数值方法第二章 插值法2

1 第二章 解线性方程组的直接法

解线性方程组

11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb

或写成矩阵式

Axb

其中

1212,(,,,),(,,,)TTijnnnnAaxxxxbbbbGauss消去法（矩阵行变换法）

第k次消元公式

()()(1)()()(1)()()/(1,,)(,1,,)(1,,)kkikikkkkkkijijikkjkkkiiikkmaaiknaamaijknbbmbikn

计算中，中间结果不必保留，进行一次变换后原来存放(1)kA的单元存放()kA，(1)kb的单元存放()kb。因此，我们得到Gauss消去法的算法： 2 循环：1,2,,kn-1

:/(1,,):(,1,,):(1,,)ikikkkijijikkjiiikkmaaiknaamaijknbbmbikn

何时可行？即第k步 Gauss消去法可实行，易见充要条件是

()0kkka

若A的各阶顺序主子式 *det()0ijkka 1,,1kn，则有：

()**()()()1122()det()det() ||

0 kijkkijkkkkkkkkkkaaaaaa

消元过程可进行到 1kn。因此，可以用Gauss消去法解线性方程组的充要条件是系数矩阵的各阶顺序主子式不为0。

最后得到()()() nnnAxbA是上三角阵

()()kkAxb与Axb同解 2,,kn

解()()nnAxb只需递推（回代过程）

2211112()/, ,,1(0 = 1)nkkkjjkkjkkkiiikikxbaxaknkkaa当时，规定： 3 计算量 第k步消元

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. 数值分析

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常用的插值方法

序言

在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。

早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。

插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上 n＋1个互不相同点x0，x1……xn 处的值是f（x0），……f（xn），要求估算f（x）在[a，b〕中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0，C1，……Cn的函数类Φ(C0，C1，……Cn)中求出满足条件P（xi）＝f（xi）（i＝0，1，……

n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。此处f（x）称为被插值函数，x0，x1，……xn称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……Cn)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……Cn）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝ f（x）－P（x）称为插值余项。

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. 求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit插值，分段插值和样条插值。

一．拉格朗日插值

1.问题提出：

已知函数yfx在n+1个点01,,,nxxx上的函数值01,,,nyyy，求任意一点x的函数值fx。

说明：函数yfx可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值fx。

数值计算中的插值方法与误差分析

数值计算是一门应用数学学科，广泛应用于科学与工程领域。在实际问题中，我们常常需要通过已知的离散数据点来估计未知的数值。插值方法就是为了解决这个问题而设计的。

插值方法是一种基于已知数据点，推断出未知数据点的数值计算方法。常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。下面我们将重点介绍这两种方法。

1. 拉格朗日插值法

拉格朗日插值法是插值方法中最常见的一种。它是基于拉格朗日多项式的思想。假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。拉格朗日插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。具体步骤如下：

（1）根据已知数据点构造Lagrange插值多项式：

L(x) = Σ(yi * Li(x)), i = 0, 1, ..., n

其中，Li(x) = Π((x-xj)/(xi-xj)), j ≠ i

（2）计算未知点x对应的函数值y：

y = L(x)

拉格朗日插值法的优点是简单易懂，计算方便。然而，它也存在着一些问题，比如插值多项式的次数较高时，多项式在插值区间外的振荡现象明显，容易引起插值误差。 2. 牛顿插值法

牛顿插值法是另一种常见的插值方法。它是基于差商的思想。假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。牛顿插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。具体步骤如下：

（1）计算差商：

f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ..., xi+k-1]) / (xi+k - xi)

（2）根据已知数据点构造Newton插值多项式：

N(x) = f[x0] + Σ(f[x0, x1, ..., xi] * Π(x - xj)), i = 0, 1, ..., n-1

数值计算方法教案

第一章：数值计算概述

1.1 数值计算的定义与意义

介绍数值计算的概念

解释数值计算在科学研究与工程应用中的重要性

1.2 数值计算方法分类

介绍数值逼近、数值积分、数值微分、数值解方程等基本方法

分析各种方法的适用范围和特点

1.3 误差与稳定性

解释误差的概念及来源

讨论数值计算中误差的控制与减小方法

介绍稳定性的概念及判断方法

第二章：插值与逼近

2.1 插值法的基本概念

介绍插值的概念及意义

解释插值函数的性质和条件

2.2 常用的插值方法

介绍线性插值、二次插值、三次插值等方法

分析各种插值方法的优缺点及适用范围

2.3 逼近方法

介绍切比雪夫逼近、傅里叶逼近等方法

解释逼近的基本原理及应用场景 第三章：数值积分与数值微分

3.1 数值积分的基本概念

介绍数值积分的概念及意义

解释数值积分的原理和方法

3.2 常用的数值积分方法

介绍梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式等方法

分析各种数值积分方法的适用范围和精度

3.3 数值微分的基本概念与方法

介绍数值微分的概念及意义

解释数值微分的原理和方法

第四章：线性方程组的数值解法

4.1 线性方程组数值解法的基本概念

介绍线性方程组数值解法的概念及意义

解释线性方程组数值解法的原理和方法

4.2 常用的线性方程组数值解法

介绍高斯消元法、LU分解法、迭代法等方法

分析各种线性方程组数值解法的优缺点及适用范围

4.3 稀疏矩阵技术

解释稀疏矩阵的概念及意义

介绍稀疏矩阵的存储和运算方法

第五章：非线性方程和方程组的数值解法

5.1 非线性方程数值解法的基本概念 介绍非线性方程数值解法的概念及意义

解释非线性方程数值解法的原理和方法

5.2 常用的非线性方程数值解法

介绍迭代法、牛顿法、弦截法等方法

分析各种非线性方程数值解法的优缺点及适用范围

5.3 非线性方程组数值解法

介绍消元法、迭代法等方法

讨论非线性方程组数值解法的特点和挑战