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专题4 与角平分线有关的辅助线作法（含答案）

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21世纪教育网 专题4 与角平分线有关的辅助线作法

知识解读

角平分线所在直线是所在角的对称轴，因此角平分线的性质都是以轴对称为基础的，其辅助线作法也应多从轴对称的角度来考虑，其常用的辅助线构造方法有：（1）过角平分线上一点作到角的两边的垂线段，如图1－4－1①.（2）以顶点为圆心，在角两边截取两条相等的线段，构造全等三角形，如图1－4－1②.（3）利用三线合一定理构造等腰三角形，如图1－4－1③.（4）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，如图1－4－1④.

培优学案

典例示范

一、过角平分线上一点作两边的垂线段.

例1如图1－4－2，AB//CD，E为AD上一点，且BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD.求证：AE＝ED.

【提示】由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E是两条角平分线的交点，因此我们可以过点E，分别作AB，BC，CD的垂线段，如图1－4－3.

【解答】

【技巧点评】

过一点作角两边的垂线段，构造的是一对全等的直角三角形，可以得到一些相等的线段和相等的角，但利用角平分线的性质，可以省去证明全等这一环节，直接证得线段相等。同样由“距离”相等，也能直接得到角平分线.让证明来得更简捷。

跟踪训练

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21世纪教育网 1.如图1－4－4，在△ABC中，DC⊥AC，∠1＝∠2，DA＝DB.求证：AB＝2AC.

二、角平分线＋高＝全等三角形

例2如图1－4－5，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CELBE.求证：CE＝12BD.

【提示】由于BE平分∠ABC，因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE从而构造全等三角形。

【解答】

【技巧点评】

当一根线段同时满足“是角平分线”、“是中线”和“是高”中两个时，可考虑将图形补成一个等腰三角形解决问题。

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2.如图1－4－6，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD＝∠DAC＋∠C.

三、借助角平分线的轴对称性构造全等三角形

例3如图1－4－7，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B.求证：AB＝AC＋CD.

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21世纪教育网 【提示】可考感以AD为对称轴构造全等三角形，可在AB边上截取AE＝AC，也可以延长AC到点E，使得AE＝AB.

【解答】

【技巧点评】

角平分线所在直线是角的对称轴，可以对称着构造全等三角形。

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3.如图1－4－8，BC＞AB，BD平分∠ABC，且∠A＋∠C＝180°，求证：AD＝DC.

图 1-4-8DCBA

四、角平分线十平行线＝等腰三角形

例4 如图1－4－9，在△ABC（AB≠AC）中，D，E在BC上，且DE＝EC，过D作DF//AB，交AE于点F，DF＝AC.求证：AE平分∠BAC.

【提示】要说明∠BAE＝∠CAE，可寻找一个角等于这两个角，可过点D作DM/AC，与角平分线AE固成一个等腰三角形，从而寻找到这个角。

【解答】

图 1-4-9FEDCBA

【技巧点评】

当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图1－4－10①中，若AD平分∠BAC，AD//EC，则△ACE是等腰三角形；如图1－4－10②中，若AD平分∠BAC，DE∥AC，则△ADE是等腰三角形；如图1－4－10③中，若AD平分∠B4C，CE/∥AB，则△ACE是等腰三角形；如图1－4－10④中，若AD平分∠BAC，EF//AD，则△AGE是等腰三角形。

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21世纪教育网 图 1-4-10④③②①FGEEEEDDDDCCCCBBBBAAAA

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4.如图1－4－11，在△ABC中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作EFLBC，交BA的延长线于点E，垂足为点F.求证：AE＝AP.

图 1-4-11PFECBA

拓展延伸

例5 如图1－4－12，在△ABC中，证明：

（1）若AD为角平分线，则S△ABD：S△ACD＝BD:CD；

（2）设D为BC上一点，连接AD，若S△ABD：S△ACD＝AB:AC，则AD为∠BAC的平分线.

【提示】（1）△ABD，△ACD，BD，CD边上的高相同，面积比等于底边长之比；（2）由这两个三角形的面积之比可看出点D到∠BAC两边的距离相等.

【解答】

图 1-4-12DCBA

【技巧点评】

通过这道题目可以看出，当AD平分∠BAC时，S△ABD: S△ACD＝BD:CD，S△ABD: S△ACD＝AB:AC，可以得出结论BD:CD＝AB:AC.

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21世纪教育网 5.如图1－4－13，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝AC，CE⊥AD于点E，且CE＝5.

（1）求BC的长；

（2）求证：BD＝CD.

E图 1-4-13DCBA

竞赛链接

例6（希望杯竞赛题）如图1－4－14，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC，求证：BC＝BD＋AD.

【提示】思路1：如图1－4－15，在BC上截取BE＝BA，BF＝BD，连接DE，DF.

思路2：如图1－4－16，在BC上截取BE＝BA，延长BD到F使BF＝BC，连接DE，CF

思路3：如图1－4－17，在BD上截取BE＝BA，在BC上截取BF＝BD，连接EF，DF.

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【解答】

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6.（天津竞赛题）如图1－4－18，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且，如果∠D＝120°，求∠B的度数。

培优训练

1.如图1－4－19，AB＝CD，△PAB和△PCD面积相等，求证：OP平分∠AOC.

2.如图1-4-20，在四边形ABCD中，ADBC，AP平分DAB，BP平分ABC，点P恰在DC上.

（1）求证：APBP；

（2）若90D，猜想AB，AD，BC之间有何数量关系？请证明你的结论.

图1-4-20

3.如图1-4-21，在ABC中，90ACB，CD是AB边上的高，AE分别交CB，CD于点E，F，且CECF.求证：AE平分BAC.

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21世纪教育网 图1-4-21

4.如图1-4-22，在ABC中，CE平分ACB，且AECE，180AEDCAE，求证：DEBC.

图1-4-22

5.如图1-4-23，已知CE，AD是ABC的角平分线，且交于点O，60B，求证：ACAECD.

图1-4-23

6.如图1-4-24，ABD和ACE都是等腰直角三角形，90BADCAE.

（1）求证：ACDAEB；

（2）试判断AFD和AFE的大小关系，并证明你的结论。

图1-4-24

7.如图1-4-25，在ABC中，60ABC，BAC，BCA的平分线相交于点O，求证：OEOF.

图1-4-25

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直击中考

8.★★（2016·浙江湖州）如图1-4-26，ABCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，AD过点P，且ABAD.若8AD，则点P到BC的距离是（ ）

A.8 B.6 C.4 D.2

图1-4-26 图1-4-27

9.★★（2017·山东滨州）如图1-4-27，点P为定角AOB的平分线上的一个定点，且MPN与AOB互补.若MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，则以下结论：①PMPN恒成立，②OMON的值不变，③四边形PMON的面积不变，④MN的长不变，其中正确的个数为（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

挑战竞赛

10.（北京竞赛题）如图1-4-28，在四边形ABCD中，ADBC，若DAB的平分线AE

交CD于点EE，连接BE，且BE恰好平分ABC，则AB的长与ADBC的大小关（）

A.ABADBC B.ABADBC

C.ABADBC D.无法确定

图1-4-28

11.（江苏竞赛题）如图1-4-29，2ABAC，BADCAD，DADBD，求证：DCAC.

图1-4-29

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合集下载

人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：角的平分线的性质

人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：角的平分线的性质

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专题12.3 角的平分线的性质

1.角平分线的定义

将一个已知的角平分为两个相等的角的射线叫做这个已知角的平分线。

2.作角平分线（尺规作图，四弧一线）

角平分线的作法（尺规作图）

①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；

②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；

③过点P作射线OP，射线OP即为所求．

3.角平分线的性质定理：

角平分线上的点到角的两边的距离相等。

符号语言：∵OP平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，∴AP=BP.

4.角平分线性质定理的逆定理：

到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

符号语言：∵ AP⊥OA，BP⊥OB，AP=BP，∴点P在∠AOB的平分线上.

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5.角平分线的综合应用

（1）为推导线段相等、角相等提供依据和思路；

（2）实际生活中的应用．

6.证明命题基本方法

（1）明确命题中的已知和求（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）

（2）根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.

【例题1】已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．

求证：PA＝PB．

【例题2】已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．

求证：点P在∠MON的平分线上．

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【例题3】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．

（1）求证：BD平分∠ABC；

（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．

【例题4】如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC.

(1)求证：△ABC是等腰三角形；

(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由.

【例题5】如图，在∆ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DEAB于点E，测得BC=9，BE=3，则∆BDE的周长是( )

角平分线辅助线专题练习

角平分线辅助线专题练习

角平分线专

1、轴对称性：

内容：角是一个轴对称图形,它的角平分线所在的直线是它的对称轴. 思路和方法:边角等 根本结构：如图,

2、角平分线的性质定理：注意两点⑴距离相等〔2〕 一对全等三角形

3、定义：带来角相等.

4、补充性质：如图,在AABC中.AD平分NBAC,那么有AB: AC=BD:DC

例题2：如图,在△ ABC中,NA等于6(r.BE平分NABC.CD平分NACB

求证：DH=EH

例题3:如图1, BC>AB.BD平分NABC,且NA+/C=180O, 求证:AD=DC.:

思路一:利用“角平分线的对称性〞来构造

由于角是轴对称图形,角平分线是其对称轴,因此,题中假设有 角平分线,一般可以利用其对称性来构成全等三角形.

证法1：如图1,在BC上取BE = AB,连结DE,〈BD平分 B 耳

佟1 ZAB C, AZAB D = ZDBE, X BD=BD.AAABD^AEBD (SA S),

,NA=NDBE,A D =D E,又NA+NC=1 8 0°, ZDE B+ZDEC=1 8 0°,,NC=NDE

C.DE = DC,

那么 AD=DC. A

n 证法2：如图2,过A作BD的垂线分别交BC、81)于£、F, ?\

连结DE,由BD平分NABC,易得4ABF/△ EBF,那么AB=B E, 1 / \

BD 平分 NABC,BD=BD, AAABD^AEB D(SAS ) , / \/ \

,AD = ED, NBAD=NDEB.又NBAD+NC=1 8 0., B 图C

ZBED+ ZCED = 180°,A ZC= ZDEC,那么 DE=DC, A AD=DC. g

说明:证法1,2,都可以看作将△ ABD沿角平分线BD折向BC而构成 /'、、

全等三角形的. / \

证法3:如图3,延长BA至E,使BE=BC,连结DE, J\r)

YBD 平分 NABC,,NCBD=NDBE,又 BD=BD, /•△CB D/aEBD

易错专题四 直角三角形的判定及角平分线(12.2~12.3)（含答案）

易错专题四 直角三角形的判定及角平分线(12.2~12.3)（含答案）

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人教版数学八年级上册

易错专题四 直角三角形的判定及角平分线(12.2~12.3)

一、选择题

1. 下列判定两个直角三角形全等的方法中，不正确的是( )

A. 两条直角边分别对应相等

B. 斜边和一锐角分别对应相等

C. 斜边和一条直角边分别对应相等

D. 两个三角形的面积相等

2. 如果要作已知∠AOB的平分线OC，则下列步骤：①作射线OC；②在OA，OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；③分别以D，E为圆心，大于12DE长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.顺序合理的是( )

A. ①②③ B. ②①③ C. ②③① D. ③②①

3. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，DE⊥BC，AC=6，EC=6，∠ACB=60°，则∠ACD的度数为( )

A. 45° B. 30° C. 20° D. 15°

第3题 第4题

4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积为( )

A. 15 B. 30 C. 45 D. 60

5. 如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( )

A. PC=PD B. ∠CPD=∠DOP

专题04 平行四边形几何辅助线(专题详解)(原卷版)

专题04 平行四边形几何辅助线(专题详解)(原卷版)

专题04 平行四边形几何辅助线专题详解

专题04 平行四边形几何辅助线专题详解 .............................................................................................................. 1

1 平行四边形 ..................................................................................................................................................... 2

知识框架 ..................................................................................................................................................... 2

方法1 分类讨论思想 ................................................................................................................................ 2

一、动态讨论 ..................................................................................................................................... 2

（1）1个点的移动 .................................................................................................................... 2