人教版八年级数学下册17.1勾股定理导学案(1)

17.1勾股定理〔一〕二、答疑解惑我最棒〔约8分钟〕 甲： 乙：丙：丁：同伴互助答疑解惑 三、合作学习探索新知〔约15分钟〕 1、小组合作分析问题2、小组合作答疑解惑3、师生合作解决问题◆关于直角三角形,你知道哪些方面的知识?〔1〕直角三角形叫Rt △〔2〕两锐角互余∠A+∠B=90°〔3〕三角形的面积s=21ab=21hc〔4〕30°所对的直角边等于斜边的一半〔5〕证明两个直角三角形全等有“HL 〞◆毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500•年前,一次,毕达哥拉斯去朋友家作客.在宴席上,其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论,只有毕达哥拉斯学习活动 设计意图却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突破恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，你想知道大哲学家发现了什么吗？〔见课件〕问题：大正方形的面积与两个小正方形的面积有什么关系？学习活动设计意图◆在约公元前1100年，我国古算书?周髀bì算经?记载，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五.在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾长的直角边叫做股斜边叫做弦．四、归纳总结稳固新知〔约15分钟〕1、知识点的归纳总结：〔1〕经过证明被确认正确的命题叫做定理〔2〕勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么即 直角三角形两直角边 的平方和等于斜边的平方。

2、运用新知解决问题：〔重点例习题的强化训练〕◆， Rt △ABC 中，a ，b 为的两条直角边，c 为斜边，求：⑴： a ＝3， b ＝4，求c⑵： c ＝10，a ＝6，求b◆课本P24页练习◆课本P28页习题17.1第1题学习活动 设计意图五、课堂小测〔约5分钟〕 1．Rt ∆ABC 的两条直角边a=3, b=4，那么斜边c= .2．：如图在△ABC 中，∠ACB=90°，以△ABC 的各边为在△ABC 外作三个正方形分别表示这三个正方形的面积， 那么的边长为〔 〕A.6B.36C.64D.83 ．假设直角三角形两直角边分别为12，16，那么此直角三角形的周长为〔 〕A.28B.36C.32D.484 ．直角三角形的三边长分别为3，4，x ，那么x 2等于〔 〕A.5B.25C.7D.25或7六、独立作业我能行 1、预习课本P25-26页，思考预习提纲222a b c +=。

第十七章勾股定理17.1 勾股定理第1课时勾股定理一、导学1.导入课题在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦，并探索出了勾、股、弦之间的关系（即直角三角形三边之间的关系），这种关系是怎样的关系呢？又把这种关系叫做什么呢？2.学习目标（1）了解勾股定理的文化背景，了解常见的利用拼图验证勾股定理的方法.（2）知道勾股定理的内容.3.学习重、难点重点：勾股定理内容的条件与结论.难点：勾股定理的几何验证方法.4.自学指导（1）自学内容：探究：直角三角形三边之间存在怎样的等量关系.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：结合探究提纲动手拼图，思考面积关系.（4）探究提纲：①投影家中地板砖铺成的地面图案，并框定某一个直角三角形.a.右图中正方形ABFG、正方形ACDE和正方形BMNC的面积之间有何关系？b.如果设AB=a，AC=b，BC=c,那么由a.c.猜想：直角三角形两直角边的等于斜边的.②根据下面拼图，验证猜想的正确性.拼成的正方形面积等于4个直角三角形面积+小正方形面积，即，化简得.二、自学结合探究提纲进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：了解学生探究中存在的问题.(2)差异指导：指导学生运用面积法找到等量关系.2.生助生：同桌之间相互研讨，帮助解决疑难.四、强化1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.五、评价1.学生的自我评价：小组学生代表介绍自己的学习方法、收获和疑惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生在课堂学习中的态度、合作探究的成绩和不足.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思).本节课通过向学生介绍勾股定理的悠久历史，让学生了解古代劳动人民在数学方面的成就，感受数学文化是人类文化的重要组成部分.本节课教学应把学生的探索活动放在首位，一方面要求学生在教师引导下自主探索，合作交流；另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，从而教给学生探求知识的方法，教会学生获取知识的本领.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（60分）1.(15分)在Rt△ABC中，两直角边长分别为3，则斜边长为.2.(15分)在Rt△ABC2，则另一条直角边的长为.3.(10分)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，则b= .4.(20分)在Rt△ABC中，∠C=90°.(1)已知c=25，b=15，求a；(2)已知A=60°，求b，c.二、综合运用(20分)5.已知直角三角形的两边长分别为3，2，求另一条边长.三、拓展延伸(20分)6.如图，已知长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求DE的长.17.1 勾股定理第2课时勾股定理的应用一、新课导入1.导入课题前面我们学习了勾股定理的意义，它具有广泛的实际应用，下面我们试用它来解决几个问题.2.学习目标（1）能应用勾股定理计算直角三角形的边长.（2）能应用勾股定理解决简单的实际问题.3.学习重、难点重点：运用勾股定理求直角三角形的边长.难点：从实际问题中构造直角三角形解决生产、生活中的有关问题.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P25例1.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：思考木板通过门框的方式有几种，并对照数据分析木板能否通过.（4）自学参考提纲：①因为木板的宽为2.2m，长为3m，都大于1m，所以木板不能从门框内通过.因为木板的宽为2.2m，长为3m，都大于2m，所以木板也不能从门框内通过.所以试试斜着能否通过，是斜着通过的最大长度，因此必须先求出长，再与木板的宽比较.②在Rt△ABC中，根据勾股定理：AC2= =12+22=5，因此AC= ≈.因为AC≈(>)2.2，所以木板从门框内通过.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否分析出木板穿过门框的途径有哪些.②差异指导：指导寻找木板通过门框的途径；木板斜着通过需要怎样斜放时间隙是最大的.（2）生助生：学生相互交流，帮助研讨.4.强化（1）归纳解题思路：把实际问题转化成长方形ABCD的问题，再把长方形ABCD转化成Rt△ABC，运用勾股定理计算，求解.（2）练习：在上述问题中，若薄木板长3m，宽1.5m，木板能否从门框内通过？为什么？1.自学指导（1）自学内容：教材P25例2.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：思考图中的实际问题实质是直角三角形的问题，所以应从直角三角形来分析解决问题的办法.（4）自学提纲：①由梯子的原来位置构成的Rt△AOB，可求得OB= .②由梯子顶端下滑至C的位置时，又构成Rt△COD，且CD长不变，OC= ，由勾股定理可求得OD≈.③可以看出，BD=OD-OB，求BD，必先求出OB、OD，在Rt△AOB中，3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否理解题意，梯子位置变化前后，什么不变，什么在变，学生是否清楚.②差异指导：由线段和差关系如何表示BD；梯子与墙面、地面构成什么图形.（2）生助生：学生相互交流，帮助研讨.4.强化：学会将实际问题转化为数学问题，建立几何模型求解.1.自学指导（1）自学内容：教材P26到P27练习以上的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：动手尝试作直角三角形中，由已知两边长去求第三边长.（4）自学提纲：①教材P26思考中的证明：先用证得，再用公理判定△ABC≌△A′B′C′.的线段是直角边为正整数，的直角三角形的斜边长.③在数轴上画出表示13的点，方法如下：在数轴上找到点A，使OA= ，作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB= ，以原点O为圆心，OB为半径画弧与数轴的正半轴的交点C，点C即为表示的点.④完成P27练习题.2.自学：请同学们结合自学提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生看书、动手中存在的问题障碍.②差异指导：指导学生分析作图方法及依据.(2)生助生：学生相互研讨疑难之处.4.强化(1)尺规作图方法.(2)总结在数轴上作出表示无理数的点的步骤.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：小组代表介绍自己在学习中的探索方法、收获和疑惑..2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生课堂学习的积极态度、成果及不足.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时的教学内容是用勾股定理解决简单的实际问题，运用到的思想是数形结合的思想.在实际生活中，很多问题需要用到勾股定理去解决.因此在解决此类问题时，先要将它转化为数学问题，就本课时而言，关键是要通过构造直角三角形来完成，所以教师在教学时，应注意教学生如何构造直角三角形，找出已知的两个量，并让学生动手画出图形，教师再给予适时点拨.此处，教师还应关注学生所用语句的规范性，尽量让学生用数学语言来描述.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（50分）1.(20分)求出下列直角三角形中未知的边.2.(10分)直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为7和8，则以斜边为边长的正方形的面积为.3.(10分)如图，池塘边有两点A,B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，现测得CB=60m,AC=20m.求A，B两点间的距离(结果取整数).第3题图第4题图4.(10分)如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和B(0，4)，求这两点间的距离.二、综合运用（20分）5.(10分)如图，∠BAC=90°,AD⊥BC,BC=4cm,∠B=60°,求AD,BD的长.三、拓展延伸（30分）7.(15分)印度数学家什迦罗(1141年-1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可见，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；诸君帮忙算一算，湖水如何知深浅？”请用学过的知识回答这个问题.(如图)8.(15分)有5个边长为1的正方形，排列成如下图形式，请把它适当分割后拼接成一个大正方形.(用虚线标示分割线，并简要写出分割拼接法).将五个小正方形按图1中虚线剪切为四个全等的直角三角形和一个小正方形，按图2的摆法拼接，则可得到一个面积为5的大正方形.17.2 勾股定理的逆定理一、新课导入1.课题导入前面我们学过命题1:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.反过来，在一个以a、b、c为边长的三角形中，如果a2+b2=c2,那么这个三角形一定是直角三角形吗？2.学习目标(1)了解命题、逆命题等概念，并会写一个命题的逆命题.(2)会判断一个命题的逆命题的真假，知道定理与逆定理的关系.(3)了解勾股定理的逆定理的条件与结论与原命题的条件与结论的关系.(4)学会运用勾股定理的逆定理判别一个三角形是不是直角三角形.3.学习重、难点重点：会分清一个命题的题设和结论，正确把握勾股定理与其逆定理的关系.难点：勾股定理的逆定理的应用.二、分层学习1.自学指导(1)自学内容：P31倒数第3行以上内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：认真阅读课文内容，重点、疑点做上记号，并与同桌交流.(4)自学参考提纲：①你通过尝试课文中介绍的绳子打结后围成的三角形的试验，并不断变换三角形各边的结数，你能得出什么结论吗？②如果三角形的三边长a、b、c满足，那么以a、b、c为边的三角形是直角三角形.从而得出命题2：.③前面我们学过的命题1和命题2的题设与结论是什么关系？我们把像命题1和命题2这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题.④写出下列命题的逆命题.a.内错角相等，两直线平行.b.对顶角相等.c.若a=b，则|a|=|b|.⑤一个真命题的逆命题一定是真命题吗？试举例说明.2.自学：同学们结合自学提纲进行自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：深入课堂了解学生自学中的疑点及存在的问题.②差异指导：对学生中在题设与结论分析不清的地方进行点拨引导.(2)生助生：小组内相互交流帮助.4.强化(1)互逆命题的意义.(2)原命题成立，它的逆命题不一定成立.1.自学指导(1)自学内容：P32的内容.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：阅读教材内容，体会课本中证明命题2的方法和依据，并与同桌交流疑点.(4)自学参考提纲：①在探究中证明△ABC≌△A′B′C′运用了判定两个三角形全等的哪种方法？②在△A′B′C′中，为何A′B′=c?③∠C=90°是根据什么理由得到的？④具有什么特征的三个数是勾股数，举一、二例交流一下.⑤判断以下列三条线长为边的三角形是不是直角三角形？1；；.4,5,622.自学：同学们可结合自学指导进行自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生自学中的疑点和难点，特别是看能否正确运用逆定理来找对应的直角.②差异指导：指导学生在运用逆定理时，先找最大(边)数，再计算出较小两个数的平方和与最大数的平方，然后再进行比较.(2)生助生：同桌之间，小组之间相互交流研讨. 4.强化（1）判别一个三角形是不是直角三角形的方法： ①由角判别； ②由边来判别.(2)三个数为勾股数必须满足的两个条件： ①勾股数必须是正整数；②两个数的平方和等于第三个数的平方.(3)强调本节课学习中注意的问题及运用的思想方法.1.自学指导(1)自学内容：P 33例2. (2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：阅读时，仔细领会题意和作图，体会例题中如何将实际问题转化为数学问题.(4)自学参考提纲：①在平面内，对于某一个确定的点O ，它所在的方位是上 ，下 ，左 ，右 (填“东”、“南”、“西”、“北”).②“东北方向”指的是北偏东 度，“西南方向”是指 .③由例题2的题意可知：一个半小时后，“远航”号离港口的距离PQ= 海里，“海天”号离港口的距离PR= 海里，“远航”号与“海天”号之间的距离QR= 海里；因为()()()222241830+=，所以 =90°,于是有：PR 方向是北偏西 度，即“海天”号沿 方向航行.④A 、B 、C 三地的两两距离如图所示，A 地在B 地的正东方向，那么C 地在B 地的什么方向？为什么？2.自学：同学们可结合自学指导进行自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生对方位图的理解，了解存在的困难在哪里？②差异指导：图形中反映的方位确定;寻求PR、PQ、QR之间满足的关系的引导.(2)生助生：小组内相互交流帮助.4.强化(1)结合画图，认识方位角.(2)点评例题的解题思路、方法及易混易错点.(3)总结勾股定理的逆定理在解决实际问题的作用及表达方法.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己的学习方法，收获及困惑.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生在课堂学习中的态度、方法、收获及存在的不足.(2)纸笔评价：课堂评价检测3.教师的自我评价（教学反思）.本课时的教学目标是在掌握了勾股定理的基础上，让学生从三边的关系来判定一个三角形是否为直角三角形，即“勾股定理的逆定理.”让学生了解互逆命题，互逆定理的概念以及它们之间的联系与区别，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.让学生通过合作、交流、反思感悟的过程，激发学生探究新知的兴趣，感受探索，合作的乐趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)下列各组数能否作为一个直角三角形的三边长?为什么？(1)5，12，13 (2)6，8，10 (3)15，20，25答案2.(10分)写出下列命题的逆命题，并断定其逆命题的真假性.(1)如果两个角是直角，那么它们相等.(2)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(3)如果2=那么a ≥0.3.(10分)△ABC 的三边长之比为1∶1∶2，那么△ABC 是 三角形.4.(10分)小明向东走80m 后，沿另一个方向又走了60m,再沿第三个方向走100m 刚好回到原地，则小明向东走80m 后是向 方向走的.5.(20分)如果m 是表示大于1的整数，a=2m ，b=m 2-1,c=m 2+1,那么以a 、b 、c 为边长的三角形是直角三角形吗?为什么？6.(10分)若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC 是( ) A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形二、综合运用（15分）7.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足224422a cb a bc +=+,试判断△ABC 的形状.三、拓展延伸（15分）8.一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3,AD=4,BC=12,CD=13.且∠DAB=90°.你能求出这个零件的面积吗？∴第十七章勾股定理章末复习一、复习导入1.导入课题前面我们学习了勾股定理及其逆定理，大家对定理的内容及应用掌握得如何呢？这节课我们一起来作一个回顾总结，检阅学习成果.2.复习目标（1）复习与回顾本章的重要知识点和知识结构.（2）总结本章的重要思想方法及其应用.3.复习重、难点重点：勾股定理及其逆定理的用途和相互关系.难点：勾股定理及逆定理的综合运用.二、分层复习1.复习指导（1）复习内容：P22到P39.（2）复习时间：8分钟.（3）复习要：通过阅读课本和笔记梳理本章的重要知识点及典型应用.（4）复习参考提纲：①如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则有.②如果三角形的三边长a，b，c满足关系式a2+b2=c2，那么这个三角形是三角形.③如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n是不小于1的整数.④两个命题中，如果一个命题的和分别是另一个命题的和，那么这两个命题称为互逆命题.原命题正确，逆命题正确.⑤一个命题有逆命题，一个定理的逆命题正确，所以它有逆定理(填“一定”或“不一定”).2.自主复习：学生可参考复习参考提纲进行自学.3.互助复习（1）师助生：①明了学情：了解学生对本章重要知识点的整理和识记是否完整，知识应用是否熟练.②差异指导：对定理的应用方面进行指导总结，共性问题集中指导，个性问题个别指导.（2）生助生：学生相互研讨疑难之处.4.强化：（1）勾股定理及其逆定理的内容.（2）强调本章的数学思想方法：①建立数学模型；②定理求边、逆定理求直角.1.复习指导（1）复习内容：典例剖析，疑点跟踪.（2）复习时间：15分钟.（3）复习要求：完成所给例题，也可查阅资料或和其他同学研讨.（4）复习参考提纲：【例1】下列各组数中，不是勾股数的是( )A.4,3,5B.5,12,13C.10,15,18D.8,15,17【例2】如图直角三角形中，边长x等于5的三角形有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【例3】一束光线从y轴上点A(0，1)出发，经过x轴上点C反射后经过点B(3，3)，则光线从A点到B点经过的路线长是.【例4】我国古代数学家赵爽的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b，那么(a＋b)2的值是.【例5】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点.求证：CE⊥BE.【例6】如图，一个圆柱形油罐，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B 点，请你算一算梯子最短需多少米？(已知油罐的底面周长是12米，高是5米)2.自主复习：学生尝试完成复习参考提纲中的例题.3.互助复习：（1）师助生：①明了学情：注意学生在自主学习解答例题时，存在的障碍和问题在哪里？②差异指导：例5中证CE⊥BE的思路指导：勾股定理的逆定理；例6中引导学生将曲面转化成平面考虑.（2）生助生：学生相互研讨疑难之处.4.强化（1）点两位学生口答例1、例2的解答依据和过程、结果.点三位学生板演例3、例4、例5.（2）点评其中的易错点及思想方法.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己的学习方法、收获和疑惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生复习的方法、收获和存在的问题.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本节课是复习课，师生共同完成本章知识框图的建立，教师帮助学生进行知识梳理，让学生更好地回顾本章的知识点，理解本章的知识体系.牢牢抓住勾股定理及其逆定理，并会运用这两个定理解决实际问题.教师精选部分例题，让学生试着解答；教师再予以点拨，以达到复习效果.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)如图，为求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形，且∠B=90°，再测得AC长160米，BC长128米，则A、B之间的距离为( )A.96米B.100米C.86米D.90米第1题图第3题图2.(10分)下列命题中，逆命题仍然成立的是( )A.全等三角形的面积相等B.到角两边距离相等的点在这个角的平分线上C.同一个角的余角相等D.等腰三角形是轴对称图形3.(10分)如图，正方形的面积是.4.(10分)有长为3cm, 6cm,9cm,12cm,15cm的五根木棒，要从中选出3根，搭成直角三角形，则选出的3根木棒的长应分别为.5.(15分)在如图所示的数轴上作出表示-10的点.点A即为表示-10的点.6.(15分)如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约为多少？(结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高)二、综合运用(15分)7.如图所示，一只蚂蚁在A处往东爬8格后，又向北爬2格，遇到干扰后又向西爬3格，再折向北爬6格，这时发现B处有食物，于是便又向东爬1格到B处找到食物，如果图中每一个方格都是边长为1cm的正方形，问此时蚂蚁爬行的路程是多少？如果蚂蚁从A处沿直线AB到达B处，则可少爬多远的路程？三、拓展延伸(15分)8.如图，已知B、C两个乡镇相距25千米，有一个自然保护区A与B相距15千米，A 与C相距20千米，以点A为圆心，10千米为半径是自然保护区的范围，现在要在B、C两个乡镇之间修一条笔直的公路，请问：这条公路是否会穿过自然保护区？试通过计算加以说明.数学活动——勾股定理的应用及其证明方法的探究一、导学1.活动导入给你一根较长的绳子和刻度尺，你能测量学校旗杆的高度吗？给你4个全等的直角三角形，你能拼出不同课本介绍的其他图案，并能证明勾股定理吗？本节活动课，我们就这两个问题一起探讨，看能否攻克这两个问题.2.活动目标（1）通过测旗杆的高度，培养学生动手测量能力，亲身感受学习数学知识是为实践服务的意识.（2）通过拼图活动，培养学生的动手操作能力和空间想象能力，发展形象思维.同时了解勾股定理的历史，感受数学文化，增强对我国悠久历史文化的热爱情感.3.活动重、难点重点：旗杆的高度测量以及用4张全等的直角三角形纸片，拼出一些与教科书上不同的图案，并用自己拼出的图案证明勾股定理.难点：寻求应用勾股定理测量旗杆的高度和利用拼图验证勾股定理的方法.二、活动过程活动1 测量旗杆的高度1.活动指导（1）活动内容：P36活动1：测量旗杆的高度.（2）活动时间：10分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：①回忆勾股定理的内容及功能：其内容为：如果直角三角形的两条直角边长为a,b，斜边长为c，那么，其功能为.②测旗杆的高度方案的原理是.③如图，将绳子拉直并拉到如图1所示的位置，先测BC之长为a米，再将绳子AB放下并测得其多出的一段长为h,则设AC=x,可列式为2.自学：学生参考活动指导进行活动性操作学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：老师随时出现在小组活动中间，对测量的方法和结果作明确了解.②差异指导：老师应对动手能力差的同学进行当面指导.（2）生助生：各小组之间积极配合，按制定测量方案进行，并相互纠正不合理之处.4.强化测量旗杆的高度是利用绳长超过旗杆，把绳子拉直，让绳子下端与地面接触，从而构成直角三角形，再运用勾股定理，知道两边长，可求出第三边之长.活动2用四张全等的直角三角形纸片拼图，并证明勾股定理1.活动指导（1）活动内容：P36活动2：拼图并证明勾股定理.（2）活动时间：10分钟.（3）活动方法：按活动指导进行动手拼图试验.（4）活动参考提纲：①设4个全等的直角三角形的三条边的长度分别为a,b,c，以下各图是按要求方法拼出的几个图案，请你用两种不同的方法计算图2中大正方形（或小正方形）的面积，从中你发现勾股定理的证明方法了吗？②你还能拼出另外的图案吗？看看在哪些图案中用类似方法证明勾股定理.2.自学：学生按自学指导进行活动性学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解全班各学习小组学生的拼图活动情况.②差异指导：对个别动手拼图能力差的学生进行有针对性的指导.（2）生助生：学生之间互相交流、合作，取长补短.4.强化(1)用4张全等的直角三角形纸片拼出含有正方形的图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠.(2)在拼成的图案中证明勾股定理，是利用面积进行的.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课有哪些收获，有哪些不足？还有哪些疑点？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生的动手操作，逻辑推理、计算、参与活动情况进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本节课是活动课，通过测量旗杆高度和拼图活动，培养学生的动手操作能力和空间想象能力，发展形象思维.在活动过程中，鼓励学生多交流、合作、分享各自的活动经验.教师应对个别动手拼图能力差的学生进行有针对性的指导.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（65分）1.(10分)下列四组数中，不是勾股数的一组是（）A.5，12，13B.3，4，5C.6，8，10D.6，7，82.(10分)若直角三角形三边长分别为3，4，x，则x的可能值有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.(10分)满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）∶∶A.b2=c2－a2B.a b cC.∠C＝∠A－∠BD.∠A∶∠B∶∠C＝14.(10分)如图，正方形网格中的△ABC，若小方格长为1，则△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对5.(10分)五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）。

第十七章勾股定理17.1 勾股定理第1课时勾股定理1.了解勾股定理的发现过程.2.掌握勾股定理的内容.3.会用面积法证明勾股定理.自学指导：阅读课本22页至24页，完成下列问题.知识探究1.毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现了用砖铺的地面反映了直角三角形三边的某种数量关系.2.通过你的观察，你发现了等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.3.命题一：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边为c，那么a2+b2=c2.4.汉代赵爽利用弦图证明了命题一，把这个命题称作勾股定理.而西方人认为是毕达哥拉斯证明，所以西方人称作毕达哥拉斯定理.自学反馈1.在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.2.在直角三角形中，两直角边分别为3、4，那么斜边为5.3.在直角三角形中，斜边为10，一直角边为6，则另一直角边为8.运用勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”计算.活动1 小组讨论探究一：探究勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方.(1)如图，每个方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A、B、C、A′、B′、C′的面积.解：A的面积=4；B的面积=9；(2×3)=13;C的面积=52-4×12所以A+B=C.A′=9；B′=25；C′=82-4×1(5×3)=34;2所以A′+B′=C′.所以直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.(2)赵爽弦图解：朱实=1ab；黄实=(a-b)2；2ab×4=a2+b2-2ab+2ab=a2+b2；正方形的面积=4朱实+黄实=(a-b)2+12又正方形的面积=c2，所以a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于第三边的平方.探究二：求出直角三角形中未知边的长度.解：∵Rt△ABC中，∠C为直角,∴BC2+AC2=AB2,即62+AC2=102.∴AC2=64.∵AC>0,∴AC=8.探究三：一个门框的尺寸如图所示，一块长3米，宽2.2米的薄木板能否从门框内通过？为什么？分析：木板横着、竖着，都不可能从门框内通过，所以只能试试斜着能否通过.对角线AC(或BD)是斜着能通过的最大长度.求出AC，再与木板的宽比较,就能知道木板能否通过.解：∵Rt△ABC中，∠B为直角，根据勾股定理，得：AC2=AB2+BC2=12+22=5.∴AC=5≈2.236.∵AC大于木板的宽，∴木板能从门框通过.活动2 跟踪训练1.在Rt△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，∠C=90°.(1)已知a=3,b=4.则c=5.(2)已知c=25,b=15.则a=20.(3)已知c=19,a=13.则b=83.(结果保留根号)(4)已知a∶b=3∶4,c=15,则b=12.利用方程的思想求直角三角形有关线段的长.2.(1)直角三角形两条直角边的长分别为6和8,则斜边上的中线为5.(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°，则BC∶AC∶AB=1∶3∶2.(3)在Rt△ABC中,∠C=90°，AC=BC，则AC∶BC∶AB=1∶1∶2.若AB=8,则AC=42.又若C D⊥AB于D,则CD=4.3.一个3 m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米，如果梯子的顶端A沿着墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？解：∵在Rt△AOB中，OB2=AB2-AO2=32-2.52=2.75，∴OB≈1.658（m).在Rt△COD中，OD2=CD2-CO2=32-22=5，∴OD≈2.236（m)，BD=OD-OB≈2.236-1.658=0.578（m)，BD≠0.5（m).4.等边△ABC的边长为a,则高AD=？面积S=？解：添加辅助线：作AD⊥BC构建直角三角形.∵三角形ABC为等边三角形，∴AD平分BC,BD=12a.在Rt△ABD中，AD2=a2-(12a)2=34a2，∴3，S=12·a33a2.活动3 课堂小结1.勾股定理的内容及证明.2.勾股定理的简单应用.。

勾股定理课型: 新授课上课时间：课时： 1【学习目标】a)了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。

b)了解利用拼图验证勾股定理的方法。

c)利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边的长。

【重点难点】重点：探索和体验勾股定理。

难点：用拼图的方法验证勾股定理。

【授课时数】四课时第一课时【导学过程】一、自主学习毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，相传2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性。

是什么呢？我们来研究一下吧。

阅读教材内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题。

1．请同学们观察一下，教材图中的等腰直角三角形有什么特点？请用语言描述你发现的特点。

2.等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也满足这种特点？你能解决教材P65的探究吗？由此你得出什么结论？2．我们如何证明你得出的结论呢？你看懂我国古人赵爽的证法了吗？动手摆一摆，想一想，画一画，证一证吧。

二、合作探究a)教材习题第1题。

b)求下图字母A，B所代表的正方形的面积。

3．在直角三角形A BC中，∠C=90°，若a=4,c=8,则b= .三、课堂展示四、感悟释疑五、课堂小结本节课你学到了什么知识？还存在什么困惑？与同伴交流一下。

六．达标测试1．直角三角形的两边长分别是3cm,5cm,试求第三边的长度。

2.你能用下面这个图形证明勾股定理吗？【课后反思】2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．若分式21x x +有意义，则x 满足的条件是（ ） A ．1x =-B ．1x ≠-C ．0x =D ．0x ≠ 2．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，若EF=2，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．16B ．8C ．42D ．43．下面哪个点在函数y ＝2x －1的图象上（ ） A ．(－2.5，－4) B ．(1，3) C ．(2.5，4) D ．(0，1)4．京剧是中国的“国粹”，京剧脸谱是一种具有汉族文化特色的特殊化妆方法.由于每个历史人物或某一种类型的人物都有一种大概的谱式，就像唱歌、奏乐都要按照乐谱一样，所以称为“脸谱”.如图是京剧《华容道》中关羽的脸谱图案.在下面的四个图案中，可以通过平移图案得到的是( )A ．B ．C ．D ．5．如图，过平行四边形ABCD 对角线交点O 的线段EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，当AE ＝ED 时，△AOE 的面积为4，则四边形EFCD 的面积是（ ）A ．8B ．12C ．16D ．32 6．函数y=中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥﹣1B ．x≤﹣1C ．x ＞﹣1D ．x ＜﹣1A．1l B．2l C．3l D．4l8．分式21xx-有意义，则x 的取值范围是（）A．x = 1 B．x ≠ 0 C．x ≠ 1 D．x ≠-19．下列命题，其中正确的有（）①平行四边形的两组对边分别平行且相等②平行四边形的对角线互相垂直平分③平行四边形的对角相等，邻角互补④平行四边形只有一组对边相等，一组对边平行A．1个B．2个C．3个D．4个10．不能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）A．AB=CD，AB∥CD B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB=AD，BC=CD D．AB=CD，AD=BC二、填空题11．如图，直线y1=kx+b与直线y2=mx交于点P（1，m），则不等式mx＞kx+b的解集是______12．分解因式：224a b-= ．13．如图，把△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（a，b），那么点P 变换后的对应点P′的坐标为_____．14．对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查，最适合采用的调查方式是_____．15．当a=______时，211a a --的值为零． 16．式子23x x --有意义的条件是__________． 17．如图，已知：在▱ABCD 中，AB=AD=2，∠DAB=60°，F 为AC 上一点，E 为AB 中点，则EF+BF 的最小值为 ．三、解答题18．（1）探索发现：如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，过点A 作AD ⊥l ，过点B 作BE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．求证：AD ＝CE ，CD ＝BE ．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M 的坐标为（1，3），求点N 的坐标． （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y ＝﹣3x+3与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．19．（6分）教材第97页在证明“两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似”（如图，已知(),DE DF AB DE A D AB AC=>∠=∠，求证：ABC DEF ∽△△）时，利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为前两节课已经解决的方法（即已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似）．利用上述方法完成这个定理的证明．格比一件B 种文具的价格便宜5元，且用600元买A 种文具的件数是用400元买B 种文具的件数的2倍． （1）求一件A 种文具的价格；（2）根据需要，该校准备在该商店购买A 、B 两种文具共150件．①求购买A 、B 两种文具所需经费W 与购买A 种文具的件数a 之间的函数关系式；②若购买A 种文具的件数不多于B 种文具件数的2倍，且计划经费不超过2750元，求有几种购买方案，并找出经费最少的方案，及最少需要多少元？21．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知直线1l 经过点A （-6,0），它与y 轴交于点B,点B 在y 轴正半轴上，且OA=2OB（1）求直线1l 的函数解析式（2）若直线2l 也经过点A （-6,0），且与y 轴交于点C ，如果ΔABC 的面积为6，求C 点的坐标22．（8分）计算：（1127123（2）))2515151-． 23．（8分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A 、C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（6，4），E 为AB 的中点，过点D （8，0）和点E 的直线分别与BC 、y 轴交于点F 、G ．（1）求直线DE 的函数关系式；（2）函数y=mx ﹣2的图象经过点F 且与x 轴交于点H ，求出点F 的坐标和m 值；（3）在（2）的条件下，求出四边形OHFG 的面积．24．（10分）甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y （米）与跑步时间x （分）之间的函数关系如图所示，根据图象所提供的信息解答问题：（1）他们在进行米的长跑训练，在0<x<15的时间内，速度较快的人是（填“甲”或“乙”）；（2）求乙距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系式；（3）当x=15时，两人相距多少米？（4）在15<x<20的时间段内，求两人速度之差．25．（10分）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G；(1)求证：△ABE∽△EGB；(2)若AB＝4，求CG的长.参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．B【解析】【分析】根据分式有意义的条件可得x+1≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：x+1≠0，解得：x≠-1【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．2．A【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．【详解】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC＝2EF＝2×2＝4，∴菱形ABCD的周长＝4BC＝4×4＝1．故选A．【点睛】本题主要考查了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键．3．C【解析】【分析】将点的坐标逐个代入函数解析式中，若等号两边相等则点在函数上，否则就不在．【详解】解：将x=-2.5，y=-4代入函数解析式中，等号左边-4，等号右边-6，故选项A错误；将x=1，y=3代入函数解析式中，等号左边3，等号右边1，故选项B错误；将x=2.5，y=4代入函数解析式中，等号左边4，等号右边4，故选项C正确；将x=0，y=1代入函数解析式中，等号左边1，等号右边-1，故选项D错误；故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图像是一条直线．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．4．A【解析】结合图形，根据平移的概念进行求解即可得．【详解】解：根据平移的定义可得图案可以通过A平移得到，故选A．【点睛】.关键是要观察比较平移前后物体的位本题考查平移的基本概念及平移规律，是比较简单的几何图形变换置．5．C【解析】【分析】根据等底等高的三角形面积相等可得S△DOE＝S△AOE＝4，进而可得S△COD＝S△AOD＝8，再由平行四边形性质可证明△COF≌△AOE（ASA），S△COF＝S△AOE＝4，即可得S四边形EFCD＝1．【详解】解：∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，OB＝OD∴∠DAC＝∠ACB，∵∠AOE＝∠COF∴△COF≌△AOE（ASA）∵S△AOE＝4，AE＝ED∴S△COF＝S△DOE＝S△AOE＝4，∴S△AOD＝8∵AO＝CO∴S△COD＝S△AOD＝8∴S四边形EFCD＝S△DOE+S△COD+S△COF＝4+8+4＝1；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形性质，全等三角形判定和性质，三角形面积等知识点，关键要会运用等底等高的三角形面积相等．6．A【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．解：由题意得，，解得．故选：A．【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．7．D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．矩形是轴对称图形，可以左右重合和上下重合．【详解】解：矩形是轴对称图形，可以左右重合和上下重合，故4l可以是矩形的对称轴，故选：D.【点睛】此题主要考查了轴对称的概念，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．8．C【解析】分析：根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解不等式即可．详解：由题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1．故选C．点睛：本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．9．B【解析】【分析】根据平行四边形的性质判断即可.【详解】解：①平行四边形的两组对边分别平行且相等，正确；②平行四边形的对角线互相平分，但不一定垂直，组相等，一组平行，错误，正确的有2个.故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的两组对边分别平行且相等，对角线互相平分，对角相等，邻角互补，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.10．C【解析】【详解】A. ∵AB=CD ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)；本选项能判定四边形ABCD 为平行四边形；B. ∵∠A=∠C ，∠B=∠D ，∴四边形ABCD 为平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)；本选项能判定四边形ABCD 为平行四边形；C. 由AB=AD ，BC=CD ，不能判定四边形ABCD 为平行四边形；D. ∵AB=CD ，AD=BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)；本选项能判定四边形ABCD 为平行四边形故选C.【点睛】本题考查平行四边形的判定.二、填空题11．x>1【解析】分析：根据两直线的交点坐标和函数的图象即可求出答案．详解：∵直线y 1=kx+b 与直线y 2=mx 交于点P （1，m ），∴不等式mx ＞kx+b 的解集是x ＞1，故答案为x ＞1．点睛：解答本题的关键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值大，图象在下方的部分对应的函数值小. 12．(2)(2)a b a b +-．【解析】试题分析：原式=(2)(2)a b a b +-．故答案为(2)(2)a b a b +-．考点：因式分解-运用公式法．13．（a+3，b+2）【解析】【分析】找到一对对应点的平移规律，让点P的坐标也作相应变化即可．【详解】点B的坐标为（-2，0），点B′的坐标为（1，2）；横坐标增加了1-（-2）=3；纵坐标增加了2-0=2；∵△ABC上点P的坐标为（a，b），∴点P的横坐标为a+3，纵坐标为b+2，∴点P变换后的对应点P′的坐标为（a+3，b+2）．【点睛】解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律．14．普查【解析】【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．【详解】对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查是事关重大的调查，最适合采用的调查方式是普查．故答案为：普查【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的选择，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.15．﹣1．【解析】【分析】根据分式的值为零的条件列式计算即可．【详解】由题意得：a2﹣1=2，a﹣1≠2，解得：a=﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子为2；②分母不为2．这两个条件缺一不可．16．2x ≥且3x ≠【解析】【分析】x-2≥0，x-3≠0，解出x 的范围即可. 【详解】式子3x -有意义，则x-2≥0，x-3≠0，解得：2x ≥，3x ≠，故答案为2x ≥且3x ≠. 【点睛】此题考查二次根式及分式有意义，熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，及解不等式是解决本题的关键.17．．【解析】试题分析：首先菱形的性质可知点B 与点D 关于AC 对称，从而可知BF=DF ，则EF+BF=EF+DF ，当点D 、F 、E 共线时，EF+BF 有最小值．解：∵▱ABCD 中，AB=AD ，∴四边形ABCD 为菱形．∴点D 与点B 关于AC 对称．∴BF=DF ．连接DE ．∵E 是AB 的中点，∴AE=1．∴=又∵∠DAB=60°，∴cos∠DAE=．∴△ADE为直角三角形．∴DE===，故答案为：．【点评】本题主要考查的是最短路径、平行四边形的性质以及菱形的性质和判定，由轴对称图形的性质将EF+FB的最小值转化为DF+EF的最小值是解题的关键．三、解答题18．（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）【解析】【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（2）先判断出MF=NG，OF=MG，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论；（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论.【详解】证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l∴∠ACB＝∠ADC∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，∵M（1，3）∴MF＝1，OF＝3∴MG＝3，NG＝1∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴点N的坐标为（4，2），（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP＝3由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°∴∠PSQ＝45°＝∠QPS∴PQ＝SQ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1∴S（4，1），设直线PR为y＝kx+b，则341bk b=⎧⎨+=⎩，解得1k2b3⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线PR为y＝﹣12x+3由y＝0得，x＝6∴R（6，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.19．见解析【解析】【分析】在AB 上截取AG=DE ，作GH ∥BC ，则可得△AGH ∽△ABC ，再由已知条件证明△AGH ≌△DEF 即可证明：△ABC ∽△DEF ．【详解】证明：在AB 上截取AG DE =，作//GH BC ．AGH ABC ∴△∽△．AG AH AB AC ∴=． ∵,DE DF AG DE AB AC==， ∴AH DF =，∵A D ∠=∠，∴AGH DEF △≌△，∴ABC DEF ∆∆∽．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形．20．（1）一件A 种文具的价格为15元；（2）①W=-5a+3000；②有51种购买方案，经费最少的方案购买A 种玩具100件，B 种玩具50件，最低费用为2500元．【解析】【分析】（1）根据题意可以得到相应的分式方程，从而可以求得一件A 种文具的价格；（2）①根据题意，可以直接写出W 与a 之间的函数关系式；②根据题意可以求得a 的取值范围，再根据W 与a 的函数关系式，可以得到W 的最小值，本题得以解决．【详解】（1）设一件A 种文具的价格为x 元，则一件B 种玩具的价格为（x+5）元，60040025x x ⨯+＝ 解得，x=15，经检验，x=15是原分式方程的解，答：一件A种文具的价格为15元；（2）①由题意可得，W=15a+（15+5）（150-a）=-5a+3000，即购买A、B两种文具所需经费W与购买A种文具的件数a之间的函数关系式是W=-5a+3000；②∵购买A种文具的件数不多于B种文具件数的2倍，且计划经费不超过2750元，∴()2150 530002750 a aa≤--+≤⎧⎨⎩，解得，50≤a≤100，∵a为整数，∴共有51种购买方案，∵W=-5a+3000，∴当a=100时，W取得最小值，此时W=2500，150-a=100，答：有51种购买方案，经费最少的方案购买A种玩具100件，B种玩具50件，最低费用为2500元．【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质、不等式的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验．21．（1）132y x=+（2）C(0，5)或（0，1）【解析】【分析】(1)由OA=2OB可求得OB长，继而可得点B坐标，然后利用待定系数法进行求解即可；(2)根据三角形面积公式可以求得BC的长，继而可得点C坐标.【详解】(1)A(-6，0)，∴OA=6 ，OA=2OB，∴OB=3 ，B在y轴正半轴，∴B(0，3)，∴设直线1l解析式为：y=kx+3(k ≠0)，将A(-6，0)代入得：6k+3=0，解得：1k2 =，∴ 1y x 32=+； (2)ΔABC BC AO S 62⨯== ， AO=6，∴BC=2 ，又∵B(0，3)，3+2=5，3-2=1，∴C(0，5)或(0，1).【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.22．（1；（1）2 【解析】【分析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；(1)利用平方差和完全平方公式计算.【详解】解：(1)原式；(1)原式1+1﹣[1﹣1]﹣5+1+1．故答案为：（1；（1）． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算.23．（1）直线DE 的函数关系式为：y=﹣x+8；（2）点F 的坐标为；（4，4）；m=；（3）18．【解析】试题分析：（1）由顶点B 的坐标为（6，4），E 为AB 的中点，可求得点E 的坐标，又由过点D （8，0），利用待定系数法即可求得直线DE 的函数关系式；（2）由（1）可求得点F 的坐标，又由函数y=mx ﹣2的图象经过点F ，利用待定系数法即可求得m 值；（3）首先可求得点H 与G 的坐标，即可求得CG ，OC ，CF ，OH 的长，然后由S 四边形OHFG =S 梯形OHFC +S △CFG ，求得答案．解：（1）设直线DE的解析式为：y=kx+b，∵顶点B的坐标为（6，4），E为AB的中点，∴点E的坐标为：（6，2），∵D（8，0），∴，解得：，∴直线DE的函数关系式为：y=﹣x+8；（2）∵点F的纵坐标为4，且点F在直线DE上，∴﹣x+8=4，解得：x=4，∴点F的坐标为；（4，4）；∵函数y=mx﹣2的图象经过点F，∴4m﹣2=4，解得：m=；（3）由（2）得：直线FH的解析式为：y=x﹣2，∵x﹣2=0，解得：x=，∴点H（，0），∵G是直线DE与y轴的交点，∴点G（0，8），∴OH=，CF=4，OC=4，CG=OG﹣OC=4，∴S四边形OHFG=S梯形OHFC+S△CFG=×（+4）×4+×4×4=18．24．（1）5000；甲；（2）2005000(015){4008000(1520)x xyx x-+<<=-+≤≤；（3）750米；（4）150米/分．【解析】【分析】（1）根据x=0时，y=5000可知，他们在进行5000米的长跑训练，在0<x<15的时间内，y y甲乙，所以甲跑的快；（2）分段求解析式，在0<x ＜15的时间内，由点（0，5000），（15，2000）来求解析式；在15≤x ≤20的时间内，由点（15，2000），（20，0）来求解析式；（3）根据题意求得甲的速度为250米/分，然后计算甲距离终点的路程，再计算他们的距离； （4）在15<x <20的时间段内，求得乙的速度，然后计算他们的速度差．【详解】（1）根据图象信息可知，他们在进行5000米的长跑训练，在0<x<15的时间段内,直线y 甲的倾斜程度大于直线y 乙的倾斜程度，所以甲的速度较快；（2）①在0<x ＜15内，设y=kx+b ，把（0，5000），（15，2000）代入解析式，解得k=-200，b=5000，所以y=-200x+5000；②在15≤x ≤20内，设y k x b ''=+，把（15，2000），（20，0）代入解析式，解得400k '=-，8000b '=，所以y=-400x+8000，所以乙距终点的路程y （米）与跑步时间x （分）之间的函数关系式为：2005000(015){4008000(1520)x x y x x -+<<=-+≤≤； （3）甲的速度为5000÷20=250（米/分），250×15=3750米，距终点5000-3750=1250米，此时乙距终点2000米，所以他们的距离为2000-1250=750米；（4）在15<x <20的时间段内，乙的速度为2000÷5=400米/分，甲的速度为250米/分，所以他们的速度差为400-250=150米/分．考点：函数图象；求一次函数解析式．25． (1)证明见解析；(2)CG=6.【解析】【分析】(1)由正方形的性质与已知得出∠A ＝∠BEG ，证出∠ABE ＝∠G ，即可得出结论；(2)由AB ＝AD ＝4，E 为AD 的中点，得出AE ＝DE ＝2，由勾股定理得出BE =△ABE ∽△EGB ，得出AE BE EB GB =，求得BG ＝10，即可得出结果. 【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，且∠BEG ＝90°，∴∠A ＝∠BEG ，∵∠ABE+∠EBG ＝90°，∠G+∠EBG ＝90°，∴∠ABE ＝∠G ，∴△ABE ∽△EGB ；(2)∵AB ＝AD ＝4，E 为AD 的中点，∴AE ＝DE ＝2，在Rt △ABE 中，BE ==由(1)知，△ABE ∽△EGB ，∴AEBEEB GB ==∴BG ＝10，∴CG ＝BG ﹣BC ＝10﹣4＝6.【点睛】本题主要考查了四边形与相似三角形的综合运用，熟练掌握二者相关概念是解题关键2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．D、E是△ABC的边AB、AC的中点，△ABC、△ADE的面积分别为S、S1，则下列结论中，错误的是（）A．DE∥BC B．DE=12BC C．S1=14S D．S1=12S2．如图，某人从点A出发，前进8m后向右转60°，再前进8m后又向右转60°，按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点A时，共走了（）A．24m B．32m C．40m D．48m3．如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（）A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm4．如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE，若30COE∠=，50ADC∠=，则BAC∠=（）A．80°B．90°C．100°D．110°5．一名射击运动员连续打靶8次，命中的环数如图所示，则命中环数的众数与中位数分别为（）A．9环与8环B．8环与9环C．8环与8.5环D．8.5环与9环6．若一个直角三角形的两边长为12、13，则第三边长为（）A ．5B ．17C ．5或17D ．5或7．如图，在ABC ∆中，AB AC =,MN 是边BC 上一条运动的线段(点M 不与点B 重合，点N 不与 点C 重合)，且12MN BC =，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM=x ，BMD ∆和CNE ∆的面积之和为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．8．如果•6(6)x x x x -=-，那么（ ） A ．0x ≥ B ．6x ≥ C ．06x ≤≤ D ．x 为一切实数9．已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．k 0<，0b <B ．k 0<，0b >C ．0k >，0b >D ．0k >，0b <10．如图，已知一次函数y kx b =+，y 随着x 的增大而增大，且0kb <，则在直角坐标系中它的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．分解因式：x 3-3x=______．12．古语说：“春眠不觉晓”，每到初春时分，想必有不少人变得嗜睡，而且睡醒后精神不佳．我们可以在饮食方面进行防治，比如以下食物可防治春困：香椿、大蒜、韭菜、山药、麦片．春天即将来临时，某商人抓住商机，购进甲、乙、丙三种麦片，已知销售每袋甲种麦片的利润率为10%，每袋乙种麦片的利润率为20%，每袋丙种麦片的利润率为30%，当售出的甲、乙、丙三种麦片的袋数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙三种变片的袋数之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%：那么当售出的甲、乙、丙三种麦片的袋数之比为2：3；4时，这个商人得到的总利润率为_____（用百分号表最终结果）．13．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 是AB 边的中点，点F 是BC 边上的一动点，将EBF △沿EF 折叠，使得点B 落在G 处，连接CG ，BEG m BCG ∠=∠，当点G 落在矩形ABCD 的对称轴上，则m 的值为______．14．在□ABCD 中，O 是对角线的交点，那么12AB AC -=____． 15．在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们除颜色不同外，其余都相同，其中有4个是白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，大量重复上述实验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n 大约是___.16．如图，将平行四边形ABCD 折叠，使顶点D 恰好落在AB 边上的点M 处，折痕为AN ，有以下四个结论①MN ∥BC ；②MN=AM ；③四边形MNCB 是矩形；④四边形MADN 是菱形，以上结论中，你认为正确的有_____________（填序号）．17．如图，以△ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1，S 2，S 3，且S 1＝9，S 3＝25，当S 2＝_____时∠ACB ＝90°．三、解答题18．某网络约车公司近期推出了“520专享”服务计划，即要求公司员工做到“5星级服务、2分钟响应、0客户投诉”，为进一步提升服务品质，公司监管部门决定了解“单次营运里程”的分布情况．老王收集了本公司的5000个“单次营运里程”数据，这些里程数据均不超过25(千米)，他从中随机抽取了200个数据作为一个样本，整理、统计结果如下表，并绘制了不完整的频数分布直方图．组别单次营运里程“x”(千米) 频数第一组0＜x≤572第二组5＜x≤10 a第三组10＜x≤1526第四组15＜x≤2024第五组20＜x≤2530根据以上信息，解答下列问题：(1)表中a= ，样本中“单次营运里程”不超过15千米的频率为；(2)请把频数分布直方图补充完整；(3)估计该公司5000个“单次营运里程”超过20千米的次数．(写出解答过程)19．（6分）中国的高铁技术已经然走在了世界前列，2018年的“复兴号”高铁列车较“和谐号”速度增加每小时70公里．上海火车站到北京站铁路距离约为1400公里，如果选择“复兴号”高铁，全程可以少用1小时，求上海火车站到北京火车站的“复兴号”运行时间．20．（6分）如图1，矩形OABC摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=3，OC=2，过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P，且点P不与点B、C重合，过点P作∠CPD=∠APB，PD交x轴于点D，交y轴于点E．(1)若△APD为等腰直角三角形．①求直线AP的函数解析式；②在x轴上另有一点G的坐标为(2，0)，请在直线AP和y轴上分别找一点M、N，使△GMN的周长最小，并求出此时点N的坐标和△GMN周长的最小值．(2)如图2，过点E作EF∥AP交x轴于点F，若以A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求直线PE的解析式．21．（6分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F，点B的对应点为B′．（1）证明：AE=CF；（2）若AD＝12，DC＝18，求DF的长．22．（8分）喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序，即需要将电热水壶中的水烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；（2）从水壶中的水烧开（100℃）降到80℃就可以进行泡制绿茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？23．（8分）已知一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象过点(0,2)-，且与一次函数21y x =+的图象相交于点(2,)P m ．（1）求点P 的坐标和函数1y 的解析式；（2）在平面直角坐标系中画出1y ，2y 的函数图象；（3）结合你所画的函数图象，直接写出不等式127y y -<≤的解集．24．（10分）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，（1） 这个八年级的学生总数在什么范围内？（2） 若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？ 25．（10分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CA 平分∠DCB ，DB 平分∠ADC（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AC ＝8，BD ＝6，求点D 到AB 的距离参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）。

a b a b c c A B C D E 学习课题：勾股定理(一)学习目标：1、了解多种拼图方法，验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。

2、通过实例进一步了解勾股定理，应用勾股定理进行简单的计算和证明。

，3、进一步体会数形结合的思想以及数学知识之间内在联系学习流程：一、新知探究：1、同学们画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。

并思考这个直角三角形三边的数量关系。

以上这个事实叫毕达哥拉斯定理，是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。

在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。

埃及称为埃及三角形。

2、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132， 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？下面我们通过拼图来研究图一图2图三 图四 图五三、从你所拼的图形的面积构造等式验证勾股定理看是否能得出 ：c 2=a 2+b2每一小组选一种图形写出验证的过程，小组间进行交流归纳定理：① 用语言表达勾股定理 ② 用式子表达勾股定理③中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。

即：勾2+股2=弦2 ④运用勾股定理时该注意些什么?例题欣赏：（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ， ∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.勾股定理的作用：⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。

八年级数学下册 17 勾股定理 17.1 勾股定理17.1.2 勾股定理导学案（新版）新人教版17、1、2 勾股定理》班级小组姓名一、学习目标：毛目标A：能对勾股定理进行灵活变形目标B：能运用勾股定理的数学模型解决现实世界中的实际问题目标C：体会数形结合的数学思想二、问题引领问题A：（1）求出下列直角三角形中未知的边、（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m ，则AC= m、问题B：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2、2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?问题C：如图，一架2、6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2、4 m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0、5m，那么梯子底端B 也外移0、5 m吗?三、专题训练训练A :1、若一直角三角形两边长为5和12，则第三边长为、2、已知矩形的长是宽的2倍，其对角线长是5cm，则这个矩形的较长的边为、3、如图，在ΔABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，EF∥BC交AC于M,若EF=5，则CE2 +CF2 = 、第3题第4题4、如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米、训练B:5、在ΔABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ΔABC的周长为、6、有一根长70的木棒，要放在长、宽、高分别为30,40,50的木箱中，能放进去吗？简述理由、7、小东拿着一根长竹竿进一个宽3米的城门，他先横着拿进不去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端正好顶着城门的对角，问竿长几米？训练C:8、如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB 长100cm，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为60cm，当端点B向右移动20cm时，滑杆顶端A下滑多长？9、如图，有一根高为16米的电线杆在点A处断裂，电线杆顶点C落到离电线杆底部B点8米处的地方，求电线杆的断裂处A 离地面的距离、四、课堂小结1、勾股定理的应用；2、分类、转化、方程思想、班级小组姓名五、课后作业1、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，圆的直径至少为 dm（结果保留根号）2、一旗杆离地面6m处折断，其顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前高 m、3、如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米、4、已知：如图，等边△ABC的边长是6cm、⑴等边△ABC的高CD= cm、⑵S△ABC= cm、5、如图，分别以Rt△ABC的三边为直径作半圆，其面积分别为、、，且，，则= 、6、如图，直线同侧有三个正方形、、，若、的面积分别为5和12，则的面积为、【能力提升】在△ABC中，∠BAC=120AB=AC=cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，△ABP为直角三角形、。

课型新授课课题17.1 勾股定理（1）学习目标1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

2 、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

重点难点重点：勾股定理的内容及证明。

难点：勾股定理的证明方法---面积法。

设计意图教学流程二次学习复习巩固相关知识，思考其中的联系渗透从特殊到一般的数学思想，培养学生的类比迁移能力【知识链接课前自我学习】（1）已知R t△ABC中的两条直角边长分别为a、b ,则S△ABC＝ .（2）完全平方公式：（a±b）2＝.【课堂新知探究】【探究1】等腰直角三角形：下面第一个图中，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形P、Q、R的面积，看看能得出什么结论．（1）发现：正方形_______的面积+正方形________的面积=正方形________的面积；（2）你能用三角形ABC的边长表示正方形的面积吗？你能发现等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？（3）归纳：在等腰直角三角形中：两直角边的等于斜边的。

【探究2】任意直角三角形：第二个图中，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C的面积，看看能得出什么结论．归纳：任意直角三角形中：两直角边的______等于斜边的_______。

命题：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_______ 。

【拓展】拼一拼、摆一摆，归纳证明定理：（1）已知：在△ABC中，、∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：a2＋b2=c2。

【分析】（1）请利用手中4个直角三角形模型，拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

（2）若拼成如右图所示，大正方形面积有两种表示方法：即：___________________和_______________________其等量关系为：_____________（3）若拼成如下图所示，求证：a2＋b2=c2分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

探索勾股定理-（1）（第1课时）学生姓名：学习目标：会探索勾股定理，会初步利用勾股定理解决实际问题。

重难点：会用勾股定理求直角三角形的边长学习过程：一、课前预习：1、三角形按角的大小可分为：、、。

2、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差。

3、直角三角形的两个锐角；直角三角形中最长边是。

4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。

二、自主探究：探究一：探索直角三角形三边的特殊关系：（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；（2）猜想：直角三角形的三边关系为。

探究二：如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。

勾股定理：直角三角形 等于；几何语言表述：如图1.1-1，在Rt ΔABC 中， C ＝ 90°， 则： ； 若BC=a ，AC=b ，AB=c ，则上面的定理可以表示为： 。

三、课堂练习：1、求下图中字母所代表的正方形的面积12米处。

旗4、如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一点，∠ACB=90°， AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是多少？四、课后反思第4题BC A探索勾股定理-（2）（第2课时）学生姓名：学习目标：掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定理的方法。

能运用勾股定理解决一些实际问题。

重难点：勾股定理的应用。

学习过程： 一、知识回顾：1、直角三角形的勾股定理：2、求下列直角三角形的未知边的长二、自主探究：利用拼图验证勾股定理活动一：用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考： 1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。

2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。

3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？分析：大正方形的面积＝ 边长的平方 ＝小正方形的面积＋ 个直角三角形的面积得： ( ＋ )2＝ 2＋ ×12ab . 化简可得：活动二：用四个全等的直角三角形拼出图2验证勾股定理。

第十七章 勾股定理原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！ 灵师不挂怀,冒涉道转延。

——韩愈《送灵师》 镇海中学 陈志海17.1 勾股定理第1课时 勾股定理学习目标：1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想； 2.会用勾股定理进行简单的计算.重点：用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想. 难点：会用勾股定理进行简单的计算.一、知识回顾1.网格中每个小正方形的面积为单位1,你能数出图中的正方形A 、B 的面积吗？你又能想到什么方法算出正方形C 的面积呢？AB CC BA自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分配套PPT 讲授1.情景引入 （见幻灯片3-5）方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：左图：S c =__________________________; 右图：S c =__________________________.AB CC BA一、要点探究探究点1：勾股定理的认识及验证想一想 1.2500年前，毕达哥拉斯去老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面，联想到了正方形A ，B 和C 面积之间的关系，你能想到是什么关系吗？2.右图中正方形A 、B 、C 所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？3.在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A 、B 、C 是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)4.正方形A 、B 、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？思考 你发了直角三角形三条边之间的什么规律？你能结合字母表示出来吗？猜测：如果直角三角形的两条直角边长分别为ab ，斜边长为c ,那么________.活动2 接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想. 证法 利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”课堂探究方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：左图：S c =__________________________; 右图：S c =__________________________.教学备注 配套PPT 讲授2.探究点1新知讲授（见幻灯片6-19）3.探究点2新知讲授（见幻灯片20-24）要点归纳：勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.公式变形：222222--.a cb bc a c a b=+, ，探究点2：利用勾股定理进行计算典例精析例1如图，在Rt△ABC中，∠C=0°.（1）若a=b=5,求c;（2）若a=1,c=2,求b.变式题1 在Rt△AB中，∠C=90.（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.证明：∵S大正方形＝________，S小正方形＝________,S大正方形＝___·S三角形＋S小正方形，∴________=________+__________.教学备注3.探究点2新知讲授（见幻灯片20-24）方法总结:已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.变式题2在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC长.方法总结:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长可能是直角边，也可能斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．求列图中未知数x、y的值：二、课堂小结 内 容勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2+b 2=c 2. 注 意1.在直角三角形中2.看清哪个角是直角3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论1.下列说法中,正确的是 （ ） A.已知a ,b ,c 是三角形的三边，则a 2+b 2=c 2 B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt △ABC 中，∠C =90°,所以a 2+b 2=c 2 D.在Rt △ABC 中，∠B =90°,所以a 2+b 2=c 22. 右图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_____________.3.在△ABC 中，∠C =90°.（1）若a =15，b =8，则c =_______. （2）若c =13，b =12，则a =_______.4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.5.求斜边长17cm 、一条直角边长15cm 的直角三角形的面积.6.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，∠B =45°，∠C =30°，AD =1，求△ABC 的周长．当堂检测教学备注 配套PPT 讲授 4.课堂小结 （见幻灯片30）5.当堂检测 （见幻灯片25-29）能力提升：7.如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积.1、冬天是纯洁的。

第十七章勾股定理导学案第一课时17.1勾股定理（1）学习目标：1. 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

学习重点：勾股定理的内容及证明。

学习难点：勾股定理的证明。

学习过程：一、自主学习画一个直角边为3cm和4cm的直角△ ABC用刻度尺量出AB的长。

（勾3,股4,弓玄5）。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3,长的直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ ABC用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42 52,52+122 132,那么就有2+2=2o （用勾、股、弦填空）对于任意的直角三角形也有这个性质吗？勾股定理内容文字表述：几何表述：二、交流展示例1、已知：在△ ABC中，/ C=90° , / A、/B、/C的对边为/ H二⑴准）二:形::b：\积相等进彳"4±⑵拼成如图所小，其等量关系为：4s A +S 小正二S 大正即4X1X +〔〕2 = c 2,化简可证2⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷勾股定理的证明方法，达 300余种。

这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀例2已知：在△ ABC 中，/ C=90° , / A 、/ B 、/C 的对边为a 、b 、c 求证：a 2+ b 2=c 20分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S= _________ 右边S= _________ 左边和右边面积相等，即化简可得、合作探究数的规律，写出当a=19时，b, c 的值，并把b 、c 用含a 的代数式表示出来3、4、5 32+42=52 5、 12、 13 52+122=132 7、 24、 25 72+242=252 9、 40、 4192+402=41219, b 、 c192+b 2=c 23. △ ABC 的三边 a 、b 、c,1,已知在 RtzXABC 中，/ B=90° (1) c=。

17.1 勾股定理（1）学习目标1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

经历用面积法探索勾股定理的过程。

2. 体会数形结合的思想，渗透观察、归纳、猜想、验证的数学方法，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。

3. 培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

学习重点、难点1.重点：探索和验证勾股定理。

2.难点：勾股定理的证明。

一、预习内容1.复习旧知（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B= (填度数)。

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，则AC= ，理由是：。

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，则AC= ，理由是：。

（4）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC面积S= 。

（5）用腰长为1的四个等腰直角三角形拼成如图所示的正方形，则正方形的面积为，正方形的边长为。

2.课前预习阅读课本P64-P66探究之前的内容。

根据你对课文的理解，完成下列问题：（1）在如图所示边长为1的正方形网格中有如图所示的三个正方形A ，B ，C 则A S =，B S =C S =（2） 由上可知，正方形A 和正方形B 的面积之和等于 （3） 我们发现在等腰直角三角形中，斜边的平方等于 （4） 若网格中每一个小方格面积为1个单位面积，那么正方形A 、B 、C 的面积分别为（5）(填=或>或<)（6） 如果设正方形A ，B ，C 的边长分别为a ，b ，c ，则由上面可知：。

用文字叙述为：二、数学概念勾股定理： 三、例题讲解(1) 求出下列直角三角形中未知边的长度。

(2) 在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=10，BC=26。

求(1) △AB C 周长。

(2) △ABC 的面积。

四、总结反思说说你的收获;你还有什么问题？五、反馈练习在△ABC中，∠C=90°。

人教版数学八年级下册17.1第1课时《勾股定理》教案一. 教材分析《勾股定理》是中学数学中的一个重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的一种简单而美妙的关系。

人教版八年级下册第17.1节《勾股定理》主要介绍了勾股定理的证明和应用。

通过这一节的学习，学生可以加深对勾股定理的理解，提高解决几何问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质等基础知识。

但勾股定理的证明和应用需要学生具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习基础，针对不同学生进行有针对性的教学。

三. 教学目标1.理解勾股定理的证明过程，掌握勾股定理的内容。

2.能够运用勾股定理解决实际问题，提高解决问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

四. 教学重难点1.勾股定理的证明过程。

2.勾股定理在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引发学生对勾股定理的思考，激发学生的学习兴趣。

2.演示教学法：通过几何画板等软件，直观地展示勾股定理的证明过程。

3.问题驱动法：引导学生通过解决问题，深入理解勾股定理的内涵。

4.小组合作法：鼓励学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作勾股定理的课件，包括证明过程的动画演示。

2.几何画板：用于展示勾股定理的证明过程。

3.练习题：准备一些有关勾股定理的应用题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实例，如篮球架、自行车等，引导学生思考这些实例中是否存在勾股定理的应用。

让学生感受到勾股定理在现实生活中的重要性。

2.呈现（10分钟）利用几何画板，演示勾股定理的证明过程。

首先，展示一个直角三角形，然后通过动态变化，引导学生发现直角三角形三边之间存在的关系。

最后，给出勾股定理的数学表达式。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用勾股定理解决一些实际问题。

八年级数学下册 17.1 勾股定理导学案1 （新版）新人教版【励志语录】1、学会思考，头脑清晰，明白自己的渺小，切忌自我陶醉。

2、、别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的痛苦【学习目标】1、用数格子的办法体验勾股定理的探索过程2、熟记勾股定理的内容，能用面积法证明勾股定理、3、有兴趣参与“观察---猜想----归纳---验证”的探索过程，体会数形结合与从特殊到一般的思想方法、【学习重点】XXXXX：勾股定理、的证明及利用一、知识链接1、三角形的三边有何关系？2 让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长让学生猜测：32+42与AB 的平方有何关系/二、教材预习1、预习内容：学生独立阅读课本P64---P66，探究课本中的例1 ，并完成P68的练习第3题。

2、预习测试① 用语言表达勾股定理② 用式子表达勾股定理③ 运用勾股定理时该注意些什么?3、在Rt△ABC中，∠C=90若a=6，b=8，则c=_______；三、合作探究合作探究1 勾股定理的运用在Rt△ABC中，∠C=90（1）若a=5，b=12，则c=________；（2）b=8，c=17，则S△ABC=________。

合作探究2：勾股定理的灵活应用下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。

(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)提示：正方形是以直角三角形的一边作为边，故面积可表达为合作探究3:利用面积证勾股定理已知：在△ABC中，∠C=90，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：a2＋b2=c2。

四、小结提升你本节课有哪些收获？有何困惑？五、达标测试A、基础达标1 在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边为a,b,c(1)已知∠C是Rt∠,a=6,b=8、则c= 、(2)已知∠C是Rt∠,c=25,b=15、则a=2 在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_____________、3、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有组。

八年级数学下册 17.1 勾股定理导学案1（新
版）新人教版
17、1 勾股定理导学习目标
1、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程，体会数形结合思想、
2、能说出勾股定理，并能应用勾股定理解决简单的数学问题、重点：探索和证明勾股定理，用拼图的方法证明勾股定理、难点：
1、应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。

2、灵活运用勾股定理、时间分配导入5分钟、自主学习10分钟问题解决10分钟应用新知5分钟、练习巩固8分、课堂小结2分学案（学习过程）导案（学法指导）学习过程
一、自主学习★阅读课本P22-24页，了解下列问题
1、什么是勾股定理？
2、勾股定理的文字叙述与几何语言如何表达？
3、P22练习
1、2、
五、课堂小结：
1、勾股定理的内容是什么？
2、勾股定理适用前提是什么？
3、本节课还有什么问题？六、作业：
1、课本P28
1、2、2、课本P28—习题
17、1--11
一、导课：（复习旧知）◆关于直角三角形,你知道哪些方面的知识?（1）直角三角形叫Rt△（2）两锐角互余∠A+∠B=90 （3）三角形的面积s=ab=hc （4）30所对的直角边等于斜边的一半（5）证明两个直角三角形全等有“HL”
二、问题解决：强调
1、勾股定理的使用前提是在直角三角形中、
2、勾股定理研究的是直角三角形的三边之间的关系。

三、新知应用此问题可让学生尝试完成，然后教师规范过程。

四、练习学生自主独立完成，选学生上黑板。

最后个别纠错、
五、小结：总结本节课的知识重点和方法技能，并着重强调。

六、作业1是必做题，2是选做题，部分学生可适当完成。

教学反思。

第17章 勾股定理第1课时 17.1 勾股定理导学案（1）【学习目标】1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．养成在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

【学习重点】勾股定理的内容及证明。

【学习难点】勾股定理的证明。

一、学前准备1、每位同学准备四个全等的直角三角形。

2、查阅资料，网络搜索有关勾股定理的知识。

3、自主阅读课本P22-24，P30。

二、探索思考1、思考：由P22图17.1-1，你发现直角三角形的三边有怎样的关系？2、探究一：等腰直角三角形三边关系3、探究二：一般的直角三角形三边关系三、证明猜想猜想的结论： 已知： 求证： 方法：利用拼图来验证勾股定理四、当堂反馈1、求下列图中字母所表示的正方形的面积2、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm2。

3、求出下列直角三角形中未知边的长度五、学习反思：（1）知识点：（2）数学方法：A 的面积(单位面积)B 的面积(单位面积)C 的面积(单位面积) 图1 图2 A 、B 、C 面积关系直角三角形三边关系 A 的面积(单位面积) B 的面积(单位面积) C 的面积(单位面积) 图3 图4A 、B 、C 面积关系 直角三角形三边关系A B CA B C（图中每个小方格代表一个单位面积） 图1图2 AB C 图3 ABC图4 c a bc acac a bc abb cabc AD225 400 A 225 81B A BC D7cm 6 8 x 5 x 13第2、3课时 17.1 勾股定理导学案（2）【学习目标】1．会用勾股定理进行简单的计算。

会用勾股定理解决简单的实际问题。

2．会用勾股定理解决简单的实际问题。

3. 树立数形结合的思想。

【学习重点】勾股定理的应用。

【学习难点】实际问题向数学问题的转化。