人教版数学高二学案演绎推理

高二数学必修二演绎推理导学案【使用说明及学法指导】1．先预习教材p78…--p81,然后开始做导学案2．针对预习提纲，深化对演绎推理的一般形式—“三段论”的理解【学习目标】结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。

了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别【学习难点重点】教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式.【课前预习案 】教材p78…--p81,然后开始做导学案【自学提纲：(基本概念、公式及方法)】一．基础性知识点1.演绎推理的定义：_______________________________________________________2．演绎推理是由___________到___________的推理；3．“__________________”是演绎推理的一般模式；包括⑴____________---____________________；⑵____________---____________________；⑶____________---_____________________．4.三段论的基本格式M —P （M 是P ） （_________）S—M （S 是M ） （________）S—P （S 是P ） （_________）用集合的观点来理解:______________________________________________________二．课前检测1 .有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为 （ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误例2、已知8.0lg ,2lg 计算m.522的图象是一条直线）函数（+=x y 211y x x =++.把“函数的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论。

A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误
2. 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”
结论显然是错误的，是因为
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误
3. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b 平
（4）一切奇数都不能被 2 整除，2007 是奇数，所以
；
（5）三角函数都是周期函数， sin 是三角函数，所以
；
（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果 A 与 B 是两条平行直线的同旁内角，那
么
.
新知：演绎推理是从
出发，推出
情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由
到
的推理.
探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？
所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）
菱形是所有边长都相等的凸多边形， （小前提）
菱形是正多边形.
（结 论）
小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确. ※ 动手试试 练 1. 用三段论证明：通项公式为 an cqn (cq 0) 的数列{an} 是等比数列.
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新知：用集合知识说明“三段论”： 大前提： 小前提： 结 论：
例 2 证明函数 f (x) x2 2x 在 , 1 上是增函数.
小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁， 如果大前提是显然的，则可以省略.
例 3 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？
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§2.1.2 演绎推理

人教版高二数学“演绎推理”教案【篇一】教学目标：1．了解演绎推理的含义。

2．能正确地运用演绎推理进行简单的推理。

3．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教学重点：正确地运用演绎推理、进行简单的推理。

教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教学过程：一、复习：合情推理归纳推理从特殊到一般类比推理从特殊到特殊从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。

类比――提出猜想二、问题情境。

观察与思考1．所有的金属都能导电铜是金属，所以，铜能够导电2．一切奇数都不能被2整除，（2100+1）是奇数，所以，（2100+1）不能被2整除。

3．三角函数都是周期函数，tan是三角函数，所以，tan是周期函数。

提出问题：像这样的推理是合情推理吗？二、学生活动：1．所有的金属都能导电←————大前提铜是金属，←-----小前提所以，铜能够导电←――结论2．一切奇数都不能被2整除←————大前提（2100+1）是奇数，←――小前提所以，（2100+1）不能被2整除。

←―――结论3．三角函数都是周期函数，←——大前提tan是三角函数，←――小前提所以，tan是周期函数。

←――结论三、建构数学演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理。

1．演绎推理是由一般到特殊的推理；2．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论的基本格式M—P（M是P）（大前提）S—M（S是M）（小前提）S—P（S是P）（结论）3．三段论推理的依据，用集合的观点来理解：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。

四、数*用例1、把“函数y=x2+x+1的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论。

解：二次函数的图象是一条抛物线（大前提）函数y=x2+x+1是二次函数（小前提）所以，函数y=x2+x+1的图象是一条抛物线（结论）例2、已知lg2=m，计算lg0.8解：（1）lgan=nlga（a>0）——大前提lg8=lg23————小前提lg8=3lg2————结论lg（a/b）=lga-lgb（a>0，b>0）——大前提lg0.8=lg（8/10）——－小前提lg0.8=lg（8/10）——结论例3、如图；在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足，求证AB的中点M到D，E的距离相等解：（1）因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形，——大前提在△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB=90°——小前提所以△ABD是直角三角形——结论（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，——大前提因为DM是直角三角形斜边上的中线，——小前提所以DM=AB——结论同理EM=AB所以DM=EM.练习：第35页练习第1，2，3，4，题五、回顾小结：演绎推理具有如下特点:课本第33页。

3．（课本P81练2）证明：通项公式为 的数列 是等比数列，并分析证明过程中的三段论。
学习评价
1．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形。根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（）
A.正方形是平行四边形B.正方形的对角线相等
C.平行四边形的对角线相等D.其它
2.在空间四边形ABCD中，M,N分别是AB，AD的中点，求证： 。
课后作业
1．下列表述正确的是（ ）。
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。
A．①②③；B.②③④；
C．②④⑤；D.①③⑤。
2．（课本P84A6）用三段论证明：在梯形ABCD中， ，则 。
⑷太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行。
以上几个推理是合情推理吗？它们的推理过程有何共同特征？
问题2：上面的四个推理都是演绎推理，你能按演绎推理的一般模式举出一些例子吗？
问题3：
因为指数函数 是增函数，……大前提
而 是指数函数，……小前提
所以 是增函数。………结论
第04课时
2.1.2演运用演绎推理进行简单的推理。培养逻辑推理的能力。
学习过程
一、学前准备
复习：1.对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比
上述命题，可以得到命题：“___________
____________________________”，
⑴上面的推理形式正确吗？
⑵推理的结论正确吗？为什么？
问题4：合情推理与演绎推理主要区别是什么？有何联系。

2.1.2演绎推理1．理解演绎推理的含义．(重点)2．掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单的推理．(重点、易混点)[基础·初探]教材整理1 演绎推理阅读教材P78～P79“思考”以上部分，完成下列问题．1．含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．2．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．演绎推理中的“一般性原理”包括()①已有的事实；②定义、定理、公理等；③个人积累的经验．A．①②B．①③C．②③D．①②③【解析】演绎推理中的“一般性原理”包括“已有的事实”“定义、定理、公理等”．【答案】 A教材整理2 三段论阅读教材P79～P80“思考”以上内容，完成下列问题．1．三段论的模式(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．2．三段论的表示大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“三段论”就是演绎推理．()(2)演绎推理的结论一定是正确的．()(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．()【答案】(1)×(2)×(3)×[小组合作型]把演绎推理写成三段论的形式(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.(3)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．【自主解答】(1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列．(大前提)通项公式a n＝3n＋2，n≥2时，a n－a n－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．(结论)把演绎推理写成“三段论”的一般方法：(1)用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系.(2)在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提.[再练一题]1．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.【解析】(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论(2)等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提∠A＝∠B. 结论用三段论证明几何问题如图BFD ＝∠A，D E∥BA，求证：D E＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．图2-1-12【精彩点拨】用三段论的模式依次证明：(1)DF∥A E，(2)四边形A E DF为平行四边形，(3)D E＝AF.【自主解答】(1)同位角相等，两直线平行，(大前提)∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥A E.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)D E∥BA且DF∥E A，(小前提)所以四边形AFD E为平行四边形．(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)D E和AF为平行四边形的对边，(小前提)所以D E＝AF.(结论)1．用“三段论”证明命题的步骤(1)理清楚证明命题的一般思路；(2)找出每一个结论得出的原因；(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．2．几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．[再练一题]2．证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角.【导学号：62952071】【解】已知在梯形ABCD中(如图所示)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.证明：①等腰三角形的两底角相等，大前提△DAC是等腰三角形，DC＝DA，小前提∠1＝∠2. 结论②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，大前提∠1和∠3是平行线AD，BC被AC所截的内错角，小前提∠1＝∠3. 结论③等于同一个量的两个量相等，大前提∠2，∠3都等于∠1，小前提∠2和∠3相等．结论即CA平分∠BCD.④同理BD平分∠CBA.[探究共研型]演绎推理在代数证明中的应用探究1【提示】演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论一定正确．探究2因为对数函数y＝log a x(a＞0，a≠1)是增函数，而y＝log13x是对数函数，所以y＝log13x是增函数．上面的推理形式和结论正确吗？【提示】推理形式正确，结论不正确．因为大前提是错误的．已知a，b，m均为正实数，b<a，用三段论形式证明：ba<b＋m a＋m.【精彩点拨】利用不等式的性质证明．【自主解答】因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b<a，m>0，(小前提)所以mb<ma. (结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号方向不变，(大前提)mb <ma ，(小前提) 所以mb ＋ab <ma ＋ab ，即b (a ＋m )<a (b ＋m )． (结论) 因为不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变， (大前提) b (a ＋m )<a (b ＋m )，a (a ＋m )>0， (小前提) 所以b (a ＋m )a (a ＋m )<a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a <b ＋ma ＋m.(结论)代数问题中常见的利用三段论证明的命题1．函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等． 2．导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等．3．三角函数的图象与性质．4．数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质． 5．不等式的证明．[再练一题]3．“由(a 2＋a ＋1)x >3，得x >3a 2＋a ＋1”的推理过程中，其大前提是__________．【答案】 不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变．1．“三角函数是周期函数，y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2是三角函数，所以y ＝tanx ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是( )A ．推理完全正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．推理形式不正确【解析】大前提和小前提中的三角函数不是同一概念，犯了偷换概念的错误，即推理形式不正确．【答案】 D2．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理()【导学号：62952072】A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的【解析】这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2＞0”，显然结论错误，原因是大前提错误．【答案】 A3．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：____________________________________________________；小前提：___________________________________________________；结论：_________________________________________________.【答案】一次函数的图象是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线4．如图2-1-13所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，BC ＝AD.图2-1-13又因为△ABC和△CDA的三边对应相等，所以△ABC≌△CDA.上述推理的两个步骤中分别省略了________、________.【答案】大前提大前提5．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(2)y＝x2(x∈R)是偶函数．【解】(1)因为矩形的对角线相等，大前提而正方形是矩形，小前提所以正方形的对角线相等．结论(2)因为∀x∈R，函数f(x)有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，大前提而y＝x2满足∀x∈R，f(－x)＝f(x)，小前提∴y＝x2(x∈R)是偶函数．结论。

2.1.2 演绎推理（罗毅）一、教学目标1．核心素养通过学习演绎推理，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力．2．学习目标（1）结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理．（2）通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.3．学习重点了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理．4．学习难点用“三段论”进行简单的推理．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P78－P81，思考：什么是演绎推理？合情推理与演绎推理的在逻辑上有什么区别？2．预习自测）1．下列几种推理过程是演绎推理的是（）A.5和可以比较大小B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C.我校高中高二级有18个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D. 预测股票走势图解：A2．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A．①B．②C．③D．①和②解：B3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误解： A（二）课堂设计1．知识回顾（1）归纳推理和类比推理的含义和特点．（2）合情推理的逻辑缺陷是什么．2．问题探究问题探究一 演绎推理的基本方法 ●活动一 回顾合情推理，认知逻辑特征1. 练习： ① 对于任意正整数n ，猜想（2n -1）与(n +1)2的大小关系？②在平面内，若,a c b c ⊥⊥，则//a b . 类比到空间，你会得到什么结论？（结论：在空间中，若,a c b c ⊥⊥，则//a b ；或在空间中，若,,//αγβγαβ⊥⊥则.2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？ ●活动二 结合实例，体会演绎推理导入：①所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；②太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ； ③奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 .讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？在逻辑上有什么共同特点？ ●活动三 总结共性，形成方法提问：观察教材引例，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：大前提——已知的一般原理；第二段：小前提——所研究的特殊情况；。

2.1.2演绎推理
学习目标：
1．理解演绎推理的概念，掌握演绎推理的四种形式。
2．通过实例的分析建立演绎推理的概念，体会演绎推理的四种形式。
学习重点难点：
演绎推理的概念及演绎推理的几种形式
自主学习：
一：知识再现：
合情推理包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由个别事实概栝出一般结论的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理
归纳反思：
合作探究：
1.已知数列 满足 , .
⑴证明:数列 是等比数列
⑵求数列 的通项公示
⑶若数列 满足 ,证明:数列 是等差数列.
2.已知 求证：
教师备课
学习笔记
教师备课
学习笔记
教师备课
学习笔记
教师备课
学习笔记
例3: 设a,b,c为正数，求证：
证明: 我们知道，
例4:证明函数 的值恒为正数.
证明:当 时 各项都为正数,因此当 时 为正数
当 时,
当 时,
综上所述,函数 的值恒为正数.
注意: ①前提中被判断的对象,必须是该类 事物的全部对象
②前提中的所有判断都必须是正确的
课堂巩固：
1.设 ,求证:
2.已知函数 ， 判断 奇偶性
二：新课探究：
1．演绎推理的定义：根据一性的真命题（或逻辑规则）导出特殊命题为真的推理叫演绎推理
2．演绎推理的特征:由一般到特殊的推理
3．演绎推理规则
⑴ 假言推理：“若p q，p真，q真” 它的本质是，通过验证结论的充分条件为真,从而判断结论为真.
` 假言推理的步骤：（1）：确定命题p q
(2): 判断命题p是否为真，如果p为真，则q为真
（2）三段论推理：“若b c,而a b,则a c”，

2.1.2演绎推理周；使用时间17 年月日；使用班级；姓名【学习目标】1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点一演绎推理与三段论分析下面几个推理，找出它们的共同点.(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，tan α是三角函数，因此tan α是周期函数；(4)两条直线平行，同旁内角互补.如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫思考1演绎推理有什么特点？思考2演绎推理的结论一定正确吗？知识点二思考演绎推理一般是怎样的模式？【合作探究】类型一演绎推理例1将下列演绎推理写成三段论的形式.(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B.跟踪训练1把下列推断写成三段论的形式：(1)函数y＝2x＋5的图象是一条直线；(2)y＝sin x(x∈R)是周期函数.类型二三段论在证明几何问题中的应用例2用三段论分析下题的证明过程.如图，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF. 证明过程如下：∵∠BFD＝∠A，∴FD∥AE，又∵DE∥BA，∴四边形AFDE是平行四边形，∴ED＝AF.跟踪训练2 有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b 在平面α外，直线a 在平面α内，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”，结论显然是错误的，这是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误类型三 演绎推理在代数问题中的应用例3 已知定义域为[0,1]的函数f (x )同时满足以下三个条件：①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若“当x 1≥0，x 2≥0，且x 1＋x 2≤1时，有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立”，则称f (x )为“友谊函数”.(1)若已知f (x )为“友谊函数”，求f (0)的值；(2)函数g (x )＝2x －1在区间[0,1]上是否为“友谊函数”？并给出理由；(3)已知f (x )为“友谊函数”，且0≤x 1<x 2≤1，求证：f (x 1)≤f (x 2).跟踪训练3 已知{a n }是各项均为正数的等差数列，lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列，又b n ＝21na (n ＝1,2,3，…).证明：{b n }为等比数列.【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题【当堂检测】1.正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数.以上推理( )A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确2.三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的.”中的小前提是()A.①B.②C.①②D.③3.在三段论“∵a＝(1,0)，b＝(0，－1)，∴a·b＝(1,0)·(0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0，∴a⊥b”中，大前提：______________________，小前提：______________________，结论：______________________.4.用三段论的形式写出下列命题：(1)Rt△ABC的内角和为180°；(2)通项公式a n＝2n＋3的数列{a n}是等差数列.【小结作业】小结：作业：对应限时练。

教学目标：了解合情推理和演绎推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理.教学重点：利用归纳和类比等方法进行简单的推理，掌握演绎推理的基本模式.教学难点：利用归纳和类比等方法进行简单的推理，掌握演绎推理的基本模式.教学过程：一、课前检测1、演绎推理：．①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；②学习要点：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：ⅰ大前提：；ⅱ小前提：；ⅲ结论：．集合简述：ⅰ大前提：x M∈且x具有性质P；ⅱ小前提：y S⊆；∈且S Mⅲ结论：y也具有性质P；2、合情推理：与统称为合情推理．①归纳推理：．②类比推理：．定义特点：归纳推理是由特殊到一般、由具体到抽象的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；两者都能由已知推测、猜想未知，从而推出结论．但是结论的可靠性有待证明．③推理过程：从具体问题出发→→归纳类比→．二、例题讲解例1：对任意正整数n，猜想n2与2n的大小例2：已知“等边三角形内任意一点P到三边的距离之和相等，且等于三角形的高.”类比这一现象，在正四面体中你能得出什么结论？证明你的结论.例3：设1021,,x x x 都是正数，证明：10211210322221x x x x x x x x x ++≥+++.例4：设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于正整数n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项.写出数列的前3项，由此猜想数列{}n a 的通项公式，并给出证明.三.课堂小结:作业班级 姓名 学号 等第1.对于函数)(x f ，若.15)4(,8)3(,3)2(,0)1(====f f f f 运用归纳推理的方法可猜测=)(n f2.观察下列不等式：,5353,3232+-≤+-+≤-,3232-+-≤--归纳出一般结论为3.当),0(,,+∞∈c b a 时，由,3,23abc c b a ab b a ≥++≥+运用归纳推理可猜测出一般结论为4.数列{}n a 中，,32,18,8,24321====a a a a 运用归纳推理可猜测出n a =5.,54361132231,432611221,3216111⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯观察以上几个等式，运用归纳推理可猜测出一般结论为6.将等式和不等式进行类比：（1）由等式的性质：若,b a =则),(*∈=N n b a n n 可猜测不等式的性质为（2）由等式的性质：若,d c b a =则db c a d b c a --=++可猜测不等式的性质为 （3）判断以上猜测（1） （2） （对或错）7.已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ，有如下的性质：（1）若*∈=+N n m p n m ,,2，则p n m a a a 2=+ （2）n n n n n S S S S S 232,,--构成等差数列. 类比上述性质，在等比数列{}n b 中，写出相类似的性质（1） （2）8. 将以下两推断恢复成完全的三段论（1）因为ABC ∆三边的长依次为3，4，5，，所以ABC ∆是直角三角形；（2）函数25y x =+的图像是一条直线.9. 已知：2)44tan 1)(1tan 1(00=++，2)43tan 1)(2tan 1(00=++， 2)42tan 1)(3tan 1(00=++，根据以上等式，你能得出什么一般性的结论，并加以证明.10. 用三段论证明函数2()2f x x x =-+在(,1]-∞上是增函数.11. 设AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中与坐标轴均不平行的弦，其所在直线的斜率为,1k 弦AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为2k ，则有2221ab k k -=，将双曲线和椭圆进行类比，写出相应的结论，并判断其是否正确，若正确，给出证明.。

高二数学演绎推理导学案新人教A版【学习目标】结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。

【学习重点】正确地运用演绎推理进行简单的推理【学习难点】了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

模块一: 自主学习，明确目标阅读教材30-33页，10分钟时间，思考并回答以下问题：1．概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为__ __.要点：由_____到_____的推理.2．讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？3．思考：“所有的金属都能够导电，铜是金属，所以铜能导电”，它由几部分组成，各部分有什么特点？4．小结：“三段论”是演绎推理的一般模式：（1）大前提：_________________________________________；（2）小前提：_________________________________________；（3）结论： ____________________________________________.5.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:6．演绎推理是一种必然性推理，只要大前提是正确的，小前提在大前提中，则小前提的结论必定是正确的。

引起错误的主要有二种情况：①大前提错误可能导致错误的的结论；②小前提不在大前提中。

模块二：巩固训练，整理提高一．例题例1．用三段论的形式写出下列演绎推理。

（1）三角形内角和180°，等边三角形内角和是180°例2．证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,0]上是增函数.三．课堂测试1、一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为（1）大前提：_________________________________________；（2）小前提：_________________________________________；（3）结论： ____________________________________________.2.“因为对数函数x y a log =是增函数（大前提），而x y 31log =是对数函数（小前提），所以x y 31log =是增函数（结论）.”上面的推理的错误是（ ）A.大前提错导致结论错；B.小前提错导致结论错；C.推理形式错导致结论错；D.大前提和小前提都错导致结论错.3、“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数”，上述推理( ）A 、完全正确B 、推理形式不正确C 、错误，因为大小前提不一致D 、错误，因为大前提错误4、下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A 、两条直线平行，同旁内角互补，如果A 和B 是两条平行线的同旁内角，则A+B=0180。

2．1.2演绎推理1．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．2．认识合情推理和演绎推理之间的联系和差别．3．要点是演绎推理的含义，用“三段论”进行简单的推理；难点是用“三段论”证明问题．基础梳理1．演绎推理依据一般性的真命题或逻辑规则，导出特别性命题为真的推理，叫做演绎推理．即从一般性的原理出发，推出某个特别状况下的结论的推理形式．它的特点是：目前提为真时，结论必定为真．2．三段论：“三段论”是演绎推理的一般模式(1)三段论的构造：①大前提—已知的一般原理；②小前提—所研究的特别状况；③结论—依据一般原理，对特别状况做出的判断．(2)三“段论”的表示：①大前提—M 是 P；②小前提—S 是 M；③结论— S 是 P．(3)三段论的依照：用会合看法来看就是：①若会合M的全部元素都拥有性质P，② S 是 M 的一个子集；③那么 S 中全部元素也都拥有性质P.想想： (1) “三段论”就是演绎推理吗？(2)在演绎推理中，假如大前提正确，那么结论必定正确吗？为何？(3)22＋ 1)是奇函数．以正弦函数是奇函数， f(x)＝ sin(x ＋ 1)是正弦函数，所以f(x)＝sin(x上推理中，“三段论”中的 ________是错误的．(1)分析：不是．三段论是演绎推理的一般模式．(2)分析：不必定正确．只有大前提和小前说起推理形式都正确，其结论才是正确的．(3)分析：小前提错误，由于f(x)＝ sin(x2＋ 1)不是正弦函数．答案：小前提自测自评1．演绎推理中的“一般性命题”包含(A)①已有的事实；②定义、定理、公义等；③个人累积的经验．A ．①②B ．①③C．②③ D ．①②③分析：演绎推理中的“一般性命题”包含“已有的事实”、“定义、定理、公义等”．2．以下说法不正确的个数为(C)①演绎推理是一般到特别的推理；②演绎推理获得的结论必定正确；③合情推理是演绎推理的前提，演绎推理是合情推理的靠谱性．A．3 个B．2 个C．1 个D．0 个分析：演绎推理的结论正确与否与前提、推理形式相关，不必定正确，故②不正确．3．“全部 9 的倍数都是 3 的倍数，某奇数是9 的倍数，故该奇数是 3 的倍数．”上述推理(C)A ．小前提错B．结论错C．正确D．大前提错分析：9＝3×3，所以大前提是正确的，又小前提和推理过程都正确，所以结论也正确，故上述推理正确．应选 C.基础巩固1．正弦函数是奇函数，f(x)＝ sin(x2－ 1)是正弦函数，所以f(x)＝sin(x2－ 1)是奇函数，以上推理过程中 (C)A ．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确分析：大前提正确，小前提错误，由于f(x)＝ sin(x2－ 1)不是正弦函数，所以结论也是错误的．应选 C.2．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”．结论明显是错误的，这是由于(C)A ．大前提错误B．小前提错误C ．推理形式D ．非以上分析：不切合 “三段 ”的形式，正确的“三段 ”推理形式 ：“ 吃白菜，参先生是 ，所以参 先生也吃白菜”．3． (2013 ·州高二 温)下边几种推理中是演 推理的是(A)A ．因 y ＝ 2x 是指数函数，所以函数 y ＝ 2x 定点 (0， 1)B ．猜想数列1 ， 1 ， 1，⋯的通 公式 a n ＝1 (n ∈ N *)1×2 2×3 3×4n （ n ＋1）222的面 π r 2x 2y 2C ．由 x ＋ y ＝ r猜想出 2＋ 2＝ 1 的面 π aba bD ．由平面直角坐 系中 的方程 (x －a) 2＋ (y － b)2＝ r 2 ，推 空 直角坐 系中球的方程 (x － a)2＋ (y － b)2＋ (z － c) 2＝ r 2分析： B 推理， C 、 D 比推理， A 演 推理，故 A.4．已知 a ＝5－ 1，函数 f(x)＝a x ，若 数 m ，n 足 f(m)>f( n)， m ，n 的大小关系是2________．分析：当 0< a<1 ，函数 f(x)＝ a x减函数， a ＝5－1∈ (0， 1)，2∴函数 f(x)＝5－ 1 x f(m)>f(n)，得 m<n.2 减函数，故由答案： m<n能力提高5． a ＝ (x ， 4)， b ＝ (3，2)，若 a ∥ b ， x 的 是 (D)88A ．－ 6B. 3C ．－ 3D ． 6分析：∵ a ∥ b ，∴ x ＝ 4，∴ x ＝ 6.3 26. 如 ， 平面 α∩β＝EF ， AB ⊥ α ，CD ⊥ α ，垂足分 是点 B ，D ，假如增添一个条件，就能推出 BD ⊥ EF ， 个条件不行能是下边四个 中的(D) A ． AC ⊥βB ．AC ⊥ EFC ．AC 与 BD 在 β内的射影在同一条直 上D ． AC 与 α， β 所成的角相等分析：只需能推出EF⊥ AC 即可明BD ⊥ EF.当 AC 与α，β所成的角相等，推不出EF ⊥ AC，故 D.7．由“ a(2＋ 1)x＞3，得 x＞23”的推理程中，其大前提是 ________．＋a1223分析：因 a ＋ 1≥1＞ 0，所以由(a ＋ 1)x＞ 3，得 x＞a2＋1.其前提依照不等式的乘法法：不等式两同除以一个正数，不等号方向不改．答案：不等式两同除以一个正数，不等号方向不改x2＋18．对于函数f(x) ＝lg|x|(x≠0)，有以下命：①其象对于y 称；②当 x>0 ，f(x)增函数；③ f(x)的最小是lg 2 ；④当－ 1<x<0，或 x>1 ， f(x)是增函数；⑤ f(x)无最大，也无最小．此中正确的序号是 ________．分析：易知f(－ x)＝ f(x)，∴ f(x)偶函数，其象对于y 称，①正确．当 x>0 ，211x ＋ 1f(x)＝ lg|x|＝ lg x＋x.∵ g( x)＝ x＋x在 (0， 1)上是减函数，在 (1，＋∞)上是增函数，∴ f( x)在(0 ，1)上是减函数，在 (1，＋∞)上是增函数，故②不正确，而 f(x)有最小lg 2 ，∴③正确，④也正确，⑤不正确．答案：①③④9．通算可得以下等式：22－ 12＝ 2×1＋ 1，223－2 ＝2×2＋1，42－ 32＝ 2×3＋ 1，⋯(n＋ 1)2－ n2＝ 2×n＋ 1.将以上各式分相加，得：(n＋ 1)2－ 12＝ 2×(1＋ 2＋3＋⋯＋n)＋n，即： 1＋ 2＋ 3＋⋯＋ n＝n（n＋1）.2比上述求法：你用(n＋ 1)3－ n3＝ 3×n2＋ 3×n＋ 1 求出 12＋ 22＋ 32＋⋯＋ n2的．分析： 23－13＝ 3×12＋ 3×1＋ 1，3323 －2 ＝3×2 ＋ 3×2＋ 1， 43－ 33＝ 3×32＋ 3×3＋ 1， ⋯(n ＋ 1)3－ n 3＝ 3×n 2＋ 3×n ＋ 1.将以上各式分 相加得：(n ＋ 1) 33＝ 3×(1 2222－ 1 ＋2 ＋3 ＋ ⋯ ＋n )＋3×(1＋ 2＋ 3＋ ⋯ ＋ n)＋n.22 ＋3 2 21 33n （ n ＋1）1n(n ＋ 1)(2n ＋ 1)． 所以 1＋2＋ ⋯ ＋ n＝ [(n ＋ 1) － 1－n －2]＝36e x ＋ a xa 的 ．10． a>0， f(x) ＝ ae 是 R 上的偶函数，求分析：∵ f(x)＝exa是 R 上的偶函数，a ＋ xe－ xx∴ f(－ x)＝ f(x)，即e＋a－x ＝ e＋ ax ，ae a ex1－1∴ a (e － e ) ＋a e － x e x ＝ 0.1－x1x1∴ a －ae－e x ＝ 0 全部 x ∈ R 恒建立，∴ a －1＝ 0，即 a 2＝1.a又 a>0， ∴ a ＝ 1.。

（2）推理形式错误。大前提中的M是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而在小前提中M虽然也是“中国大学”，但它表示的是中国一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误，得大错误的结论。
【点评】做此类题目，首先要分清大前提，小前提，然后看其形式是否正确，即M是P，S是M，S是P。
例3、已知 ，求证：
6、补充下列推理的三段论：
（1）因为互为相反数的两个数的和为0，
又因为a与b互为相反数且
所以b=8
（2）因为
又因为 是无限不循环小数，
所以 是无理数。
7、将下列推理恢复成完全的三段论
（1）因为三角形ABC三边长依次为5，12，13,所以三角形ABC为直角三角形；
（2）函数 的图象是一条抛物线
8、指出下面三段论的大前提、小前提和结论
8、（1）是大前提（2）是小前提（3）是结论
A、正方形都是对角线相等的四边形B、矩形都是对角线相等的四边形
C、等腰梯形都是对角线相等的四边形D、矩形都是对边平行且相等的四边形
★能力训练★
5、“因对数函数 是增函数（大前提），而 是对数函数（小前提），所以 是增函数（结论）。”上面的推理的错误是（）
A、大前提错导致结论错B、小前提错导致结论错
C、推理形式错导致结论错D、大前提和小前提都错导致结论错
求证：
，
从而有
即
【点评】本题的关键在于找准突破口，合理选择方法。
【阶梯练习】
★基础练习★
1、“所有9的倍数（M）都是3的倍数（P），某奇数（S）是9的倍数（M），故某奇数（S）是3的倍数（P）。”上述推理是（）
A、小前提错B、结论错C、正确的D、大前提错
2、“（1）一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，（2）这个错误的推理不是前提不成立，（3）所以这个错误的推理是推理形式不正确”，以上三段论是（）

2．1.2演绎推理[目标] 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．[重点] 演绎推理的含义及三段论推理模式的应用．[难点] 三段论模式及其应用．知识点演绎推理[填一填]1．演绎推理的含义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．演绎推理的一般模式三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提：已知的一般原理；小前提：所研究的特殊情况；结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．“三段论”的常用格式大前提：M是P；小前提：S是M；结论：S是P.[答一答]1．阅读下面的材料：(1)自然数都是整数，因为3是自然数，所以3是整数．(2)一次函数是单调函数，y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数．回答下列问题：(1)上面推理的共同特点是什么？(2)材料(1)(2)中的推理形式是否满足“三段论”？(3)演绎推理的结论一定正确吗？提示：(1)都是由一般到特殊的推理．(2)此推理形式满足“三段论”．(3)演绎推理的结论不会超出前提所界定范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．2．如何区别演绎推理与合情推理？提示：(1)演绎推理是确定的、可靠的，而合情推理则带有一定的风险性．严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理．(2)合情推理和演绎推理分别在获取经验和辨别真伪两个环节中扮演重要角色．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．1．“三段论”的理解(1)三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系，从而得到了第三个命题——结论．(2)三段论推理的结论正确与否，取决于两个前提是否正确，推理形式(即S与M的包含关系)是否正确．注意：运用三段论推理时，常可省略大前提或小前提，对于复杂的证明，也常把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提．2．合情推理与演绎推理的区别与联系(1)合情推理的特点是从特殊到一般，结论不一定正确；演绎推理的特点是从一般到特殊，只要前提和推理形式正确，结论一定正确．(2)在认识世界的过程中，合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的，二者相辅相成，紧密联系．类型一把演绎推理写成三段论【例1】将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，A，B是等腰三角形的底角，则A＝B；(3)通项公式a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列；(4)函数f(x)＝x3是奇函数．【思路分析】由题目可获取以下主要信息：①明确每一个题的大前提、小前提、结论；②每个题都能用三段论的形式表述．解答本题可先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再利用三段论形式写出来．【解】(1)平行四边形的对角线互相平分，(大前提)菱形是平行四边形，(小前提)菱形的对角线互相平分．(结论)(2)等腰三角形的两底角相等，(大前提)A，B是等腰三角形的底角，(小前提)A＝B.(结论)(3)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，(大前提)通项公式a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，(小前提)通项公式a n＝2n＋3表示的数列{a n}为等差数列．(结论)(4)对于定义域关于原点对称的函数f(x)，若f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，(大前提)函数f(x)＝x3的定义域关于原点对称，f(－x) ＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，(小前提)所以函数f(x)＝x3是奇函数．(结论)用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提.有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提同时省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)三角形内角和都为180°，所以等边三角形的内角和为180°；(2)两直线平行，同位角相等，如果A和B是两平行直线的同位角，那么A＝B.解：(1)每一个三角形的内角和都为180°，(大前提)等边三角形是三角形，(小前提)所以，等边三角形内角和为180°.(结论)(2)两直线平行，同位角相等，(大前提)A和B是两平行直线的同位角，(小前提)所以，A＝B.(结论)类型二判断演绎推理的正确性【例2】指出下面推理中的错误：(1)常函数的导函数为0，(大前提)函数f(x)的导函数为0，(小前提)f(x)为常函数．(结论)(2)中国的大学分布在中国各地，(大前提)北京大学是中国的大学，(小前提)所以，北京大学分布在中国各地. (结论)【解】(1)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出一般性原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．(2)推理形式错误．大前提中的M是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而在小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误，得到错误的结论．(1)做此类题目，首先要分清大前提，小前提，然后看其形式是否正确，即M是P，S是M，S是P.(2)三段论的论断基础是这样一个公理：“凡肯定(或否定)了某一类对象的全部，也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体”．简言之，“全体概括个体”，M、P、S三个概念之间的包含关系表现为：如果概念P包含了概念M，则必包含了M中的任一概念S(如下图①)；如果概念P排斥概念M，则必排斥M中的任一概念S(如下图②)．弄清以上道理，才会使我们在今后的演绎推理中不犯(或少犯)错误．因为指数函数y ＝a x 是增函数，(大前提)而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是指数函数，(小前提) 所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是增函数．(结论) (1)上面的推理形式正确吗？(2)推理的结论正确吗？为什么？解：(1)上述推理的形式正确，但大前提是错误的；(2)推理的结论错误，这是因为指数函数y ＝a x (0<a <1)是减函数，所以所得到的结论是错误的．类型三 用三段论证明数学问题【例3】 梯形的两腰和一底如果相等，它的对角线必平分另一底上的两个角．已知：在梯形ABCD 中(如右图)，AB ＝DC ＝AD ，AC 和BD 是它的对角线．求证：AC 平分∠BCD ，DB 平分∠CBA .【证明】 (1)等腰三角形两底角相等，(大前提)△DAC 是等腰三角形，DA 、DC 是两腰，(小前提)∠1＝∠2.(结论)(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截出的内错角，(小前提)∠1＝∠3.(结论)(3)等于同一个量的两个量相等，(大前提)∠2和∠3都等于∠1，(小前提)∠2＝∠3，(结论)即AC平分∠BCD.(4)同理，DB平分∠CBA.这个证明中如果把(4)也详细地写出，则一共通过六次三段论的形式．因此一个命题的证明形式，确切地常叫做复合三段论的形式，或说命题的推证方法是复合三段论法，但是事实上，每一次三段论的大前提并不写出，某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论，也就不再写出了．如例3的证明可写成：∵DA＝DC(省略了大前提)，∴∠1＝∠2.∵AD∥BC，且被AC截得的内错角为∠1和∠3(省略大前提)，∴∠1＝∠3.∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD(省略大前提，小前提)．同理可证DB平分∠CBA.这样，一般地在推证命题时所采用的这种表达的方法，就叫做简化的复合三段论法．用三段论证明函数f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．证明：任取x1、x2∈(－∞，1]，且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝(－x21＋2x1)－(－x22＋2x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2)．因为x1<x2，所以x2－x1>0.因为x1、x2≤1，x1≠x2，所以x2＋x1－2<0.因此f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．于是根据“三段论”，得f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．“三段论”中大(或小)前提用错演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．【例4】用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)自然数是整数，所以6是整数；(2)y＝sin x(x∈R)是周期函数．【错解】(1)自然数是整数，(大前提)6是整数，(小前提)所以6是自然数．(结论)(2)函数是周期函数，(大前提)y＝sin x(x∈R)是函数，(小前提)所以y＝sin x(x∈R)是周期函数．(结论)【错因分析】(1)推理形式错误．M是“自然数”，P是“整数”，S是“6”，故按规则“6”应是自然数(M)(此时的小前提错误)，推理形式不对．(2)推理形式正确，但大前提错误，M是函数改为M为三角函数即可．【正解】(1)自然数是整数，(大前提)6是自然数，(小前提)所以6是整数．(结论)(2)三角函数是周期函数，(大前提)y＝sin x(x∈R)是三角函数，(小前提)所以y＝sin x(x∈R)是周期函数．(结论)下列推理是否正确，将有错误的指出其错误之处．(1)已知2和3是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题意知2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，求证a2＋b2＝c2.证明：∵a＝c sin A，b＝c cos A，∴a2＋b2＝c2sin2A＋c2cos2A＝c2(sin2A ＋cos2A)＝c2.解：(1)使用的论据是：“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此结论的真实性仍无法断定．(2)本题的论题就是我们熟知的勾股定理，证明中用了“sin2A＋cos2A＝1”这个公式，按照现行中学教材的系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证的命题作为证明的论据，犯了循环论证的错误．1．“因为我们是共青团员，所以我们要在学习和工作中起带头作用．”它的大前提是(C)A．我们是共青团员B．我们在学习和工作中起带头作用C．共青团员应在学习和工作中起带头作用D．以上都不是2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理(C)A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解析：由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确．故选C.3．推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD是矩形，结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是矩形的对角线相等．解析：由“三段论”的一般模式，可知应补充的大前提是：矩形的对角线相等．4．已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为m<n.解析：当0<a<1时，函数f(x)＝a x为减函数，(大前提)a＝5－12∈(0,1)，(小前提)所以函数f(x)＝(5－12)x为减函数．(结论)故由f(m)>f(n)，得m<n.5．用三段论证明通项公式为a n＝a1＋(n－1)d的数列{a n}为等差数列．证明：若数列{a n}满足a n＋1－a n＝d(常数)，则数列{a n}是等差数列，(大前提)通项公式为a n＝a1＋(n－1)d的数列{a n}，满足a n＋1－a n＝a1＋nd －a1－(n－1)d＝d，(小前提)所以通项公式为a n＝a1＋(n－1)d的数列{a n}是等差数列．(结论)。

2.1.2演绎推理[学习目标] 1.了解演绎推理的重要性.2.掌握演绎推理的基本模式，并能进行一些简单的推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.知识点一演绎推理及其一般模式——“三段论”1.演绎推理2.三段论思考(1)(2)如何分清大前提、小前提和结论？答案(1)演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确.(2)在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义.例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有的一般意义.知识点二演绎推理与合情推理的区别与联系题型一用三段论的形式表示演绎推理例1把下列演绎推理写成三段论的形式.(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y＝tanα是三角函数，因此y＝tanα是周期函数.解(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，大前提在一个标准大气压下把水加热到100℃，小前提水会沸腾.结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提2100＋1是奇数，小前提2100＋1不能被2整除.结论(3)三角函数都是周期函数，大前提y ＝tan α是三角函数，小前提 y ＝tan α是周期函数.结论反思与感悟 三段论由大前提、小前提和结论组成.大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提，而大、小前提在书写过程中是可以省略的. 跟踪训练1 将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)0.332是有理数；(2)y ＝cos x (x ∈R )是周期函数； (3)Rt △ABC 的内角和为180°.解 (1)有限小数是有理数(大前提)，0.332是有限小数(小前提)，0.332是有理数(结论). (2)三角函数是周期函数(大前提)，函数y ＝cos x (x ∈R )是三角函数(小前提)，函数y ＝cos x (x ∈R )是周期函数(结论).(3)三角形内角和是180°(大前提)，Rt △ABC 是三角形(小前提)，Rt △ABC 的内角和为180°(结论).题型二 演绎推理在证明数学问题中的应用例2 在锐角三角形中，求证sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 证明 ∵在锐角三角形中，A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，∴0＜π2－B ＜A ＜π2.又∵在⎝⎛⎭⎫0，π2内，正弦函数是单调递增函数， ∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ， 即sin A ＞cos B ，① 同理sin B ＞cos C ，② sin C ＞cos A .③以上①②③两端分别相加，有： sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .反思与感悟 (1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提. 跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证1a ＋1b ＋1ab ≥8.(2)求证：函数f (x )＝2x －12x ＋1是定义域上的增函数.证明 (1)∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴1＝a ＋b ≥2ab ， 即ab ≤12，∴1ab≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1ab ≥2ab ·21ab ＋1ab≥4＋4＝8. 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8. (2)函数定义域为R . 任取x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2. 则f (x 1)－f (x 2)＝1212112+121x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()()12121211222221212121x x x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎢⎥=-= ⎪+++⋅+⎝⎭⎢⎥⎣⎦121212,22,220,x x x x x x ∴∴-＜＜＜∴f (x 1)－f (x 2)＜0.∴f (x 1)＜f (x 2).故f (x )为R 上的增函数. 题型三 合情推理、演绎推理的综合应用例3 如图所示，三棱锥ABCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直，O 为点A 在底面BCD 上的射影. (1)求证：O 为△BCD 的垂心；(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明. (1)证明 ∵AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，AB ∩AC ＝A ， ∴AD ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC . ∴AD ⊥BC ，又∵AO ⊥平面BCD ，AO ⊥BC ， ∵AD ∩AO ＝A ，∴BC ⊥平面AOD ，∴BC ⊥DO ，同理可证CD ⊥BO ， ∴O 为△BCD 的垂心.(2)解 猜想：S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S 2△BCD .证明如下：连接DO 并延长交BC 于E ，连接AE ，由(1)知AD ⊥平面ABC ， AE ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AE ，又AO ⊥ED ， ∴AE 2＝EO ·ED ，∴⎝⎛⎭⎫12BC ·AE 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·EO ·⎝⎛⎭⎫12BC ·ED ， 即S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD .同理可证：S 2△ACD ＝S △COD ·S △BCD ， S 2△ABD ＝S △BOD ·S △BCD .∴S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S △BCD ·(S △BOC ＋S △COD ＋S △BOD )＝S △BCD ·S △BCD ＝S 2△BCD .反思与感悟 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).跟踪训练3 已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则数列b n ＝na 1a 2…a n (n ∈N *)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论. 解 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn 也是等差数列.证明如下：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝na 1＋n (n －1)d 2n ＝a 1＋d2(n －1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d2为公差的等差数列.三段论中因忽视大(小)前提致误例4 已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ，b ，c 不全相等，试比较a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab与a ＋b ＋c 的大小.错解 因为a ，b ，c ∈R ＋，依基本不等式有⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2c 2a 2.由三式相加得a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.① 又a 2b 2＋b 2c 2≥2a 2b 4c 2＝2ab 2c ， 同理b 2c 2＋c 2a 2≥2abc 2， c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc ，三式相加得a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2.②由①②得a 4＋b 4＋c 4≥a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2，又a ，b ，c ∈R ＋， 所以a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab≥a ＋b ＋c .错因分析 以上过程忽视了小前提“a ，b ，c 不全相等”，因此①②两式中均为“＞”. 正解 ∵a ，b ，c ∈R ＋，有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2c 2a 2.又a ，b ，c 不全相等，故三式相加，得 a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.③ 又a 2b 2＋b 2c 2≥2ab 2c ， b 2c 2＋c 2a 2≥2abc 2， c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc ，且a ，b ，c 不全相等，三式相加得 a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2＞a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2，④ 由③④得a 4＋b 4＋c 4＞a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2， ∵a ，b ，c ∈R ＋， ∴a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab＞a ＋b ＋c . 防范措施 利用三段论推理时，正确使用大(小)前提，尤其注意数学中有关公式、定理、性质、法则的使用情形.1.下列推理中是演绎推理的是( )A.全等三角形的对应角相等，如果△ABC ≌△A ′B ′C ′，则∠A ＝∠A ′B.某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三各班的人数均超过50人C.由平面内三角形的性质，推测空间中四面体的性质D.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此猜想出{a n }的通项公式答案 A解析 B 项是归纳推理，C 项是类比推理，D 项是归纳推理.故选A. 2.指数函数都是增函数，……………………大前提 函数y ＝⎝⎛⎭⎫1e x是指数函数，……………………小前提 所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫1e x 是增函数.……………………结论 上述推理错误的原因是( ) A.大前提不正确B.小前提不正确C.推理形式不正确D.大、小前提都不正确 答案 A解析 大前提错误.因为指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)在a ＞1时是增函数，而在0＜a ＜1时为减函数.故选A.3.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，则f (x )的周期是________. 答案 8解析 f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝f (2－2－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝f [4＋(4＋x )]＝－f (x ＋4)＝－[－f (x )]＝f (x ).∴T ＝8是它的周期.4.设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足1817＜S 2n S n ＜87的所有n 的和为________. 答案 7解析 由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n ≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n ≥2)，即a n ＋1a n ＝12(n ≥2)，由已知求出a 2＝34，易得a 2a 1＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n ，S 2n ＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫122n ，代入1817＜S 2n S n ＜87，可得117＜⎝⎛⎭⎫12n ＜17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 5.设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.证明 因为a ，b ，c 为正实数，由基本不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号. 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .而3abc＋abc ≥23abc ·abc ＝23，当且仅当3abc＝abc ，即a ＝b ＝c ＝63时取等号. 所以1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥23，当且仅当a ＝b ＝c ＝63时取等号.数学中的演绎推理一般是以三段论的格式进行的，三段论是由三个判断组成的，其中的两个为前提，另一个为结论.第一个判断是提供性质的一般判断，叫做大前提，通常是已知的公理、定理、定义等，第二个判断是和大前提有联系的特殊判断，叫做小前提，从而产生了第三个判断——结论.在推理论证的过程中，一个稍复杂一点的证明题经常要由几个三段论才能完成，而大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省去，而采取某种简明的推理格式.一、选择题1.下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤答案D解析根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确.2.《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足.”上述推理用的是()A.类比推理B.归纳推理C.演绎推理D.一次三段论答案C解析这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次复式三段论，属演绎推理形式.3.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数.以上推理()A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确答案C解析由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数.故小前提不正确.4.“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于()A.演绎推理B.类比推理C.合情推理D.归纳推理答案A解析“所有金属都能导电”及“铁是金属”均为前提，得出“铁能导电”的结论，满足演绎推理的定义.5.有一个“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点.因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点.以上推理中()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确答案A解析可导函数在某点处的导数为0，不一定能得到函数的极值点，因此大前提错误.6.已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.其中正确的命题个数是()A.1B.2C.3D.4答案B解析①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确.故选B.二、填空题7.如图，将边长分别为1,2,3的正八边形叠放在一起，同一边上的相邻珠子之间的距离为1，若以此方式再放置边长为4,5,6，…，10的正八边形，则这10个正八边形镶嵌的珠子总数是________.答案341解析边长为1,2,3，…，10的正八边形叠放在一起，则各个正八边形上的珠子数分别为8,2×8,3×8，…，10×8，其中，有3个珠子被重复计算了10次，有2个珠子被重复计算了9次，有2个珠子被重复计算了8次，有2个珠子被重复计算了7次，有2个珠子被重复计算了6次，……，有2个珠子被重复计算了1次，故不同的珠子总数为(8＋2×8＋3×8＋…＋10×8)－(3×9＋2×8＋2×7＋2×6＋…＋2×1)＝440－⎝⎛⎭⎫27＋2×8×92＝341，故所求总数为341.8.在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是________.答案 y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)解析 由大前提知log 2x －2≥0，解得x ≥4.9.三段论式推理是演绎推理的主要形式，“函数f (x )＝2x ＋5的图象是一条直线”这个推理所省略的大前提是________________.答案 一次函数的图象是一条直线10.关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )为减函数；③f (x )的最小值是lg2；④当－1<x <0或x >1时，f (x )是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值. 其中所有正确结论的序号是________.答案 ①③④解析 显然f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称.当x >0时，f (x )＝lg x 2＋1x ＝lg(x ＋1x). 设g (x )＝x ＋1x，可知其在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.f (x )min ＝f (1)＝lg2.∵f (x )为偶函数，∴f (x )在(－1,0)上是增函数.三、解答题11.设m 为实数，利用三段论求证方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两个相异实根.证明 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，若Δ＝b 2－4ac ＞0，则方程有两个相异实根.(大前提)方程x 2－2mx ＋m －1＝0中，Δ＝(－2m )2－4(m －1)＝(2m －1)2＋3＞0，(小前提) 所以方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两个相异实根.(结论)12.证明函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数，并指出证明过程中运用的“三段论”. 证明 已知函数f (x )，对于任意x 1，x 2∈D ，若x 1＜x 2，均有f (x 1)＜f (x 2)，则f (x )在区间D 上是增函数.(大前提)任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 31＋x 1)－(x 32＋x 2)＝x 31－x 32＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)·(x 21＋x 22＋x 1x 2＋1)＝(x 1－x 2)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1＋12x 22＋34x 22＋1. ∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0.又∵⎝⎛⎭⎫x 1＋12x 22＋34x 22＋1＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0, 即f (x 1)＜f (x 2)，(小前提)∴函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数.(结论)13.S 为△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC .求证：AB ⊥BC . 证明 如图，作AE ⊥SB 于E .∵平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB ∩平面SBC ＝SB ，AE ⊂平面SAB .∴AE ⊥平面SBC .又BC ⊂平面SBC .∴AE ⊥BC .又∵SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC .∵SA ∩AE ＝A ，SA ⊂平面SAB ，AE ⊂平面SAB ，∴BC ⊥平面SAB .∵AB⊂平面SAB，∴AB⊥BC.。

2.1.2演绎推理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)让学生知道演绎推理的含义，以及演绎推理与合情推理的联系与差异．(2)能运用演绎推理的基本方法“三段论”进行一些简单的推理．2．过程与方法(1)结合已学过的数学实例和生活中的实例，引出演绎推理的概念．(2)通过对实际例子的分析，从中概括出演绎推理的推理过程．(3)通过一些证明题的实例，让学生体会“三段论”的推理形式．3．情感、态度与价值观让学生体会演绎推理的逻辑推理美，让学生亲身经历数学研究的过程，感受数学的魅力，进而激发自身的求知欲．了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的思维习惯．●重点难点重点：了解演绎推理的含义，理解合情推理与演绎推理的区别与联系，能利用“三段论”进行简单的推理．难点：利用三段论证明一些实际问题．通过比较合情推理与演绎推理的区别与联系，加深学生对概念的理解，在演绎推理的应用中要注意大前提、小前提的应用方法与技巧，注意推理形式的正确性．可将常见的证明题型分类研究，探究每种题型的特点，总结证明方法的特征，学以致用使所证问题化难为易．(教师用书独具)●教学建议建议本课运用自学指导法，通过创设问题情境，引导学生自学探究演绎推理与合情推理的区别与联系，了解演绎推理的作用和应用方式方法．教师指导重点应放在“三段论”的理解与应用上，师生共同研讨大前提、小前提、结论之间的关系，帮助学生分析大前提、小前提的作用及应用方法，引导学生挖掘证明过程包含的推理思路，明确演绎推理的基本过程，总结规律方法，使学生能举一反三、触类旁通．本部分的练习题不在“多”，而在“精”，关键在理解．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识演绎推理的概念，了解演绎推理与合情推理的区别与联系．利用填一填的形式，使学生自主学习本节基础知识，并反馈了解，对理解有困难的概念加以讲解．引导学生在学习基础知识的基础上完成例题1，总结三段论的特点．通过变式训练，总结此类问题易犯的错误．师生共同分析探究例题2的证明方法：找出大前提、小前提，利用三段论给出证明．引导学生完成互动探究．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示．引导学生总结解题规律．课标解读 1.理解演绎推理的意义．(重点) 2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．(难点)3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.演绎推理【问题导思】看下面两个问题：(1)一切奇数都不能被2整除，(22 012＋1)是奇数，所以(22 012＋1)不能被2整除；(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．1．这两个问题中的第一句都说的是什么？【提示】都说的是一般原理．2．第二句又说的是什么？【提示】都说的是特殊示例．3．第三句呢？【提示】由一般原理对特殊示例作出判断．1．演绎推理(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．(2)特点：由一般到特殊的推理．2．三段论一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判S是P断把演绎推理写成三段论形式(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等； (3)0.332·是有理数；(4)y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．【思路探究】 首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式．【自主解答】 (1)向量是既有大小又有方向的量， 大前提零向量是向量，小前提所以零向量也有大小和方向．结论 (2)每一个矩形的对角线都相等，大前提 正方形是矩形，小前提 正方形的对角线相等．结论(3)所有的循环小数都是有理数，大前提 0．332·是循环小数，小前提 0．332·是有理数．结论(4)三角函数是周期函数，大前提 y ＝sin x 是三角函数，小前提 y ＝sin x 是周期函数．结论用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)整数是自然数，大前提－3是整数，小前提－3是自然数．结论(2)常数函数的导函数为0，大前提函数f(x)的导函数为0，小前提f(x)为常数函数．结论(3)无理数是无限不循环小数，大前提13(0.333 33…)是无限不循环小数，小前提13是无理数结论【解】(1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．(3)结论是错误的，原因是小前提错误.13(0.333 33…)是循环小数而不是无限不循环小数.三段论在证明几何问题中的应用图2－1－4已知在梯形ABCD中(如图2－1－4)，DC＝DA，AD∥BC.求证：AC 平分∠BCD.(用三段论证明)【思路探究】观察图形→DC＝DA⇒∠1＝∠2→AD∥BC⇒∠1＝∠3→∠2＝∠3【自主解答】∵等腰三角形两底角相等，大前提△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，小前提∴∠1＝∠2.结论∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，小前提∴∠1＝∠3.结论∵等于同一个角的两个角相等，大前提∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.结论1．三段论推理的根据，从集合的观点来理解，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.2．数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论可作为下一个三段论的前提．试用更简洁的语言书写本例的证明过程．【解】在△DAC中，∵DA＝DC，∴∠1＝∠2，又∵AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.合情推理、演绎推理的综合应用图2－1－5如图2－1－5所示，三棱锥A－BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．(1)求证：O为△BCD的垂心；(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明．【思路探究】(1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为△BCD的垂心．(2)先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明．【自主解答】(1)∵AB⊥AD，AC⊥AD，∴AD⊥平面ABC，∴AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，AO⊥BC，且AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，∴O为△BCD的垂心．(2)猜想：S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ABD＝S2△BCD.证明：连接DO并延长交BC于E，连接AE，由(1)知AD⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴AD⊥AE，又AO⊥ED，∴AE2＝EO·ED，∴(12BC·AE)2＝(12BC·EO)·(12BC·ED)，即S2△ABC＝S△BOC·S△BCD.同理可证：S2△ACD＝S△COD·S△BCD，S2△ABD＝S△BOD·S△BCD.∴S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ABD＝S△BCD·(S△BOC＋S△COD＋S△BOD)＝S△BCD·S△BCD＝S2△BCD.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．二者结合可以利用合情推理去发现问题，然后用演绎推理进行论证．已知命题：“若数列{a n}是等比数列，且a n>0，则数列b n＝na1a2…a n(n∈N*)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．【解】类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n}是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn也是等差数列．证明如下：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn ＝na 1＋n (n －1)d 2n＝a 1＋d 2(n－1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d2为公差的等差数列．数形结合思想在演绎推理中的应用数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合．应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)，且c >b >a >0，则f (a )a 、f (b )b 、f (c )c 的大小关系是( )A.f (a )a >f (b )b >f (c )cB.f (c )c >f (b )b >f (a )aC.f (b )b >f (a )a >f (c )cD ．f (a )a >f (c )c >f (b )b【思路点拨】 作出函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图象―→找三点(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，(c ，f (c ))―→结论的几何意义―→结论【规范解答】 作出函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图象如图所示，f (a )a 、f (b )b 、f (c )c 可看作三点与原点的连线的斜率．由图知A 项正确．【答案】 A运用数形结合思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征．本题巧妙地应用了直线的斜率的几何意义，平凡中见神奇！1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提．1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确【解析】函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C.【答案】 C2．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．”中的小前提是()A．①B．②C．①②D．③【解析】本题中①为大前提，③为小前提，②为结论．【答案】 D3．“一切奇数都不能被2整除，35不能被2整除，所以35是奇数．”把此演绎推理写成三段论的形式为：大前提：_____________________________________________________________________ ___小前提：_____________________________________________________________________ ___结论：_____________________________________________________________________ ___【解析】根据题意可知，此三段论的大前提、小前提和结论分别为：不能被2整除的整数是奇数；35不能被2整除；35是奇数．【答案】不能被2整除的整数是奇数35不能被2整除35是奇数4．用三段论的形式写出下列命题：(1)Rt△ABC的内角和为180°；(2)通项公式a n＝2n＋3的数列{a n}是等差数列．【解】(1)三角形的内角和是180°，大前提Rt△ABC是三角形，小前提Rt△ABC的内角和为180°.结论(2)若n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}是等差数列，大前提a n＝3n＋2，a n－a n－1＝3，小前提则{a n}是等差数列．结论一、选择题1．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证a＜b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推理的( )A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．三段论【解析】 结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．【答案】 B2．(2013·三亚高二检测)“指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)是R 上的增函数，而y ＝(12)x 是指数函数，所以y ＝(12)x 是R 上的增函数”，上述三段论推理过程中导致结论错误的是( )A ．大前提B ．小前提C ．大、小前提D ．推理形式【解析】 指数函数y ＝a x 在a ＞1时在R 上是增函数，当0＜a ＜1时，在R 上是减函数，故上述三段论的证明中“大前提”出错．【答案】 A3．在不等边三角形中，a 为最大边．要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件是( )A ．a 2<b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2【解析】 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0， ∴b 2＋c 2－a 2<0，∴a 2>b 2＋c 2. 【答案】 C4．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截所得的同旁内角，所以∠A ＋∠B ＝180°B ．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C ．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D．在数列{a n}中，a1＝1，a n＝12(a n－1＋1a n－1)(n≥2)，由此归纳出{a n}的通项公式【解析】B、C、D选项是合情推理，A选项是演绎推理．【答案】 A5．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是()A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形【解析】大前提为矩形都是对角线相等的四边形．【答案】 B二、填空题6．在求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是“当a有意义时，a≥0”；小前提是“log2x－2有意义”；结论是_____________________________________________________________________ ___．【解析】由log2x－2≥0得x≥4.【答案】“y＝log2x－2的定义域是[4，＋∞)”7．已知推理：因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是_____________________________________________________________________ ___．【解析】大前提：一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52；结论：△ABC是直角三角形．【答案】一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形图2－1－68．如图2－1－6所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，BC＝AD.又因为△ABC和△CDA的三边对应相等，所以△ABC≌△CDA.上述推理的两个步骤中应用的推理形式是________．【答案】演绎推理三、解答题9．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．【解】(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提水会沸腾．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提(2100＋1)是奇数，小前提(2100＋1)不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数，大前提y＝tan α是三角函数，小前提y＝tan α是周期函数．结论10．如图2－1－7，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．图2－1－7【证明】因为同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF.结论11．已知函数f(x)＝ax＋bx，其中a>0，b>0，x∈(0，＋∞)，确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．【解】设0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(ax1＋bx1)－(ax2＋bx2)＝(x2－x1)(ax1x2－b)．当0<x1<x2≤ab时，则x2－x1>0,0<x1x2<ab ，ax1x2>b，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f (x )在(0，ab ]上是减函数，当x 2>x 1≥a b 时，则x 2－x 1>0，x 1x 2>a b ，a x 1x 2<b ，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在[ab，＋∞)上是增函数.(教师用书独具)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．【思路探究】 利用三段论证明，题目中的大前提是增函数的定义，小前提是y ＝f (x )在(－1，＋∞)上符合增函数的定义．【自主解答】 设x 1，x 2是(－1，＋∞)上的任意两实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋x 1－2x 1＋1－ax 2－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋x 1－2x 1＋1－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1).∵a >1，且x 1<x 2，∴ax 1<ax 2，x 1－x 2<0.又∵x1>－1，x2>－1，∴(x1＋1)(x2＋1)>0.∴f(x1)－f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2)．∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．1．很多代数问题不论解答题，还是证明题都蕴含着演绎推理．2．在解题过程中常省略大前提，本例的大前提是增函数的定义，小前提是y＝f(x)在(－1，＋∞)上符合增函数的定义．如图所示，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边三角形ADB以AB为轴转动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．【解】(1)取AB中点E，连接DE，CE.(如图)∵△ADB为等边三角形，∴DE⊥AB.又∵平面ADB⊥平面ABC，且平面ADB∩平面ABC＝AB，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥EC.由已知可得DE＝32AB＝3，EC＝1.∴在Rt△DEC中，CD＝DE2＋CE2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：①当D在平面ABC内时，∵AC＝BC，AD＝BD，∴C、D都在AB的垂直平面分线上，∴CD⊥AB.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又AC＝BC，∴AB⊥CE.∵DE∩CE＝E，∴AB⊥平面DEC.∵DC⊂面DEC，∴AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.。