是都是至多有一个至少有一个至多有n 个反面词语例1.判断下列命题的真假（1）x x R x 2,命题（2）x x R x 2,命题（3）08,2xQ x命题（4）2,2xR x命题例2.写出下列命题的否定⑴所有人都晨练；⑵01,2x xR x；⑶平行四边形的对边相等；⑶01,2x xR x例3.已知函数12)2(24)(22p p xp x x f 在区间]1,1[上至少存在一个实数c ，使0)(c f ，求实数p 的取值范围例4.已知命题“2,0x ，cos 23sin 21x x k ”为真命题，求实数k 的范围例5(理).⑴已知命题“01,2ax xR x”为真命题，则实数a 的取值范围是________ ⑵已知命题“01,2axaxR x”为真命题，则实数a 的取值范围是_______一、基础题1.命题“每一个等腰三角形的两个底角相等”，“过直线外一点存在惟一的一条直线与该直线平行”中，使用的全称量词是，存在量词是．2.下列全称命题或存在性命题中，真命题是：．（写出所有真命题的序号）（1）至少存在一个锐角，使得1sin2；（2）2,10x x R ；（3）1,2x xxR ；（4）2,230x x x R ；（5）至少有一个xR ，能使212x x ；（6）存在四个面都是直角三角形的四面体．3.指出下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）有一个实数x ，使2230xx成立；（3）x R ，211x；（4）对每一个无理数x ，2x 也是无理数；（5）存在两个相交平面垂直同一条直线；（6）有些整数只有两个正因数.4.下列命题中真命题的个数是．（1）x R ，0x ；（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）末位是0的整数，可以被2整除；（4）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（5）正四面体中两侧面的夹角相等．5.命题p ：存在实数m ，使方程210xmx 有实数根，则“非p ”形式的命题是____________________________________________________________.6.已知：对5,x a xxR 恒成立，则a 的取值范围是．7.写出下列命题的否定：（1）有些质数是奇数；（2）若0m，则20x x m 有实数根；（3）可以被5整除的整数，末位是0；（4）x R ，sin 1x ；（5）2,1,0,1,2x，22x .二、提高题1.设函数f x 的定义域为R ，则下列三个命题中，真命题是．（1）若存在常数M ，使得对任意xR ，有f x M ，则M 是函数f x 的最大值；（2）若存在0x R ，使得对任意xR ，且0xx ，有0f xf x ，则0f x 是函数f x 的最大值；（3）若存在0x R ，使得对任意x R ，有0f xf x ，则0f x 是函数f x 的最大值．2.若函数2743kx ykxkx的定义域为R ，则k3. 已知命题“01,,02ax xx”为真命题，则实数a 的取值范围是4.“01,2ax x R x ”为假命题，则实数a 的取值范围是_______5.已知命题“01,,02ax x x”为真命题，则实数a 的取值范围是三、能力题1、已知：对xR ，方程2cos sin 30xx a有解，求a 的取值范围．2.若不等式)1(122xm x 对满足2m 的所有m 都成立，求x 的取值范围3.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:314C x y 和圆222:454C x y ．设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．。

含有一个量词的命题的否定一、学习目标1．能正确地对含有一个量词的命题进行否定；2．能利用命题及其否定之间的真假关系解决相关问题。

二、自我构建1．全称命题的否定全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：____________，2．存在性命题的否定一般地，对于含有一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论：存在性命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：________________。

三、学以致用例1写出下列命题的否定：（1）所有人都晨练；（2）∀x∈R，x2＋x＋1＞0 ；（3）平行四边形的对边相等；（4）∃x∈R，x2－x＋1＝0．例2 指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并判断真假：(1)若a＞0，且a≠1，则对任意实数x，a x＞0；(2)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tan x1＜tan x2；(3)∃T∈R，使sin(x＋T)＝|sin x|；(4)∃x∈R，使x2＋1＜0.四、总结提高1.全称命题的否定是；要证明一个全称命题是假命题，只需举一个反例即可．有些全称命题省略了量词，这种情况下对其否定时应加上存在量词。

2.存在性命题的否定是；要证明一个存在性命题是真命题，只需举出一例即可．有些存在性命题省略了量词，这种情况下对其否定时应加上全称量词．五、同步反馈1.“菱形的对角线互相垂直”的否定是_．2．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是_________________3．已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则¬p为______．4．“二次函数的图像与x轴有公共点”的否定是___________．5．写出下列命题的否定，并判断其真假:（1）三角形的内角和是1800；（2）所有的等边三角形都全等；（3）实系数一元二次方程有实数解；（4）有的实数没有平方根．6．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0 (m>0)，若¬p是¬q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．。

2.4.2抛物线的几何性质(1)教学过程一、问题情境上节课,我们学习了抛物线的定义和标准方程,下面请同学回忆抛物线的定义及其标准方程,以及和方程对应的焦点坐标、准线方程.(板书时,有意识填在表格中)在研究标准方程的同时得到抛物线的焦半径公式,即抛物线上的任意一点P(x,y)到焦点的距离.(对应填在表格中)对照前面椭圆和双曲线的研究,下面我们研究什么呢?——抛物线的简单几何性质.(板书)二、数学建构1.抛物线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线)标准方程图形顶点坐标对称轴焦点坐标准线方程y2=2px(p>0)(0,0) x轴x=-y2=-2px(p>0)(0,0) x轴x=x2=2py(p>0)(0,0) y轴y=-x2=-2py(p>0)(0,0) y轴y=注意强调p的几何意义:表示焦点到准线的距离.经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且垂直于x轴的直线和抛物线交于M1,M2两点,线段M1M2叫做抛物线的通径.不难求得抛物线的通径长为2p.2.与椭圆、双曲线的几何性质比较,抛物线的几何性质有下列特点:(1)抛物线可以无限延伸,但无渐近线.(2)抛物线只有一个顶点、一条对称轴;没有对称中心,它不是中心对称图形;离心率为1,是固定的.(3)抛物线的开口大小与离心率无关,与p的大小有关,p越大则开口越大,反之则开口越小.(4)抛物线的焦点与准线分别在顶点的两侧,且它们到顶点的距离相等,均为.三、数学运用【例1】过抛物线y2=2mx的焦点F作x轴的垂线交该抛物线于A,B两点,且AB=6,求m的值.(见学生用书P33)引导学生通过通径的定义自主解题.解由题意可知AB为抛物线的通径,且AB=6,所以2|m|=6,即m=±3.本例由抛物线的几何性质来求参数的值,其中涉及抛物线的通径,属基础题.【例2】过抛物线y=4x2的焦点F作直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若y1+y2=5,求AB 的长. (见学生用书P34) 利用抛物线的定义将过焦点的弦进行转化,从而使问题得以解决.解因为y=4x2,即x2=y,故2p=,即p=.(例2)如图,过点A作AA1垂直准线于点A1,过点B作BB1垂直准线于点B1.于是AB=AF+BF=AA1+BB1=y1++y2+=y1+y2+p=5+=.凡是求过抛物线焦点的弦的问题,均可利用抛物线的定义进行转化.【例3】(教材第49页例2)汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线是抛物线,灯口直径为197 mm,反光曲面的顶点到灯口的距离为69 mm.由抛物线的性质可知,当灯泡安装在抛物线的焦点处时,经反光曲面反射后的光线是平行光线.为了获得平行光线,应怎样安装灯泡?(结果精确到1 mm)(见学生用书P34)引导学生自行读题,分析题设条件,建立适当的坐标系,独立完成问题,旨在培养学生的阅读理解能力和仔细审题的意识.(例3)解如图,在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系xOy,设抛物线的方程为y2=2px(p>0),灯应安装在其焦点F处.在x轴上取一点C,使OC=69,过C作x轴的垂线,交抛物线于A,B两点,AB就是灯口的直径,即AB=197,所以点A的坐标为.将点A的坐标代入方程y2=2px,解得p≈70.3,它的焦点坐标为(35,0).因此,灯泡应安装在距顶点约35 mm处.本例是一个有实际意义的抛物线应用问题.解此类问题时,需解决两个问题:(1) 建立适当的坐标系;(2) 将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表示出来.【例4】已知A,B为抛物线y2=4x上的点,F为抛物线的焦点.若=2,求直线AB的方程.显然,线段AB为过焦点的弦,运用抛物线的定义将AB转化为AM+BN,再根据题设条件求解直角梯形的底角.解当直线AB的倾斜角为锐角时,设抛物线的准线为l.因为向量,同向,所以AF=2BF,所以设BF=m,则AF=2m.作AM⊥l于M,作BN⊥l于N.(例4)由抛物线的定义可知,AM=2m,BN=m.过点B作BC⊥AM于C,在Rt△ABC中,cos∠CAB==,tan∠CAB=2.由抛物线对称性可知,直线AB的方程是y=±2(x-1),即2x±y-2=0.本题借助于抛物线的定义将过焦点的弦长等问题转化到直角梯形中予以解决.抛物线的定义揭示了抛物线上动点到焦点的距离与其到准线距离之间的数量关系.灵活运用定义,往往可以简化运算.特别是在解决有关焦点弦问题时,其思路简洁、明了,值得关注.四、课堂练习1.已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线3x-4y-12=0上,则此抛物线的方程为y2=16x或x2=-12y.提示若焦点在x轴上,则由解得即焦点坐标为(4,0),此时抛物线的方程为y2=16x;若焦点在y轴上,则由解得即焦点坐标为(0,-3),此时抛物线的方程为x2=-12y.综上,所求抛物线的方程为y2=16x或x2=-12y.2. 已知抛物线型拱桥的拱顶离水面2 m,水面宽4 m.当水面宽4m时,水面下降了2m.提示以拱顶为坐标原点,水平直线为x轴,建立直角坐标系.设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在抛物线上,解得p=1,故抛物线的方程为x2=-2y.当x=2时,y=-4,故水面下降了2 m.3.有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=2x上,另一个顶点是坐标原点,则这个三角形的边长是12.提示由对称性,设正三角形为△AOB,A(x1,y1),B(x1,-y1).由∠AOx=30°,得=tan30°=,即y1=x1,代入y2=2x得x 1=6,所以OA==12.4.已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(-3,m)到焦点的距离为5,求此抛物线的方程.解设抛物线的方程为x2=2ay(a≠0),则准线方程为y=-.由题意得解得或或或即得抛物线的方程为x2=2y,x2=-2y,x2=18y,x2=-18y.五、课堂小结1. 本节课学习了抛物线的几何性质.2. 借助于抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,从而解决焦点弦等问题.。

1.3.1量词课时目标1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.会判定全称命题和存在性命题的真假．1．全称量词和全称命题“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为____________，通常用符号“________”表示“对任意x”．含有____________的命题称为全称命题．通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中的任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∀M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词和存在性命题“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为______________，通常用符号“________”表示“存在x”，含有______________的命题称为存在性命题．存在性命题“存在一个x属于M，使p(x)成立”可用符号简记为∀x∀M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．一、填空题1．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是______________________________．2．下列语句是全称命题的是________．(填序号)∀任何一个实数乘以零都等于零；∀自然数都是正整数；∀高二(一)班绝大多数同学是团员；∀每一个向量都有大小．3．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是________．(填序号)∀∀x，y∀R，都有x2＋y2≥2xy；∀∀x0，y0∀R，使x20＋y20≥2x0y0；∀∀x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy；∀∀x0<0，y0<0，使x20＋y20≤2x0y0.4．下列命题中正确的有________．(填序号)∀对所有的正实数t, t 为正且t<t ；∀存在实数x 0，使x 20－3x 0－4＝0； ∀不存在实数x ，使x<4且x 2＋5x －24＝0；∀存在实数x 0，使得|x 0＋1|≤1且x 20>4.5．下列命题既是存在性命题，又是真命题的是________．(填序号)∀斜三角形的内角是锐角或钝角；∀至少有一个x∀R ，使x 2≤0；∀两个无理数的和是无理数；∀存在一个负数，使1x>2. 6．设直线系M ：xcos θ＋(y －2)sin θ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数n(n≥3)，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是__________(写出所有真命题的代号)．7．下列4个命题：p 1：∀x∀(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫13x ；p 2：∀x∀(0,1)，log 12x>log 13x ； p 3：∀x∀(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x >log 12x ； p 4：∀x∀⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <log 13x. 其中的真命题是__________．8．将下列命题用含有“∀”或“∀”的符号语言来表示．(1)任意一个整数都是有理数， _______________.(2)实数的绝对值不小于0，__________________.(3)存在一实数x 0，使x 30＋1＝0，______________.二、解答题9．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并判断真假．(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x ，a x >0；(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2；(3)∀T 0∀R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x|；(4)∀x 0∀R ，使x 20＋1<0.10．若r(x)：sin x＋cos x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0，如果对于任意x∀R，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的取值范围．能力提升11．下列命题中是假命题的有________．(填序号)∀任意x∀R,2x－1>0；∀任意x∀N*，(x－1)2>0；∀存在x∀R，lg x<1；∀存在x∀R，tan x＝2.12．给定两个命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．1．判定一个命题是全称命题还是存在性命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断．2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个存在性命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一命题就是假命题．1.3.1 量 词知识梳理1．全称量词 ∀x 全称量词2．存在量词 ∀x 存在量词作业设计1．∀a ，b∀R ，使a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b)22．∀∀∀解析 “高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，这是存在性命题．3．∀4．∀解析 t ＝14时t ＝12，此时t>t ，所以∀错；由x 2－3x －4＝0，得x ＝－1或x ＝4，因此当x 0＝－1或x 0＝4时，x 20－3x 0－4＝0，故∀正确；由x 2＋5x －24＝0，得x ＝－8或x ＝3，所以∀错；由|x ＋1|≤1，得－2≤x≤0，由x 2>4，得x<－2或x>2，所以∀错．5．∀6．B 、C解析 对选项A 分别令θ＝0，π2，π4得到三条直线，而三条直线不共点，故A 不正确；因点(0,2)不在M 中的任一条直线上，故存在点P ，所以B 正确；对选项C ，分别令θ＝π2，π6，5π6，其对应直线斜率k ＝0，－3，3，而三直线又不共线，所以三直线能够组成正三角形，故C 正确；显然D 不正确．7．p 2，p 4解析 取x ＝12，则log 12x ＝1，log 13x ＝log 32<1，则p 2正确；当x∀⎝⎛⎭⎫0，13时，⎝⎛⎭⎫12x <1，而log 13x>1，所以p 4正确． 8．(1)∀x∀Z ，x∀Q (2)∀x∀R ，|x|≥0(3)∀x 0∀R ，x 30＋1＝09．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题，(1)(3)是真命题，(2)(4)是假命题．(1)∀a x >0(a>0，a≠1)恒成立，∀命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，∀命题(2)是假命题．(3)y ＝|sin x|是周期函数，π就是它的一个周期，∀命题(3)是真命题．(4)对任意x∀R ，x 2＋1>0.∀命题(4)是假命题．10．解 sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∀， 所以，如果对于任意x∀R ，r(x)为假命题，即对任意x∀R ，不等式sin x ＋cos x>m 恒不成立，则m≥2；又对于任意x∀R ，s(x)为真命题，即对于任意x∀R ，不等式x 2＋mx ＋1>0恒成立， 所以Δ＝m 2－4<0，即－2<m<2；故对于任意x∀R ，r(x)为假命题且s(x)为真命题，应有2≤m<2.11．∀12．解 对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立∀a ＝0或⎩⎨⎧a>0Δ<0∀0≤a<4； 关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根∀1－4a≥0∀a≤14； 如果p 正确，且q 不正确，则有0≤a<4，且a>14，∀14<a<4； 如果q 正确，且p 不正确，则有a<0或a≥4，且a≤14.∀a<0. 故实数a 的取值范围为(－∞，0)∀⎝⎛⎭⎫14，4.。

高中数学苏教版选修2-1第1章《1.3.2 含有一个量词的命题的否定》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
1、通过生活和数学中的实例,理解对含有一个量词的命题的否定的意义。

2、能正确地对含有一个量词的命题进行否定并会求参数的取值范围。

3、进一步提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地叙述数学内容的能力。

4、培养对立统一的辩证思维、体会数学的简洁美、提高数学的交流能力。

2学情分析
学生基本功不扎实,思考能力不强。

3重点难点
对含有一个量词的命题的否定以及利用全称命题和存在性命题求参数取值范围的应用。

4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】复习巩固
1、全称命题: . 存在性命题: .
(学生齐声回答,但要单独回答其符号语言如何书写,体现出符号语言书写的重要性。

)
练习:
指出下列命题是全称命题还是存在性命题:
(1)所有的人都喝水;
(2)有的等差数列是等比数列;
(3)存在有理数x,使x2−2=0;
(4)对所有的实数a,都有|a|≥0.
(学生齐声回答,并说明判断依据。

)。

高中数学教教案第一章常用逻辑用语第 5 课时含有一个量词的命题的否认教课目的：1.理解对含有一个量词的命题的否认的意义；2．能正确地对含有一个量词的命题进行否认；3．进一步提升利用全称量词与存在量词正确、简短地表达数学内容的能力；教课要点：全称命题与存在性命题的否认；教课难点：全称命题与存在性命题的否认．教课过程：Ⅰ.问题情境判断以下命题哪些是全称命题、哪些是存在性命题；并判断其真假．（1）对随意的n Z ,2 n是偶数；（2）假如两个数的和为负数，那么这两个数中起码有一个是负数；（3）矩形是平行四边形；Ⅱ.建构数学Ⅲ.数学应用例 1：写出以下全称命题的否认⑴p：全部能被 3 整除的整数都是奇数；⑵ p：每一个四边形的四个极点共圆；⑶ p：对随意x Z ，x2的个位数字不等于3；(4)p：全部人都晨练。

练习：写出以下全称命题的否认（ 1）x R, x2x 10（ 2）平行四边形的对边相等；（ 3）x,2x1 0 R x例 2：写出以下存在性命题的否认：⑴ p：x R， x2 2 x 3 0 ；⑵p：有的三角形是等边三角形；⑶ p：有一个素数含有三个正因子。

练习：写出以下存在性命题的否认：⑴有些实数的绝对值是正数；⑵某些平行四边形是菱形；⑶x R ，x210思虑：写出以下命题的否认，并判断真假：⑴ p：随意两个等边三角形都是相像的；⑵ p：x R ，x2 2 x 2 0.Ⅳ. 课时小结 :全称命题与存在性命题的关系Ⅴ.讲堂检测Ⅵ .课后作业书籍 P16 1， 2。

1.4.3 含有一个量词的命题的否定(一)教学目标1.知识与技能目标（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．2．过程与方法目标：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．3.情感态度价值观通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．(二)教学重点与难点教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．教具准备：与教材内容相关的资料.教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（三）教学过程学生探究过程：1．回顾我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”．对给定的命题p ，如何得到命题p 的否定（或非p ），它们的真假性之间有何联系？2．思考、分析判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3） x∈R, x2－2x＋1≥0.（4）有些实数的绝对值是正数；（5）某些平行四边形是菱形；（6）∃ x∈R, x2＋1＜0.3．推理、判断你能发现这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？（让学生自己表述）前三个命题都是全称命题，即具有形式“,()∀∈”.x M p x其中命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不都是平行四边形；命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数；”，也就是说，存在一个素数不是奇数；命题（3）的否定是“并非∀x∈R, x2－2x＋1≥0”，也就是说，∃x∈R, x2－2x＋1＜0；后三个命题都是特称命题，即具有形式“,()x M p x∃∈”.其中命题（4）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；命题（5）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；命题（6）的否定是“不存在x∈R, x2＋1＜0”，也就是说，∀x∈R, x2＋1≥0；4．发现、归纳从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题.后三个特称命题的否定都变成了全称命题.一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题P：,()x M p x∃∈∀∈，它的否定￢P：,()x M p x特称命题P：,()∃∈，它的否定￢P：∀x∈M，￢P(x)x M p x全称命题和否定是特称命题.特称命题的否定是全称命题.5．巩固练习判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：①p：所有能被3整除的整数都是奇数；②p：每一个四边形的四个顶点共圆；③p：对∀x∈Z，x2个位数字不等于3；④p：∃ x∈R, x2＋2x＋2≤0；⑤p：有的三角形是等边三角形；⑥p：有一个素数含三个正因数.6．教学反思与作业（1）教学反思：如何写出含有一个量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有什么变化？（2）作业：习题1.4A组第3题：B组（1）（2）（3）（4）。

含有一个量词的命题的否定教学目标1．进一步理解全称命题与特称命题的意义；2．能准确地写出全称命题和特称命题的否定，并掌握其之间的关系.教学重点：全称命题和特称命题的否定教学难点：全称命题与特称命题的否定，及其它们之间的关系教学类型：新授课教学过程：一、复习引入：1.全称命题与特称命题的概念2.探究：写出下面命题的否定：（1）所有的矩形都是平行四边形（2）每一个素数都是奇数（3）x∀∈R，x2－2x＋1≥0问：这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？分析：上面命题都是全称命题，即具有“x Mp x”的形式.∀∈，()其中，命题（1）的否定是：“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说“存在一个矩形不是平行四边形”.注意区别：（1）的否定不是“所有的矩形都不是平行四边形”，是由于对于原命题，我们只要找到存在一个矩形不是平行四边形就可以否定原命题，而并不排除有其它的矩形是平行四边形.所以同理，可以得出：命题（2）的否定是：“并非每一个素数都是奇数”，也就是“存在一个素数不是奇数”；命题（3）的否定是：“并非所有的x∈R，x2－2x＋1≥0”，也就是说∃x∈R，x2－2x＋1＜0.发现：上述例子中的全称命题的否定都成立特称命题二、新课教授：1.全称命题的否定①从上述例子可以看出：三个全称命题的否定都成了特称命题.全称命题p：x Mp x∀∈，()它的否定p⌝：x M⌝（x）∃∈，p也就是说全称命题的否定是特称命题②例题：写出下列全称命题的否定：（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数（2）p: 每一个平行四边形的四个顶点共圆（3）P：对于任意的x∈Z，x2的个位数字不等于3（学生练习——个别回答——教师点评）2.特称命题的否定：①引入：全称命题的否定是特称命题，那么特称命题的否定是否为全称命题呢？探究：写出下列命题的否定：（1）有些实数的绝对值是正数（2）某些平行四边形是菱形（3）∃x∈R，x2＋1<0这些命题的否定是什么？分析：上述命题都是特称命题，即具有形式：“x Mp x”.∃∈，()其中（1）的否定是：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数.注意区别：（1）的否定不是“有些实数的绝对值不是正数”，而是“所有实数的绝对值都不是正数”，因为前者只否定了一部分，不确定是否排除有其它的实数的绝对值是正数，故应该是后者.同理：（2）的否定是：“没有一个平行四边形是菱形”也就是说：“每一个平行四边形都不是菱形”（4）的否定是“不存在x∈R，x2＋1<0”，也就是说“x∀∈R，x2＋1>0”②从上述例子可以看出：三个特称命题的否定都成了全称命题.特称命题p：x M∃∈，p（x）它的否定p⌝（x）⌝：x M∀∈，p也就是说特称命题的否定是全称命题.③例题（课本例题4）写出下列特称命题的否定：（1）P: ∃x∈R，x2＋2x＋1≤0（2）P：有的三角形是等边三角形（3）有一个素数含三个正因数（学生练习——个别回答——教师点评）三、小结：1.含有一个量词的全称命题的否定：全称命题p：x Mp x∀∈，()它的否定p⌝：x M⌝（x）∃∈，p也就是说全称命题的否定是特称命题2.含有一个量词的特称命题的否定，有下列结论：特称命题p：x M∃∈，p（x）它的否定p⌝（x）⌝：x M∀∈，p也就是说特称命题的否定是全称命题即全称命题与特称命题的否定互相转化.四、练习：五、作业：板书：。

2.2.1椭圆的标准方程(1)教学过程一、问题情境汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆,把一个圆压扁了,也像椭圆,它们究竟是不是椭圆呢?是否是椭圆应该看其是否符合椭圆的基本特征(性质),那么又该如何研究椭圆的性质呢?回忆解析几何研究问题的基本方法,研究椭圆,先建立椭圆的方程.二、数学建构回顾椭圆的概念:一般地,平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.特别地:当MF1+MF2=F1F2时,动点M的轨迹是线段F1F2;当MF1+MF2<F1F2时,动点M的轨迹不存在.构建椭圆方程:设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,它们之间的距离为2c,椭圆上任意一点到F1,F2的距离的和为2a(2a>2c).以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy(如图1),则F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0).(图1)设P(x,y)为椭圆上任意一点,根据椭圆的定义知PF1+PF2=2a,即+=2a.将这个方程移项后两边平方,得(x+c)2+y2=4a2-4a+(x-c)2+y2,即a2-cx=a.两边再平方,得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).因为a2-c2>0,所以可设a2-c2=b2(b>0),于是得b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2,得+=1(a>b>0).由上述过程可知,椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面这个方程,并且满足上面这个方程的点(x,y)都在已知的椭圆上.这样,上面这个方程就是所求椭圆的方程,它的焦点为F1(-c,0),F2(c,0).(图2)问题1如果将椭圆的焦点建立在y轴上,即焦点为F1(0,-c),F2(0,c)(如图2),你能快速得出椭圆的方程吗?解法一两个椭圆关于直线y=x对称,故只需要将方程+=1(a>b>0)中的x,y互换即可得到方程+=1(a>b>0).解法二从定义出发,将+=2a变换为+=2a.可化简得到a2x2+(a2-c2)y2=a2(a2-c2).设a2-c2=b2(b>0),于是得a2x2+b2y2=a2b2,两边同时除以a2b2,得+=1(a>b>0).所以,当焦点在y轴上时,我们可以得到焦点为F1(0,-c),F2(0,c)的椭圆的方程为+=1(a>b>0).以上两种方程都叫做椭圆的标准方程(其中b2=a2-c2).问题2如何判断椭圆标准方程中焦点的位置?解看标准方程形式下x2与y2下方(即分母)哪个大,焦点即在对应的坐标轴上.巩固练习求下列椭圆的焦点坐标:(1) +=1;(2) 16x2+7y2=112.解(1) c2=25-16=9,所以c=3,故焦点坐标为(-3,0)和(3,0).(2) 方程可化为+=1,所以c2=16-7=9,所以c=3,故焦点坐标为(0,-3)和(0,3).求椭圆的焦点坐标需将椭圆的方程化为标准形式.三、数学运用【例1】已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,求k的取值范围. (见学生用书P17) 引导学生思考焦点在x轴上的椭圆的标准方程满足的条件.解因为椭圆焦点在x轴上,故所以7<k<10.学生可能会忽视前两个条件(不等式),题目解答完毕注意总结此时应需要3个条件(不等式).变式若上述方程表示一个椭圆,求k的取值范围.让学生思考条件改变时,解题过程中哪个环节会发生变化.解由题意可得所以4<k<10且k≠7.学生可能会进行分类直接得到结果,亦可能用上述方法解答,但会忽视第三个条件,此时不妨反问:若k-4>0,10-k>0,k-4=10-k,则方程表示的曲线是什么?答:圆.【例2】(根据教材第30页练习第2题改编)求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1) a=4,b=3,焦点在x轴上;(2) b=1,c=;(3) 两个焦点分别是F1(-2,0),F2(2,0),且过点P(2,-3). (见学生用书P18)引导学生首先分析焦点的位置,然后再找出标准方程中a,b的值.解(1) 因为焦点在x轴上,故椭圆的标准方程为+=1.(2) 因为b=1,c=,所以a2=b2+c2=16,①当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为+y2=1;②当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为+x2=1.(3) 由题意知椭圆的焦点在x轴上,故可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),所以解得所以椭圆的标准方程为+=1.椭圆的标准方程中只有两个参量,因此只需要两个条件就可以求出椭圆的标准方程,而a,b,c三个量之间的关系是知二求一.【例3】(教材第29页例2)将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,求所得曲线的方程,并说明它是什么曲线.(见学生用书P18)先让学生直观感受变换后的曲线形状,再探究如何解决问题.解设所得曲线上任一点的坐标为(x,y),圆x2+y2=4上的对应点的坐标为(x',y'),由题意可得因为x'2+y'2=4,所以x2+4y2=4,即+y2=1.这就是变换后所得曲线的方程,它表示一个椭圆.学生很容易得到变换后的曲线是椭圆,但无法从定义给出证明,引导学生从方程的角度考虑问题,从而进一步说明解析几何研究问题的方法是从方程的角度来研究的.本例求变换后所得曲线方程采用的方法是“坐标转移法”,即利用中间变量求曲线方程.【例4】(教材第31页例1)已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m,求这个椭圆的标准方程.引导学生先建立合适的直角坐标系,设出椭圆的标准方程,根据题意得到椭圆方程中的基本量.解以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy(如图).(例4)设这个椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).根据题意知2a=3,2c=2.4,即a=1.5,c=1.2,所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81.因此,这个椭圆的标准方程为+=1.本题是为了巩固对椭圆的标准方程的理解.在没有已知坐标系的情况下,需要建立合适的坐标系.四、课堂练习1.求下列椭圆的焦点坐标:(1) +=1;(2) 3x2+4y2=12.解(1) 焦点坐标分别为(0,-3)和(0,3).(2) 焦点坐标分别为(-1,0)和(1,0).2. 若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是(4,5).提示因为椭圆的焦点在y轴上,所以解得4<k<5.3.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1) a=,c=1;(2) 两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),且b=1;(3) 焦点在y轴上,焦距为4,且经过点M(3,-2).解(1) 因为a=,c=1,所以b2=a2-c2=4.①当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为+=1;②当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为+=1.(2) 由题意知椭圆的焦点在x轴上,且c=2,b=1,所以a2=5.所以椭圆的标准方程为+y2=1.(3) 因为椭圆的焦点在y轴上,故可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),且c=2.所以解得所以椭圆的标准方程为+=1.五、课堂小结1. 椭圆的标准方程有两种形式:①焦点在x轴上:+=1(a>b>0);②焦点在y轴上:+=1(a>b>0).2. 注意椭圆的标准方程中“标准”的含义:①椭圆的中心在坐标原点;②椭圆的焦点在坐标轴上(两个焦点均在x轴上或均在y轴上);③椭圆的标准方程有两种形式,即焦点在x轴上的方程以及焦点在y轴上的方程.。

1.3 全称量词与存在量词1.3.1 量词1.3.2 含有一个量词的命题的否定1．了解全称量词与存在量词的意义，能用全称量词和存在量词叙述简单的数学内容．(重点)2．能判定全称命题和存在性命题的真假．(难点)3．了解对含有一个量词的命题的否定的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(易错点)[基础·初探]教材整理1 全称量词和全称命题内容，完成下列问题．阅读教材P14把下列命题中是全称命题的序号填写在横线上________．①指数函数都是单调函数；②∀x∈R，logx>0；2③负数的平方是正数；④平行四边形的对边互相平行．【解析】①中含有“都”；②中含有“∀”；③④中省略了全称量词“都”，所以都是全称命题．【答案】①②③④教材整理2 存在量词和存在性命题阅读教材P内容，完成下列问题．14判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( )(2)全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词．( )(3)命题“正方形的四条边相等”中没有全称量词，因此不是全称命题．( )(4)“至少有一个偶数是质数”是存在性命题．( )【解析】根据定义可知(1)是正确的，(2)是错误的，(3)中省略全称量词“所有的”，所以是全称命题，(4)是正确的．【答案】(1)√(2)×(3)×(4)√教材整理3 全称命题和存在性命题的否定阅读教材P例1以上部分，完成下列问题．16把下列命题进行否定，并写在横线上．(1)p：有些三角形是直角三角形．_____________________________________(2)q：所有的质数都是奇数．________________________________________(3)r：所有的人都睡觉．_____________________________________________(4)s：有些实数的相反数比本身大．___________________________________ 【解析】全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．【答案】(1)所有的三角形都不是直角三角形(2)有些质数不是奇数(3)有的人不睡觉(4)所有实数的相反数都不比本身大[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)有一个实数α，使得tan α无意义；(2)每个二次函数的图象都与x轴相交；(3)直线y＝kx＋b(k≠0，k，b是常数)在y轴上有截距；(4)棱锥的底面多边形中有正多边形；(5)直线x＝2的斜率不存在．【精彩点拨】利用全称命题和存在性命题的定义进行判断．【自主解答】(1)命题中含有存在量词“有一个”，因此是存在性命题．。

1.3.2含有一个量词的命题的否定[学习目标]1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识点一全称命题的否定全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x).知识点二存在性命题的否定存在性命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x).知识点三全称命题与存在性命题的关系全称命题的否定是存在性命题.存在性命题的否定是全称命题.[思考](1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？(2)对省略量词的命题怎样否定？答案(1)不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.(2)对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或存在性命题.一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在性命题.反之，亦然.题型一全称命题的否定例1写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.(2)其否定为：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.(3)其否定为：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一或不存在.(4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0.反思与感悟全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.跟踪训练1写出下列全称命题的否定：(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；(2)p：所有自然数的平方都是正数；(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.解(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.(2)綈p：有些自然数的平方不是正数.(3)綈p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根.(4)綈p：存在实数x0，使得x20＋1<0.题型二存在性命题的否定例2写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假.(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0；(2)p：有些素数是奇数；(3)p：有些平行四边形不是矩形.解(1) 綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假).(2) 綈p：所有的素数都不是奇数.(假).(3) 綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假).反思与感悟存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p：∃x∈M，p(x)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立.跟踪训练2写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假.(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.解(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”.当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.题型三存在性命题、全称命题的综合应用例3已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围.解(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可.故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)，若存在一个实数x，使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min. 又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞).反思与感悟对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只需a>f(x)max；若存在一个实数x，使a>f(x)成立，只需a>f(x)min.跟踪训练3已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R).(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围.(1)证明当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.(2)解∵f(x)≤4x恒成立，∴3ax 2＋2x －1≤0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4＋12a ≤0， 解得a ≤－13， 即实数a 的取值范围是(－∞，－13].含有一个量词的命题的否定例4写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)正方形都是菱形；(2)∃x ∈R ，x 2－4x －3＞0.分析(1)是省略了全称量词的全称命题，其否定是存在性命题.(2)是存在性命题，其否定是全称命题.解(1)有的正方形不是菱形.假命题.(2)∀x ∈R ，x 2－4x －3≤0恒成立.假命题.解后反思含有一个量词的命题在否定时，往往只改变前面的量词，而将后面的否定忽略，这种错误应当避免.1.命题p ：“存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根”，则“綈p ”形式的命题是__________________________.答案对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根解析命题p 是存在性命题，其否定形式为全称命题，即綈p ：对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根.2.设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则綈p 为______________. 答案∃x ∈A,2x ∉B解析命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B .3.对下列命题的否定说法错误的是________.①p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数；②p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形；③p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形；④p：∃n∈N,2n≤100；綈p：∀n∈N,2n>100.答案③解析“有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故③错误.4.命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是__________________.答案∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0解析全称命题的否定是存在性命题.全称命题：∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是存在性命题：∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0.5.命题“零向量与任意向量共线”的否定为__________________________.答案有的向量与零向量不共线解析命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为存在性命题“有的向量与零向量不共线”.1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题.(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.2.通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.。