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解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法

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解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法

◆类型一 含一个拐点的平行线问题

1．如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D.若∠ABC＝40°，则∠BCD的度数为( )

A．140° B．130° C．120° D．110°

第1题图 第2题图

2．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为( )

A．20° B．30° C．40° D．70°

3．如图，某城市的两座高楼顶部各装有一个射灯，当光柱相交在同一个平面时，∠1＋∠2＋∠3＝________°.

第3题图 第4题图

4．(2017·枣庄中考)将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是________．

5．如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB，∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．【方法8】

◆类型二 含两个或多个拐点的平行线问题 6．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为( )

A．∠1＋∠2－∠3 B．∠1＋∠3－∠2

C．180°＋∠3－∠1－∠2 D．∠2＋∠3－∠1－180°

第6题图 第7题图

7．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝________°.

8．如图，AB∥CD，试解决下列问题：

(1)如图①，∠1＋∠2＝________；

(2)如图②，∠1＋∠2＋∠3＝________；

(3)如图③，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________；

(4)如图④，试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝__________．

9．(1)如图①，AB∥CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由；

(2)如图②，AB∥CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．

参考答案与解析 1．B 解析：过点C向右作CG∥AB，由题意可得AB∥EF∥CG，∴∠B＝∠BCG，∠GCD＝90°，则∠BCD＝40°＋90°＝130°.故选B.

2．B 解析：如图，过点C作CF∥DE，则AB∥DE∥CF，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，∠CDE＋∠DCF＝180°，∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－140°＝40°，∴∠BCD＝∠BCF－∠DCF＝70°－40°＝30°.故选B.

3．360

4．15° 解析：如图，过A点作AB∥a，∴∠1＝∠2.∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3＝∠4＝30°.∵∠2＋∠3＝45°，∴∠2＝15°，∴∠1＝15°.

5．解：如图①，过点P作PF∥AB，则AB∥PF∥CD.∴∠PAB＝∠APF，∠PCD＝∠FPC，∴∠APC＝∠APF＋∠FPC＝∠PAB＋∠PCD；

如图②，过点P作PF∥AB，则AB∥PF∥CD.∴∠PAB＋∠APF＝180°，∠PCD＋∠FPC＝180°，∴∠APC＋∠PAB＋∠PCD＝360°；

如图③，过点P作PF∥AB，则PF∥AB∥CD.∴∠FPA＋∠PAB＝180°，∠FPA＋∠APC＋∠PCD＝180°，∴∠PAB＝∠APC＋∠PCD；

如图④，过点P作PF∥AB，则PF∥AB∥CD.∴∠FPA＝∠PAB，∠FPA＋∠APC＝∠PCD，∴∠PAB＋∠APC＝∠PCD.

6．D 解析：如图，过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD.∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG∥FH，∴∠1＝∠AEG，∴∠GEF＝∠2－∠1.∵EG∥FH，∴∠EFH＝180°－∠GEF＝180°－(∠2－∠1)＝180°－∠2＋∠1，∴∠CFH＝∠3－∠EFH＝∠3－(180°－∠2＋∠1)＝∠3＋∠2－∠1－180°.∵FH∥CD，∴∠4＝∠CFH＝∠3＋∠2－∠1－180°.故选D.

7．140 解析：如图，延长AE交l2于点B.∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°.∵∠α＝∠β，∴AB∥CD.∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°.

8．(1)180° (2)360° (3)540° (4)(n－1)·180°

解析：(1)如图①，∵AB∥CD，∴∠1＋∠2＝180°；

(2)如图②，过点E作直线EF平行于AB.∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠1＋∠AEF＝180°，∠FEC＋∠3＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝360°.

(3)过点E，F作EG，FH平行于AB.∵AB∥CD，∴AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1＋∠AEG＝180°，∠GEF＋∠EFH＝180°，∠HFC＋∠4＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°.

(4)根据上述规律，显然作(n－2)条辅助线，运用(n－1)次两条直线平行，同旁内角互补，即可得到n个角的和是(n－1)·180°.

9．解：(1)∠2＋∠4＝∠1＋∠3＋∠5.理由如下：如图，分别过点E，G，M作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，∴∠1＝∠BEF，∠FEG＝∠EGH，∠HGM＝∠GMN，∠CMN＝∠5，∴∠2＋∠4＝∠BEF＋∠FEG＋∠GMN＋∠CMN＝∠1＋∠EGH＋∠MGH＋∠5＝∠1＋∠3＋∠5.

(2)∠2＋∠4＋∠6＝∠1＋∠3＋∠5＋∠7.结论：开口朝左的所有角的度数之和与开口朝右的所有角的度数之和相等．

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初中数学常见辅助线做法

初中数学常见辅助线做法

初中数学常用辅助线

一．添辅助线有二种情况：

1按定义添辅助线：

如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线;

2按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们 把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循;举例如下：

1平行线是个基本图形：

当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线

2等腰三角形是个简单的基本图形：

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形;出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形;

3等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形; 4直角三角形斜边上中线基本图形

出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线;出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形;

5三角形中位线基本图形

几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形;

6全等三角形：

全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转;当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明,添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线

人教版七年级数学下册解题技巧专题

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目录：目录：

【专题一】平行线中作辅助线的方法【专题一】平行线中作辅助线的方法

【专题二】相交线与平行线中的思想方法

【专题三】开方运算及无理数判断中的易错题

【专题四】平面直角坐标系中的图形面积

【专题五】平面直角坐标系中的变化规律

【专题六】解二元一次方程组【专题六】解二元一次方程组

【专题七】一元一次不等式（组）与学科内知识的综合

【专题八】一元一次不等式（组）中含字母系数的问题

人教版七年级数学下册解题技巧专题

【专题一】平行线中作辅助线的方法

——形成思维定式，快速解题

◆类型一类型一 含一个拐点的平行线问题含一个拐点的平行线问题

1．(2017·南充中考)如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝58°，则∠2的度数为( ) 

A．30° B．32° C．42° D．58°

第1题图 第2题图题图

2．(2017·潍坊中考)如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足( ) A．∠α＋∠β＝180° B．∠β－∠α＝90° C．∠β＝3∠α D．∠α＋∠β＝90° 3．阅读下列解题过程，然后解答后面的问题． 如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数．的度数．

解：过E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴CD∥EF.∵AB∥EF，∴∠1＝∠B＝35°35°..又∵CD∥EF，∴∠2＝∠D＝32°，∴∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°67°. . 

如图②、如图②、图③，图③，图③，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问现在明明遇到两个问

题，请你帮他解决．题，请你帮他解决． (1)如图②，已知∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A应多大？应多大？ (2)如图③，要使GP∥HQ，则∠G，∠GFH，∠H之间有什么关系？之间有什么关系？

平行四边形几何辅助线专题详解

平行四边形几何辅助线专题详解

1 平行四边形几何辅助线专题详解

1 平行四边形

知识框架

{

分类讨论思想{ 动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4个点的坐标平行四边形的面积{利用面积解决问题方程思想构造中位线{

连接法{连接两中点知一中点，取另一中点知两中点，构双中位线倍长法{倍长垂直于角平分线的线段倍长线段

方法1 分类讨论思想

分类讨论思想{ 动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4点坐标

一、动态讨论

解题技巧：点在线段的不同位置，也会造成不同的结果

（1）1个点的移动

如下图，1个点C在直线AB上移动，会出现3种情况：①在线段AB左侧；②在线段AB当中；③在线段AB右侧，具体见例1.

2 （2）2个点的移动

如下图，2个点C、D在线段AB上移动（C、D两点在AB中），会出现2种情况：①点C在点D的左侧；②点C在点D的右侧，具体见例2.

例1.▱ABCD的内角∠BCD的平分线CE交射线DA于点E，若AE=3，DE=4，求▱ABCD的周长。

例2.在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，求AB的长。

二、高的位置的讨论

解题技巧：在平行四边形中作高，会出现2种情况：①在图形内；②在图形外。

（1）过点作下（上）侧边的高

如下图，过点A作▱ABCD下侧的边CD上的高AE。因▱ABCD倾斜方向的变化，高会存在两种情况，具体见例1

（2）过点右（左）侧边的高

如下图，过点B作▱ABCD的右侧边AD上的高AE。因▱ABCD倾斜大小的变化，高会存在两种情况，具体见例2

上述两种情况实质是同一种情况经过翻折后得到的，为同一种情况。 3 例1.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，若AB=5，BC=6，求CE的值。

新湘教版初中数学七年级下册解题技巧平行线中作辅助线的方法

新湘教版初中数学七年级下册解题技巧平行线中作辅助线的方法

1 解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法

◆类型一 含一个拐点的平行线问题【方法17】

1．(天门中考)如图，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a，b上，如果∠2＝50°，那么∠1的度数为( )

A．10° B．20° ．30° D．40°

第1题图 第2题图

2．如图，已知AB∥DE，∠AB＝70°，∠DE＝140°，则∠BD的度数为( )

A．20° B．30° ．40° D．70°

3．(金华中考)如图，已知AB∥D，B∥DE若∠A＝20°，∠＝120°，则∠AED的度数是________．

第3题图 第4题图

4．如图，AB∥D，∠A＝120°，∠1＝70°，则∠D的度数为________．

5．小柯同学平时学习善于自己动手操作，以加深对知识的理解和掌握．学习了相交线与平行线的知识后，他又探索起：如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两角，并使∠1＝115°，AB⊥B于B，那么∠2的度数是多少呢？请你帮他计算出．

2

◆类型二 含多个拐点的平行线问题【方法17】

6．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1＋∠2＝( )

A．30° B．35°

．36° D．40°

第6题图 第7题图

7．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝________

8．如图，如果AB∥D，则∠α，∠β，∠γ之间的关系为______________．

第8题图

9．★如图①，AB∥D，EOF是直线AB，D间的一条折线．

(1)试说明：∠EOF＝∠BEO＋∠DFO；

(2)如果将平行线间的1个拐点改为2个拐点，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PF之间会满足怎样的数量关系，请说明理由． 3

参考答案与解析

1．A

2．B 解析：如图，过作F∥DE，∴∠DE＋∠DF＝180°∵∠DE＝140°，∴∠DF＝40°∵AB∥DE，∴F∥AB，∴∠FB＝∠AB＝70°，∴∠BD＝70°－40°＝30° 4