第2章 计算方法插值与拟合

数值计算方法插值与拟合

数值计算方法在科学计算和工程应用中起着重要的作用，其中插值和拟合是其中两个常用的技术。插值是指通过已知的离散数据点来构造出连续函数或曲线的过程，拟合则是找到逼近已知数据的函数或曲线。本文将介绍插值和拟合的基本概念和常见的方法。

一、插值和拟合的基本概念

插值和拟合都是通过已知数据点来近似表达未知数据的方法，主要区别在于插值要求通过已知数据点的函数必须经过这些数据点，而拟合则只要求逼近这些数据点。插值更加精确，但是可能会导致过度拟合；拟合则更加灵活，能够通过调整参数来平衡拟合精度和模型复杂度。

二、插值方法

1. 线性插值

线性插值是一种简单的插值方法，通过已知数据点构造出线段，然后根据插值点在线段上进行线性插值得到插值结果。

2. 拉格朗日插值

拉格朗日插值是一种基于多项式插值的方法，通过已知数据点构造出一个多项式，并根据插值点求解插值多项式来得到插值结果。

3. 分段线性插值 分段线性插值是一种更加灵活的插值方法，通过将插值区间分成若干小段，然后在每个小段上进行线性插值。

三、拟合方法

1. 最小二乘法拟合

最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化实际观测点和拟合函数之间的残差平方和来确定拟合函数的参数。

2. 多项式拟合

多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法，通过选择合适的多项式次数来逼近已知数据点。

3. 曲线拟合

曲线拟合是一种更加灵活的方法，通过选择合适的曲线函数来逼近已知数据点，常见的曲线包括指数曲线、对数曲线和正弦曲线等。

四、插值与拟合的应用场景

插值和拟合在实际应用中具有广泛的应用场景，比如图像处理中的图像重建、信号处理中的滤波器设计、金融中的风险评估等。

五、插值与拟合的性能评价

插值和拟合的性能可以通过多种指标进行评价，常见的评价指标包括均方根误差、相关系数和拟合优度等。

六、总结 插值和拟合是数值计算方法中常用的技术，通过已知数据点来近似表达未知数据。插值通过已知数据点构造出连续函数或曲线，拟合则找到逼近已知数据的函数或曲线。常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值和分段线性插值，而拟合常用的方法包括最小二乘法拟合、多项式拟合和曲线拟合。插值和拟合在各个领域中都有广泛的应用，并且可以通过多种指标进行性能评价。

第4章 插值方法

在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据,2,1,0),,(iyxii，揭示自变量x与因变量y之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式：y=f(x)来表示。函数f(x)的产生办法因观测数据与要求的不同而异，通常可以采用两种方法：一个是曲线拟合的方法，一个是插值的方法。插值和拟合的主题都是确定一个函数,其解决办法相似.可以考虑分两步走：第一步，适当选择函数的形式；第二步，确定函数的参数。拟合主要是考虑到观测数据受随机误差的影响，寻求整体误差最小、较好反映观测数据的近似函数，并不保证所得到的函数一定满足)(iixfy。插值则要求函数在每个观测点处一定要满足)(iixfy。本章介绍插值的方法。拟合的方法将在下一章讨论。

插值函数一般是已知函数值的线性组合或者称为加权平均。插值在工程实践和科学实验中应用非常广泛。例如：信息技术中的图像重建、图像放大中为避免图像的失真所做的插值补点、建筑工程的外观设计、天气预报等等。

本章主要内容：

1）插值思想﹑方法和技术，包括一维插值与高维插值；

2）用Matlab作插值计算；

3）针对三个实际问题，进行建模﹑求解与分析；

4）最后给出实验题目。

§4.1 插值方法

本节将简单地介绍常用的一维插值方法的分段线性插值和三次样条插值。

4.1.1 分段多项式插值

先介绍分段线性插值。从数学的角度，分段线性插值的提法如下： 问题：设函数f(x)在n+1个节点x0,x1,…,xn处的函数值已知，为

y0,y1,…,yn 。

要求：求一个分段( 共 n段)线性函数q(x)，使其满足：q(xi)=yi,

i=0,1,…,n.

根据直线的两点式方程变形得到q(x)在第i段[xi-1,xi]上的表达式为：nixxxyxxxxyxxxxxqiiiiiiiiii,,2,1,,)(11111

可以证明，分段线性插值具有良好的收敛性。即 )()(limxfxqn，f(x)为被插值函数。

·64· 插值与拟合方法

在实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据．插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已知函数的参数或寻找某个近似函数，使所得到的近似函数与已知数据有较高的拟合精度．

插值问题:要求这个近似函数（曲线或曲面）经过所已知的所有数据点．通常插值方法一般用于数据较少的情况．

数据拟合：不要求近似函数通过所有数据点，而是要求它能较好地反映数据的整体变化趋势。

共同点：插值与拟合都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数的方法，由于对近似要求的准则不同，因此二者在数学方法上有很大的差异．

插值问题的一般提法：

已知某函数)(xfy（未知）的一组观测（或试验）数据),,2,1)(,(niyxii，要寻求一个函数)(x，使iiyx)(),,2,1(ni，则)()(xfx．

实际中,常常在不知道函数)(xfy的具体表达式的情况下，对于ixx有实验测量值iyy),,2,1,0(ni，寻求另 ·65· 一函数)(x使满足：

)()(iiixfyx),,2,1,0(ni 称此问题为插值问题，并称函数)(x为)(xf的插值函数，nxxxx,,,,210称为插值节点，),,2,1,0()(niyxii称为插值条件，即)()(iiixfyx),,2,1,0(ni，则)()(xfx．

（1） 拉格朗日（Lagrange）插值

设函数)(xfy在1n个相异点nxxxx,,,,210上的函数值为nyyyy,,,,210，要求一个次数不超过n的代数多项式

nnnxaxaxaaxP2210)(

使在节点ix上有),,2,1,0()(niyxPiin成立，称之为n次代数插值问题，)(xPn称为插值多项式．可以证明n次代数插值是唯一的．

数值计算方法复习知识点

数值计算是计算机科学的一个重要分支，它研究如何使用计算机来进行数值计算和数值模拟。在实际应用中，许多问题无法用解析表达式求解，只能通过数值计算方法来近似求解。因此，数值计算方法的学习对于掌握计算机科学和工程中的相关问题具有重要意义。

1.插值与拟合

插值是通过已知数据点构造出一个函数，使得该函数在已知数据点上的取值与给定数据点相同。常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。拟合是通过已知数据点，在一定误差范围内，用一个函数逼近这些数据点的过程。最小二乘法是一种常用的拟合方法。

2.数值积分

数值积分是通过数值计算方法对定积分进行近似求解的过程。常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则。

3.数值微分

数值微分是通过数值计算方法来计算函数的导数。常用的数值微分方法有前向差分法和中心差分法。

4.常微分方程数值解

常微分方程是研究自变量只有一个的微分方程。常微分方程数值解是通过数值计算方法来求解常微分方程的近似解。常用的常微分方程数值解方法有欧拉法、改进欧拉法和龙格-库塔法等。

5.线性方程组的数值解法 线性方程组是一个包含多个线性方程的方程组。线性方程组的数值解法主要包括直接法和迭代法。直接法是通过一系列代数运算直接求解出方程组的解，常用的直接法有高斯消元法和LU分解法。迭代法是通过一系列迭代运算逐步逼近方程组的解，常用的迭代法有雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法等。

6.非线性方程的数值解法

非线性方程是含有未知数的函数与该未知数的组合线性关系不成立的方程。非线性方程的数值解法包括二分法、牛顿法和割线法等。

7.特征值与特征向量

特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。特征值是矩阵运算中的一个标量，特征向量是矩阵运算中的一个向量。特征值和特征向量的计算可以通过幂法、反幂法和QR分解等数值计算方法来实现。

8.插值和误差分析

插值方法的误差分析是指通过数值计算方法来分析插值近似值与精确值之间的误差大小。误差分析是数值计算方法中的一个重要内容，常用的误差分析方法有绝对误差和相对误差等。