新北师大版八年级上册第一章勾股定理导学案

第一章勾股定理导学案第1课时探索勾股定理〔1〕一、学习目标：掌握勾股定理并能利用它来解决简单的实际问题。

二、预习设计：1、三角形按角的大小可分为：、、。

2、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差。

3、直角三角形的两个锐角；4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，那么这个直角三角形的面积可以表示为：。

5、自学感知：探索直角三角形三边的特殊关系：〔1〕画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；〔2〕猜测：直角三角形的三边满足什么关系?〔3〕任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜测。

猜测：三、课堂探究：：如果以下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？AB CACB 图1-1图1-2ABCACB图1-3图1-4问题1、你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？问题2、你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。

问题3、分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。

问题（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？图形A 的面积B 的面积C 的面积A 、B 、C 面积的关系图1-1 图1-2图1-3图1-4思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。

勾股定理：直角三角形 等于 ； 几何语言表述：如图1.1-1，在Rt ΔABC 中， C ＝ 90°， 那么： ； 假设BC=a ，AC=b ，AB=c ，那么上面的定理可以表示为： 。

课堂练习：1、求以下图中字母所代表的正方形的面积如图示:A 代表的正方形面积为它的边长为B 代表的正方形面积为它的边长为64225AB169144ABC蚂蚁沿图中所示的折线由A 点爬到B 点，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长代表1厘米）1、2、2、求出以下各图中x 的值。

3.如下图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。

第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理学习目标1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

2 、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

重点、难点重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。

难点：勾股定理的发现。

学习过程一、创设问题的情境，激发学生的学习热情：我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。

对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。

那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。

出示投影1（章前的图文 P1 ）我国是最早了解勾股定理的国家之一介绍商高（三千多年前周朝数学家）。

出示投影2。

（书中P2 图1一2）并回答：1、观察图1一2，正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位。

正方形B 中有个小方格．即B的面积为个面积单位。

正方形C 中有个小方格，即C的面积为个面积单位。

2、你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问。

3、图l一2 中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？在学生交流后形成共识老师板书。

A + B＝C ，接着提出图1一1中A、B、C的关系呢？二、做一做出示投影3（书中P3 图1一3，图1一4 )提问：1、图1一3中，A 、B、C之间有什么关系？2、图1 一4中，A 、B 、C 之间有什么关系？3、从图1一l 、1一2 、1一3 、l一4中你发现了什么？在学生讨论、交流形成共识后，老师总结：以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。

三、议一议1、图1一1、1一2、1一3、1一4中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上，老师板书：直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。

八上第一章《勾股定理》导学案 第一课时 探索勾股定理 （1）【学习目标】1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。

3、【学习重点】了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。

【学前准备】1、画一个直角三角形并测量三边的长。

2、准备一张坐标纸 【自学探究】阅读课本2-5页回答下列问题 1、直角三角形的两条直角边的长度分别为a=3㎝，b=4㎝和a=6㎝，b=8㎝。

①请你量出斜边c 的长度。

（1） （2）②进行有关的计算：(1)a 2+b 2= c 2= (2) a 2+b 2= c 2= ③得出结论： 2、思考：6cm（图中每个小方格代表一个单位面积）（2）你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？（3）你能发现图1－1中三个正方形A，B，C围成的直角三角形三边的关系吗？（4）你能发现课本图1－3中三个正方形A，B，C围成的直角三角形三边的关系吗？(5)如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个长度单位，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由。

预习后你还有什么问题？最想和大家讨论交流的问题是什么？【合作交流】勾股定理：例题：P2引例【随堂练习】1、P3随堂练习1、2【巩固练习】1．在△ABC中，∠C＝90°，（l）若 a＝5，b＝12，则 c＝（2）若c＝41，a＝9，则b＝2．等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为，面积为。

3．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42或 32 D．37 或 334．一个长方体抽斗的长为24cm，宽为7cm，在抽斗里放铁条，铁条最长能是多少？【小结】你学到了什么：知识方面方法你还有什么问题：【今日作业】1. 求出下列直角三角形中未知边的长度。

弦股勾1.1 探索勾股定理（1） 导学案【学习目标】在方格纸上计算面积的方法探索勾股定理，掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。

【重点】掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。

【难点】探索勾股定理。

【新课学习和探究】1、导入新课：P 22、探索发现图1图2观察图形完成下列问题： 如果正方形 A 边长为，则其面积为______；正方形 B 边长为b , 则其面积为________；正方形 C 边长为c ,则其面积为_______；你能发现正方形A 、B 、C 围住的直角三角形的两直角边长a 、b ，斜边c 之间有怎样的关系。

（小组讨论） 结论：_____________________ 3、画一画：在草稿纸上，以cm 3、cm 4为直角边画一个直角三角形，并测量斜边的长度，前面的结论对这个三角形还成立吗？4、归纳：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

222ab c 或 222AC BC AB注：① 作用：知道直角三角形的任意两边可以求出第三边。

②我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾．， 较长的直角边称为股．，斜边称为弦．． A 的面积（单位面积） B 的面积（单位面积） C 的面积（单位面积） A 、B 、C 面积关系式图1图2图3图4【巩固练习】1、【新课学习和探究】中“导入新课”中的答案为_______米。

2、正方形A的面积为______，正方形B的面积为______。

【例题精讲】如图，强台风使得一根旗杆在离地面9m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处．旗杆折断之前有多高？【巩固练习】求出下列直角三角形中未知边的长度。

（要求写出简单过程）（１）（２）【课堂小结】本节课有哪些收获？【课后作业】1、在△ABC中，∠C＝90°，（l）若 a＝5，b＝12，则 c＝；（2）若c＝15，a＝9，则b＝ .2、直角三角形的斜边长为17cm，一条直角边长为15cm，则直角三角形的面积为_________cm23、如图，求等腰△ABC的面积。

1.1 、探究勾股定理教案一、 1、学习目标：掌握勾股定理及其考证，并能应用勾股定理解决一些实质问题.2．教课要点：用面积法考证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实质问题.3．教课难点：考证勾股定理.二、知识回首：（ 1）勾股定理的内容是（ 2）直角三角形两边长为 3 和 4，求第三边长（ 3）、求出 x 的值17x15三、探究活动：考证勾股定理拼图考证 . 准备的四个全等的直角三角形拼出正方形.思虑 1：你能由图1表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？能由此获得勾股定理吗？2：你能由图2表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？能由此获得勾股定理吗？3、请利用图 3 考证勾股定理图 3图 1图 2 ab ccab4、利用四个全等的直角三角形拼图考证勾股定理你还有哪些方法？5四、例题解说1、例题：飞机在空中水平飞翔，某一时辰恰巧飞到一个男孩子头顶上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩子头顶5000 米，飞机每小时飞翔多少千米？2利用全等的方法证明勾股定理？基础训练1．若△ ABC 中，∠ C=90 °，（ 1）若 a=5， b=12，则 c=；（2）若a=6， c=10，则 b=；（3）若a∶ b=3∶4，c=10，则a=，b=.2．某田舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m，宽为，现需要在相对的极点间用一块木棒加固，木板的长为.3．直角三角形两直角边长分别为5cm， 12cm，则斜边上的高为.4．等腰三角形的腰长为13cm，底边长为 10cm，则面积为（）．A． 30 cm2 B ． 130 cm2 C． 120 cm 2 D ．60 cm2提升训练5．轮船从海中岛 A 出发，先向北航行9km ，又往西航行9km ，因为碰到冰山，只能又向南航行 4km ，再向西航行 6km ，再折向北航行2km ，最后又向西航行9km ，抵达目的地 B，求 AB 两地间的距离 .6．一棵 9m 高的树被风折断，树顶落在离树根3m 之处，若要查察断痕，要从树底开始爬多高？知识拓展7．折叠长方形 ABCD 的一边 AD ，使点 D 落在 BC 边的 F 点处，若AB=8cm ， BC=10cm ，求 EC 的长 . A DEBF C1.2 能获得直角三角形吗一、学习目标1、掌握直角三角形的鉴别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。

探索勾股定理一、学习目标：能用拼图验证勾股定理,能利用勾股定理解决实际问题。

二、学习探究： 知识回顾：1、勾股定理：2、求下列直角三角形的未知边的长3、在一个直角三角形中，两条直角边分别为a ，b ，斜边为c：（1）如果8a =，15b =，则c = ，面积为 ；（2）如果5a =，13c =，则三角形的周长为 ，面积为 ； 活动探究：利用拼图验证勾股定理（课前准备8个全等的直角三角形）： 活动一： 用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考： 1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。

2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。

3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？活动二：你能利用类似的方法由图2得到勾股定理吗？活动三:请利用图3验证勾股定理.125BAC图3b思考：用四个全等的直角三角形，通过拼图验证勾股定理，你还有那些方法？ 三、师生互动：例1 、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000米处，过了25秒，飞机距离女孩头顶5000米处，则飞机的飞行速度是多少？四、训练达标： 基础巩固：1、如图，AD = 3，AB = 4，BC = 12，则CD=________；2、如图，阴影部分的面积为 ；3、一个直角三角形的三边分别为3，4，x ，则2x4、若等腰三角形的腰为10cm ，底边长为16cm ，则它的面积为 ；5.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有 米。

6.一直角三角形的斜边比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为 ；7.直角三角形一直角边为5厘米、斜边为13厘米，那么斜边上的高是 ；8.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 ； 能力提升：9.小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/h 的速度向正北方向的学校走去，哥哥以8km/h 的速度向正南方向走去，半小时后，他们相距10、如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q 三城市的沿江高速的建设成本是100万元∕千米，该沿江高速的造价是多少？120千米50千米40千米30千米QP ONM11.如图，AC 是电线杆，从距离地面12M 高的A 处，向离电杆5M 的B 处埋线，并埋入地下1.5M 深，求拉线长多少米?12、．如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10，BC=6，E 为BC 上一点将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点F 处，求BE 的。

1.1 探索勾股定理第1课时勾股定理【学习目标】1．会用数格子的办法体验勾股定理的探索过程，理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系．2．能利用勾股定理进行简单的计算和实际应用．【学习重点】勾股定理的探索及利用勾股定理进行计算．【学习难点】用测量和数格子的方法探索勾股定理．教学环节指导学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．说明：通过观察特殊图形下方格数与正方形面积之间的转化，进一步体会探索勾股定理．说明：通过观察计算一般情况下方格数与正方形面积之间的转化，进一步加强对勾股定理的理解．情景导入生成问题我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边．对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系．那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理．出示投影1(章前的图文P1)，介绍数学家曾用这个图形作为与“外星人”联系的信号．自学互研生成能力知识模块一探索勾股定理自主探究先阅读教材第2页“做一做”的内容，然后完成下面的问题．1．在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴交流．【说明】学生根据教师的要求完成这个问题，自主交流发现直角三角形的性质．2．观察教材图1－2，正方形A中有__9__个小方格，即A的面积为__9__个面积单位．正方形B中有__9__个小方格．即B的面积为__9__个面积单位．正方形C中有__18__个小方格，即C的面积为__18__个面积单位．你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问．教材图1－2中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？归纳得出结论：SA ＋SB＝SC.合作探究师生合作共同完成下面问题的学习与探究，若在学习过程中学生遇到困难，教师要及时指导．3．教材图1－3中，A、B、C之间是否还满足上面的关系？你是如何计算的？与同伴进行交流．4．如果直角三角形两直角边分别是1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由．【说明】渗透从特殊到一般的数学思想，充分发挥学生的主体地位，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题、解决问题的能力得到了提高．议一议：你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？与同伴进行交流．【说明】学生自主探究，发现直角三角形的性质，并整合成精确的语言将之表达出来，有利于培养学生综合概括能力的语言表达能力．【归纳结论】直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．这就是著名的“勾股定理”．也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2.我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这便是勾股定理的由来．提示：利用勾股定理进行计算求值时，一定要分清直角边、斜边．学习行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在小组展示的时候解决．积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据.知识模块二利用勾股定理计算求值合作探究典例讲解：例：求出下列直角三角形中未知边AB的长度．解：(1)∵∠B＝90°，∴AC是斜边，根据勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2.∴AB2＝AC2－BC2＝202－122＝400－144＝256.∴AB＝16；(2)∵∠C＝90°，∴AB是斜边，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝72＋242＝625.∴AB＝25.交流展示生成新知交流预展1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．展示提高知识模块一探索勾股定理知识模块二利用勾股定理计算求值检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________第2课时勾股定理的验证及简单应用【学习目标】1．会利用拼图法、等积法验证勾股定理的正确性．2．能利用勾股定理解决简单实际问题．【学习重点】能熟练应用拼图法证明勾股定理．【学习难点】应用勾股定理解决实际问题．学习行为提示：每组抽一位学生上黑板做，其余学生在座位上完成，组长检查每组完成情况，最后教师给每组评分．情景导入生成问题旧知回顾：1．勾股定理：Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，斜边为c，那么__a2＋b2＝c2__．2．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( C)A．48 B．60 C．76 D．803．如果一直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为( C)A．4 B.34 C．4或34 D．以上都正确学习行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．在探究练习的指导下，自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．说明：学生通过各种方法验证勾股定理的正确性，加深对勾股定理的理解，又让学生体会到一题多解．学习行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解法．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在小组展示的时候解决．积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据．自学互研 生成能力知识模块一 勾股定理的验证合作探究先阅读教材第4页下面的内容和第5页“做一做”的内容，然后完成下面的问题．1．画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流．【说明】 让学生进一步体会探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想．2．为了计算教材图1－4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到教材P 51－5、1－6图．(1)将所有三角形和正方形的面积用a ，b ，c 的关系式表示出来；(2)教材图1－5、1－6中正方形ABCD 的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴进行交流．(3)你能分别利用教材图1－5、1－6验证勾股定理吗？【归纳结论】 勾股定理的证明方法达300多种，请同学们利用业余时间探究、讨论并阅读教材P 7－8的其他证明勾股定理的方法，以开阔同学们的视野．知识模块二 利用勾股定理解决实际问题自主探究自学自研教材第5页例题．合作探究师生合作共同完成下面例题的学习探究．典例讲解：例：飞机在空气中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形．如图，图中△ABC 的∠C ＝90°，AC ＝4000米，AB ＝5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB 的长，由于△ABC 的斜边AB ＝5000米，AC ＝4000米，这样BC 就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算．解：由勾股定理得BC 2＝AB 2－AC 2＝52－42＝9(千米)，即BC ＝3千米，飞机20秒飞行3千米．那么它1小时飞行的距离为：360020×3＝540(千米/时)，答：飞机每小时飞行540千米．【说明】让学生从实际生活的角度大胆的去考虑，用生活经验和学过的知识去解答．并学会把实际问题抽象为直角三角形的数学模型的过程，能够熟练地将勾股定理应用到现实生活中去．交流展示生成新知交流展示1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．展示提升知识模块一勾股定理的验证知识模块二利用勾股定理解决实际问题检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。

1.1 探索勾股定理学习目标、重点、难点【学习目标】1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程．2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系． 【重点难点】 1、了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题． 2、勾股定理的发现．知识概览图直角三角形→勾股定理 勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用 a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那 么 a 2+b 2=c 2变式a 2=c 2-b 2 b 2=c 2-a 2新课导引【问题链接】 如右图所示的是正方形瓷砖拼成的地面的示 阴影部分， 很显然， 两个小正方形 P ，Q 的面积之和等于大正方形AC 2+BC 2＝AB 2，这说明在等腰直角三角形 ABC 中，两直角边的平平方．在一般直角三角形中，两条直角边的平方和是否等于斜边的平方呢【点拨】 对于任意的直角三角形， 两条直角边的平方和等于斜边的平方． 这就是本节要学习 的． 教材精华知识点 1 勾股定理如图 1-l 所示，在正方形网格中有一个直角三角形和三个分别以它的三边为边的正方形，通过 观察、探索，发现正方形面积之间存在这样的关系： C 的面积＝ B 的面积+A 的面积．现将面积问 题转化为直角三角形边的问题，于是得到直角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用 a ，b 和 c 分别表示直角三意图，观察图中R 的 面积， 即 方和等于斜边的角形的两直角边和斜边，那么a2+b2＝c2．拓展(1)由勾股定理的基本关系式a2+b2＝c2还可得到一些变形关系式，如：a2＝c2-b2＝(c+b)(c-b)，b2＝c2-a2＝(c+a)(c-a)等．(2)在方格中，利用数格子计算面积的方法判断：①在钝角三角形中，三边长分别为a，b,c，c 为最大边长，则a2+b2<c2；②在锐角三角形中，三边长分别为a,b,c，则a2+b2>c2．知识点 2 勾股定理的证明如图1-2 所示，将四个全等的直角三角形拼成正方形．2 2 1(1)如图l-2(1) 所示，S 正方形ABCD＝(a+b)2＝c2+4×ab，22 2 1 (2)如图l-2(2)所示，S 正方形EFGH＝c2＝(a-b)2+4× ab， 2如图1-3 所示，将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形．S梯形ABCD ＝(a b)(a b)＝2×1ab+1c2，所以a2+b2＝c2．2 2 2规律方法小结(1)数形结合思想：把问题中有关数的关系转化为图形的关系来解决．(2)方程思想：列方程解决问题．(3)割补方法：由图形的分割或补充，寻找题目中条件与结论的联系，进一步得出结论，课堂检测基础知识应用题1、在△ ABC 中，∠ C＝90°(1)若a＝8，b＝6，求c；(2)若c＝41，b＝40，求a．所以a2+b2＝c2．形拼成直角梯所以c2＝a2+b2．2、如图1-4所示，某人欲横渡一条河，由于水流影响，实际上到达的地点C 偏离欲到达地点B24 m，结果他在水中实际游了40 m，求该河流的宽度．综合应用题3、有一根70cm长的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm，30cm，40cm的木箱中，能放进去吗?4、如图1-9所示，A，B 两点都与平面镜相距 4 米，即AC＝BD＝4米，且A，B 两点相距6 米，即AB＝6 米，一束光由A 点射向平面镜，反射之后恰好经过B 点，求B 点与入射点的距离．5、如图 1-10所示，在高为 3 米，斜坡长为 5 米的楼梯表面 的长度至少需要多少米 ?若楼梯宽 2 米，每平方米地毯需 30 元， 毯需花多少元 ?探索创新题6、在△ ABC 中，BC=a,AC=b,AB=c ，若∠ C=90°，如图 1-12（1）所示，根据勾股定理，得 a 2+b 2=c 2；若△ ABC 不是直角三角形，如图 1-12（2）（3）所示，请你类比勾股定理，试猜想 a 2+b 2 与 c 2 大小关系，并说明你的结论．体验中考1、已知直角三角形两边长为 3和 4，则第三边长为．2、如图 l-13 所示，等腰三角形 ABC 中，AB ＝AC ，AD 是底边上的高线，若 AB ＝5 cm ，BC＝ 6 cm ，则 AD ＝ cm ． 学后反思铺地毯，则地毯 那么买这块地附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题考查勾股定理及其变式的简单应用．解：在△ ABC 中，∠ C＝90°，∴ a2+b2＝c2．(1) ∵a2+b2＝c2，∴c2＝a2+b2＝82+62＝64+36＝100，∴ c＝10．(2) ∵ a2+b2＝c2，∴a2＝c2-b2＝412-402＝(41+40)(41-40)＝81，∴a＝9，规律．方法已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是弄清已知什么边长，求什么边长，用平方和还是用平方差．若用平方差，则注意运用平方差公式，使计算简便．2、解：如图1-4 所示，∵∠ ABC＝90°，∴由勾股定理，得AB2＝AC2-BC2，即AB2＝402-242＝1024，∴ AB＝32，∴该河流的宽度为32 m．3、分析由于木棒长为70 cm，远大于各面的边长，而且比每个面的对角线还要长，故按各面的大小都放不进去，但要注意木箱的形状是立体图形，可以利用空间的最大长度．解：能放进去．理由如下：如图l-6 所示，连接A1C1，AC1，在Rt △A1B l C l 中，A1C12＝A1B l2+B1C12＝502+302＝3400．在Rt△AA1C1 中，AC l2＝AA l2+A l C12＝402+3400＝5000，∵5000>702，∴AC1>70(cm)．∴70cm 长的木棒能放入这个木箱中．【解题策略】解决此题的关键在于明确AC l 的长即为木箱所能容纳的最大长度，这里充分利用了木箱各相邻边的垂直关系，创造了连续运用勾股定理的条件，同时还能培养空间想象力．4、分析解决此题的关键是找出入射点O，利用光的反射知识及轴对称知识，可找到入射点O，再运用勾股定理进行求解．解：作出B点关于CD 的对称点B′，连接AB′，交CD于O点，则O点就是光的入射点，连接OB．∵AC＝BD，∠ACO＝∠BDO＝90°，∠ AOC＝∠BOD，1∴△ AOC≌△ BOD，∴ OC＝OD＝AB＝3 米．2在Rt△ODB 中，OD2+BD2＝OB2，∴ OB2＝32+42＝25，∴ OB＝5（米）．即 B 点与入射点的距离是 5 米．【解题策略】勾股定理在日常生活中应用广泛，涉及许多知识，必须融会贯通，灵活运用．5、分析从表面上看，每个台阶水平和竖直的长度都求不出来，但仔细观察发现，楼梯水平方向的长度和为AC 的长，竖直方向的长度和为BC 的长，要求地毯的长度，只需利用勾股定理先求出AC的长，再求AC+BC 即可．解：在Rt△ ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴AC2＝AB2-BC2＝52-32＝16，∴AC＝4（米）．∴地毯长度为AC+BC＝4+3＝7（米），∴地毯的总面积为7×2＝14（平方米），∴需花30×14＝420（元）．6、解：若△ ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2；若△ABC为钝角三角形（∠C为钝角），则有a2+b2<c2．理由如下：（1）当△ ABC是锐角三角形时，过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD＝x，则有DB＝a-x.根据勾股定理，得b2-x2＝c2-（a-x）2，即b2-x2＝c2-a2+2ax-x2,∴a2+b2＝c2+2ax．∵d>0，x>O，∴2ax>0．∴ a2+b2>c2．（2）当△ ABC 是钝角三角形时（∠C 为钝角），过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D．设CD＝x，则BD2＝a2-x2．根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2，即b2+2bx+x2+a2-x2＝c2，∴a2+b2+2bx＝c2．∵b>0,x>0,∴2bx>0．∴ a2+b2<c2．【解题策略】通过作辅助线构造直角三角形，设未知数，运用勾股定理列方程，休现了几何知识代数化的解题方法和数形结合的思想．体验中考1、分析直角三角形中已知两边长求第三边长，显然要用勾股定理，不过第三边不一定是斜边，所以要分情况讨论．①当第三边为斜边时，32+42＝52，第三边长为5；②当 4 为斜边长时，42-32＝7，所以第三边长为7 .故填 5 或7 .112、分析在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝×6＝3(cm)．在Rt△ABD 中，22AD2＝AB2-BD2＝52-32＝16，∴ AD＝4(cm)．故填4．规律·方法解决等腰三角形中线段长的问题常利用“三线合一”转化为直角三角形，然后利用勾股定理求解．1.2 能得到直角三角形吗学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用．2、进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型．3、会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．【重点难点】1、探索并掌握直角三角形的判别条件．2、运用直角三角形判别条件解题．知识概览图勾股定理的逆定理内容：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数新课导引【问题链接】小明的爸爸为了画直角三角形，找来了长度分别为12 cm，40 cm 的两条线，采用固定三边的方法，画出了两个图形，如下图所示，小明的爸爸所画的两个三角形是直角三角形吗?怎样判定一个三角形是直角三角形呢?点拨它们都是直角三角形．判定方法就是本节要学习的内容了．教材精华知识点 1 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a,b,c 满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．拓展 (1)勾股定理与其逆定理的关系：勾股定理是已知直角三角形，得到三边长的关系，它是直角三角形的重要性质之一；而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判断一个三角形是不是直角三角形，这是直角三角形的判定，也是判断两直线垂直的方法之一，二者的条件和结论刚好相反．(2)勾股定理的逆定理的延伸：如果三角形三边长a，b，c 满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；如果a2+b2<c2，那么这个三角形是钝角三角形；如果a2+b2>c2，那么这个三角形是锐角三角形．(3) 勾股定理的逆定理的应用：应用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是不是直角三角形．在实际应用时，可用较小两边长的平方和与较长边长的平方作比较(数较大时，运用平方差公式计算较为简便)，若它们正好相等，则三角形为直角三角形，且较长边所对的角为直角．知识点 2 勾股数满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．拓展(1)对于任意两个正整数m，n(m>n>0)，m2+n2，m2-n2和2mn 这三个数就是一组勾股数，可见勾股数组有无数组．(2) 常见的勾股数组有：① 3，4，5；② 6，8，10；③8，15，17；④ 7，24，25；⑤5，12，13；⑥9,2，15。

数学八年级下北师大新课标第一章第二节《勾股定理的应用-最短距离问题》教学设计内容和内容解析：本节是义务教育课程标准北师大版教科书八年级（上）第一章《勾股定理》第三节．具体内容是运用勾股定理解决简单的立体图形上的最短距离问题，进一步发展应用意识。

本节课是七年级图形的展开与折叠知识的延续，需要把立体图形展开成平面图形后，利用两点之间线段最短在平面上找到最短距离，并运用勾股定理求出最短距离。

同时本节课从圆柱（侧面）中来又回到圆柱（内部）中去，最后也为九年级要学习的视图与投影埋下伏笔。

目标和目标解析：本节课的重点是利用勾股定理解决立体图形上的最短距离问题，点是如何寻找和计算最短距离。

设计“蚂蚁怎样走最近？”这个有趣的实际情景，让学生了解实际问题可以转化成数学问题，让学生体验数学源于生活，又应用于生活；在经历寻找和计算“最短距离”的过程中，让学生理解，为什么要把立体图形展开成平面图形，使学生逐渐形成思维上的转化思想，进一步体会数学的应用价值；学生要探究并掌握立体图形转化成平面图形后，最短距离的寻找方法和利用勾股定理的计算方法，这也使学生积累利用数学知识解决日常生活中实际问题的经验和方法，逐步形成积极参与数学活动的意识。

教学问题诊断分析：学情分析：学生在七年级已学习过图形的展开与折叠，并了解两点之间线段最短，有一定基础。

本节课要求学生在实际问题中自己寻找并计算最短距离，而八年级学生审题能力，审题方法，数学思维习惯已逐渐养成，但解决实际问题的能力仍需培养；内容预设：一，本节课学生可能遇到的第一个问题，在寻找“最短距离”的过程中，在展开后的平面图形上不能准确找到蚂蚁或食物所在的“点”，而找不准“关键点”的原因：缺乏空间想象能力；懒于动手操作实践；没能完全感受到立体图形展成平面图形带来的好处；习惯养成问题（审题意识，审题方法）。

二，极个别学生在计算最短距离时出问题，究其原因：缺乏利用数学知识解决实际问题的能力；对勾股定理的掌握不够扎实；缺乏由点（蚂蚁和食物）到线（最短距离）再到面（直角三角形）的意识。

第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理学习目标1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

2 、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

重点、难点重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。

难点：勾股定理的发现。

学习过程一、创设问题的情境，激发学生的学习热情：我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。

对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。

那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。

出示投影1（章前的图文 P1 ）我国是最早了解勾股定理的国家之一介绍商高（三千多年前周朝数学家）。

出示投影2。

（书中P2 图1一2）并回答：1、观察图1一2，正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位。

正方形B 中有个小方格．即B的面积为个面积单位。

正方形C 中有个小方格，即C的面积为个面积单位。

2、你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问。

3、图l一2 中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？在学生交流后形成共识老师板书。

A + B＝C ，接着提出图1一1中A、B、C的关系呢？二、做一做出示投影3（书中P3 图1一3，图1一4 )提问：1、图1一3中，A 、B、C之间有什么关系？2、图1 一4中，A 、B 、C 之间有什么关系？3、从图1一l 、1一2 、1一3 、l一4中你发现了什么？在学生讨论、交流形成共识后，老师总结：以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。

三、议一议1、图1一1、1一2、1一3、1一4中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上，老师板书：直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。

导学案1 勾股定理要点一、勾股定理直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2要点诠释：(1)勾股定理适用前提是直角三角形（2）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2，a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b) 2-2ab（3）应用勾股定理时，注意确定那条是直角三角形的斜边。

在RT三角形中，斜边未必一定是c，当∠A=90°时，a是斜边，a2=c2+b2；当∠B=90°时，b是斜边，b2=c2+a2。

（4）若没有明确给出直角三角形的两边类型（直角边还是斜边），要分类讨论，以免遗漏。

经典例题例1.在Rt△ABC中，∠C=90°（1）已知：a=6，b=8，求c。

（2）已知：b=5，c=13，求a。

（3）已知：a=8，c=17，求b。

（4）已知a：b=3：4，c=10，求a。

变式1. 如图∠ B=∠ACD=90°，AD=13，CD=12，BC=3，则AB的长是多少?a b c c b a E D C B A b ac b a c c a b c a b变式2．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，垂足为D ，交AB 于点E ，连接CE ，若AE ＝3，BE ＝5，则边AC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8能力提升：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是中线，MN ⊥AB ，垂足为N ，试说明222AN BN AC -=．要点二、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，探索勾股定理时同一个图形的面积用两种方法表示是关键，由面积之间的等量关系，结合图形进行代数变形可推导出勾股定理。

例2. 在直角三角形中，若两直角边的长分别为3cm ，4cm ，则斜边长为 。

变式1：已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长的平方是 。